A história da ciência e, em particular, a história da matemática, constitui um dos capítulos mais interessantes do conhecimento. Permite compreender a origem das ideias que deram forma à nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu desenvolvimento. Permite ainda conhecer os homens que criaram essas ideias e estudar as circunstâncias em que elas se desenvolveram. Conhecendo a história da matemática, percebemos que as teorias que hoje aparecem acabadas e elegantes resultaram, sempre, de desafios que os matemáticos enfrentaram, que foram desenvolvidas com grande esforço e, quase sempre, numa ordem bem diferente daquela em que são apresentadas após todo o processo de descoberta (Milies, 2003).
Neste ponto pretende-se dar uma visão geral do ponto de vista de diversos especialistas sobre a integração da história da matemática no ensino e aprendizagem da matemática.
Uma das iniciativas do GTHEM, já referido anteriormente, foi a criação de “Cadernos” que visam fornecer, aos professores, materiais sobre a história da matemática, permitindo mais facilmente a sua integração na aula. Cada “Caderno” contém a tradução de diversos artigos sobre a história da matemática ou a publicação de textos originais e de descrição de experiências educativas neste assunto.
Num dos “Cadernos” publicado em Novembro de 1997, intitulado “Relevância da História no Ensino da Matemática”, são analisadas três questões:
a) porquê estudar história da matemática (por Dirk J. Struik7),
b) a utilização da história em Educação Matemática (por John Fauvel8),
c) dar significado ao que se ensina usando a história da matemática (por Frank J. Swetz9).
Struik (GTHEM, 1997) começa por afirmar que, não há muito tempo atrás, a maioria dos matemáticos mostrava pouco interesse, e alguns deles até um pouco de desprezo, pela história e pelo historiador da matemática. Ainda na altura da escrita do artigo em causa havia matemáticos que pensavam desta forma. No entanto, segundo Struik, existe, em muitos de nós, um vestígio de curiosidade acerca do passado – como é que as coisas se tornaram o que são hoje? Coisas como o Universo, a Terra, a nossa Nação, a nossa Província, a nossa Cidade, a nossa Família, os nossos costumes e Instituições, as nossas expressões ou as nossas palavras. A consciência histórica acompanhou as rápidas mudanças, típicas do nosso tempo. Neste contexto, a história das ciências compartilhou este despertar para horizontes mais largos. Os historiadores ficaram impressionados com o que aprenderam. Desta forma, a Matemática também descobriu que a sua história tem um interesse maior do que se suspeitava.
Struik (GTHEM, 1997) afirma que os nomes dos grandes matemáticos aparecem, nos manuais portugueses, sem muita ou mesmo sem qualquer tipo de explicação, como fantasmas de notáveis desaparecidos, ou apenas como rótulos. Contrariamente, em arte e literatura é dada uma atenção especial às pessoas associadas às grandes obras. Continuam vivas para a posteridade – Leonardo da
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Aclamado Historiador de Matemática e autor de “A Concise History of Mathematics”
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Historiador de Matemática na Universidade Aberta do Reino Unido e co-autor de “A History of Mathematics – a reader”
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Vinci, Milton, Goethe, Whitman. Tal não acontece em ciência e, particularmente, em matemática. No entanto, muitas vezes existiam personalidades interessantes escondidas por trás de nomes como Cardano, Pascal, Newton, Leibniz, Euler, Fourier, Riemann, e uma análise das suas vidas pode também lançar luz sobre a natureza das suas descobertas.
Na opinião de Struik, uma das partes mais significativas da história da matemática é a oportunidade que o estudante tem de se familiarizar com o trabalho dos matemáticos mais notáveis, as suas personalidades e a génese das suas teorias. Em forma de resumo, Struik apresenta no final do seu artigo as razões que tornam atractivo o estudo da história da matemática, nomeadamente:
a) “satisfaz o desejo expresso, por muitos de nós, de saber como se originaram e desenvolveram os assuntos em matemática;
b) o estudo dos autores clássicos pode proporcionar grande satisfação por si só, mas também pode ser útil no ensino e na investigação;
c) ajuda a compreender a nossa herança cultural, não apenas pelas aplicações que a matemática tem tido e ainda tem na astronomia, na física e noutras ciências, mas também pela relação que tem tido, e continua a ter, com campos tão variados como a arte, a religião, a filosofia e os ofícios; d) pode proporcionar um terreno comum onde os especialistas em
matemática e outras áreas da ciência se encontram prazerosamente;
e) oferece o pano de fundo para a compreensão das tendências na educação matemática do passado e do presente;
f) permite temperar o seu ensino com algumas peripécias.” (GTHEM,1997 p.13)
Também, na mesma obra, Fauvel destaca algumas razões que têm sido apresentadas para defender a utilização da história da matemática na sala de aula:
b) humaniza a matemática;
c) o desenvolvimento histórico ajuda a ordenar a apresentação dos assuntos no currículo;
d) mostra aos alunos como os conceitos se desenvolveram e ajuda-os na sua compreensão;
e) muda a percepção que os alunos têm da matemática;
f) compara o antigo e o moderno, valorizando as técnicas modernas; g) ajuda a desenvolver uma aproximação multicultural;
h) proporciona oportunidades para realizar investigações;
i) os obstáculos ao desenvolvimento no passado ajudam a explicar aquilo que os alunos de hoje acham difícil;
j) os alunos sentem-se melhor ao perceberem que não são os únicos a ter dificuldades;
k) encoraja os bons alunos a irem mais longe;
l) ajuda a explicar o papel da matemática na sociedade; m) torna a matemática menos assustadora;
n) explorar a matemática ajuda a manter o nosso interesse e entusiasmo na matemática;
o) fornece a oportunidade de realização de trabalhos inter-curriculares com outros professores ou disciplinas.” (GTHEM, p.17)
No entanto, Fauvel (GTHEM, 1997) refere que, desde há décadas, se não mesmo desde há séculos, algumas vozes, em cada geração, têm alertado para o valor e importância do uso da história na Matemática, sem que tal ponto de vista se tenha afirmado e enraizado na prática do ensino da disciplina. No Curriculum Nacional de Matemática do Reino Unido, por exemplo, não existe qualquer sinal de preocupação com o uso da história na Matemática. Assim, para Fauvel, é importante compreender a razão pela qual a história é tão difícil de enquadrar correctamente na Matemática. Quais os obstáculos a essa interligação? Entre outros factores, por trás da negligência na utilização da história na Matemática, Fauvel destaca que a história
é difícil para os alunos, cuja noção histórica e sentido do passado pode ser bastante errada, se é que a têm. Por outro lado é difícil para os professores que, nos seus estudos, aprenderam pouco ou nada de história da matemática e foram deixados sozinhos sem terem recebido qualquer formação de como usá-la com os seus alunos. Segundo Fauvel, os historiadores de matemática também têm sentido alguma dificuldade em conciliar as complexidades e subtilezas históricas com uma simplicidade de estilo de textos para a apresentação na sala de aula, ou mesmo dos de divulgação popular, que não podem perder a precisão e a veracidade.
Não obstante, provavelmente, o principal obstáculo à integração da história da matemática na Matemática prende-se com a forma como se encara a matemática. Uma Matemática que consista em verdades eternas e factos incontestáveis pode ser incompatível com uma outra que se desenvolva através do esforço humano inserido em contextos sociais.
No seguimento desta discussão, Swetz, no caderno do GTHEM atrás referido, afirma que nos encontramos, frequentemente, a concentrar o ensino da matemática nos símbolos, na mecânica, nos procedimentos de resposta/resultado, sem realmente ensinarmos acerca do que é a matemática, de onde vem, como foi elaborada, como as ideias foram apreendidas, melhoradas e desenvolvidas em úteis teorias. Em resumo, a sua relevância social e humana.
Swetz realça que é importante saber que a matemática não é algo mágico e ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de conhecimentos naturalmente desenvolvidos por pessoas, durante um período de 5000 anos, pessoas que cometeram erros e que estiveram, muitas vezes, desorientadas mas que descobriram soluções para os seus problemas e que deixaram registos dessas soluções, para que nós possamos beneficiar com elas. O ensino da matemática deve reconhecer e promover estes factos centrados nas pessoas.
George Sarton (1958), um historiador da ciência, citado por Swetz em “Relevância da História no Ensino da Matemática” do GTHEM, afirmou o seguinte quando se dirigiu a uma grande audiência em 1953:
“Eu disse que se não se ama e conhece a ciência, não se pode esperar que esteja interessado na sua história; por outro lado, o ensino humanístico da ciência criará o amor pela ciência, assim como uma sua compreensão mais profunda. Muitos dos nossos cientistas (mesmos os mais distintos) são técnicos e nada mais. O nosso objectivo é humanizar a ciência, e a melhor maneira de o fazer é contar e discutir a história da ciência. Se tivermos sucesso, os homens da ciência deixarão de ser meros técnicos e tornar-se-ão homens cultos.” (p.29)
Segundo Vasconcelos (2002), nos últimos anos tem-se falado tanto de história da matemática que até parece que está na moda e é verdade que está na moda, mas por razões meramente circunstanciais. Mas também é preciso reconhecer que cada vez há mais pessoas, em Portugal e no resto do mundo, a preocupar-se com a Matemática, e consideram que a história da matemática desempenha um papel importante na discussão do que fazer para melhorar o seu ensino.
Brolezzi (1991) refere, que, quando se estuda Matemática elementar, muitas vezes é difícil ter uma visão ampla acerca da matéria como um todo. Dentro do currículo elementar, os diversos assuntos surgem bastante isolados uns dos outros, de modo que, por si mesmos, não são capazes de transmitir uma ideia clara do conjunto do que é estudado.
Jones em Guichard (1986) afirma que, ao despir a matemática das suas longas tradições para a vestir com conjuntos e estruturas, muitos assuntos perderam todo o seu encanto e atracção - “Talvez não se tenha despejado o bebé juntamente com a água da banheira ao retirar às matemáticas o conjunto dos assuntos e dos capítulos mais antigos e menos coerentes, mas perdeu-se com certeza, o sabão: sabemos como é fácil encontrar estudantes que pensam que as matemáticas cheiram mal” (p.1).
Segundo Passos e Correia (2003), é importante que os alunos se apercebam que a matemática é uma ciência em construção ao serviço do Homem e da Sociedade. A história da matemática mostra como os conceitos se desenvolveram, ajudando os alunos na sua compreensão e evidenciando a face humana desta disciplina. A história da matemática pode representar uma ajuda na motivação para
aprender matemática. Fornece também uma oportunidade para a realização de trabalhos de investigação e projectos interdisciplinares.
Calinger (1996) acredita que o estudo da história da matemática altera profundamente os conceitos epistemológicos do conhecimento matemático, que a sua introdução transforma as práticas de ensinar matemática. Ele apresenta um esquema para definir esta ideia (Figura 2.1):
Conceitos epistemológicos do conhecimento matemático
História da matemática Exercício de ensinar
Figura 2.1 – Ligação entre o estudo da história da matemática e o ensino e aprendizagem da matemática segundo Calinger (1996).
Torkil Heiede, em Calinger (1986), referindo-se à hipótese da história da matemática ter um lugar no ensino da matemática, afirma que nós, como seres humanos, focamos a nossa mente no presente, na felicidade ou infelicidade que se vive no presente, sem pensar no passado ou no futuro, esquecendo a sua importância ou mesmo a sua existência. Talvez porque tudo muda tão rapidamente, tornando-se impossível acompanhar tal mudança, nos agarramos ao momento presente e ignoramos as mudanças, transformando-nos na seta de Zenão que está no ar, gelada, sem se mexer, morta, porque o passado está acabado e o futuro é inseguro e pode nunca chegar. Mas, se alguém conseguir ter uma outra visão que não seja completamente estática e morta como a seta de Zenão mas um olhar mais diacrónico10, então a seta passará a ter um lugar definido, uma velocidade, move-se e algures, no passado, teria havido um arco que a lançou e em alguma parte do futuro haverá um alvo, ou seja, esta seta tem uma história. Então, afirma Heiede
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(1992), tudo em que tocamos tem uma história, assim como a matemática, e a história torna-se uma parte inseparável dos sujeitos.
Guichard (1986), afirma que os conhecimentos em história da matemática permitem compreender melhor como chegamos aos conhecimentos actuais, porque é que se ensina este ou aquele capítulo. Com efeito, sem a perspectiva crítica que a história nos dá, a matemática ensinada transforma-se no seu próprio objecto, e os objectos matemáticos ficam desnaturados, já não sendo mais objectos de ensino. Aprendem-se os casos notáveis para eles mesmos, a noção de distância para ela mesma. Está-se, então, em presença do fenómeno da transposição didáctica em que o objecto de ensino é o resultado de uma descontextualização, estando separado da problemática que lhe deu origem.
Na sua tese, Brozzeli (1991), apresenta a seguinte imagem para explicar a importância da utilização da história da matemática: “Suponhamos que, ao invés de se assistir normalmente a um desenho animado, alguém tenha a ideia de olhar um por um os quadros estáticos que o compõem. Se, além disso, o fizesse lentamente, digamos olhando cinco ou seis quadros por semana, certamente teria grandes dificuldades para manter o interesse e sobretudo a compreensão da acção que se desenrolaria rapidamente, caso os quadros fossem mostrados em sequência, na velocidade apropriada ao processo de animação.” (p.60)
Para Brozzeli essa imagem serve para nos dar uma certa ideia do que ocorre habitualmente na Matemática elementar. Em cada aula trabalha-se com algum tópico de modo independente e é difícil, para o aluno, obter uma visão da matemática como um todo articulado. Embora não se trate, apenas, de assistir à matemática, mas de estudá-la com razoável profundidade, ainda assim é válida a imagem do desenho animado. Com a animação da cena, é possível ir e voltar, parando em diversas situações o tempo que for necessário, sem perder a noção do que está, de facto, a acontecer. Mas sem animação não há visão de conjunto da cena viva. Uma matemática viva pode ser mostrada aos alunos quando se faz uso da história da matemática. A própria ideia de que a matemática tem história já por si só oferece uma perspectiva nova para o ensino da matemática. Dizer que algo tem história
significa olhá-lo em acção ao longo do tempo. Significa, também, recuar até uma certa distância para obter essa visão ampla. Brozzeli (1991) afirma que um homem navegando num rio pode não ver o traçado percorrido por esse rio. Se subir até uma certa altura, então pode observar-lhe as sinuosidades todas. Esse afastamento é imprescindível para se obter a visão da totalidade. O distanciamento propiciado pela história é, assim, fundamental para se obter uma visão de conjunto do edifício matemático que se almeja construir no ensino elementar. Com o recurso à história, pode-se compreender muito melhor a razão de ser, de tópicos específicos da matemática elementar.
Para Heiede (1992), desligar a matemática da sua base cultural, social e histórica é um erro grave porque a matemática tem vida própria, e quando é trabalhada como se estivesse morta, é assassinada pelos estudantes.
Estrada et al. (2000), afirmam o seguinte relativamente a esta problemática:
“É pois a História que nos dá a visão da matemática que hoje temos. Esta, como Edifício em permanente evolução, estará sempre ligada às
necessidades culturais, económicas, ambientais ou físicas dos povos em que se desenvolve. Através de conceitos e algoritmos análogos desenvolvidos por povos muito distanciados no tempo ou nas fronteiras geográficas, a História da Matemática é também um elemento de união das diferentes raças, culturas, civilizações, cada uma com a sua criatividade própria, mas sempre valiosa e indispensável (p.17)”
Brolezzi (1991) afirma que, “a nosso ver, a ordem lógica mais adequada para o ensino da Matemática não é a do conhecimento matemático sistematizado, mas sim aquela que revela a matemática enquanto ciência em construção. O recurso à história da matemática tem, portanto, um papel decisivo na organização do conteúdo que se quer ensinar, iluminando-o, por assim dizer, com o modo de raciocinar próprio de um conhecimento que se quer construir “ (p.1).
A visão da matemática enquanto uma Ciência não é coisa que se forme desde o início do ensino elementar. Muitas vezes, também por causa disso, é conveniente mostrar aos alunos o maior número de aplicações possível de um dado conhecimento. Para isso é também útil o recurso à história da matemática, grande
fonte de exemplos práticos e de aplicações em vários níveis. Mas a função insubstituível da história surge quando é preciso mostrar a matemática a partir de uma certa distância, de modo que se compreenda o fato de que ela não é um conjunto de regras para resolver problemas práticos.
Silva (1995) distingue dois aspectos: a história do ensino da matemática e a história da evolução da ciência matemática. Segundo ele, a primeira é extremamente útil aos professores, pois dá-lhes uma maior distanciação e uma maior capacidade crítica em relação à situação presente. Permite ver como é que a Matemática era ensinada noutros tempos, quais os problemas que os professores enfrentaram, porque é que outras reformas do ensino triunfaram ou fracassaram. Quanto à segunda, Silva afirma que podemos resumir dizendo, com André Weil, que perguntar "Porquê a história da matemática?" é o mesmo que perguntar "Porquê a matemática?", ou seja, a história da matemática está indissoluvelmente ligada à matemática. Até porque a história da matemática não só mostra a própria abordagem dos problemas, mas também que os conceitos desenvolvidos e os teoremas demonstrados há séculos, como a noção de número primo e o Teorema de Pitágoras por exemplo, continuam válidos e importantes hoje em dia.
Como professores de matemática, somos os transportadores da cultura matemática como refere V. Frederick Rickey, em Calinger (1986). É nossa solene responsabilidade transmitir esta cultura aos nossos alunos. Não é suficiente que apresentemos somente detalhes pontuais sobre a história da matemática. Estamos comprometidos numa tarefa muito maior que isso. Não podemos abandonar esse compromisso ao apresentar a matemática como uma disciplina completamente desenvolvida que surgiu há milénios atrás na sua forma perfeita e acabada.
Para a formação dos professores, bem como para a formação dos alunos, é bom desmistificar a matemática, mostrando que ela é uma obra humana, feita por homens em tempos historicamente datados, em evolução constante mesmo hoje em dia, e não uma obra do espírito humano numa eternidade mística. O nosso ensino não teria muito a ganhar se colocasse as noções no seu contexto e na sua problemática, para que elas ganhem sentido? E já que não se pode percorrer todo o
caminho do pensamento humano, que não se omitam, ao menos, as etapas essenciais (Guichard, 1986).
Para Brolezzi (1991) fazer uso da história da matemática não implica, necessariamente, contar a história da matemática aos alunos. A abordagem que denominamos de “Arte de Contar” consiste em estruturar o conteúdo da matéria a ser ensinada à luz da sua evolução histórica. Um ensino assim planejado, a nosso ver, seria mais significativo, por basear-se numa lógica que é acessível aos alunos, possibilitando-lhes uma visão da totalidade do que é ensinado.
Numa adaptação livre de Arsélio Martins (1986) de um artigo de Jean Paul