e: A HISTÓRIA E APLICAÇÃO DE UM NÚMERO

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e: A HISTÓRIA E APLICAÇÃO DE UM NÚMERO

Ismaete Maria de Sousa Cunha1 Universidade Católica de Brasília RESUMO

Este trabalho é um estudo sobre o Número “e”, que mostra o seu surgimento em três épocas distintas. A primeira na antiguidade que os matemáticos já conheciam esse número e sua utilidade. A segunda no século XVII com o surgimento da construção do logaritmo. E finalmente com a invenção do cálculo diferencial e integral no século XVIII. O trabalho mostra algumas características interessantes desse número, como sua irracionalidade e alguns exemplos com sua aplicação.

Palavras-chave: História da Matemática, O Número Irracional “e”.

1. INTRODUÇÃO

Ao longo do curso de Licenciatura em Matemática, tem se notado que grande parte das disciplinas não explora a História da Matemática, que é tão importante, porque uma breve noção da história pode fazer com que o aluno tenha um melhor aproveitamento nas disciplinas, pois, com isso ele vai saber como surgiu determinado assunto e para que ele serve.

“Existem vários motivos para isso, sendo que um deles o modo esotérico e seco com que o tema é ensinado. Temos a pretensão de sobrecarregar nossos estudantes com fórmulas, definições, teoremas e demonstrações, mas raramente mencionamos e evolução histórica desses fatos, deixando a impressão de que eles foram entregues á humanidade como os Dez Mandamentos, por alguma autoridade divina. A história da Matemática é uma boa maneira de corrigir essa impressão.” (Maor,1994).

Este fato também acontece com o Número Irracional “e”, pois, aprendemos a utilizá- lo sem um embasamento teórico adequado, ou seja, sem ter um conhecimento de sua origem e de sua aplicação. Isso pode influenciar no desempenho do aluno, como também na visão do que é a Matemática e para que ela serve. Ele só aprende como utilizá- la, e isso não é suficiente, porque tem que ser um conjunto, saber utilizar e para que serve determinado assunto.

Há vários fatores que contribuem para que isso aconteça. Um deles é que as disciplinas têm muitos conteúdos para serem explorados e, às vezes não é possível fazer as aplicações, coisa que é tão essencial na Matemática. Um outro fator é a falta de exploração por parte dos livros (autores).

Assim, este estudo pretende contribuir para o embasamento teórico e aplicações do número “e”, preenchendo as lacunas existentes nos livros, possibilitando ao aluno um melhor aproveitamento nas disciplinas que se utilizam desse número. Fazendo um estudo sobre

1

Licencianda do Curso de Matemática da Universidade Católica de Brasília. E-mail: ismaete@pop.com.br

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esse número, pesquisando sua origem e aplicação nos vários ramos do conhecimento. Explicitando o grau de importância que representa na Matemática. Mostrar a sua Irracionalidade, a sua abrangência e suas propriedades nos conteúdos que o envolve. Indicando aplicações em vários ramos da Matemática.

2. HÍSTÓRICO DO NÚMERO e 2.1. O Surgimento do e na Antiguidade

As origens do “e” não são tão claras, mas há indícios de que já era conhecido pelos matemáticos pelo menos meio século antes da invenção do cálculo. Uma explicação é de que teria aparecido primeiro ligado a uma fórmula para o cálculo de juros compostos. Alguém não se sabe quem ou como, deve ter notado que se um capital P é composto de n vezes por ano, durante t anos, a uma taxa anual de juros r e se permitirmos que n aumente sem limites, a soma do dinheiro S, obtida a partir da fórmula S = P (1 + r/n)nt. O limite parece se aproximar de 2,718. Fato que, provavelmente mais uma observação experimental do que uma dedução matemática assombrou os matemáticos no início do século XII, pois a noção de limite não era conhecida.

Exemplo: Para um determinado capital P de valor R$1,00 for composto n vezes por ano, durante um 1 ano sobre uma taxa de juros de 1% ao ano. No final qual será a soma S sendo que n aumente sem limites? A Quadro 1 ilustra alguns resultados.

Capital - P Nº de vezes - n Tempo - t Juros - r Soma - S

1 45 1 1 2.688681171 1 90 1 1 2.703332461 1 135 1 1 2.708282 1 180 1 1 2.710769298 1 225 1 1 2.712265705 1 325 1 1 2.71411162 1 425 1 1 2.715090736 1 625 1 1 2.716110388 1 1625 1 1 2.177445926 1 4625 1 1 2.717988066 1 5625 1 1 2.718040277 1 10625 1 1 2.718154005 1 20625 1 1 2.718216019 1 1000625 1 1 2.718293008 1 100000625 1 1 2.718298804 1 10000000625 1 1 2.718281997

Quadro 1 – Representação de alguns resultados da fórmula S = P (1 + r/n)nt. 2.2. Surgimento do e no Logaritmo

John Napier (1550-1617) foi um lorde escocês, homem muito culto e conhecedor das matemáticas da época. Envolveu-se na procura de um sistema que facilitasse a multiplicação de senos, mais tarde estendida a quaisquer números. Esse trabalho

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estendeu-se por mais de vinte anos, antes de publicar estendeu-seus resultados. Napier publicou sua obra em 1614 o “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (Descrição da Maravilhosa Regra dos Logaritmos) que causou grande surpresa e entusiasmo, porque se tratava de técnicas simplificadoras de resolução de problemas de cálculo numérico, problemas estes relacionados com o desenvolvimento do comércio e do progresso da navegação e principalmente astronomia.

Para minimizar o uso das frações decimais, que não era tão conhecida na época, Napier fez o que fazemos hoje quando dividimos um quilometro em mil metros, ele dividiu a unidade num grande número de subunidades, considerando cada uma como uma nova unidade. Napier chegou perto de descobrir o número 1/e definido como limite de (1 – 1/n)n quando

n tente ao infinito. A sua definição de logaritmo equivale à equação N = 107(1 – 10-7)L, então o expoente L é o logaritmo de N. Se dividirmos N e L por 107, a equação se torna

?

₇ 10

?

₁₀7 7 1 10 10 L N _? ? ? . E

?

? ?

?

7 7 ₁₀ 7 10 7 10 1 1 10

1? ? ? ? é um valor muito próximo de 1/e.

A princípio ele chamou seus índices de potências “Números Artificiais”, mas, mais tarde fez a composição de duas palavras gregas: logos (ou razão) e arithmos (ou números). A obra de Napier envolvia de forma não explícita o número que hoje se designa por e. Napier não se apercebeu da importância do Número e só um século depois, com o desenvolvimento do cálculo, se veio a reconhecer o papel relevante de tal número.

2.3. O Surg imento do e no Cálculo

Alguns autores afirmam que o cálculo foi inventado por Isaac Newton e por Gottfried Wilhelm Leibniz durante a década de 1665-1675, mas a idéia central por trás do cálculo retrocede até a época dos antigos gregos. Arquimedes de Siracusa teria sido um dos primeiros a usar o conceito de limite para cálculo de áreas e volumes de várias formas planas e sólidas. A realização de Arquimedes foi um marco na história da matemática e ficou conhecido como o Método da Exaustão. O Método da Exaus tão chegou muito perto do cálculo integral. Os gregos, apesar de terem obtido conhecimento não chegaram a desenvolver o cálculo porque não tinham o conceito de infinito e não possuíam uma boa linguagem da álgebra.

A idéia de infinito para os gregos era considerada um tabu e por isso era difícil aceitar o fato de que uma soma infinita de números possa convergir para um número finito, ou seja, para um limite.

Definimos e como o número para o qual ln e = 1. E queremos mostrar o e como um limite

de

?

x x x ? ? ? ? ? 1 01 lim .

Se f(x) = ln x, então a derivada de f é dada por f ’(x) = 1/x; logo f ’(1) = 1. Vamos aplicar a definição de derivada para encontrar f ’(1). Temos que:

? ?

?

? ? ?

x f x f f x ? ? ? ? ? ? ? 1 1 lim 1 ' 0

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?

x x x ? ? ? ? ? ? ? 1 ln 1 ln lim 0

?

x

?

x x ? ? ? ? ? ? ln1 1 lim 0

?

x x x ? ? ? ?? ? 1 0ln1 lim

?

x

?

x x ? ? ? ?? ? 1 01 lim ln Uma vez que f ’(1) = 1, obtemos

?

lim 1

?

1 ln 1 0 ? ? ? ? ? ? x x x De maneira que

?

x

?

x e x ? ? ? ? ? ? 1 01 lim Exemplo: A série de potências

?

?? ?0 ! n n n x (2.3.1). Para quais valores de x é convergente? Para série dada,

! n x u n n ? (2.3.2) e

? ?

1! 1 1 ? ? ? ? n x u n n (2.3.3).

Aplicando o teste da razão2,

? ?

0 1 1 1 lim ! . ! 1 lim lim 1 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? _x x _n n n x u u n n n n n n (2.3.4).

Logo, a série de potências dada é absolutamente convergente para todos os valores de x. Agora vamos mostrar que para todos os valores reais de x

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?? ? 2! 3! ! 1 ! 3 2 0 n x x x x n x e n n n x (2.3.5). 2

Teste da Razão: Seja

?

?? ?1

n n

u uma série infinita dada para a qual todo un é não-nulo. Então,

(i) se lim ?1 ? ?1 ?? ? _u L u n n

n ,a série dada é absolutamente convergente;

(ii) se lim ?1 ? ?1 ?? ? _u L u n n n ou se ? ?? ? ?? ? n n n _u u ₁

lim , a série dada é divergente;

(iii) se lim ?1 ?1 ?? ? n n n _u u

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Como foi mostrado a série de potências

?

?? ?0 ! n n n x

é absolutamente convergente para todos os valores de x. Assim, se f for um função definida por

f(x) =

?

?? ?0 ! n n n x (2.3.6) o domínio de f será o conjunto de todos os números reais; isto é, o intervalo de convergência será (- ?, + ?). Do Teorema 1 (o teorema e a demonstração está em anexo), segue que para todos os valores reais de x temos

? ?

_?

?? ? ? ? 1 1 ! ' n n n nx x f (2.3.7). Uma vez que

? ?

1! 1 !? n? n n

, isso pode ser escrito como:

? ?

_?

_{? ?}

? ?

_?

?? ? ?? ? ? ? ? ? ? 0 1 1 ! ' ! 1 ' n n n n n x x f n x x f (2.3.8). Das igualdades (2.3.8) e (2.3.7), f’(x) = f(x) para todos os valores reais de x. Assim sendo, a função f satisfaz a equação diferencial3

y dx dy

? (2.3.9) a qual , pelo Teorema 2 (o teorema e a demonstração está em anexo), tem como solução geral y = Cex. Logo para alguma constante C, f(x) = Cex. De (2.3.7), f(0) = 1. Portanto, C = 1; assim, f(x) = ex.

3. NOMENCLATURA

Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

A paixão de Euler pela matemática era tão forte que o levava, em um único dia, a escrever vários trabalhos com uma matemática inovadora e engenhosa, levando-o a uma de suas maiores realizações que foi o desenvolvimento do método dos algoritmos cuja finalidade era lidar com problemas aparentemente insolúveis. Suas conjeturas são ousadas, não hesitando em sugerir questões difíceis, sem apresentar, porém, indicações quanto ao meio de atacá- las.

De 1727 a 1783 Euler esteve ocupado aumentando os conhecimentos disponíveis em quase todos os ramos da matemática pura e aplicada, dos mais elementares aos mais avançados. Escrevia na linguagem e notação que usamos hoje, pois nenhum outro foi tão grandemente responsável pela forma da matemática do nível universitário de hoje quanto Euler, o construidor de notações mais bem-sucedido em todos os tempos.

Em 1727 ele havia estado ocupado com experiências sobre disparo de canhões e numa exposição manuscrita de seus resultados, usava a letra e mais de uma dúzia de vezes para representar a base do sistema de logaritmos naturais. O conceito por trás desse número era

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bem conhecido desde a invenção dos logaritmos. Um século antes, no entanto, nenhuma notação padronizada para ele se tornou comum.

Numa carta a Goldbach, em 1731 Euler novamente usou a letra e para “aquele número cujo logaritmo hiperbólico = 1”. Este apareceu impresso pela primeira vez na Mechanica de Euler de 1736. Essa notação, sugerida talvez pela primeira letra da palavra “exponencial”, logo se tornou padrão.

4. O NÚMERO e É IRRACIONAL

Os Números Irracionais são aqueles que não se pode expressar como fração de números inteiros, cuja representação decimal é sempre infinita e não-periódica, que pode ser obtida por aproximações sucessivas.

Exemplo: O número irracional 2

2 2 2 2 1 ? ? logo 1? 2 ? 2 2 2 5 , 1 2 4 , 1 ? ? logo 1,4? 2 ?1,5 2 2 42 , 1 2 41 , 1 ? ? logo 1,41? 2?1,42 2 2 415 , 1 2 414 , 1 ? ? logo 1,414? 2 ?1,415 2 2 4143 , 1 2 4142 ,

1 ? ? logo 1,4142? 2?1,4143 e assim por diante. Antes de demonstrar que e é irracional é necessário rever alguns conceitos.

A seqüência cujo termo geral é ! 1 ! 2 1 ! 1 1 1 n a_n ? ? ? ?? ? (4.1) é crescente e limitada, pois

3 2 1 2 1 ! 1 1 1 2? a_n ? ? ? ₂ ?? ? _n_?₁ ? (4.2). Consideremos a seqüência cujo termo geral é bn = (1 + 1/n)n = [(n +1)/n]n. Pela fórmula do

binômio:

? ?

? ??

?

. 1 1 1 1 ! 1 2 1 1 1 ! 3 1 1 1 ! 2 1 1 1 1 ! 1 2 1 1 ! 2 1 1 . 1 ₂ ? ? ? ? ? ? _? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n n n n n n n n n n n n n n n n bn _n ? ? ? ? (4.3)

Logo bn é uma soma de parcelas positivas, o número de parcelas cresce com n. Portanto a

seqüência (bn) é crescente e bn < an. Segue-se que bn < 3 para todo n ? N. Afirma-se que

lim bn = lim an = e, quando n > p vale

. 1 1 2 1 1 1 ! 1 1 1 ! 2 1 1 1 ? ? ? ? ? ? _? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n p n n p n bn ? ? (4.4)

Fixando arbitrariamente p ? N e fazendo n? ? na desigualdade acima obtem-se

. ! 1 ! 2 1 1 1 lim_n_?_? b_n ? ? ? ?? ? p ? a_p (4.5).

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Como esta desigualdade vale para todo p ? N, segue-se que limn?? bn ?lim p? ? ap ? e.

Mas já vimos que bn < an para todo n ? N. Logo limbn ? liman. O que prova que lim bn =

e.

Escreveremos e = lim bn, esse número é uma das constantes mais importantes da Análise

Matemática. E está no intervalo de 2 < e ? 3, o dado a seguir mostra valor expresso com 40 dígitos: e? 2,718281828459045235360287471352662497757

4.1. Demonstração da Irracionalidade do e:

Gráfico 1 - Representação gráfica da função f

? ?

x ?1 x para x > 0 Considerando o número e como a soma de uma seqüência infinita de termos, temos:

? ? ? ? ? ! 2 1 ! 1 1 1 e (4.6). Vamos admitir que e fosse um número racional. Então e = p/q, onde p, q ? N, são primos entre si. De (4.6) segue-se

. ! 1 ! 1 ! 2 1 ! 1 1 1 1

?

? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? q j j q q p ? (4.7). Agora, faremos uma estimativa do segundo membro de (4.7):

? ??

?

? ?

1 . 1 1 1 ! 1 2 1 1 1 1 ! 1 ! 1 2 1 ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?

?

? ? ? ? ? q q q q q q q j q j (4.8). A expressão entre parêntese no último membro de (4.8) é uma série geométrica da forma

?

?1

n n

r , a qual para 0 ? r ? 1, tem soma igual a r/(1 – r). Usando esse fato em (4.8) obtemos:

?

? ? ? ? 1 1 ! 1 ! 1 q j j q q (4.9).

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Voltando a (4.7) com a estimativa (4.9) temos: q q q q p 1 ! 1 ! 1 ! 2 1 ! 1 1 1 0 ? ??? ? ??? ? _? _? _? _? ? ? ? (4.10) e daí . 1 ! 1 ! 2 1 ! 1 1 1 ! 0 q q q p q ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? (4.11). Agora, observe (4.11). O termo do meio é inteiro, pois q! cancela todos os denominadores das frações aí presentes. Mas isso é impossível, pois sendo 1/q ? 1 a expressão (4.11) diria que o termo médio é um inteiro positivo estritamente menor que 1. O absurdo provém da hipótese feita inicialmente que e fosse um número racional. Logo e é irracional.

5. O NÚMERO e É TRANSCENDENTE

A solução da equação polinomial da forma anxn + an-1xn -1 +...+ a1x + a0 = 0, onde os coeficientes ai com i = 1, 2, ... , n são racionais. Essas soluções são chamadas de números

algébricos.

Exemplos:

a) Toda equação da forma qx – p = 0, onde p e q são racionais tem como solução x = p/q que é um número algébrico.

b) A solução da equação x2 ?2?0 tem como solução os números algébricos ± 2 .

Os Números Transcendentes são aqueles que não podem ser raízes de polinômios de coeficientes racionais, ou seja, os números que não são algébricos são chamados de transcendental, um termo cunhado por Euler para descrever números como o e e p, que pareciam transcender (ir além) os métodos algébricos.

Em contraste com os Números Irracionais, cuja descoberta surgiu de um problema na geometria, os primeiros números transcendentais, foram criados com o objetivo de mostrar que tais números existiam. Quando este objetivo foi alcançado, a atenção se voltou para o e e p, que já eram conhecidos e já tinham demonstrado sua irracionalidade. Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777) provou que e não pode ser solução de uma equação quadrática com coeficientes inteiros, o que não foi suficiente para mostrar que era transcendente, ou seja, provar que e não é solução de nenhuma equação polinomial com coeficientes racionais. A transcendência do e foi mostrada por Charles Hermite (1822 -1901), que foi publicada em 1873 em um ensaio de mais de trinta páginas.

“A Transcendência de e foi um desafio aos matemáticos até o século XIX. Em 1873, o matemático francês C. Hermite marcou época ao demonstrar a transcendência de e, em uma série de notas publicadas no Comptes Rendus de 1’Académie des Sciences de Paris. A demonstração original de Hermite sofreu simplificações sucessivas por matemáticos famosos como Jordan (1882), Markhoff (1883), Rouché (1883), Weierstrass (1885), Hilbert (1893). Hurwitz (1893) e Veblen (1904), entre outros.” (Figueiredo, 2002)

A demonstração da Transcendência do número e não é fácil e envolve vários conceitos do Cálculo e da Álgebra Moderna. Ela está como sugestão de exercícios no livro Números

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Irracionais e Transcendentes (Djairo Guedes de Figueiredo p. 29). E a demonstração completa está no livro Álgebra Moderna (Herstein p. 207) que envolve vários teoremas, e conteúdos que está fora do alcance deste trabalho. Deixo como sugestão para próximos trabalhos uma pesquisa especifica sobre a Transcendência do Número e.

6. ALGUMAS APLICAÇÕES

O número e aparece na resolução de equações em que as incógnitas aparecem em expoente. É importante em quase todas as áreas do conhecimento: economia, engenharia, biologia, sociologia.

Uma aplicação em Juro composto:

Se P reais são depositados em uma conta com uma taxa anual de juro de r (em forma decimal), qual é o montante ao término de um ano? A resposta depende do número de vezes que o juro é composto, de acordo com a fórmula 1 ,

n n r A ? ? ? ? ? ? ? ? onde n é o número de composições por ano. A tabela abaixo dá o montante para um depósito de R$ 1000,00 a 8%, para vários períodos de composição.

Freqüência da composição por ano, n Saldo (reais), A

Anualmente, n = 1 ₁ $1080,00 08 , 0 1 1 R P A ? ? ? ? ? ? ? ? ? Semestralmente, n = 2 ₂ $1081,60 08 , 0 1 2 R P A ? ? ? ? ? ? ? ? ? Trimestralmente, n = 4 43 , 1082 $ 4 08 , 0 1 4 R P A ? ? ? ? ? ? ? ? ? Mensalmente, n = 12 00 , 1083 $ 12 08 , 0 1 12 R P A ? ? ? ? ? ? ? ? ? Diariamente, n = 365 28 , 1083 $ 365 08 , 0 1 365 R P A ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Quadro 2 – Representação de alguns resultados da fórmula A = P(1 + 1/n)n.

Pode parecer estranho que, quando n aumenta, o montante A tenda para um limite, conforme indicado no desenvolvimento a seguir. Nele, façamos x = r/n. Então, x ? 0 quando n ?

?

,

e temos:

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? ?

?

lim 1

?

. 1 lim 1 lim 1x r r x r r n n n n _n P x Pe r P n r P A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Substituir r/n por x

Este limite é o montante após um ano de composição contínua. Assim, para um depósito de R$1000,00 a 8%, composto continuamente, o montante ao fim do ano seria

A = 1000 e 0,08 ? 1083,29.

Determinação do Montante de uma Conta

Uma pessoa está criando um fundo para o filho recém- nascido. Para isso, deposita R$25.000,00 em uma conta, que só deve ser liberada quando o filho completar 18 anos. Compare os saldos nos seguintes casos.

a) 6%, composto continuamente

Como a fórmula do composto continuamente é rt

Pe A? , temos: ? ? _$₇₃_.₆₁₆_,₉₉ 000 . 25 e0,0618 R A? ? b) 6%, composto trimestralmente Como o composto n vezes por ano é

nt n r P A ? ? ? ? ? ? ? ? 1 , temos: ? ? 60 , 613 . 477 $ 4 06 . 0 1 000 . 25 18 4 R A ? ? ? ? ? ? ? ? ? c) 10%, composto continuamente

Como a fórmula do composto continuamente é A? Pert , temos: ? ? _$₁₅₁_.₂₄₁_,₁₈₇ 000 . 25 0,118 R e A? ? d) 10%, composto trimestralmente Como o composto n vezes por ano é

nt n r P A ? ? ? ? ? ? ? ? 1 , temos:

Com os resultados obtidos, percebemos que há uma diferença grande entre os montantes (A) a 6% e a 10%.

Lei do Crescimento e Decaimento Exponencial

Se y é uma grandeza cuja taxa de variação em relação ao tempo é proporcional à quantidade presente em um instante arbitrário t, então y é da forma kt

Ce

y? , onde C é o valor inicial e k é a constante de proporcionalidade. O crescimento exponencial é indicado por k > 0, e o decaimento exponencial por k < 0.

Demonstração: Como a taxa de variação de y é proporcional a y, podemos escrever ? ? 70 , 930 . 147 $ 4 1 . 0 1 000 . 25 18 4 R A ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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Vê-se que y? Cekt é uma solução desta equação; diferenciando para obter dy dt ? kCekt

e fazendo a substituição temos que: kCe h

? ?

Ce ky dt

dy ? kt ? kt ?

.

Um modelo de Crescimento Populacional

Numa pesquisa, uma população de determinado inseto está crescendo de acordo com a lei de crescimento exponencial. Após 3 dias, há 200 insetos, e após 6 dias, há 500 insetos. Quantos insetos haverá após 8 dias?

Como a fórmula do Crescimento Exponencial é y? Cekt, quando k > 0, onde t é o tempo,

y uma grandeza de taxa de variação em relação ao tempo, C é o valor inicial e k é a

constante de proporcionalidade.

Sabemos que y = 200 quando t = 3 e y = 600 quando t = 6. Levando os dados no modelo

kt

Ce

y? , vem: 200 ? Ce3k e 600? Ce6k. Par resolver em relação à k, resolvemos primeiro em relação a C na primeira equação, levando resultado na segunda equação.

Como ln3 0,5493 2 1 ? ? k , obtemos ? ₃200_?₀_,₅₄₉₃_? ? 38,4907 e C . Assim, o modelo de

crescimento exponencial é y? 38,4907e0,5493t. Isto implica que, após 8 dias, a população é ? ? ₃_.₁₁₀ 4907 , 38 0,54938 ? ? e y insetos.

Analisando uma Catenária

Quando um fio telefônico é distendido entre dois postes, toma a forma de uma curva em U chamada Catenária é dada pela função: y? m

?

exn ?e?xn

?

, ? m? x? m (m é a massa e n é a distância).

Por exemplo, a função:

?

60 60

?

30 x x

e e

y ? ? ? , ? 30? x? 30é o modelo de um fio telefônico distendido entre dois postes separados por uma distância de 60 metros (y e x em metros). Mostre que o ponto mais baixo no fio está a meio caminho entre os dois postes. Quando o fio cai entre os dois postes?

A derivada da função é

?

. 2 1 60 1 60 1 30 ' ex60 e x60 ex60 e x60 y ? _?? ? ? ? ? ? ? ? _? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? Para achar os

pontos críticos, igualamos à derivada a zero.

k k e e e Ce e C Ce k k k k k k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ln 2 1 2 3 ln 200 600 200 600 600 200 200 2 6 3 6 3 3 ky dt dy _?

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?

0 2

1 x60 ? ?x60 ?

e

e igualar a derivada a zero

0 60 60? ?x ? x

e

e multiplicar ambos os membros por 2

60

60 x

x

e

e ? ? somar e?x60 a ambos os membros

60 60

x x _? _?

se ea ? eb, então a = b

x = - x multiplicar ambos os membros por 60

2x = 0 somar x a ambos os membros

x = 0 dividir ambos os membros por 2

Para determina quanto o fio cai entre os dois postes, comparamos sua altura em cada poste com a altura no ponto médio.

? ?

?

e e

?

metros

y ?30 ?3060 ? ? ?30 60 ?67,7 altura no poste esquerdo

? ?

?

e e

?

metros

y ?30 060 ? ?0 60 ? 60 altura no ponto médio

? ?

?

e e

?

metros

y ?30 3060 ? ?30 60 ? 67,7 altura no poste direito

Logo, o fio cai cerca de 7,7 metros. 7. CONSIDARAÇÕES FINAIS

O objetivo deste trabalho foi alcançado mostrando de forma clara e precisa sobre o Número e, sua existência e sua aplicação. O mais importante deste trabalho foi a aprendizagem científica de como coletar informações em vários livros e depois por os assuntos em forma cronológica e de fácil entendimento. Elaborar um trabalho desse nível requer muitas horas de pesquisa, mas valeu apenas.

Quando me decidi pelo assunto sabia que não seria fácil, porque eu não conhecia praticamente nada sobre ele, vim saber que ele existia e aprender apenas a utilizá- lo na universidade. Não sabia nem o que era um Número Transcendente. Quando pesquisava sobre o assunto fui preenchendo algumas lacunas que ficaram durante o decorrer do curso. Na realização deste percebi o quanto é importante antes de ensinar algum conteúdo, seja ele qual for, a noção de história, pois é através dela que temos a noção do quanto é importante aprender e saber utilizar o que está sendo ensinado. O que fiz foi apenas o começo, o ponto de partida para novas pesquisas. Espero que este se torne um ponto de apoio para novos trabalhos sobre esse número que é tão fascinante.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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MAOR, Eli. e: A História de um Número. Tradução: Jorge Calife. Rio de Janeiro: Editora Record, 2003. FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Números Irracionais e Transcendentes. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática – SBM, 3ª edição, 2002.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Um: Conjuntos, Funções e Trigonometria. São Paulo: FDT, 1992.

LEYHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica Um. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 3ª edição, 1994.

LEYHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica Dois. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 3ª edição, 1994.

(13)

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BOYER, Carl B.. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda, 2ª edição, 1996.

LARSON, Roland E.; HOSTETLER, Robert P.; EDWARDS, Bruce H.. Cálculo com Aplicações. Tradução: Alfredo Alves de Farias. Rio de Janeiro: LTC, 4ª edição,1998.

THOMAS, George B.; FINNEY, Ross L.;WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank R.. Cálculo, Volume 1. Tradução: Paulo Boschcov. São Paulo: Addison Wesley, 10ª edição,2003.

LANG, Serge. Estruturas Algébricas. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico S.A. 1972. HERSTEIN, I. N.. Álgebra Moderna. México: Editora F. Trillas S.A., 1970.

WHITE, A. J.. Análise Real: uma Introdução. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgar Blücher, 1973. John Napier. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/napier.htm >acesso em: 04 de novembro de 2004.

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Alguns são mais irracionais que outros... Disponível em: <

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(14)

(15)

Teorema 1: Seja

?

?? ?0 n n nx

c uma série de potências cujo raio de convergência é R > 0. Então, se f for a função definida por f(x) =

?

?? ?0

n n nx

c f’(x) existirá para todo x no intervalo aberto (- R, + R), sendo dada por f’(x) =

?

?? ? ? 0 1 n n nx nc

Demonstração: Seja x qualquer número no intervalo aberto (-R, R). Então |x| < R. Selecionamos um número x1 tal que |x| < |x1| < R. Como |x1| < R,

?

?? ?1 1 n n nx c é convergente. Logo, lim 1 ? 0 ?? ? n n

n c x . Assim, se tomarmos ? = 1, existirá um número N > 0, tal que se n >

N, então c_nx₁n ?1. Seja M o maior dos números c₁x₁,c₂x₁1,c₃x₁2,? ,c_Nx₁N,1. Então

M x

c_n ₁n ? para todo n inteiro positivo (3.1).

Agora 1 1 1 1 1 1 1 1 . . ? ? ? _? _? n n n n n n n n n x x x x c n x x x nc x nc . De (3.1) e da equação anterior 1 1 1 1 ? ? _? n n n x x x M n x nc (3.2).

Se o teste da razão for aplicado à série

?

? ? ? ? 1 1 1 1 n n x x n x M (3.3)

então lim lim

? ?

1 . lim 1 1

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? _x x n n x x x n x x x n u u n n n n n n n n

n . Assim sendo, a série

(3.3) é absolutamente convergente; logo de (3.2) e do teste da comparação, segue que a série

?

?? ? ? 1 1 n n nx

nc também é absolutamente convergente. Como x é qualquer número em (-R, R), segue que se o raio de convergência de

?

?? ? ? 1 1 n n nx

nc for R’, então R’ ? R. Para complementar a demonstração precisamos mostrar que R’ não pode ser maior do que R. Vamos supor que R’ > R e seja x2 um número tal que R < |x2| < R’. Como |x2| > R segue que

?

?? ?0 2 n n nx c é divergente (3.4). Como x2| > R’, segue que

?

?? ? ? 1 1 2 n n nx

nc é absolutamente convergente. Além disso,

?

??

?

? ?? ? ? _? 1 1 2 1 2 2 n n n n n nx nc x nc x e assim, do teorema 3,

?

?? ?1 2 n n nx nc (3.5) será convergente se n for qualquer inteiro positivo, c_nx₂n ? nc_nx₂n ? nc_nx₂n . Dessa desigualdade, da afirmação (3.5) e do teste de comparação, segue que

?

?? ?1 2 n n nx c é convergente. Logo, a

(16)

série

?

?? ?0 2 n n nx

c é convergente, o que contradiz o resultado (3.4). Assim sendo, a hipótese de que R’ > R é falsa. Logo, R’ não pode ser maior do que R; e como foi mostrado que R’ ?

R., segue que R’ = R, o que prova o teorema.

Teorema 2: Suponha que y seja uma função contínua de t com y > 0 para todo t ? 0. Além disso, ky

dx dy

? onde k é uma constante e y = y0 quando t = 0. Então y = y0ekt .

Demonstração: Se o tempo for representado por t unidades e se y unidade representar o total da quantidade presente em qualquer instante, então ky

dx dy

? onde k é uma constante e

y > 0 para todo t ? 0. Se y cresce com o aumento de t, então k > 0 e temos a lei de

crescimento natural. Se y decresce quando t aumenta então k < 0 e temos a lei do decaimento natural. Se por definição y for um inteiro positivo, vamos supor que y possa ser um número real qualquer para que y seja uma função continua de t. Vamos supor um modelo matemático envolvendo a lei de crescimento ou decaimento natural e a condição inicial de que y = y0 quando t = 0. A equação diferencial é ky

dx dy ? . Separando as variáveis, obtemos kdt y dy ? . Integrando, teremos kt c c kt e e y e y c kt y dt k y dy . ln ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

. Tomando ec = C temos y ? Cekt,

e como y é positivo, podemos omitir as barras de valor absoluto, restando assim y ?Cekt. Como y = y0 quando t = 0, obtemos C = y0. Então, y = y0ekt.

Teorema 3: Seja c uma constante não-nula.

(i) Se a série

?

?? ?1

n n

u for convergente e sua soma for S, então a série

?

?? ?1

n n

cu também será convergente e sua soma será c . S.

(ii) Se a série

?

?? ?1

n n

u for divergente, então a série

?

?? ?1

n n

cu também será divergente.

Demonstração: Seja Sn a n-ésima soma parcial da série

?

?? ?1

n n

u . Então, Sn = u1 + u2 + ... + un.

A n-ésima soma parcial da série

?

?? ?1

n n

cu é c(u1 + u2 + ... + un) = cSn. Prova de (i): Se a série

?

??

?1

n n

u for convergente, então existe o _n

nlim??? s e será S. Logo, nlim??? csn ? cnlim? ??sn ? c.S .

Assim sendo, a

?

?? ?1

n n

cu é convergente e sua soma é c.S. Prova de (ii) Se a série

?

?? ?1

n n

(17)

divergente, então não existirá n

nlim? ?? s . Suponha que a série

?

?? ?1

n n

cu seja convergente. Então

n

nlim??? cs existe. Como sn = csn/c, segue que n??? sn ? n? ?? _c

? ?

csn ? _cnlim? ??csn

1 1

lim

lim . Logo,

n

nlim??? s deve existir, o que é uma contradição. Portanto, a série

?

?? ?1

n n

cu é divergente.

Teste da Comparação: Seja

?

?? ?1

n n

u uma série de termos positivos. (i) Se

?

?? ?1

n n

v for uma série de termos positivos que sabemos ser convergentes e se u_n ? v_n

para todo n inteiro positivo, então

?

?? ?1 n n u será convergente. (ii) Se

?

?? ?1 n n

w for uma série de termos positivos que sabemos ser divergentes e se un ? wn

para todo n inteiro positivo, então

?

?? ?1

n n