Uma Introdu¸
c˜
ao `
a Cohomologia Local
por
W´allace Mangueira de Sousa
sob orienta¸c˜ao de
Dr. Roberto Callejas Bedregal (UFPB)
e sob a co-orienta¸c˜ao de
Dr. Napole´on Caro Tuesta (UFPB)
Disserta¸c˜ao apresentada ao Corpo Docente do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica-CCEN-UFPB, como requisito parcial para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.
I
Resumo
O objetivo desta disserta¸c˜ao ´e entender o funtor de Cohomologia Local, assim como algumas de suas propriedades. Mostramos que este funtor tem uma rela¸c˜ao com o funtor Ext. Al´em disso, expomos os seguintes teoremas: Teorema do Anulamento de Grothendieck, Teorema do Anula-mento de Hartshorne, Teorema do N˜ao Anulamento de Grothendieck e o Teorema do Anulamento de Hartshorne-Linchtenbaum.
Palavras chave: Algebra Homol´´ ogica, Cohomologia Local, Ext.
Abstract
The goal this work is to understand the local cohomology functor, and some of its properties. We show that this functor has a relation with the functor Ext. Furthermore, we show the followings theorems: Grothendieck’s Vanishing Theorem, Hartshorne’s Vanishing Theorem, Grothendieck’s Non-Vanishing Theorem and Hartshorne-Linchenbaum’s Vanishing Theorem.
Introdu¸
c˜
ao
III
Agradecimentos
Agrade¸co a Deus,
Aos meus Pais,
Aos meus amigos,
Ao CNPq,
Ao meu orientador Roberto Callejas Bedregal,
Ao professor Fernando Antonio Xavier,
Sum´
ario
1 Preliminares 1
1.1 Funtor de Cohomologia Local . . . 1
1.2 Sequˆencia de Mayer-Vietoris . . . 10
1.3 Funtor de Cohomologia Local via Ext . . . 14
1.4 Ideal Transforma¸c˜ao . . . 19
2 Teorema do N˜ao Anulamento de Grothendieck 23 3 Teorema do Anulamento de Hartshorne-Linchtenbaum 27 A Um pouco de ´Algebra Homol´ogica 33 A.1 M´odulos Injetivos . . . 34
A.2 Funtor derivado . . . 36
A.3 Propriedades B´asicas . . . 37
A.3.1 Transforma¸c˜ao natural . . . 37
A.3.2 Sequencias Exatas de Cocomplexos . . . 38
A.3.3 Prepara¸c˜ao para sequˆencia de Mayer-Vietoris . . . 41
Cap´ıtulo 1
Preliminares
1.1
Funtor de Cohomologia Local
O conceito de funtor tor¸c˜ao serve de base para podermos definir o funtor de cohomologia local. Na verdade, o funtor de cohomologia local ´e o funtor derivado do funtor tor¸c˜ao. Come¸camos com alguns conceitos b´asicos da teoria de ´algebra homol´ogica.
Defini¸c˜ao 1.1 SejamU,BeCcategorias. Uma fun¸c˜aoT :U×B−→C´e um bifuntor seT(A,−) : B−→C´e um funtor para cada A∈ObjU,T(−, B) :U−→C´e um funtor para cada B∈ObjB, e,
para cada par de morfismos A′ f //A emUe B′ g //B emB, existe um diagrama comutativo
T(A′, B′)T(A
′
,g)
/
/
T(f,B′
)
T(A′, B)
T(f,B)
T(A, B′)T(A,g)//T(A, B)
seT(A,−)e T(−, B)forem funtores covariantes, ou
T(A, B′)T(A,g)//
T(f,B′
)
T(A, B)
T(f,B)
T(A′, B′)T(A
′
,g)
/
/T(A′, B)
seT(A,−)for covariante e se T(−, B)for contravariante, ou
T(A′, B)T(A
′
,g)
/
/
T(f,B)
T(A′, B′)
T(f,B′
)
T(A, B) T(A,g)//T(A, B′)
seT(A,−)for contravariante e se T(B,−)for covariante, ou
T(A, B) T(A,g)//
T(f,B)
T(A, B′)
T(f,B′
)
T(A′, B)T(A
′
,g)
/
/T(A′, B′)
seT(A,−)eT(−, B) forem contravariantes,∀A∈ObjU e∀B∈ObjB.
Seja (Λ,≤) um conjunto (n˜ao vazio) parcialmente ordenado direto e suponhamos que temos um sistema inverso deR-m´odulos (Wα)α∈Λ sobre Λ, com homomorfismoshαβ :Wα −→Wβ (para cadaα, β∈Λ comβ ≤α). SejaT :MR×MR −→MR um bifuntorR-linear que ´e contravariante na primeira vari´avel e covariante na segunda. (Um bifuntor U : MR×MR −→ MR ´e dito ser
R-linear precisamente quando ´e aditivo eU(rf, g) =rU(f, g) =U(f, rg) para todor∈ Re todos os homomorfismosf, gdeR-m´odulos.)
Sejam M, N R-m´odulos e seja f : M −→ N um R-homomorfismo. Para cadaα, β ∈ Λ com
β≤α, o homomorfismo hα
β :Wα−→Wβ induz um R-homomorfismo
T(hαβ, M) :T(Wβ, M)−→T(Wα, M).
Al´em disto, o fato de queT ´e um bifuntor garante-nos que os homomorfismos T(hα
β, M) torna a familia (T(Wα, M))α∈Λ um sistema direto deR-m´odulos e R-homomorfismos sobre Λ. Podemos,
portanto, obter lim−→
α∈Λ
T(Wα, M). Ainda mais, novamente para α, β ∈ Λ com β ≤ α, temos um
diagrama comutativo
T(Wβ, M)
T(Wβ,f)
/
/
T(hα
β,M)
T(Wβ, N)
T(hα
β,N)
T(Wα, M)
T(Wα,f)
/
/T(Wα, N)
e assim, o T(Wα, f) com α ∈ Λ constitui um morfismo de sistemas direto, o qual induz um
R-homomorfismo
lim−→
α∈Λ
T(Wα, f) : lim−→
α∈Λ
T(Wα, M)−→lim−→
α∈Λ
T(Wα, N).
Observa¸c˜ao 1.1 i. Note que lim−→
α∈Λ
T(Wα,−)´e um funtor covarianteR-linear deMRparaMR.
ii. Como o limite direto preserva exatitude, se T for exato `a esquerda, ent˜ao lim−→
α∈Λ
T(Wα,−)
tamb´em o ser´a.
Os dois pr´oximos exemplos s˜ao cruciais em nosso trabalho.
Exemplo 1.1Consideremos Λ =Ncom a ordem usual e o sistema inverso (R/an)n∈N deR
-m´odulos com osR-homomorfismos canˆonicos hn
m:R/an−→ R/am(para n, m∈Ncomm≤n). Desta forma, obtemos os funtores covariantesR-lineares
lim−→
n∈N
HomR(R/an,−) e lim−→
n∈N
ExtiR(R/an,−) (i∈N0)
deMR para MR. Al´em disto, a equivalˆencia natural entre os funtores exatos `a esquerdaHomR eExt0
R garante-nos uma equivalˆencia natural entre os funtores exatos `a esquerda
lim−→
n∈N
HomR(R/an,−) e lim−→
n∈N
Ext0R(R/an,−).
Exemplo 1.2 Similarmente, consideremos as inclus˜oes hn
m : an −→ am (paran, m ∈N com
m≤n). Ent˜ao, temos os funtores (que s˜ao covariantes eR-lineares)
lim
−→
n∈N
HomR(an,−) e lim
−→
n∈N
Exti
1.1. FUNTOR DE COHOMOLOGIA LOCAL 3
deMR para MR, e, analogamente como no exemplo anterior, uma equivalˆencia natural entre os funtores exatos `a esquerda
lim−→
n∈N
HomR(an,−) e lim−→
n∈N
Ext0
R(an,−).
Defini¸c˜ao 1.2 Seja (Λ,≤) um conjunto (n˜ao vazio) parcialmente ordenado direto. Uma familia inversa de ideais (de R) sobre Λ ´e uma familia (bα)α∈Λ de ideais de Rtal que, sempre quando
(α, β)∈Λ×Λ comβ≤α, temos quebα⊆bβ.
Por exemplo, se
b1⊇b2⊇...⊇bn ⊇bn+1⊇...
for uma cadeia decrescente de ideais deR, ent˜ao (bn)n∈N´e uma familia inversa de ideais sobre N
(com a ordem usual). Em particular, a familia (an)n∈N´e uma familia inversa de ideais deRsobre
N(coma⊆ Rideal).
Seja (bα)α∈Λ uma familia inversa de ideais deRsobre Λ. Ent˜ao osR-homomorfismos naturais
hα
β : R/bα −→ R/bβ (para α, β ∈Λ comβ ≤α) transforma (R/bα)α∈Λ em um sistema inverso
sobre Λ. Seguindo o mesmo raciocinio, temos os funtores covariantesR-lineares
lim−→
α∈Λ
HomR(R/bα,−) e lim−→
α∈Λ
ExtiR(R/bα,−) (i∈N0),
deMR paraMR.
Proposi¸c˜ao 1.1 Seja ϕ= (bα)α∈Λ uma familia inversa de ideais deRsobreΛ.
(i). Existe um funtor covarianteR-linear Γϕ:MR−→MR tal que, para umR-m´oduloM,
Γϕ(M) = [
α∈Λ
(0 :M bα)
e, para um homomorfismo f :M −→N deR-m´odulos, Γϕ(f) : Γϕ(M)−→Γϕ(N)´e apenas a restri¸c˜ao de f ao subm´oduloΓϕ(M) deM.
(ii). Existe uma equivalˆencia natural
φ′(=φ′ ϕ) : lim−→
α∈Λ
HomR(R/bα,−) //Γϕ.
Logo,Γϕ ´e um funtor exato `a esquerda.
(iii). Em particular, existe uma equivalˆencia natural
φ′(=φ′
a) : lim−→
n∈N
HomR(R/an,−) //Γ
a,
onde ϕ = (an)n∈N, (Γa := Γϕ) com a ideal de R. O funtor Γa ´e denominado funtor de
a-tor¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao. (ii). Sejaf : M −→N um homomorfismo de R-m´odulos. Para cada α∈ Λ, sejaφbα,M :HomR(R/bα, M)−→(0 :M bα) oR-isomorfismo para o qualφbα,M(h) =h(1 +bα)
HomR(R/bβ, M)
φbβ ,M
/
/
HomR(hα
β,M)
(0 :M bβ)
HomR(R/bα, M)
φbα ,M
/
/(0 :M bα)
comuta, segue que existe um (´unico)R-isomorfismo
φ′ M : lim−→
α∈Λ
HomR(R/bα, M) // lim−→
α∈Λ
(0 :M bα) = Γϕ(M).
Al´em disto, como o seguinte diagrama
HomR(R/bα, M)
HomR(R/bα,f)
φbα ,M
/
/(0 :M bα)
Γbα(f)=f|(0:
Mbα)
HomR(R/bα, N)
φbα ,N
/
/(0 :N bα)
comuta∀α∈Λ, implica que
lim−→
α∈Λ
HomR(R/bα, M)
lim−→
α∈Λ
HomR(R/bα, f)
φ′
M /
/Γϕ(M)
Γϕ(f)
lim−→
α∈Λ
HomR(R/bα, N)
φ′
N /
/Γϕ(N)
comuta.
Propriedades do Funtor Tor¸c˜ao. SejamM umR-m´odulo ea,bideais deR. 1. Γ0(M) =M e ΓR(M) = 0.
2. Γa(M/Γa(M)) = 0.
3. Seb⊂a, ent˜ao Γa(M)⊂Γb(M).
4. Se√a=√b, ent˜ao Γa(M) = Γb(M).
5. Γa+b(M) = Γa(M)∩Γb(M) = Γa(Γb(M)).
Proposi¸c˜ao 1.2 SejamM umR-m´odulo ea um ideal deR. Ent˜ao Γa(M)6= 0se, e somente se,
a⊂ZR(M).
Demonstra¸c˜ao. (⇒) Dador∈a. Como Γa(M)6= 0, ent˜ao existem∈Γa(M) com m6= 0. Logo
exite n∈ N tal que anm = 0. Podemos tomar nm´ınimo (Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao). Desta forma, existes∈an−1 tal quesm= 0. Por outro lado,6 rsm= 0, ou seja,r∈ZR(M).
(⇐) Sabemos que (Teorema 6.1 (ii) e Teorema 6.5 (i) [1])
ZR(M) = [
p∈AssR(M)
p=p1∪p2∪...∪pn
Comoa⊂ZR(M), segue que existe (Proposi¸c˜ao 1.11 (i) [2])j∈ {1, ..., n}tal quea⊂pj. Logo
1.1. FUNTOR DE COHOMOLOGIA LOCAL 5
Defini¸c˜ao 1.3 Um R-m´oduloM ´e dea-tor¸c˜ao seΓa(M) =M.
Observa¸c˜ao 1.2 (i). Na propriedade 5, tomandoa=btemos que Γa(Γa(M)) = Γa(M). Logo,
Γa(M)´e de a-tor¸c˜ao.
(ii). SeM ´e dea-tor¸c˜ao e N ´e um subm´odulo deM, ent˜ao N eM/N s˜ao dea-tor¸c˜ao.
(iii). Sejamr∈ae M um R-m´odulo dea-tor¸c˜ao, ent˜ao M r. //M ´e injetivo⇐⇒M = 0.
Proposi¸c˜ao 1.3 Sejam E um R-m´odulo injetivo e a um ideal de R. Ent˜ao Γa(E)tamb´em ser´a injetivo.
Demonstra¸c˜ao. Usaremos o Crit´erio de Baer (Propriedade 6 dos m´odulos injetivos).
Seja h: b −→Γa(E) um R-homomorfismo (onde b´e um ideal de R). Temos que encontrar x∈Γa(E) tal queh(r) =rxpara todor∈b. Como Γa(E)≤E, considere o seguinte diagrama (i
´e a inclus˜ao)
0 //b i // h
R
∃l
E
Desde queE´e umR-m´odulo injetivo, existel:R −→Etal quel◦i=h. Sejaf :=l(1). Ent˜ao
h(b) = (l◦i)(b) =l(b) =l(b·1) = bl(1) =bf, assim h(b) =bf para todo b∈ b. Em particular, temosh(b) =b·f ⊂ R ·f. Comoh(b) ´e um subm´odulo de Γa(E), ent˜aoh(b) ´e dea-tor¸c˜ao. Logo h(b)⊂Γa(R ·f) (aplicar o funtor tor¸c˜ao Γa(−) emh(b)⊂ R ·f).
Pelo Lema de Artin-Rees (Teorema 8.5 [1]), existe n ∈ N tal que an(R ·f)T
Γa(R ·f) = 0
(comoR ·f ´e finitamente gerado, temos que Γa(R ·f) tamb´em ´e finitamente gerado, al´em disto
Γa(R ·f) = (0 :(R·f)am) para algumm∈N).
Como h(b) = b·f ⊂ Γa(E), temos que (an ·f)T(b·f) = 0. Isto significa que a soma
an·f+b·f ´e direta e que podemos definir um R-homomorfismoφ: (an·f+b·f)−→b·f dado porφ(u·f+b·f) =b·f (para todou∈an e para todob∈b).
Desde que (an+b)·f =an·f+b·f, definiremos ˜h: (an+b)−→b·f por ˜h(v) =φ(vf) para todov∈an+b. Logo, para todou∈an e para todo b∈btemos que ˜h(u+b) =bf. Considere o seguinte diagrama
0 //(an+b)
˜
h
˜i /
/R
∃˜l
b·f
#
#E
ComoE ´e injetivo, existe umR-homomorfismo ˜l :R −→E tal que ˜h= ˜l◦˜i, onde ˜i´e a inclus˜ao. Sejax= ˜l(1).
Portanto, para todo r ∈ R temos que ˜l(r) = ˜l(r·1) = r˜l(1) = rx, assim ˜l(r) = rx. Para qualquer u∈an seque queux= ˜l(u) = ˜l(˜i(u)) = ˜h(u) = ˜h(u+ 0) = 0f = 0, ou seja,x∈Γa(E).
Al´em disto, para qualquerb∈btemos queh(b) =bf= ˜h(0 +b) = ˜h(b) = ˜l◦˜i(b) = ˜l(b) =bx.
Corol´ario 1.1 Se M for um R-m´odulo de a-tor¸c˜ao, ent˜ao existem um R-m´odulo injetivo E de
a-tor¸c˜ao e um R-monomorfismo M ֒→E.
Demosntra¸c˜ao. Seja M um R-m´odulo dea-tor¸c˜ao. Sabemos (Lema A.1 Eckmann-Schopt) que existe um R-m´odulo injetivoE e um R-monomorfismo α:M −→E. Aplicando o funtor tor¸c˜ao Γa, temos que oR-homomorfismo Γa(α) : Γa(M)−→Γa(E) ainda ´e injetivo. A conclus˜ao sai da
Corol´ario 1.2 Seja M for um R-m´odulo de a-tor¸c˜ao. Ent˜ao M possui uma resolu¸c˜ao injetiva
((E•, f•);b
M)tal que osR-m´odulos injetivosEn s˜ao todos dea-tor¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao. Pelo Corol´ario 1.1, existe emR-m´odulo injetivoE0dea-tor¸c˜ao tal queM ֒
→E0.
Novamente pelo Corol´ario 1.1, (como E0/M ´e de a-tor¸c˜ao) existe um
R-m´odulo injetivo E1 de
a-tor¸c˜ao tal queE0/M ֒
→E1. Seguindo o racioc´ınio, existe
R-m´odulo injetivoEn dea-tor¸c˜ao tal queEn−1/En−2֒
→En.
Defini¸c˜ao 1.4 Sejamn∈Nea um ideal de R. On-funtor de Cohomologia Local Hn
a ´e definido porHn
a :=RnΓa.
O funtor de cohomologia local ´e um funtor covariante e linear. A seguir, obteremos o nosso primeiro resultado envolvendo o anulamento do funtor de cohomologia local.
Proposi¸c˜ao 1.4 Seja M um R-m´odulo. Ent˜aoHi
a(M)´e dea-tor¸c˜ao para todoi∈N0.
Demonstra¸c˜ao. A afirma¸c˜ao segue da defini¸c˜ao deHi
a(−) e da Observa¸c˜ao 1.2 (ii).
Proposi¸c˜ao 1.5 Seja M um R-m´odulo dea-tor¸c˜ao. Ent˜ao Hi
a(M) = 0 para todoi >0.
Demonstra¸c˜ao. SejaM umR-m´odulo de a-tor¸c˜ao. Pelo Corol´ario 1.2 existe uma resolu¸c˜ao injetiva de M
0 //E0 f0 //E1 f1 //E2 f2 //E3 f3 //...
tal queEn ´e dea-tor¸c˜ao. Aplicando o funtor Γ
a(−) na sequˆencia acima, vemos que n˜ao acontece
nada (pois todos os termos s˜ao de a-tor¸c˜ao). Logo Hn
a(M) := Ker(Γa(fn))/Im(Γa(fn−1)) = Ker(fn)/Im(fn−1) = 0 para todon >0.
Corol´ario 1.3 SejamM eN R-m´odulos tais queN ⊂M eN´e dea-tor¸c˜ao. Considere a proje¸c˜ao naturalπ:M −→M/N, ent˜ao:
(i). H0
a(π) :Ha0(M)−→Ha0(M/N)´e sobrejetivo.
(ii). Hi
a(π) :Hai(M)−→Hai(M/N)´e um isomorfismo para todoi >0.
Demosntra¸c˜ao. Considere a sequˆencia exata S: 0 //N f //M π //M/N //0 , onde f : N −→ M ´e a inclus˜ao. Desde que Γa(−) ´e um funtor covariante, temos a seguinte
sequˆencia exata longa, associada a sequˆenciaS,
0 //H0
a(N)
H0
a(f)
/
/H0
a(M)
H0
a(π)
/
/H0
a(M/N)
δ0
/
/H1
a(N)
H1
a(f)
/
/H1
a(M)
H1
a(π)
/
/H1
a(M/N)
δ1 /
/H2
a(N)
Ha2(f)
/
/H2
a(M)
H2a(π)
/
/H2
a(M/N)
δ3 /
/H3
a(N) //· · ·
Pelo Proposi¸c˜ao 1.5, temos que Hai(N) = 0 para todo i > 0. Logo os itens (i) e (ii) seguem
substituindo estes valores na sequˆencia exata longa acima.
Observa¸c˜ao 1.3 Quando definirmos inf esup de algum subconjunto de Z, estaremos assumindo que estes sempre estar˜ao emZS
{∞,−∞}.
1.1. FUNTOR DE COHOMOLOGIA LOCAL 7
Faremos caracteriza¸c˜oes daa-depth de umR-m´odulo com termos n˜ao cohomol´ogicos.
Lembremos. Seja M um R-m´odulo. Um elemento x∈ R ´e dito ser M-regular se xm 6= 0 para todo 06=m∈ M. Uma sequˆenciax1, x2, ..., xn de elementos deR´e uma M-sequˆencia (de comprimenton) se:
1. x1´eM-regular,x2´e (M/x1M)-regular, ...,xn´e (M/Pn−i=11xiM)-regular.
Al´em disso, se a condi¸c˜ao
2. (M/Pn
i=1xiM)6= 0
for satisfeita, dizemos que a sequˆenciax1, x2, ..., xn ´e umaM-sequˆencia regular. Seafor um ideal deRe sexi ∈apara todoi∈ {1,2, ..., n}, ent˜ao diremos quex1, x2, ..., xn´e umaM-sequˆencia em
a.
Observa¸c˜ao 1.4 Sejam x1, x2, ..., xn ∈ R e s ∈ {1,2, ..., n−1}. Ent˜ao x1, x2, ..., xn ´e uma M
-sequˆencia se, e somente se, xs+1, xs+2, ..., xn ´e uma(M/Psj=1xjM)-sequˆencia e x1, ..., xs´e uma
M-sequˆencia.
Proposi¸c˜ao 1.6 SejamM umR-m´odulo e a ideal deR. S˜ao equivalentes: (a) Existe umaM-sequˆencia de comprimenton∈Nema.
(b) Hi
a(M) = 0para todo i < n.
Demonstra¸c˜ao.(⇒) Sejax1, ..., xnumaM-sequˆencia. Faremos a prova por indu¸c˜ao sobren. Seja
n= 1. Ent˜ao x1 ∈ aT(R \ZR(M)). O que implica Ha0(M) = Γa(M) = 0. Seja n > 1. Como x1, ..., xn−1 ´e umaM-sequˆencia em a, segue (por indu¸c˜ao) que Hai(M) = 0 para todoi < n−1.
Queremos mostrar queHan−1(M) = 0. Pela Observa¸c˜ao 1.4 (s= 1), temos quex1∈ R \ZR(M) e
x2, ..., xn ´e uma (M/x1M)-sequˆencia ema. Considere a seguinte sequˆencia exata
0 //M x1 //M π //M/x
1M //0
ondex1:M −→M ´e definida porx1(m) =x1m. Esta sequˆencia exata curta induz uma sequˆencia
exata longa (lembrando queHi
a(−) ´e linear)
Hn−2
a (M/x1M)
δn−2
/
/Hn−1
a (M)
x1
/
/Hn−1
a (M).
Onde x1 : Han−1(M) −→ Han−1(M) ´e definida por x1(m) = x1m. Desde que x2, ..., xn ´e uma (M/x1M)-sequˆencia ematemos por indu¸c˜ao que
Han−2(M/x1M) = 0.
A conclus˜ao segue dos seguintes fatos: Hn−1
a (M) ´e dea-tor¸c˜ao (Proposi¸c˜ao 1.4) e da Observa¸c˜ao
1.2 (iii).
(⇐) Seja Hi
a(M) = 0 para todo i ∈ {1, ..., n−1}. Temos que encontrar uma M-sequˆencia x1, ..., xn ema. Novamente provaremos por indu¸c˜ao sobren. Assim, sejan= 1. Logo, Γa(M) = H0
a(M) = 0. Pela Proposi¸c˜ao 1.2, temos quea6⊂ZR(M). Logo, exister∈a\ZR(M), isto ´e, r´e M-regular ema. O que prova o cason= 1.
Sejan >1. Pelo cason= 1, existe algumx1∈a\ZR(M). Considere a sequˆencia exata (como
anteriormente)
0 //M x1 //M π //M/x
Temos, assim, a seguinte sequˆencia exata
Haj(M) //Haj(M/x1M) //Haj+1(M), j∈N0.
Ent˜ao, isto mostra que Haj(M/x1M) = 0 para todo j < n−1. Por hip´otese de indu¸c˜ao, existe
umaM/x1M-sequˆenciax2, ..., xn ema. A afirma¸c˜ao ´e concluida da Observa¸c˜ao 1.4.
Defini¸c˜ao 1.6 SejamM umR-m´odulo ea um ideal deR. Definimos o grau dea com respeito a M por:
grauM(a) :=sup{n∈N0| existe umaM-sequˆencia de comprimentonema }.
Observa¸c˜ao 1.5 (i). grauM(a) = 0⇔a⊆ZR(M).
(ii). Sebfor outro ideal deRtal queb⊂a, ent˜aograuM(b)≤grauM(a).
Corol´ario 1.4 SejamM umR-m´odulo e a um ideal deR, ent˜ao grauM(a) =ta(M).
Demonstra¸c˜ao. Sejan′ ≤grau
M(a). Ent˜ao existe umaM-sequˆencia ema,x1, ..., xn comn≥n′. Pela Proposi¸c˜ao 1.6, temos queHi
a(M) = 0 para todoi < n. Desta forma,ta(M)≥n≥n′, o que
implicagrauM(a)≤ta(M).
Por outro lado, seja n ≤ ta(M). Ent˜ao Hi
a(M) = 0 para todo i < n. Novamente pela
Proposi¸c˜ao 1.6, existe uma M-sequˆencia x1, ..., xn em a. O que implica grauM(a) ≥n, ou seja,
grauM(a)≥ta(M).
Proposi¸c˜ao 1.7 SejamM umR-m´odulo e a um ideal deR. S˜ao equivalentes: (a) aM =M.
(b) Hi
a(M) = 0, para todoi∈N0.
(c) grauM(a) =∞.
Demonstra¸c˜ao. Sabemos que (pelo Corol´ario 1.4) (b)⇔(c). Vamos provar (a)⇔(b).
(⇒) Sabemos que (pelo Corol´ario 2.5 [2]) existe r ∈ a tal que (1−r)M = 0. Desta forma, o R-homomorfismo M 1−r //M ´e nulo. O que implica Hj
a(M)
1−r
/
/Haj(M) tamb´em ser nulo
para todoj ∈ N0. Suponhamos que existe i ∈ N0 tal que Hai(M)6= 0. Seja 0 6=m′ ∈ Hai(M).
ComoHi
a(M) ´e dea-tor¸c˜ao, existe n∈Ntal que anm′ = 0, assimrnm′ = 0. Podemos escolhern
m´ınimo com a propriedadernm′ = 0. Note que
rn−1m′ =rn−1m′−rnm′=rn−1 (1−r)m′
= 0.
O que ´e um absurdo pela minimalidade den.
(⇐) Suponhamos, por absurdo, que existe umR-m´oduloM satisfazendo a seguinte condi¸c˜ao: (∗) aM 6=M eHi
a(M) = 0para todoi∈N0.
Considere o seguinte conjunto,
S:={N ⊆M |N´e subm´odulo e M/N satisfaz a condi¸c˜ao(∗)}
1.1. FUNTOR DE COHOMOLOGIA LOCAL 9
Desde queHa0(M) = 0, existe (Proposi¸c˜ao 1.6) algumr∈a
T
(R \ZR(M)). Note queM 6= 0 (poisaM 6=M). Por outro lado, sabendo que r∈(R \ZR(M)), temos que rM 6= 0. Portanto,
M /rM n˜ao satisfaz (∗). Observe quea M /rM
6
=M /rM (poisr∈aeaM 6=M). Lembrando queM /rM n˜ao satisfaz (∗), existe algumi∈N0 tal queHai(M /rM)6= 0. Considere a sequˆencia exata
0 //M r //M π //M /rM //0.
Assim, existe uma sequˆencia exata induzida
Hi
a(M) //Hai(M /rM) //Hai+1(M),
implicandoHi
a(M)6= 0 ouHai+1(M)6= 0. O que ´e um absurdo, poisM satisfaz (∗). LogoM n˜ao
pode satisfazer (∗).
Lembremos. Seja M um R-m´odulo. Uma M-sequˆencia maximal em a ´e uma M-sequˆencia
x1, ..., xn ema, tal que n˜ao existexn+1∈apara o qualx1, ..., xn, xn+1 seja umaM-sequˆencia.
Corol´ario 1.5 Se aM 6=M, ent˜ao todas as M-sequˆencias maximais em a tem o mesmo compri-mento igual agrauM(a).
Demonstra¸c˜ao. Seja g =grauM(a). Pela Proposi¸c˜ao 1.7, g <∞. Se g = 0, a afirma¸c˜ao segue (poisa⊂ZR(M)). Suponhamos queg >0. Considerex1, ..., xn uma M-sequˆencia em a. Assim,
n≤g. ´E suficiente mostrar que a M-sequˆenciax1, ..., xn n˜ao ´e maximal sen < g. Para cada t∈ {1, ..., n}considere a sequˆencia exata curta
0 //M/
t−1
X
l=1
xlM
xt /
/M/
t−1
X
l=1
xlM //M/ t
X
l=1
xlM //0,
comM/
0 X
l=1
xlM ≃M ext ∈
R \ZR M/
t−1
X
l=1
xlM
. Desta forma, existe uma sequˆencia exata
induzida
(∗) Hk
a M/ t−1 X l=1
xlM
/
/Hk
a M/ t X l=1
xlM
/
/Hk+1
a M/ t−1 X l=1
xlM
,
comt ∈ {1, ..., n} ek∈ N0. Sabemos que (Corol´ario 1.4) Hai(M) = 0 para todo i < g. Por (∗),
deduzimos que Hai(M/x1M) = 0 para todo i < g−1 (em (∗) coloque t = 0). Novamente por
(∗), deduzimos queHi
a(M/(x1M +x2M)) = 0 para todoi < g−2 (em (∗) coloquet= 1 e use o
resultado obtido paraHi
a(M/x1M)).
Indultivamente, vemos que Hi
a(M/
n
X
l=1
xlM) = 0 para todo i < g −n. Se n < g, ent˜ao
H0
a(M/
n
X
l=1
xlM) = 0. Pela Proposi¸c˜ao 1.6, existexn+1∈atal quexn+1∈
R \ZR M/ n
X
l=1
xlM
.
Logox1, ..., .xn, xn+1´e uma M-sequˆencia ema, ou seja,x1, ..., xn n˜ao pode ser maximal.
Defini¸c˜ao 1.7 A dimens˜ao cohomol´ogica doR-m´oduloM com respeito ao ideala´e definido como:
Lembremos. SejaM umR-m´odulo. A dimens˜ao (de Krull) deM ´e definido como o supremo dos comprimentos das cadeias de ideais primos na variedade do anulador (0 :RM)⊂ R deM, ou seja,
dim(M) := sup{l∈N0| ∃p0,p1, ...,pl∈V (0 :RM)
:p0(p1(...(pl}.
Observa¸c˜ao 1.6 (i). SeN ⊆M, ent˜ao dim(N), dim(M/N)≤dim(M). (ii). Sex∈ R \ZR(M)
, ent˜ao dim(M/xM)≤dim(M)−1.
(iii). dim(M) =−∞ ⇔M = 0.
Teorema 1.8 (Teorema do Anulamento de Grothendieck) Seja M um R-m´odulo. Ent˜ao cda(M)≤dim(M).
Demonstra¸c˜ao. Se M for 0, a afirma¸c˜ao segue. Seja d :=dim(M). Obviamente assumiremos
d <∞. Faremos por indu¸c˜ao sobre d. Suponhamos qued= 0. Devemos provar que Hi
a(M) = 0
para todoi >0. Considere M =M/Γa(M). Pelo Corol´ario 1.3 (ii), Hai(M)≃Hai(M) para todo i > 0 (´e suficiente provarmos que Hi
a(M) = 0 para todo i > 0). Pela propriedade 2 do funtor
tor¸c˜ao, temos que Γa(M) = 0, ou seja,Ha0(M) = 0. Logo, (pela Proposi¸c˜ao 1.6) exister∈a, tal
quer´e M-regular. Pela Observa¸c˜ao 1.6 (i), temos que dim(M)≤0. Logo, pela Observa¸c˜ao 1.6 (ii),dim(M /rM)≤0−1. Ou seja, (Observa¸c˜ao 1.6 (iii))M =rM. Comor∈a, temosM =aM. Pela Proposi¸c˜ao 1.7, concluimos queHi
a(M)≃Hai(M) = 0 para todoi >0.
Suponhamos que d > 0. Devemos mostrar que Hi
a(M) = 0 para todo i > d. Novamente,
seja M := M/Γa(M). Portanto, Hai(M) ≃ Hai(M) (Corol´ario 1.3 (ii)) para todo i > 0. ´E
suficiennte provarmos que Hi
a(M) = 0 para todo i > d. De acordo com a Observa¸c˜ao 1.6 (i),
temos quedim(M)≤d. Sedim(M)< d, ent˜ao (por indu¸c˜ao)Hi
a(M) = 0 para todoi > dim(M)
e, portanto, para todo i > d. Podemos supor dim(M) = d. Como 0 = Γa(M) = Ha0(M),
existe (Proposi¸c˜ao 1.6) r M-regular em a. Podemos, ent˜ao, afirmar que (Observa¸c˜ao 1.6 (ii))
dim(M /rM) ≤ dim(M)−1 = d−1. Por hip´otese de indu¸c˜ao, Hi
a(M /rM) = 0 para todo i > dim(M /rM), logo para todoi > d−1.
Considere a seguinte sequˆencia exata
0 //M r //M π //M /rM //0.
Assim, existe uma sequˆencia exata induzida
Haj(M /rM) //Haj+1(M)
r /
/Haj+1(M)
para todoj ∈N0. Portanto, r:Hai(M) //Hai(M) ´e injetiva para todo i > d. Como r∈a e Haj(M) ´e dea-tor¸c˜ao segue (Observa¸c˜ao 1.2 (iii)) queHai(M)≃Hai(M) = 0 para todoi > d.
1.2
Sequˆ
encia de Mayer-Vietoris
Assim como na Topologia Alg´ebrica, tamb´em temos definido uma sequˆencia de Mayer-Vietoris na teoria de Cohomologia Local.
Proposi¸c˜ao 1.9 Sejama,bideais deRe E umR-m´odulo injetivo. Ent˜ao
Γa∩b(E) = Γa(E) + Γb(E).
Demonstra¸c˜ao. A inclus˜ao (⊇) segue da Propriedade 3 do funtor tor¸c˜ao (seb⊆a, ent˜ao Γa(M)⊆
1.2. SEQU ˆENCIA DE MAYER-VIETORIS 11
Vamos provar a inclus˜ao (⊆). Sejam∈Γa∩b(E). Assim, existe n∈N0tal que a∩b
n
m= 0. Pelo Lema de Artin-Rees (Teorema 8.5 [1], comM =ReN =bn), existen0∈N0 tal que
ap∩bn =apR ∩bn=ap−n0 bn∩an0R
⊆ap−n0bn
para todop > n0. Escolhendo p= n+n0, obtemos que ap∩bp ⊆ap∩bn ⊆ anbn ⊆ (a∩b)n.
Portanto, (ap∩bp)m= 0.
Definamos os seguintesR-homomorfismos:
1. ε:R/(ap∩bp) //R/ap
⊕ R/bp, com ε(r+ap∩bp) = (r+ap, r+bp). Note que ε ´e injetivo.
2. h:R/(ap∩bp) //E, com h(r+ap
∩bp) = rm. Note que h est´a bem definida (pois (ap∩bp)m= 0).
Agora, considere o seguinte diagrama
0 //R/(ap∩bp) ε //
h
R/ap⊕ R/bp
∃l
v
v
(exata)
E
Desde queE´e umR-m´odulo injetivo, existe umR-homomorfismol:R/ap⊕ R/bp−→E tal que,
h=l◦ε. Definamos os seguintes elementos
u:=l(1 +ap,0), v:=l(0,1 +bp)∈E.
Para cadar∈ap, temos queru=l r(1 +ap),0
= 0. Logo,apu= 0 e assim,u∈Γa(E).
Analo-gamentev∈Γb(E). Por outro lado,m=h(1 +ap∩bp) =l◦ε(1 +ap∩bp) =l(1 +ap,1 +bp) = l(1 +ap,0) +l(0,1 +bp) =u+v∈Γa(E) + Γb(E).
Temos, portanto, as ferramentas necess´arias para constru¸c˜ao da sequˆencia de Mayer-Vietores.
Sejam a,bideais deR. Para cadaR-m´oduloM, definimos
µaM,b: Γa+b(M)−→Γa(M)⊕Γb(M)
m7−→(m, m).
Tamb´em definimos
νMa,b: Γa(M)⊕Γb(M)−→Γa∩b(M)
(m, n)7−→(m,−n).
Observa¸c˜ao 1.7 Note queµaM,b eνMa,b s˜ao duas transforma¸c˜oes naturais.
Propriedades.
1. Para cadaR-m´oduloM, temos a sequˆencia exata
0 //Γ
a+b(M)
µaM,b
/
/Γa(M)⊕Γb(M)
νMa,b
/
/Γa∩b(M).
2. SeE for umR-m´odulo injetivo, o homomorfismo
νEa,b : Γa(E)⊕Γb(E)−→Γa∩b(E)
Desta forma, temos que
∆a,b: Γa+b
µa,b
/
/Γa⊕Γb
νa,b
/
/Γa∩b
´e uma tr´ıade de funtores (Defini¸c˜ao A.10 do Apˆendice). Dados umR-m´oduloM e ((E•
M, d•M), eM) uma resolu¸c˜ao injetiva deM, temos uma sequˆencia de cohomologia exata longa
0 //R0Γ
a+b(M)
R0µa,b
M/
/R0(Γ
a⊕Γb)(M)
R0νa,b
M /
/R0Γ
a∩b(M)
δ0;∆a,b
M /
/R1Γ
a+b(M) //· · ·
associada `a ∆a,b. Al´em disto, lembrando que RnΓa(M) := Han(M) e do fato que existe uma
equivalˆencia natural (Observa¸c˜ao A.9 do Apˆendice)
ina,b :RnΓa⊕RnΓb→Rn(Γa⊕Γb),
temos, portanto, a seguinte sequˆencia exata longa
MV: 0 //H0
a+b(M)
µ0;a,b
M /
/H0
a(M)⊕Hb0(M)
ν0;a,b
M /
/H0
a∩b(M)
δ0,a,b
M /
/H1
a+b(M) //· · ·
Onde,
1. µnM;a,b:=Rnµa,b
M ◦(ina,b,M)−1.
2. νMn,a,b:=Rnνa,b
M ◦(ina,b,M).
3. δn,Ma,b:=δn,∆a,b
M .
A sequˆencia exata longaMV´e a sequˆencia de Mayer-Vietoris com respeito aos ideaisaebassociada aM.
Lema 1.10 Sejamr∈ ReM umR-m´odulo. Ent˜ao,Hi
(r)(M) = 0para todo i >1.
Demonstra¸c˜ao. SejamMr =S−1M, com S = {1, r, r2, ...} eη : M −→ Mr o homomorfismo natural. Note queKer(η) = Γ(r)(M) (m/1 = 0/1 se, e somente se, existern ∈Stal quernm= 0).
DefinamosM :=M/Γ(r)(M). Considere a seguinte sequˆencia exata
0 //M η //M
r π //Mr/η(M) //0,
onde η:M/Γ(r)(M) //Mr ´e definida por η
m+ Γ(r)(M)
= η(m). Desta forma, temos a seguinte sequˆencia exata induzida
H(i−r)1Mr/η(M)
/
/Hi
(r)(M) //H(ir)(Mr) //H(ir)
Mr/η(M)
para todoi >0. Note queMr/η(M) ´e de (r)-tor¸c˜ao
sejam/s∈Mr/η(M). Tomern =s. Logo
(m/s)rn=m/1 =η(m+ Γ
(r)(M)) = 0
. Pela Proposi¸c˜ao 1.5, temos que
H(i−r)1(Mr/η(M)) =H(ir)(Mr/η(M)) = 0para todo i >1.
Isto implica queHi
(r)(M)≃H(ir)(Mr) para todoi >0. Por outro lado, temos que (Corol´ario 1.3
(ii))Hi
(r)(M)≃H(ir)(M) para todoi >0. ´E suficiente mostrar queH(ir)(Mr) = 0 para todoi >1.
Note que o R-homomorfismo r:Mr −→Mr definido por r(m/s) = rm/s´e, na verdade, um
R-isomorfismo. Aplicando o funtorHi
(r)(−), temos quer:H(ir)(Mr)−→H(ir)(Mr) tamb´em ´e um
isomorfismo para todoi≥0. Logo, pela Observa¸c˜ao 1.2 (iii), temos queHi
(r)(Mr) = 0 para todo
1.3. FUNTOR DE COHOMOLOGIA LOCAL VIA EXT 13
Defini¸c˜ao 1.8 O posto aritm´etico de um ideal a´e definido como
ara(a) := inf{n∈N| ∃x1, x2, ..., xn∈ R;p(x1,x2, ...,xn) =√a }. Note que sea for gerado pornelementos, ent˜aoara(a)≤n. Assim,
1. ara(a)<∞
2. ara(a) = 0⇔√a=√0⇔a⊆√0.
Teorema 1.11 (Teorema do anulamento de Hartshorne) . SejamM umR-m´odulo eaum ideal deR. Ent˜ao, cda(M)6ara(a).
Demonstra¸c˜ao. Sejan=ara(a). Assim, existemx1, ..., xn∈ Rtais quep(x1, ...,xn) =√a. Como
(Propriedade 4 do funtor tor¸c˜ao) Γ(x1,...,xn)(−) = Γa(−)
mais ainda Hi
(x1,...,xn)(−)≃H
i
a(−)
, ´e necess´ario mostrar que sec= (x1, ...,xn), ent˜aoHci(M) = 0 para todoi > n.
Faremos a demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao sobre n. Se n = 1, o resultado segue do Lema 1.10. Sejam, agora, a = (x1, ...,xn) um ideal de R e M um R-m´odulo. Definamos b = (x1, ...,xn−1).
Desta formaa=b+ (xn). Considere a sequˆencia de Mayer-Vietoris com respeito aos ideaisbe (xn)
associada aM:
Hbi−∩1(xn)(M)
/
/Hi
a(M) //Hbi(M)⊕H(ixn)(M)
para todo i > 0. Note que p
b∩(xn) =
p
b(xn) =
p
(xnx1, ...,xnxn−1). Logo, Γb∩(xn)(−) =
Γ(xnx1,...,xnxn−1)(−).
Desta forma, temos:
1 . Hi
(xn)(M) = 0 para todoi >1. Lema 1.10.
2 . Hi
b(M) = 0, para todoi > n−1. Hip´otese de Indu¸c˜ao.
3 . Hi
b∩(xn)(M)≃H
i
(xnx1,...,xnxn−1)(M) = 0 para todoi > n−1. Hip´otese de Indu¸c˜ao.
Colocando estas informa¸c˜oes na sequˆencia exata acima, vemos queHi
a(M) = 0 para todoi > n.
1.3
Funtor de Cohomologia Local via Ext
Com algumas propriedades da ´algebra homol´ogica, podemos identificar o funtor de cohomologia localHi
a(−) com o funtor lim−→
n∈N
ExtiR(R/an,−). Sejam ReR′ aneis. Quando falarmos de funtor,
estaremos nos referindo aos funtores deMR paraMR′.
Defini¸c˜ao 1.9 Uma sequˆencia de funtores covariantes(Tn)n∈
N0 ´e uma sequˆencia negativa
relaci-onada (respectivamente, negativa fortemente relacirelaci-onada) se:
1. para toda sequˆencia exata de R-m´odulos
S: 0 //L f //M g //N //0,
existemR-homomorfismos
∆nS :Tn(N)→Tn+1(L)
tais que, a sequˆencia
0 //T0(L) T
0(f)
/
/T0(M) T
0(g)
/
/T0(N) ∆
0 S
/
/T1(L) T
1(f)
/
/T1(M)
T1(g)
/
/T1(N) ∆
1 S
/
/T2(L) T
2(f)
/
/T2(M) T
2(g)
/
/T2(N) ∆
2 S
/
/· · ·
2. Os mapas conectantes∆n s˜ao naturais, ou seja, se
S′: 0 //L′ //M′ //N′ //0
for outra sequˆencia exata deR-m´odulos tal que todos os diagramas
0 //L //
λ
M //
µ
N //
ν
0
0 //L′ //M′ //N′ //0
comutam, ent˜ao Tn+1(λ)
◦∆n
S = ∆nS′◦Tn(ν).
Diremos sequˆencia (respectivamente sequˆencia forte) para indicar sequˆencia negativa relacionada (respectivamente sequˆencia negativa fortemente relacionada).
Observa¸c˜ao 1.8 SeF :MR−→MR′ for um funtor covariante aditivo (F(f+g) =F(f)+′F(g),
onde f e g s˜ao morfismos), ent˜ao a sequˆencia de funtores derivados `a direita (RiF)i∈
N0 ´e uma
sequˆencia forte de funtores covariantes. Neste caso, identificamosR0F=F.
Defini¸c˜ao 1.10 Sejam (Ti)i∈
N e (Ui)i∈N duas sequˆencias de funtores covariantes de MR para
MR′. Um homomorfismo (respectivamente isomorfismo) Ψ : (Ti)i∈N −→ (Ui)i∈N de sequˆencias
´e uma fam´ılia Ψ = (ψi)i∈
N onde, para cada i∈ N, ψi :Ti −→ Ui ´e uma transforma¸c˜ao natural
(respectivamente equivalˆencia natural) de funtores tal que, a seguinte condi¸c˜ao ´e satisfeita:
Se 0−→L−→M −→N−→0for uma sequˆencia exata de R-m´odulos, ent˜ao o diagrama
Ti(N) //
ψi
N
Ti+1(L)
ψiL+1
Ui(N) //Ui+1(L)
comuta, para todoi∈N.
Lema 1.12 Sejam (Ti)i∈
N e (Ui)i∈N duas sequˆencias de funtores covariantes deMR paraMR′.
Seja ψ:T0
−→U0 uma equivalˆencia natural de funtores. Assuma que:
1. A sequˆencia(Ti)i∈
N´e forte.
2. A sequˆencia(Ui)i∈
N´e forte.
3. Ti(E) =Ui(E) = 0para todo i >0 e todoR-m´oduloE injetivo.
Ent˜ao, existe um isomorfismo de sequˆencias Ψ = (ψi)i∈
N: (Ti)i∈N−→(Ui)i∈N, ondeψ0=ψ.
Em particular, sejam F um funtor covariante, aditivo, exato `a esquerda de MR para MR′ e
(Ui)i∈
N uma sequˆencia de funtores deMR paraMR′ tais que:
1. Existe uma equivalˆencia naturalψ:U0
−→F.
2. Ui(E) = 0para todo i >0 e para todoR-m´odulo injetivoE.
Ent˜ao existe um isomorfismo de sequˆenciasΨ = (ψi)i∈
1.3. FUNTOR DE COHOMOLOGIA LOCAL VIA EXT 15
Demonstra¸c˜ao. DadoM umR-m´odulo. Considere a seguinte sequˆencia exata
0 //M f //E g //D //0
ondeE ´e umR-m´odulo injetivo (sempre existe pelo Lema A.1, Apˆendice). Por hip´otese,
0 //T0(M) T
0(f)
/ / ψ0 M ≃
T0(E) T
0(g)
/ / ψ0 E ≃
T0(D) ∆
0 T / / ψ0 D ≃
T1(M) T
1(f)
/ / ψ1 M
T1(E) T
1(g)
/
/T1(D) ∆
1
T /
/· · ·
0 //U0(M) U0(f)//U0(E) U0(g)//U0(D) ∆
0
U /
/U1(M) U1(f)//U1(E) U1(g)//U1(D) ∆
1
U /
/· · ·
Com linhas exatas (e com os dois primeiros quadrados comutando). Al´em disto, temos (por hip´otese) queTi(E) =Ui(E) = 0 para todoi >0. Assim, ∆0
T e ∆0U s˜ao ambas sobrejetivas. Definamosψ1
M :T1(M)−→U1(M) por,
ψM1 (m) := ∆0U◦ψ0D(m′)
ondem′∈(∆0
T)−1(m) qualquer (imagem inversa dempor ∆0T). Note que:
(a) . ψ1
M est´a bem definida.
Sejam m1, m2 ∈ (∆0T)−1(m). Logo ∆0T(m1) = ∆0T(m2) e, assim, m1 −m2 = T0(g)(α) com
α∈T0(E). Portanto,
∆0U
ψD0(m1−m2)
= ∆0U
ψ0D◦T0(g)(α)
= ∆0U
U0(g)◦ψE0(α)
=∆0U◦U0(g)
ψ0E(α)
= 0.
(b) . ψ1
M ´e sobrejetor.
Sejan∈U1(M). Logo existen′∈U0(D) tal que, ∆0U(n′) =n. ComoψD0 ´e um isomorfismo, existe
m′
∈T0(D) tal que, ψ0
D(m′) =n′. Considerem= ∆T0(m′)∈T1(M). Assim,
ψM1 (m) = ∆0U◦ψD0(m′) = ∆0U(n′) =n.
(c) . ψ1
M ´e injetor.
Sejam∈T1(M) tal queψ1
M(m) = ∆0U◦ψ0D(m′) = 0, ondem′∈(∆0T)−1(m). Assim, ψ0
D(m′) =U0(g)(α) com α∈U0(E). Aplicando a fun¸c˜ao (ψ0D)−1 nesta ´ultima igual-dade, temos que m′ = (ψ0
D)−1 ◦U0(g)
(α) = T0(g)◦(ψ0
E)−1
(α). Portanto, ∆0
T(m′) =
∆0
T
T0(g)◦(ψ0
E)−1
(α)
=∆0
T ◦T0(g)
(ψ0
E)−1(α)
= 0.
Logom= ∆0
T(m′) = 0. N˜ao ´e dificil ver queψ1M ´e umR-homomorfismo.
(d) .ψ1
(−)define uma equivalˆencia natural. Isto tamb´em mostra que a defini¸c˜ao deψ1M independe do mergulho injetivo.
Sejam h : M −→ N um R-homomorfismo (no caso do mergulho injetivo, tome h = IdM a identidade deM),
0 //M f //E g //D //0
uma sequˆencia exata, ondeE´e umR-m´odulo injetivo e
0 //N f
′
/
/E′ g
′
/
uma sequˆencia exata, ondeE′ ´e umR-m´odulo injetivo. Considere o seguinte diagrama
0 //M f //
h
E g //
h1
D //
h2
0
0 //N f
′
/
/E′ g
′
/
/D′ //0
(ondeh1:E−→E′ existe poisE′´e injetivo. A defini¸c˜ao deh2:D−→D′ ´e semelhante a deψM1 ) comutativo. Queremos saber se o seguinte diagrama
T1(M) T
1
(h)
/ / ψ1 M
T1(N)
ψ1
N
U1(M) U
1(h)
/
/U1(N)
comuta. Considere o seguinte diagrama tridimensional
T0(E) T0(D) T1(M) 0
T0(E′) T0(D′) T1(N) 0
U0(E) U0(D) U1(M) 0
U0(E′) U0(D′) U1(N) 0
✲
T0(g)
◗ ◗ s
T0(h1)
❄ ψ0 E ◗ ◗ s
T0(h2)
✲ ∆0 T ,M ◗ ◗ s
T1(h)
✲
✲
T0(g′
) ❄ ψ0 E′ ❄ ψ0 D ❄ ψ0 D′ ✲ ∆0 T ,N ❄ ψ1 M ❄
ψ1N
✲
◗ ◗ s
U0(h1)
✲
U0(g)
◗ ◗ s
U0(h2)
✲
∆0U,M
◗ ◗ s
U1(h)
✲
✲
U0(g′
)
✲
∆0U,N
✲
Note que:
1 . T1(h)
◦∆0
T,M = ∆0T,N ◦T0(h2), pois (Ti)i∈N´e uma sequˆencia forte.
2 . ψ1
M◦∆0T,M = ∆0U,M◦ψD0, pela defini¸c˜ao deψM1 .
3 . ψ0
D′◦T0(h2) =U0(h2)◦ψD0, poisψ0=ψ´e uma equivalˆencia natural.
4 . ψ1
N◦∆0T,N = ∆0U,N◦ψD0′, pela defini¸c˜ao deψN1.
5 . U1(h)◦∆0
U,M = ∆0U,N ◦U0(h2), pois (Ui)i∈N´e uma sequˆencia forte.
Aplicandoψ1
N em 1, temos
ψN1 ◦T1(h)
◦∆0T,M =ψN1
T1(h)◦∆0T,M
=1ψ1N
∆0T,N◦T0(h2)
=ψ1N◦∆0T,N
◦T0(h2)
=4∆0U,N◦ψD0′
◦T0(h2) = ∆0U,N◦
ψD0′◦T0(h2)
=3∆0U,N◦
U0(h2)◦ψD0
=∆0U,N◦U0(h2)
◦ψ0D
=5U1(h)
◦∆0
U,M
◦ψ0
D=U1(h)◦
∆0
U,M◦ψD0
=2U1(h)
◦ψ1
M◦∆0T,M
=U1(h)
◦ψ1
M
◦∆0
T,M
Logo, ψ1
N ◦T1(h)
◦∆0
T,M =
U1(h)◦ ψ1
M
◦∆0
T,M. Como ∆0T,M ´e sobrejetor, segue que
ψ1
N ◦T1(h) =U1(h)◦ψM1 .
O restante da demonstra¸c˜ao segue por indu¸c˜ao sobre n(Este n´umeron´e o que aparece como ´ındice emψn
1.3. FUNTOR DE COHOMOLOGIA LOCAL VIA EXT 17
Observa¸c˜ao 1.9 Seja ϕ= (bα)α∈Λ uma fam´ılia inversa de ideais deRsobre Λ.
Sempre que S : 0 −→L −→ M −→ N −→0 for uma sequˆencia exata de R-m´odulos, existe um homomorfismo induzido
∆iS:ExtiR(R/bα, N)−→ExtiR+1(R/bα, L) (i∈N0)
para cadaα∈Λ, tal que a seguinte sequˆencia longa
0 //HomR(R/b
α, L) //HomR(R/bα, M) //HomR(R/bα, N)
∆1S
/
/Ext1
R(R/bα, L) //Ext1R(R/bα, M) //Ext1R(R/bα, N)
· · ·
∆i−1 S
/
/Exti
R(R/bα, L) //ExtiR(R/bα, M) //ExtiR(R/bα, N)
∆i
S
/
/ExtiR+1(R/bα, L) //ExtiR+1(R/bα, M) //ExtRi+1(R/bα, N)
· · · ´e exata. Al´em disto, os homomorfismos∆i
Ss˜ao tais que, para cadaα, β∈Λcomα≥β, o diagrama
Exti
R(R/bβ, N) //
ExtiR(hα
β,N)
ExtiR+1(R/bβ, L)
ExtiR(hα
β,L)
Exti
R(R/bα, N) //ExtiR+1(R/bβ, L)
comuta, onde hα
β :R/bα−→ R/bβ ´e o homomorfismo natural, para cada i∈N0. Segue que estes
diagramas induzem umR-homomorfismo
lim−→
α∈Λ
ExtiR(R/bα, N)−→ lim−→
α∈Λ
ExtiR+1(R/bα, L)
para cadai∈N0. Como o limite direto ´e um funtor exato, temos que a seguinte sequˆencia longa
0 // lim
−→
α∈Λ
HomR(R/bα, L) // lim−→
α∈Λ
HomR(R/bα, M) // lim−→
α∈Λ
HomR(R/bα, N)
/
/ lim−→
α∈Λ
Ext1R(R/bα, L) // lim−→
α∈Λ
Ext1R(R/bα, M) // lim−→
α∈Λ
Ext1R(R/bα, N)
· · · ´e exata. Seja o diagrama deR-homomorfismos
0 //L //
λ
M //
µ
N //
ν
0
0 //L′ //M′ //N′ //0
for comutativo, com linhas exatas. Ent˜ao, para todo α∈Λ, o seguinte diagrama
Exti
R(R/bα, N) //
ExtiR(R/
bα,ν)
ExtiR+1(R/bα, L)
ExtiR(R/b
α,λ)
Exti
comuta para cadai∈N0. Desta forma,
lim−→
α∈Λ
ExtiR(R/bα, N) //
lim−→
α∈Λ
Exti
R(R/bα, ν)
lim−→
α∈Λ
ExtiR+1(R/bα, L)
lim−→
α∈Λ
ExtiR(R/bα, λ)
lim−→
α∈Λ
ExtiR(R/bα, N′) // lim−→
α∈Λ
ExtiR+1(R/bα, L′)
tamb´em comuta para todoi∈N0. Finalmente temos que
lim−→
α∈Λ
ExtiR(R/bα,−)
i∈N0
´e uma sequˆencia forte de funtores covariantes de MR para MR. Podemos concluir, com um
racioc´ınio semelhante, que
lim−→
n∈N
ExtiR(an,−)
i∈N0
tamb´em ´e uma sequˆencia forte de funtores covariantes deMR paraMR.
Proposi¸c˜ao 1.13 Seϕ= (bα)α∈Λ for um sistema inverso de ideais, ent˜ao existe um isomorfismo
de sequˆencias fortes
Φ = (Φi)i∈
N0 :
lim−→
α∈Λ
Exti
R(R/bα,−)
i∈N0
−→
RiΓϕ
i∈N0
para o qual,Φ0=φ′
ϕ ´e a equivalˆencia natural da Proposi¸c˜ao 1.1. Em particular, se ϕ= (an)n∈N,
temos que existe um isomorfismo de sequˆencias fortes
Φa= (Φia)i∈N0 :
lim−→
n∈N
ExtiR(R/an,−)
i∈N0
−→
Hai
i∈N0
para o qualΦ0=φa.
Demonstra¸c˜ao. Lema 1.12.
1.4
Ideal Transforma¸
c˜
ao
Nesta se¸c˜ao definimos um novo funtor Da(−) := lim−→
n∈N
HomR(an,−). Veremos que este funtor
estabelece uma rela¸c˜ao com os funtores Γa(−) e Ha1(−). Para ser mais preciso, dados M um R-m´odulo ea um ideal deR, temos que a seguinte sequˆencia
0−→Γa(M)−→M −→Da(M)−→Ha1(M)−→0
´e exata.
Defini¸c˜ao 1.11 O funtor
Da(−) := lim−→
n∈N
HomR(an,−)
´e o funtor a-transforma¸c˜ao (exato `a esquerda e R-linear). Para cada R-m´odulo M, dizemos que Da(M) = lim−→
n∈N
HomR(an, M) ´e o ideal transforma¸c˜ao de M com respeito a a, ou ainda, a
1.4. IDEAL TRANSFORMAC¸ ˜AO 19
Proposi¸c˜ao 1.14 Para cada i ∈ N0, temos que RiDa ´e o i-´esimo funtor derivado ´a direita do
funtorDa. Existe um ismorfismo de sequˆencias fortes
Ψa= (Ψia)i∈N0 :
lim−→
n∈N
ExtiR(an,−)
i∈N
−→
RiDa(−)
i∈N0
ondeΨ0 ´e a equivalˆencia natural do Exemplo 1.2.
Demonstra¸c˜ao. Lema 1.12.
Proposi¸c˜ao 1.15 Seja M um R-m´odulo. Para cada n∈ N, considere o homomorfismo natural πM
n :HomR(an,R)−→Da(R).
(i). Sejamn, p∈Nef ∈HomR(an,R)eg∈HomR(ap,R). Observe quef |an+p levaan+p em
ap. Ent˜ao, g◦(f |an+p) =f◦(g|an+p).
(ii). Existe uma opera¸c˜ao bin´aria ∗ em Da(R) a qual ´e tal que, para cada f ∈ HomR(an) e
g∈HomR(ap,R),
πR
n(f)∗πRp(g) =πnR+p(g◦(f |an+p));
Al´em disso, Da(R) ´e um anel comutativo com identidade (soma como R-m´odulo e multi-plica¸c˜ao∗).
(iii). Da(M) tem estrutura de Da(R)-m´odulo tal que, para n, p ∈N e paraf ∈HomR(an,R) e
h∈HomR(ap, M),
πR
n(f).πMp (h) :=πnM+p(h◦(f |an+p)).
(iv). Da ´e um funtor aditivo, exato `a esquerda, covariante de MR paraMDa(R). Ent˜ao todos os
RiDa (i
∈N0) podem ser considerados como funtores aditivos deMR paraMDa(R).
Demonstra¸c˜ao. (i). Note queg◦f(an+p) =g◦f(anap) =g(f(anap)) =g(apf(an)) =f(an)g(ap) =f(ang(ap)) =f(g(anap)) =f◦g(anap) =f ◦g(an+p).
(ii). Sejam f ∈ HomR(an,R) e f′
∈ HomR(an′,R) com f ∼f′, g
∈ HomR(ap,R) e g′
∈ HomR(ap′,R)comg∼g′.
Assim, existen0≥n, n′ e existep0≥p, p′ tais que
πn0,nR (f) =πn0,nR ′(f′) e πR
p0,p(g) =πp0,pR ′(g′),
onde (n≥p)πR
n,p:HomR(ap,R)−→HomR(an,R) ´e definida porπn,pR (f) =f⌈an (restri¸c˜ao).
Como f⌈an0= f′⌈an0 e g⌈am0= g⌈am0, temos que f ◦g⌈an0 +m0= f′ ◦ g′⌈an0 +m0. Ou seja,
πR
n0+m0,m0(f◦g) =πRn0+m0,m0(f′◦g′). Note que 1Da(R)=π
R
1 (i), ondei:a−→ R´e a inclus˜ao.
(iii). Os argumentos s˜ao semelhantes aos do item (ii).
Proposi¸c˜ao 1.16 1. Existem transforma¸c˜oes naturais
ξ(=ξa) : Γa−→Id, η(=ηa) :Id−→Da, ζ(=ζa) :Da−→Ha1
tais que, para cada R-m´oduloM,
(i). ξM : Γa(M)−→M ´e o mapa inclus˜ao.
(ii). Para cadam ∈ M, ηM(m) ´e a imagem natural em Da(M) do homomorfismo fn,m ∈
HomR(an, M)dada porfn,m(r) =rmpara todo r∈an (para qualquern∈N). (iii). A sequˆencia
0 //Γ
a(M)
ξM /
/M ηM //Da(M) ζM /
/H1
a(M) //0
2. Considerei∈N(fixo). SejaM umR-m´odulo. Para cadan∈No homomorfismo conectante βi
n.M : ExtiR(an, M) −→ Ext
i+1
R (R/an, M)´e um isomorfismo, e a passagem para o limite
direto produz umR-isomorfismo
βMi : lim−→
n∈N
ExtiR(an, M)−→lim−→
n∈N
ExtiR+1(R/an, M).
Definimos γi
M :RiDa(M)−→ Hai(M) porγMi := Φ
i+1
a,M ◦βiM ◦
Ψi
a,M
−1
, onde Φi+1
a e Ψia s˜ao as equivalˆencias naturais da Proposi¸c˜ao 1.13 e da Proposi¸c˜ao 1.14, respectivamente (Ou seja,γi:RiDa−→Hi
a define uma equivalˆencia natural).
Demonstra¸c˜ao.(1) Sejam n, m ∈ N (com n ≥ m), in
m : an −→ am a inclus˜ao natural, hnm :
R/an −→ R/am o epimorfismo natural eM umR-m´odulo. O diagrama comutativo
0 //an //
in
m
R //
IdR
R/an //
hn
m
0
0 //am //R //R/am //0
com linhas exatas, induz o seguinte diagrama comutativo
0 //HomR(R/am, M) //
HomR(R, M) //
HomR(am, M) //
Ext1
R(R/am, M)· · ·
0 //HomR(R/an, M) //HomR(R, M) //HomR(an, M) //Ext1
R(R/an, M)· · ·
com linhas exatas (sequˆencias longas). Note que,
(a). Exti
R(R, M) = 0 para todoi >0 (R´e projetivo). LogoExtiR(an, M)≃ExtiR+1(R/an, M) para todoi >0 e para todon∈N.
(b). HomR(R, M)≃M.
Logo o seguinte diagrama
0 //HomR(R/am, M) //
M //
HomR(am, M) //
Ext1
R(R/am, M)
/
/0
0 //HomR(R/an, M) //M //HomR(an, M) //Ext1
R(R/an, M) //0
´e comutativo, com linhas exatas. Portanto, temos uma sequˆencia exata de sistemas diretos. Como:
(c). lim−→
n∈N
HomR(R/an,−)≃Γa(−) (Proposi¸c˜ao 1.1 (iii)).
(d). lim−→
n∈N
ExtiR(R/an,−)≃Hai(−) (Proposi¸c˜ao 1.13).
(e). lim−→
n∈N
HomR(an,−) :=Da(−).
Temos que a sequˆencia
0 //Γ
a(M)
ξM
/
/M ηM //Da(M) ζm //H1
1.4. IDEAL TRANSFORMAC¸ ˜AO 21
´e exata.
Os subitens (i) e (ii) do item 1, segue da unicidade do homomorfismo entre dois limites diretos. (2) Mostraremos que a aplica¸c˜ao βi
m,M :ExtiR(am, M)
≃ /
/ExtiR+1(R/am, M) define uma equivalˆencia natural comi >0. Sejam N outroR-m´odulo ef :M −→N umR-homomorfismo. Considere a sequˆencia exata 0 //am //R //R/am //0 .
Note que
∆ : HomR(R/am,−) //HomR(R,−) //HomR(am,
−)
define uma tr´ıade de funtores (Defini¸c˜ao A.10, Apˆendice). De fato, dado qualquer R-m´odulo injetivo, temos que
0 //HomR(R/am, E) //HomR(R, E) //HomR(am, E) //0
´e exato. Pela Observa¸c˜ao A.8 (Apˆendice), temos que o homomorfismo (isomorfismo) conectante
βi
m,−:ExtiR(am,−)
≃ /
/ExtiR+1(R/am,−) (∗)
define uma transforma¸c˜ao (equivalˆencia) natural.
Por outro lado, usando a naturalidade do homomorfismo conectante
βi
m,M:ExtiR(am, M)
≃ /
/ExtiR+1(R/am, M),
temos que o seguinte diagrama (n≥m)
Exti
R(am, M)
βi
m,M
≃ //
Exti
R(inm)
ExtiR+1(R/am, M)
Exti+1
R (h
n m,M)
(∗∗)
Exti
R(an, M)
βi
n,M
≃ //Ext
i+1
R (R/an, M)
comuta. Por (∗) e (∗∗), concluimos que βi: lim
−→
n∈N
ExtiR(an,−) ≃ /
/lim−→
n∈N
ExtiR+1(R/an,−) ´e uma
equivalˆencia natural.
Corol´ario 1.6 Seja M umR-m´odulo, n˜ao necessariamente finitamente gerado. Suponhamos que grauM(a)≥2. Ent˜ao
ηM :M −→Da(M)
´e um isomorfismo.
Demonstra¸c˜ao. Pela Proposi¸c˜ao 1.6, temos que H1
a(M) = Γa(M) = 0. O resultado segue da
Proposi¸c˜ao 1.16 1 (iii).
Corol´ario 1.7 Seja M umR-m´odulo. Considereπ:M →M/Γa(M)a proje¸c˜ao natural, ent˜ao: (i). Da(Γa(M)) = 0. Mais geralmente, seN for umR-m´odulo dea-tor¸c˜ao, ent˜ao Da(N) = 0.
(ii). Da(π) :Da(M)−→Da(M/Γa(M))´e um isomorfismo.
(iii). Da(ηM) :Da(M)−→Da(Da(M))´e um isomorfismo.
