2019-06-ALGLIN

(1)

Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares

´ Algebra Linear MCTB001-17 UFABC Outubro, 2019 ´

(2)

Espa¸co R

n

- Parte II

Sexta Aula

´

(3)

Problema

V = Rn

(Rn, +, ·) ´e um espa¸co vetorial real

Seja W ⊂ Rn tal que W 6= ∅

Que condi¸c˜oes devemos impor ao conjunto W para que ele seja um “pequeno” espa¸co vetorial ?

´

(4)

Problema

V = Rn

´

(5)

Problema

V = Rn

´

(6)

Problema

V = Rn

´

(7)

Motiva¸c˜

_{ao: V = R}

2

Considere os seguintes subconjuntos do espa¸co vetorial V = R2: 1 O conjunto W = {(x , y ) ∈ R2 : x + y = 0} ´e tal que

W ⊂ V e W 6= ∅

2 _{O conjunto W}₁_{= {(x , y ) ∈ R}2 _{: x + y = 1} ´}_{e tal que} W1⊂ V e W16= ∅

3 _{O conjunto W}₂_{= { (x , y ) ∈ R}2 _{: y = x}2} ´_{e tal que} W2 ⊂ R2 e W2 6= ∅

´

(8)

Motiva¸c˜

_{ao: V = R}

2

Considere os seguintes subconjuntos do espa¸co vetorial V = R2:

1 O conjunto W = {(x , y ) ∈ R2 : x + y = 0} ´e tal que

W ⊂ V e W 6= ∅

´

(9)

Motiva¸c˜

_{ao: V = R}

2

W ⊂ V e W 6= ∅

´

(10)

Motiva¸c˜

_{ao: V = R}

2

W ⊂ V e W 6= ∅

2 O conjunto W₁= {(x , y ) ∈ R2 : x + y = 1} ´e tal que W1⊂ V e W16= ∅

´

(11)

Motiva¸c˜

_{ao: V = R}

2

W ⊂ V e W 6= ∅

2 O conjunto W₁= {(x , y ) ∈ R2 : x + y = 1} ´e tal que W1⊂ V e W16= ∅

´

(12)

Observe que:

1 _{W ´}_{e o conjunto das solu¸}_c˜_{oes da equa¸}_c˜_{ao x + y = 0.}

I (0, 0) é solu¸cão da equa¸cão x + y = 0, logo 0V = (0, 0) ∈ W .

I A soma de duas solu¸cões da eq x + y = 0 também é solu¸cão, ou seja, se u, v ∈ W então u + v ∈ W .

I Um escalar vezes uma solu¸cão da eq x + y = 0 também é solu¸cão, ou seja, se α ∈ R e u ∈ W então αu ∈ W .

2 _W₁ _´_{e o conjunto das solu¸}_c˜_{oes da equa¸}_c˜_{ao x + y = 1.}

I (0, 0) não é solu¸cão da equa¸cão x + y = 1, logo 0V = (0, 0) /∈ W .

3 W₂ é o conjunto das solu¸cões da equa¸cão y = x2.

I (0, 0) é solu¸cão da equa¸cão y = x2, logo 0V = (0, 0) ∈ W2.

I Observe que (1, 1) e (−1, 1) são solu¸cões da equa¸cão y = x2, mas a soma delas não é solu¸cão. Ou seja, u = (1, 1), v = (−1, 1) ∈ W2, mas u + v = (0, 2) /∈ W2.

´

(13)

Observe que:

1 _{W ´}_{e o conjunto das solu¸}_c˜_{oes da equa¸}_c˜_{ao x + y = 0.}

´

(14)

Observe que:

1 W é o conjunto das solu¸cões da equa¸cão x + y = 0.

´

(15)

Observe que:

´

(16)

Observe que:

´

(17)

Observe que:

´

(18)

Observe que:

2 W₁ é o conjunto das solu¸cões da equa¸cão x + y = 1.

´

(19)

Observe que:

´

(20)

Observe que:

´

(21)

Observe que:

´

(22)

Observe que:

´

(23)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam V = Rn

W ⊂ V tal que W 6= ∅

Dizemos que W ´e umsubespa¸co vetorialde V se:

(i) 0V = (0, · · · , 0) ∈ W ;

(ii) u + v ∈ W , para quaisquer vetores u e v em W

(iii) α · u ∈ W , para quaisquer α escalar e u vetor em W

´

(24)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam

V = Rn

(i) 0V = (0, · · · , 0) ∈ W ;

´

(25)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam V = Rn

(i) 0V = (0, · · · , 0) ∈ W ;

´

(26)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam V = Rn

(i) 0V = (0, · · · , 0) ∈ W ;

´

(27)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam V = Rn

(i) 0V = (0, · · · , 0) ∈ W ;

´

(28)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam V = Rn

(i) 0V = (0, · · · , 0) ∈ W ;

´

(29)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam V = Rn

(i) 0V = (0, · · · , 0) ∈ W ;

´

(30)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam V = Rn

(i) 0V = (0, · · · , 0) ∈ W ;

´

(31)

Resposta

Defini¸c˜ao

Sejam V = Rn

(i) 0V = (0, · · · , 0) ∈ W ;

´

(32)

Com esta defini¸c˜ao temos que

W acima ´e um subespa¸co vetorial de V = R2

W1 n˜ao ´e subespa¸co vetorial.

Observe que W ´e uma reta no plano R2 que passa pela origem. Em geral, retas no plano R2 que passam pela origem

W = { (x , y ) : ax + by = 0 } s˜ao subepa¸cos vetorial de V = R2.

´

(33)

W acima é um subespa¸co vetorial de V = R2 W1 não é subespa¸co vetorial.

´

(34)

´

(35)

Observe que W ´e uma reta no plano R2 que passa pela origem.

Em geral, retas no plano R2 que passam pela origem W = { (x , y ) : ax + by = 0 } s˜ao subepa¸cos vetorial de V = R2.

´

(36)

´

(37)

V = R

3 1 _{O conjunto} W = { (x , y , z) ∈ R3| x + y + z = 1 } n˜ao ´e um subespa¸co vetorial de V = R3 2 O conjunto W = { (x , y , z) ∈ R3| x + y + z = 0 } ´ e um subespa¸co vetorial de V = R3

Em geral, planos no espa¸co R3 que passam pela origem W = { (x , y , z) : ax + by + cz = 0 } s˜ao subepa¸cos vetoriais de V = R3.

´

(38)

V = R

´

(39)

V = R

´

(40)

Lembrete de GA

(1) Equa¸c˜ao vetorial da reta ` ⊂ R3

Sejam

` ⊂ R3 uma reta em R3 A ∈ `

~

v 6= ~0 tal que ~v || `

A equa¸cão vetorial da reta ` que passa por A e é paralela ao vetor ~v é X = A + t ~v

onde ~v ´e chamadovetor diretor da reta `

A equa¸cão vetorial da reta ` que passa pela origem e têm vetor diretor ~v é W = { t~v : t ∈ R }

´

(41)

Lembrete de GA

Sejam

~

v 6= ~0 tal que ~v || `

´

(42)

Lembrete de GA

Sejam

~

v 6= ~0 tal que ~v || `

´

(43)

Lembrete de GA

Sejam

~

v 6= ~0 tal que ~v || `

´

(44)

Lembrete de GA

Sejam

~

v 6= ~0 tal que ~v || `

´

(45)

(2) Equa¸c˜ao vetorial do plano π ⊂ R3

Sejam

π ⊂ R3 um plano em R3 A ∈ π

~

u e ~v vetores LI tais que ~u || π e ~v || π

A equa¸cão vetorial do plano π que passa por A e é gerado pelos vetores ~u e ~v (ou é paralelo aos vetores ~u e ~v ) é

X = A + λ ~u + µ ~v

onde, ~u e ~v s˜ao chamadosvetores diretores do plano π

A equa¸cão vetorial do plano π que passa pela origem e é gerado pelos vetores ~u e ~v é

W = { λ~u + µ~v : λ, µ ∈ R }

´

(46)

Sejam

~

X = A + λ ~u + µ ~v

W = { λ~u + µ~v : λ, µ ∈ R }

´

(47)

Sejam

~

X = A + λ ~u + µ ~v

W = { λ~u + µ~v : λ, µ ∈ R }

´

(48)

Sejam

~

X = A + λ ~u + µ ~v

W = { λ~u + µ~v : λ, µ ∈ R }

´

(49)

Sejam

~

X = A + λ ~u + µ ~v

W = { λ~u + µ~v : λ, µ ∈ R }

´

(50)

Subespa¸cos de V = R2 Subespa¸cos de V = R3

retas que passam pela origem retas que passam pela origem planos que passam pela origem

´

(51)

retas que passam pela origem

retas que passam pela origem planos que passam pela origem

´

(52)

retas que passam pela origem retas que passam pela origem

planos que passam pela origem

´

(53)

´

(54)

´

(55)

Exerc´ıcio

O conjunto solu¸cão do sistema homogêneo    x + y − z = 0 x − 4y + 2z = 0 2x − 3y + z = 0 ´ e W = α 2 5, 3 5, 1 : α ∈ R ⊂ R3 Então, W é um subespa¸co vetorial de V = R3, as vezes chamadoespa¸co-solu¸cão .

Observe que W ´e uma reta que passa pela origem com vetor diretor v = (2₅,3₅, 1)

´

(56)

Exerc´ıcio

O conjunto solu¸cão do sistema homogêneo    x + y − z = 0 x − 4y + 2z = 0 2x − 3y + z = 0 ´ e W = α 2 5, 3 5, 1 : α ∈ R ⊂ R3 Então, W é um subespa¸co vetorial de V = R3, as vezes chamadoespa¸co-solu¸cão .

Observe que W ´e uma reta que passa pela origem com vetor diretor v = (2₅,3₅, 1)

´