λ( ψ + φ ) = λ ψ + λ φ 1 ψ = ψ,

Bloh

- Visualização em Maple-

∗

Virginia S. Costa

∗∗

Luiz M. Carvalho

‡

Resumo

AEsferadeBlohéumarepresentaçãopossível,em

R ³

,paraumbitquântio(q-bit). Noentanto, livrosemateriaisdeestudoquasenãoexpliamessarepresentaão. Oobjetivodestetrabalhoédis-

utirsobreaEsferadeBlohesuaspropriedades,utilizandoomoferramentaosoftwarematemátio

Mapleparaavisualizaçãodevetores(vetoresdeBloh)eexeuçãodetransformaçõesunitárias(por-

tas quântias).

Abstrat

TheBlohsphereprovidesausefulmeansofvisualizingthestateofasinglequbit. However,Quan-

tumComputingbooksrarelyexplain somethingaboutit. Inthistext, we presentamathematial

desriptionoftheBlohsphereanddisusssomeofitsproperties,usingMaplesoftware tovisualize

theBlohvetors andexeuteunitarytransformations(quantumgates).

∗

Monograa submetidaaoorpo doente doInstitutode MatemátiaeEstatístiada UniversidadedoEstadodoRio

deJaneiro -UERJ, Agosto de2005,(apresentado omoposter noXXVIII CNMAC,Setembro de2005,SENAC,Santo

Amaro-SP)

Palavrashave:Bloh,ComputaãoQuântia,VetoresdeBloh.

∗∗

AlunadeIniiaçãoCientíaVoluntária,DepartamentodeMatemátiaApliada, IME/UERJ, virsostagmail.om

‡

ProfessorAdjunto,DepartamentodeMatemátiaApliada, IME/UERJ, luizmime.uerj.br

1 Introdução

1.1 Objetivo

A Esfera de Bloh é uma representação possível para um Bit Quântio (q-bit) em

R ³

. No entanto, a maioriadoslivrosquetêmomotemaaComputaçãoQuântiapouoomentasobreessarepresentação,

isto é, sobre sua onstrução e suas propriedades. O presente trabalho tem omo objetivo prinipal

a apresentação de um programa (um Maplet) desenvolvido em Maple que tem omo base para seus

algoritmosateoriaestudadaaera daEsferadeBloh. Porém,parahegarmosaoobjetivoprinipal,

teremosqueanalisaruidadosamentealgunsdetalhesmatemátiosembutidosnestarepresentaçãoe,para

isso,épreiso quesaibamosalgunsoneitosoriundosdaMatemátiaedaMeâniaQuântiaquedão

sustentaçãoàTeoriadaComputaçãoQuântia. Nasseçõesaseguir,faremosumabreveintroduçãoaos

prinipais oneitos que serão utilizados ao longo deste texto: na seção 2, será apresentado um breve

resumodealgumas deniçõesdaÁlgebraLinearedaNotaçãode Dira,naseção3,seráintroduzidoo

oneitodebitquântioapartirdeumdospostuladosdaMeâniaQuântia,naseção4,serádadauma

pequenanoçãosobreevoluçãodeumsistemaquântioe,apartirdaseção5,omeçaremosadesenvolver

oraioínioqueserviráomobaseparaoalgoritmotemadestetrabalho.

2 Álgebra Linear

2.1 Notação de Dira

ATabelaabaixomostraalgunssímbolosdaNotaçãodeDiramuitoutilizadosnaComputaçãoQuântia:

Notação Desrição

| ψ i

"ket",isto é,

| ψ i = (c 0 , c 1 , c 2 , ...) ^T

h ψ |

^vetordual,"bra",istoé,

| ψ i = (c ^∗ ₀ , c ^∗ ₁ , c ^∗ ₂ , ...)

| n i

^{n-ésimovetordabase} omputaional

N = {| 0 i , | 1 i , ... } h φ | ψ i

^{produtointerno entre}

| φ i

^e

| ψ i

^.

| φ i ⊗ | ψ i

^{produtotensorialentre}

| φ i

^e

| ψ i

^.

| φ i| ψ i

^{produtotensorialabreviadoentre}

| φ i

^e

| ψ i

^.

| i, j i

^{produtotensorialentredoisvetoresdabase} omputaional.

M ^†

^{operadoradjunto,}

M ^† = (M ^T ) ^∗

^.

h φ | M | ψ i

^{produtointerno entre}

| φ i

^e

M | ψ i

^.

k ψ k

^normadovetor

| ψ i

^.

2.2 Espaço de Hilbert

Denição 2.1. Um onjunto

V

éhamadoespaçovetorial sobreum orpo

F

seesomenteseasopera- ções

+ : V × V → V

(adição devetores) e

· : F × V → V

(multipliaçãoporum esalar pela esquerda) forembem denidase obedeeremàsseguintes propriedades:

(i)

( V , +)

^{éum grupoabeliano,}

(ii)

λ(µ | ψ i ) = (λµ) | ψ i

^,

(iii)

(λ + µ) | ψ i = λ | ψ i + µ | ψ i

^,

(iv)

λ( | ψ i + | φ i ) = λ | ψ i + λ | φ i

^,

(v)

1 | ψ i = | ψ i ,

onde

λ

^,

µ ∈

^F.

Denição 2.2. Seja

V

um espaço vetorial omplexo. Afunção

h·|·i : V × V → C

éhamada Produto Interno seesomente se

(i)

h ψ | (λ | φ i + µ | φ i ) = λ h ψ | φ i + µ h ψ | φ i

^,

(ii)

h ψ | φ i = h φ | ψ i ^∗

^,

(iii)

h ψ | ψ i ∈ R , h ψ | ψ i ≥ 0, h ψ | ψ i = 0 ⇔ | ψ i = 0

^.

onde

λ

^,

µ ∈ C

.

OProdutoInternotambémdeneanormadeumvetor:

k ψ k = p

h ψ | ψ i

^{. Easseguintes}desigualdades sãoverdadeiras:

|h ψ | φ i| ≤ k ψ k k φ k

(Desigualdade de Shwarz)

k| ψ i + | φ ik ≤ k ψ k + k φ k

(DesigualdadeTriangular)

Denição2.3. Umespaçovetorialompleto

H

omProdutoInterno

h·|·i

^enormaiguala

k ψ k = p h ψ | ψ i

éhamado EspaçodeHilbert.

2.3 Operadores Lineares

Denição2.4. Seja

V

umespaçovetorialsobreumorpoFe

A

umafunção

A : V → V

.

A

éhamada de OperadorLinearem

V

seesomente se

A(λ | ψ i + µ | φ i ) = λA( | ψ i ) + µA( | φ i ) = λA | ψ i + µA | φ i .

onde

λ

^,

µ ∈

^F.

Em

C ⁿ

,umoperadorlinear

A

podeseresritoomouma matriz

n × n

^deelementos

a ij

^,istoé,

A =



 

 

a 0,0 . . . a _0,n− 1

.

.

. .

.

. .

.

.

a _n− 1,0 . . . a _{n− 1,n−} 1



 

  = X

i,j

a _ij | i ih j | .

Denição 2.5. Considere dois operadores lineares, A e B, denidos nos espaços vetoriais

V

e

W

, respetivamente. O ProdutoTensorial

A ⊗ B

^{édado por}

A ⊗ B =



 

 

a 1,1 B . . . a 1,m B

.

.

. .

.

. .

.

.

a n,1 B . . . a _n,n B



 

  ,

onde A é uma matriz

n × n

^{e Bé uma matriz}

m × m

^{. Neste aso,}

A ⊗ B

^{é uma matriz}

nm × nm

^.

Pode-sealular oprodutotensorial tambémentrevetores(ex.:

| 0 i ⊗ | 0 i

^).

Denição 2.6. Ooperador

A ^† = (A ^T ) ^∗ = P

ij a ^∗ _ji | i ih j |

^{édenominado OperadorAdjuntode A.}

Denição 2.7. Um operador linear

A

^{é hamado}

(i) auto-adjunto ouHermitiano se

A ^† = A

^,

(ii) unitário se

A ^† A = AA ^† = I

^,onde

I

^éamatrizidentidade.

3 O Bit Quântio

Para entendermosmelhor oque é umBit Quântio ou q-bit, é preisoque seja enuniado nesta seção

umdospostuladosdaMeâniaQuântiaqueservedesustentaçãoaesteoneito: opostuladoquese

refereaoEspaço de Estado. Então,vejamos:

Postulado 3.1 (Espaço de Estado). Assoiado a qualquer sistema físio isolado, existe um espaço

vetorialomplexoomprodutointerno(EspaçodeHilbert)onheidoomo EspaçodeEstadodosistema.

Osistema físioemquestão éompletamentedesritoporum vetorunitário(vetorde estadoouestado)

pertenente aesseespaçovetorial.

InterpretandooPostulado 3.1, temos oq-bit omoum sistema quântio assoiado aumespaçode

estadobi-dimensional

B = C ² ( C )

^{,ujabase ortonormaléformadapelosvetores}

| 0 i =



 1 0



 e | 1 i =



 0 1



 .

Assim, umvetor deestado (ouestado) querepresenta o espaçode estadoassoiadoao q-bit podeser

esritoomo

| ψ i = α | 0 i + β | 1 i ,

^(3.1)

onde

α

^e

β

^{sãonúmerosomplexos. SegundooPostulado3.1,}

| ψ i

^{éumvetorunitário,ouseja,}

h ψ | ψ i = 1

ou,ainda,deformaequivalente,

| α | ² + | β | ² = 1.

^(3.2)

Intuitivamente,poderíamosompararosvetoresdabase(quehamaremosbase omputaional),

| 0 i

e

| 1 i

^{, om osvalores 0e 1 atribuídosao bit lássio. Noentanto, oque diferenia umbit lássiode}

umq-bitéofatodeexistir superposições dosestados

| 0 i

^e

| 1 i

^{,naformadaEquação3.1,oquenãonos}

permitearmarseumq-bitestánoestado

| 0 i

^ounoestado

| 1 i

^{. Assim,podemosterosestados}

| 0 i

^,

| 1 i

^ou,

ainda,oestado

| ψ i = α | 0 i + β | 1 i

representandoumq-bit. Esteúltimo, omojáfoiditoanteriormente,é umasuperposiçãodosestadosdabaseomputaional,istoé,éumaombinaçãolinearujosoeientes,

α

^e

β

^{, são} denominados amplitudes. As amplitudes estão relaionadas às probabilidades de um q-bit apresentaroestado

| 0 i

^ou

| 1 i

^{daseguinteforma:}

| α | ²

^éaprobabilidadedeoq-bitestarnoestado

| 0 i

^e

| β | ²

^éaprobabilidadedeoq-bit estarnoestado

| 1 i

^.

Agoraquesabemosqueaprobabilidadedeumq-bitestaremumdeterminadoestadoédadaatravés

desuasamplitudes,éfáilonluirqueaalteraçãodoestadodeumq-bitdependerádaalteraçãodesuas

amplitudes. Logo, surge então uma nova questão: omo se alteraas amplitudes de um estadode um

q-bit? Pararespondermosaessapergunta,épreisoreorreraopostuladoenuniadonapróximaseção.

4 Evolução de um Sistema Quântio

Postulado 4.1 (Evolução de um Sistema Quântio). A evolução de um sistema quântio fehado é

desrita por umatransformação unitária. Assim,se noinstante

t 1

^{um sistema estánoestado}

| ψ i

^eno

instante

t 2

^{omesmo sistema estiver no estado}

| ψ ^′ i

^{, então o estado}

| ψ i

^{está relaionado ao estado}

| ψ ^′ i

através de umoperador unitário

U

^{quedependesomente dosinstantes}

t 1

^e

t 2

^,ouseja,

| ψ ^′ i = U | ψ i .

^(4.3)

Comopodemos vernoPostulado4.1, aMeânia Quântianosgarantequeaevoluçãodequalquer

sistemaquântiofehadosedáatravésdeumoperadorunitário,porémnãoalaroquaisoperadores

devemosusarparadesreverumadeterminadamodiaçãonosistema. Aesolhadooperadordependerá

dequal respostasedesejaobter. Umexemplodisso, nonossosistema quântio(o q-bit), seriaquando

desejamosalterarasamplitudesparaseobteromorespostaamplitudesiguaisparatodososelementos

dabaseomputaional(istoé,

α = β

^{naEquação3.1). Paraessasmodiaçõesdeestado,existemalguns}

operadoresqueserãovistosommaisdetalhesnaseção7.

5 Representação de um Q-Bit na Esfera

5.1 Modelo para um Q-Bit

A Meânia Quântia armaque, quandomedimos oq-bit, embora este possa estarem um estadode

superposição,obtemosomoresultadoo

| 0 i

^,omprobabilidadeiguala

| α | ²

^,ouo

| 1 i

^,omprobabilidade iguala

| β | ²

^,onde

α

^e

β ∈ C

. Logo,podemosesrever

| α | ² + | β | ² = 1.

DoPostulado3.1,temosque

| ψ i

^{(Equação3.1)éunitárioepertenea}

C ² ( C )

^{. Esrevendoosnúmeros}

α

e

β

^omo

a + ıb (a, b ∈ R )

^e

c + ıd (c, d ∈ R )

^,respetivamente,temosque

| α | ² = a ² + b ²

^e

| β | ² = c ² + d ²

^.

Assim,aEquação3.2 seapresentadaseguinte forma:

a ² + b ² + c ² + d ² = 1

^(5.4)

ApartirdaEquação5.4,interpretamosoq-bitomoumvetorunitário

(a, b, c, d) ∈ R ⁴

eaesferaunitária

S ³

^de

R ⁴

omoolugargeométriodosq-bits(segundo[2℄).

5.2 Forma Polar de um Q-Bit

Sabendo que as amplitudes

α

^e

β

^{da Equação 3.1 são números omplexos, podemos} expressá-las em oordenadaspolares. Assim,

α = | α | e ^{ı Arg(α)} e β = | β | e ^{ı Arg(β)} ,

onde

0 ≤ Arg(z) < 2π

^{éoargumentodoomplexoz e}

| z |

^{éoseumódulo.}

Podemosainda,denir

γ = Arg(α)

^e

φ = Arg(β) − Arg(α)

^{(ondeasoperaçõesentreângulosdevem}

seronsideradasemaritmétiamódulo

2π

^{)ereesreveraEquação3.1omo}

| ψ i = | α | e ^ıγ | 0 i + | β | e ^ı(γ+φ) | 1 i .

^(5.5)

E, assim, sendo

| α | ≥ 0

^,

| β | ≥ 0

^e

| α | ² + | β | ² = 1

^{, podemos denirtambém}

ξ

^{pormeio das equações}

cos(ξ) = | α |

^e

sen(ξ) = | β |

^(noteque

0 ≤ ξ ≤ ^π ₂

^).

Fazendo

θ = 2ξ

^,

θ ∈ [0, π]

^,ereesrevendoaEquação5.5,temosaformapolardeumq-bit

| ψ i = e ^ıγ [cos( θ

2 ) | 0 i + e ^ıφ sen( θ

2 ) | 1 i ],

^(5.6)

onde

θ = 2 arccos( | α | ) = 2 arcsen( | β | ), φ = Arg(β) − Arg(α),

γ = Arg(α)

e

θ ∈ [0, π]

^,

φ ∈ [0, 2π)

^e

γ ∈ [0, 2π)

^.

5.3 A Esfera de Bloh

Sabemosqueaequaçãodeumaesferado

R ³

deraio

R ∈ R

edeentronaorigem

(0, 0, 0)

^é

x ² +y ² +z ² = R ²

^{. Usandoomo parâmetros dois ângulos,}

φ ∈ [0, 2π)

^e

θ ∈ [0, π]

^{, e oraio}

R

^{, podemos} representar todosospontosdaesferado

R ³

deformavetorial,assim:



 

 x y z



 

 =



 



R cos(φ) sen(θ) R sen(φ) sen(θ)

R cos(θ)



 

 .

Sabemos,também,queoq-bitpodeseresritoemsuaformapolar,omomostraaEquação5.6,em

funçãodosângulos

θ ∈ [0, π]

^,

φ ∈ [0, 2π)

^e

γ ∈ [0, 2π)

^.

Então,serianaturalseomparássemososângulosdasoordenadasesfériasomosângulosdaforma

polardoq-bit.

Observe que, se tentarmos modiar o q-bit expresso pela Equação 5.6 através de um operador

unitário,ofator

e ^ıγ

^{nãosealtera:}

U | ψ i = e ^ıγ U[cos( θ

2 ) | 0 i + e ^ıφ sen( θ 2 ) | 1 i ]

onde

U

^{éooperadorunitáriode1(um)q-bit(istoé,umamatrizunitária}

2 × 2

^{). Observetambémque,}

ofator

e ^iγ

^{não alteraa}probabilidadedeseobter

| 0 i

^ou

| 1 i

^{nomomentodamedida,pois}

| e ^ıγ cos( θ

2 ) | = | e ^ıγ || cos( θ

2 ) | = | cos( θ 2 ) | ,

assimomo,

| e ^ı(γ+φ) cos( θ

2 ) | = | e ^ıγ || e ^ıφ cos( θ

2 ) | = | e ^ıφ cos( θ 2 ) | .

Devidoaessaspropriedades,podemosdesprezarofator

e ^ıγ

^{(hamadofatorde fase global)eesrever}

| ψ i B = cos( θ

2 ) | 0 i + e ^ıφ sen( θ

2 ) | 1 i .

^(5.7)

Apartirdaí,tentaremosenontraruma representaçãogeométriaparaoq-bitem

R ³

. Noteque

| ψ i B

^{podeserreesritoomo}

| ψ i B = cos( θ

2 ) | 0 i + cos(φ) sen( θ

2 ) | 1 i + sen(φ) sen( θ 2 ) | ı i ,

isto é,ovetor

| ψ i B

^{perteneaumsubespaçovetorial}

( V )

^de

C ² ( R )

^{dedimensão3ebase}

{| 0 i , | 1 i , | ı i}

^.

Comoestesubespaçoestádenidosobreoorpodosreais,eleéisomorfoa

R ³

(segundo[2℄). Considerando entãoumisomorsmo

T

^entre

V

e

R ³

,talque

T







 0 1







 =



 

 1 0 0



 

 , T







 0 ı







 =



 

 0 1 0



 

 , T







 1 0







 =



 

 0 0 1



 

 ,

deaordoom[2℄, teremosque

T ( | ψ i B ) = cos( θ 2 )



 

 0 0 1



 

 + cos(φ) sen( θ 2 )



 

 1 0 0



 

 + sen(φ) sen( θ 2 )



 

 0 1 0



 

 .

Note que, seusássemosa transformação

T

^para representar

| ψ i B

^em

R ³

, teríamosuma semi-esfera (denominada

SE ²

^{)omentronaorigemeraioiguala1,pois}

φ ∈ [0, 2π)

^e

θ ∈ [0, π]

^{. Porém,denindo}

afunção

f

^{(bijeçãoretiradade[2℄,ondefoidenida e}demonstrada)omo:

f : Q → SE ²

(θ, φ) 7→ (cos(φ) sen( ^θ ₂ ), sen(φ) sen( ^θ ₂ ), cos( ^θ ₂ )),

onde

SE ² = SE ² − { (0, 0, 1), (x, y, 0) }

^e

Q = (0, π) × [0, 2π)

^,temosque

f

^{éinjetora,pois}



 



cos(φ 1 ) sen( ^θ ₂ ¹ ) sen(φ 1 ) sen( ^θ ₂ ¹ )

cos( ^θ ₂ ¹ )



 

 =



 



cos(φ 2 ) sen( ^θ ₂ ² ) sen(φ 2 ) sen( ^θ ₂ ² )

cos( ^θ ₂ ² )



 

 ⇒ cos( θ 1

2 ) = cos( θ 2

2 ) ⇒ θ 1

2 = θ 2

2 ⇒ θ 1 = θ 2 .

Como

θ 1 ∈ (0, π) ⇒ sen( ^θ ₂ ¹ ) 6 = 0

^,temos:

cos(φ 1 ) sen( ^θ ₂ ¹ ) = cos(φ 2 ) sen( ^θ ₂ ¹ )

sen(φ 1 ) sen( ^θ ₂ ¹ ) = sen(φ 2 ) sen( ^θ ₂ ¹ ) ⇒ cos(φ 1 ) = cos(φ 2 )

sen(φ 1 ) = sen(φ 2 ) ⇒ φ 1 = φ 2 .

Temos,também,que

f

^ésobrejetora,pois,sejam

(x, y, z) ∈ SE ²

^,

θ 1 = 2 arccos(z)

^e

φ 1

^étalque,

φ 1 = arccos

x

sen(arccos(z))

e φ 1 = arcsen

y

sen(arccos(z))

. θ 1

^{estábemdenido,pois}

θ 1

2 ∈ (0, ^π ₂ )

^e

z ∈ (0, 1)

^,eomo

z 6 = 1 ⇒ sen(arccos(z)) 6 = 0

^,temos

cos ² (φ 1 ) + sen ² (φ 1 ) = x ² + y ²

sen ² (arccos(z)) = x ² + y ²

1 − cos ² (arccos(z)) = x ² + y ² 1 − z ² = 1,

pois

x ² + y ² + z ² = 1

^{. Desteúltimoresultado,veriamosque,dadoumponto}

(x, y, z) ∈ SE ²

^,obtemos

umângulo

φ 1 ∈ [0, 2π)

^{quesatisfazaidentidade}fundamentaltrigonométria. Logo,temos:

f (θ 1 , φ 1 ) =



 

  cos

arccos

x sen(arccos(z))

sen(arccos(z)) sen

arcsen

z sen(arccos(z))

sen(arccos(z)) cos(arccos(z))



 

  =



 

 x y z



 



Contudo, se

f

^{é injetora e} sobrejetora, então ela é bijetora. Agora, denindo a função

g

^(bijeção

retiradade[2℄),omo

g : Q → S ²

(θ, φ) 7→ (cos(φ) sen(θ), sen(φ) sen(θ), cos(θ)),

onde

S ² = S ² − { (0, 0, 1), (0, 0, − 1) }

^e

Q = (0, π) × [0, 2π)

^,temosque

g

^{tambémébijetora}(demonstração semelhanteàde

f

^{). Levando-seem}onsideraçãoque

f

^e

g

^{sãobijetoras,podemosdenirumafunção}

ν

(deniçãoretiradade[2℄)queéaomposiçãode

g

^omainversade

f

^,assim

ν : SE ² → S ²

(x, y, z) 7→ g(f ^{− 1} (x, y, z)) (0, 0, 1) 7→ (0, 0, 1) (x, y, 0) 7→ (0, 0, − 1).

Noteque

ν

^{éumafunçãobijetorapara}

z 6 = 0

^{, poisodomíniode}

g

^éigualaoontra-domíniode

f ^{− 1}

e

g ◦ f ^{− 1}

^{éumaomposição defunçõesbijetoras.}

Contudo, apartirdessas bijeções enontradas, podemos utilizaraesfera

S ²

^de

R ³

(Figura 1) para representarumq-bit, nolugardeseutilizarasemi-esfera

SE ²

^.

x

y z

| 0 i

| 1 i

|ψi

ϕ θ

Figura1: Representaçãodeumq-bitnaEsferadeBloh.

5.4 O Vetor de Bloh

Cadaelementoda imagemdafunção

ν

^{éonheidoomo vetordeBloh eaEsferadeBloh éolugar}

geométriodessesvetores(Figura1). Considerandoaformapolardeumq-bit,expressanaEquação5.6,

dizemosqueoVetordeBloh édadopor

B | ψ i B =



 



cos(φ) sen(θ) sen(φ) sen(θ)

cos(θ)



 

 , φ ∈ [0, 2π), θ ∈ [0, π].

^(5.8)

6 Propriedades da Esfera de Bloh

Nestaseção,serãodisutidasalgumaspropriedadesquepodemservistasapartirdavisualizaçãodeum

q-bitnaEsfera.

Propriedade6.1. (Q-bitsEquiprováveis)NaesferadeBloh,usandoaparametrizaçãoapresentadana

Equação5.8, quaisquer doisvetoresde Bloh quepertençamaum mesmo plano, paralelo aoplano XY,

representamq-bitsquetêmprobabilidadesiguaisdeproduzirem

| 0 i

^ou

| 1 i

^{,aoseremmedidos} (propriedade demonstrada em[2℄).

Figura2: Q-BitsEquiprováveis.

Propriedade 6.2. (Vetores Antípodas e Ortogonais) Na esfera de Bloh, usando a parametrização

apresentadanaEquação5.8, quaisquerdois vetores deBloh antípodas sãorepresentantesde doisq-bits

ortogonais(propriedadedemonstrada em[2 ℄).

Figura3: Vetoresantípodaseortogonais.

Propriedade6.3. (Q-bitsomVetoresdeBlohiguais)Considerandodoisq-bits,

| ψ i ¹ = α 1 | 0 i + β 1 | 1 i

e

| ψ i ² = α 2 | 0 i + β 2 | 1 i

^{,e seusvetoresde Bloh}

B | ψ i ¹

^e

B | ψ i ²

(utilizando aparametrização proposta na Equação5.8), temosque

| ψ i 2 = e ^ıδ | ψ i 1 ⇔ B | ψ i 1 = B | ψ i 2 ,

onde

0 ≤ δ < 2π

^.

Demonstração:

(i) | ψ i 2 = e ^ıδ | ψ i 1 ⇒ B | ψ i 1 = B | ψ i 2

Porhipótese,temos

| α 2 | = | e ^ıδ α 1 | = | e ^ıδ || α 1 | = | α 1 | .

PelaEq. (5.6),temos

θ 1 = 2 arccos( | α 1 | ) ⇒ | α 1 | = cos( θ 1

2 ), θ 2 = 2 arccos( | α 2 | ) ⇒ | α 2 | = cos( θ 2

2 ).

Assim,

| α 1 | = | α 2 | ⇒ cos( θ 1

2 ) = cos( θ 2

2 )

E,sabendoque

θ n ∈ [0, π]

^{(Eq. (5.6)),temosque}

θ 1

2 = θ 2

2 ⇒ θ 1 = θ 2 .

Utilizandoahipóteseeesrevendo

α 1

^e

β 1

^{emformapolar,temos}

α 2 = e ^ıδ α 1 = | α 1 | e ^{ı(δ+Arg(α 1 ))} β 2 = e ^ıδ β 1 = | β 1 | e ^{ı(δ+Arg(β 1 ))} ,

epelaEq. (5.6),levando-seemonsideraçãoqueasoperaçõesomângulosserãoexeutadasemaritmétia

módulo

2π

^(ouseja,

− δ = 2π − δ

^),temos

φ 2 = Arg(β 2 ) − Arg(α 2 ) = (δ + Arg(β 1 )) − (δ + Arg(α 1 )) = φ 1 .

Logo,pela Eq. (5.8),



 



cos(φ 1 ) sen(θ 1 ) sen(φ 1 ) sen(θ 1 )

cos(θ 1 )



 

 =



 



cos(φ 2 ) sen(θ 2 ) sen(φ 2 ) sen(θ 2 )

cos(θ 2 )



 

 ⇒

⇒ B | ψ i ¹ = B | ψ i ² .

(ii) B | ψ i ¹ = B | ψ i ² ⇒ | ψ i ² = e ^ıδ | ψ i ¹

Para

B | ψ i 1 = B | ψ i 2 6 = (0, 0, ± , 1)

^,temos



 



cos(φ 1 ) sen(θ 1 ) sen(φ 1 ) sen(θ 1 )

cos(θ 1 )



 

 =



 



cos(φ 2 ) sen(θ 2 ) sen(φ 2 ) sen(θ 2 )

cos(θ 2 )



 

 ⇒

cos(θ 1 ) = cos(θ 2 ), θ _n ∈ (0, π) sen(φ 1 ) sen(θ 1 ) = sen(φ 2 ) sen(θ 2 ) ⇒ cos(φ 1 ) sen(θ 1 ) = cos(φ 2 ) sen(θ 2 )

⇒ θ 1 = θ 2 e φ 1 = φ 2 .

PelaEq.(5.6),

| ψ i ¹ = e ^{ıγ 1} [cos( θ 1

2 ) | 0 i + e ^{ıφ 1} sen( θ 1

2 ) | 1 i ] ⇒

⇒ e ^{− ıγ 1} | ψ i ¹ = cos( θ 1

2 ) | 0 i + e ^{ıφ 1} sen( θ 1

2 ) | 1 i =

= cos( θ 2

2 ) | 0 i + e ^{ıφ 2} sen( θ 2

2 ) | 1 i = e ^{− ıγ 2} | ψ i 2 ⇒

⇒ | ψ i 2 = e ^{ı(γ 2 −γ 1 )} | ψ i 1 ⇒ | ψ i 2 = e ^ıδ | ψ i 1 ,

onde

(δ ∈ [0, 2π))

^.

Para

B | ψ i ¹ = B | ψ i ² = (0, 0, 1)

^{, temos}

θ 1 = θ 2 = 0 ⇒ | ψ i ¹ = e ^{ıγ 1} | 0 i ⇒ e ^{− ıγ 1} | ψ i ¹ = | 0 i = e ^{− ıγ 2} | ψ i ² ⇒ | ψ i ² = e ^{ı(γ 2 − γ 1 )} | ψ i ¹ ⇒ | ψ i ² = e ^ıδ | ψ i ¹

^e,para

B | ψ i ¹ = B | ψ i ² = (0, 0, − 1)

^,temos

θ 1 = θ 2 = π ⇒ | ψ i 1 = e ^{ı(γ 1 +φ 1 )} | 1 i ⇒ e ^{− ı(γ 1 +φ 1 )} | ψ i 1 = | 1 i = e ^{− ı(γ 2 +φ 2 )} | ψ i 2 ⇒ | ψ i 2 = e ^{ı((γ 2 +φ 2 ) − (γ 1 +φ 1 ))} | ψ i 1 ⇒

| ψ i 2 = e ^ıδ | ψ i 1

^{. Ou seja, esta} propriedade diz que ada vetor de Bloh

B | ψ i B

^{está assoiado a um}

onjunto de q-bits do tipo

e ^ıδ | ψ i B (δ ∈ [0, 2π))

^{e todos os vetores deste onjunto têm uma únia}

representaçãonaEsferadeBloh.

7 Portas Quântias de um Q-Bit

Umomputadorlássioproessabitse,paraisto,éequipadoomumonjuntonitodeportaslógias

quesãoapliadasemumonjuntonitodebits. Jáumomputadorquântioproessaq-bitse,deforma

análoga ao omputador lássio, está equipadoom um onjunto nito de omponentes fundamentais

hamadosportas quântias. Cadaportaquântiaéuma transformaçãounitáriaqueageemumnúmero

xodeq-bits. Nestaseção,onsideraremosapenasaaçãodessasportasemumúnioq-bit.

7.1 Matrizes de Pauli

Umq-bit éumvetorunitárionaforma

| ψ i = α | 0 i + β | 1 i

^,onde

α

^e

β

^{sãonúmerosomplexostais que}

| α | ² + | β | ² = 1

^{. Isto signiaque, ao apliarmosum operador em um q-bit, temos que preservarsua}

normaparaque ovetoralterado ontinueobedeendoaestaondição. Poreste motivo,operadoresde

umq-bit são desritospor matrizes unitárias2x 2. Destes operadoresunitários,podemos destaaras

matrizesde Pauli (veja[3℄, p.174),denidas por

X ≡



 0 1 1 0



 , Y ≡



 0 − ı ı 0



 e Z ≡



 1 0 0 − 1



 .

EstastrêsmatrizessãoHermitianas(vejaadenição2.7)esatisfazemasseguintesregrasdemultipliação:

X ² = Y ² = Z ² = I,

XY = − Y X = ıZ, Y Z = − ZY = ıX, ZX = − XZ = ıY,

onde

I

^{éamatrizidentidade}

2 × 2

^.

Éimportanteressaltarqueosauto-vetoresnormalizadosdasmatrizesdePauli,quandotransformados

emvetoresdeBloh, resultamemvetorespertenentes aoseixos. Assim,osauto-vetoresnormalizados

dooperadorXsão

v _x 1 = 1

√ 2



 − 1 1



 e v _x 2 = 1

√ 2



 1 1



 .

EosvetoresdeBlohassoiadosaelessão

B(v x 1 ) =



 



− 1 0 0



 

 e B(v x 2 ) =



 

 1 0 0



 

 ,

quepertenemaoeixo

x

^{daesfera. Temostambémque}

v y 1 = 1

√ 2



 − ı 1



 e v y 2 = 1

√ 2



 ı 1



 .

sãoosauto-vetoresnormalizadosde

Y

^{, quesão}representadosnaesferapelosseguintesvetores:

B(v y ¹ ) =



 

 0 1 0



 

 e B(v y ² ) =



 

 0

− 1 0



 

 .

Epara

Z

^{, temosomo}auto-vetores

v z 1 =



 1 0



 e v z 2 =



 0 1



 ,

quejásãounitáriosesãorepresentadospelosvetores

B(v z 1 ) =



 

 0 0 1



 

 e B(v z 2 ) =



 

 0 0

− 1



 



naesferadeBloh.

7.2 Matrizes de Rotação

DasmatrizesdePauli,surgeumaoutralassedematrizes,asMatrizesde Rotação sobreoseixos

x ˆ

^,

y ˆ

^e

ˆ

z

^,denidasomo

R x (θ) ≡ e ^{− ıθX 2} , R _y (θ) ≡ e ^{− ıθY 2} e R _z (θ) ≡ e ^{− ıθZ 2} .

Porém,paraasmatrizes

A

^taisque

A ² = I

^,temosque

e ^ıAx =

X ∞

k=0

x ^k (Ai) ^k

k! = I + ixA − x ² I

2! − ix ³ IA 3! + x ⁴ I

4! + ... = cos(x)I + ıA sen(x).

Eomesseresultado,podemosreesreverasmatrizesderotação,dessaforma:

R x (θ) ≡ e ^{− ıθX 2} = cos( θ

2 )I − ıX sen( θ 2 ) =



 cos( ^θ ₂ ) − ı sen( ^θ ₂ )

− ı sen( ^θ ₂ ) cos( ^θ ₂ )





^(7.9)

R y (θ) ≡ e ^{− ıθY 2} = cos( θ

2 )I − ıY sen( θ 2 ) =



 cos( ^θ ₂ ) − sen( ^θ ₂ ) sen( ^θ ₂ ) cos( ^θ ₂ )





^(7.10)

R _z (θ) ≡ e ^{− ıθZ 2} = cos( θ

2 )I − ıZ sen( θ 2 ) =



 e ^{− ıθ 2} 0 0 e ^{ıθ 2}



 .

^(7.11)

Estasmatrizesrepresentamrotaçõesemtornodoseixos

x

^,

y

^e

z

^{naesferaunitáriado}

R ³

.

Apartirdasmatrizesderotação,podemosrepresentarqualqueroperadorunitário(

U

^)deumq-bit,

pois,seja

b n = (n x , n _y , n _z ) ∈ R ³

umvetorunitário,podemosgeneralizarasdeniçõesanterioresdenindo umarotaçãode

θ

^{emtornodoeixo}

b n

^{atravésdaseguinteequação:}

R _{b n} (θ) ≡ e ^{−ıθb 2 n·σ} = cos( θ

2 )I − ı sen( θ

2 )(n x X + n _y Y + n _z Z ),

onde

σ = (X, Y, Z)

^{é o vetor formado pelas matrizes de Pauli. Esta equação simplia o seguinte}

resultado:

Teorema 7.1. Seja

U

^{umoperador unitáriode um q-bit,então}

U = e ^ıα R n _b (θ),

onde

α, θ ∈ R

e

n b = (n x , n y , n z ) ∈ R ³

é um vetorunitário(enuniado em [3 ℄etestado noprograma da seção 9).

Vejamos,aseguir,doisteoremasquenosajudarãoaentendermelhoroomportamento dealgumas

portasquântiasdeumq-bitnaEsferadeBloh.

Teorema7.2. (Deomposição Z-Y)Seja

U

^{umoperadorunitáriodeumq-bit,entãoexistem}

α, β, γ, δ ∈ R

tais que

U = e ^ıα R z (β)R y (γ)R z (δ).

Demonstração:

Seja

U =



 u 11 u 12

u 21 u 22



 ,

umamatriz unitária,temosque

u ij ∈ C

,logopodemosesrever

U =



 | u 11 | e ^{ıϕ 11} | u 12 | e ^{ıϕ 12}

| u 21 | e ^{ıϕ 21} | u 22 | e ^{ıϕ 22}



 .

Alémdisso,temosque

U U ^† = U ^† U = I

^(onde

I

^éamatrizidentidade) e,assim,

u 11 u ¯ 11 + u 12 u ¯ 12 = 1, u 21 u ¯ 21 + u 22 u ¯ 22 = 1, u 11 u ¯ 11 + u 21 u ¯ 21 = 1, u 12 u ¯ 12 + u 22 u ¯ 22 = 1, u 11 u ¯ 12 + u 21 u ¯ 22 = 0, u 11 u ¯ 21 + u 12 u ¯ 22 = 0.

(7.12)

Lembrando-seque

z z ¯ = | z |

^,onde

z ∈ C

, por(7.12),podemosesrever

| u 11 | ² + | u 12 | ² = 1, | u 21 | ² + | u 22 | ² = 1, | u 11 | ² + | u 21 | ² = 1, | u 12 | ² + | u 22 | ² = 1.

^(7.13)

Lembrando-sequeoângulo

γ

^{derotaçãoem}

R ³

étal que

γ ∈ [0, π]

^,temos:

| u 11 | = cos( γ

2 ), | u 21 | = sen( γ

2 ), | u 12 | = sen( γ

2 ), | u 22 | = cos( γ

2 ).

^(7.14)

Logo,temosentão

U =



 cos( ^γ ₂ ) e ^{ıϕ 11} sen( ^γ ₂ ) e ^{ıϕ 12} sen( ^γ ₂ ) e ^{ıϕ 21} cos( ^γ ₂ ) e ^{ıϕ 22}



 .

Desenvolvendo

e ^ıα R z (β)R y (γ)R z (δ) =



 e ^{ı(α − β 2 − δ 2 )} cos( ^γ ₂ ) − e ^{ı(α − β 2 + δ 2 )} sen( ^γ ₂ ) e ^{ı(α+ β 2 − δ 2 )} sen( ^γ ₂ ) e ^{ı(α+ β 2 + δ 2 )} cos( ^γ ₂ )





eigualandoàmatriz

U

^{,queremos esrever}



 cos( ^γ ₂ ) e ^{ıϕ 11} sen( ^γ ₂ ) e ^{ıϕ 12} sen( ^γ ₂ ) e ^{ıϕ 21} cos( ^γ ₂ ) e ^{ıϕ 22}



 =



 e ^{ı(α − β 2 − δ 2 )} cos( ^γ ₂ ) − e ^{ı(α − β 2 + δ 2 )} sen( ^γ ₂ ) e ^{ı(α+ β 2 − δ 2 )} sen( ^γ ₂ ) e ^{ı(α+ β 2 + δ 2 )} cos( ^γ ₂ )



 ,

oquenosremete aum sistemade 4equaçõese4variáveis. Essesistemaserá resolvidoem3etapas,a

primeiraetapaépara

γ ∈ (0, π)

^{,asegundapara}

γ = 0

^{eatereirapara}

γ = π

^.

1 a

Etapa -

γ ∈ (0, π)

^:

Temos

cos( ^γ ₂ ) e ^{ıϕ 11} = e ^{ı(α− β 2 − δ 2 )} cos( ^γ ₂ ), sen( ^γ ₂ ) e ^{ıϕ 12} = − e ^{ı(α− β 2 + δ 2 )} sen( ^γ ₂ ), sen( ^γ ₂ ) e ^{ıϕ 21} = e ^{ı(α+ β 2 − δ 2 )} sen( ^γ ₂ ), cos( ^γ ₂ ) e ^{ıϕ 22} = e ^{ı(α+ β 2 + δ 2 )} cos( ^γ ₂ ),

Eassim,

ϕ 11 = α − ^β ₂ − ^δ ₂ , ϕ 12 = π + α − ^β ₂ + ^δ ₂ , ϕ 21 = α + ^β ₂ − ^δ ₂ , ϕ 22 = α + ^β ₂ + ^δ ₂ .

^Eassimtemos,

α = ^{ϕ 11 +ϕ} ₂ ²² , β = π − (ϕ 12 − ϕ 22 ), δ = − π − (ϕ 11 − ϕ 12 )

γ = 2 arcsen( | u _ij | ), para i 6 = j, ou γ = 2 arccos( | u _ij | ), para i = j.

Logo,

∃ α, β, γ, δ ∈ R

taisque

U = e ^ıα R _z (β )R y (γ)R z (δ)

^para

γ ∈ (0, π)

^.

2 a

Etapa -

γ = 0

^:



 e ^{ıϕ 11} 0 0 e ^{ıϕ 22}



 =



 e ^{ı(α − β 2 − δ 2 )} 0 0 e ^{ı(α+ β 2 + δ 2 )}



 .

Nesteaso,teríamosumsistemapossíveleindeterminado, onde

α = ϕ 11 + ϕ 22

2 , β + δ = ϕ 22 − ϕ 11 , γ = 0.

Logo,

∃ α, β, γ, δ ∈ R

taisque

U = e ^ıα R _z (β )R y (γ)R z (δ)

^para

γ = 0

^.

3 a

Etapa -

γ = π

^:



 0 e ^{ıϕ 12} e ^{ıϕ 21} 0



 =



 0 − e ^{ı(α − β 2 + δ 2 )} e ^{ı(α+ β 2 − δ 2 )} 0



 ,

Nesteaso,teríamosumsistemapossíveleindeterminado, onde

α = ϕ 12 + ϕ 21 − π

2 , δ − β = ϕ 12 − ϕ 21 − π, γ = π.

Logo,

∃ α, β, γ, δ ∈ R

taisque

U = e ^ıα R z (β )R y (γ)R z (δ)

^para

γ = π

^.

Teorema7.3. (DeomposiçãoX-Y)Seja

U

^{umoperadorunitáriodeumq-bit,entãoexistem}

α, β, γ, δ ∈ R

tais que

U = e ^ıα R x (β)R y (γ)R x (δ).

Demonstração:Análogaaoteoremaanteriorsegundo[3℄.

7.3 Porta de Hadamard (H)

APortadeHadamardéumadasmaisusadasnaComputação Quântia. Esteoperador,denidopor

H = 1

√ 2



 1 1 1 − 1



 ,

apliadonosestadosdabaseomputaional,resultaem

H | 0 i = 1

√ 2 ( | 0 i + | 1 i )

H | 1 i = 1

√ 2 ( | 0 i − | 1 i ).

Noteque,apliando-seaportaHnoestadodesritopela Equação3.1,tem-se

H | ψ i = α | 0 i + | 1 i

√ 2 + β | 0 i − | 1 i

√ 2 .

Como a porta de Hadamard é um operador unitário, podemos esrevê-lo na forma do Teorema 7.1.

Assim,

H = e ^{ı π 2} R _{n b} (π),

onde

b n = ( ^{√ 1} ₂ , 0, ^{√ 1} ₂ ).

^{Ouseja,aportadeHadamard,naEsferadeBloh,seomportaomoumarotação}

de180 o

emtornodovetor

b n = ( ^{√ 1} ₂ , 0, ^{√ 1} ₂ )

^.

Também podemosesreveraporta

H

^{emfunção dasmatrizesderotaçãoemtornodoseixos}

z

^e

y

^,

segundooTeorema7.2. Assim,

H = e ^{ı π 2} R z (0)R y ( π

2 )R z (π),

ou,tendoem vistaque

R z (0) = I

^,

H = e ^{ı π 2} R y ( π

2 )R z (π),

oque,na Esferade Bloh, araterizaumarotaçãode90 o

em tornodoeixo

y

^{seguida deuma rotação}

de180

◦

emtornodoeixo

z

^.

7.4 Porta S (Phase Gate)

Esteoperador,denido por

S =



 1 0 0 ı



 ,

apliadonosestadosdabaseomputaional,resultaem

S | 0 i = | 0 i S | 1 i = i | 1 i .

Apliando-seaportaSnoestadodesritopela Equação3.1,tem-se

S | ψ i = α | 0 i + ıβ | 1 i .

Notequehouveumaalteraçãonofatordefaserelativo.

A portaS, porserumoperadorunitário,também pode seresritanaformadesritapelo Teorema

7.1. Assim,

S = e ^{ı π 4} R _b n ( π 2 ),

onde

b n = (0, 0, 1)

^{. Ou seja, a porta S, na Esferade Bloh, seomportaom uma rotaçãode 90o em}

tornodoeixo

z

^{. TambémpodemosreesreverooperadorSsegundooTeorema7.2:}

S = e ^{ı π 4} R _z ( π 2 ).

7.5 Porta

π 8

^(T)

Esteoperador,denido por

T =



 1 0 0 e ^{ıπ 4}





ou

T = e ^{ıπ 8}



 e ^{−ıπ 8} 0 0 e ^{ıπ 8}



 ,

oqueexplia onome

π

8

^{,apliadonosestadosdabase}omputaionalresulta em

T | 0 i = | 0 i T | 1 i = e ^{ıπ 4} | 1 i .

AportaTapliadanoestadodaEquação3.1,resultaem

T | ψ i = α | 0 i + e ^{ıπ 4} β | 1 i .

Assimomoas portasS edeHadamard,aporta Ttambémpode seresritaem funçãodematrizesde

rotação. Assim,

T = e ^{ıπ 8} R _{n b} ( π

4 ), n b = (0, 0, 1)

ou

T = e ^{ıπ 8} R z ( π 4 ),

istoé,aportaTrepresentauma rotaçãode45 o

emtornodoeixo

z

^daesfera.

Naseção9.2,serãovistosalgunsexemplosdessasrotaçõesnoMapletQuantumView.

8 Maple

8.1 Paote Maplets

UmMapletéuma interfae gráadoMapleomousuário. Estereursopermiteaousuárioombinar

paoteseproedimentosomjanelasinterativaseaixasdediálogo.

ParaonstruirumMapletépreisodelararnaláusulawithdoMapleumpaotehamadoMaplets

quesedivide nosseguintessub-paotes:

•

^Elements,

•

^Exemples,

•

^Tools.

EumafunçãoparaparaexibiçãodoMaplet: Display.

Nestaseção,serádesritoapenas osub-paoteElementsquefoi utilizadonoprojeto.

Elements

Este sub-paote ontém todos os omponentes utilizados na riação do Maplet. Neste projeto, foram

usadosquatrotiposdeomponentesdoPaoteElements:

•

ComponentesWindowBody

Button

MathMLViewer

Plotter

Slider

TextField

•

ComponentesLayout

BoxLayout

BoxColumn

BoxRow

•

ComponentesMenubar

ButtonGroup

RadioButtonMenuItem

MenuItem

•

ComponentesCommand

CloseWindow

Evaluate

RunWindow

Shutdown

OBS. (1): O omponente maissigniativoque podeserinserido em umMaplet é oomponente

Window, queontémos omponentes Layout,Menubar eCommand. Essaestrutura podeservista no

HelpdoMaple.

OBS.(2): Asintaxedosomandosquesereferemaosomponentesaquiitadospodeservistano

HelpdoMaple.

9 Projeto Quantum View

A partir da Equação5.6 eda Equação 5.8, nota-se que é possívelesreverum algoritmoque exeute

a transformação de um q-bit

| ψ i B

^{em um vetor de Bloh. A nalidade do projeto Quantum View}

é explorar essa possibilidade, failitando álulos omplexos e repetitivos e ajudando om a exibição

de gráos. O objetivo é simples: desenvolver um onjunto de funções e proedimentos ligados às

representaçõesexistentesnaComputaçãoQuântia. Aprinípio,oprojetodáênfaseàrepresentaçãode

umbit quântiona Esferade Bloh, porém, posteriormente,pretendemos ampliá-loe,assim, englobar

outrasrepresentações.

Oprojetoenontra-sedivididoemduaspartes:

•

^{EstudodaTeoriadaComputaçãoQuântiaedetodasas}ferramentasmatemátiasneessáriaspara oentendimentodestateoria.

•

^{EstudodalinguagemdeomputaçãoMapleemtodososseusaspetose,}prinipalmente,onfeção deMapletsqueauxiliemosestudos daTeoriadaComputação Quântia.

QuantoaoqueserefereàonfeçãodeMaplets, iremosapresentar,nesta seção,oMapletQuantum

View.

9.1 Detalhes do Maplet Quantum View

OQuantum View é umMapletfáil de usar. Para isso,bastainserir omoentradaasoordenadasde

umvetoromplexo, noformato a + b*Ireonheidopelo Maple, e umoperadorunitáriode ordem2.

Ovetorinseridonãopreisaserunitário,apesardesabermosqueumq-bitérepresentadoporumvetor

uja normaéiguala1. Istosedeveaofato de oMaplet normalizarovetorautomatiamente. Então,

vejamosumexemplo:

Figura4: ExibiçãodosvetoresdeBlohdentrodasEsferas.

Vetor de Entrada:

v =



 2 + i 3 − 4i





Operador Unitário:

M =





1

2 − √

3

√ 2 3 2

1 2





Entrada no Maplet:

Agora, ésóliar no botão Exibir Esferas para obter oresultado expostona Figura 4. Noteque, o

gráodoladoesquerdo éovetordeBloh assoiadoao vetor

v

kvk

^{eográodoladodireito éovetor}

deBlohassoiadoàtransformação

M ( _kvk ^v )

^.

Figura5: MenuPrinipaldoMaplet.

Detalhes do Menu Prinipal:

OMapletQuantumView éomposto,também,porumMenuPrinipal(Figura5),ujasfunçõesserão

espeiadasaseguir:

•

^{Ações: Exeutaasmesmastarefasdosbotõesdoladosuperiordireito dateladaFigura4}

•

^{Eixos: Modiaotipode eixoaserexibido nosgráosdasesferas. Com estaopçãoé possível}

oloaros gráosemaixa,porexemplo.

•

^{Estilo: Mudaaaparêniadasesferas,}deixando-aspontilhas,omgradesouexibindoapenasseus paralelos.

•

^{Cores: Modiaasoresdasesferas.}

•

Iluminação: Modia,deformasutil, opontodeiluminaçãodasesferas.

•

^{Estilo da Linha: Modiaoestilodotraço dedesenhodasesferas. Podesermodiadoparaos}

estilosSÓLIDO,PONTILHADO,TRACEJADOouTRACEJADOEPONTILHADO.

•

^{Portas: Preenhe os ampos reservados para os elementos da matriz unitária om uma porta}

quântia(umadasportasitadasnaseção7).

•

Informações: Composto pelo subitem "Operadorese Vetores", este item abre uma janelaom informaçõesdeentradaesaídadedados. Ex.: qualovetordigitadoiniialmente(vetordeentrada),

qualovetordeBlohretornado,et. EstajanelapodeservistanaFigura6.

9.2 Quantum View em Ação

EstaseçãosedediaráàexibiçãodealgumasoisasquepodemserfeitasomoQuantumView.Comofoi

vistonaseção7,dasmatrizesdePauli,surgealassedasmatrizesderotação. ComoMapletQuantum

View,épossívelenxergaromo oorremessasrotações. Esolhemosovetor

| ψ i = √ ¹

2 | 0 i + √ ¹

2 | 1 i

^omo

exemplo. Neste vetor, seráapliadoooperadordesritonaEquação7.9,onsiderandooângulo

θ = ^π ₂

^.

AFigura7,mostraoresultadodestatransformação,ondedoladoesquerdotemosovetor

| ψ i

^edolado

direito temos

R x ( ^π ₂ ) | ψ i

^{. Note que, nada oorre. Isto sedeveao fato de ovetorter amesma direção}

Figura6: JaneladeInformaçõessobreaTransformaçãoUnitáriaexeutada.

Figura7: Rotaçãode90 o

dovetor

| ψ i

^{emtornodoeixo}

x

^.

Figura8: Rotaçãode90 o

dovetor

| ψ i

^{emtornodoeixo}

y

^.

Figura9: Rotaçãode90 o

dovetor

| ψ i

^{emtornodoeixo}

z

^.

do eixo

x

^{. Porém, se apliarmos ooperador de rotaçãodesrito na Equação7.10, neste mesmo vetor}

e onsiderarmoso mesmo ângulo

θ

^{, veremos um outro resultado, exposto na Figura 8, onde, do lado}

direito,temos

R y ( ^π ₂ ) | ψ i

^{. Noteque,houveumarotaçãodovetor}

| ψ i

^{de90oemtornodoeixo}

y

^.

Agora, podemos ver, também, a apliação do operador desrito na Equação7.11 (Figura 9 ), que

representaumarotaçãodovetor

| ψ i

^{de90oemtornodoeixo}

z

^,

R y ( ^π ₂ ) | ψ i

^{. ApartirdoMaplet,também}

podemos veriar a apliação dasportas H, S e T. Para veriarmos essas transformaçõesna Esfera,

onsideraremosovetor

| ψ i = cos( ^π ₈ ) | 0 i +ı sen( ^π ₈ ) | 1 i

^{,querepresentaovetordeBloh}

B | ψ i = (0, ^{√ 1} ₂ , √ ¹ 2 )

pertenente aoplano

y Oz b

^.

Primeiramente,apliaremosaportadeHadamard. Coloando-seessesvaloresnoMaplet, seobteve

oseguinteresultado:

B(H | ψ i ) = 1

√ 2



 

 1

− 1 0



 



Observequeosvetores

B | ψ i

^,

b n = ^{√ 1} ₂ (1, 0, 1)

^e

B(H | ψ i )

^{estãonomesmoplanodeequação}

^x ₂ + ^y ₂ − ^z 2 = 0

^.

Calulando-seosseguintesprodutosinternos

hb n | B | ψ i = 1

2 = cos(δ) e hb n | B(H | ψ i ) = 1

2 = cos(δ ^′ ),

Figura10: Rotaçãode90 o

dovetor

B | ψ i

^{emtornodoeixo}

z

^{-vistadopólodaesfera.}

onde

δ ∈ [0, π]

^{é o ângulo formado pelos vetores}

|b n i

^e

B | ψ i

^e

δ ^′ ∈ [0, π]

^{é o ângulo formado entre os}

vetores

|b n i

^e

B(H | ψ i )

^{, temos que}

δ = δ ^′

^{, oque ilustraa rotaçãode 180}

^◦

^{em torno de}

n b

^propostana

seção7.3.

Agora, apliaremos a porta S em

| ψ i

^. Coloando-se omo entrada ovetor

| ψ i

^{e o operador}

S

^{, o}

Mapletretornouoseguinteresultado:

B(S | ψ i ) = 1

√ 2



 



− 1 0 1



 

 .

A Figura 10 mostra oque oorreu omo vetor

B | ψ i

^{após aapliação de}

S

^{. Do lado esquerdo temos}

B | ψ i

^{edoladodireitotemos}

B(S | ψ i )

^{. Note quehouveuma rotaçãode90oemtornodoeixo}

z

^.

Finalmente,veremosos resultadosparaaporta

T

^{. Para}

B(T | ψ i )

^temos

B(T | ψ i ) = 1 2



 



− 1

√ 1 2



 

 .

AFigura11mostraquehouveumarotaçãode45 o

emtornodoeixo

z

^{,omosugereaseção7.5.}

10 Considerações Finais

OprojetoQuantumView éumaexelenteoportunidadeparaseestudarnãosóaTeoriadaComputação

Quântia,mas,também,váriostópiosdaMatemátia. Nestetrabalho,foifeitaumatentativaderelatar

adapassodoprojeto,desdeseuiníio,omoestudodoMapleeadesobertadosMaplets,atéoestudo

da Esferade Bloh e das Matrizes de Rotação. Porém, oprojeto pretende ir alémdestes relatos ese

extenderrumoaoutrasrepresentações,amdequesetenhaumabiblioteadefunçõeseproedimentos

Figura11: Rotaçãode45 o

dovetor

B | ψ i

^{emtornodoeixo}

z

^{-vistadopólodaesfera.}

quefailite amaioriados álulosedemonstraçõesque aindahão de apareer. É importante destaar

quetodososvetoresdeBlohitadosnestetrabalhoforamaluladospeloMapletQuantumView.

Referênias

[1℄ Mapletsbeginner'sguide. Waterloo,Canadá,2001.WaterlooMapleIn.

[2℄ L.M.Carvalho,C.C.Lavor,andV.S.Motta.Caraterizaçãomatemátiadaesferadebloh.submetido

aTEMA, 2004.

[3℄ M.A. NielsenandI.L.Chuang. QuantumComputation andQuantumInformation. CambridgeUni-

versityPress,Cambridge,2000.

[4℄ R.Portugal. Introduçãoaomaple. LNCC,Petrópolis,2002.

[5℄ R.Portugal,C.Lavor,L.M.Carvalho,andN.Maulan. Umaintroduçãoàomputaçãoquântia. In

Notas de MatemátiaApliada, volume8,SBMAC,SãoCarlos,2004.

[6℄ J. Preskill. Leture Notes for Physis 229: Quantum Information and Computation. California

InstituteofTehnology,1998.