Ajuste de curvas do semivariograma pelo método dos mínimos quadrados e inserção computacional no GeoLEAP

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PETRÓLEO

AJUSTE DE CURVAS DO SEMIVARIOGRAMA PELO MÉTODO DOS

MÍNIMOS QUADRADOS E INSERÇÃO COMPUTACIONAL NO

GEOLEAP

SILVESTRE LUIZ CASTRO DE MORAIS FILHO

Novembro, 2018 NATAL, RN

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ii SILVESTRE LUIZ CASTRO DE MORAIS FILHO

AJUSTE DE CURVAS DO SEMIVARIOGRAMA PELO MÉTODO DOS

MÍNIMOS QUADRADOS E INSERÇÃO COMPUTACIONAL NO

GEOLEAP

Trabalho apresentado ao Curso de Engenharia de Petróleo da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obtenção do título de Engenheiro de Petróleo.

Orientador (a): Prof. Dr. Edney Rafael Viana Pinheiro Galvão

Novembro, 2018 NATAL, RN

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MORAIS FILHO, S. L. C. de. Ajuste de curvas do semivariograma pelo método dos mínimos

quadrados e inserção computacional no GeoLEAP. 2018. 61 f. TCC (Graduação) - Curso de Engenharia de Petróleo, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, Brasil, 2018.

Palavras-Chaves: Semivariograma, Modelos paramétricos, Ajuste de curvas, Método dos

mínimos quadrados.

Orientador: Prof. Dr. Edney Rafael Viana Pinheiro Galvão

RESUMO

___________________________________________________________________________

A geoestatística tem como objetivo a caracterização espacial de uma variável de interesse por meio dos estudos da sua distribuição e variabilidade espacial, caracterizando-se como uma importante ferramenta de modelagem de reservatório. Ela incentiva a interdisciplinariedade, promovendo um melhor diálogo entre engenheiros de petróleo, geólogos e matemáticos, sendo seus dois principais componentes a estimativa e a simulação. Os softwares de geoestátistica englobam uma grande variedade de produtos em termos de preço, interface amigável, sistema operacional, funcionalidades e capacidades gráficas. No presente trabalho, foi aprimorado o software da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, chamado GeoLEAP, voltado para a geoestátistica, com finalidade acadêmica e científica. Foi implementado o ajuste automático de curvas de semivariogramas experimentais por meios de quatro modelos paramétricos: Cúbico, efeito de furo, pentaesférico e de potência. Os resultados mostram que os modelos paramétricos deste trabalho, mesmo com suas particularidades, tem bons ajustes para os semivariogramas trabalhados.

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Trabalho de Conclusão de Curso – Engenharia de Petróleo –CEP/CT/UFRN 2018.2

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Silvestre Luiz Castro de Morais Filho

MORAIS FILHO, S. L. C. de. Semivariogram curves fitting by the least squares method and

computational insertion in GeoLEAP. 2018. 61 f. TCC (Graduação) - Curso de Engenharia de Petróleo, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, Brasil, 2018.

Keywords: Semivariogram, Parametric Models, Curves Fitting, Least squares method. Tutor: Prof. Dr. Edney Rafael Viana Pinheiro Galvão

ABSTRACT

__________________________________________________________________________

Geostatistics aims to spatial characterization of a variable by means of studies of its distribution and spatial variability, it is an important tool in reservoir modeling. It promotes interdisciplinary, improving the relationship among petroleum engineers, geologists and statisticians its two main components being the estimation and simulation. The geoestatistical software encompasses a wide range of products in terms of price, user-friendliness, operating systems, functionalities and visualization capabilities. In the present study, it was improved the software from Universidade Federal do Rio Grande do Norte, called by GeoLEAP, geoestatistical, for academic and scientific purposes. It was implemented the automatic curves fitting of experimental semivariogram by four parametric models: Cubic, sine hole, pentaesferic and power. The results show that the parametric models of this work, even with its peculiarities, have good curves fitting for the semivariograms.

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DEDICATÓRIA

Dedico esse trabalho a Deus, meus pais, Silvestre e Rosemary, meus avós, Maria Lila, Luciano, Djanira e Rivaldo, meus irmãos, Rodrigo e Ana Cecília e minha namorada Ana Laura por todo o apoio durante todos esses anos de graduação e estarem comigo em todas as dificuldades e superações.

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AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus por me dar discernimento nas batalhas da vida e me dar forças para continuar em frente em busca dos meus objetivos.

À minha família, por sempre estarem comigo nos momentos de felicidade e tristeza em busca de superarmos juntos as dificuldades da vida.

À minha namorada Ana Laura, por estar comigo durante toda a minha graduação e termos passados tantos momentos juntos, compartilhando momentos de crescimento pessoal e acadêmico.

Aos meus amigos, em especial, aos que a engenharia de petróleo me deu: Alan Silva, Matheus Carneiro, Thainá Márlia, Thiago Montenegro, Henrique Barreto e Érick Buonora que compartilhamos muitos momentos de nervosismo, estudo e felicidade nas aprovações.

Ao Prof. Dr. Marcos Allyson Felipe Rodrigues, por toda a ajuda como professor, orientador de estágio e orientador deste trabalho, sempre se mostrando uma pessoa prestativa e atenciosa.

Ao Prof. Dr. Edney Rafael Viana Pinheiro Galvão, pelas instruções deste trabalho, paciência, tempo e por ser prestativo.

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SUMÁRIO 1. Introdução ... 2

2. Aspectos teróricos ... 5

2.1 Aspectos históricos da Geoestatística ... 5

2.2 Modelo de Funções Aleatórias ... 6

2.3 Estacionaridade ... 7

2.4 Variograma ... 9

2.5 Método dos Mínimos Quadrados ... 12

2.6 Método de Newton ... 14

3. Materiais e Métodos ... 17

3.1 Ferramenta Computacional ... 17

3.2 GeoLEAP ... 17

3.3 Modelagem Matemática ... 19

3.4Modelos Teóricos no GeoLEAP ... 30

4. Resultados e Discussões ... 34

4.1 Semivariogramas Utilizados ... 34

4.2 Cálculo do erro por Norma Euclidiana ... 35

4.3 Comparações dos Ajustes ... 35

4.4 Impacto do Ajuste Automático na Krigagem ... 39

5. Conclusões e Recomendações ... 41

5.1 Conclusões ... 41

5.2 Recomendações ... 41

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Silvestre Luiz Castro de Morais Filho ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2.1- Interpretação geométrica do semivariograma como sendo o momento de inércia em relação a linha de 45°...8

Figura 2.2 – Exemplo de semivariograma experimental...10

Figura 2.3 – Curvas do Semivariograma para os modelos Cúbico, pentaesférico e efeito de furo...12

Figura 3.1 – Interface do GeoLEAP aberta na seção dos modelos teóricos ...18

Figura 3.2 – Fluxograma do passo a passo da exeução deste trabalho...19

Figura 3.3 – Layout da seção de modelos teóricos do GeoLEAP...31

Figura 3.4 – Arquivo com os dados de entrada do variograma...32

Figura 4.1 – Variáveis paramétricas para o modelo efeito de furo ordinário...36

Figura 4.2 – Ajuste do modelo cúbico ordinário para o caso 1 com o passo 3 metros...37

Figura 4.3 – Ajuste do modelo pentaesférico ordinário para o caso 2 com passo 3...38

Figura 4.4 – Ajuste do modelo pentaesférico ordinário para o caso 3 com passo 3...39

Figura 4.5 – Vista do mapa 2D gerado pela krigagem simples do modelo pentaesférico utilizando caso 3 com passo 2,5 metros...40

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LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 – As sete combinações entre os arquivos do livro de Yamamoto com os semivariogramas e os diferentes números de passos adotados...34 Tabela 4.2 – Dados da tabela para obtenção dos erros para o modelo cúbico do caso 2 de Yamamoto...36 Tabela 4.3 - Erros dos ajustes feitos por Yamamoto e pelo GeoLEAP para o caso 2...38 Tabela 4.4 - Erros dos ajustes feitos por Yamamoto e pelo GeoLEAP para o caso 3...39 Tabela 4.5 - Erros dos ajustes feitos após a validação cruzada para Yamamoto e GeoLEAP para o caso 3...40

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LISTA DE ABREVIATURAS E/OU SÍMBOLOS E/OU SIGLAS

2D - Duas dimensões

a - Amplitude do semivariograma c - Contribuição do semivariograma

C(h) - Covariograma entre variáveis afastadas em h Cov( ٠٠ ) - Covariância entre duas funções ,

𝑐₀- Contribuição do efeito pepita E{*} - Função de Euler

F(*) - Função Gaussiana h - Vetor de separação, passo

u-Vetor Posição

𝒖_𝟎- Vetor Posição da variável estimada

𝒖_𝒊+ 𝒉-Vetor Posição𝒖_𝒊 translado em h Var {*} - Variância

𝑦𝑒𝑥𝑝_{- Variograma experimental} 𝑦𝑒𝑠𝑡_{- Variograma Estimado}

Z(ui) - Variável aleatória localizada em u

z(u) - Propriedade localizada em u

Símbolos Gregos

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CAPÍTULO I:

INTRODUÇÃO

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1 Introdução

Nos dias atuais, de grande desenvolvimento de tecnologia, para o mercado do petróleo não é diferente. Existem inúmeras ferramentas dispostas a otimizar o descobrimento e exploração do petróleo de forma a produzir cada vez mais. Da descoberta de hidrocarbonetos até a última gota de óleo recuperável de um campo maduro, a modelagem de reservatórios tem um papel central no entendimento e predição dos componentes geológicos, geofísicos e de engenharia de um reservatório (CAERS, 2005). Os modelos visam o objetivo final, como a estimativa do óleo in place,a malha ideal para um determinado método de recuperação suplementar, o posicionamento otimizado de um poço, entre outros.

É bem verdade que a heterogênea e complexa subsuperfície jamais poderá ser descrita perfeitamente mesmo com as ferramentas disponíveis, sejam elas a perfilagem de poços, testes de formação ou dados sísmicos. Essa falta de informação obriga o modelador a interpretar além dos dados existentes, recaindo em uma inevitável subjetividade na modelagem de reservatórios, porém, ela promove uma oportunidade de adicionar a experiência, que tanto interliga os dados do reservatório, como permite que o modelador vá além (CAERS, 2005).

Dentro da modelagem de reservatórios, uma importante ferramenta é a geoestatística. Pode ser entendida pelo estudo, caracterização e modelagem de variáveis aleatórias que apresentam estrutura espacial. Inicialmente, a geoestatística era voltada à mineração, mas sua aplicação estendeu-se para diversas áreas de conhecimento, tais como ciências ambientais, meteorologia, hidrologia, ecologia, agricultura, saúde e indústria petrolífera (caracterização e modelagem de reservatórios).

Os softwares de geoestatística vêm crescendo de popularidade e, atualmente, englobam uma grande variedade de produtos com diferentes preços, sistemas operacionais, interfaces amigáveis, funcionalidades e com capacidades gráficas e de visualização. Com isso, na Universidade Federal do Rio Grande do Norte, existe uma ferramenta voltada para a geostatística, o qual tem finalidade acadêmica e científica, com código aberto, que permite usuários modificarem e melhorarem os algoritmos por ele desenvolvido. O Software é denominado de GeoLEAP e permite visualização em 2D e 3D. Apesar de ser

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3 criado para a indústria petrolífera, com criação de modelos de reservatório e realizar análises variográficas, não há restrição quanto ao uso em outras áreas como: mineração, oceanografia, hidrologia e ciências ambientais.

Neste trabalho,foram feitas melhorias no GeoLEAP com a inserção do ajuste automático de curvas de determinado variograma pelos seguintes modelos paramétricos utilizados: cúbico, Pentaesférico, Efeito de Furo e Potência. O ajuste foi feito utilizando o método dos mínimos quadrados e método de Newton , queserão mostrados durante o trabalho, além dos ajustes matemáticos e a implementação computacional, assim como, os resultados dos ajustes das curvas paramétricas.

Este trabalho é composto por cinco capítulos. O Capítulo II abordo os aspectos teóricos que fundamentam toda a compreensão do trabalho. Os métodos e como foram utilizadas as ferramentas matemáticas para o trabalho desde os cálculos à implementação computacional encontra-se no Capitulo III. O Capítulo IV mostra os resultados desses estudos e as discussões sobre os mesmos. As principais conclusões obtidas neste trabalho e as recomendações para trabalhos futuros são citados no capítulo V.

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CAPÍTULO II:

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2 Aspectos Teóricos

Neste capítulo serão apresentados os principais fundamentos teóricos e conceitos aprendidos e utilizados para a fundamentação do trabalho.

2.1 Aspectos históricos da Geoestatística

A história da Geoestatística começa em 1968, quandoMatheron, formado pela École Normale Supérieure des Mines de Paris,criou o Centre de Morphologie Mathemátique, posteriormente subdividido em dois centros de pesquisa de importância fundamental para o estudo, difusão e formação de pesquisadores: Morfologia Matemática e Geoestátistica.

André G. Joumel e Michel David, ex-alunos de Matheron, foram os responsáveis por sua difusão na América do Norte. Michel David foi contratado pela Escola Politécnica de Montreal, no Canadá, e André Joumel, pela Universidade de Stanford, nos Estados Unidos, onde criou o Stanford Center for Reservoir Forecasting (SCRF), do qual foi diretor, entre 1984 e 1997, e responsável pelo início da aplicação da Geoestatística na Geologia do Petróleo. Esses professores, em suas escolas, também formaram alunos, dos quais se destaca Clayton V. Deutsch, que, após a pós-graduação na Universidade de Stanford, retornou à Universidade de Edmonton, na qual se graduara em Engenharia de Minas e Petróleo.

Clayton Deutsch colabora ativamente em periódicos internacionais e produziu obras como Geostatistical reservoir modeling (Deutsch, 2002), voltada à Geoestatística aplicada à modelagem de reservatórios de petróleo e gás. (YAMAMOTO, 2013)

Porém, as ideias de Matheron, inicialmente,receberam forte oposição por parte de geólogos e engenheiros de minas com relação à preferência pela interpolação por regressão polinomial, ou seja, por análise de superfície de tendência. Após a década de 1980, segundo Jorge KazuoYamamoto (2013), a metodologia geoestatística passou a ter ampla aplicação, pois, além de Lavra e Prospecção Mineira, é utilizada em Agricultura de Precisão, Cartografia, Climatologia, Engenharia Florestal, Geologia Ambiental, Geologia do Petróleo, entre outras áreas, onde a teoria das variáveis regionalizadas tem como objetivo o estudo e a representação estrutural desse tipo de variável para a resolução de

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problemas de estimativa, com base em dados experimentais medidos sobre suportes que não abrangem totalmente tais domínios. O termo geoestatística tem uma abrangência mais ampla do que a dada originalmente por Matheron (1971), e pode ser definido como uma subárea da Estatística que estuda variáveis regionalizadas. (YAMAMOTO, 2013).

Resumidamente, a Geoestatística tem por objetivo a caracterização espacial de uma variável de interesse por meio do estudo de sua distribuição e variabilidade espaciais, com determinação das incertezas associadas.

2.2 Modelo de Funções Aleatórias

A geoestatística é fortemente baseada no conceito de funções aleatórias, no qual o conjunto de variáveis desconhecidas é considerado como um conjunto de variáveis aleatórias espacialmente dependentes (GOOVAERTS, 1997). O conceito de funções aleatórias permite contabilizar as estruturas na variação espacial do atributo.

As variáveis aleatórias são variáveis quantitativas cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios. Como por exemplo, uma variável aleatória é o resultado do lançamento de um dado que pode dar qualquer número entre 1 e 6. As variáveis aleatórias podem ainda ser distinguidas em variáveis discretas ou contínuas.

Uma função aleatória é, basicamente, um conjunto dependente de variáveis aleatórias Z(u), uma para cada localização de u na área de estudo A, {Z(u),∀u ∈A}. Para cada conjunto de N localizações, uk, sendo k=1,...,N, corresponde a um vetor de N variáveis aleatórias {Z(u1), ..., Z(uN)}. (ROBERTSON, 2012). A Equação (2.1) é utilizada

para modelar o conjunto de incertezas sobre os N valores reais z(u1), ..., z(uN).:

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2.3 Estacionaridade

Para a geoestatística, repetir medições de uma localidade, às vezes, não é possível, então, deve-se inferir uma estrutura na função aleatória, de modo que permita o cálculo da inferência estatística. Os N valores reais z(u1), ..., z(uN) são considerados uma realização única do processo {Z(u), ∀u ∈A}. Uma função aleatória é dita estacionária se as estruturas probabilísticas parecem similares em diferentes regiões da área de estudo A, em outras palavras, a função de densidade cumulativa multivariada não é afetada pela translação do dado (ROBERTSON, 2002).

SejamZ(ui) e Z(ui+h) dois valores da variável Z obtidos nos pontos ui e ui+h,onde

h é um vetor com direção e orientação específica entre uma e três dimensões. De acordo

com a Equação (2.2), quando a função aleatória é estacionária, tem-se que:

F(𝒖_𝟏, ...,𝒖_𝑁;𝑍_𝟏, ...,𝑍_𝑁) = F(𝒖_𝟏+ h, ..., 𝒖_𝑁 + h;𝑍₁, ..., 𝑍_𝑁) (2.2)

Se dois pares de observação são pareados pelo menos vetor h, ambos podem contribuir para a estimação z(u).

Uma função aleatória é dita estacionária de segunda ordem, quando a média E{ Z(u)} existe e não depende da localização u, conforme Equação (2.3), e o covariograma C(h) existe e depende apenas do vetor de separação h, de acordo com a Equação (2.4) (ROBERTSON,2002). Na estacionaridade de segunda ordem, o covariograma é igual a variância de Z(u), quando não existe separação (h = 0), como pode ser visto na Equação (2.5):

E{Z(u)} = E{Z(u+h)} (2.3)

Cov{Z(u),Z(u+h)} = C(h) (2.4)

C(0) = Var{Z(u)} (2.5)

A estacionaridade de segunda ordem considera a existência de uma variância finita. Dentre os processos físicos, existe o movimento browniano, em que não possuem uma

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variância finita, então, é considerada uma estacionaridade intrínseca (ROBERTSON, 2002). A hipótese intrínseca considera que, para cada vetor h, o incremento Z(u+h) – Z(h) é estacionário de segunda ordem, sendo caracterizados pela Equação (2.6) e Equação (2.7):

E{Z(u+h) – Z(u)} = 0 (2.6)

Var{Z(u+h) – Z(u)} = 2γ(h) (2.7)

Onde 2γ(h) é a função variograma. O semivariograma γ(h) representa o grau de dissimilaridade entre os pontos distanciados por h. O valor obtido pela função semivariograma pode ser associado ao momento de inércia em relação a linha de 45º de um gráfico de dispersão entre Z(u+h) e Z(u), para cada valor de h

(ISAAKS;SRIVASTAVA,1989). AFigura 2.1 mostra a interpretação geométrica do semivariograma como o momento de inércia em uma linha de 45º. O ponto que coincide na reta x=y é o valor de Z(h). O gráfico de dispersão entre Z(u+h) e Z(u) é chamado de h-scatterplot.

Figura 2.1: Interpretação geométrica do semivariograma como sendo o momento de inércia em relação a linha de 45º.

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9 Sabido que o semivariograma representa a dissimilaridade entre os pontos, quanto maior o valor de γ(h) menor a relação entre os pontos. Ele é uma função par, positiva e igual a zero quando h = 0, conforme a Equação (2.8) (Drumond, 2016):

γ(h) = γ(-h)γ(h) ≥ 0γ(0) = 0 (2.8)

2.4 Variograma

Para entender a variação espacial do processo aleatório subjacente, deve-se levar em consideração a possibilidade de que o valor de cada ponto no espaço está relacionado, de algum modo, com valores obtidos de pontos situados a certa distância, sendo razoável supor que a influência é tanto maior quanto menor for a distância entre os pontos,aplicando-se as definições da função covariância e função variograma. Para o caso de determinação do modelo de correlação espacial da variável regionalizada, calcula-se experimentalmente essa correlação usando os pontos amostrais e, em seguida, ajusta-se um modelo teórico. Esse modelo teórico permite determinar o valor da correlação espacial para qualquer distância dentro do espaço amostrado. (YAMAMOTO, 2013).

A função variograma mede a variância entre pontos separados por urna distância h. Assim, para pontos próximos, a diferença é pequena e, portanto, a variância é pequena. Ao aumentar a distância, os valores dos pontos tomam-se mais diferentes e, consequentemente, a variância aumenta. Muitas vezes, a variância se estabiliza em torno de uma variância máxima, a partir de certa distância. Isso significa que, mesmo com o aumento da distância, a função variograma irá oscilar em torno da variância máxima, denominada patamar. Esses casos definem os variogramas com patamar, como pode-se observar na Figura 2.2. Entretanto, há casos que a variância continua aumentando indefinidamente com a distância, configurando variogramas sem patamar.

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Figura 2.2: Exemplo de semivariograma experimental.

Fonte: Modificado de Camargo, 2001.

De acordo com a necessidade do conhecimento das propriedades de um típico variograma, a distância segundo a qual a altura atinge certo nível, denominado patamar, que é igual a variância dos dados é chamada de alcance ou amplitude. Geralmente o patamar é representado por C + 𝐶₀ e o alcance por a. O 𝐶₀é chamado de efeito pepita e é causado pela variância aleatória; já o C é denominado como a contribuição. O efeito pepita pode ser resultado tanto da variabilidade do fenômeno espacial em estudo como da escala de amostragem. (ARMSTRONG, 1998).

O estudo de variografia nos dá informação sobre a continuidade, mas não é possível estimar blocos em distâncias para a qual não existem pontos que apareçam no variograma. Para resolver este problema é necessário impor uma função ou modelo que corresponda o melhor possível aos pontos do variograma e consiga reproduzir novos pontos em distâncias onde não existe nenhum. Para isto, precisa-se da utilização dos modelos paramétricos, como: Exponencial, gaussiano, esférico,cúbico, efeito de furo, pentaesférico e de potência. Estes modelos paramétricos podem ser visualizados nas Equações (2.9)a(2.15):

Esférico:{𝐶0(1 − 𝐻(0)) + 𝐶 ( 3 2 ℎ 𝑎− 1 2( ℎ 𝑎) 3 ) para 0 ≤ ℎ < 𝑎 𝐶₀+ 𝐶 para 𝑎 ≤ ℎ (2.9)

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11 Exponencial: 𝐶0(1 − 𝐻(0)) + C

(1 − 𝑒

− 3ℎ 𝑎

)

_{para 0 ≤ ℎ} _(2.10) Potência:𝐶₀(1 − 𝐻(0)) + αℎ𝛽_{, 0<𝛽<2 para 0≤ ℎ} _(2.11) Gaussiana:𝐶₀(1 − 𝐻(0)) + C

(1 − 𝑒

−3( ℎ 𝑎)²

)

_{para 0 ≤ ℎ} _(2.12) Cúbico:{𝐶0(1 − 𝐻(0)) + 𝐶 (7 ( ℎ 𝑎) ² − 35 4 ( ℎ 𝑎) 3 + 7 2( ℎ 𝑎) 5 − 3 4( ℎ 𝑎) 7 ) 0 ≤ ℎ < 𝑎 𝐶₀+ 𝐶 para 𝑎 ≤ ℎ (2.13) Penstaesférica:{𝐶0(1 − 𝐻(0)) + 𝐶 ( 15 8 ℎ 𝑎− 5 4( ℎ 𝑎) 3 + 3 8( ℎ 𝑎) 5 ) 0 ≤ ℎ < 𝑎 𝐶₀ + 𝐶 para 𝑎 ≤ ℎ (2.14) Efeito de Furo: 𝐶₀(1 − 𝐻(0)) + C[1 − 𝑠𝑖𝑛(4,4934 ℎ 𝑎) 4,4934ℎ_𝑎 ] para 0 ≤ ℎ (2.15)

Onde aé dado como o alance, 𝐶₀é o efeito pepita, C é a contribuição, α é a variável alfa, β é a variável beta e h é a distância entre os pontos dos semivariogramas.

Apesar desses diferentes modelos paramétricos existentes, o trabalho terá foco nos seguintes modelos: Cúbico, potência, pentaesférico e efeito de furo. Na Figura 2.3, podem ser observados alguns exemplos de curvas dos modelos de semivariogramas que serão levados em consideração no presente trabalho.

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12

Figura 2.3: Curvas do Semivariograma para os modelos Cúbico, Pentaesférico e Efeito de furo.

Fonte: Yamamoto, 2013.

Como mostram as curvas para o semivariograma da Figura 2.3, diante de uma amostragem de pontos, estes modelos dão o seu melhor ajuste, cada qual com sua particularidade de patamar e amplitude.

2.5 Método dos mínimos quadrados

Qualquer conjunto de pontos em um espaço multidimensional apresentando uma tendência regular pode ser representado por uma função matemática (EDWARDS JR, 1998). Frequentemente, esta função é escolhida através de um processo de ajuste conhecido como método dos mínimos quadrados. Para o caso mais simples de um conjunto de pontos em um espaço bidimensional, cada ponto será representado por coordenadas x e y onde a função matemática a ser construída pode ter y como uma variável dependente de x ou x como uma variável de y.

Utilizado como base dos cálculos para o desenvolvimento deste trabalho, o método dos mínimos quadrados consiste em considerar um conjunto de N pontos caracterizados

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13 pelas coordenadas {(𝑦_𝑖,𝑥_𝑖)}, onde i=1, 2, ..., N. e admitindo a variável y como sendo a variável independente, caracterizando o conjunto de pontos experimentais como: {(𝑦_𝑖𝑒𝑥𝑝,𝑥_𝑖)}. Aos valores de 𝑦_𝑖, estimados matematicamente, denomina-se por 𝑦_𝑖𝑒𝑠𝑡. Com isso, o método dos mínimos quadrados sugere que a função 𝑦_𝑖𝑒𝑠𝑡 deverá ser determinada de tal maneira que a diferença em relação ao conjunto de dados experimentais, 𝑦_𝑖𝑒𝑥𝑝, seja mínima (EDWARDS JR, 1998). Na Equação (2.16), pode-se ver a representação desse desvio, base para todo o cálculo do presente trabalho.

Q =∑𝑁_𝑖=1( 𝑦_𝑖𝑒𝑥𝑝− 𝑦_𝑖𝑒𝑠𝑡)² (2.16)

A Equação (2.16) pode ainda ser chamado de função erro, pois, uma vez que o Q = 0 (erro igual a zero), pode-se afirmar que o ajuste da curva entre os pontos experimentais está perfeito, ou seja, ajustou de forma a não ter erro. Porém, na prática, este valor dificilmente chegará a zero, mas a busca de um erro envolve o uso de derivadas. Portanto, deve-se derivar Q em relação a cada parâmetro e igualar as equações derivadas a zero, como mostra a Equação (2.17):

𝜕𝑄 𝜕𝑎

=

𝜕𝑄 𝜕𝑏

=

𝜕𝑄 𝜕𝑐

= ... = 0

(2.17)

Igualar as derivadas a zero é uma condição necessária para que se garanta o mínimo de uma função. A série de derivadas produzirá um conjunto de equações em função dos parâmetros a, b, c, ou outros, que, em alguns casos, irá possibilitar determinar os valores desses parâmetros em função do conjunto de pontos (x,y) experimentais.

2.6 Método de Newton

Um sistema de n equações e n incógnitas 𝑥₁, 𝑥₂, ..., 𝑥_𝑛 é chamado de não-linear se uma ou mais equações são não-lineares. Trazendo todos os termos diferentes de zero à

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14

esquerda de todas as equações, tem-se uma forma geral que pode ser usada para qualquer sistema não-linear. Como pode-se observar na Equação (2.18):

{

𝑓₁(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) = 0 𝑓₂(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) = 0 𝑓_𝑛(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) = 0

(2.18)

Deste modo, como citado anteriormente no item sobre o método dos mínimos quadrados, quando igualam-se as derivadas das funções a zero, para cada parâmetro, forma-se um sistema não-linear como mostra a Equação (2.19) (EDUARDO COLLI, 2009). Contudo, posteriormente será resolvido utilizando o Método de Jacobiano.

𝐹(𝑎, 𝑏, 𝑐) = [ 𝜕𝑄 𝜕𝑎 = 0 𝜕𝑄 𝜕𝑏 = 0 𝜕𝑄 𝜕𝑐 = 0] (2.19)

Após montado o sistema não-linear, monta-se a matriz Jacobiana, formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial ao exemplo da Equação (2.19), como mostra a Equação (2.20).

J(x)=

[

𝜕𝑓₁ 𝜕𝑥₁

(𝑥)

𝜕𝑓₁ 𝜕𝑥₂

(𝑥)

𝜕𝑓₂ 𝜕𝑥1

(𝑥)

𝜕𝑓₂ 𝜕𝑥2

(𝑥)

⋯

𝜕𝑓₁ 𝜕𝑥_𝑛

(𝑥)

𝜕𝑓₂ 𝜕𝑥𝑛

(𝑥)

⋮

⋱

⋮

𝜕𝑓_𝑛 𝜕𝑥₁

(𝑥)

𝜕𝑓_𝑛 𝜕𝑥₂

(𝑥)

⋯

𝜕𝑓_𝑛 𝜕𝑥_𝑛

(𝑥)]

(2.20)

Com isto, o método de newton foi utilizado como o principal método para a resolução do sistema não-linear, através de iterações e, a cada iteração, o método determina a solução da aproximação linear da função. Sendo assim, conhecida uma aproximação

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15 𝒙(𝑘)_{, o método de newton define}_𝒙(𝑘+1)_{como sendo a solução do sistema linear como} mostra a Equação (2.21) e (2.22).

L(x) = F(𝒙(𝑘)_{) + J(𝒙}(𝑘)_)(x-𝒙(𝑘)_{) = 0 (2.21)}

Ou seja, 𝒙(𝑘+1) é tal que:

J (𝒙(𝑘))(𝒙(𝑘+1)-𝒙(𝑘)) = - F(𝒙(𝑘)) (2.22)

Tomando 𝒔(𝑘) = 𝒙(𝑘+1) - 𝒙(𝑘), conhecida por passo de newton, temos que a nova aproximação é 𝒙(𝑘+1) _{= 𝒙}(𝑘)_{+ 𝒔}(𝑘)_{em que}_𝒔(𝑘)_{é a solução do sistema linear da} Equação (2.23).

J(𝒙(𝑘)_)𝒔(𝑘)_{= -F(𝒙}(𝑘)_{) (2.23)}

Entre outras palavras, no método de Newton, dada uma aproximação linear 𝒙(0)_{, se} define a sequência {𝒙(𝑘)_{} através dos seguintes passos: Resolve a Equação (2.23) e} obtêm𝒔(𝑘) como resultado. Feito isto, espera-se que a sequência convirja para a solução do sistema não-linear F(x) = 0com o melhor valor para 𝒙(𝑘+1)_.

Porém, como todo método iterativo, o método de Newton também tem alguns critérios de parada:Quando não se detectam alterações significativas de uma iteração para a outra, ou seja, quando a diferença entre 𝒙(𝑘+1)_e_𝒙(𝑘)_{tende a zero ou um número bem} pequeno. Além disso, pode-se estipular um critério de parada por número de iterações, definido previamente pelo programador (EDUARDO COLLI, 2009).

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CAPÍTULO III:

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3 Materiais e métodos

Este capítulo é dividido em quatro seções. A primeira apresenta a ferramenta computacional utilizada, a segunda apresenta o programa desenvolvido e a funcionalidade a mais desenvolvida neste trabalho. A terceira sessão mostra a modelagem matemática, equações desenvolvidas e a matemática por trás do programa. A quarta e última sessão mostra o método implementado, layoute critérios utilizados.

3.1 Ferramenta Computacional

No trabalho, foi utilizado o programa Qt versão 5.10, um framework multiplataforma para desenvolvimento de interfaces gráficas em C++. Com ele, é possível o desenvolvimento de aplicativos e bibliotecas e permite sua compilação para diversas plataformas, sem que seja necessário modificar o código fonte. A licença do Qt utilizada foi a GNU Lesser General Public Licence v.3 (LGPL), que permite que o software seja distribuído, porém não comercializado.

Foram utilizadas duas bibliotecas além das oferecidas pelo Qt, o Eigen versão 3.3.4 e o QcustomPlot, ambos utilizando a mesma licença que o Qt. O Eigen é uma biblioteca em C++ para álgebra linear, operações com matrizes e vetores, transformações geométricas e soluções numéricas de equações. Foi utilizado o arquivo cabeçalho Dense, que permite trabalhar com vetores e matrizes e solucionar sistemas de equações lineares. O QcustomPlot é um Qt C++ widget para geração de gráficos e visualização de dados.

3.2 GeoLEAP

O GeoLEAP é um software que foi desenvolvido na Universidade Federal do Rio Grande do Norte, pelo Msc. Rodrigo Silva Tavares, capaz de executar análise variográfica, estimativa de valores e simulação sequencial, em dados tanto 2D como 3D, sendo uma ferramenta amigável ao usuário e com intuito científico e acadêmico. Esse Programa tem o intuito de apresentar técnicas e procedimentos geoestatísticos aos engenheiros de petróleo, aos geólogos e aos geofísicos, para melhorar o entendimento sobre a modelagem de

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reservatórios petrolíferos. Ele também pode ser utilizado por cientistas de outras diversas áreas que estejam interessados em aplicar a geoestatística em seus estudos.

Neste trabalho, no GeoLEAP, foi feita a inserção de uma nova ferramenta capaz de ajustar automaticamente qualquer variograma importado através da escolha do modelo paramétrico desejado, seja ele cúbico, efeito de furo, esférico, exponencial, gaussiano, pentaesférico ou de potência. Porém, serão mostrados os cálculos, implementações e as curvas ajustadas apenas dos modelos cúbico, efeito de furo, pentaesférico e de potência.

A Figura 3.1 mostra a interface do GeoLEAP aberta na seção dos modelos teóricos, a qual foi inserida durante a execução do trabalho.

Figura 3.1: Interface do GeoLEAP aberta na seção dos modelos teóricos.

Para chegar até o produto final da implementação e visualização das curvas ajustadas pelos modelos, foi feito um passo a passo com fundamentação matemática, pela utilização do método dos mínimos quadrados e método de Newton. O fluxograma da Figura 3.2 mostra os passos da execução dos cálculos até a visualização das curvas devidamente ajustadas no GeoLEAP.

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19 Figura 3.2: Fluxograma do passo a passo da execução deste trabalho.

3.3 Modelagem Matemática

Inicialmente, foi utilizada a Equação (2.16), chamada de equação do erro do método dos mínimos quadrados, onde cada equação dos modelos paramétricos abordados neste trabalhofoi inserida na variável 𝑦𝑒𝑠𝑡_{da equação, ficando da seguinte forma, como} mostra a Equação (3.1) abaixo para o modelo cúbico:

Q =∑ ( 𝑦_𝑖𝑒𝑥𝑝 − 𝐶₀(1 − 𝐻(0)) − 𝐶 (7 (ℎ 𝑎) ² − 35 4 ( ℎ 𝑎) 3 + 7 2( ℎ 𝑎) 5 − 3 4( ℎ 𝑎) 7 )) 𝑁 𝑖=1 ²(3.1)

Após isto, foram feitas as primeiras derivadas parciais para cada uma das três variáveis paramétricas, que são as seguintes: 𝐶0, chamado de efeito pepita;

c, chamada de

contribuição, e a, chamada de patamar. Com as equações do erro derivadas em relação a cada variável paramétrica para os modelos utilizados, que são: Cúbico, efeito de furo,

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pentaesférico e de potência, obtem-se um sistema não-linear para cada modelo, como mostra a Equação (3.2): 𝐹(𝐶_𝑜, 𝐶, 𝑎) = [ 𝜕𝑄 𝜕𝐶0= 0 𝜕𝑄 𝜕𝐶 = 0 𝜕𝑄 𝜕𝑎 = 0 ] (3.2)

A seguir, podem-se observar as Equações (3.3) a (3.20) para cada um dos quatro modelos utilizados neste trabalho:

Cúbico: Para 0 ≤ h ≤a: 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎 = ∑ (−2𝑦𝑖+ 2𝑦𝑖𝐻(0) + 2𝑐0− 2𝐻(0) + 2𝑐0𝐻(0) 2_{+ 7𝑐 (}ℎ 𝑎) 2 − 7𝑐𝐻(0) (ℎ 𝑎) 2 − 𝑛 𝑖=0 35 4 𝑐 ( ℎ 𝑎) 3 + 35 4 𝑐 𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 3 + 7 2𝑐 ( ℎ 𝑎) 5 − 7 2𝑐𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 5 − 3 4𝑐 ( ℎ 𝑎) 7 + 3 4𝑐𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 7 )(3.3) 𝝏𝑸 𝝏𝑪 =∑ (−14𝑦𝑖( ℎ 𝑎) 2 +70 4 𝑦𝑖( ℎ 𝑎) 2 − 7𝑦𝑖( ℎ 𝑎) 5 +3 2𝑦𝑖( ℎ 𝑎) 7 + 7𝑐0( ℎ 𝑎) 2 − 7𝑐0𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 2 − 𝑛 𝑖=0 35 4 𝑐0( ℎ 𝑎) 3 + 35 4 𝑐0𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 3 + 7 2𝑐0( ℎ 𝑎) 5 − 7 2𝑐0𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 5 − 3 4𝑐0( ℎ 𝑎) 7 + 3 4𝑐0𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 7 + 98𝑐 (ℎ 𝑎) 4 + 2 (35 4) 2 𝑐 (ℎ 𝑎) 6 + 49 2 𝑐 ( ℎ 𝑎) 10 + 9 8𝑐 ( ℎ 𝑎) 14 − 245 2 𝑐 ( ℎ 𝑎) 5 + 49 2 𝑐 ( ℎ 𝑎) 7 − 21 2 𝑐 ( ℎ 𝑎) 9 − 245 4 𝑐 ( ℎ 𝑎) 8 + 105 8 𝑐 ( ℎ 𝑎) 10 − 21 4 𝑐 ( ℎ 𝑎) 12 ) (3.4) 𝝏𝑸 𝝏𝒂=∑ (−28𝑦𝑖𝑐 ℎ2 𝑎3 + 210 4 𝑦𝑖𝑐 ℎ3 𝑎4− 35𝑦𝑖𝑐 ℎ5 𝑎6 + 21 2 𝑦𝑖𝑐 ℎ7 𝑎8+ 14𝑐0𝑐 ℎ2 𝑎3− 14𝑐0𝑐𝐻(0) ℎ2 𝑎3− 𝑛 𝑖=0 105 4 𝑐0𝑐 ℎ3 𝑎4+ 105 4 𝑐0𝑐𝐻(0) ℎ3 𝑎4+ 35 2 𝑐0𝑐 ℎ5 𝑎6− 35 2 𝑐0𝑐𝐻(0) ℎ5 𝑎6− 21 4 𝑐0𝑐 ℎ7 𝑎8 + 21 4 𝑐0𝑐𝐻(0) ℎ7 𝑎8+ 196𝑐2 ℎ4 𝑎5+ 6 ( 35 4) 2 𝑐2 ℎ6 𝑎7+ 10 ( 7 2) 2 𝑐2 ℎ10 𝑎11+ 14 ( 3 4) 2 𝑐2 ℎ14 𝑎15− 1225 4 𝑐 2 ℎ5 𝑎6+ 343 2 𝑐 2 ℎ7 𝑎8− 189 4 𝑐 2 ℎ9 𝑎10− 245 𝑐 2 ℎ8 𝑎9+ 1050 16 𝑐 2 ℎ10 𝑎11− 252 8 𝑐 2 ℎ12 𝑎13) (3.5)

(32)

21 Para a ≤ h: 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎 = ∑𝑛𝑖=0(2𝑐0− 2𝑦𝑖+ 2𝑐) (3.6) 𝝏𝑸 𝝏𝑪 =∑ (2𝑐0− 2𝑦𝑖+ 2𝑐) 𝑛 𝑖=0 (3.7) 𝝏𝑸 𝝏𝒂= ∑ (0) 𝑛 𝑖=0 (3.8) Efeito de Furo: Para 0 ≤ h : 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎 = ∑ (−2𝑦𝑖+ 2𝑦𝑖𝐻(0) + 2𝑐0− 4𝑐0𝐻(0) + 2𝑐0𝐻(0) 2_{+ 2𝑐 − 2𝑐}𝑠𝑒𝑛(4,4934 ℎ 𝑎) 4,4934ℎ 𝑎 + 𝑛 𝑖=0 2𝑐𝐻(0)𝑠𝑒𝑛(4,4934 ℎ 𝑎) 4,4934ℎ 𝑎 ) (3.9) 𝝏𝑸 𝝏𝑪 = ∑ (−2𝑦𝑖+ 2𝑦𝑖 𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) 4,4934ℎ_𝑎 + 2𝐶 + 2𝑐 𝑠𝑒𝑛2(4,4934 ℎ 𝑎) 4,4934ℎ_𝑎 + 2𝑐0− 2𝑐0𝐻(0) − 2𝑐0 𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) 4,4934ℎ_𝑎 + 𝑛 𝑖=0 2𝑐0𝐻(0) 𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) 4,4934ℎ_𝑎 − 4𝐶 𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) 4,4934ℎ_𝑎 ) (3.10) 𝝏𝑸 𝝏𝒂∑ (2𝑦𝑖𝐶( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) ℎ − 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎 )+ 𝑛 𝑖=0 𝑐2𝑠𝑒𝑛(4,4934 ℎ 𝑎)(0,0990558𝑎𝑠𝑒𝑛(4,4934 ℎ 𝑎)−0,445097ℎ𝑐𝑜𝑠(4,4934 ℎ 𝑎)) ℎ2 − 2𝑐0𝑐( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) ℎ − 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎 ) + 2𝑐0𝑐𝐻(0) ( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) ℎ − 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎 )− 2𝑐²( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) ℎ − 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎 )) (3.11)

(33)

22

Silvestre Luiz Castro de Morais Filho Pentaesférico: Para 0 ≤ h ≤a: 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎 = ∑𝑛𝑖=0(−2𝑦𝑖+ 2𝑦𝑖𝐻(0) + 2𝑐0− 4𝑐0𝐻(0) + 2𝑐0𝐻(0)2+30₈ 𝑐 (ℎ_𝑎) −30₈ 𝑐𝐻(0) (ℎ_𝑎) − 10 4 𝑐 ( ℎ 𝑎) 3 + 10 4𝑐 𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 3 − 6 8𝑐 ( ℎ 𝑎) 5 + 6 8𝑐𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 5 ) (3.12) 𝝏𝑸 𝝏𝑪 =∑ (− 30 8 𝑦𝑖( ℎ 𝑎) − 10 4 𝑦𝑖( ℎ 𝑎) 3 − 6₈𝑦𝑖( ℎ 𝑎) 5 + 2 (15₈)2𝑐 (ℎ_𝑎)2− 2 (5₄)2𝑐 (ℎ_𝑎)6− 𝑛 𝑖=0 2 (3 8) 2 𝑐 (ℎ 𝑎) 10 + 30 8 𝑐0( ℎ 𝑎) − 15 8 𝑐0𝐻(0) ( ℎ 𝑎) − 10 4 𝑐0( ℎ 𝑎) 3 + 10 4 𝑐0𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 3 − 6 8𝑐0( ℎ 𝑎) 5 + 6 8𝑐0𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 5 − 475 32𝑐 ( ℎ 𝑎) 4 − 445 64𝑐 ( ℎ 𝑎) 6 + 60 32 𝑐 ( ℎ 𝑎) 8 ) (3.13) 𝝏𝑸 𝝏𝒂= ∑ ( 30 8 𝑦𝑖𝑐 ℎ 𝑎2− 30 4 𝑦𝑖𝑐 ℎ3 𝑎4− 30 8 𝑦𝑖𝑐 ℎ5 𝑎6− 2 ( 15 8) 2 𝑐2ℎ2𝑎3 + 6 (5 4) 2 𝑐2 ℎ6 𝑎7+ 𝑛 𝑖=0 10 (3₈)2𝑐2 ℎ_𝑎10₁₁−30₈ 𝑐0𝑐 ℎ 𝑎2+ 30 8 𝑐0𝑐𝐻(0) ℎ 𝑎2+ 6𝑐0𝑐 ℎ3 𝑎4− 6𝑐0𝑐𝐻(0) ℎ3 𝑎4+ 10 3 8𝑐0𝑐 ℎ5 𝑎6− 103 8𝑐0𝑐𝐻(0) ℎ5 𝑎6+ 600 32 𝑐 2 ℎ4 𝑎5+ 12 45 64𝑐 2 ℎ6 𝑎7− 16 15 32𝑐 2 ℎ8 𝑎9) (3.14) Para a ≤ h: 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎 = ∑𝑛𝑖=0(2𝑐0− 2𝑦𝑖+ 2𝑐) (3.15) 𝝏𝑸 𝝏𝑪 =∑ (2𝑐0− 2𝑦𝑖+ 2𝑐) 𝑛 𝑖=0 (3.16) 𝝏𝑸 𝝏𝒂= ∑ (0) 𝑛 𝑖=0 (3.17)

(34)

23 Potência: Para 0 ≤ h: 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎 = ∑𝑛𝑖=0(−2𝑦𝑖+ 2𝑦𝑖𝐻(0) + 2𝑐0− 4𝑐0𝐻(0) + 2𝑐ℎ𝑎+ 2𝑐0𝐻(0)2− 2𝐻(0)𝑐ℎ𝑎) (3.18) 𝝏𝑸 𝝏𝑪 =∑ (−2𝑦𝑖ℎ 𝑎_{+ 2𝑐} 0ℎ𝑎− 2𝑐0𝐻(0)ℎ𝑎+ 2𝑐ℎ2𝑎) 𝑛 𝑖=0 (3.19) 𝝏𝑸 𝝏𝒂= ∑ (−2𝑦𝑖𝑐ℎ 𝑎_{log(𝑎)𝑎 + 2𝑐}

0ℎ𝑎log(𝑎)𝑎 − 2𝑐0𝐻(0)𝑐ℎ𝑎log(𝑎)𝑎 + 𝑐2ℎ2𝑎log(2𝑎)2𝑎 ) 𝑛

𝑖=0

(3.20)

Achadas as derivadas em relação às três variáveis paramétricas para cada modelo paramétrico e montado o sistema não-linear como mostra a Equação (3.2), foi feita a derivação parcial de todas as equações mostradas (3.3 à 3.20) em relação às mesmas três variáveis paramétricas: 𝑐₀, 𝑐 e 𝑎, afim de montar a matriz jacoabiana como mostra a Equação (3.21): 𝐽(𝑐0, 𝑐 , 𝑎) = [ 𝜕 𝜕𝐶0( 𝜕𝑄 𝜕𝐶0) 𝜕 𝜕𝐶( 𝜕𝑄 𝜕𝐶0) 𝜕 𝜕𝑎( 𝜕𝑄 𝜕𝐶0) 𝜕 𝜕𝐶0( 𝜕𝑄 𝜕𝐶) 𝜕 𝜕𝐶( 𝜕𝑄 𝜕𝐶) 𝜕 𝜕𝑎( 𝜕𝑄 𝜕𝐶) 𝜕 𝜕𝐶₀( 𝜕𝑄 𝜕𝑎) 𝜕 𝜕𝐶( 𝜕𝑄 𝜕𝑎) 𝜕 𝜕𝑎( 𝜕𝑄 𝜕𝑎) ] (3.21)

A seguir, todas as derivadas de segunda ordem feitas para os quatro modelos paramétricos utilizados para montar a matriz Jacoabiana serão mostradas. As Equações(3.22) a(3.39) mostram as derivadas parciais para o modelo cúbico onde 𝐶₀, é o efeito pepita, c, contribuição, e a, chamada de patamar.

(35)

24

Silvestre Luiz Castro de Morais Filho Cúbico: Para 0 ≤ h ≤a: 𝝏 𝝏𝑪_𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝑪_𝟎) = ∑ (2𝑐0+ 2𝑐0𝐻(0) 2₎ 𝑛 𝑖=0 (3.22) 𝝏 𝝏𝑪( 𝝏𝑸 𝝏𝑪_𝟎) = ∑ (7 ( ℎ 𝑎) 2 − 7𝐻(0) (ℎ 𝑎) 2 − 35 4 ( ℎ 𝑎) 3 + 35 4 𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 3 + 7 2( ℎ 𝑎) 5 − 7 2𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 5 − 𝑛 𝑖=0 3 4( ℎ 𝑎) 7 + 3 4𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 7 ) (3.23) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝑪_𝟎)= ∑ (14𝑐 ℎ² 𝑎³− 14𝑐𝐻(0) ℎ² 𝑎3− 105 4 𝑐 ℎ3 𝑎4+ 105 4 𝑐 𝐻(0) ℎ3 𝑎4+ 35 2 𝑐 ℎ5 𝑎6− 𝑛 𝑖=0 35 2 𝑐𝐻(0) ℎ5 𝑎6− 21 4 𝑐 ℎ7 𝑎8+ 21 4 𝑐𝐻(0) ℎ7 𝑎8) (3.24) 𝝏 𝝏𝑪_𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝒄) = ∑ (7 ( ℎ 𝑎) 2 − 7𝐻(0) (ℎ 𝑎) 2 − 35 4 ( ℎ 𝑎) 3 + 35 4 𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 3 + 7 2( ℎ 𝑎) 5 − 𝑛 𝑖=0 7 2𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 5 − 3 4( ℎ 𝑎) 7 + 3 4𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 7 ) (3.25) 𝝏 𝝏𝑪( 𝝏𝑸 𝝏𝑪) =∑ (98 ( ℎ 𝑎) 4 + 2 (35 4) 2 (ℎ 𝑎) 6 + 49 2 ( ℎ 𝑎) 10 + 9 8( ℎ 𝑎) 14 − 245 2 ( ℎ 𝑎) 5 + 49 2 ( ℎ 𝑎) 7 − 21 2 ( ℎ 𝑎) 9 − 𝑛 𝑖=0 245 4 ( ℎ 𝑎) 8 + 105 8 ( ℎ 𝑎) 10 − 21 4 ( ℎ 𝑎) 12 ) (3.26) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝑪) =∑ (−28𝑦𝑖 ℎ² 𝑎³+ 140 4 𝑦𝑖 ℎ² 𝑎³− 35𝑦𝑖 ℎ5 𝑎6+ 21 2 𝑦𝑖 ℎ7 𝑎8 + 14𝑐0 ℎ2 𝑎3− 14𝑐0𝐻(0) ℎ2 𝑎3− 105 4 𝑐0 ℎ3 𝑎4+ 𝑛 𝑖=0 105 4 𝑐0𝐻(0) ℎ3 𝑎4+ 35 2 𝑐0 ℎ5 𝑎6− 35 2 𝑐0𝐻(0) ℎ5 𝑎6− 21 4 𝑐0 ℎ7 𝑎8+ 21 4 𝑐0𝐻(0) ℎ7 𝑎8+ 392𝑐 ℎ4 𝑎5+ 12𝑐 ℎ6 𝑎7+ 490 2 𝑐 ℎ10 𝑎11+ 126 8 𝑐 ℎ14 𝑎15− 1225 2 𝑐 ℎ5 𝑎6+ 343 2 𝑐 ℎ7 𝑎8− 189 2 𝑐 ℎ9 𝑎10− 490𝑐 ℎ8 𝑎9+ 1050 8 𝑐 ℎ10 𝑎11− 252 4 𝑐 ℎ12 𝑎13)(3.27) 𝝏 𝝏𝑪𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝒂)=∑ (14𝑐 ℎ2 𝑎3− 14𝑐𝐻(0) ℎ2 𝑎3− 105 4 𝑐 ℎ3 𝑎4+ 105 4 𝑐𝐻(0) ℎ3 𝑎4+ 35 2 𝑐 ℎ5 𝑎6− 35 2 𝑐𝐻(0) ℎ5 𝑎6− 𝑛 𝑖=0 21 4 𝑐 ℎ7 𝑎8 + 21 4 𝑐𝐻(0) ℎ7 𝑎8) (3.28)

(36)

25 𝝏 𝝏𝒄( 𝝏𝑸 𝝏𝒂)=∑ (−28𝑦𝑖 ℎ2 𝑎3 + 210 4 𝑦𝑖 ℎ3 𝑎4− 35𝑦𝑖 ℎ5 𝑎6 + 21 2 𝑦𝑖 ℎ7 𝑎8+ 14𝑐0 ℎ2 𝑎3− 14𝑐0𝐻(0) ℎ2 𝑎3− 105 4 𝑐0 ℎ3 𝑎4+ 𝑛 𝑖=0 105 4 𝑐0𝐻(0) ℎ3 𝑎4+ 35 2 𝑐0 ℎ5 𝑎6− 35 2 𝑐0𝐻(0) ℎ5 𝑎6− 21 4 𝑐0 ℎ7 𝑎8 + 21 4 𝑐0𝐻(0) ℎ7 𝑎8+ 392𝑐 ℎ4 𝑎5+ 12 ( 35 4) 2 𝑐ℎ6 𝑎7+ 20 (7 2) 2 𝑐ℎ10 𝑎11+ 28 ( 3 4) 2 𝑐ℎ14 𝑎15− 1225 2 𝑐 ℎ5 𝑎6+ 343𝑐 ℎ7 𝑎8− 189 2 𝑐 ℎ9 𝑎10− 882 𝑐 ℎ8 𝑎9+ 1050 8 𝑐 ℎ10 𝑎11− 252 84 𝑐 ℎ12 𝑎13) (3.29) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝒂)=∑ (−84𝑐 ℎ2 𝑎4 + 210𝑦𝑖𝑐 ℎ3 𝑎5− 210𝑦𝑖𝑐 ℎ5 𝑎7 + 84𝑦𝑖𝑐 ℎ7 𝑎9+ 42𝑐0𝑐 ℎ2 𝑎4− 42𝑐0𝑐𝐻(0) ℎ2 𝑎4− 𝑛 𝑖=0 105𝑐0𝑐 ℎ3 𝑎5+ 105𝑐0𝑐𝐻(0) ℎ3 𝑎5+ 105𝑐0𝑐 ℎ5 𝑎7− 105𝑐0𝑐𝐻(0) ℎ5 𝑎7− 42𝑐0𝑐 ℎ7 𝑎9 + 42𝑐0𝑐𝐻(0) ℎ7 𝑎9+ 980𝑐2 ℎ4 𝑎6+ 42 ( 35 4) 2 𝑐2 ℎ6 𝑎8+ 110 ( 7 2) 2 𝑐2 ℎ10 𝑎12+ 210 ( 3 4) 2 𝑐2 ℎ14 𝑎16− 7350 4 𝑐 2 ℎ5 𝑎7+ 2744 2 𝑐 2 ℎ7 𝑎9− 1890 4 𝑐 2 ℎ9 𝑎11− 2205 𝑐 2 ℎ8 𝑎10+ 11550 16 𝑐 2 ℎ10 𝑎12− 3276 8 𝑐 2 ℎ12 𝑎14) (3.30) Para a ≤ h: 𝝏 𝝏𝑪𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎) = ∑ (2) 𝑛 𝑖=0 (3.31) 𝝏 𝝏𝒄( 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎) = ∑ (2) 𝑛 𝑖=0 (3.32) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎) = ∑ (0) 𝑛 𝑖=0 (3.33) 𝝏 𝝏𝑪𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝒄) = ∑ (2) 𝑛 𝑖=0 (3.34) 𝝏 𝝏𝑪𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝒄) = ∑ (2) 𝑛 𝑖=0 (3.35) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝑪) =∑ (0 ) 𝑛 𝑖=0 (3.36) 𝝏 𝝏𝑪_𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝒂)=∑ (0) 𝑛 𝑖=0 (3.37) 𝝏 𝝏𝒄( 𝝏𝑸 𝝏𝒂)=∑ (0) 𝑛 𝑖=0 (3.38)

(37)

26

Silvestre Luiz Castro de Morais Filho 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝒂)=∑ (0) 𝑛 𝑖=0 (3.39)

As Equações (3.40) a(3.48) mostram as derivadas parciais para o modelo efeito de furo onde 𝐶₀, é o efeito pepita, c, contribuição, e a, chamada de patamar.

Efeito de Furo: Para 0 ≤ h: 𝝏 𝝏𝑪_𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝑪_𝟎) = ∑ (2𝑐0− 4𝐻(0) + 2𝐻(0) 2₎ 𝑛 𝑖=0 (3.40) 𝝏 𝝏𝒄( 𝝏𝑸 𝝏𝑪_𝟎) = ∑ (2𝑐 − 2 𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) 4,4934ℎ 𝑎 + 2𝐻(0)𝑠𝑒𝑛(4,4934 ℎ 𝑎) 4,4934ℎ 𝑎 ) 𝑛 𝑖=0 (3.41) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎) = ∑ (−2𝑐 ( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ_𝑎) ℎ − 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ_𝑎) 𝑎 ) + 2𝑐𝐻(0) ( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ_𝑎) ℎ − 𝑛 𝑖=0 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎 )) (3.42) 𝝏 𝝏𝑪𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝑪) = ∑ (2 − 2𝐻(0) − 2 𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) 4,4934ℎ 𝑎 + 2𝐻(0)𝑠𝑒𝑛(4,4934 ℎ 𝑎) 4,4934ℎ 𝑎 ) 𝑛 𝑖=0 (3.43) 𝝏 𝝏𝒄( 𝝏𝑸 𝝏𝑪) = ∑ (2 + 2 𝑠𝑒𝑛2(4,4934 ℎ 𝑎) 4,4934ℎ 𝑎 − 4𝑠𝑒𝑛(4,4934 ℎ 𝑎) 4,4934ℎ 𝑎 ) 𝑛 𝑖=0 (3.44) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝑪) = ∑ (2𝑦𝑖( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) ℎ − 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎 ) + 2𝑐 ( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) ℎ − 𝑛 𝑖=0 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎 ) + −2𝑐0( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) ℎ − 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎 ) + 2𝑐0𝐻(0) ( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) ℎ − 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎 ) − 4𝐶 ( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) ℎ − 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎 )) (3.45)

(38)

27 𝝏 𝝏𝑪𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝒂) = ∑ (− 2𝑐 ( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) ℎ − 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎 ) + 2𝑐𝐻(0) ( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) ℎ − 𝑛 𝑖=0 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎 )) (3.46) 𝝏 𝝏𝒄( 𝝏𝑸 𝝏𝒂) = ∑ (2𝑦𝑖( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) ℎ − 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎 ) + 𝑛 𝑖=0 2𝑐𝑠𝑒𝑛(4,4934 ℎ 𝑎)(0,0990558𝑎𝑠𝑒𝑛(4,4934 ℎ 𝑎)−0,445097ℎ𝑐𝑜𝑠(4,4934 ℎ 𝑎)) ℎ2 − 2𝑐0( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) ℎ − 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎 ) + 2𝑐0𝐻(0) ( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) ℎ − 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎 ) − 4𝑐 ( 0,222549𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ 𝑎) ℎ − 𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎 )) (3.47) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝒂) = ∑ (2𝑦𝑖𝐶 −8,9868𝑦𝑖𝐶((0,222549−0,222549𝑎)𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ_𝑎)+(ℎ²+0,049528𝑎)𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ_𝑎)) ℎ𝑎3 + 𝑛 𝑖=0 𝑐2₍a²sen(4,4934 ℎ 𝑎)(−2ℎ²sen(4,4934 ℎ 𝑎)) 𝑎² + 0,0990558sen (4,4934 ℎ 𝑎) − 0,445097ℎcos(4,4934ℎ 𝑎) ℎ2 − 4,4934𝑎2_{cos (4,4934}ℎ 𝑎) 0,0990558𝑎sen (4,4934 ℎ 𝑎) − 0,445097ℎ𝑎2cos(4,4934ℎ 𝑎) 𝑎² ) + 2𝑐0𝑐 −8,9868𝑦𝑖𝐶((0,222549−0,222549𝑎)𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ_𝑎)+(ℎ²+0,049528𝑎)𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ_𝑎)) ℎ𝑎3 + 2𝑐0𝑐𝐻(0) −8,9868𝑦𝑖𝐶((0,222549−0,222549𝑎)𝑐𝑜𝑠(4,4934ℎ_𝑎)+(ℎ²+0,049528𝑎)𝑠𝑒𝑛(4,4934ℎ_𝑎)) ℎ𝑎3 − 2𝑐²−8,9868𝑦𝑖𝐶((0,222549−0,222549𝑎)𝑐𝑜𝑠(4,4934 ℎ 𝑎)+(ℎ²+0,049528𝑎)𝑠𝑒𝑛(4,4934 ℎ 𝑎)) ℎ𝑎3 ) (3.48)

As Equações (3.49) a (3.66) mostram as derivadas parciais para o modelo pentaesférico onde 𝐶₀, é o efeito pepita, c, contribuição, e a, chamada de patamar.

(39)

28

Silvestre Luiz Castro de Morais Filho Para 0 ≤ h ≤ a: 𝝏 𝝏𝑪_𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝑪_𝟎) = ∑ (2 − 4𝐻(0) + 2𝐻(0) 2₎ 𝑛 𝑖=0 (3.49) 𝝏 𝝏𝒄( 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎) = ∑ ( 30 8 ( ℎ 𝑎) − 30 8 𝐻(0) ( ℎ 𝑎) − 10 4 ( ℎ 𝑎) 3 + 10 4𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 3 − 6 8( ℎ 𝑎) 5 + 𝑛 𝑖=0 6 8𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 5 ) (3.50) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎) = ∑ ( 30 8𝑐 ℎ 𝑎2− 30 8 𝑐𝐻(0) ℎ 𝑎2− 30 4𝑐 ℎ3 𝑎4+ 30 4 𝑐 𝐻(0) ℎ3 𝑎4− 30 8 𝑐 ℎ5 𝑎6+ 30 8 𝑐𝐻(0) ℎ5 𝑎6) 𝑛 𝑖=0 (3.51) 𝝏 𝝏𝑪𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝒄) =∑ (− 15 8 𝐻(0) ( ℎ 𝑎) − 10 4 ( ℎ 𝑎) 3 + 10 4 𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 3 − 6 8( ℎ 𝑎) 5 + 6 8𝐻(0) ( ℎ 𝑎) 5 ) 𝑛 𝑖=0 (3.52) 𝝏 𝝏𝒄( 𝝏𝑸 𝝏𝒄) =∑ (2 ( 15 8) 2 (ℎ 𝑎) 2 − 2 (5 4) 2 (ℎ 𝑎) 6 − 2 (3 8) 2 (ℎ 𝑎) 10 − 475 32( ℎ 𝑎) 4 − 445 64( ℎ 𝑎) 6 + 60 32 ( ℎ 𝑎) 8 ) 𝑛 𝑖=0 (3.53) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝒄) =∑ (− 30 8 𝑦𝑖 ℎ 𝑎2− 30 4 𝑦𝑖 ℎ3 𝑎4− 30 8𝑦𝑖 ℎ5 𝑎6+ 4 ( 15 8) 2 𝑐 ℎ2 𝑎3− 12 ( 5 4) 2 𝑐 ℎ6 𝑎7− 20 ( 3 8) 2 𝑐 ℎ10 𝑎11 + 𝑛 𝑖=0 30 8 𝑐0 ℎ 𝑎2− 15 8 𝑐0𝐻(0) ℎ 𝑎2− 30 4 𝑐0 ℎ3 𝑎4+ 30 4 𝑐0𝐻(0) ℎ3 𝑎4− 30 8 𝑐0 ℎ5 𝑎6+ 30 8 𝑐0𝐻(0) ℎ5 𝑎6− 16 75 32𝑐 ℎ4 𝑎5− 2445 64𝑐 ℎ6 𝑎7+ 8 60 32 𝑐 ℎ8 𝑎9) (3.54) 𝝏 𝝏𝑪𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝒂) = ∑ (− 30 8 𝑐 ℎ 𝑎2+ 30 8 𝑐𝐻(0) ℎ 𝑎2+ 6𝑐 ℎ3 𝑎4− 6𝑐𝐻(0) ℎ3 𝑎4+ 10 3 8𝑐 ℎ5 𝑎6− 𝑛 𝑖=0 103 8𝑐𝐻(0) ℎ5 𝑎6) (3.55) 𝝏 𝝏𝒄( 𝝏𝑸 𝝏𝒂) = ∑ ( 30 8 𝑦𝑖 ℎ 𝑎2− 30 4 𝑦𝑖 ℎ3 𝑎4− 30 8 𝑦𝑖 ℎ5 𝑎6− 4 ( 15 8) 2 𝑐ℎ2 𝑎3+ 12 ( 5 4) 2 𝑐ℎ6 𝑎7+ 𝑛 𝑖=0 20 (3 8) 2 𝑐ℎ10 𝑎11− 30 8 𝑐0 ℎ 𝑎2+ 30 8 𝑐0𝐻(0) ℎ 𝑎2+ 6𝑐0 ℎ3 𝑎4− 6𝑐0𝐻(0) ℎ3 𝑎4+ 10 3 8𝑐0 ℎ5 𝑎6− 10 3 8𝑐0𝐻(0) ℎ5 𝑎6+

(40)

29 1200 32 𝑐 ℎ4 𝑎5+ 24 45 64𝑐 ℎ6 𝑎7− 15𝑐 ℎ8 𝑎9) (3.56) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝒂) = ∑ (− 60 8 𝑦𝑖𝑐 ℎ 𝑎3+ 30𝑦𝑖𝑐 ℎ3 𝑎5+ 180 8 𝑦𝑖𝑐 ℎ5 𝑎7+ 6 ( 15 8) 2 𝑐2 ℎ2 𝑎4− 42 ( 5 4) 2 𝑐2 ℎ6 𝑎8− 𝑛 𝑖=0 110 (3 8) 2 𝑐2 ℎ10 𝑎12+ 60 8𝑐0𝑐 ℎ 𝑎3− 60 8𝑐0𝑐𝐻(0) ℎ 𝑎3− 24𝑐0𝑐 ℎ3 𝑎5+ 24𝑐0𝑐𝐻(0) ℎ3 𝑎5− 60 3 8𝑐0𝑐 ℎ5 𝑎7+ 603 8𝑐0𝑐𝐻(0) ℎ5 𝑎7− 3000 32 𝑐 2 ℎ4 𝑎6− 8 45 64𝑐 2 ℎ6 𝑎8+ 144 15 32𝑐 2 ℎ8 𝑎10) (3.57) Para a ≤ h: 𝝏 𝝏𝑪𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎) = ∑ (2) 𝑛 𝑖=0 (3.58) 𝝏 𝝏𝒄( 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎) = ∑ (2) 𝑛 𝑖=0 (3.59) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝑪_𝟎) = ∑ (0) 𝑛 𝑖=0 (3.60) 𝝏 𝝏𝑪𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝒄) = ∑ (2) 𝑛 𝑖=0 (3.61) 𝝏 𝝏𝑪𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝒄) = ∑ (2) 𝑛 𝑖=0 (3.62) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝑪) =∑ (0 ) 𝑛 𝑖=0 (3.63) 𝝏 𝝏𝑪𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝒂)=∑ (0) 𝑛 𝑖=0 (3.64) 𝝏 𝝏𝒄( 𝝏𝑸 𝝏𝒂)=∑ (0) 𝑛 𝑖=0 (3.65) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝒂)=∑ (0) 𝑛 𝑖=0 (3.66)

Por fim, as Equações (3.67) a (3.75) mostram as derivadas parciais para o modelo de potência onde 𝐶₀, é o efeito pepita, c, contribuição, e a, chamada de patamar.

(41)

30

Silvestre Luiz Castro de Morais Filho Potência: Para 0 ≤ h: 𝝏 𝝏𝑪𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎) = ∑ (2 − 4𝐻(0) + 2𝐻(0) 2₎ 𝑛 𝑖=0 (3.67) 𝝏 𝝏𝒄( 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎) = ∑ (2ℎ 𝑎_{− 2𝐻(0)ℎ}𝑎₎ 𝑛 𝑖=0 (3.68) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝑪𝟎) = ∑ (2𝑐𝑎ℎ 𝑎_{𝑙𝑜𝑔(𝑎) − 2𝐻(0)𝑎𝑐ℎ}𝑎_{𝑙𝑜𝑔(𝑎))} 𝑛 𝑖=0 (3.69) 𝝏 𝝏𝑪𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝑪)=∑ (2ℎ 𝑎_{− 2𝐻(0)ℎ}𝑎₎ 𝑛 𝑖=0 (3.70) 𝝏 𝝏𝒄( 𝝏𝑸 𝝏𝑪)=∑ (2ℎ 2𝑎₎ 𝑛 𝑖=0 (3.71) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝑪)=∑ (−2𝑦𝑎𝑖ℎ 𝑎_{𝑙𝑜𝑔(𝑎) + 2𝑐} 0𝑎ℎ𝑎𝑙𝑜𝑔(𝑎) − 2𝑐0𝐻(0)𝑎ℎ𝑎𝑙𝑜𝑔(𝑎) + 𝑛 𝑖=0 4𝑐𝑎ℎ2𝑎𝑙𝑜𝑔(2𝑎)) (3.72) 𝝏 𝝏𝑪_𝟎( 𝝏𝑸 𝝏𝒂)= ∑ (2ℎ 𝑎_{log(𝑎)𝑎 − 2𝐻(0)𝑐ℎ}𝑎_{log(𝑎)𝑎)} 𝑛 𝑖=0 (3.73) 𝝏 𝝏𝒄( 𝝏𝑸 𝝏𝒂)= ∑ (−2𝑦𝑖ℎ 𝑎_{log(𝑎)𝑎 − 2𝑐} 0𝐻(0)ℎ𝑎log(𝑎)𝑎 + 2𝑐ℎ2𝑎log(2𝑎)2𝑎 ) 𝑛 𝑖=0 (3.74) 𝝏 𝝏𝒂( 𝝏𝑸 𝝏𝒂)= ∑ (−2𝑦𝑖𝑐ℎ 𝑎_{(𝑎 𝑙𝑜𝑔(𝑎) 𝑙𝑜𝑔(ℎ) + 𝑙𝑜𝑔(𝑎) + 1) + 2𝑐} 0ℎ𝑎(𝑎 𝑙𝑜𝑔(𝑎) 𝑙𝑜𝑔(ℎ) + 𝑙𝑜𝑔(𝑎) + 𝑛 𝑖=0 1) − 2𝑐0𝐻(0)𝑐ℎ𝑎(𝑎 𝑙𝑜𝑔(𝑎) 𝑙𝑜𝑔(ℎ) + 𝑙𝑜𝑔(𝑎) + 1) + 2𝑐2ℎ2𝑎(𝑙𝑜𝑔(2𝑎)(2𝑎𝑙𝑜𝑔(ℎ) + 1) + 1)) (3.75)

3.4 Modelos Teóricos no GeoLEAP

Definidas as Equações para todos os quatro modelos, foi feita a implementação de todo o código no Qt. Como mostra (XIADONG, 1995), todas as equações de derivadas mostradas anteriormente, retratam o modelo chamado Ordinário, ou seja, utilizando a Equação (2.16), chamada equação do erro. A outra seleção possível para os modelos é a

(42)

31 Ponderada, onde leva-se em consideração a variância, como pode-se observarna Equação (3.76) a seguir: Q =∑ ( 𝑦𝑖 𝑒𝑥𝑝 −𝑦𝑖𝑒𝑠𝑡)² 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎𝑖 𝑁 𝑖=1 (3.76)

A Figura 3.3 mostra o Layout da seção de modelos teóricos do GeoLEAP, anteriormente mostrado na Figura 3.1, com a visualização da escolha das opções entre o método ordinário ou ponderado, além dos sete tipos de modelos paramétricos que o operador escolher para o melhor ajuste do variograma importado.

Figura 3.3: Layoutda seção de modelos teóricos do GeoLEAP.

O arquivo a ser importado como variograma deve obedecer a uma estrutura com três colunas, onde a primeira deve ser o salto, a segunda o variograma e a terceira, a variância, em um arquivo com extensão .txt, como mostra a Figura 3.4:

(43)

32

Figura 3.4: Arquivo com os dados de entrada do variograma.

O critério de parada de iterações utilizado no código do softwareé bem simples: quando o erro for o menor possível, por volta da grandeza de 10−6, como mostra a Equação (3.77):

||𝑿(𝑲+𝟏)_{− 𝑿}(𝑲)_{|| ≤ 10}−6_(3.77)

A seguir, no próximo capítulo, serão apresentados os ajustes automáticos das curvas para os semivariogramas feitos no GeoLEAP para os quatro modelos trabalhados, além de comparações de erros de ajuste entre três diferentes variogramas e os modelos paramétricos.

(44)

CAPÍTULO IV:

(45)

34

4. Resultados e Discussões

Este capítulo foi subdividido em quatro partes: A primeira mostra os semivariogramas utilizados para os ajustes das curvas, na segunda encontra-se a forma como foram feitos os cálculos para erros dos ajustes, a terceira parte mostra as comparações entre modelos, seleciona os semivariogramas que melhor ajustam e são feitas comparações com os erros e ajustes feitos por Yamamoto. Por fim, na última parte deste capítulo será mostrada uma análise mais profunda do melhor modelo ajustado.

4.1 Semivariogramas Utilizados

Os ajustes das curvas pelos quatro modelos paramétricos levados em conta neste trabalho foram feitos em função de três combinações de semivariogramas retirados do livro Geoestatística: conceitos e aplicações do autor Jorge Kazuo Yamamoto no ano de 2013. Os semivariogramas foram retirados dos arquivos 10, 11 e 12 do livro, porém, para efeito de análise, foram feitas sete combinações entre os semivariogramas e diferentes tamanhos de passos entre os pontos deste, variando de 2 a 3 metros cada ponto do semivariograma, como mostra a Tabela 4.1:

Tabela 4.1: As sete combinações entre os arquivos do livro de Yamamoto com os semivariogramas e os diferentes números de passos adotados.

Arquivo 10 Arquivo 11 Arquivo 12

Passo 2m x x x

Passo 2,5m x

Passo 3m x x x

O motivo pelo qual foram feitas as diferentes combinações entre os tamanhos de passos e os arquivos com os semivariogramas é ter uma maior amostragem de ajustes para facilitar na combinação e detectar quais modelos paramétricos se ajustam melhor para cada tipo de semivariograma. Foi utilizado o passo de 2,5 metros apenas para o arquivo 12, pois,

(46)

35 foi o variograma que apresentou o menor erro para os ajustes, utilizando os passos 2 metros e 3 metros.

A partir deste momento, os arquivos 10,11 e 12 serão nomeados de caso 1, caso 2 e caso 3, respectivamente.

4.2 Cálculo do erro por Norma Euclidiana

Para calcular-se o erro dos ajustes das curvas, foi levado em consideração a curva como um vetor, sendo ele constituído de pontos dispersos em um campo vertorial. Em um espaço euclidiano n-dimensional, a noção intuitiva do comprimento de um vetor x = (𝑥₁, 𝑥₂ , … , 𝑥_𝑛) é dado pela Equação (4.1) a seguir:

||x||2 = √𝑥12+ ⋯ + 𝑥𝑛2 (4.1)

Como a norma Euclidiana resulta no comprimento do vetor e o erro leva em consideração todos os pontos, divide-se, ainda, a Equação (4.1) pelo número de pontos n, chegando ao erro final calculado.

A importância de saber o erro final ajuda nas comparações entre os ajustes para diferentes semivariogramas, saber qual modelo paramétrico se adequa melhor a cada semivariograma, como será mostrado posteriormente. Além de facilitar na seleção dos melhores e piores ajustes.

4.3 Comparações dos ajustes

Inicialmente, ao gerar os gráficos no GeoLEAP, o software dá como resposta um arquivo no formato .txtcom as 3 variáveis paramétricas: 𝑐₀, chamado efeito peita, c, definido como patamar, e a variável a , chamada amplitude, como pode-se observar na Figura 4.1.

(47)

36

Figura 4.1: Variáveis paramétricas para o modelo efeito de furo ordinário.

Onde: 𝑐₀ = 0,106177;c = 21,517;a = 14,9999

Com essas informações das variáveis paramétricas, para cada modelo paramétrico, foram construídas tabelas para determinação dos erros dos ajustes ordinários e ponderados. Para os casos 2 e 3, Yamamoto mostra em seu livro o valor das variáveis paramétricas por ele encontradas fazendo os ajustes pelo modelo paramétrico esférico. A Tabela 4.2 abaixo mostra um exemplo das tabelas feitas:

Tabela 4.2: Dados da tabela para obtenção dos erros para o modelo cúbico do caso 2 de Yamamoto.

Variograma Teórico Erros

h(m) Variograma Ordinario Ponderado Yamamoto Ordinario Ponderado Yamamoto

3 8,419 20,047 -1,909 5,848 135,210 106,677 6,610 6 14,302 20,047 10,037 10,807 33,008 18,189 12,211 9 18,553 20,047 20,492 14,878 2,234 3,763 13,504 12 19,198 20,047 26,061 18,059 0,721 47,107 1,295 15 18,759 20,047 27,463 19,800 1,659 75,768 1,084 18 20,703 20,047 27,510 19,800 0,430 46,330 0,816 21 25,105 20,047 27,510 19,800 25,585 5,782 28,145 24 22,888 20,047 27,510 19,800 8,071 21,360 9,536 27 20,286 20,047 27,510 19,800 0,057 52,182 0,236 30 21,991 20,047 27,510 19,800 3,778 30,461 4,799 ERROS: 1,438 1,803 0,885

(48)

37 Os quatro modelos escolhidos para o trabalho são modelos em que, além de ter pouca aplicação prática, são modelos que não ajustam bem os diversos semivariogramas testados. Levando em consideração apenas os melhores ajustados, ou seja, os que obtiveram um menor erro, para o caso 1, o modelo que melhor ajustou foi o modelo cúbico ordinário com passos de 3 em 3 metros. Este obteve um erro de 0,952631313 e na Figura 4.2pode-se observar o ajuste feito no GeoLEAP:

Figura 4.2: Ajuste do modelo cúbico ordinário para o caso 1 com passo 3 metros.

Como dito anteriormente, estes modelos trabalhados não geram ajustem perfeitos, pois têm pouca aplicação prática. Porém, para o caso 2 de Yamamoto, onde o autor consegue gerar um bom ajuste e obter valores para as variáveis paramétricas com o uso do modelo esférico, o modelo pentaesférico ordinário com passo de 3 metros conseguiu um menor erro que o ajuste de Yamamoto. A Tabela 4.3 mostra os erros e a Figura 4.3 mostra o ajuste feito:

(49)

38

Tabela 4.3: Erros dos ajustes feitos por Yamamoto e pelo GeoLEAP para o caso 2. ERROS

Yamamoto 0,884

GeoLEAP 0,750

Figura 4.3: Ajuste do modelo pentaesférico ordinário para o caso 2 com passo 3.

Para o semivariograma do caso 3, o melhor ajuste, novamente, foi com o passo de 3 em 3 metros, e mais uma vez com o modelo pentaesférico ordinário, pois, dentre os quatro, que não são bons modelos paramétricos de ajustes, é o que melhor ajusta e tem um erro menor que os outros. Novamente, o pentaesférico ordinário obteve um erro menor quando comparado ao erro de Yamamoto. A Tabela 4.4 mostra os erros e o ajuste pode ser visualizado na Figura 4.4:

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39 Tabela 4.4: Erros dos ajustes feitos por Yamamoto e pelo GeoLEAP para o caso 3.

ERROS

Yamamoto 0,145

GeoLEAP 0,131

Figura 4.4: Ajuste do modelo pentaesférico ordinário para o caso 3 com passo 3.

4.4 Impacto do ajuste automático na Krigagem

Para a ciência da engenharia de petróleo, a importância dos ajustes está na influência das predições e estimulações a fim de identificar onde tem uma maior ou menor quantidade de determinada propriedade analisada. Em vista disso, foi comparado o melhor modelo ajustado para o caso 3 com o passo de 2,5 metros com o modelo apresentado e ajustado por Yamamoto.

(51)

40

Foi realizada uma validação cruzada de dados no processo de krigagem simples, que consiste em ser um processo geoestatístico de estimativa de valores de variáveis ditribuídas no espaço e/ou tempo. Foi achado um erro final, após a validação cruzada, que pode ser observado na tabela 4.5. Com essa informação, pode-se afirmar que mesmo o modelo pentaesférico sendo um dos quatro modelos que não tem um bom ajuste, feita a validação cruzada na krigagem, encontra-se um erro inferior ao ajustado por Yamamoto no modelo esférico. Na Figura 4.5, segue uma vista do mapa 2D gerado pela krigagem simples no GeoLEAP.

Tabela 4.5: Erros dos ajustes feitos após a validação cruzada para Yamamoto e GeoLEAP para o caso 3.

Figura 4.5: Vista do mapa 2D gerado pela krigagem simples do modelo pentaesférico utilizando o caso 3 com passo 2,5 metros.

ERROS

Yamamoto 0,197

GeoLEAP Ordinário 0,191

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41 Este mapa da Figura 4.5 é um mapa 2D onde mostra a concentração de uma propriedade de interesse, seja ela porosidade, permeabilidade, etc. A escala nomeada de Zgaussindica a concentração da propriedade em estudo, ou seja, facilita a visualização da concentração da propriedade em estudo.