Universidade Federal de Viçosa

Universidade Federal de Vi¸cosa

Departamento de Matem´

atica

Lista de Taxas Relacionadas - MAT 140 - ´Impares entre 9 e 23

9 - Uma pessoa que solta um papagaio(uma pipa) segura a corda a 1,5m do solo. A corda ´e liberada a raz˜ao de 0.6 m/s na medida em que o papagaio(a pipa) se move horizontalmente a uma altura de 33,5m. Supondo que a corda fique sempre tensa, determine a taxa na qual o papagaio(a pipa) est´a se movendo no instante em que foram liberados 38m de corda.

Resolu¸c˜ao: Vamos inicialmente identificar os dados do problema (essa ´e a primeira coisa a se fazer em exerc´ıcios de taxas relacionadas). Foram dados a distˆancia entre o in´ıcio da corda (na m˜ao da pessoa) e o ch˜ao que ´e de 1,5m. A distˆancia entre a pipa e o ch˜ao que ´e de 33,5m e tamb´em a varia¸c˜ao no tempo com que a corda ´e liberada da mao da pessoa, que ´e 0,6m/s e se pede a varia¸c˜ao do movimento horizontal da pipa, no tempo.

Como vimos, a segunda parte em resolver problemas de taxas consiste em modelar o problema ”geometricamente” a partir dos dados informados. O modelo geom´etrico aqui, ´e compat´ıvel com um triˆangulo retˆangulo. Vamos denotar por z a fun¸c˜ao que nos d´a a cada tempo t o tamanho de corda entre a mao da pessoa e a pipa (seria a hipotenusa do nosso triˆangulo) e desse modo a frase ”A corda ´e liberada a raz˜ao de 0.6 m/s” ´e descrita como dz

dt = 0, 6m/s. Por x a fun¸c˜ao que nos d´a a cada tempo t a distˆancia entre a pessoa e a proje¸c˜ao vertical da pipa no ch˜ao (ser´a o cateto adjacente do nosso triaˆangulo) — Perceba que ao movimentar-se horizontalmente, estamos variando ”o x no tempo t”, logo estamos interessados em calcular dx

dt, quando z = 38 — O cateto oposto do nosso triˆangulo ser´a (33,5-1,5)m = 32m.

Por Pit´agoras segue que z2 _{= x}2 _{+ y}2_{. E aqui que vamos derivar em rela¸c˜´ ao ao tempo t,}

observando que estamos supondo apenas as varia¸c˜oes de z e x no tempo t enquanto que y que ´e a altura da pipa est´a constante. Logo, dy

dt = 0.

Derivando a igualdade z2 = x2+ y2 (implicitamente) em termos de t, temos:

2zdz dt = 2x dx dt + 2y.0 = 2x dx dt Quando z = 38m devemos saber quanto vale x. Temos,

382 = x2+ 322 ⇒ x =√382_{− 32}2 _{= 2}√₂₁₀

Assim, podemos substituir os valores de dz

dt = 0, 6m/s, z = 38m e x = 2 √ 210 na equa¸c˜ao 2zdz dt = 2x dx dt, donde dz dt = 2√210m 38.(0, 6)m2_/s = 5√210 57 m/s

11 - Considere um avi˜ao em voo horizontal, a uma altura h em rela¸c˜ao ao solo, com velocidade constante v afastando-se de um observador A que se encontra em terra firme. Seja θ a eleva¸c˜ao angular do avi˜ao, em rela¸c˜ao ao solo, a partir do observador. Determine em fun¸c˜ao de θ a taxa de variacao de θ em rela¸c˜ao ao tempo.

Resolu¸c˜ao: Inicialmente, quais s˜ao os dados do problema? Temos a altura h do avi˜ao que voa horizontalmente com velocidade constante (lembre-se que velocidade ´e a varia¸c˜ao de espa¸co no tempo) e tamb´em o ˆangulo θ que ´e a eleva¸c˜ao angular do avi˜ao em rela¸c˜ao ao solo, a partir do observador. Vamos modelar o problema. Novamente, o problema sugere um modelo triangular, onde o cateto oposto ao ˆangulo θ ´e h e podemos definir como x a distancia entre a proje¸c˜ao vertical do avi˜ao e o observador. Vamos orientar nossa positividade para a direita e para cima. Nesses moldes, os dados s˜ao reescritos como: h, dx

dt = −v (pois como no nosso desenho, o avi˜ao est´a indo para a esquerda do observador, que ´e o sentido negativo do nosso referencial) e queremos encontrar

dθ

A pergunta chave: a deriva¸c˜ao implicita ser´a feita em qual igualdade envolvendo as fun¸c˜oes dependentes do tempo t (θ(t) e x(t))?

Podemos usar que tan(θ) = h

x e derivando implicitamente, temos

sec2(θ)dθ dt = − h x2 dx dt

Observe que na deriva¸c˜ao acima, foi usado que o h ´e constante pois n˜ao estamos variando a altura do avi˜ao, apenas seu movimento horizontal e angular em rela¸c˜ao ao observador. Ent˜ao substituindo

dx dt = −v, segue que sec2(θ)dθ dt = − h x2 dx dt = vh x2 . Mas x = h

tan(θ). Substituindo esse x em sec

2_(θ)dθ

dt = vh

x2 e passando o sec

2_{(θ) dividindo para}

o lado direito, se tem que

dθ dt = vh x2 1 sec2_(θ) = tan2(θ)v hsec2_(θ).

13 - Num instante de tempo dado o comprimento de um cateto de um triˆangulo retˆangulo ´e de 10m e esta aumentando a uma raz˜ao de 1m/s, enquanto o outro cateto tem comprimento de 12m,e diminui a raz˜ao de 2m/s. Determine a taxa de varia¸c˜ao em relac˜ao ao tempo do ˆangulo oposto ao cateto que nesse instante mede 12m.

Resolu¸c˜ao: Foram dados os comprimentos dos catetos de um triˆangulo retˆangulo num deter-minado momento de tempo t e bem como as varia¸c˜oes de crescimento ou descrescimento no tempo de cada um. Modelando como na figura, e orientando a positividadoe no nosso referencial para a direita e para cima, nossos dados se tornam: 12m de cateto oposto a um ˆangulo θ (ˆangulo este que varia com o tempo t), 10m de cateto adjacente e sendo y e x as fun¸c˜oes que nos d˜ao os valores dos catetos oposto e adjacente respectivamente, conforme o tempo t vai passando, temos dx

dt = 1m/s e dy

dt = −2m/s.

Podemos usar a equa¸c˜ao tan(θ) = y

x para modelar nosso problema. Derivando implicitamente, temos sec2(θ)dθ dt = x.dy dt − y. dx dt x2

Como sec2_{(θ) = 1 + tan}2_{(θ) = 1 +} y 2

x2 =

x2_{+ y}2

x2 . Da´ı, substituindo sec

2_{(θ) em} dθ dt = x. dy dt − y. dx dt x2  1 sec2_(θ) Temos, dθ dt =  x2 x2_{+ y}2 x. dy dt − y. dx dt x2 

E agora, jogando os dados x = 10m,y = 12m,dx

dt = 1m/s e dy

dt = −2m/s ´e possivel calcular o que quer´ıamos que era dθ

dtrad/s [Lembre-se que usamos rad/s para unidade de medida angular.]

15 - Um cabo de 48m de comprimento passa por uma polia que esta a 23m do ch˜ao. Num dos extremos ´e fixado um corpo, o outro extremo ´e mantido a 5m do ch˜ao por um homem que se afasta da vertical da polia a 5m/s. Qual a rapidez de eleva¸c˜ao do corpo quando o homem se encontra a 24m da vertical que cont´em a polia.

Resolu¸c˜ao: Foram dados o comprimento da corda(48m), a altura da polia(23m), a distˆancia da corda na m˜ao do homem at´e o solo (5m) e a velocidade (lembre-se, velocidade ´e espa¸co por tempo(t) percorrido) com que o homem se movimenta (5m/s).

Nosso modelo tem um triˆangulo retˆangulo como caracteriza¸c˜ao geometrica. Seja y descrevendo a altura do corpo, x o movimento horizontal do homem.

Desse modo,a velocidade com que o homem se movimenta ´e dada por dx

dt = 5m/s enquanto que o que queremos encontrar(a rapidez de eleva¸c˜ao do corpo quando o homem se encontra a 24m da vertical que cont´em a polia) ´e dado por dy

homem n˜ao est´a parado, puxando a cabo. Logo dz dt = 0

Por P´ıtagoras, segue que z2 = x2+ y2 e derivando em termos de t, temos

2zdz dt = 2x dx dt + 2y dy dt ⇒ 0 = 2x dx dt + 2y dy dt ⇒ dy dt = − x y dx dt

Como y = 18m e x = 24m, resulta que dy dt = −

24m

18m5m/s = − 20

3 m/s

17 - Uma roda gira de tal modo que o ˆangulo de giro ´e proporcional ao quadrado do tempo. A primeira volta foi feita em 8s. Determinar a velocidade angular ω depois de 32s de iniciado o movimento

Resolu¸c˜ao:

Seja θ o ˆangulo de giro. Inicialmente perceba que θ varia conforme o tempo t, sendo assim podemos escrever θ como uma fun¸c˜ao, ou seja, θ(t). Ser proporcional ao quadrado do tempo, significa que existe um n´umero k, de modo que θ(t) = kt2, onde t denota o tempo. Se para dar uma volta completa (2πrad) foram gastos 8 segundos, ent˜ao a constante k pode ser determinada da seguinte forma:

θ(8s) = k(8s)2 ⇒ k = π 32rad/s

2

Queremos saber a velocidade ˆangular ω. Lembremos que a velocidade ˆangular ´e dada por ω = dθ

dt. Derivando a equa¸c˜ao θ(t) = kt

2 _{em termos de t temos:}

dθ

Substituindo os valores de t = 32s e k = π 32rad/s 2 _{segue que:} dθ dt = π 322.32s.rad/s 2 _⇒ dθ dt = 2πrad/s

19 - As arestas de um tetraedro regular medem 10 cm e crescem a uma raz˜ao de 0,1cm/min. Qual a taxa de varia¸c˜ao do seu volume?

Resolu¸c˜ao:

Foram dados a medida dos lados do tretrad´edro regular que ´e de 10cm (o tetraedro regular tem 6 arestas congruentes e 4 faces congruentes, logo, todas suas arestas tem o mesmo valor) e a taxa de varia¸c˜ao que elas crescem, que ´e de 0,1cm/min. Seja x denominando o crescimento de

cada aresta no tempo t. O volume de um tetraedro ´e dado por Vtetraedroregular =

a3√₂

12 , onde a ´e denota as arestas deste tetraedro. Perceba que o volume depende do tempo, assim como o pr´oprio x. Derivando-a, temos dVtetraedroregular dt = 3x2√2 12 dx dt Substituindo os valores dados, temos

21 - A um reservat´orio semiesf´erico de raio 10m est´a sendo bombeada ´agua a uma taxa constante de 4,3 m3_{/min. Qual a velocidade com a qual o n´ıvel da ´agua sobe quando}

a profundidade ´e de 5m ?

Resolu¸c˜ao:Esse exerc´ıcio ´e bem parecido com o que veremos a seguir, o de n´umero 23. Foram nos informado o formato do reservat´orio, o raio da ”tampa” do reservat´orio(ele ´e semiesf´erico, ou seja, metade de um esfera) que ´e de 10m, o n´ıvel de ´agua suposto que ´e de 5m e que diminui a uma taxa constante de 4,3 m3/min. Isso nada mais ´e do que uma varia¸c˜ao de volume no tempo. Ou seja, dV

dt = 4, 3m

3_/min.

´

E justamente o volume V que vamos usar para encontrar a equa¸c˜ao que precisamos para derivar implicitamente em termos do tempo t.

Seja y a altura da ´agua dentro do reservat´orio. Estamos querendo saber quanto ´e dy

dt, quando y ´e 5m.

Por se tratar de uma figura geometrica semiesf´erica vamos usar na modelagem a metade do volume de uma esfera.

Ou seja, V = 1 2 4 3πr 3 ₌ 2 3πr

3_{. Mas a princ´ıpio n˜ao sabemos como podemos escrever esse raio r}

em fun¸c˜ao de y. Por semelhan¸cade de triˆangulos temos: 10/y = 10/r. Donde y = r. Substituindo no lugar de r, o y da altura, temos:

dV dt = dV dy dy dt = 2πy 2dy dt .

Ao substituir agora os valores dados, dV

dt = 4, 3m 3_{/min e y = 5m. Tem-se,} 4, 3m3/min = dV dt = dV dy. dy dt = 2πy 2dy dt = 2π(5m) 2dy dt ⇒ dy dt = 4, 3m3/min 50πm2 = 4, 3 50πm/min

23 - Um reservat´orio esf´erico de raio 10m esta sendo esvaziado. Se n´ıvel da ´agua do reservat´orio est´a em 5m e est´a diminuindo a uma taxa constante de 3m3_{/s, como}

diminui o raio da superf´ıcie da ´agua?

Resolu¸c˜ao: Como j´a fizemos anteriormente, vamos reunir informa¸c˜oes sobre a situ¸c˜ao. Sabe-mos que por se tratar de uma figura geom´etrica esf´erica (formato do reservat´orio), devemos saber informa¸c˜oes sobre tal s´olido, em particular, nesse caso devemos saber seu volume, que ´e dado por Vesf era= V =

4 3πr

3_{, onde r ´e o raio da esfera. Perceba que ao esvaziar a esfera, o raio da superficie}

circular de ´agua contida na esfera, varia. Ou seja, para cada tempo t, temos um raio r diferente. Foram dados o raio da esfera r = 10m, o n´ıvel de ´agua que ´e de 5m e foi dada tamb´em a varia¸c˜ao de volume que diminui no tempo que ´e de 3m3_{/s, ou seja,} dV

dt = −3m

3_{/s(O sinal de negativo}

´

e advindo do fato do volume estar diminuindo). Queremos saber a que taxa diminui o raio da supericie no tempo. Ou seja, encontrar dr

dt.

J´a falamos que as taxas relacionadas s˜ao aplica¸c˜oes das derivadas implicitas. Nesse caso, nossa vari´avel implicita ´e o tempo t, e ao derivar a fun¸c˜ao volume, temos:

dV dt = dV dr dr dt.

Falta saber quem ´e esse dV

dr . Basta derivar a fun¸c˜ao volume em termos de r. Ou seja, dV

dr =  4

πr3 0