resumo Acredita-se que, uma das formas de contrariar o insucesso educativo a Matemática, directamente relacionado, nomeadamente, com o pouco interesse e a falta de motivação que os alunos têm para com esta disciplina, passa pela construção dum conhecimento mais aprofundado sobre como evoluíram os conceitos abordados, quais as personagens mais directamente ligadas a esse processo e quais os métodos utilizados pelos nossos antepassados para chegar onde se está hoje.
Por outro lado, acredita-se que tal construção será mais significativa se suportada por trabalhos de projecto, desenvolvidos pelos próprios alunos e que o espaço privilegiado para o desenvolvimento de tais projectos é a área curricular não disciplinar – Área de Projecto.
A questão chave deste estudo centra-se, então, no impacte que o desenvolvimento de projectos no âmbito da Área de Projecto, que facilite o conhecimento do passado, no que respeita à matemática, pode ter no sucesso educativo da Matemática.
Consultada a literatura da especialidade, explorou-se a importância da história da matemática no seu ensino fazendo-se, em paralelo, uma análise do contexto do aparecimento e das características de uma nova área curricular não disciplinar – a Área de Projecto.
Desenvolveu-se, então, um estudo numa turma do 8º ano de escolaridade, no âmbito da Área de Projecto, onde os alunos realizaram trabalhos ligados à história da matemática. Posteriormente, fizeram a divulgação desses trabalhos pela comunidade escolar e, em particular, pelos colegas da sua turma, na disciplina de Matemática.
Esperava-se que tal envolvimento contribuísse para uma visão mais positiva de tal área não disciplinar e, em simultâneo, para o desenvolvimento de várias competências transversais, gerais e específicas e, em última instância, para a construção duma (nova) cultura matemática.
Da análise dos trabalhos desenvolvidos ao longo do ano e da forma como estes decorreram, verificou-se que os assuntos ligados à história da matemática têm, definitivamente, um papel importante no processo de ensino e de aprendizagem. Os alunos mostraram muito interesse e empenho nos trabalhos e modificaram, de certa forma, a sua forma de ver a matemática e a própria Área de Projecto.
Os resultados deste estudo sugerem que o caminho pode constituir uma via para a valorização do processo de ensino e de aprendizagem, mas que ainda há um longo caminho a percorrer para que os estudantes deixem de ver a matemática e a sua história como campos separados e autónomos. Esse caminho tem, definitivamente, de começar no 1.º ciclo do ensino básico de modo a formar consciências o mais cedo possível.
better understanding of the evolution of the concepts studied, who the people most directly linked with that process are and what methods were used by our forefathers.
That construction will be more significant if it will be supported by project work, developed by students. So, we think that the privileged space for that development is a new curricular area called “Área de Projecto”.
We intend to study the impact that the development of this kind of projects can have in the Mathematics success.
The link between the mathematic history and its teaching was investigated, as well as the context of the appearance of a new school subject called “Área de Projecto”.
Therefore, an 8th grade case study was conducted in this new subject area. Projects related to the mathematics’ history were done and these were subsequently displayed throughout the school by the referred class.
It was hoped that this kind of active involvement by the students would contribute to the development of a more positive mindset of “Área de Projecto”. It was also important the development of the various transversal, general and specific skills. In this way, we want to make a contribution to a “new” Mathematics conscience.
From the careful analysis of the various projects done, it can be concluded that a study of the mathematics history plays an important role in the teaching-learning process. The students had shown a great interest in and made every effort to do these projects, and having, in a certain way, changed their Mathematics’ and “Àrea de Projecto”’s mindset.
The results of this study suggest that the groundwork can constitute a way to the valuation of the teaching and learning process. Howevwr, there is still much work to be done in order that Mathematics’ students can stop seeing the subject and its history as separate and autonomous domains. This type of groundwork should definitely be undertaken in the first four years of Primary School so as to form Mathematics’ mindset as early on as possible in young learners.
As a way of concluding, suggestions for future studies on the subject are presented.
da Dissertação de Mestrado “A História da Matemática na Área de Projecto no 8º ano de escolaridade”
Capítulo 2
Pag. 42, linha 12
Onde se lê “Equações” deveria ler-se “Trigonometria do Triângulo Rectângulo”.
Capítulo 3
Pag. 81, linha 6
Onde se lê 2 devia ler-se 3.
Capítulo 3
Pag. 251, linha 8
Neste capítulo, e de uma forma necessariamente sumária, questiona-se a forma como a Matemática1 é vista na sociedade de hoje e como é abordada na escola, valências que se influenciam mutuamente, e defende-se que o estudo de temas ligados à história da matemática pode influenciar positivamente o processo de ensino e de aprendizagem desta disciplina e, consequentemente, contribuir para a construção de uma nova cultura matemática. A existência de uma “nova” área curricular não disciplinar – a Área de Projecto, que se denuncia como o espaço privilegiado para o desenvolvimento de projectos, valoriza-se, conduzindo à eleição da mesma para o tratamento de temas ligados à história da matemática. Espera-se, assim, também contribuir para uma face mais positiva desta área.
Num segundo instante faz-se uma caracterização do estudo efectuado, partindo da problemática em questão e dos objectivos que o estudo persegue, apresentando-se, ainda, algumas limitações do estudo. Termina-se este capítulo com a apresentação da estrutura da dissertação.
1.1 – O ensino e a aprendizagem da matemática
1.1.1- A matemática na escola e na sociedade
Ninguém é indiferente à matemática. Embora sem terem uma noção clara da utilidade do que se aprende em Matemática e sem saberem em que medida (ou como) a matemática que se aprende é indispensável para o prosseguimento de certos estudos, a maior parte das pessoas atribui-lhe um papel fundamental e capacitante na formação dos jovens para enfrentarem situações cada vez mais complexas ou para prosseguirem estudos (Ponte et al.,1997).
1
Utilizar-se-á “Matemática” para nos referirmos à disciplina e “matemática” para a ciência. Da mesma forma distinguir-se-á “História da Matemática” de “história da matemática”. Exceptua-se o caso das citações em que se manterá a expressão utilizada pelos autores.
Não obstante, a ideia mais difundida é que, como disciplina escolar, ela é considerada como uma das mais problemáticas, difíceis, e da qual poucos alunos gostam.
Até que ponto é ou não possível modificar esta situação? (Ponte et al., 1998). Esta é uma questão que tem preocupado inúmeros investigadores e motivado uma série de estudos.
As variáveis em jogo são múltiplas. Para além da eventual complexidade da matemática, a atitude do professor de matemática, de replicador do estilo inadequado com que foi formado, faz com que o problema se reproduza continuamente pelas gerações (Kamil & Declark, 1997).
Relativamente ao primeiro aspecto, Ponte et. al. (1997) afirmam que a ideia da “dificuldade” intrínseca da matemática deverá ser desmistificada. Na matemática, como acontece com muitas vertentes da nossa vida, há aspectos difíceis e aspectos fáceis. Não há razão nenhuma para só se insistir na existência dos difíceis.
No que respeita ao segundo aspecto, tal formação e consequente prática assentam, quase exclusivamente, na memorização de produtos acabados e na resolução repetitiva de exercícios. Tal forma de abordar a matemática contribui para uma sua visão, nomeadamente, como uma ciência estática, sem relação com o dia a dia e com outras ciências e nada desafiante.
A ênfase no trabalho em tarefas muito estruturadas e a pouca atenção a actividades cognitivas mais exigentes, contribuem para criar nos alunos uma visão empobrecida do modo de trabalhar e aprender nesta disciplina, processo que não se revela significativo na perspectiva de Ausubel (1968). A teoria da aprendizagem significativa, segundo este autor, baseia-se num modelo construtivista, segundo o qual o que o aluno aprende tem de fazer algum sentido para ele. As informações novas que se adquirem devem apoiar-se nos conhecimentos que o aluno já possui. Contrariar concepções incorrectas acerca da matemática e da sua aprendizagem por meio do envolvimento dos alunos em verdadeira actividade matemática é, pois, fundamental (Ponte e Segurado, 1998).
Na obra da APM, Renovação do Currículo de Matemática (1988), onde se procurou definir rumos da Educação Matemática com base numa reflexão conjunta de professores e investigadores, considera-se que “A Matemática é essencialmente uma actividade criativa constituindo a formulação e a resolução de problemas o seu núcleo fundamental. Por outro lado, nas suas relações com as outras ciências e demais actividades humanas, o seu contributo fundamental é ainda o papel que desempenha na resolução dos problemas de cada uma dessas áreas. Por fim, concordaremos que muitos aspectos da nossa vida diária constituem situações problemáticas” (p. 23).
No que respeita à abordagem da Matemática, por exemplo as Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar (NCTM, 1991) defendem o abandono significativo das práticas tradicionais de ensino da matemática e sugerem modificações não apenas naquilo que é ensinado mas também em como é ensinado. Neste contexto, refere-se, nestas Normas, que “a sociedade actual espera que as escolas garantam que todos os estudantes tenham a oportunidade de se tornar matematicamente alfabetizados, sejam capazes de prolongar a sua aprendizagem, tenham iguais oportunidades de aprender e se tornarem cidadãos aptos a compreender as questões em aberto numa sociedade tecnológica. Tal como a sociedade muda, também as suas escolas devem transformar-se” (p.5).
Assim, nos últimos anos, em Portugal, têm surgido, nos programas e recomendações oficiais, novas propostas metodológicas para o ensino e aprendizagem da matemática. Valoriza-se a resolução efectiva, essencialmente, de problemas, por parte dos alunos, o trabalho de grupo e a realização de projectos no quadro de uma perspectiva pedagógica que privilegia o envolvimento activo dos alunos no seu próprio processo de aprendizagem (Ponte et al., 1998).
Também é realçada a importância da história da matemática no processo de ensino e aprendizagem da disciplina de Matemática. No programa de Matemática do 3º Ciclo do Ensino Básico (Ministério da Educação, 1994), é afirmado que é importante que os alunos “manifestem desejo de aprender e gosto pela pesquisa, reconheçam o contributo da Matemática para a compreensão e resolução de
problemas do Homem através dos tempos, colaborem nos trabalhos de grupo partilhando saberes e responsabilidades e relacionem etapas da história da matemática com a evolução da humanidade” (p.10,11). O programa do Ensino Secundário (Ministério da Educação, 1995) também realça os aspectos referidos anteriormente, nomeadamente no que diz respeito à história da matemática, considerando que é importante conhecer aspectos desta área, nomeadamente, personalidades e factos marcantes da história da matemática e relacioná-los com momentos históricos de relevância cultural ou social. Afirma-se ainda, neste mesmo programa, que actividades com uma perspectiva histórica humanizam o estudo da disciplina, mostrando a matemática como uma ciência em construção.
Relativamente ao trabalho de projecto em matemática, Passos e Correia (2003), afirmam que “qualquer tema da matemática pode proporcionar ocasiões para a realização de projectos (…)” (p.93).
1.1.2 – A história da matemática no ensino e aprendizagem da
matemática
Abordar a história da matemática na disciplina de Matemática traz vantagens quer para a própria matemática, quer para o professor, quer para o aluno.
Segundo Pais (2003), ao despir a matemática das suas longas tradições transformamo-la em Matemática Moderna e muitos dos assuntos perdem todo o encanto e atracção. Também segundo Abraham Arcavi (1991), do Weizmann Institute of Science, de Israel, e membro da Sociedade Britânica de História da Matemática, usar a história da matemática contribui para reexaminar ideias matemáticas conhecidas. Rico (1996) acrescenta que o conhecimento dos momentos chave na história da matemática apresenta interesse intrínseco, porque põe em evidência os obstáculos que foi preciso superar para aperfeiçoar a ferramenta.
Relativamente ao educador, com o conhecimento da história da matemática, este amplia o seu universo cultural, desenvolve hábitos de leitura, aperfeiçoa habilidades de pesquisa e faz mais uso de um vocabulário matemático na disciplina (Pinedo e Pinedo, 2004). Junto a todos estes elementos significativos, aparecem as possibilidades de interpretar as situações históricas para oferecê-las aos seus alunos com o objectivo de deixar neles não só os conhecimentos matemáticos, mas também vivências emocionais que se repercutem na formação de valores humanos. Assim, a história da matemática permite trabalhar, com uma perspectiva científica, a apresentação dos conceitos e teorias matemáticas, oferecendo ao estudante o espaço para descobrir, na evolução destes conteúdos, a presença da forma do desenvolvimento social e cultural da humanidade. O vínculo dos conteúdos matemáticos dos programas escolares com as situações históricas associadas favorece os processos de assimilação e reflecte-se na correcta utilização com a qual se podem apresentar os princípios didácticos do ensino (Pinedo e Pinedo, 2004). Por outro lado, permite criar sensibilidade no professor para as dificuldades possíveis de compreensão dos estudantes, ajudando-o a compreender os seus argumentos.
Assim, segundoPinedo e Pinedo (2004), conhecendo a história da matemática pode-se superar a maior parte do problema da aprendizagem da matemática por parte dos estudantes de todos os níveis de ensino. Mesmo ao nível da motivação, que está na base de toda a aprendizagem e que tem sido um dos enfoques mais constante nas investigações em educação matemática, a história foi apontada como mais um elemento motivador no acto pedagógico (Ferreira, 1996). Hassler (1929), em Ferreira (1996), considera que conhecer a história dos processos matemáticos aviva o interesse pelos conteúdos abordados. Ainda segundo Simons (1923), em Ferreira (1996), estudar história da matemática ajuda a que o aluno se mantenha mais motivado no processo de ensino e de aprendizagem da matemática.
1.1.3 – A Matemática e os trabalhos de projecto
O trabalho de projecto foi concebido, em termos educativos, no início do século XX, sob a inspiração do filósofo John Dewey, um pedagogo americano. Para ele, trata-se de uma perspectiva pedagógica segundo a qual a aprendizagem se desenvolve a partir da experiência pessoal dos alunos e do envolvimento destes, em actividades que realizam sobre problemas de que se apropriam, de modo cooperativo e com autonomia e responsabilidade (Abrantes, 1994).
De acordo com Ponte et al. (1998), os primeiros estudos conhecidos sobre o papel do trabalho de projecto como uma componente do currículo de Matemática foram os que incidiram na experiência do projecto MAT789 (Abrantes, 1994). Nesta experiência, eram desenvolvidos, pelos alunos, projectos ligados à matemática. Segundo Abrantes (1994) citado em Ponte et al. (1998):
“Os projectos sintetizam, de certo modo, várias características desejáveis do currículo, em especial (a) o carácter intencional e autêntico do trabalho dos alunos, (b) a estreita relação entre processos e produtos, (c) a combinação entre trabalho de grupo e individual, e (d) a associação da Matemática com problemas que requerem reflexão, persistência e recursos variados mais do que a rapidez e a produção de respostas curtas e exactas. Além disso, o trabalho de projecto pode ter ao mesmo tempo um valor próprio e uma forte ligação com a aprendizagem de vários tópicos e processos”. (p. 607)
Os alunos, na perspectiva do autor, apreciaram muito estas actividades, devido à autenticidade dos problemas e dos produtos, a forma autónoma como trabalhavam e a variedade das tarefas.
Destinar mais tempo e mais actividades ao trabalho em pequenos grupos é uma das propostas pedagógicas que figura em praticamente todos os documentos de educação em matemática dos últimos anos, nomeadamente nos Standards2 do
NCTM (1991) ao afirmarem que “o trabalho em pequeno grupo proporciona aos alunos a oportunidade de falar sobre as suas ideias e ouvir as opiniões dos colegas, permite ao professor interagir com os alunos de forma mais intensa, tira partido das
2
características dos alunos quanto à sociabilidade, dá oportunidade aos alunos de trocarem ideias e, finalmente, desenvolve a sua capacidade de comunicação e raciocínio” (p.80). Também a Associação de Professores de Matemática (APM, 1998) defende esta posição, destacando o papel dos pequenos grupos ao afirmar que “é necessário dar atenção a situações de trabalho variadas, com formas de interacção em aula diversificadas, incluindo situações de discussão entre os alunos, de trabalho de grupo e de trabalho de projecto” (p.41).
1.1.4 – A Área de Projecto
No contexto da realização de trabalhos de projecto em grupo, surge, em 2001, uma nova área curricular não disciplinar denominada “Área de Projecto”, que permite que se desenvolvam projectos ligados às mais variadas áreas do saber.
Parte-se do pressuposto que todos os alunos possuem um conjunto de experiências e saberes que vão acumulando ao longo da vida. Na escola, essas vivências podem ser ampliadas, reforçadas e valorizadas permitindo, aos alunos, a realização de aprendizagens posteriores mais complexas.
Por outro lado, pretende-se, que os alunos sejam elementos activos, com capacidade para descobrir, investigar, experimentar e aprender.
A Área de Projecto, domínio privilegiado de convergência de saberes inter e transdisciplinares, é um importante instrumento na construção ou desenvolvimento de competências. Os alunos envolvem-se na concepção, realização e avaliação de projectos, articulando saberes de diversas áreas disciplinares em torno de problemas e temas de pesquisa e intervenção. Aos professores cabe o papel do os orientar ao longo do processo, sendo que eles também constituem uma fonte de informação, juntamente com outros recursos. Na Área de Projecto são desenvolvidos projectos tendo em vista, nomeadamente, a estruturação de aprendizagens nucleares, de
forma a atingir as competências desejadas para os alunos à saída do Ensino Básico (Agora, 1999).
1.2 – Caracterização do estudo
Esta fracção do capítulo é composta por três pontos: a descrição da problemática, os objectivos que o estudo persegue e as limitações desse mesmo estudo.
1.2.1 – Descrição da problemática
Ao longo de um ano lectivo, e no que se refere à disciplina de Matemática, muitos conceitos são abordados e são propostas diversas tarefas para resolução individual ou em grupo.
No entanto, na maior parte das vezes, essa abordagem separa os conteúdos dos seus fundamentos, não se ficando a conhecer o significado do que se aprende. Ora, esse significado ficará potenciado se o passado for conhecido, e se se reflectir na sua origem e na evolução dos conceitos.
O conhecimento da história da matemática reveste-se, assim, da máxima importância parecendo dever constituir-se como parte integrante da educação dos alunos, o que, neste momento, não acontece.
A investigação sobre o assunto não é muito vasta e são poucas as referências nos currículos de Matemática do Ensino Básico. Os professores justificam, com a falta de tempo para a concretização dos programas, o facto de não implementarem estratégias ligadas à história da matemática nas aulas.
Segundo o relatório preliminar “Matemática 2001” elaborado por elementos da Associação de Professores de Matemática (Guimarães et al., 1998), com base num
amplo inquérito e num elevado número de entrevistas a professores do Ensino Básico e Secundário, os Exercícios são apontados como a situação de trabalho mais frequente em sala de aula. Cerca de 93% dos professores inquiridos afirmam usá-los “sempre” ou “em muitas aulas”. Também a Exposição por parte do professor é muito referida, aumentando à medida que se avança nos níveis de escolaridade. Situações de trabalho na aula como Actividades de Exploração, a História da Matemática e o
Trabalho de Projecto, são pouco referidas em todos os níveis de escolaridade - 56%
dos professores referem utilizar Actividades de Exploração em “algumas aulas”; 50% de professores do 3º ciclo mencionam “nunca” utilizar a História da Matemática nas aulas e 48% afirmam utilizá-la em “algumas aulas”, sendo que 24% referem utilizar o
Trabalho de Projecto em “algumas aulas”.
Os professores foram também inquiridos acerca dos modos de trabalho em sala de aula. Verificou-se então que “o Trabalho Individual é dominante. Cerca de 70% dos professores usam com muita frequência esta forma de trabalho com os alunos na aula. No caso do Trabalho de Pares esta percentagem é de 63%” (p.32). Relativamente ao Trabalho de Grupo, este é o modo de trabalho menos indicado - “Mais de 26% dos professores indicam que nunca ou raramente utilizam esta forma de trabalho e só 12% a referem como usada com muita frequência, não havendo diferenças significativas entre os vários ciclos” (p.33).
No seguimento do exposto, o relatório anteriormente mencionado apresenta algumas recomendações, nomeadamente:
9 “A prática pedagógica deve incluir situações de trabalho variadas, valorizando tarefas que promovam o desenvolvimento do pensamento matemático dos alunos e que diversifiquem as formas de interacção em aula, criando oportunidades de discussão entre os alunos, de trabalho de grupo e de trabalho de projecto;
9 A prática pedagógica deve utilizar situações de trabalho que envolvam contextos diversificados (nomeadamente situações da realidade e da
História da Matemática) e a utilização de materiais que proporcionem um forte envolvimento dos alunos na aprendizagem, nomeadamente, materiais manipuláveis, calculadoras e computadores.” (p.79)
Até se resolver esta problemática e, eventualmente, até por vias mais interessantes, urge fazer algo, na medida em que aquele tipo de lacunas pode, inclusivamente, influenciar, drasticamente, a visão deturpada e restritiva que os alunos têm da matemática como uma ciência pouco interessante, pura, desligada do real, sem relação com outros assuntos, estática, sem sentido e demasiado difícil para ser compreendida.
A área curricular não disciplinar – Área de Projecto – poderá constituir-se como um espaço privilegiado para desenvolver aspectos ligados com a história da matemática, na lógica do trabalho de projecto. Os alunos poderão, assim, desenvolver um conjunto de competências, quer ligadas directamente à Matemática, quer competências gerais ligadas à vida em sociedade, pois aqui eles planificam, decidem, trabalham em grupo, avaliam. Tal situação poderá, também, contribuir para uma valorização da própria Área de Projecto, a qual poderá não estar a ser, genericamente, muito rentabilizada. Segundo Gonçalves (1999), este tipo de trabalho não entusiasma a maior parte dos professores, sendo que o trabalho é implantado de forma pouco convicta, caindo, muitas vezes, em situações banais ou superficiais, pouco marcantes para os alunos. A autora afirma, ainda, que a pertinência da Área de Projecto tem que ser questionada entre os professores e alunos para ser assumida com autenticidade; devem-se definir claramente os seus objectivos, e o trabalho desta Área não pode estar desligado do que se faz no âmbito disciplinar.
1.2.2 – Objectivos do estudo
Nesta perspectiva, com a presente investigação pretende-se, então, genericamente, estudar se o processo de ensino e de aprendizagem, especificamente da Matemática, tem a ganhar com o aprofundamento de temas ligados à história da matemática, na lógica do trabalho de projecto
Mais concretamente, persegue-se, como principal finalidade, avaliar o impacte do desenvolvimento de projectos, no âmbito da área não disciplinar – Área de Projecto –, envolvendo a história da matemática, e da sua posterior divulgação, principalmente na Matemática, pelos respectivos autores – alunos do 8º ano de escolaridade – no desenvolvimento de apetências e competências transversais e matemáticas gerais ou específicas. Tais competências prendem-se, genericamente, com o saber, o saber fazer e o saber ser e, especificamente com, o desenvolvimento, nomeadamente:
• da capacidade de trabalhar em grupo; • da criatividade e imaginação;
• da capacidade de pesquisar e tratar informação;
• do reconhecimento da importância de conhecer a histórica da matemática; • de uma mais sólida construção de conceitos relativos à matemática e à
história da matemática;
• da capacidade de comunicar (em) matemática;
• de uma visão mais positiva e correcta da matemática e do seu processo de ensino e de aprendizagem.
Por outro lado, também se pretende avaliar em que medida o desenvolvimento de tais projectos contribui para a construção de uma visão mais positiva da Área de Projecto e para um conhecimento mais aprofundado da natureza da mesma.
1.2.3 – Limitações do estudo
Uma das principais limitações diz respeito ao facto de o estudo ter decorrido durante, somente, parte de um ano lectivo e com alunos do 8º ano de escolaridade. Provavelmente seria mais proveitoso e permitiria retirar conclusões mais consistentes, se o estudo fosse realizado ao longo de pelo menos três anos, nos níveis 7º, 8º e 9º anos, com a mesma amostra.
Relativamente aos recursos materiais, é de salientar que nem sempre foi fácil, por parte dos alunos, efectuar as pesquisas, devido ao mau funcionamento da Internet na Escola ao longo do ano lectivo 2003/2004.
De destacar, ainda, o facto dos participantes não terem hábitos de realização deste tipo de trabalho, o que condicionou muito a qualidade dos mesmos atendendo, principalmente, a uma deficiente gestão do tempo.
Finalmente, é de referir o facto de não se poderem generalizar conclusões, o que poderia ter algum interesse, embora este aspecto seja, cada vez mais, contestado no âmbito da educação, devido, não só ao tamanho da amostra, como também ao facto de esta não ter sido escolhida aleatoriamente. No entanto, pelas suas particularidades, a amostra pode ser considerada, de alguma forma, expressiva da população em estudo, ou seja, os estudantes portugueses do 8º ano de escolaridade.
1.3 – Estrutura da dissertação
Relativamente à forma como se organiza a apresentação deste estudo, esta divide-se em cinco capítulos. No primeiro capítulo “Introdução” enquadra-se, sumariamente, a investigação desenvolvida, fazendo-se, principalmente, uma breve análise do papel da história da matemática na superação de problemas que se levantam à Matemática bem como do papel da nova área curricular não disciplinar
“Área de Projecto” como um local privilegiado para o desenvolvimento de projectos matemáticos. Neste primeiro capítulo definem-se, ainda, a problemática, os objectivos e as limitações do estudo. No final é feita a apresentação da estrutura da dissertação.
No segundo capítulo “Enquadramento Teórico”, são desenvolvidas diversas perspectivas acerca das questões em estudo, nomeadamente da importância da história da matemática no processo de ensino e de aprendizagem da matemática. Numa segunda parte é discutida a nova área curricular não disciplinar e a forma como se desenvolvem projectos nesta área.
No terceiro capítulo “Metodologia”, explicitam-se as opções metodológicas adoptadas na investigação em questão e o design experimental. Posteriormente, caracteriza-se a amostra e justificam-se e descrevem-se as técnicas e os instrumentos utilizados para a recolha de dados. Finalmente, é feita a descrição do estudo e o tipo de tratamento a que os dados foram submetidos.
No quarto capítulo “Apresentação e Análise dos dados”, tenta-se uma descrição e interpretação dos dados recolhidos ao longo da experiência, de acordo com os objectivos que o estudo persegue.
Por fim, no quinto e último capítulo “Conclusões, Implicações e Sugestões”, são sintetizadas as principais conclusões retiradas da experiência desenvolvida, discutidas algumas implicações do estudo e apresentadas algumas propostas para investigações futuras.
C
APÍTULO
2
–
E
NQUADRAMENTO
T
EÓRICO
- A história da matemática no ensino e na
aprendizagem da matemática
Neste capítulo enquadram-se, teoricamente, as temáticas em causa na investigação desenvolvida. É constituído por opiniões, teorias e resultados de investigações anteriores, que levaram à realização deste estudo.
O capítulo está dividido em duas partes distintas. A primeira diz respeito à história da matemática no ensino e na aprendizagem da matemática e a segunda parte aborda o tema da “Área de Projecto” – o seu funcionamento e a sua relevância no Sistema Educativo, ao centrar-se na metodologia do trabalho de projecto.
2.1 - A história da matemática no ensino e na aprendizagem
da matemática
O conhecimento criado e acumulado pela humanidade ao longo de sua existência é um património de toda espécie humana e a escola precisa tratar esse conhecimento como uma construção social. No entanto, a escola tem contribuído para a separação entre o conhecimento científico e o processo histórico-social no qual ele é gerado e, assim, reproduz um modo de pensar em que a ciência e a tecnologia são resultantes de um avanço linear e cumulativo de conhecimento (Stamato, 2004).
Ao longo dos anos, têm sido feitos alguns estudos, quer em Portugal, quer no estrangeiro, no âmbito da análise da importância da história da matemática no processo de ensino e de aprendizagem da matemática. Assim, neste ponto, pretende-se, essencialmente, analisar algumas das principais conclusões desses estudos, começando por examinar, cronologicamente o que se tem feito ao longo de vários séculos relativamente à história da matemática. Passa-se, depois, à análise sobre o que diz o programa oficial de Matemática sobre este assunto e em que ponto se encontra a utilização da história da matemática nas aulas.
2.1.1 – O interesse pela história da matemática através dos tempos
O interesse pela relação entre a história da matemática e o seu ensino e aprendizagem não é recente, e as discussões relativas a este tema têm atravessado vários séculos.
Já os “Estatutos da Universidade Portuguesa”, escritos aquando da Reforma das Universidades Portuguesas em 1772, promovida pelo Marquês de Pombal, recomendavam que os professores associassem a Matemática que ensinavam à sua história (Calinger, 1996).
Também Joseph Louis Lagrange (1736-1813), nas suas lições de Matemática Elementar, proferidas em Paris nos anos 90 do século XVIII, fez o seguinte comentário (depois de uma apresentação da construção dos logaritmos):
“Como o cálculo dos logaritmos é actualmente um coisa do passado, excepto em casos isolados, poder-se-ia pensar que os pormenores que discutimos são desprovidos de valor. Contudo, podemos ter simplesmente a curiosidade de conhecer os caminhos, tortuosos e feitos de tentativas, que os grandes inventores percorreram, os vários passos que seguiram para atingir os seus objectivos, e o quanto devemos a estes benfeitores da raça humana. Além disso, tal conhecimento não diz respeito apenas a uma curiosidade vã. Pode orientar-nos em investigações semelhantes e ilumina com uma luz mais forte os assuntos de que nos estamos a ocupar.” (Vasconcelos, 2000, p. 2)
Assim, como Lagrange salienta, o valor de ter em consideração a história da matemática reside não só na satisfação da curiosidade, reconhecendo o trabalho dos investigadores do passado, mas também na colheita de novas orientações para estudos futuros matemáticos.
No século XIX, Karl Weierstrass (1815-1897) realçou a importância que o conhecimento dos fundamentos da matemática tem para a sua compreensão e para a construção de conhecimentos futuros (Calinger, 1999).
Já em meados do século XX, o Professor José Sebastião e Silva (1914-1972) atribuiu uma grande importância à história da matemática na formação dos alunos.
Para ele, devia-se inserir as matérias no quadro de uma cultura geral que temperasse e humanizasse o abstracto inerente à matemática, procurando explicá-la como processo histórico (Silva e Paulo, 1970). Não admira, portanto, que nos livros de José Sebastião e Silva sejam feitas muitas notas históricas que abrangem várias épocas, desde o matemático português Pedro Nunes às calculadoras electrónicas (incluindo uma tabela sobre a capacidade de cálculo e uma foto de uma "calculadora electrónica" que ocupava uma sala inteira do "Instituto per le Applicazione del Calcolo" de Roma) (Silva, 1994).
Em 1969, é publicado um livro pelo NCTM3 intitulado “Historical Topics for the Mathematics Classroom” (Baumgart, 1969), que tenta responder às questões “porquê?” e “como?” usar a história da matemática nas aulas. Nessa obra, Phillip Jones4 escreve um artigo onde realça algumas vantagens da utilização da história da Matemática, nomeadamente:
a) mostra que a Matemática é uma criação humana;
b) dá a conhecer as razões pelas quais as pessoas fazem matemática;
c) mostra as conexões existentes entre a matemática e a filosofia, matemática e religião, matemática e o mundo físico e matemática e lógica;
d) leva o estudante a perceber que as necessidades práticas, sociais, económicas e físicas frequentemente servem de estímulo ao desenvolvimento de ideias matemáticas;
e) leva a entender que a curiosidade estritamente intelectual, isto é, que aquele tipo de conhecimento que se traduz tendo como base a questão “o que aconteceria se?”, pode levar à generalização e extensão de ideias e teorias;
f) mostra que as percepções que os matemáticos têm do próprio objecto da matemática mudam e desenvolvem-se ao longo do tempo;
3
National Council of Teachers of Mathematics
4
g) dá a perceber a natureza e o papel desempenhado pela abstracção e generalização na história do pensamento matemático;
h) mostra a natureza de uma estrutura, de uma axiomatização e de uma prova.
Outros estudos têm sido efectuados, mais recentemente, sobre a problemática da integração da história da matemática na Matemática. Pode-se referir António Carlos Brolezzi (1991) autor de uma dissertação de Mestrado, na Universidade de São Paulo, intitulada “A Arte de Contar: uma Introdução ao Estudo do Valor Didáctico da História da Matemática”. O autor pretendia contribuir para o estudo de uma utilização muito mais profunda do recurso à história da matemática, sendo que, no seu entender, a matemática deve ser apresentada como uma ciência em construção, podendo ser “iluminada” com o recurso à história da matemática.
António Miguel (1993), da Universidade Estadual de Campinas, escreveu uma dissertação intitulada “Três estudos sobre história e educação matemática” , cujo objecto de investigação é o problema da relação entre a história, e mais particularmente a história da matemática, e a Educação Matemática. O autor tem o propósito de explicar e fundamentar três pontos de vista pessoais a respeito de três possíveis formas dessa relação se manifestar.
Em 2002, Isabel Colaço Dias, da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, apresenta a sua Dissertação de Mestrado intitulada “A história da matemática no ensino da matemática – contributo da história da educação para análise da situação actual” onde pretendia estabelecer a origem e o percurso histórico de argumentos apresentados por investigadores e educadores, em prol da presença da história da matemática no ensino e aprendizagem da matemática.
Mais à frente explicitam-se mais alguns pormenores destas investigações. Ainda no Brasil, Marcus Fabius Ferreira (1994), realizou um estudo sob o tema História da Matemática versus Ensino da Matemática, e concluiu que os erros e dificuldades que os alunos vivem são os obstáculos que os grandes matemáticos tiveram de ultrapassar algum dia.
Ao longo dos anos têm decorrido, por todo o mundo, vários encontros onde a relação da história da matemática com o seu ensino e aprendizagem é discutida. O HPM (International Study Group on the Relations Between the History and Pedagogy of Mathematics), afiliado à ICMI5, considera que, combinando a história da matemática com o ensino e aprendizagem da mesma, estabelece-se uma ligação entre o passado e o futuro da matemática. Este grupo organiza encontros regionais e internacionais e, em 1996, organizou em Braga, de 24 a 30 de Julho, o “Quadrenarial
Meeting of the International Group on the Relations Between History and Pedagogy of Mathematics”. Formado por especialistas de vários países do mundo, o HPM
explora e promove as relações entre a história e a pedagogia da matemática. Já em 2004, de 12 a 17 de Julho, decorreu um outro encontro deste grupo de trabalho, com o propósito de juntar professores de matemática, investigadores em educação, e historiadores de matemática, para partilharem experiências e conhecimentos acerca da utilização da história da matemática nas aulas. Com a intenção de estudar o papel da história da matemática em todos os níveis do sistema educativo, o ICMI desenvolveu um estudo denominado “History in Mathematics Education” e editado por John Fauvel e por Jan van Maanen em 2003.
Também a Sociedade Portuguesa de Matemática organiza, periodicamente, o Seminário Nacional de História da Matemática, fundado em 1988. Organizou, também, diversas palestras em escolas e encontros nacionais e internacionais dando especial relevância à história da matemática.
Similarmente, o GTHEM6, fundado em 1993, grupo afiliado à APM (Associação de Professores de Matemática) tem-se vindo a interessar pela problemática da integração da história da matemática na Matemática. O GTHEM tem como principal objectivo a promoção e o estímulo de uma perspectiva histórica no ensino e aprendizagem da Matemática. Teve como motivação inicial o interesse crescente, demonstrado pelos sócios da APM e dos professores de Matemática em geral, pela problemática da integração da história da matemática no ensino desta
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International Commission on Mathematics Instruction
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disciplina. Este interesse, que se tem demonstrado a nível mundial, está também presente nos programas do Ensino Básico e Secundário, como poderá ser observado mais à frente. Este grupo de trabalho tem as seguintes orientações:
a) A sua própria formação em história da matemática
b) A integração da história da matemática no ensino desta disciplina e a importância dessa integração.
2.1.2 – História e educação em Matemática
A história da ciência e, em particular, a história da matemática, constitui um dos capítulos mais interessantes do conhecimento. Permite compreender a origem das ideias que deram forma à nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu desenvolvimento. Permite ainda conhecer os homens que criaram essas ideias e estudar as circunstâncias em que elas se desenvolveram. Conhecendo a história da matemática, percebemos que as teorias que hoje aparecem acabadas e elegantes resultaram, sempre, de desafios que os matemáticos enfrentaram, que foram desenvolvidas com grande esforço e, quase sempre, numa ordem bem diferente daquela em que são apresentadas após todo o processo de descoberta (Milies, 2003).
Neste ponto pretende-se dar uma visão geral do ponto de vista de diversos especialistas sobre a integração da história da matemática no ensino e aprendizagem da matemática.
Uma das iniciativas do GTHEM, já referido anteriormente, foi a criação de “Cadernos” que visam fornecer, aos professores, materiais sobre a história da matemática, permitindo mais facilmente a sua integração na aula. Cada “Caderno” contém a tradução de diversos artigos sobre a história da matemática ou a publicação de textos originais e de descrição de experiências educativas neste assunto.
Num dos “Cadernos” publicado em Novembro de 1997, intitulado “Relevância da História no Ensino da Matemática”, são analisadas três questões:
a) porquê estudar história da matemática (por Dirk J. Struik7),
b) a utilização da história em Educação Matemática (por John Fauvel8),
c) dar significado ao que se ensina usando a história da matemática (por Frank J. Swetz9).
Struik (GTHEM, 1997) começa por afirmar que, não há muito tempo atrás, a maioria dos matemáticos mostrava pouco interesse, e alguns deles até um pouco de desprezo, pela história e pelo historiador da matemática. Ainda na altura da escrita do artigo em causa havia matemáticos que pensavam desta forma. No entanto, segundo Struik, existe, em muitos de nós, um vestígio de curiosidade acerca do passado – como é que as coisas se tornaram o que são hoje? Coisas como o Universo, a Terra, a nossa Nação, a nossa Província, a nossa Cidade, a nossa Família, os nossos costumes e Instituições, as nossas expressões ou as nossas palavras. A consciência histórica acompanhou as rápidas mudanças, típicas do nosso tempo. Neste contexto, a história das ciências compartilhou este despertar para horizontes mais largos. Os historiadores ficaram impressionados com o que aprenderam. Desta forma, a Matemática também descobriu que a sua história tem um interesse maior do que se suspeitava.
Struik (GTHEM, 1997) afirma que os nomes dos grandes matemáticos aparecem, nos manuais portugueses, sem muita ou mesmo sem qualquer tipo de explicação, como fantasmas de notáveis desaparecidos, ou apenas como rótulos. Contrariamente, em arte e literatura é dada uma atenção especial às pessoas associadas às grandes obras. Continuam vivas para a posteridade – Leonardo da
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Aclamado Historiador de Matemática e autor de “A Concise History of Mathematics”
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Historiador de Matemática na Universidade Aberta do Reino Unido e co-autor de “A History of Mathematics – a reader”
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Vinci, Milton, Goethe, Whitman. Tal não acontece em ciência e, particularmente, em matemática. No entanto, muitas vezes existiam personalidades interessantes escondidas por trás de nomes como Cardano, Pascal, Newton, Leibniz, Euler, Fourier, Riemann, e uma análise das suas vidas pode também lançar luz sobre a natureza das suas descobertas.
Na opinião de Struik, uma das partes mais significativas da história da matemática é a oportunidade que o estudante tem de se familiarizar com o trabalho dos matemáticos mais notáveis, as suas personalidades e a génese das suas teorias. Em forma de resumo, Struik apresenta no final do seu artigo as razões que tornam atractivo o estudo da história da matemática, nomeadamente:
a) “satisfaz o desejo expresso, por muitos de nós, de saber como se originaram e desenvolveram os assuntos em matemática;
b) o estudo dos autores clássicos pode proporcionar grande satisfação por si só, mas também pode ser útil no ensino e na investigação;
c) ajuda a compreender a nossa herança cultural, não apenas pelas aplicações que a matemática tem tido e ainda tem na astronomia, na física e noutras ciências, mas também pela relação que tem tido, e continua a ter, com campos tão variados como a arte, a religião, a filosofia e os ofícios; d) pode proporcionar um terreno comum onde os especialistas em
matemática e outras áreas da ciência se encontram prazerosamente;
e) oferece o pano de fundo para a compreensão das tendências na educação matemática do passado e do presente;
f) permite temperar o seu ensino com algumas peripécias.” (GTHEM,1997 p.13)
Também, na mesma obra, Fauvel destaca algumas razões que têm sido apresentadas para defender a utilização da história da matemática na sala de aula:
b) humaniza a matemática;
c) o desenvolvimento histórico ajuda a ordenar a apresentação dos assuntos no currículo;
d) mostra aos alunos como os conceitos se desenvolveram e ajuda-os na sua compreensão;
e) muda a percepção que os alunos têm da matemática;
f) compara o antigo e o moderno, valorizando as técnicas modernas; g) ajuda a desenvolver uma aproximação multicultural;
h) proporciona oportunidades para realizar investigações;
i) os obstáculos ao desenvolvimento no passado ajudam a explicar aquilo que os alunos de hoje acham difícil;
j) os alunos sentem-se melhor ao perceberem que não são os únicos a ter dificuldades;
k) encoraja os bons alunos a irem mais longe;
l) ajuda a explicar o papel da matemática na sociedade; m) torna a matemática menos assustadora;
n) explorar a matemática ajuda a manter o nosso interesse e entusiasmo na matemática;
o) fornece a oportunidade de realização de trabalhos inter-curriculares com outros professores ou disciplinas.” (GTHEM, p.17)
No entanto, Fauvel (GTHEM, 1997) refere que, desde há décadas, se não mesmo desde há séculos, algumas vozes, em cada geração, têm alertado para o valor e importância do uso da história na Matemática, sem que tal ponto de vista se tenha afirmado e enraizado na prática do ensino da disciplina. No Curriculum Nacional de Matemática do Reino Unido, por exemplo, não existe qualquer sinal de preocupação com o uso da história na Matemática. Assim, para Fauvel, é importante compreender a razão pela qual a história é tão difícil de enquadrar correctamente na Matemática. Quais os obstáculos a essa interligação? Entre outros factores, por trás da negligência na utilização da história na Matemática, Fauvel destaca que a história
é difícil para os alunos, cuja noção histórica e sentido do passado pode ser bastante errada, se é que a têm. Por outro lado é difícil para os professores que, nos seus estudos, aprenderam pouco ou nada de história da matemática e foram deixados sozinhos sem terem recebido qualquer formação de como usá-la com os seus alunos. Segundo Fauvel, os historiadores de matemática também têm sentido alguma dificuldade em conciliar as complexidades e subtilezas históricas com uma simplicidade de estilo de textos para a apresentação na sala de aula, ou mesmo dos de divulgação popular, que não podem perder a precisão e a veracidade.
Não obstante, provavelmente, o principal obstáculo à integração da história da matemática na Matemática prende-se com a forma como se encara a matemática. Uma Matemática que consista em verdades eternas e factos incontestáveis pode ser incompatível com uma outra que se desenvolva através do esforço humano inserido em contextos sociais.
No seguimento desta discussão, Swetz, no caderno do GTHEM atrás referido, afirma que nos encontramos, frequentemente, a concentrar o ensino da matemática nos símbolos, na mecânica, nos procedimentos de resposta/resultado, sem realmente ensinarmos acerca do que é a matemática, de onde vem, como foi elaborada, como as ideias foram apreendidas, melhoradas e desenvolvidas em úteis teorias. Em resumo, a sua relevância social e humana.
Swetz realça que é importante saber que a matemática não é algo mágico e ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de conhecimentos naturalmente desenvolvidos por pessoas, durante um período de 5000 anos, pessoas que cometeram erros e que estiveram, muitas vezes, desorientadas mas que descobriram soluções para os seus problemas e que deixaram registos dessas soluções, para que nós possamos beneficiar com elas. O ensino da matemática deve reconhecer e promover estes factos centrados nas pessoas.
George Sarton (1958), um historiador da ciência, citado por Swetz em “Relevância da História no Ensino da Matemática” do GTHEM, afirmou o seguinte quando se dirigiu a uma grande audiência em 1953:
“Eu disse que se não se ama e conhece a ciência, não se pode esperar que esteja interessado na sua história; por outro lado, o ensino humanístico da ciência criará o amor pela ciência, assim como uma sua compreensão mais profunda. Muitos dos nossos cientistas (mesmos os mais distintos) são técnicos e nada mais. O nosso objectivo é humanizar a ciência, e a melhor maneira de o fazer é contar e discutir a história da ciência. Se tivermos sucesso, os homens da ciência deixarão de ser meros técnicos e tornar-se-ão homens cultos.” (p.29)
Segundo Vasconcelos (2002), nos últimos anos tem-se falado tanto de história da matemática que até parece que está na moda e é verdade que está na moda, mas por razões meramente circunstanciais. Mas também é preciso reconhecer que cada vez há mais pessoas, em Portugal e no resto do mundo, a preocupar-se com a Matemática, e consideram que a história da matemática desempenha um papel importante na discussão do que fazer para melhorar o seu ensino.
Brolezzi (1991) refere, que, quando se estuda Matemática elementar, muitas vezes é difícil ter uma visão ampla acerca da matéria como um todo. Dentro do currículo elementar, os diversos assuntos surgem bastante isolados uns dos outros, de modo que, por si mesmos, não são capazes de transmitir uma ideia clara do conjunto do que é estudado.
Jones em Guichard (1986) afirma que, ao despir a matemática das suas longas tradições para a vestir com conjuntos e estruturas, muitos assuntos perderam todo o seu encanto e atracção - “Talvez não se tenha despejado o bebé juntamente com a água da banheira ao retirar às matemáticas o conjunto dos assuntos e dos capítulos mais antigos e menos coerentes, mas perdeu-se com certeza, o sabão: sabemos como é fácil encontrar estudantes que pensam que as matemáticas cheiram mal” (p.1).
Segundo Passos e Correia (2003), é importante que os alunos se apercebam que a matemática é uma ciência em construção ao serviço do Homem e da Sociedade. A história da matemática mostra como os conceitos se desenvolveram, ajudando os alunos na sua compreensão e evidenciando a face humana desta disciplina. A história da matemática pode representar uma ajuda na motivação para
aprender matemática. Fornece também uma oportunidade para a realização de trabalhos de investigação e projectos interdisciplinares.
Calinger (1996) acredita que o estudo da história da matemática altera profundamente os conceitos epistemológicos do conhecimento matemático, que a sua introdução transforma as práticas de ensinar matemática. Ele apresenta um esquema para definir esta ideia (Figura 2.1):
Conceitos epistemológicos do conhecimento matemático
História da matemática Exercício de ensinar
Figura 2.1 – Ligação entre o estudo da história da matemática e o ensino e aprendizagem da matemática segundo Calinger (1996).
Torkil Heiede, em Calinger (1986), referindo-se à hipótese da história da matemática ter um lugar no ensino da matemática, afirma que nós, como seres humanos, focamos a nossa mente no presente, na felicidade ou infelicidade que se vive no presente, sem pensar no passado ou no futuro, esquecendo a sua importância ou mesmo a sua existência. Talvez porque tudo muda tão rapidamente, tornando-se impossível acompanhar tal mudança, nos agarramos ao momento presente e ignoramos as mudanças, transformando-nos na seta de Zenão que está no ar, gelada, sem se mexer, morta, porque o passado está acabado e o futuro é inseguro e pode nunca chegar. Mas, se alguém conseguir ter uma outra visão que não seja completamente estática e morta como a seta de Zenão mas um olhar mais diacrónico10, então a seta passará a ter um lugar definido, uma velocidade, move-se e algures, no passado, teria havido um arco que a lançou e em alguma parte do futuro haverá um alvo, ou seja, esta seta tem uma história. Então, afirma Heiede
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(1992), tudo em que tocamos tem uma história, assim como a matemática, e a história torna-se uma parte inseparável dos sujeitos.
Guichard (1986), afirma que os conhecimentos em história da matemática permitem compreender melhor como chegamos aos conhecimentos actuais, porque é que se ensina este ou aquele capítulo. Com efeito, sem a perspectiva crítica que a história nos dá, a matemática ensinada transforma-se no seu próprio objecto, e os objectos matemáticos ficam desnaturados, já não sendo mais objectos de ensino. Aprendem-se os casos notáveis para eles mesmos, a noção de distância para ela mesma. Está-se, então, em presença do fenómeno da transposição didáctica em que o objecto de ensino é o resultado de uma descontextualização, estando separado da problemática que lhe deu origem.
Na sua tese, Brozzeli (1991), apresenta a seguinte imagem para explicar a importância da utilização da história da matemática: “Suponhamos que, ao invés de se assistir normalmente a um desenho animado, alguém tenha a ideia de olhar um por um os quadros estáticos que o compõem. Se, além disso, o fizesse lentamente, digamos olhando cinco ou seis quadros por semana, certamente teria grandes dificuldades para manter o interesse e sobretudo a compreensão da acção que se desenrolaria rapidamente, caso os quadros fossem mostrados em sequência, na velocidade apropriada ao processo de animação.” (p.60)
Para Brozzeli essa imagem serve para nos dar uma certa ideia do que ocorre habitualmente na Matemática elementar. Em cada aula trabalha-se com algum tópico de modo independente e é difícil, para o aluno, obter uma visão da matemática como um todo articulado. Embora não se trate, apenas, de assistir à matemática, mas de estudá-la com razoável profundidade, ainda assim é válida a imagem do desenho animado. Com a animação da cena, é possível ir e voltar, parando em diversas situações o tempo que for necessário, sem perder a noção do que está, de facto, a acontecer. Mas sem animação não há visão de conjunto da cena viva. Uma matemática viva pode ser mostrada aos alunos quando se faz uso da história da matemática. A própria ideia de que a matemática tem história já por si só oferece uma perspectiva nova para o ensino da matemática. Dizer que algo tem história
significa olhá-lo em acção ao longo do tempo. Significa, também, recuar até uma certa distância para obter essa visão ampla. Brozzeli (1991) afirma que um homem navegando num rio pode não ver o traçado percorrido por esse rio. Se subir até uma certa altura, então pode observar-lhe as sinuosidades todas. Esse afastamento é imprescindível para se obter a visão da totalidade. O distanciamento propiciado pela história é, assim, fundamental para se obter uma visão de conjunto do edifício matemático que se almeja construir no ensino elementar. Com o recurso à história, pode-se compreender muito melhor a razão de ser, de tópicos específicos da matemática elementar.
Para Heiede (1992), desligar a matemática da sua base cultural, social e histórica é um erro grave porque a matemática tem vida própria, e quando é trabalhada como se estivesse morta, é assassinada pelos estudantes.
Estrada et al. (2000), afirmam o seguinte relativamente a esta problemática:
“É pois a História que nos dá a visão da matemática que hoje temos. Esta, como Edifício em permanente evolução, estará sempre ligada às
necessidades culturais, económicas, ambientais ou físicas dos povos em que se desenvolve. Através de conceitos e algoritmos análogos desenvolvidos por povos muito distanciados no tempo ou nas fronteiras geográficas, a História da Matemática é também um elemento de união das diferentes raças, culturas, civilizações, cada uma com a sua criatividade própria, mas sempre valiosa e indispensável (p.17)”
Brolezzi (1991) afirma que, “a nosso ver, a ordem lógica mais adequada para o ensino da Matemática não é a do conhecimento matemático sistematizado, mas sim aquela que revela a matemática enquanto ciência em construção. O recurso à história da matemática tem, portanto, um papel decisivo na organização do conteúdo que se quer ensinar, iluminando-o, por assim dizer, com o modo de raciocinar próprio de um conhecimento que se quer construir “ (p.1).
A visão da matemática enquanto uma Ciência não é coisa que se forme desde o início do ensino elementar. Muitas vezes, também por causa disso, é conveniente mostrar aos alunos o maior número de aplicações possível de um dado conhecimento. Para isso é também útil o recurso à história da matemática, grande
fonte de exemplos práticos e de aplicações em vários níveis. Mas a função insubstituível da história surge quando é preciso mostrar a matemática a partir de uma certa distância, de modo que se compreenda o fato de que ela não é um conjunto de regras para resolver problemas práticos.
Silva (1995) distingue dois aspectos: a história do ensino da matemática e a história da evolução da ciência matemática. Segundo ele, a primeira é extremamente útil aos professores, pois dá-lhes uma maior distanciação e uma maior capacidade crítica em relação à situação presente. Permite ver como é que a Matemática era ensinada noutros tempos, quais os problemas que os professores enfrentaram, porque é que outras reformas do ensino triunfaram ou fracassaram. Quanto à segunda, Silva afirma que podemos resumir dizendo, com André Weil, que perguntar "Porquê a história da matemática?" é o mesmo que perguntar "Porquê a matemática?", ou seja, a história da matemática está indissoluvelmente ligada à matemática. Até porque a história da matemática não só mostra a própria abordagem dos problemas, mas também que os conceitos desenvolvidos e os teoremas demonstrados há séculos, como a noção de número primo e o Teorema de Pitágoras por exemplo, continuam válidos e importantes hoje em dia.
Como professores de matemática, somos os transportadores da cultura matemática como refere V. Frederick Rickey, em Calinger (1986). É nossa solene responsabilidade transmitir esta cultura aos nossos alunos. Não é suficiente que apresentemos somente detalhes pontuais sobre a história da matemática. Estamos comprometidos numa tarefa muito maior que isso. Não podemos abandonar esse compromisso ao apresentar a matemática como uma disciplina completamente desenvolvida que surgiu há milénios atrás na sua forma perfeita e acabada.
Para a formação dos professores, bem como para a formação dos alunos, é bom desmistificar a matemática, mostrando que ela é uma obra humana, feita por homens em tempos historicamente datados, em evolução constante mesmo hoje em dia, e não uma obra do espírito humano numa eternidade mística. O nosso ensino não teria muito a ganhar se colocasse as noções no seu contexto e na sua problemática, para que elas ganhem sentido? E já que não se pode percorrer todo o
caminho do pensamento humano, que não se omitam, ao menos, as etapas essenciais (Guichard, 1986).
Para Brolezzi (1991) fazer uso da história da matemática não implica, necessariamente, contar a história da matemática aos alunos. A abordagem que denominamos de “Arte de Contar” consiste em estruturar o conteúdo da matéria a ser ensinada à luz da sua evolução histórica. Um ensino assim planejado, a nosso ver, seria mais significativo, por basear-se numa lógica que é acessível aos alunos, possibilitando-lhes uma visão da totalidade do que é ensinado.
Numa adaptação livre de Arsélio Martins (1986) de um artigo de Jean Paul Guichard, Jean Macé afirma:
“ A longa formação do espírito humano recomeça em cada criança… O primeiro calculador não começou pelas regras abstractas que se colocam nos livros da escola. É por demais evidente que ele deve ter encarado problemas práticos de que não se conseguia livrar a não ser pela utilização de todos os recursos da sua inteligência, para criar a regra, e que ele não fez arte pela arte. Iniciar a criança pela regra abstracta e pôr-lhe a seguir problemas para ela resolver, é caminhar ao arrepio da marcha do espírito humano, a ela que está ao mesmo nível da infância da espécie. O que é que pode acontecer? A sua inteligência assim provocada pode recusar-se à abstracção que lhe é apresentada antes do tempo, a sua memória entra em jogo para se carregar contrariada das palavras e das práticas cujo sentido lhe escapa. O verdadeiro método consiste em colocarmo-nos nas condições do primeiro calculador e faze-la assistir, de algum modo, à criação da aritmética.” (p.1)
Félix Klein, citado em Passos e Correia (2003), afirmava que o professor que ensina matemática desligada da sua parte histórica comete um verdadeiro atentado contra a ciência e a cultura em geral.
Uma formação na área da história da matemática permite realizar um recuo relativamente ao que se ensina, descolar da apresentação do manual. Permite criar novas situações didácticas, pelo material que a história da matemática oferece, e dar elementos para analisar novas situações. A utilização que se pode fazer da história permite analisar as nossas práticas de ensino. Começa a haver uma reacção para
encontrar o sentido do que se ensina e, entre os remédios, figura a história da matemática. Convém notar que apresentar o contexto no qual nos situamos, explicar o sentido do que se faz, colocar as questões numa perspectiva histórica, tudo isso não é uma preocupação estranha dos matemáticos (Guichard, 1986).
Os professores de Matemática que, em algum ponto da sua carreira, se interessaram pela história da matemática, muitas vezes relatam que o entendimento deste assunto influencia a sua forma de ensinar ou, pelo menos, altera a sua percepção do que é a educação matemática. Estes professores podem ou não introduzir uma perspectiva histórica nas aulas, mas referem que têm um ponto de vista diferente dos erros cometidos pelos alunos e compreendem melhor algumas intervenções dos estudantes, pelo que estão mais preparados para os esclarecer (Calinger, 1996).
Guichard (1986) mostra-nos um exemplo para explicar exactamente como a história da matemática pode ajudar a compreender as incorrecções dos alunos. Começa por pôr as seguintes questões: Porque é que tantos alunos chamam recta a um segmento quando o professor se empenha em distinguir os dois? Será uma simples confusão de palavras, uma falta de atenção, quando sabemos que até há pouco tempo a palavra recta designava exactamente o que hoje nós designamos por segmento? Guichard afirma que no Tratado do Marquês de L’Hôspital é preciso traduzir: linha = recta, recta = segmento (ou o seu comprimento), segmento = porção de área compreendida entre um arco de curva e a corda, linha curva = curva, arco = arco (ou o seu comprimento). Esta palavra “recta” que veio primeiro à ideia dos matemáticos para designar o nosso segmento actual, é também aquela que frequentemente e naturalmente aparece nos nossos alunos. Será portanto necessário ter isso em conta no nosso ensino e não esperar ingenuamente que o simples facto de dizer “isto é uma recta, isto é um segmento”, chegue para obter dos alunos a terminologia esperada; o terreno em que plantamos nunca é virgem. As dificuldades encontradas pelos alunos levam a que nos interroguemos, e a história da matemática permite-nos imaginar outras estratégias de ensino. Conhecer a história da matemática permite tentativas de pôr de pé situações didácticas mais
pertinentes para conseguir aprendizagens, graças ao conhecimento que se pode ter sobre a origem da noção de ensinar, sobre o tipo de problema que se visava resolver, as dificuldades que surgiram e o modo como foram superadas.
No entanto, Heiede (1992) alerta ainda para erros que se devem tentar evitar quando se introduz a história da matemática no processo de ensino e de aprendizagem. Porque quem ensina matemática em qualquer nível, não são historiadores profissionais de matemática, os professores devem introduzir, cautelosamente, a história da matemática nas aulas, dando-a a conhecer aos alunos. De acordo com o mesmo autor, a história não é uma caixa de telas onde cada um pode desenhar a fotografia dos matemáticos mais ou menos colorida, para captar a atenção dos estudantes. Por isso devemos ter o cuidado de deixar de parte os detalhes coloridos, se não estivermos certos da sua veracidade.
É necessário que o interesse pela história da matemática seja mais que uma moda, ou uma coisa artificial, um novo conteúdo a conhecer e a aprender. É justamente devido à falta de formação dos professores de Matemática que a maior parte das tentativas de integração da história no ensino da matemática tiveram vida curta: esta formação revela-se cada vez mais necessária para o campo da didáctica, quer se trate da transposição didáctica, da análise dos obstáculos didácticos ou dos erros dos nossos alunos, quer se trate da análise das nossas práticas pedagógicas (Guichard, 1986).
Como já foi referido anteriormente, numa Dissertação de Doutoramento, da Universidade Estadual de Campinas, datada de 1993 e sob o título “Três estudos sobre história e educação matemática”, António Miguel teve como objecto de investigação o problema da relação entre a história da matemática e a Educação Matemática. O autor explicita e fundamenta três pontos de vista pessoais respeitantes a três possíveis manifestações dessa relação. O primeiro diz respeito às possibilidades de se utilizar a história como um recurso pedagógico adicional, o segundo aponta para a necessidade de se resgatar a Educação Matemática na história e o terceiro pretendia apresentar e discutir um estudo histórico-pedagógico sobre os números racionais. Relativamente ao primeiro estudo, que se liga ao
contexto deste trabalho, António Miguel tece algumas considerações, nomeadamente que as principais funções que os textos analisados revelaram, vêem na história:
1) “uma fonte de motivação para o ensino-aprendizagem (História-Motivação); 2) uma fonte de selecção de objectivos para o ensino-aprendizagem
(História-Objectivo);
3) uma fonte de métodos adequados de ensino-aprendizagem (História- Método);
4) uma fonte para a selecção de problemas práticos, curiosos ou recreativos a serem incorporados de maneira episódica nas aulas de matemática (História-Recreação);
5) um instrumento que possibilita a desmistificação da matemática e a desalienação do seu ensino (História-Desmistificação);
6) um instrumento na formalização de conceitos matemáticos (História-Formalização);
7) um instrumento para a constituição de um pensamento independente e crítico (História-Dialéctica);
8) um instrumento unificador dos vários campos da matemática (História-Unificação);
9) um instrumento promotor de atitudes e valores (História-Axiologia);
10) um instrumento de consciencialização epistemológica (História-Consciencialização);
11) um instrumento de promoção da aprendizagem significativa e compreensiva (História-Significação);
12) um instrumento de resgate da identidade cultural (História-Cultura);
13) um instrumento revelador da natureza da matemática (História-Epistemologia).” (p.107)