Não importa se a constante é 3 ou -5, pois quando a derivada é calculada o valor constante desaparece.

(1)

Primeiro, uma pequena revisão: Considere:

y



x

2



3

Então:

y

 

2 x

y

 

2 x

2

5 y



x



ou

Não importa se a constante é 3 ou -5, pois quando a derivada é calculada o valor constante “desaparece”.

No entanto, quando tentamos reverter a operação (antiderivadas ou funções primitivas) o problema é outro:

Dado:

_y

 

₂

_x

encontre

y

2

y



x



C

Não sabemos qual é a constante, então adicionamos "C" na resposta para nos lembrar de que

há uma constante.

(2)

Se tivermos mais algumas informações, é possível determinar C. Dado: e quando , encontre a equação para

_y

 

₂

_x

y



4 x



1 y

2

y



x



C

2

4 1

 

C

3 C



2

3 y



x



Isso é chamado de problema com valor

inicial. É necessário conhecer os valores iniciais para determinar a constante C.

Uma equação contendo uma derivada é chamada de equação diferencial. Torna-se um problema de valor inicial quando você recebe a condição inicial e é solicitado a encontrar a equação

original. _

Casos muito comuns em cinemática onde as posições inicial x_i e final x_f, as velocidades inicial v_i e final v_f etc são

(3)

-100 -50 0 50 100 2 4 6 8 10

Uma abelha faz várias viagens da colmeia a um jardim de flores. O gráfico de velocidade é mostrado abaixo.

Qual é a distância total percorrida pela abelha?

200 m 200 m 200 m 100 m

200 200 200 100





700

700 metros  v (m/s) t (s)

(4)

-100 -50 0 50 100 2 4 6 8 10

Qual é o deslocamento experimentado pela abelha?

200 m -200 m 200 m -100 m

200 200 200 100 100









100 m em direção à colmeia  v (m/s) t (s)

(5)

Para determinar o deslocamento (mudança de posição) da

função velocidade, apenas integramos a função (determinamos as áreas envolvidas). As áreas negativas abaixo do eixo x são subtraídas do deslocamento total.

Para determinar a distância percorrida, é necessário utilizar o valor absoluto da função v(t).



Deslocamento =

׬

_𝒕 𝟏 𝒕_𝟐

𝒗 𝒕 𝒅𝒕

Distância Percorrida =

׬

_𝒕𝒕𝟐

_{|𝒗 𝒕 |𝒅𝒕}

Exemplo

(6)

-2 -1 0 1 2 1 2 3 4 5 gráfico de v versus t -2 -1 0 1 2 1 2 3 4 5 gráfico de x versus t 1 2 1 2 1 2

Deslocamento (grandeza vetorial):

Distância Percorrida (grandeza escalar):

Tenho observado equívocos em provas quando é exigido que os alunos interpretem os gráficos de velocidade versus

posição, por exemplo.



1

2

1

2

2     

1

2

4

2

2    

(7)

Fundamentos de Mecânica – 4300151 Prof. Renato F. Jardim – 2020-2

7

Introdução à Integração

A integração é uma maneira matematica de adicionar fatias finas, passos ou etapas para determinar um todo. A integração pode ser usada para encontrar, por

exemplo, áreas, volumes, pontos centrais e outras propriedades muito úteis de funções.

Para os objetivos da disciplina, é mais fácil iniciar encontrando a área sob a curva de uma função f(x) como mostrado ao lado:

(8)

8

Introdução à Integração Como obter a area ? Somando Etapas, Fatias, Passos....

É possivel calcular a função em alguns pontos e somar fatias de largura Δx como mostrado ao lado (mas a resposta não será muito precisa)!

É possivel tornar Δx muito menor e adicionar muitas fatias pequenas (a resposta está melhorando)!

Conforme as fatias se aproximam de zero em largura Δx  0, a resposta se aproxima da resposta verdadeira.

Agora, a ideia é escrever dx para significar que as fatias Δx estão se aproximando de zero em largura.

lim

(9)

9 Esse procedimento tem um significado: somar muitas fatias!

Mas não temos que somá-las, pois existe um "atalho". Porque ... encontrar uma Integral é o reverso de encontrar uma Derivada. Exemplo: o que é uma integral de 2x?

Sabemos que a derivada de x2 é 2x ...então, uma integral de 2x é x2

(10)

10

Notação (Integral Indefinida)

O símbolo para "Integral" (׬ ) é um "S" estiloso, significando "Soma", a ideia de somar fatias!

න 2𝒙 𝑑𝒙

Depois do símbolo Integral, no caso Indefinida, colocamos a função da qual queremos encontrar a integral (chamada de Integrando) e, em seguida, terminamos com dx para significar as “fatias” ao longo da direção x (que se aproximam de zero em largura).

Fatias ao longo da direcao x

න 2𝒙 𝑑𝒙

Simbolo de Integral Funcao a ser Integrada

E aqui está como escrevemos a resposta: ׬ 2𝒙 𝑑𝒙 = x2 _{+ C}

(11)

11 A derivada de x2 _{+ 2 é 2x, e a derivada de x}2 ₊

82 também é 2x e assim por diante! Isso ocorre

porque a derivada de uma constante é zero ! Portanto, ao invertemos a operação (para

encontrar a integral), sabemos apenas que tem

2x, mas poderia haver uma constante de outro

qualquer valor. Portanto, encerramos a ideia escrevendo apenas + C no final.

A constante C que é adicionada à função obtida avaliando a integral indefinida de uma dada

função indica que todas as integrais indefinidas de uma dada função diferem por, no máximo, um valor constante C. Introdução à Integração

2x

x

2

Integral

Derivada

x2 _{+ 4} x2 _{- 57} x2 _{+ 3} x2 _{- 8} x2 _{+ 6} etc

(12)

12 A integração é como encher um tanque com

uma torneira!

A entrada (antes da integração) é a taxa de

fluxo da torneira.

Integrando o fluxo (somando todos os

“pedacinhos” ou gotas de água) nos fornece o

volume de água no tanque.

Exemplo simples: taxa de fluxo constante

(13)

13

Integração: Com uma taxa de

fluxo de 1, o volume do tanque

aumenta proporcionalmente a uma

taxa de x

Derivada: Se o volume do tanque

aumenta em x, a taxa de fluxo é 1

Isso mostra que integrais

e derivadas são opostas!

(14)

14

Torneira e tanque

Agora, a ideia é aumentar a taxa de fluxo

Imagine então que o fluxo se inicia em 0 e aumenta gradualmente (Ex. um

motor abre, de forma contínua e lenta, a torneira).

Conforme a taxa de fluxo aumenta, o tanque se enche cada vez mais rápido (seu

volume aumenta + rápido).

Integração

: Com uma taxa de fluxo de 2x, o volume do tanque aumenta em x

2

Derivação

: Se o volume do tanque aumentar em x

2

, então a taxa de fluxo deve

(15)

15

Exemplo

Com a vazão, dada em litros por minuto, e o tanque iniciando em 0, após 3 minutos (x = 3 ): A taxa de fluxo atingiu

2x = 2 × 3 = 6 litros/min, e o volume atingiu

x2 _{= (3)}2 _{= 9 litros}

Após 4 minutos (x = 4 ): A taxa de fluxo atingiu 2x = 2 × 4 = 8 litros/min, e o volume atingiu

x2 _{= (4)}2 _{= 16 litros}

Soma de um grande número de pequenas quantidades

Encontra a taxa de variação, de

(16)

16

Imagine agora que você não conheça a taxa de fluxo.

Você só sabe que o volume está aumentando em x2_.

É possível “ir ao contrário” (usando a derivada, que nos fornece a inclinação, a taxa de variação) e descobrir que a taxa de fluxo é 2x.

Exemplos:

 Em 1 minuto, o volume está aumentando em 2 litros/minuto (a inclinação do volume é 2)

 Aos 2 minutos, o volume está aumentando em 4 litros/minuto (a inclinação do volume é 4)

 Aos 3 minutos, o volume está aumentando em 6 litros/minuto (a inclinação do volume é 6)

(17)

17

Portanto, os processos de Integração e Derivação são opostos.

A integral da taxa de fluxo 2x nos fornece o volume de água:

׬ 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = x

2

_{+ C}

E a inclinação do aumento de volume x2 + C nos fornece, de

volta, a taxa de fluxo:

𝑑

𝑑𝑥

(x

2

_{+ C) = 2x}

(18)

18 Temos agora uma boa explicação desse valor "C" ... talvez o tanque já tenha água nele, por exemplo!

O fluxo ou vazão ainda aumenta o volume na mesma quantidade O aumento de volume pode nos “devolver” a vazão.

O que nos ensina a sempre adicionar "+ C".

(19)

19

Integrais Definidas x Indefinidas

Temos trabalhado com Integrais

Indefinidas até o momento.

Uma Integral Definida tem valores reais para calcular entre eles (são

colocados na parte inferior e superior do “S” ou “”)!

Integral

Indefinida

Integral

Definida

Uma Integral Definida tem valores inicial e final: em outras palavras, há um intervalo [a, b]. a e b são

(chamados de limites ou fronteiras

de integração) e são colocados na

parte inferior e superior,

(20)

20

A obtenção da Integral Definida se dá calculando a Integral Indefinida em a, e em b, e então fazendo a subtração da função calculada no limite superior pelo calculado no limite inferior, como visto abaixo.

Exemplo: calcule

න

𝟏 𝟐

𝟐𝒙 𝒅𝒙

Estamos sendo solicitados a calcular a Integral Definida, de 1 a 2, de 2x dx

Primeiro, precisamos encontrar a Integral Indefinida (mas já sabemos – Torneira e Tanque ). ׬ 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = x2 _{+ C}

Agora calcule isso nos pontos 1 e 2: Em x = 1: ∫2x dx = 12 + C

Em x = 2: ∫2x dx = 22 + C

Agora é Subtrair o valor encontrado no ponto 2 (limite superior) daquele do ponto 1 (limite inferior): (22 + C) - (12 + C)

22 _{+ C - 1}2 – C _Resultado _׬

𝟏 𝟐

𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 3 (que é a área sob a curva y = 2x)

4 - 1 + C - C = 3

(21)

21

Verificando: de uma maneira bastante simples, é possível também calcular a área A pela geometria (veja gráfico ao lado):

A (trapézio) = (2 + 4)/2 × 1 = 3

A (retângulo + triângulo) = (2 × 1) + (1/2) × (2 × 1) = 2 + 1 = 3

Sim, tem uma área de 3.

Notação:

É possível mostrar a integral indefinida (sem o + C) entre colchetes, com os limites a e b após, ou seja:

׬_𝟏𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = [𝒙𝟐_] 𝟏 𝟐

= 22 – 12 = 3

(22)

22

Integrais

Propriedades

Adicionando Funções

A integral de f(x) + g(x) é igual à integral de f(x) mais a integral de g(x):

Revertendo o intervalo de integração

Propriedade negativa integral definida

Inverter a direção do intervalo resulta no negativo da direção original.

Propriedades

Adicionando intervalos

A área de a até b = a até c + c até b

(23)

23

Integrais Indefinidas - Formulário

Integrais de funções comuns (a é uma constante)

Regra da Potência para Integrais (análoga a discutida para derivadas)

Exemplo: Qual o resultado da integral ∫x3 _dx?

A questão é "qual é a integral de x3_?"

É possível usar a regra de potência, onde n = 3, ou seja:

n  1