• Nenhum resultado encontrado

Material daniellecosta Aula6

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Share "Material daniellecosta Aula6"

Copied!
22
0
0

Texto

(1)

Bacharelado em Ciência da Computação

Lógica de Predicados

Lógica de Predicados

Lógica de Predicados

Lógica de Predicados

I n st i t u t o F e d e ra l d e M i n a s G e ra i s - C a m p u s F o r m i ga

(2)

Introdução

É uma extensão da lógica proposicional permitindo trabalhar com objetos e relacionamentos entre eles.

Exemplo:

Se usarmos a lógica proposicional para representar a sentença:

(3)

Introdução

A maioria das linguagens de programação conhecidas como PROCEDURAIS (Pascal, C, etc..) são elaboradas para "dizer" ao computador a tarefa que deve ser realizada.

Em outras linguagens conhecidas como "DECLARATIVAS" os programas reúnem uma série de dados e regras para gerar conclusões. Estes programas são conhecidos como "SISTEMAS

ESPECIALISTA" ou "BASEADOS EM CONHECIMENTO" que simulam em muitos casos a ação do ser humano. A linguagem PROLOG é baseada na "lógica dos Predicados". SCHEME e LISP são outros exemplos.

Há um grupo fundamental de sentenças cuja interpretação é determinada pela estrutura interna de seus enunciados. Essas sentenças estudadas primeiramente por Aristóteles são chamadas de "silogismo categórico". Para interpretá-las, é necessário interpretar os

quantificadores.

Exemplo: Todos os alunos são inteligentes Nenhum aluno é inteligente Alguns alunos são inteligentes

(4)

Sintaxe da Lógica de Predicados

ALFABETO

É definido pelo conjunto de símbolos:

(i) símbolos de pontuação: ( , )

(ii) símbolos de verdade: false, true (obtido por meio de false) (iii) símbolos para variáveis: u, v, y, z, w, v1, x1, y1, z1...

(iv) constantes: a, b, c, ..., i, j,...,t

(v) símbolos para as funções: f, g, m, t1, g1, g2, h1, h2,... (vi) símbolos para predicados: P, Q, R, P1, Q1, R1...

(vii) conectivos: ~, v, ∧, →, ↔ (pode ser obtido a partir dos outros 2)

(5)

Sintaxe da Lógica de Predicados

As constantes e variáveis denotarão objetos, e os símbolos para as funções e predicados

denotarão funções e relações, respectivamente. As proposições ganham parâmetros e tornam-se predicados.

Exemplo:

A) João é pai de Maria

Constante ou relação ou Constante ou variável predicado variável

(6)

Sintaxe da Lógica de Predicados

QUANTIFICADORES

UNIVERSAL: Dada uma sentença IF e uma variável x então o quantificador universal ∀ é

definido por ∀x P(x)

Em uma fórmula (∀x) P(x), por exemplo, o quantificador (∀x) expressa a universalização de x, no

sentido que "todo", "para todo", "qualquer que seja“, "todos" ou "cada se, sem exceção, satisfaz

P(x)".

Exemplo: Todo homem é mortal Todos homens são mortais Os homens são mortais

Homens são sempre mortais

Exemplo: Seja D= {1, 2, 3, 4, 5} e ≥ (x², x). A proposição ∀x ∈ D, x² ≥ x é verdadeira?

(7)

Sintaxe da Lógica de Predicados

EXISTENCIAL: Dada uma sentença IF e uma variável x então o quantificador existencial ∃

é definido por ∃x P(x)

Em uma fórmula (∃x) P(x), o quantificador (∃x) expressa que "alguns", "algum", "um" ou "pelo

menos um x satisfaz P(x).

Exemplo: Existe homem inteligente Há um homem inteligente

Há pelo menos um homem inteligente Há homens inteligentes

Algum homem é inteligente Alguns homens são inteligentes

Exemplo: ∃ m ∈ Ζ| m²=m?

1² = 1

(8)

Sintaxe da Lógica de Predicados

ELEMENTOS BÁSICOS DA LINGUAGEM

A Lógica de predicados possui vários elementos básicos necessários a definição de uma sentença. São eles:

TERMOS: são expressões que denotam objetos. São constituídos ( i ) Uma variável é um termo. Ex.: x

( ii ) Uma constante é um termo. Ex: a (0- área: função aplicada a 0 termos).

( iii ) Se t1, ..., tn são termos então f (t1, ... tn) também é um termo. Ex: f(x,a) função 2 – área ou de aridade 2 ou binária).

(iv) Se y, f(x,a), c são termos então g(y, f(g,10), c) também é um termo. (função ternária)

(9)

Sintaxe da Lógica de Predicados

ÁTOMOS: representam expressões cuja interpretação é um valor verdade. São constituídos segundo as regras:

( i ) os símbolos verdade são átomos. Ex: true, falso

( ii ) Se t1,..., tn são termos e P é um símbolo para predicado n – ário então P(t1,..., tn) é um átomo. Quando o predicado é zero-ário, tem-se um símbolo proposicional que é um átomo.

(10)

Sintaxe da Lógica de Predicados

SENTENÇAS (FÓRMULAS)

As sentenças são formadas pela concatenação de termos, átomos e conectivos. Mas não é qualquer concatenação de símbolos que fornece uma sentença. Assim, para que uma

concatenação de símbolos possa ser considerada uma sentença bem formada deve-se seguir as seguintes regras sintáticas.

( i ) Todo átomo é uma sentença;

( ii ) Se IF é uma sentença, então (¬IF) é uma sentença;

( iii ) Se IF e G são sentenças, então (IF v G) e ( IF ∧ G) é uma sentença;

( iv ) Se IF e G são sentenças então IF → G são sentenças;

( v ) Se IF é uma sentença e x uma variável, então (∀x) IF e (∃x) IF são sentenças;

(11)

Sintaxe da Lógica de Predicados

Exemplo: sentença bem formada A) If (∀x) P(a,b,x)

then (Ey) Q(x,y)

else R(y)

Exemplo: termo bem formado B) If (∀x) P(a,b,x)

then f(x,a)

(12)

Sintaxe da Lógica de Predicados

SUBTERMO: Dado um termo ou uma sentença, t é um subtermo se t é parte do termo ou sentença P(x,y).

SUBFÓRMULA: Dado duas sentenças IF e G, então G é uma subfórmula de IF se G é uma parte de IF.

Exemplo: P(a,x,f(a,x)) and (∃y) Q(g (b,x),y)

Subtermo: a,x,f(a,x), b,g(b,x) e y

Subfórmula: P(a,x,t(a,x)), Q(g(b,x),y), (∃y)Q(g(b,x),y)

(13)

Sintaxe da Lógica de Predicados

EXERCÍCIOS:

1) Classifique as letras abaixo como fórmulas, termos ou nenhum.

A) (∃x) if P(x) then R(x) iff

if (∀x) P(x) then (∃x) R(x)

B) Q(b,y,f (b,y) and (∃a) P(g(a, y), x)

C) if Q(y,z) then if R(x)

(14)

Sintaxe da Lógica de Predicados

ESCOPO DOS QUANTIFICADORES

Exemplo: E: (∀x) (y) if (x) P(x,y,w,z)

then (∀y) Q(x,y,w,z

1)

( i ) o escopo de ∀x em E: (y) if (x) P(x,y,w,z)

then (∀y) Q(x,y,w, z

1)

( ii ) o escopo (∃y) em E: if (x) P(x,y,w,z)

then (∀y) Q(x,y,w,z

1)

( iii ) o escopo de ∀x em E: P(x,y,w,z)

( iv ) o escopo ∀y em E: Q(x,y,w,z

(15)

Sintaxe da Lógica de Predicados

CLASSIFICAÇÃO DE VARIÁVEIS VARIÁVEL LIVRE E LIGADA

Sejam x uma variável e E uma fórmula que contém x:

A variável x é ligada em E se existe pelo menos uma ocorrência ligada (é ligada se x está no

escopo de um quantificador) dex em E.

A variável x é livre em E se existe pelo menos uma ocorrência livre de x em E.

FÓRMULA FECHADA

Uma fórmula é fechada quando não possui variáveis livres.

Exemplo:

(∃z)(∀x) P(x,y,w): x é ligada ao quantificador universal e livre no escopo do

(16)

Sintaxe da Lógica de Predicados

CORRESPONDENCIA ENTRE OS QUANTIFICADORES Exemplo: Existe aluna da computação que é bonita

x P

Suponha que o domínio seja o conjunto das alunas da computação. Podemos representar na Lógica de Predicados da seguinte forma:

- O predicado pode ser obtido removendo substantivos de uma proposição: P= que é bonita x= aluna da computação - Assim temos: (∃x) P(x) lê-se "∃x ∈ Domínio, P(x)"

P(x) é verdadeiro, se é somente se, x é bonita.

Se a afirmação é verdadeira então (∀x) P(x) é falsa então a negação é verdadeira,  ((∀x) P(x)).

(17)

Sintaxe da Lógica de Predicados

(18)

Sintaxe da Lógica de Predicados

Exemplo:

1) E: Todos os programas de computador são finitos

¬E: Alguns programas de computador não são finitos

2) E: ∀ políticos x, x não é honesto

¬E: Alguns políticos são honestos

3) E: Alguns peixes respiram ar

¬E: Nenhum peixe respira ou todos os peixes não respiram ar.

4) E: ∃ um triângulo | a soma dos ângulos de T é igual a 200 graus.

¬E: ∀triângulos T, a soma dos ângulos de T não é igual a 200 graus.

5) E: Alguns hackers têm mais de 40 anos

(19)

Sintaxe da Lógica de Predicados

Sabe-se também que a negação de uma sentença condicional pode ser decomposta numa sentença conjuntiva:

¬(∀x, P(x) → Q(x)) ≡ ∃x | P(x) ∧¬Q(x))

P(x) Q(x)

P: ∀ pessoas x, se x loira então x tem olhos azuis.

(20)

Sintaxe da Lógica de Predicados

EXERCÍCIOS:

1. Todo termo é uma fórmula?

2. Dê exemplo de um termo que contém uma sentença.

3. Seja a fórmula a seguir:

IF: (∃ω) (∃x) (∃x1) (∀x) (∃y) if (∀z) P(x, y,ω, z, a)

then (∀y) Q(z,y,x,z1)

a) Determine todos os subtermos;

b) Determine todas as subsentenças.

(21)

Sintaxe da Lógica de Predicados

EXERCÍCIOS:

5. Existe sentença ou expressão sem símbolo livre?

6. Quais são os símbolos livres de uma sentença fechada?

7. Toda variável é um símbolo livre?

8. Determine as variáveis livres e ligadas.

9. Determine a negação das proposições quantificadas:

a) primos n, n é ímpar

(22)

Referências Bibliográficas

Souza, João N. Lógica para Ciência da Computação. Uma introdução concisa

Rosen, K. H. Matemática Discreta e suas Aplicações. Tradução da 6a. Edição em Inglês. Editora

Referências

Documentos relacionados

Estes juízos não cabem para fenômenos tão diversos como as concepções de visões de mundo que estamos tratando aqui.. A velocidade deste mundo

No código abaixo, foi atribuída a string “power” à variável do tipo string my_probe, que será usada como sonda para busca na string atribuída à variável my_string.. O

1989, p. Meister indicou o caminho “do novo” para os românticos, mas, principalmente, demonstrou que a verdadeira natureza do “novo” ainda estava por vir. O “desvio

Quanto ao tratamento periodontal em pacientes com coagulopatas hereditárias, é correto afirmar: a Polimentos coronarianos devem ser realizados de maneira esporádica, pois

Para atender a esse objetivo, foi realizado o levantamento de informações fitogeográficas e florísticas da vegetação do Parque; a identificação de 30 elementos arbóreos

  Directrizes para planeamento, gestão e monitorização   Perspectivas do público e autoridades das questões.

Embora uma rápida avaliação do funcional B3LYP perante outros métodos, mostre a importância de seus funcionais de troca e correlação, pois mesmo superestimando o valor de

Na verdade, a assistência social passa a ser condição necessária para a eficácia das demais políticas de inclusão social, sejam aquelas oriundas da área da saúde,