SIMULAÇÃO DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS VISCOELÁSTICOS
EM REÔMETRO MULTIPASSE
J. O. PEREIRA1, A. M. de CASTRO1, A. R. SECCHI1 e N. S. M. CARDOZO2
1 Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Química 2 Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química
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RESUMO – Determinar o modelo mais apropriado e seu conjunto de parâmetros para
descrever o comportamento reológico de um dado fluido viscoelástico, continua sendo assunto desafiador na área de reologia de polímeros. Dessa forma, o Reômetro Multipasse, desenvolvido por Mackley e colaboradores na University of Cambridge, está sendo usado para a aquisição de dados de diferença de pressão e birrefringência induzida pelo escoamento para amostra de poliestireno fundido a diferentes temperaturas durante o escoamento nas geometrias slit-die e cross-slot. Esses dados são usados para a estimação de parâmetros não lineares de modelos constitutivos através da simulação do escoamento usando o solver viscoelasticFluidFoam, disponível no software OpenFOAM. Simulações com o modelo de Giesekus e diferentes modos de relaxação foram realizadas, mostrando que três modos de relaxação são suficientes para a descrição do comportamento do fluido nessas condições de escoamento.
1. INTRODUÇÃO
Nas operações convencionais de processamento de polímeros, como extrusão e a moldagem por injeção, os materiais ficam submetidos à elevadas temperaturas e a vários tipos de deformações. Dessa forma, a morfologia e, consequentemente, as propriedades mecânicas finais desses materiais e de suas misturas são determinadas por essas deformações e tensões. Assim, torna-se necessário conhecer o comportamento desses materiais nas situações de escoamento, para prever e compreender a sua estrutura e propriedades finais (BRETAS e D’ÁVILA, 2010).
O comportamento reológico dos fluidos poliméricos, em geral, é bastante distinto dos fluidos Newtonianos, pois além de combinarem efeitos elásticos e viscosos na resposta mecânica, sendo conhecidos como fluidos viscoelásticos, esses materiais apresentam viscosidade dependente da taxa de deformação aplicada, conhecida como viscosidade não Newtoniana. Essa resposta reológica complexa pode variar consideravelmente de um material para outro ou mesmo entre diferentes grades de um mesmo material, sendo necessário estabelecer um conjunto ótimo de parâmetros de processamento
para cada matéria-prima utilizada, o que na maioria das vezes, exige procedimentos de tentativa e erro, que representam um custo elevado para as operações industriais. Dessa forma, há motivação para compreender melhor como as propriedades reológicas dos polímeros afetam seu processamento e a qualidade do produto final. É neste contexto em que o presente trabalho está inserido, de forma a utilizar um conjunto de dados experimentais obtidos no Reômetro Multipasse (MPR) que permitam a estimação dos parâmetros constitutivos, visando à avaliação dos modelos constitutivos para a predição de propriedades e comportamento de fluidos viscoelásticos, através da simulação de escoamento desses fluidos usando o solver viscoelasticFluidFoam, disponível no software OpenFOAM.
1.1. Reômetro Multipasse
De acordo com FARIAS (2014), os reômetros convencionais oferecem um conhecimento detalhado dos escoamentos padrão de cisalhamento e elongação. Porém, uma compreensão mais profunda das propriedades viscoelásticas de fluidos poliméricos em condições realistas de escoamento envolvendo tanto cisalhamento quanto deformações elongacionais é essencial para a melhoria de equipamentos industriais e otimização de processos industriais.
O reômetro multipasse (MultiPass Rheometer MPR), reômetro capilar de duplo pistão, desenvolvido por Mackley e colaboradores (MACKLEY e HASSEL, 2011), integrantes do Polymer
Fluid Group, Department of Chemical Engineering, University of Cambridge (UK), foi projetado como
um reômetro capilar com três seções: barris superior e inferior e a seção central de teste, inicialmente projetado para acomodar capilares de diferentes comprimentos e diâmetros conforme mostrado na Figura 1a. Os pistões se movimentam com velocidade que pode variar de 0,05mm/s a 200 mm/s, de forma a conduzir o material a fluir através da seção de teste. A diferença de pressão através da seção de teste é medida por transdutores de pressão, sendo que a pressão máxima de operação é 200 bar. Ao trocar a geometria padrão (capilar) por geometrias slit-die e cross-slot em uma direção e um par de janelas de quartzo em outra direção, conforme mostrada na Figura 1b, foi possível a visualização do escoamento com condições de contorno bem definidas, através das imagens de birrefringência induzida pelo escoamento, o que apresenta potencial para ser simulado numericamente (COLLINS e MACKLEY, 2005; FARIAS, 2014; LORD et al., 2010; MACKLEY e HASSEL, 2011).
O equipamento permite caracterizar o comportamento durante o processamento de fluidos complexos e tem sido utilizado para estudos reológicos de uma ampla variedade de fluidos, sendo que, no estudo do processamento de polímeros fundidos, as principais aplicações consistem na caracterização reológica, escoamento em diferentes geometrias e aplicações em fluidodinâmica computacional. De acordo com MACKLEY e HASSEL (2011) o MPR permite a realização de diferentes experimentos: escoamento em capilares simples, slit-die, cross-slot e birrefringência induzida pelo escoamento, o que mostra a flexibilidade do equipamento e sua importância para a aquisição de dados experimentais para o entendimento do comportamento de diferentes materiais e no estudo de modelos constitutivos.
Figura 1 – Componentes do MPR. Em (A) capilar de 100 mm de comprimento e 1 mm de diâmetro. Em (B) seção óptica com slit-die.
1.2. Modelos Constitutivos Não Lineares Para Fluidos Viscoelásticos
Para a modelagem do escoamento de fluidos viscoelásticos é necessária a resolução de uma equação constitutiva adicional que relacione a tensão macroscópica com a taxa de deformação, pois nesses materiais essa relação é dependente tanto da intensidade e do tipo de deformação, como do tempo (BRETAS e D’ÁVILA, 2010). Dessa forma, grande esforço tem sido concentrado no desenvolvimento de modelos constitutivos (GIESEKUS, 1982; MCLEISH e LARSON, 1998). Contudo eles devem ser capazes de descrever os diferentes efeitos viscoelásticos que surgem no escoamento desses materiais durante o processo de transformação, possibilitando maior compreensão do processo e otimização das condições operacionais. Neste contexto, inserem-se os modelos viscoelásticos não lineares que, apesar de apresentarem grande complexidade, são capazes de descrever, ao menos qualitativamente efeitos elásticos e características não lineares, como diferenças de tensões normais e viscosidade não newtoniana. Ainda, segundo BRETAS e D’ÁVILA (2010), esses modelos são adequados nos casos em que as taxas de deformação são elevadas, como nas operações de processamento de polímeros fundidos.
O modelo de Giesekus, proposto por GIESEKUS (1982), se baseia na teoria elástica dumbbell, em que o fluido polimérico é representado como uma configuração esfera/mola. Nesse modelo foi introduzido um efeito anisotrópico na definição da força de arrasto sobre as esferas. Este modelo resulta em uma equação que contém um termo não linear dado pelo produto entre o tensor das tensões, conforme mostrado na Equação 1.
𝝉𝑃𝑘+ 𝜆𝑘𝝉∇𝑃𝑘+ 𝛼𝑘 𝜆𝑘
𝜂𝑃𝑘(𝝉𝑃𝑘∙ 𝝉𝑃𝑘) = 2𝜂𝑃𝑘𝑫 (1)
relaxação k e representam o espectro de relaxação do material, 2𝑫 é o tensor taxa de deformação, 𝝉𝒑𝒌 é tensor das tensões poliméricas para cada modo de relaxação k, 𝝉∇𝑃𝑘 é a derivada convectiva superior no tempo do tensor das tensões e o parâmetro 𝛼𝑘, cuja magnitude varia entre 0 e 1, é chamado de fator de mobilidade e está associada ao movimento Browniano anisotrópico ou ao arrasto hidrodinâmico anisotrópico das moléculas de polímero no meio.
1.3. Resolução Numérica de Escoamento de Fluidos Viscoelásticos em Fluidodinâmica Computacional
Associada à modelagem, a simulação do escoamento de fluidos viscoelásticos também tem demandado muita pesquisa e diferentes metodologias têm sido propostas. A fluidodinâmica computacional (CFD) tem sido utilizada devido à facilidade de uso, a capacidade de gerar geometrias e malhas, que permitem representar fisicamente o problema, a eficiência e robustez das técnicas numéricas implementadas. O procedimento de resolução numérica usual de CFD consiste na discretização do domínio e das equações diferenciais parciais que descrevem o problema a ser estudado. Nesse contexto, insere-se o método dos volumes finitos, que consiste em obter a aproximação numérica das equações diferenciais parciais a partir da integração das equações de transporte que regem o escoamento do fluido em todos os volumes de controle obtidos pela discretização do domínio (SCHÄFER, 2006).
FAVERO (2009) desenvolveu e implementou o solver viscoelasticFluidFoam no software OpenFOAM para resolver escoamento isotérmico de fluidos viscoelásticos. No solver estão presentes modelos constitutivos diferenciais não lineares para escoamento de fluidos viscoelásticos na formulação multimodo.
2. METODOLOGIA
O experimento SingleShot, realizado por FARIAS (2014) no Reômetro Multipasse (MPR4) na Universidade de Cambridge, consiste no movimento de ambos os pistões para cima em uma velocidade única forçando o escoamento do material através da seção de teste, com aquisição dos dados de diferença de pressão ao longo de um determinado período. Esse experimento foi realizado com um
grade de poliestireno com massa molar de 180000 g/mol a 176ºC e o escoamento do fundido foi
realizado através das geometrias slit-die e cross-slot, esquematizadas na Figura 2.
A simulação bidimensional do escoamento foi realizada no software de CFD OpenFOAM com o modelo constitutivo de Giesekus implementado no solver viscoelasticFluidFoam. A primeira etapa para a simulação consiste na geração da malha do problema, de modo a transformar o domínio contínuo para um domínio discreto, definido pelos volumes de controle. As malhas para as geometrias apresentadas foram obtidas no blockMeshDict com elementos hexaédricos e a condição de simetria foi utilizada, conforme mostrado na Figura 2. Testes de convergência de malha foram realizados usando malhas slit-die com 75.248, 170.490, 300.992 e 472.270 elementos e malhas cross-slot com 16.416, 65.664, 262.256, 1.050.624 elementos. Os resultados obtidos com a malha mais refinada e com convergência estabelecida são apresentados a seguir.
Figura 2 – Geometria e malha computacional. Em (A) slit-die: malha com 472.270 elementos, h=1,5mm; R=0,5 mm. Em (B) cross-slot: malha com 1.050.624 elementos, h=1,5 mm e
R=0,75mm.
As condições de contorno empregadas na simulação são apresentadas na Tabela 1. Tabela 1 – Condições de contorno empregadas para a simulação.
U τ p
Entrada
(inlet) Perfil uniforme: velocidade dos pistões 1mm/s Condição de Dirichlet: valor igual a zero
Condição de Neumann: gradiente normal igual a zero Saída (outlet) Condição de Neumann: escoamento plenamente desenvolvido Condição de Neumann: gradiente normal igual a zero
Condição de Dirichlet: valor igual a zero Parede (wall) Não escorregamento: velocidade nula Condição de Neumann: gradiente normal igual a zero
Condição de Neumann: gradiente normal igual a zero
Condição de Neumann: especifica a derivada normal à função no domínio. Condição de Dirichlet: especifica o valor da função no contorno.
As simulações foram realizadas utilizando o método Euler implícito para resolução do termo temporal, como passo de tempo adaptativo que foi controlado para manter o número máximo de Courant da malha abaixo de 0,8 e um passo de tempo máximo de 10−3s. O método utilizado para resolução do sistema linear discretizado foi o de gradientes conjugados, CG, com pré-condicionamento, AMG, para a pressão e pré-condicionamento Cholesky para a velocidade e tensão. As tolerâncias dos
solvers do sistema linear foram definidas como 10−8 para pressão e 10−7 para a velocidade e tensão dentro de um mesmo passo de tempo. Os termos advectivos foram interpolados com linearUpwindV cellLimited e upwind. Os demais termos foram interpolados com diferenças centrais.
Os parâmetros lineares (𝜆𝑘 e 𝜂𝑃𝑘) que consistem no espectro de relaxação do polímero e o
parâmetro não linear do modelo de Giesekus (𝛼𝑘) foram estimados por FARIAS (2014). As simulações foram realizadas com 3 modos de relaxação. A fim de verificar a influência dos modos de relaxação na descrição do comportamento do fluido nessas condições de escoamento, foi realizada a simulação com a geometria slit-die, usando 7 modos de relaxação.
3. RESULTADOS
Os parâmetros do modelo constitutivo para cada modo de relaxação são mostrados na Tabela 2. Tabela 2 – Parâmetros do modelo de Giesekus. Fonte: FARIAS (2014).
NM 𝜆𝑘 (s) 𝜂𝑃𝑘 (Pa.s) 𝛼𝑘,𝐺𝑖𝑒𝑠𝑒𝑘𝑢𝑠 1 0,0006512 101,46 0,5 2 0,00556 299,74 0,5 3 0,0273 1096,15 0,5 4 0,1245 2857,20 0,5 5 0,5402 4375,31 0,5 6 2,337 3073,87 0,55 7 14,952 792,17 0,5
Os perfis de pressão, velocidade, diferença de tensões normais N1 foram avaliados ao longo da
linha central do escoamento e os perfis de tensão de cisalhamento τxy e velocidade foram avaliados ao
longo da espessura da geometria. Os resultados obtidos para o escoamento na slit-die são mostrados nas Figuras 3 e 4 e para o escoamento na cross-slot estão apresentados nas Figuras 5 e 6.
Figura 3 - (A) Perfil de pressão. (B) Perfil de velocidade Ux. (C) Diferença de tensões normais ao
Figura 4 - (A) Perfis de tensão de cisalhamento τxy. (B) Perfil de velocidade Ux ao longo da espessura
da slit-die.
Figura 5-(A) Perfil de pressão. (B) Perfil de velocidade Uy. (C) Diferença de tensões normais ao longo da linha central vertical do escoamento cross-slot.
Figura 6 -(A) Perfis de tensão de cisalhamento τxy. (B) Perfil de velocidade Uyao longo da espessura
da cross-slot.
Os resultados apresentados para a simulação do escoamento ao longo da geometria slit-die com 7 modos de relaxação não apesentaram variações significativas quando comparados aos obtidos com 3 modos de relaxação, conforme mostrado nas Figuras 3 e 4. Dessa forma, a simulação para o escoamento através da geometria cross-slot foi realizada com 3 modos de relaxação.
Os perfis de pressão, velocidade e diferença de tensões normais obtidos ao longo da linha central do escoamento nas geometrias slit-die e cross-slot através da simulação com o modelo constitutivo de Giesekus apresentaram o comportamento esperado e corroboraram qualitativamente com os resultados obtidos na literatura (LORD et al., 2010).
4. CONCLUSÕES
Os resultados apresentados para a simulação com o modelo de Giesekus foram satisfatórios. Porém simulações com outros modelos constitutivos devem ser realizadas e comparadas com dados experimentais. O estudo em desenvolvimento possui potencial de aplicação na indústria de polímeros, uma vez que, a partir da predição do comportamento do material submetido a diferentes condições de processamento, pode-se obter informações a serem aplicadas na otimização e monitoramento das condições de operação e projeto de novos equipamentos.
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRETAS, R. E. S.; D’ÁVILA, M. A. Reologia de Polímeros Fundidos. São Paulo, EdUFSCAR, 2010. COLLIS, M.; MACKLEY, M. The melt processing of monodisperse and polydisperse polystyrene
melts within a slit entry and exit flow, J. Non-Newtonian Fluid Mech. v. 128, p. 29–41, 2005. FARIAS, T. M. Estudo teórico-experimental do comportamento reológico de fluidos viscoelásticos.
Tese de Doutorado, UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil, 2014.
FAVERO, J. L. Simulação de Escoamentos Viscoelásticos: Desenvolvimento de Uma Metodologia de
Análise Utilizando o Software OpenFOAM e Equações Constitutivas Diferenciais. Dissertação
de Mestrado, UFRGS, Rio Grande do Sul, Brasil, 2009.
GIESEKUS, H. A simple constitutive equation for polymer fluids based on concept of deformation-dependent tensorial mobility, J. Non-Newtonian Fluid Mech., v. 11, pp. 69–109, 1982.
LORD, T. D; SCELSI, L.; HASSEL, D. G.; MACKLEY, M. R.; EMBERY, J.; AUHL, D.; HARLEN, O. G.; TENCHEV, R.; JIMACK, P. K.; WALKLEY, M. A. The matching of 3D Rolie-Poly viscoelastic numerical simulations with experimental polymer melt flow within a slit and a cross-slot geometry, Journal of Rheology, v. 54, n. 2, pp. 355–373, 2010.
MACKLEY, M. R.; HASSELL, D. G. The multipass rheometer a review, J. Non-Newtonian Fluid
Mech., v. 166, n. 9-10, pp. 421–456, 2011.
MCLEISH, T. C. B.; LARSON, R. G. Molecular constitutive equations for a class of branched polymers: The pom-pom polymer, Journal of Rheology, v. 42, n. 1, pp. 81–110, 1998.
SCHÄFER, M. Computational Engineering - Introduction to NumericalMethods. Springer, 2006.
