Modelo matemático para o cáculo de escoamento turbulento interno

M O D E L O M A T E M A T I C O P ARA O CALCULO DE ESC OAM E N T O

T U R B U L E N T O INTERNO

D i sse r taç ã o submetida a Univ ers idade Federal

de Santa C a tar i na para a obtenção do grau de

Me s t r e em Ciências.

V i c e n t e de Paulo Nicolau

M O D E L O M A T E M A T I C O P ARA O CALC ULO DE E SCO AM E N T O

T U R B U L E N T O INTERNO

Vic e n t e de Paulo N i c o l a u

Esta d i s s e r t a ç ã o foi julgada adequada para a ob ten ção

do título de

M e s t r e em Ciências

área de concentr a ção : Te r motê cnic a e aprovada em sua

forma final pelo Curso de Pós-Graduação.

Banca examinadora:

A G R A D E C I M E N T O S

-Â Comissão N aci o n a l de En ergia Nuclear, pelo suporte fi ­

nanceiro;

-Ao D eparta m ent o de Processa m ent o de Dados da UFSC,

p e l a

execução dos trabalhos computacionais;

-Ao orientador, prof. H ypp o lit o do Valle Pereira Filho, pe

lo apoio e d ed ic aç ão dispensados;

-Aos colegas da divisão de T e r m o t é c m c a , peio incentivo re_

c e b i d o ;

-A todos os que d ireta ou indiretamente c olabo rar am p a r a a

realização deste trabalho.

Pág.

S I M B O L O G I A ... ... ... . . . ... ... . . .i

RESUMO. ... ... ... ... ... iv

A BST R A C T . ... .... ... ... ... . vi

1 - I N T R O D U Ç Ã O ... .. ... ... ... . .... ....1

2 - E Q U A C IONAMENTO DO P R O B L E M A . .. . ..____... ... ... ... . 6

2.1 - Equações Básicas na Forma V e t o r i a l . ... ... ..6

2.2 - Obtenção da Equação na Forma V e t o r i a l ...8

2.3 - Sistema de Coordenadas Ut i liz ado e Simpl ificações

do

P r o b l e m a ... ... ... .

10

2.4 - Equações em Coordenadas C i l i n d r i c a s . . . ... .10

3 - H I P ÕT E SES DE F E C H A M E N T O . . . ____. ... .14

3 . 1 — Inversão da C oordenada R a d i a l . . . ... ...14

3.2 - Modelos U t i l i z a d o s . . . ... ... ... 16

3.3 - Condições de C o n t o r n o . ... ...18

4 - T R A T A ME NT O N U M É R I C O . ______ .. . . ____ . . . . ______________ ________ .19

4.1 - A d i m e n s i o n a l i z a ç ã o . . . ... ... ....19

4.2 - D i s c r e t i z a ç ã o . ... ... .. . . ...21

4.2.1 - Definição da G r a d e .. ... .... ... . . . ...-... 22

4.2.2 - Equação na Forma D i s c r e t a . ... .... ...24

4.3 - Valor das C o n s t a n t e s . . . ... ... .28

4.4 - Conv e r g e n c i a e Perfis I n i c i a i s . . . . ... ...29

4 .5 - Fluxograma. ... ... ... 30

5 - ANÁLISE DOS R E S U L T A D O S . . . . ... ... ...34

5.1 - Resultados O b t i d o s . . . ... .34

5.2 - Di sc us sã o dos R e s u l t a d o s ... ... ...35

5.2.1 - Perfil de V e l o c i d a d e . . . ... ... ...35

5.2.2 - Dis t r i b u i ç ã o da Tensão T u r b u l e n t a de R e y n o l d s . . ... 37

5.2.3 - Coefic ien t e de F r i c ç ã o . . . ... ...40

5.2.4 - Distribuição de Energia C i nética T u r b u l e n t a ... 43

5.2.5 - Balanço de E ne rg i a C i nét i ca T u r b u l e n t a . . . ... .46

5.3 - C o n c l u s õ e s . . ... ... 52

B I B L I O G R A F I A . ... ... ...53

APÊNDICES

APÊNDICE 1 - P ROC E S S O DE M É D I A ... ... . . . . --- 55

APÊNDICE 2 - E QUAÇÕES N A F ORM A T E N S O R I A L ____________ _______...61

APÊNDICE 3 - E QUA Ç ÕES EM CO ORDENADAS C I L Í N D R I C A S . _____ ...66

APÊ NDICE 4 - BA LA N Ç O E N ERG É TIC O D A EQU A Ç Ã O DA E N E R G I A C I N É ­

f v D D I S S D I F P Q D I F V aJ e .

g *3

g ij

V

G P j

H K I m P P E S T R P R O D 0 Q C o e f i c i e n t e s da E q u a ç ã o (48) C o n s t a n t e p a r a a t a x a de d i s s i p a ç ã o C o e f i c i e n t e de f r i c ç ã o T a x a de d i s s i p a ç ã o v i s c o s a T a x a de d i s s i p a ç ã o v i s c o s a - f o r m a . a d i m e n s i o n a l T a x a de d i f u s ã o p o r p r e s s ã o e e n e r g i a c i n é t i c a T a x a de d i f u s ã o v i s c o s a V e t o r de b a s e c o n t r a v a r i a n t e V e t o r de b a s e c o v a r i a n t e C o m p o n e n t e c o n t r a v a r i a n t e do t e n s o r m é t r i c o C o m p o n e n t e c o v a r i a n t e do t e n s o r m é t r i c o C o e f i c i e n t e s d e f i n i d o s nas e q u a ç õ e s (50) e (51) F u n ç ã o d e f i n i d a p e l a e q u a ç ã o (21) C o n s t a n t e da e q u a ç ã o (24), i g u a l a 0,4 E s c a l a de t u r b u l ê n c i a , d e f i n i d a p e l a e q u a ç ã o (23) N ú m e r o m á x i m o de p o n t o s da g r a d e P r e s s ã o P a r â m e t r o de e s t r u t u r a T a x a de p r o d u ç ã o da e q u a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a - t u r bu l e n t a E n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a En er g ia ' c i n é t i c a t u r b u l e n t a a d i m e n s i o n a ] C o o r d e n a d a r a d i a l

il R Re qo V V J V v z_{m a x} V + V Y V Z y y + z a

e

r 1 jk 6 1 J A n J e n 0 y v p T Rai o i n t e r n o do t u b o N u m é r o de R e y n o l d s b a s e a d o no d i á m e t r o e na v e l o c i d a de m á x i m a N ú m e r o de R e y n o d s da t u r b u l e n c i a l o c a l C o n s t a n t e da e q u a ç ã o (2 1 ), i g u a l a 110 R a z ã o da p r o g r e s s ã o g e o m é t r i c a de d e f i n i ç ã o da g r a d e . V e l o c i d a d e de f r i c ç ã o V e t o r v e l o c i d a d e C o m p o n e n t e da v e l o c i d a d e m é d i a na d i r e ç ã o j C o m p o n e n t e da f l u t u a ç ã o de v e l o c i d a d e na d i r e ç ã o j —Z _2 V e l o c i d a d e m e d i a a d i m e n s i o n a l j V = V /V m a x M á x i m a v e l o c i d a d e m é d i a a x i a l V e l o c i d a d e m é d i a a d i m e n s i o n a l ; V + = V Z /u* C o m p o n e n t e a d i m e n s i o n a l do t e n s o r de R e y n o l d s C o o r d e n a d a r a d i a l c o m o r i g e m na p a r e d e do t u b o C o o r d e n a d a r a d i a l a d i m e n s i o n a l i z a d a por: y + = y u * / V C o o r d e n a d a a x i a l F u n ç ã o d e f i n i d a p e l a e q u a ç ã o (24) C o n s t a n t e i n t r o d u z i d a c o m a m o d e l a ç ã o , i g u a l a 0 , 2 S í m b o l o de C h r i s t o f f è l D e l t a de K r o n e c K e r V a l o r d os i n t e r v a l o s da c o o r d e n a d a n . J T o l e r â n c i a d e f i n i d a na e q u a ç ã o (53) C o o r d e n a d a r a d i a l a d i m e n s i o n a l , i g u a l a y / R C o o r d e n a d a a n g u l a r V i s c o s i d a d e a b s o l u t a V i s c o s i d a d e c i n e m á t i c a M a s s a e s p e c í f i c a do f l u i d o T e n s ã o c i s a l h a n t e na p a r e d e do t u b o

(j) - R a z ã o e n t r e a v e l o c i d a d e de f r i c ç ã o e a; m á x i m a do e s c o a m e n t o ( — ) - V a l o r m é d i o d e f i n i d o p e l a e q u a ç ã o C A 1 .13 ( " D e r i v a d a p a r c i a l em r e l a ç ã o ã c o o r d e n a d a J ( ) " C o m p o n e n t e c o v a r i a n t e na d i r e ç ã o j J ( ) ^ - C o m p o n e n t e c o n t r a v a r i a n t e na d i r e ç ã o j C ) - G r a n d e z a v e t o r i a 1 v e l o c i d a d e j

R E S U M O

As e q u a ç õ e s de N a v i e r - S t o k e s e c o n s e r v a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a sã o a p l i c a d a s ao e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o i n c o m - p r e s s í v e l , c o m p l e t a m e n t e d e s e n v o l v i d o , no i n t e r i o r de t u b o . Os m o d e l o s m a t e m á t i c o s f o r a m a d a p t a d o s de m o d e l o s o r i g i ­ n a l m e n t e e m p r e g a d o s na s o l u ç ã o da c a m a d a l i m i t e s o b r e p l a c a p l a n a . A m o d e l a ç ã o a p l i c a - s e ã t e n s ã o t u r b u l e n t a , aos t e r m o s de p r o d u ç ã o d i f u s ã o e d i s s ã p a ç ã o na e q u a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a . As e q u a ç õ e s r e f e r i d a s f o r a m o b t i d a s em c o o r d e n a d a s cilíjn d r i c a s , p a r t i n d o - s e da - f o r m a v e t o r i a l e d e p o i s t e n s o r i a l , incluin_ do f i n a l m e n t e as s i m p l i f i c a ç õ e s i n e r e n t e s ao p r o b l e m a . C o m o o s i s t e m a a s e r r e s o l v i d o c o m p õ e - s e de e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s o r d i n á r i a s não l i n e a r e s , n ã o é p a s s í v e l de s o l u ç ã o ana l í t i c a . N e s t a s c i r c u n s t â n c i a s , p a r a c o n t o r n a r e s t a d i f i c u l d a d e ou e s t a i m p o s s i b i l i d a d e de s o l u ç ã o a n a l í t i c a , u t i l i z a - s e o m é t o d o n u m e r i c o de d i f e r e n ç a s f i n i t a s .

D e n t r e os r e s u l t a d o s o b t i d o s , o c o e f i c i e n t e de fricção, a d i s t r i b u i ç ã o de v e l o c i d a d e , b e m c o m o a d i s t r i b u i ç ã o de t e n s ã o t u r b u l e n t a a p r e s e n t a m um c o m p o r t a m e n t o s a t i s f a t ó r i o , p a r a os divejr sos n ú m e r o s de R e y n o l d s . A d i s t r i b u i ç ã o de e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u ­ lenta c o n c o r d a c o m os v a l o r e s e x p e r i m e n t á i s a p e n a s no a s p e c t o q u a ­ l i t a t i v o , c o m a l g u m a s d i s c r e p a n c i a s no a s p e c t o q u a n t i t a t i v o .

A B S T R A C T

T he N a v i e r - S t o k e s a n d t h e t u r b u l e n t k i n e t i c e n e r g y e q u a ­ t i o n s f o r the i n c o m p r e s s i b l e , t u r b u l e n t and f u l l y d e v e l o p e d p i p e f l o w , w e r e s o l v e d by a f i n i t e d i f f e r e n c e p r o c e d u r e . M a t h e m a t i c a l m o d e l s f o r t h e t u r b u l e n t s h e a r s t r e s s and f o r the d i f f u s i o n an d dis s i p a t i o n of t h e t u r b u l e n t k i n e t i c e n e r g y in t h e f l a t - p l a t e b o u n d a r y l a y e r w e r e m o d i f i e d a n d u s e d in th e c a l c u l a t i o n of the p i p e f l ow. The e q u a t i o n s w e r e o b t a i n e d f i r s t l y in v e c t o r i a l f o r m , t h e n in t e n s o r i a l f o r m a n d f i n a l l y in c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s . F r i c t i o n c o e f f i c i e n t a nd t h e d i s t r i b u t i o n s of t he m e a n v e l o c i t y , t u r b u l e n t s h e a r s t r e s s a n d t u r b u l e n t k i n e t i c e n e r g y w e r e o b t a i n e d at d i f f e r e n t R e y n o l d s n u m b e r s . T h o s e n u m e r i c a l r e s u l t s w e r e c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t a l d a t a and the a g r e e m e n t w a s g o o d in w h o l e c r o s s s e c t i o n of t he flow.

I N T R O D U Ç A O

E m 1904, L u d w i g P r a n d t 1 i n t r o d u z i u um c o n c e i t o r e v o l u c i o n a r i o na M e c â n i c a dos F l u i d o s , r e l a t i v o ao e s c o a m e n t o de f l u i d o s re ais ao l o n g o de um c o n t o r n o s ó l i d o . S e g u n d o o m e s m o o e f e i t o da v i £ c d s i d a d é é c o n s i d e r á v e l em a p e n a s u ma r e g i ã o b a s t a n t e f i n a c h a m a d a " c a m a d a l i m i t e " j u n t o ao r e f e r i d o c o n t o r n o . A p a r t i r d e s t e p o n t o , os e s c o a m e n t o s p a s s a r a m a s e r t r a t a d o s c o m o v i s c o s o s no i n t e r i o r da c a m a d a l i m i t e e i d e a i s f o r a da m e s m a . P o r o u t r o lado, O s b o r n e R e y n o l d s (1883) d e m o n s t r o u , a t r a vés de seu c l á s s i c o e x p e r i m e n t o , a e x i s t ê n c i a de d o i s t i p o s de e s c o a m e n t o s : o l a m i n a r e o t u r b u l e n t o . A p a r t i r dos c o n c e i t o s a c i m a , os e s f o r ç o s f o r a m c o n c e n ­ t r a d o s na s o l u ç ã o das e q u a ç õ e s r e l a t i v a s â s c a m a d a s l i m i t e s l a m i n a r e t u r b u l e n t a , e x i s t i n d o um g r a n d e n ú m e r o de t r a b a l h o s t e ó r i c o s e e_x p e r i m e n t a i s já p u b l i c a d o s n e s t e s e n t i d o . 0 e s c o a m e n t o l a m i n a r d e v i d o à sua r e l a t i v a s i m p l i c i d a d e em r e l a ç ã o ao t u r b u l e n t o , foi d e s d e c e d o a b o r d a d o , e s o l u ç õ e s a i n d a

2 q u e a p r o x i m a d a s , f o r a m o b t i d a S é 0 m e s m o não o c o r r e u c o m o e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o ,de m a i o r c o m p l e x i d a d e p o r - ser um e s c o a m e n t o de c a r á t e r r a n d ô m i c o . D e v i d o às f l u t u a ç õ e s e à a l e a t o r i e d a d e d e s t a s f l u t u a ç õ e s a p r e s e n t a d a s p e l a s c o m p o n e n t e s da v e l o c i d a d e e p e l a p r e s s ã o , s é r i a s d i f i c u l d a d e s são i n t r o d u z i d a s na r e s o l u ç ã o das e q u a ç õ e s r e f e r e n t e s a e s t e t i p o de e s c o a m e n t o . R e y n o l d s s u g e r i u q u e e s t e m o v i m e n t o a l e a t ó r i o f o s s e d e ­ c o m p o s t o em uma p a r t e m é d i a e u m a p a r t e f l u t u a n t e . A p a r t i r daí, a c a m a d a l i m i t e p a s s o u a s e r c a l c u l a d a s o m e n t e c o m b a s e nos' v a l o r e s m é d i o s do e s c o a m e n t o p a r a a a p l i c a ç ã o d i r e t a em e n g e n h a r i a , c o m o p o r e x e m p l o , no c á l c u l o do c o e f i c i e n t e d e f r i c ç ã o . Mas, c o m a i n t r o d u ç ã o d e s t e c o n c e i t o de v a l o r m é d i o e f l u t u a n t e , n o v a s i n c ó g n i t a s s u r g e m d e v i d o a não l i n e a r i d a d e das e q u a ç õ e s . Na e q u a ç ã o de N a v i e r - S t o k e s s u r g e o t e r m o c h a m a d o " t e n s ã o t u r b u l e n t a de R e y n o l d s ”, c u j a s c o m p o n e n t e s são m é d i a s de d u p l a s c o r r e l a ç õ e s e n t r e c o m p o n e n t e s das f l u t u a ç õ e s de v e l o c i d a d e . A i n d e t e r m i n a ç i o p o d e s e r r e s o l v i d a c o m a i n t r o d u ç ã o das h i p ó t e s e s de f e c h a m e n t o ou m o d e l o s , q u e c o n s i s t e m e m r e l a ç õ e s m a t e ­ m á t i c a s e n t r e c e r t a s i n c ó g n i t a s , t o r n a n d o o p r o b l e m a d e t e r m i n a d o ( n ú m e r o de e q u a ç õ e s i g u a l ao n ú m e r o de i n c ó g n i t a s ) . B o u s s i n e s q deu o p r i m e i r o p a s s o n e s t e s e n t i d o c o m a i n ­ t r o d u ç ã o do c o n c e i t o de " v i s c o s i d a d e t u r b u l e n t a " , a p a r t i r de uma a n a l o g i a e n t r e a t e n s ã o v i s c o s a e a t e n s ã o t u r b u l e n t a de R e y n o l d s . P r a n d t l (19 2 50 p r o p ô s a h i p ó t e s e do " c o m p r i m e n t o de m i s ­ t u r a ”, q u e r e l a c i o n a a v i s c o s i d a d e . tu r bulenta c o m o g r a d i e n t e de v £

l o c i d a d e m é d i a , c o m o m o d e l o p a r a o t e n s o r de R e y n o l d s . V o n K á r m á n ( 1 9 3 0 ) , i n t r o d u z i u a c h a m a d a " h i p ó t e s e de s i ­ m i l a r i d a d e " , e x p r e s s a n d o o c o m p r i m e n t o de m i s t u r a em f u n ç ã o da p r i ­ m e i r a e s e g u n d a d e r i v a d a da v e l o c i d a d e m é d i a . ü p r o c e s s o consistia, em ú l t i m a a n á l i s e , na b u s c a de m o d £ los p a r a a t e n s ã o t u r b u l e n t a , q u e p o s s i b i l i t a s s e m a s o l u ç ã o da e q u £ ção de N a v i e r - S t o K e s . C o m o a d v e n t o d as m o d e r n a s m á q u i n a s de c o m p u t a ç ã o s u r g i ­ ra m i n ú m e r o s t r a b a l h o s s o b r e a r e s o l u ç ã o de s i s t e m a s de e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s p a r c i a i s não l i n e a r e s . É e s t e a v a n ç o r e p e r c u t i u f a v o ­ r a v e l m e n t e na M e c á n i c a d os F l u i d o s , p a r t i c u l a r m e n t e no c á l c u l o de e s c o a m e n t o s t u r b u l e n t o s . N o v a s e q u a ç õ e s f o r a m c r i a d a s a p a r t i r da e q u a ç ã o de N a v i e r - S t o k e s e n o v o s m o d e l o s f o r a m t e s t a d o s , a b r a n ­ g e n d o a s o l u ç ã o de c a m a d a l i m i t e em p l a c a p l a n a , c a m a d a l i m i t e co m g r a d i e n t e de p r e s s ã o , e s c o a m e n t o em t ubo, etc. 0 p r e s e n t e t r a b a l h o c o n s i s t e em m a i s uma c o n t r i b u i ç ã o à s o l u ç ã o de e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o . C o m e s t e o b j e t i v o , f a z p a r t e de uma l i n h a de p e s q u i s a do C u r s o de P ó s - G r a d u a ç ã o em E n g e n h a r i a M e c â ­ n i c a da U n i v e r s i d a d e F e d e r a l de S a n t a C a t a r i n a , s e n d o p r e c e d i d o p e ­ los t r a b a l h o s de P e r e i r a F i l h o [ 12 ] , D u t r a [ 05 ], F e r r e i r a [ 0 6*] e L i m a [ 11 ] . P e r e i r a F i l h o [1 2 ]] r e s o l v e u um s i s t e m a c o m p o s t o p o r q u a ­ tro e q u a ç õ e s : e q u a ç ã o da c o n t i n u i d a d e , q u a n t i d a d e de m o v i m e n t ú . e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a e e q u a ç ã o da c o n s e r v a ç ã o da t a x a de dissipa_ ção da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a , a p l i c a d a s a um e s c o a m e n t o inconn p r e s s í v e l em uma c a m a d a l i m i t e t u r b u l e n t a b i d i m e n s i o n a l , em p l a c a

4 p l a n a e t a m b é m corn g r a d i e n t e de p r e s s ã o . D u t r a [05] a b o r d o u o p r o b l e m a de e s c o a m e n t o i n c o m p r e s s_í . v e l em uma c a m a d a l i m i t e t u r b u l e n t a s o b r e s u p e r f i c i e s c u r v a s , em re g i m e p e r m a n e n t e , u t i l i z a n d o as e q u a ç õ e s da c o n t i n u i d a d e e c o n s e r v a ­ ção da q u a n t i d a d e de m o v i m e n t o . P a r a c o n t o r n a r o p r o b l e m a de f e - c h a m s n t q , m o d e l o u a v i s c o s i d a d e t u r b u l e n t a em d u a s e q u a ç õ e s , p a r a duas r e g i õ e s d i s t i n t a s do e s c o a m e n t o : a r e g i ã o j u n t o â p a r e d e e a r e g i ã o a f a s t a d a da p a r e d e . F e r r e i r a [ 06 ] r e s o l v e u um s i s t e m a c o m p o s t o p o r t r ê s e q u a ç õe s f u n d a m e n t a i s : e q u a ç ã o da c o n t i n u i d a d e , c o n s e r v a ç ã o da quantida_ de de m o v i m e n t o e c o n s e r v a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a . E s t a s equações: ; f o r a m a p l i c a d a s ao e s c o a m e n t o i n c o m p r e s s í v e l em uma c a m a ­ da l i m i t e t u r b u l e n t a s o b r e s u p e r f í c i e s c u r v a s . S e u s m o d e l o s , b a s e a ­ dos em .'.'Be c k w i t h e B u s h n e l l [02_] i n c l u i a m o c o n c e i t o de p a r â m e t r o de e s t r u t u r a e r e l a ç õ e s e n t r e a d i s s i p a ç ã o v i s c o s a e a e n e r g i a cin_é t ic a t u r b u l e n t a e e n t r e o t e r m o de d i f u s ã o e o g r a d i e n t e de e n e r g i a c i n é t i c a . L i m a [ 1 1 J r e s o l v e u as e q u a ç õ e s da c o n t i n u i d a d e , c o n s e r ­ v a ç ã o da q u a n t i d a d e de m o v i m e n t o e da e n e r g i a , p a r a 0 ■ e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o i n c o m p r e s s í v e l em c a m a d a l i m i t e b i d i m e n s i o n a l s o b r e p l a c a p l a n a e t a m b é m s o b r e s u p e r f í c i e s c u r v a s . I n t r o d u z i u m o d e l o s r e l a t i v o s à v i s c o s i d a d e t u r b u l e n t a e ã d i f u s i b i l i d a d e t é r m i c a t u r ­ b u l e n t a . E s t e t r a b a l h o , p o r sua vez, s u r g i u do i n t e r e s s e e m d a r c o n t i n u i d a d e ao o b j e t i v o i n i c i a l de r e s o l u ç ã o de e s c o a m e n t o s turbjj l e n t o s . R e f e r e - s e o m e s m o ao e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o i n c o m p r e s s í v e l no i n t e r i o r de um t u b o de p a r e d e s li s a s , com p e r f i l de v e l o c i d a d e

c o m p l e t a m e n t e d e s e n v o l v i d o . D u a s e q u a ç õ e s o i n t e g r a m : - E q u a ç ã o de N a v i e r - S t o k e s , na d i r e ç ã o a x i a l do e s c o a m e n t o ; - E q u a ç ã o da c o n s e r v a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a . Os m o d e l o s u t i l i z a d o s são a d a p t a d o s de B e c k w i t h e B u s h n e l l [02j , t a m b é m u t i l i z a d o s p o r F e r r e i r a [06] , e a i n d a c o m uma es c a l a de t u r b u l ê n c i a a p r e s e n t a d a p o r K o n s t a n t i n o v [ 09] .

C A P I T U L O 2

EQ U A C IO NA ME NTO DO PROB LEMA

N e s t e c a p í t u l o são a p r e s e n t a d a s as e q u a ç õ e s u t i l i z a ­ das na s o l u ç ã o do p r o b l e m a. 0 c o n c e i t o de v a l o r m é d i o e f l u t u a n t e é i n t r o d u z i d o e a e q u a ç ã o da c o n s e r v a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a t u r ­ b u l e n t a é o b t i d a . As e q u a ç õ e s qu e i n i c i a l m e n t e e s t ã o na f o r m a v e ­ t o r i a l s ão r e p r e s e n t a d a s em s e g u i d a na f o r m a t e n s o r i a l e finalmeji te a p l i c a d a s ao s i s t e m a de c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s , c o m i n t r o d u ­ ção da s s i m p l i f i c a ç õ e s f í s i c a s do p r o b l e m a . 2.1 - E q u a ç õ e s B á s i c a s na F o r m a V e t o r i a l As e q u a ç õ e s b á s i c a s do p r o b l e m a são o b t i d a s a p a r t i r das s e g u i n t e s e q u a ç õ e s f u n d a m e n t a i s : a) E q u a ç ã o da C o n t i n u i d a d e : V . V = 0 (1 ) b) E q u a ç ã o de N a v i e r - S t o k e s ( d e s p r e z a n d o - s e as f o r ç a s de c a m p o ] :

i n s t a n t â n e o , co m v a r i á v e i s de v a l o r i n s t a n t â n e o q u e a p r e s e n t a m f l u t u a ç õ e s a l e a t ó r i a s , i m p o s s i b i l i t a n d o a s o l u ç ã o d e s t a s e q u a ç õ e s . P r o c u r a n d o v i a b i l i z a r a s o l u ç ã o de e s c o a m e n t o s t u r b u ­ l e n t o s , t o r n a - s e c o m u m a i n t r o d u ç ã o do p r o c e s s o de m é d i a temporal. A t r a v é s da m e s m a , as v a r i á v e i s são r e p r e s e n t a d a s por um v a l o r m é ­ d io m a i s um v a l o r f l u t u a n t e , c o n f o r m e o A p ê n d i c e 1. O b t é m - s e p o r u ma m a n i p u l a ç ã o m a t e m á t i c a a d e q u a d a , a e q u a ç ã o de N a v i e r - S t o k e s p a r a o e s c o a m e n t o m é d i o , as e q u a ç õ e s da c o n t i n u i d a d e p a r a o e s c o a m e n t o m é d i o e f l u t u a n t e e a i n d a a e q u a ­ ç ão da c o n s e r v a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a . As e q u a ç õ e s a p r e s e n t a m a s e g u i n t e f o r m a : a) E q u a ç ã o da C o n t i n u i d a d e - e s c o a m e n t o m é d i o : V . V = 0 (3) b) E q u a ç ã o da C o n t i n u i d a d e - e s c o a m e n t o f l u t u a n t e : V . v = 0 c) E q u a ç ã o de N a v i e r - S t o K e s - e s c o a m e n t o m é d i o : V . C V V) + V . C v ~ v ) = - - V P + v V 2V ~ ~ ~ *- P d) E q u a ç ã o da C o n s e r v a ç ã o da E n e r g i a C i n é t i c a T u r b u l e n t a :

A e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a ( QO , representa uma ener-(4)

8 gia c i n é t i c a p or u n i d a d e de m a s s a e é d e f i n i d a do s e g u i n t e m o d o A e q u a ç ã o da c o n s e r v a ç ã o p a r a e s t a v a r i á v e l é d e r i v a d a da e q u a ç ã o de N a v i e r - S t o k e s p a r a o e s c o a m e n t o f l u t u a n t e , e q u a ç ã o ( A 1 .7 3 . E s t a é m u l t i p l i c a d a e s c a l a r m e n t e po r v , c o m a post_e r i o r a p l i c a ç ã o do p r o c e s s o de m é d i a , r e s u l t a n d o em : + V V . V Q - V D ( 6 3 1 - -Q = — ( v . v 3 - e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a i n s t a n t a n e a ; V D = v V v : V v - t a x a de d i s s i p a ç ã o v i s c o s a 2'. 2 ^ O b t e n ç ã o dás E q u a ç õ e s na F o r m a T e n s o r i a l : A p l i c a n d o os c o n c e i t o s t e n s o r i a i s [07] , ao s i s t e m a de e q u a ç õ e s p r o p o s t o , o b t é m - s e as m e s m a s a i n d a em c o o r d e n a d a s g e n é r i ­ cas, na f o r m a t e n s o r i a l , c o n f o r m e o A p ê n d i c e 2. As c o m p o n e n t e s das v e l o c i d a d e s m é d i a e f l u t u a n t e a p a r e c e m na f o r m a c o n t r a v a r i a n t e . a3 E q u a ç ã o da C o n t i n u i d a d e - e s c o a m e n t o m é d i o : V -J * vJ r ji ' ° (7) b) E q u a ç ã o da C o n t i n u i d a d e - e s c o a m e n t o f l u t u a n t e : v -j + vJ r ji = 0 (83

o n d e é o s í m b o l o de C h r i s t o f f e l [o7 J . ç) E q u a ç ã o de N e v i e r - S t o k e s :

{ ( v J v

1

+ v

1

v

.1

+ v j v k r * . + ( v J v 1 ) , ^ ♦ v V

+

+

* '/Jvk-rW ï ïj = ■

i P'l

gJi

* VlvJ-li E 11 * 2VÎK fJj g ki

- ? 3 -l

TU

H k *

F1K, i i"1 * V 1 rL rKl S"1 ‘

v 1 rj r k Pmi ) e ( 9 )

4lk

lifn

g

J ~i '

l9J

o n d e g ^ e g . . §io as c o m p o n e n t e s do t e n s o r m é t r i c o , de base. c o n -4* J t r a v a r i a n t e © e o v i r i a n t e , r e s p e c t i v a m e n t e ; e^ é o v e t o r de b a s e c o ­ v a r i a n t e . d ) E q u a ç ã o d a C q n s t r v a ç ã o da E n e r g i a C i n é t i c a T u r b u l e n t a : V 1 Q,. ♦ v M y]. g li + v i v j

v

1

r j j

g mi + t v i Q ) . ± +

+ v j Q r * . * - - ( v j P)

, .

-

1 v J p r

1

. + j! P 3 p j i + V { Q , ji g Ji - 0 , j g 1 1 } - V D (10)

v O =v { vJ,1v k ,1 gjk g 11 . 2

y k rjj g . n g 11

♦ v V r n r" _{1 kl} g _{Ê mn g} g 1 1 } 1

2 . 3 - S i s t e m a de C o o r d e n a d a s U t i l i z a d o e S i m p l i f i c a ç õ e s do P r o b l e m a C o m o o p r o b l e m a e m e s t u d o r e f e r e - s e a um e s c o a m e n t o no i n t e r i o r de um t u b o c i l i n d r i c o , c o n s i d e r o u - s e m a i s a d e q u a d o o uso de c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s . E s t e s i s t e m a a p r e s e n t a as c o m p o n e n t e s (r,0,z) s e n d o "r" a c o o r d e n a d a r a d i a l , " 0 ” o á n g u l o p o l a r e ”z" a c o o r d e n a d a c o i n c i d e n t e co m o e i x o do tubo. P a r t i n d o da h i p ó t e s e de um e s c o a m e n t o c o m p l e t a m e n t e dese_n v o l v i d o e a x i - s i m é t r i c o , v á r i a s s i m p l i f i c a ç õ e s p o d e m ser i n t r o d u z i d a s nas e q u a ç õ e s , q u e s e r i a m : -A v e l o c i d a d e m e d i a n a d i r e ç ã o z ( V Z 0, s e r i a f u n ç ã o de r, s o m e n t e : V Z = \JZ [r) ¡ ^ ^ "“17 -_0 -As v e l o c i d a d e s m e d i a s nas d i r e ç õ e s r e 9 ( V e V ), s e r i a m n u l a s ; -O v a l o r m é d i o do p r o d u t o de d u a s q u a n t i d a d e s f l u t u a n t e s v X v^ , s e r i a f u n ç ã o de r, s o m e n t e : v X v^ = f ( r ) . 2.4 - E q u a ç õ e s em C o o r d e n a d a s C i l i n d r i c a s 10 A p a r t i r d as e q u a ç õ e s ( 7 ) , ( 8 ) , ( 9 ) e (10), na f o r m a t e n s o ­ rial. p o d e - s e r e p r e s e n t a - las em c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s , e x p r e s s a n d o - se os s e u s í n d i c e s em f u n ç ã o das c o m p o n e n t e s d e s t e s i s t e m a de c o o r d e n a da s . A d m i t i n d o - se em s e g u i d a as s i m p l i f i c a ç õ e s c o n s i d e r a d a s a n t e ­ r i o r m e n t e , o r e s u l t a d o , c o n f o r m e o A p é n d i c e 3, s e r i a :

a) E q u a ç ã o da C o n t i n u i d a d e - e s c o a m e n t o f l u t u a n t e 1 , r . 1 6 2 n "v r v r + v v '0 + v 'z = 0 ( 1 1 ) b) E q u a ç ã o da C o n t i n u i d a d e - e s c o a m e n t o m é d i o :

v

z,2

= ü

_{(1 2)} c) E q u a ç ã o de N a v i e r - S t o k e s - . e s c o a m e n t o m é d i o c o m p o n e n t e na d i r e ç ã o r 1 , r r , — ( r v v ) , r r 1 6 0 — v v _r 1 -P P ' r (13) c o m p o n e n t e na d i r e ç ã o 0 1 1

p

P r 2 6 (14) c o m p o n e n t e na d i r e ç ã o z 1 , r z , — ( r v v _r ), _r - - _o P, _z + 7 _r ( r y z ,_r ) , _r (15) d) E q u a ç ã o da C o n s e r v a ç ã o da E n e r g i a C i n é t i c a T u r b u l e n t a : S e g u n d o o r e s u l t a d o o b t i d o no A p ê n d i c e 3» a e q u a ç ã o (10) r e s u l t a em : v r v 2 V Z ,r * 1 fr v r ( Q +£)]. ₍₁₆₎ o n d e :

- o p r i m e i r o t e r m o r e p r e s e n t a a p r o d u ç ã o de e n e r g i a c i n é t i c a tu_r b u l e n ta j - o s e g u n d o t e r m o , a d i f u s ã o p o r p r e s s ã o e p o r e n e r g i a c i n é t i c a ; - o t e r c e i r o te r m o , a d i f u s ã o v i s c o s a ¡ - o q u a r t o t e r m o r e p r e s e n t a a t a x a de d i s s i p a ç ã o v i s c o s a ; e a i n d a : ■₀ ñ _{= — ( v v} 1 r r r _{+ v v} ® ^ ^ _{+ v v} z z i_{) J} o 1 , r r 0 0 z z . 0 = 2- ( v v + v v + v v j — _{Z? = v , v , + v , v ,} r r 0 0 _{+ v , v ,} z z _{+ — v ,} 1 r r aV ,ft + r r r r r r ? o tí

r

1 0 0 1 z z r r 0 0 + — v ,fiV , Q + V ,qV ,q + V , v , + V . V , + 2 ü t) 2 b tí Z Z Z Z r r z z 2 0 r 2 r 0 . 1 0 0 1 r r + v , v , + — v , Q v - — v , « v + — v v + — v v Z Z r 2 0 r 2 0 r 2 r 2 e) S i m p l i f i c a ç õ e s A d i c i o n a i s : De a c o r d o c om o A p ê n d i c e 3, as c o m p o n e n t e s da e q u a ç ã o de N a v i e r - S t o k e s p o d e m s er s i m p l i f i c a d a s , o b t e n d o - s e os s e g u i n t e s resu_l t a d o s : d i r e ç ã o 0 : 0 r n v v = ü - d i r e ç ã o r

- d i r e ç ã o z :

v r v 2 - V V 2 , _r = ~_K u * 2 (17)

o n d e u* r e p r e s e n t a a v e l o c i d a d e de f r i c ç ã o : u* =

0 s i s t e m a de e q u a ç õ e s a s e r r e s o l v i d o é c o m p o s t o p e l a s e q u a ç õ e s (16) e (17).

C A P Í T U L O 3

H I PÕT E SES DE FECHAMENT O

O s i s t e m a f o r m a d o p e l a s e q u a ç õ e s (161 e (17) nao é p a s s í v e l de s o l u ç ã o , p o i s a p r e s e n t a p a r a a p e n a s d u a s e q u a ç õ e s , um m a i o r n ú m e r o de i n c ó g n i t a s . V a l o r e s m é d i o s do p r o d u t o e n t r e quanti, d a d e s f l u t u a n t e s não a p r e s e n t a m um c o m p o r t a m e n t o c o n h e c i d o , s e n d o p o r t a n t o r e s p o n s á v e i s p e l o e x c e s s o de v a r i á v e i s . B u s c a n d o - s e u ma s o l u ç ã o v i á v e l , l a n ç a - s e m ã o da s h i p ó t e ses de f e c h a m e n t o c o m a i n c l u s ã o dé r e l a ç õ e s ou m o d e l o s m a t e m á t i ­ cos q u e e x p r i m e m e s t a s q u a n t i d a d e s d e s c o n h e c i d a s em f u n ç ã o das v a r i á v e i s V z e 0 , v e l o c i d a d e m é d i a e e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a . Os m o d e l o s u t i l i z a d o s s ã o b a s e a d o s em B e c k w i t h e Bushnell £ 0 2 ]. E s t e s m o d e l o s f o r a m i n i c i a l m e n t e u t i l i z a d o s p o r Glushko c i t a do p o r [0 2], na s o l u ç ã o do e s c o a m e n t o da c a m a d a l i m i t e em p l a c a p l a n a . 3 . 1 - I n v e r s ã o da C o o r d e n a d a R a d i a l Beckwith, e B u s h n e l l [ Q 2 } u t i l i z a r a m em s u as .'equações . e c o n s e q u e n t e m e n t e em s e us r e s p e c t i v o s m o d e l o s , um s i s t e m a de c o o r d e

n a d a s c a r t e s i a n a s . N e s t e s i s t e m a a c o m p o n e n t e p e r p e n d i c u l a r à p a r e

-c o o r d e n a d a s -c i l i n d r i -c a s o r a l o -c r e s -c e em s e n t i d o -c o n t r a r i o ( c e n t r o p a r a a p a r e d e ) , t o r n a - s é fnais c o n v e n i e n t e a d o t a r um s i s t e m a no q u a l o c r e s c i m e n t o o c o r r a da p a r e d e p a r a o c e n t r o . C o m e s t e o b j e t i v o p o ­ de- se - d e f i n ir urna n o v a c o o r d e n a d a "y" c o m a m e s m a d i r e ç ã o , m a s s e n ­ t i d o c o n t r á r i o a " r ”, tal q ue : y = R - r D i f e r e n c i a n d o e s t a r e l a ç ã o , o b t é m - s e : dy = - dr I n t r o d u z i n d o - se e s t a s m u d a n ç a s , o s i s t e m a f o r m a d o p o r (16) e (17) f i c a r i a do s e g u i n t e m o d o ( l e m b r a n d o que a t u a l m e n t e a ú n i c a v a r i á v e l i n d e p e n d e n t e é ”y" ) : - e q u a ç ã o de N a v i e r - S t o k e s , d i r e ç ã o z : de s ó l i d a c r e s c i a co m o a f a s t a m e n t o da p a r e d e . C o m o no s i s t e m a de

~

r

A c o m p o n e n t e da f l u t u a ç a o de v e l o c i d a d e v , p a s s a a ser

y

r e p r e s e n t a d a po r v , co m : vy Vr (18) e q u a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a :

3 .2 - M o d e l o s U t i l i z a d o s a) C o m p o n e n t e do t e n s o r de R e y n o l d s = y h í R ) e R_{q q dy} (20) o n d e 3 é urna c o n s t a n t e i g u a l a 0,2; H ( R ] é uma f u n ç ã o d a d a p o r H (R ) . q R q p a r a □ < < 0 , 7 5

R i.

R n 2 '• Rn ( - 0 , 7 5 ) p a r a 0 , 7 5 1 - ^ - < 1 , 25 R <o

q 0

R»

p a r a 1 , 2 5 < < <» R 1o (21 ) s e n d o R^ urna c o n s t a n t e i g u a l a 110j o n ú m e r o de R e y n o l d s turbjj l e n t o lo c al , d e f i n i d o p o r : __ j_

i Q 2

(2 2) v e s e n d o % urna e s c a l a de t u r b u l e n c i a que, s e g u n d o K o n s t a n t i n o v [ 09 ] p o d e s er c a l c u l a d a po r : (23) b) Taxa de d i s s i p a ç ã o v i s c o s a

v D = Cj a Q / £ 2 , o n d e á = v(1 + H(K R ) 3 K R ) Q q (24) C.j . e K. s ão c o n s t a n t e s e H ( K R ). o b e d e c e a m e s m a f u n ç ã o (21), c o m um a r g u m e n t o i g u a l a KR^ em l u g a r de Rq. c ) D i f u s ã o t o t a l : S e g u n d o B e c k w i t h e B u s h n e l l [ 02 ], a d i f u s ã o t o t a l ê f u n ç ã o do g r a d i e n t e de e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a e p o d e s e r expires sa do s e g u i n t e m o d o : 1 d R - y dy (R-y) v y ( Q +-2-) V d R - y dy (R-y) dQ dy 1 d R - y dy (R - y ) a dQ dy o n d e a a s s u m e o m e s m o v a l o F d o i t e m a n t e r i o r . S u b s t i t u i n d o e s t e s r e s u l t a d o s nas e q u a ç õ e s (18) e (19) , o b t e m - s e : e q u a ç ã o de Navier-.Sto-kes - d i r e ç ã o z : R - y _{u *} * 2 _{= V}

K

_. H (R ) 6 R _{q p} + 1 dVdy (25) e q u a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n ta

10 y z dV v J v — — Z 1 d dy R - y dy d £ dy + c I a Q£2 (26) 3 . 3 _ C o n d i ç S e s de C o n t o r n o a) C o n s i d e r a n d o a h i p ó t e s e de nã o d e s l i z a m e n t o j u n t o à p a r e d e do tubo , t a n t o a v e l o c i d a d e m é d i a a x i a l , c o m o as c o m p o n e n t e s f l u t u a n tes a p r e s e n t a m v a l o r n u l o n e s t e l oc a l , ou s e j a : - p a r a y = 0 ou r =R : V Z = 0 ¡ v ^ v Z = 0 ; Q = O b) C o n s i d e r a n d o a a x i - s i m e t r i a do p r o b l e m a , as s e g u i n t e s h i p ó t e ses p o d e m s e r a d o t a d a s : d Q „

dVZ

„ - p a r a y = R ou r - 0 : ^ =0 j —— r =0 ; dy dy - s u b s t i t u i n d o a c o n d i ç ã o de d e r i v a d a n u l a da v e l o c i d a d e m é d i a no c e n t r o do tubo, d e f i n i d a a c i m a , na e q u a ç ã o ( 10 ), s u r g e a s e g u i n t e c o n d i ç ã o de c o n t o r n o :

y z

v v =0 p a r a r = 0 ou y=R .

TRA T AM E N T O NUM É R I C O

O s i s t e m a de e q u a ç õ e s o b t i d o no c a p í t u l o a n t e r i o r é f o r ­ m a d o p o r e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s o r d i n á r i a s não l i n e a r e s e s e r á s o l u ­ c i o n a d o c o m o a u x i l i o de uiti m é t o d o n u m é r i c o . E s t e m é t o d o b a s e i a - s e no m é t o d o i m p l í c i t o de d i f e r e n ç a s f i n i t a s . V i s a n d o e s t e t i p o de s o l u ç ã o , as e q u a ç õ e s s e r ã o a d i m e n s i o - n a l i z a d a s e d i s c r e t i z a d a s n e s t e c a p í t u l o . A p a r t i r da d i s c r e t i z a ç ã o a e q u a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a a p r è s e n t a - s e , p a r a os v a ­ r i o s p o n t o s , c o m o urna m a t r i z de f o r m a t r i d i a g o n a l [ 01'^, q u e s e r á u t i l i z a d a c o m o r e c u r s o a d i c i o n a l de s o l u ç ã o . F i n a l m e n t e s e r á e l a b o r a d o um f l u x o g r a m a c o n t e n d o os pa_s sos p r i n c i p á i s de t o d o o p r o c e d i m e n t o de c á l c u l o n u m é r i c o , c o m a p o s t e r i o r u t i l i z a ç ã o do m e i o de c o m p u t a ç ã o d i s p o n í v e l , o F O R T R A N IV. 4 .1 _ A d i m e n s i o n a l i z a ç ã o 0 s i s t e m a f o r m a d o p e l a s e q u a ç õ e s p r i n c i p a i s [25} e C26) e p e l a s e q u a ç õ e s a u x i l i a r e s ( 2 0 ) . ( 2 1 ) , ( 2 2 ) , ( 2 3 ) e (24) s e r á a d i m e n - s i o n a l i z a d o a p a r t i r da d e f i n i ç ã o d as s e g u i n t e s v a r i á v e i s :

20

V = v z / v zmax ,

0 = Q / u * 2 i V Y V Z = v y v 2 / u * 2 t V = V / u' a* = o/CR V Zm a x ] { <0 = u V V 2 m a x ; n = y./R Re = 2 R * V Z m a x /v ; I = £ / R y * = u * y = — ¢) Re n1 . 1 ' n E s t a s r e l a ç õ e s são i n i c i a l m e n t e i n t r o d u z i d a s n a s e q u a ç õ e s a u x i l i a r e s e em s e g u i d a nas p r i n c i p a i s . a) E q u a ç õ e s A u x i l i a r e s : A e q u a ç ã o [22] que d e f i n e R^, o n ú m e r o de R e y n o l d s t u r ­ b u l e n t o l ocal, já e n c o n t r a - s e na f o r m a a d i m e n s i o n a l e p o d e s e r e s c r i ta e m f u n ç ã o d as v a r i á v e i s a- d im e n s i o n a i s : (27) A e s c a l a de t u r b u l ê n c i a d e f i n i d a na e q u a ç ã o (23) p o d e se r e s c r i t a do s e g u i n t e m o d s ; % * = Z / R = 0 , 3 7 - 0,24 (1-n)2 - 0,13 (1-n) (28) P e l a e q u a ç ã o (24) o v a l o r de a* s e r á : a ’ a R V m a x RÏÏ H ( K R q ) B K R q ) (29)

P o r sua v e z , o v a l o r a d i m e n s i o n a l de - v ^ v Z , da (.20 ) s e r á : - V Y V Z - — -- • — -- H [R )( B . £ u * 2 q q dr| b] E q u a ç õ e s P r i n c i p a i s : e q u a ç ã o de N a v i e r ^ S t o k e s na d i r e ç ã o z, e q u a ç ã o ( 2 5 .] •R (p ~ n) u * 2 = V ( H ( R ) 3 R q + 1] _{R q ■ q R} ^ » ou_dr) i-n --- (H (R ) 3 R +1] <p2 Re q q dr^ e q u a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a : I n t r o d u z i n d o - ^ s e as v a r i á v e i s na e q u a ç ã o (26] :

—z

V Y V Z u«2. m a x dV _ 1 r d _ R dn R(i--n) R dr) R ( 1 -ní a* V rrZ m a x _{R R} u*2 dQ _drí + c i a* V m a x R u * 2 Q R 2 l * 2 D i v i d i n d o - s e e s t a e x p r e s s ã o por u*2 V ^ a x /R V Y V Z _{drj 1 -r) dn}~ * d Q V C ia *Q

_dn

* 2 4 . 2 _ D i se r e t i z a ç ã o e q u a ç ã o (30) (31 ) + (32 3 D e v i d o as q o n d i ç õ e s p e c u 1 i a re s do p r o b l e m a , as e q u a ç õ e s g e r a i s r e s u l t a r a m em f u n ç ã o de a p e n a s uma v a r i á v e l i n d e p e n d e n t e y ,

22 a c o o r d e n a d a r a d i a l p a r a o t u b o . A s o l u ç ã o das e q u a ç õ e s c o n s i s t i r á p o r t a n t o , em d e t e r m i n a r as d i s t r i b u i ç õ e s das v a r i á v e i s d e p e n d e n t e s c o m y . C o m v i s t a s à a p l i c a ç ã o do m é t o d o n u m é r i c o de d i f e r e n ç a s f i n i t a s , as e q u a ç õ e s d e v e m ser d i s c r e t i z a d a s . E s t e p r o c e s s o c o n s i s ­ tirá, em p r i m e i r o lugar, na d e f i n i ç ã o de uma g r a d e g e o m é t r i c a p a r a a c o o r d e n a d a r a d i a l r| a p a r t i r de sua d i v i s ã o em um d e t e r m i n a d o n ú m e r o de p o n t o s . A s e g u i r , as e q u a ç õ e s d i s c r e t i z a d a s s e r ã o a p l i c a ­ das a t o d o s os p o n t o s p o s s í v e i s da g r a d e . P a r a os p o n t o s e x t r e m o s s e r ã o e s t a b e l e c i d a s c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o n e c e s s á r i a s à s o l u ç ã o e já a p r e s e n t a d a s no i t e m 3.3 . 4 . 2 . 1 - D e f i n i ç ã o da G r a d e E m e s c o a m e n t o s t u r b u l e n t o s , c o n f o r m e [ 13 ] , e x i s t e m t r ê s r e g i õ e s até c e r t o p o n t o d i s t i n t a s ao l o n g o do ra io, que s e r i a m : sub c a m a d a v i s c o s a , j u n t o à p a r e d e j a r e g i ã o i n t e r m e d i á r i a , d e s i g n a d a p o r s u b - c a m a d a de t r a n s i ç ã o ou de s u p e r p o s i ç ã o ; r e g i ã o de e s c o a m e n ­ to c o m p l e t a m e n t e t u r b u l e n t o ao c e n t r o . A r e g i ã o c e n t r a l , de e s c o a m e n t o c o m p l e t a m e n t e t u r b u l e n t o o c u p a g r a n d e p a r t e do r a i o do t u b o , s e n d o ás d e m a i s b a s t a n t e p r ó x i ­ mas da p a r e d e . E m r a z ã o d e s t a p r o x i m i d a d e , as d u a s p r i m e i r a s regiões são de g r a n d e i m p o r t â n c i a n e s t e e s t u d o p o i s no i n t e r i o r ' d a s m e s m a s é que o c o r r e m os m a i o r e s g r a d i e n t e s das v a r i á v e i s do e s c o a m e n t o , c £ mo v e l o c i d a d e m é d i a , e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a e t e n s ã o turbulenta. A s s i m , d e v e - s e e s c o l h e r u m a g r a d e c u j a m a l h a p o s s u a p e q u e n o s e s p a ­ ç a m e n t o s p a r a q ue um n ú m e r o a d e q u a d o de p o n t o s s e j a a t i n g i d o , f o r n e c e n d o as i n f o r m a ç õ e s n e c e s s á r i a s p a r a o c o n h e c i m e n t o da e s t r u t u r a

do e s c o a m e n t o n e s t a s r e g i õ e s . P ò r o u t r o lado, a . p a r t e c e n t r a l do tu u m a r e g i ã o m a i o r , não s e n d o n e c e s s á r i a a u t i l i z a ç ã o de e s p a ç a m e n t o s t ã o p e q u e n o s , q ue a c a r r e t a r i a m u m d e m a s i a d o n ú m e r o de p o n t o s . Optou- se, e n t ã o , p or u m a g r a d e dé e s p a ç a m e n t o s v a r i á v e i s . E s t á v a r i a ç ã o s é r á b a s e a d a e m u m a p r o g r e s s ã o g e o m é t r i c a de r a z ã o S e d e f i n i d a da s e g u i n t e m a n e i r a : m e n t e . C o n h e c i d o o n ú m e r o de R e y n o l d s do e s c o a m e n t o e a c o n s t a n t e 4> p o d e - s e c a l c u l a r o v a l o r de T] c o r r e s p o n d e n t e a y + * 1 ¡ P o r o u t r o l a do o ú l t i m o t e r m o da p r o g r e s s ã o g e o m é t r i c a se r e l a c i o n a c o m o s e g u n d o t e r m o : bo a p r e s e n t a - uma m e n o r v a r i a ç ã o d os p a r â m e t r o s do e s c o a m e n t o ' p a r a - o p r i m e i r o i n t e r v a l o j u n t o ã p a r e d e foi d e f i n i d o c o m o i n i c i ­ a n d o em y + = 0 (.-11=0] e t e r m i n a n d o em um v a l o r de y + = 1, a p r o x i m a d a -o v a l -o r d-o n ú m e r -o de p -o n t -o s t -o t a l (m3 da g r a d e s e r á e s c -o l h i ­ do de m o d o a f o r n e c e r um v a l o r a d e q u a d o p a r a a r a z ã o S, e a s s i m a c o o r d e n a d a n a s s u m e v a l o r e s nos m p o n t o s , c o m o rjj » c o m j v a r i a n d o de 1 a m. N e s t e c a s o e rjm = 1 . ri2 t e r i a um v a l o r c o r r e s p o n ­ d e n t e a y =. 1 {

+

os d e m a i s p o n t o s da g r a d e s e r ã o d e f i n i d o s p e l a p r o g r e s s ã o g e o m é t r i c a n s n 5 n = s n 3

2

1*

3

m- 2

_{mas, c o m o n = 1}

m

24 i 1 C o m a o b t e n ç ã o do v a l o r de S, a g r a d e e s t a r á d e f i n i d a e as e q u a ç õ e s p o d e r ã o se r d i s c r e t i z a d a s p a r a e s t a g r a d e . P a r a os v á r i o s n ú m e r o s de R e y n o l d s a s e r e m u s a d o s , e s c o - l h e u - s e um n ú m e r o t o t a l de c e m p o n t o s , r e s u l t a n d o em v a l o r e s de S a p r o x i m a d a m e n t e d e n t r o de um a f a i x a p e r m i s s í v e l d e f i n i d a p o r C e b e c i e S m i t h , c i t a d o s p o r F e r r e i r a £ 06 ] . 4 . 2 . 2 - E q u a ç õ e s na F o r m a D i s c r e t a A d i s c r e t i z a ç ã o s e r á f e i t a e m t o r n o de um p o n t o j q u a l ­ q u e r . U m a f u n ç ã o F n e s t e p o n t o s e r i a d e s i g n a d a p o r Fj . As d e r i v a d a s de .F em r e l a ç ã o a Tl s e r i a m : - d e r i v a d a c e n t r a l : É L

dn

j - A n . + A n j M~ F j-1 ( 34 ) e n t r e os p o n t o s j e j + 1 í do m e s m o m o d o : - d e r i v a d a c r e s c e n t e

dF_

dfi

F 4 - - F,

J + 1 j

ú n j

C 3 5 ) - d e r i v a d a s e g u n d a , u s a n d o a d e f i n i ç ã o de p o n t o s j + 1/2 j - 1 / 2 C A é uma f u n ç ã o q u a l q u e r ) :

É _ fA 1 L

dn L dTi

[*

— dnj Ij + 1/2

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dF dn j - 1 / 2

1

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_{j + A n j-l'}

Aj + 1/2

_{A n ,}-

f j ;

F j - F j-i] 1 A n j-1

J

i (An +An, A

_j-1/2

P a r a os p o n t o s j + 1 / 2 e j - 1 / 2 : a j + 1 / 2 . v y .,

ti

_{j - 1 / 2} A . + A . , J J -1 S u b s t i t u i n d o e s t é s v a l o r e s : d dn

A

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CA. + A . .)

J J+1- F J.*1 " F j

_{A n j}

F j ' F i-1 - C A . + A . , ) -¿-T----i—¡-J J-1 A n j-1 4 V A n j - i (36) C o m b a s e n e s t e s r e s u l t a d o s o s i s t e m a de e q u a ç õ e s p o d e ser d i s c r e t i z a d o em t o r n o do p o n t o j. C o m o o m é t o d o de c á l c u l o é i t e r a ­ t ivo, a v a r i á v e l r e f e r e n t e à e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a m é d i a t e r á m a i s um í n d i c e Ci), r e l a t i v o à i t e r a ç ã o . As e q u a ç õ e s a s s u m e m a s e ­ g u i n t e f o r m a : = 0 , 37 - 0 , 24 -C.1-.rij 3 a - 0 , 1 3 C1 - n j ) C 37 3

26 Rq - ï * RG 4 ‘ l C i . j :2 (3 80

è [

1 + H ( K R ) 6 K R

qJ

V C 3 9 r V - V 2 1+1 1-1 • V Y V Z = — -- H C R ) e .• j ¢)2 Re q j q j n j n j-1 C 400 P a r a a d i s t r i b u i ç ã o de v e l o c i d a d e m é d i a , a p a r t i r da equa ção de N a v i e r - S t o K e s : H ( R ) P R + 1

•

qj

qJ

V / - * v • ,

_{j + 1}

_{j - 1}

Ari . + Ari . „

J

'j-1

(41)

u s a n d o - s e o c o n c e i t o de d e r i v a d a c e n t r a l ; ou ¢)2 Re H ( R (42) u s a n d o - s e o c o n c e i t o de d e r i v a d a c r e s c e n t e . A p l i c a n d o a e q u a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a ao p o n t o j, i t e r a ç ã o i+1 : v i*i ' V i 1 - V Y V 7 -J—---- — i----* — 1

j Anj ♦ Arij -1 1 -»j ( ! 1 -rij )Oj * “j . , 1

(V l . J * - 1 ~ ‘’l - I . J ) . a * » { 1 -n . . ) a* „)

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'j-1 j-1

fq i + i , j " q i H , j - i '

AV i

Aüj *

C i = ° (43)

*J ' l o j 1

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a j ' i : A n j . U n ^ A K j . , ) -- 1 ( 4 4 >

C J ' (“j -

■

1451

B J - A 3 - CJ *

1

(46)

V i ‘ V 1-1 □ . = V Y V Z . ^ J j (47) J 3 n j ,. A V 1 a e q u a ç ã o (43) p o d e ser e s c r i t a c o m o : A, CL „ . _{j w i + 1 , j + 1} + B. Q. . . + C. Q. „ . , = D. _{j i + 1,J j w i + 1 , j - 1 j} , (48) c u j a s o l u ç ã o f o r n e c e a d i s t r i b u i ç ã o de j-A p l i c a n d o - s e a e q u a ç ã o (48) p a r a os p o n t o s j = 2 a té j = m-1, o b t é m - s e um s i s t e m a de e q u a ç õ e s l i n e a r e s , co m m - 2 e q u a ç õ e s e m - 2 i n c ó g n i t a s , c u j a m a t r i z r e p r e s e n t a t i v a é c o n h e c i d a c o m o matriz ■tridiagonal- [ 01 ] . S u a s o l u ç ã o é d a d a p o r : Q . „ . = G . Q . „ . + GP . , ( 4 9 ) i + 1 .j j 1 + 1 ,J+1 J " A 1 onde: G = B ■ + C J.g---- ; C 50 3 j j j-1 -GPi = D -Í ' C J G P j-1 C 51 ) B J * C j G 3-1 ü v a l o r d e s c o n h e c i d o da e q u a ç ã o (49) é s e m p r e + j e o c á l c u l o i n i c i a - s e no p o n t o j= m - 1 , p o i s j+1 = m é um p o n t o c o n h e e i d o c o m o c o n d i ç ã o de c o n t o r n o .

2 8 As c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o d é f i n i d a s no i t e m 3. 3 a s ­ s u m e m a s e g u i n t e f o r m a : - p a r a n = 0 (r=R) j Q l + 1 > 1 =0 J V Y V Z i =0 ; =0 - p a r a n = 1 Cr=Q) j V Y V Z = 0 j V m = 1 . r

m

m

a

- dQ

A c o n d i ç ã o ~ ? i + '1 , m g i + 1 , m-1 1 =0 p o d e s e r d e s c r i t a p o r

n = i

c o m o Q. „ _{1 + 1 ,m} nã o é c o n h e c i d o p a r a o c á l c u l o de Q . . _{K 1 + 1 ,m-1} ., o p t o u - s e_p p e l a c o n d i ç ã o : p o i s a d i s t r i b u i ç ã o Q já é c o n h e c i d a 1 $ J » C o m a c o n d i ç ã o Q. _{X ^} =0, os t e r m o s d e f i n i d o s ñas equa t. $ \ “■ ç õ e s (50] e (51) s e r i a m , p a r a o p o n t o 1 : . 4 . 3 - V a l o r das C o n s t a n t e s : No p r o b l e m a s u r g e m q u a t r o c o n s t a n t e s , i n t r o d u z i d a s c o m os m o d e l o s . Um b o m a j u s t a m e n t o e n t r e os r e s u l t a d a s p r e v i s t o s p e l a s e q u a ç õ e s m o d e l a d a s e os d a d o s e x p e r i m e n t a i s irá d e p e n d e r dos v a l o r e s a s s u m i d o s p o r e s t a s c o n s t a n t e s . Os v a l o r e s i n i c i a l - m e n t e u s a d o s , c o n f o r m e B e c k w i t h e B u s h n e l l £ 02 J , são :

C, = 3 , 9 3 ; K = 0,4 j 3 = 0,2 ; R = 110

"

qo

O u t r a c o n s t a n t e , d e p e n d e n t e do n u m é r o de R e y n o l d s é a r e l a ç ã o ¢ = u * / V Z ma x . Seu v a l o r p o d e ser o b t i d o da e q u a ç ã o (56) a p l i c a d a a r = 0, ' o n d e ri = 1 ou y + = d> R e / 2 e V Z = V Z ou V = 1. m a x R e s u l t a r i a na s e g u i n t e r e l a ç ã o i m p l í c i t a : 1 = <j> (2,5 S,oge V 5,5) (52) 4 . 4 - C o n v e r g ê n c i a e P e r f i s I n i c i a i s C o m o o m é t o d o de s o l u ç ã o é i t e r a t i v o , há n e c e s s i d a d e de se a r b i t r a r p e r f i s i n i c i a i s p a r a as v a r i á v e i s do p r o b l e m a . a b u s c a da s o l u ç ã o c o n s i s t e em u t i l i z a r as e q u a ç õ e s i t e r a t i v a m e n ­ te, c o m p a r a n d o - s e os r e s u l t a d o s em c a d a i t e r a ç ã o . D e s t e m o d o o ob j e t i v o a s e r a t i n g i d o é a c o n v e r g ê n c i a , que é c o n s e g u i d a q u a n d o a d i f e r e n ç a e n t r e as d u a s ú l t i m a s i t e r a ç õ e s a t i n g e u m v a l o r m e n o r que uma c e r t a t o l e r â n c i a e s t i p u l a d a . T o d o e s t e p r o c e s s o de c o n v e r g i n c i a e s t á ’b a s e a d o na v a r i á v e l e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a (Q). A t o l e r â n c i a e é c a l c u l a d a p a r a t o d o s os p o n t o s j = 2 a té m, em c a d a i t e r a ç ã o . C o m o 0 a s s u m e v a l o r e s s e m p r e p o s i t i v o s :

¡Qi+1 i - Oi J

e . = — —... '3---- (53) i. J A c o n v e r g ê n c i a é a t i n g i d a q u a n d o a t o l e r â n c i a p a r a c_a da p o n t o f o r m e n o r ou i g u a l ao v a l o r 0 , 0 0 1 , e s c o l h i d o : e <_ 0,001 p a r a j = 2 , m J

30 0 p e r f i l i n i c i a l p a r a a v e l o c i d a d e m é d i a l o n g i t u d i n a l Vj , foi o b t i d o a p a r t i r da d i s t r i b u i ç ã o a p r e s e n t a d a p o r W e l t y , W'icks e W i l s o n [ 16 ] : V = <j) y + p a r a Q < y + < 5 (54) V = ¢) (5 Aog' .y+ - 3,05) p a r a 5 < y + <_ 30 (55) V = i(i (2,5 i o g g y + + 5,5) p a r a y + > 30 (56) A p a r t i r da d i s t r i b u i ç ã o de v e l o c i d a d e o p e r f i l inici_ al p a r a a t e n s ã o t u r b u l e n t a (VYVZ) foi o b t i d o da e q u a ç ã o de Navier- Sto kes (18). C o m a i n t r o d u ç ã o do c o n c e i t o " p a r â m e t r o de e s t r u t u r a ’,’ a q u i d e s i g n a d o p o r P E S T R e u t i l i z a d o po r F e r r e i r a £ 06 ] « o p e r f i l i n i c i a l Q, . p o d e s e r o b t i d o p o r : i > J Q . = 2 . P E S T R . " V Y V Z ; (57) ' « J J o n d e P E S T R a s s u m e um v a l o r a p r o x i m a d o de 0 , 1 5 . 4 . 5 - F l u x o g r a m a : A s e g u i r s e r á a p r e s e n t a d o um r o t e i r o c o n t e n d o os p a s ­ sos p r i n c i p a i s do p r o g r a m a n u m é r i c o . a) I n í c i o do p r o g r a m a

a.1 - d e f i n i ç ã o do v a l o r das c o n s t a n t e s do p r o b l e m a ; a . 2 - c á l c u l o do v a l o r de <j) p e l a e q u a ç ã o (52) )

a . 3 - o b t e n ç ã o da: g r a d e c o m c á l c u l o da r a z ã o da p r o g r e s s ã o g e o m é ­ t r i c a S, dos v a l o r e s n. p a r a j v a r i a n d o de 1 até m e Ari.,

J

J

. p a r a j v a r i a n d o de 1 a m-1 j a . 4 - c á l c u l o dos p e r f i s i n i c i a i s V., V Y V Z . e Q . ; J J 1 • J a. 5 - c á l c u l o de £* , c o m j v a r i a n d o de 1 a t é m-1 , p e l a equação (37); a. 6 - i n t e r p o l a ç ã o d o s v a l o r e s e x p e r i m e n t a i s p e l o ’ m é t o d o de L a g r a n g e , a t r a v é s da s u b r o t i n a P R E D I F , c o m o o b j e t i v o de ada_p t á - l o s à g r a d e do p r o b l e m a ¡ a . 7 - i m p r e s s ã o dos p e r f i s i n i c i a i s e e x p e r i m e n t a i s . b) P r o c e s s o i t e r a t i v o i n t e r n o : b.1 - d e f i n i ç ã o das c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o ; b.2 - c á l c u l o de R ^ p e l a e q u a ç ã o -(38) e otj » e q u a ç ã o (39) ; b .3 - c á l c u l o de , j=2 a m- 1 , a t r a v é s do p r o c e s s o de m a t r i z t r i d i a g o n a l , e q u a ç õ e s (49), (50) e ( 5 1 ) ; b.4 - t e s t e . d e c o n v e r g ê n c i a , e q u a ç ã o (53). Se não h o u v e c o n v e r g ê n ­ cia, o p r o c e s s o d e v e ser r e p e t i d o a p a r t i r do i t e m b.1, c o m a n o v a d i s t r i b u i ç ã o Q^ + ,| ^ • Se houve c o n v e r g ê n c i a , o p r o c e s s o i n t e r n o e s t á c o n c l u i d o . c) P r o c e s s o i t e r a t i v o e x t e r n o : i n c l u i o p r o c e s s o i t e r a t i v o intei: no . c.1 - p r o c e s s o i t e r a t i v o i n t e r n o ; c . 2 - c á l c u l o de R e H ( R a ), e q u a ç õ e s (38) e (21), a p a r t i r da q j 4 j ú l t i m a d i s t r i b u i ç ã o j * c . 3 - c á l c u l o de V. p e l a s e q u a ç õ e s (41) ou (42) e V Y V Z p e l a e q u a - ção .(40) ;

32 c . 4 - t e s t e de c o n v e r g ê n c i a : se h o u v e m a i s de u ma i t e r a ç ã o no p ro c e s s o i n t e r n o , a c o n v e r g ê n c i a n ão e s t á a s s e g u r a d a p o i s h o u v e m o d i f i c a ç õ e s na d i s t r i b u i ç ã o Q . . .. 0 p r o c e s s o é r e i n i c i a d o 1 + I I J a p a r t i r do i t e m c.1 a c i m a , c o m o s n o v o s v a l o r e s de V e

«j

V Y V Z j c a l c u l a d o s . Mas se h o u v e s o m e n t e uma i t e r a ç ã o no p r o ­ cesso, i n t e r n o , si g n i f i c a q u e o . s v a l o r e s de V, e V Y V Z . c a l c u

-J

J

l a d o s no p r o c e s s o e x t e r n o não m o d i f i c a m m a i s a d i s t r i b u i ç ã o Q ^ + ^ d e n t r o de uma c e r t a t o l e r â n c i a , e o p r o c e s s o c o n v e r ­ giu. d) R e s u l t a d o s f i n a i s : d.1 - c á l c u l o dos t e r m o s p r o d u ç ã o , d i f u s ã o e d i s s i p a ç ã o , integrantes da e q u a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a j d.2 - c á l c u l o da v e l o c i d a d e m é d i a na s e ç ã o do e s c o a m e n t o ¡ d . 3 - c á l c u l o do c o e f i c i e n t e de f r i c ç ã o ; d . 4 - i m p r e s s ã o dos r e s u l t a d o s f i n a i s , c o m o uso da s u b r o t i n a P L O T T E R p a r a a t r a ç a g e m de g r á f i c o s e n v o l v e n d o as v a r i á v e i s do p r o b l e m a . T o d o s os p a s s o s p o d e m s e r m o s t r a d o s r e s u m i d a m e n t e no d i a g r a m a de b l o c o s da f i g u r a .(4.1].

Q

INICIO ^

Definição das Constantes e da GTade Perfis Iniciais

PREDIF Impressão dos Perfis Iniciais e Experimentais^

Iterativo Externo

t

Processo Iterativo Interno Cálculo de Rqj e ctj Calculo de Q¿.+]_ j Cálculo de Rq^ e H(Rq^) Eq. Q. Movimento - V J Equação(40) - VYVZ^ Não \ s a i d a dos Resultados j

C F'M )

C£ , PROD, DIFPQ, DIFV e DISS _.

PLOTTER

C A P Í T U L O 5

AN ÁL IS E DOS RES U LTA DOS

ü t e s t e f i n a l de q u a l q u e r e s q u e m a n u m é r i c o é a s u a a p l i c a ç ã o a p r o b l e m a s , p a r a os q u a i s e x i s t a m d a d o s e x p e r i m e n t a i s . P o r i n t e r m e d i o de c o m p a r a ç õ e s : c o m e s t e s d a d o s , p o d e - s e r e j e i t a r ou a j u s t a r o m é t o d o . C o m o o m o d e l a u t i l i z a d o no p r e s e n t e t r a b a l h o d e m c n s - t r o u - s e v á l i d o q u a n d o de sua a p l i c a ç ã o ao c á l c u l o dos p a r á m e t r o s da c a m a d a l i m i t e t u r b u l e n t a s o b r e s u p e r f i c i e s c u r v a s [ 0 6 ] , a s u a e x t e n são ao e s c o a m e n t o i n t e r n o de m e s m a n a t u r e z a d e v e r á c o m p o r t a r - s e de f o r m a a n á l o g a , p e l a s e m e l h a n ç a f í s i c a e x i s t e n t e . S e g u i n d o e s t a l i n h a dé r a c i o c í n i o , a f i m de q u e o m é t o ­ do n u m é r i c o a p r e s e n t a d o p o s s a s e r a n a l i s a d o , v á r i o s p a r â m e t r o s do e s c o a m e n t o i n t e r n o em um t u b o c i r c u l a r f o r a m c a l c u l a d o s e são a p r e ­ s e n t a d o s c o m o r e s u l t a d o s f i n a i s . 5.1 - R e s u l t a d o s O b t i d o s 0 p r o b l e m a n u m é r i c o f o i r e s o l v i d o p a r a v á r i o s n ú m e r o s de R e y n o l d s . C o n s i d e r a n d o - s e t o d o s e s t e s c a s o s em c o n j u n t o , o n ú m e r o de g r á f i c o s r e s u l t a n t e s foi e x c e s s i v o , e s o m e n t e a l g u n s s e r ã o a p r e s e n t a dos no p r e s e n t e t e xt o. Os r e s u l t a d o s f i n a i s s ão os s e g u i n t e s :

- p e r f i l u n i v e r s a l de v e l o c i d a d e ( V + ) ; - d i s t r i b u i ç ã o da t e n s ã o t u r b u l e n t a de R e y n o l d s (VYVZ) j - c o e f i c i e n t e de f r i c ç ã o (C^,) ¡ - d i s t r i b u i ç ã o ’ d a ’, e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a (Q) j - d i s t r i b u i ç ã o dos t e r m o s c o m p o n e n t e s da e q u a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a (PROD, D I F P Q , D I S S, D I F V ) . 5.2 - D i s c u s s ã o dos R e s u l t a d o s M é t o d o s n u m é r i c o s a p r e s e n t a m l i m i t a ç õ e s , p e l a s u a n a t u ­ reza. Co m o uso de m o d e l o s m a t e m á t i c o s s i m u l a - s e o c o m p o r t a m e n t o de v á r i o s t e r m o s das e q u a ç õ e s , h a v e n d o uma c e r t a a p r o x i m a ç ã o i n c l u i d a n e s t e p r o c e d i m e n t o . A p e s a r d e s t a e de o u t r a s a p r o x i m a ç õ e s , e s p e r a - s e o b t e r um q u a d r o g e r a l em termos" de v e l o c i d a d e m é d i a , t e n s ã o turbuleri ta e e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a q u e f o r n e ç a i m p o r t a n t e s i n f o r m a ç õ e s a c e r c a da e s t r u t u r a do e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o . 5 . 2 . 1 - P e r f i l de V e l o c i d a d e A v e l o c i d a d e m é d i a a x i a l do e s c o a m e n t o e s t á r e p r e s e n t a ­ da p o r V + , a d i s t r i b u i ç ã o u n i v e r s a l de v e l o c i d a d e , em f u n ç ã o da e s c a la da p a r e d e ( y + ). Seu c o m p o r t a m e n t o b a s t a n t e s a t i s f a t ó r i o p o d e s e r o b s e r v a d o nas f i g u r a s (5.01) e (5.02) p a r a Re = 5 x 1 o 1* e Re = 5 x 1 0 5 , r e s p e c t i v a m e n t e . A d i s t r i b u i ç ã o e s c o l h i d a c o m o p a d r ã o de c o m p a r a ç ã o c o n s t a da d i s t r i b u i ç ã o u n i v e r s a l de v e l o c i d a d e na f o r m a i m p l í c i t a , d e s e n v o l v i d a po r S p a l d i n g e a p r e s e n t a d a p o r W h i t e [l7], c o m a s e g u i n te f o r m a :

+

. + ( 0 , 4 V + ) 2

2

y + = V + + 0, 11 0 8 [ e ° ' 4V - 1 - 0 , 4V

F I G U R A 5.01 - D i s t r i b u i ç ã o u n i v e r s a l de v e l o c i d a d e