AULA 01 – RACIOCÍNIO LÓGICO
Sumário
1. APRESENTAÇÃO DO CURSO ...2 2. LÓGICA ...4 3. CONECTIVOS LÓGICOS ...8 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 191. APRESENTAÇÃO DO CURSO
Olá, amigos concurseiros! Tudo tranquilo? Tomara que sim! Caso estejam nervosos, ansiosos por conta do Raciocínio Lógico, fiquem calmos: costumo dizer que não se trata de nenhum bicho-de-sete-cabeças (vá lá, duas ou três no máximo!) e se eu, que não sou nenhum Einstein, aprendi, então por que vocês, caros amigos, não conseguiriam?
Passo número ZERO para aprendizagem: AUTOCONFIANÇA!
Esta é a aula demonstrativa de Raciocínio Lógico-Matemático para o concurso do TRT da 2ª Região. Conhecemos a banca – Fundação Carlos Chagas (FCC) – e as provas estão previstas para 23/02/2014.
A FCC vem sido frequentemente escolhida para elaborar as provas dos TRTs das mais diversas regiões. Isso é bom, pois temos uma grande quantidade de questões para basear nossas aulas.
É importante, desde já, comentar que a FCC costuma ser bastante previsível e repetitiva, ou seja, se você dominar as questões que iremos abordar a partir desta aula, haverá uma grande possibilidade de que elas retornem praticamente iguais, mudando apenas o “enredo” do enunciado e os números envolvidos.
O grau de dificuldade das provas elaboradas até então pela FCC para os TRTs pode ser considerado fácil para médio. Evidentemente que uma ou outra questão possa ser mais difícil, porém, no geral, o aluno bem preparado, como você, meu amigo, não terá maiores dificuldades.
Sobre mim, meu nome é Bruno Leal Monteiro, tenho 34 anos, dou aulas de Matemática, Raciocínio Lógico e Matemática Financeira em cursinhos preparatórios desde os 18 aninhos...
Lembro-me da minha primeira turma, preparatório para o CESD (Soldado Especialista da Aeronáutica, hoje em dia, é um concurso interno). Era o mais novo em sala! Todos com muita desconfiança daquele franzino professor, que nem vestibular ainda havia feito... mas deu tudo certo e até hoje estou ajudando a centenas de amigos/alunos a alcançarem seus objetivos. Só que nem um pouco franzino... rsrsrs.
Sou autor de diversos materiais didáticos e do livro “Matemática para Concursos – A Arte de Resolver Problemas”, pela Editora ELMO.
Como nas minhas turmas presenciais, foco o aprendizado da Matemática e do Rac. Lógico através da resolução de muitos, muitos exercícios.
Espero que gostem, aprendam de verdade e que exorcizem todo e qualquer fantasma proveniente do Raciocínio Lógico que cismar rondar seus estudos! Juntos somos fortes, não perca a força, o foco e a fé!
Rumo à vitória!
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
O conteúdo programático que consta no Edital é o seguinte: RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO:
1. Raciocínio lógico-matemático: Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações.
2. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos. 3. Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinada.
É bastante coisa, embora não aparente. Vocês podem achar tal conteúdo um pouco “vago”, mas, com base na experiência de dezenas de concursos anteriores, podemos entender bem o que está sendo de fato cobrado em cada tópico.
Nossas primeiras aulas abordarão a seguinte parte do programa: “Raciocínio lógico-matemático: Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações.”
Os pontos comumente abordados nesse item são: lógica proposicional - operadores lógicos, equivalência e negação. Pelo menos uma questão desse item será cobrada, portanto, precisamos saber bem.
Nesta Aula Zero, vamos tratar sobre Proposições e seus conceitos fundamentais, além das Leis de de Morgan.
2. LÓGICA
O que é “Lógica”, esta matéria tão temida quanto odiada por boa parte dos concurseiros?
A Lógica (do grego λογική - logos) é o estudo filosófico do raciocínio válido ou segundo Irving Copi, “uma ciência do raciocínio”.
A sua ideia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto, que depende da estrutura dos argumentos envolvidos nele.
Podemos concluir que a lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições.
E essa tal de “proposição”, o que é? Veremos agora: 2.1 PROPOSIÇÃO
Uma PROPOSIÇÃO nada mais é do que uma sentença declarativa - expressa por palavras ou símbolos.
Toda proposição exprime um JUÍZO ao qual poderemos atribuir, dentro de certo contexto, somente um dos valores lógicos possíveis: verdadeiro (V) ou falso (F).
Somente às sentenças declarativas pode-se atribuir um valor lógico, quando a sentença é confirmada (sentença verdadeira) ou negada (sentença falsa).
Portanto, as sentenças exclamativas, interrogativas e outras, embora expressem juízos, não podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas, por isso, não são proposições.
Pode parecer complicado à primeira vista, mas não é! Vamos ver alguns exemplos de proposições:
a) O número 7 é impar.
b) O número 21 não é primo. c) Todos os homens são imortais. d) Nenhum cachorro tem asas. e) Alguns médicos são tabagistas.
f) Se você estudar bastante, então aprenderá tudo. g) Bruno fala inglês e italiano.
h) Bruno é professor ou escritor. i) Ou Romário é carioca ou paulista.
Note que as proposições a), b), d), e), f), h) e i) são verdadeiras, enquanto que as demais são falsas (Io non parlo italiano, ma voglio imparare...).
Repare também algumas “palavras-chave”, muito frequentes em exercícios envolvendo proposições: “todos”, “nenhum”, “alguns”, “se...então”, “e”, “ou”, dente outras.
Observamos que uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, portanto pode ser expressa por distintas orações, tais como: “José é maior que Anderson”, ou podemos expressar também por “Anderson é menor que José”.
Essas proposições receberão os mesmos valores lógicos: ambas verdadeiras ou falsas.
NÃO SÃO proposições, por não admitirem o atributo verdadeiro ou falso: a) Qual é o seu nome?
b) Cuidado com o buraco! c) Bom dia!
d) Preste atenção à aula! e) Caramba!
Também não são proposições as sentenças do tipo: f) x + 5 = 11
g) A cidade y é a mais populosa do Brasil.
h) Em 2012 foram registradas 1500 + 2z acidentes de trânsito no Rio de Janeiro.
i) Ele é o juiz do TRT da 2ª Região.
As sentenças acima são chamadas sentenças abertas, porque seu valor lógico (V ou F) depende do valor atribuído à variável (x, y, z,...) ou a quem a frase se refere.
Por exemplo, na frase “x + 5 = 11", a sentença será verdadeira se atribuirmos a x o valor seis. Do contrario, ela será falsa.
Na frase “A cidade y e a mais populosa do Brasil”, se nos referimos a São Paulo a sentença e verdadeira. Senão, falsa.
No exemplo i), dependendo de quem seja “Ele”, a sentença será verdadeira ou falsa.
Antes de prosseguirmos, uma questão de concurso envolvendo esse tema:
QUESTÃO 01 (lCMS-SP/2006 – Fundação Carlos Chagas) Das cinco frases abaixo, quatro delas tem uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do Universo. V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum e a: a) I;
b) II; c) III; d) IV; e) V
SOLUÇÃO: O primeiro passo é descobrirmos que “característica lógica” é essa. Vamos analisar as cinco frases. Certamente o amigo leitor concordará que:
• a frase I e exclamativa; • a frase III e interrogativa; e • a frase V e imperativa. Beleza?
Lembra que falamos acima que sentenças exclamativas, interrogativas e imperativas não são proposições? Claro que você lembra! Dai, as frases I, III e V não são proposições.
O amigo já percebeu que o objeto da questão é esse: diferenciar sentenças que são proposições das que não são.
Assim, a característica lógica que se comenta na leitura da questão esta associada ao conceito de proposição. Conforme disse o enunciado, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, que, como percebemos, é o fato de não serem proposições.
Como já encontramos este atributo em três delas, ainda resta uma. E a frase II? É uma sentença declarativa? A resposta é NÃO!
Para que uma frase seja declarativa, é necessária a presença de um verbo. E não ha verbo na frase II! Portanto, ela não e declarativa, não sendo, pois, proposição.
Se a frase fosse a seguinte: “O livro do Bruno Leal é um excelente livro de raciocínio lógico”, ai sim, teríamos uma proposição.
Com relação à frase IV, temos com certeza uma sentença declarativa, sendo, por isso, uma proposição.
Resumindo: as frases I, II, III e V tem uma mesma característica lógica em comum - não são proposições. Ao contrario da frase IV, que é uma proposição. Portanto, a alternativa correta e a alternativa D.
Esse foi só a primeira de dezenas de questões resolvidas que haverá ao longo do curso. Como diria Obi-Wan Kenobi (sim, sou fã de “Star Wars”), “você deu os primeiros passos em direção a um mundo maior”...
As proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc.) ou por letras maiúsculas (A, B, C, D etc.). São outros exemplos de proposições, as seguintes:
p: Bruno é empresário. q : 15 < 8
r: Daniele foi ao teatro ontem.
É importante lembrar que NUNCA, “nem sob tortura” haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa.
Isso porque a Lógica se baseia sobre alguns princípios, que são os seguintes: I) Uma proposição verdadeira e verdadeira; uma proposição falsa e falsa. (Principio da Identidade).
II) Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Principio da Não Contradição).
III) Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade.
(Principio do Terceiro Excluído).
Uma proposição pode ser simples ou composta. É simples quando não contém qualquer outra proposição como componente. Também conhecida como proposição atômica.
Significa que não se pode subdividi-la em partes menores tais que alguma delas seja uma nova proposição.
Exemplo: “Fernanda é irmã de Bruno” é uma proposição simples, pois não é possível identificar como parte dela qualquer outra proposição.
Será composta quando contiver outra proposição como sua parte componente. Isto significa que quando se pode extrair como parte dela uma nova proposição. Exemplo: “Bruno é irmão de Fernanda e de Letícia” é uma proposição composta, pois é possível retirar-se dela duas outras proposições: “Bruno é irmão de Fernanda” e “Bruno é irmão de Letícia”.
3. CONECTIVOS LÓGICOS
Agora vai começar de fato a brincadeira! Antes de prosseguirmos, recomendo dar mais uma lidinha em tudo que foi exposto até agora, para termos certeza que fixamos os conceitos fundamentais. Caso o amigo esteja “afiado”, vamos em frente!
Existem alguns termos e expressões que estão frequentemente presentes nas proposições compostas, tais como: “não”, “e”, “ou”, “se...então”, “se e somente se”, aos quais denominamos conectivos lógicos (ou estruturas lógicas).
Esses tais conectivos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligados de tal modo que o valor lógico (V ou F) de uma proposição composta depende somente:
I) do valor lógico de cada uma das proposições componentes;
II) da forma como estas proposições componentes sejam ligadas pelos conectivos lógicos utilizados.
O que isso quer dizer? Visualizemos através do exemplo abaixo:
Proposições Valores Lógicos
O número 13 é natural V
O número 13 é par F
O número 13 é natural e par F O número 13 é natural ou par V
Certas proposições compostas recebem denominações especiais, de acordo com a estrutura usada pala ligar as proposições componentes. Reconhecê-las é vital para resolvermos as questões de concursos que aparecerão em breve.
Na tabela abaixo, as 6 principais estruturas lógicas e suas denominações.
Estruturas Lógicas Denominações
Não-p Negação p ou q Disjunção Ou p ou q Disjunção Exclusiva p e q Conjunção Se p, então q Condicional p se e somente se q Bicondicional
Isso tem que estar “no nosso sangue”! É importantíssimo!
Vamos analisar com calma cada uma delas. Nesta Aula Zero, falaremos sobre Negação, Conjunção e Disjunção. Nas próximas aulas, abordaremos as demais.
3.1. Negação (Não-p)
Dada uma proposição p qualquer, denominamos negação de p a proposição que se obtém a partir da proposição p acrescida do conectivo lógico “não” ou equivalente.
A negação pode ser representada simbolicamente por ~p ou, como prefere o CESPE, ¬p.
Podem-se empregar como equivalentes de “não-p” as expressões “Não é verdade que p” ou “É falso que p”.
Importantíssimo: uma proposição p e sua negação “não-p” terão sempre valores lógicos contrários. Uma sendo verdadeira e a outra, falsa.
3.2. Conjunção (p e q)
Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer ligadas pelo conectivo “e”.
A conjunção “p e q” pode ser representada por p ∧ q. Exemplo: Dadas as proposições simples:
p: Bruno é professor. q: Bruno é escritor.
A conjunção p e q pode ser escrita como p ∧ q: Bruno é professor e escritor. Nada mais simples, não é?
Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas proposições que a compõem forem verdadeiras. Se pelo menos uma delas for falsa, a conjunção também será falsa.
Exemplo: Considere as proposições simples: p: Bruno é professor (V)
q: Bruno é torcedor do Flamengo (F – Deus me livre!)
Então a conjunção p ∧ q “Bruno é professor e torcedor do Flamengo” será FALSA.
Considere agora a proposição r: Bruno é botafoguense (V). A conjunção p ∧ r, “Bruno é professor e botafoguense”, é verdadeira, enquanto q ∧ r, “Bruno é torcedor do Flamengo e botafoguense”, evidentemente é falsa.
Parece complicado, mas não é!
Tabela-Verdade da Conjunção (p ∧ q)
Na tabela a seguir, conhecida como tabela-verdade, podemos observar todos os valores lógicos possíveis da conjunção p ∧ q para cada um dos valores lógicos
p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F
Infelizmente, não há outra alternativa senão decorar esta e as demais tabelas-verdade. É imprescindível para a prova. Mas, no caso da conjunção, é fácil decorar: basta uma das proposições simples ser falsa (ou as duas) que a conjunção também será falsa.
3.3. Disjunção (p ou q)
Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “ou”.
A disjunção p ou q pode ser representada simbolicamente por p ∨ q. Exemplo: Considere as seguintes proposições simples:
p: 2 é ímpar (F)
q: 6 é divisível por 3 (V)
A disjunção “p ou q” pode ser escrita como: p ∨ q: 2 é ímpar ou 6 é divisível por 3.
Para a disjunção “p ou q” ser verdadeira, basta que pelo menos uma de suas proposições componentes seja verdadeira. Ou seja, a disjunção “p ou q” só é falsa e p é falsa e q também é falsa.
Na tabela a seguir, conhecida como tabela-verdade, podemos observar todos os valores lógicos possíveis da disjunção p ∨ q para cada um dos valores lógicos que p e q podem assumir.
p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F
Como Negar Conjunções E Disjunções – Leis De Morgan
Para negar a conjunção p ∧ q, negamos cada uma das proposições simples e trocamos o conectivo “e” pelo conectivo “ou”. Em símbolos: ~(p ∧ q) é equivalente a (~p ∨ ~q).
E para negar a disjunção p ∨ q, negamos cada uma das proposições simples e trocamos o conectivo “ou” pelo conectivo “e”. Em símbolos: ~(p ∨ q) é equivalente a (~p ∧ ~q).
Essas regrinhas são conhecidas como Leis de de Morgan, em homenagem a Augustus de Morgan (1806 – 1871).
Não fique preocupado, é muito fácil! Vamos ver alguns exemplos: a) Bruno é escritor e professor.
Negação: Bruno NÃO é escritor OU NÃO é professor.
Repare que negamos ambas as proposições simples e trocamos o conectivo “e” pelo “ou”. Facílimo, não?
Vejamos outro exemplo: b) 2 é par ou 5 não é primo.
Negação: 2 NÃO é par E 5 é primo. (Negamos ambas as proposições simples e trocamos o conectivo “ou” pelo “e”)
Poderíamos ter escrito: 2 é ímpar e 5 é primo. Alguns detalhes importantes:
Determinadas questões de concurso trazem no enunciado uma proposição falsa e temos que encontrar a verdadeira. Basta que neguemos a proposição falsa.Por exemplo:
a) “A caneta é preta" é uma proposição falsa. A verdadeira seria a negação dela, ou seja, “A caneta não é preta”;
b) “Aline não e inocente” é uma declaração falsa. Sua negação, “Aline é inocente” será verdadeira.
c) “Choveu ontem” é uma mentira. A verdade é que “Não choveu ontem.”
d) “Não é verdade que Bruno fala inglês” é uma proposição falsa. Logo, a verdade é a negação dessa proposição: “É verdade que Bruno fala inglês” ou, simplesmente, “Bruno fala inglês”.
e) Cuidado com certas proposições! Pode haver confusão em alguns casos, como por exemplo: qual a negação de “o Botafogo perdeu o jogo”? Se respondermos sem pensar diríamos: “o Botafogo ganhou o jogo”. Mas... e se ele EMPATOU o jogo?
Logo, a negação de “o Botafogo perdeu o jogo” é pura e simplesmente “o Botafogo NÃO perdeu o jogo.” Tranquilo? Até porque, o Botafogo “não pode perder... perder pra ninguém”!
Brincadeiras à parte, vamos a outro caso que pode gerar dúvida: a negação de “x é um número negativo” é “x é um número positivo”?
Não... pois vai que, como diz o famoso comercial, x seja igual a zero! Nesse caso, x não seria positivo!
Em suma, para negar uma proposição simples devemos apenas modificar o seu verbo.Vamos entender melhor com o exemplo abaixo:
Considere a proposição “Artur jogou um caderno na barriga de Pedro”.
A negação, de acordo com a Lógica, limita-se a trocar o valor-verdade da afirmação feita. Limita-se a dizer que a afirmativa é falsa. Entretanto, essa falsidade pode recair em vários itens da afirmação, senão vejamos:
Não foi Artur quem jogou o caderno, foi Jorge.
Não jogou, apenas encostou.
Não foi um caderno, e sim um livro.
Não foi na barriga, foi na perna.
Não foi em Pedro, foi em Francisco.
Para “abraçarmos” todas essas possibilidades, devemos apenas modificar o verbo.
Assim, a correta negação desta proposição é “Artur não jogou um caderno na barriga de Pedro”.
Outras Negações Importantes
Negação de x > y é x < y;
Negação de x < y é x > y;
Negação de x ≥ y é x < y;
Negação de x ≤ y é x > y;
Negação de x ≠ y é x = y;
Negação de “Todo A é B” é “Pelo menos um A não é B”;
Negação de “Nenhum A é B” é Pelo menos um A é B”. Vamos praticar tudo isso a partir de agora!
QUESTÃO 02 (ABIN/2010 – CESPE) A negação da proposição "estes papéis são rascunhos ou não têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos" é equivalente a "estes papéis não são rascunhos e têm serventia para o desenvolvimento dos trabalhos".
SOLUÇÃO: Temos uma proposição composta, ligando as proposições simples pelo conectivo “ou”, ou seja, uma disjunção.
Para negar a disjunção, negamos cada proposição simples e trocamos o conectivo “ou” pelo “e”, conforme você já sabe.
Portanto, a negação será: “estes papéis NÃO são rascunhos E têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos”.
Concluímos que o item está CERTO.
QUESTÃO 03 (TCE-PB - Agente/2006 – FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte ha expressões e sentenças: 1. Três mais nove é igual a doze.
2. Pele é brasileiro. 3. O jogador de futebol. 4. A idade de Maria.
5. A metade de um numero.
6. O triplo de 15 é maior do que 10.
É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números: a) 1, 2 e 6; b) 2, 3 e 4; c) 3,4 e 5; d) 1, 2, 5 e 6; e) 2, 3, 4 e 5.
SOLUÇÃO: O item 3 nos apresenta uma expressão, pois não se trata de uma oração, devido à ausência do VERBO, conforme nos ensina a Gramática. O mesmo ocorre com os itens 4 e 5, pois, nesses itens, também não há verbos. Portanto, são orações, consequentemente sentenças, apenas os itens 1, 2 e 6. Repare que podem ser julgadas, sendo todas verdadeiras. Tratam-se, pois, de proposições. Alternativa A.
QUESTÃO 04 (ICMS-SP/2006 – FCC) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso.” Nessa proposição, o conectivo lógico é:
a) disjunção inclusiva; b) conjunção;
d) condicional; e) bicondicional.
SOLUÇÃO: Temos a seguinte proposição composta: “Paula estuda, mas não passa no concurso.” Note que ela ée formada por duas proposições simples: “Paula estuda” e “Paula não passa no concurso.”.
Quem “faz o link” entre as proposições simples para formar uma proposição composta
são os conectivos. Vimos que os conectivos existentes são: e, ou, ou... ou, se... então, se e somente se. Resta-nos saber qual desses conectivos poderia substituir a palavra “mas” na proposição dada.
Esse conectivo é o “e”, pois sabemos sobre Paula que ela estuda E que ela não passa no concurso.
Fica a dica: a palavra mas e as demais conjunções adversativas (porem, entretanto, contudo etc.) escrita em uma sentença pode ser substituída pelo conectivo “e”.
A proposição composta que usa o conectivo e para interligar os seus termos e chamada de conjunção. Alternativa B.
Molezinha, viu? Eu tô falando que não se trata de nenhum bicho-de-sete-cabeças...
QUESTÃO 05 (Banca ESAF) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico
c) nenhum médico é economista
d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas
SOLUÇÃO: Note caro amigo, que o enunciado nos deu uma afirmação (“todos os economistas são médicos”) e afirmou que ela é FALSA. E pede qual das alternativas apresenta uma afirmação VERDADEIRA. O que o enunciado nos pede, portanto é a NEGAÇÃO daquela afirmação falsa, a negação de “todos os economistas são médicos”.
Num primeiro momento, poderíamos pensar que a negação de “todos os economistas são médicos” seria “nenhum economista é médico”, fazendo confusão de negação com antônimo.
Vejamos um exemplo: considere o conjunto dos números naturais primos (números que admitem apenas 2 divisores naturais distintos, o 1 e o próprio número): {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...}. Se eu afirmar que “todos os números naturais primos são ímpares”, certamente você irá dizer que minha afirmação é falsa, por causa do 2, o menor número primo e único par. Qual seria, portanto, a afirmação VERDADEIRA? A negação de “todos os números naturais primos são ímpares”? Seria “nenhum número par é ímpar”??? Claro que não!
A negação de “todo A é B” é “PELO MENOS UM A NÃO É B”, ou “ALGUM A NÃO É B”. Portanto, a negação de “todos os números naturais primos são ímpares” é “pelo menos um número natural primo NÃO é ímpar” ou “algum número natural primo não é ímpar”.
Voltando ao nosso exercício, o leitor amigo já percebeu que a negação de “todos os economistas são médicos” é “pelo menos um economista não é médico”, alternativa A.
QUESTÃO 06 (UFRJ – Vestibular) João não estudou para a prova de Matemática; por conta disso, não entendeu o enunciado da primeira questão. A questão era de múltipla escolha e tinha as seguintes opções:
a) O problema tem duas soluções, ambas positivas.
b) O problema tem duas soluções, uma positiva e outra negativa. c) O problema tem mais de uma solução.
d) O problema tem pelo menos uma solução.
e) O problema tem exatamente uma solução positiva.
João sabia que só havia uma opção correta. Ele pensou um pouco e cravou a resposta certa. Determine a escolha feita por João. Justifique sua resposta. SOLUÇÃO: É importante que nós reparemos que NÃO sabemos qual é a questão de Matemática que o João não sabia. Pode ser um problema cuja solução se dê mediante uma equação do primeiro grau. Nesse caso, haveria apenas uma solução.
Mas poderia ser um problema cuja solução seja, por exemplo, uma equação do segundo grau, apresentando duas soluções. Nada sabemos sobre tais soluções, se são positivas, negativas, uma positiva e outra negativa...
Existe ainda a possibilidade de o problema admitir, por que não, infinitas soluções!
Por isso, a alternativa correta é a letra D. O problema tem PELO MENOS UMA solução, ou seja, NO MÍNIMO UMA solução. Pode ser exatamente uma, ou duas, três, ..., infinitas.
QUESTÃO 07 (Câmara dos Deputados/2012 – CESPE) A negação da proposição “Não conheço esse empresário nem ouvi falar de sua empresa” pode ser expressa por “Conheço esse empresário e ouvi falar de sua empresa”.
SOLUÇÃO: A proposição “Não conheço esse empresário nem ouvi falar de sua empresa” significa pura e simplesmente “Não conheço esse empresário E NÃO ouvi falar de sua empresa”. Uma conjunção, portanto.
A expressão “nem”, que o enunciado colocou na suposta negação, significa “e”, de forma implícita.
Logo, a negação desta proposição é “Conheço esse empresário OU ouvi falar de
sua empresa”.
O item está errado, pois foi utilizado o conectivo “e” na negação.
Conforme você já sabe, para negar uma proposição composta pelo “e” (uma conjunção, acostume-se com a nomenclatura), devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo “e” pelo conectivo “ou”.
QUESTÕES 08 (TRE-BA/2009 – CESPE) A negação da proposição “O presidente é o membro mais antigo do tribunal e o corregedor é o vice-presidente” é “O presidente é o membro mais novo do tribunal e o corregedor não é o vice-presidente”.
SOLUÇÃO: Para negar uma conjunção, negamos ambos os componentes e trocamos o conectivo “e” pelo “ou”, não é verdade?
Então, a negação seria “O presidente NÃO é o membro mais antigo do tribunal OU o corregedor NÃO é o vice-presidente”. Item errado, portanto.
QUESTÕES 09 (MPS/2009 – CESPE) A negação da proposição “Pedro não sofreu acidente de trabalho ou Pedro está aposentado” é “Pedro sofreu acidente de trabalho ou Pedro não está aposentado”.
Solução: Temos agora uma proposição composta que liga as simples pelo conectivo “ou”, uma disjunção portanto. Para negá-la, basta negar ambos os componentes e trocar o “ou” pelo “e”.
Logo, a negação é “Pedro sofreu acidente de trabalho E Pedro não está aposentado”. Item errado, portanto.
QUESTÕES 10 (PGE – BA/2013 – FCC) A negação de “Ruy Barbosa é abolicionista e Senador Dantas é baiano” é:
a) Ruy Barbosa não é abolicionista e Senador Dantas não é baiano. b) Ruy Barbosa é baiano e Senador Dantas é abolicionista.
c) Ruy Barbosa não é abolicionista ou Senador Dantas não é baiano. d) Ruy Barbosa é baiano ou Senador Dantas não é abolicionista. e) Ruy Barbosa é Senador Dantas e Senador Dantas é Ruy Barbosa.
SOLUÇÃO: Moleza! A negação é “Ruy Barbosa NÃO é abolicionista OU Senador Dantas NÃO é baiano”, alternativa C.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
É com enorme satisfação que concluímos nossa primeira aula. Acredito que todos tenham entendido tudo e percebido que não “doeu nada”, rsrsrs.
Pratiquem, leiam várias vezes, tirem suas dúvidas, estou às ordens sempre! Até nossa próxima aula! Rumo à vitória! Força, foco e fé!
5. EXERCÍCIOS SEM COMENTÁRIOS QUESTÃO 01 (lCMS-SP/2006 – Fundação Carlos Chagas) Das cinco frases abaixo, quatro delas tem uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do Universo.
V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum e a: a) I; b) II; c) III; d) IV; e) V
QUESTÃO 02 (ABIN/2010 – CESPE) A negação da proposição "estes papéis são rascunhos ou não têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos" é equivalente a "estes papéis não são rascunhos e têm serventia para o desenvolvimento dos trabalhos".
QUESTÃO 03 (TCE-PB - Agente/2006 – FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte ha expressões e sentenças:
1. Três mais nove é igual a doze.
2. Pele é brasileiro. 3. O jogador de futebol. 4. A idade de Maria.
5. A metade de um numero.
6. O triplo de 15 é maior do que 10. É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números: a) 1, 2 e 6; b) 2, 3 e 4; c) 3, 4 e 5; d) 1, 2, 5 e 6; e) 2, 3, 4 e 5. QUESTÃO 04 (ICMS-SP/2006 – FCC) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso.” Nessa proposição, o conectivo lógico é: a) disjunção inclusiva; b) conjunção; c) disjunção exclusiva; d) condicional; e) bicondicional.
QUESTÃO 05 (Banca ESAF) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
a) pelo menos um economista não é médico
b) nenhum economista é médico c) nenhum médico é economista
d) pelo menos um médico não é economista
e) todos os não médicos são não economistas
QUESTÃO 06 (UFRJ – Vestibular) João não estudou para a prova de Matemática; por conta disso, não entendeu o enunciado da primeira questão. A questão era de múltipla escolha e tinha as seguintes opções: a) O problema tem duas soluções, ambas positivas.
b) O problema tem duas soluções, uma positiva e outra negativa.
c) O problema tem mais de uma solução.
d) O problema tem pelo menos uma solução.
e) O problema tem exatamente uma solução positiva.
João sabia que só havia uma opção correta. Ele pensou um pouco e cravou a resposta certa. Determine a escolha feita por João. Justifique sua resposta.
QUESTÃO 07 (Câmara dos Deputados/2012 – CESPE) A negação da proposição “Não conheço esse empresário nem ouvi falar de sua empresa” pode ser expressa por
“Conheço esse empresário e ouvi falar de sua empresa”.
QUESTÃO 08 (TRE-BA/2009 – CESPE) A negação da proposição “O presidente é o membro mais antigo do tribunal e o corregedor é o vice-presidente” é “O presidente é o membro mais novo do tribunal e o corregedor não é o vice-presidente”. QUESTÃO 09 (MPS/2009 – CESPE) A negação da proposição “Pedro não sofreu acidente de trabalho ou Pedro está aposentado” é “Pedro sofreu acidente de trabalho ou Pedro não está aposentado”.
QUESTÃO 10 (PGE – BA/2013 – FCC) A negação de “Ruy Barbosa é abolicionista e Senador Dantas é baiano” é:
a) Ruy Barbosa não é abolicionista e Senador Dantas não é baiano.
b) Ruy Barbosa é baiano e Senador Dantas é abolicionista.
c) Ruy Barbosa não é abolicionista ou Senador Dantas não é baiano.
d) Ruy Barbosa é baiano ou Senador Dantas não é abolicionista.
e) Ruy Barbosa é Senador Dantas e Senador Dantas é Ruy Barbosa.
Gabarito das Questões
