LISTA 2 DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA II
Prof. Rodrigo Neves
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
3.1 – INTRODUÇÃO
Uma estrutura algébrica consiste de um conjunto munido de uma ou mais operações internas. Podemos ter também estruturas formadas por dois conjuntos, cada um com suas operações internas e uma operação externa que liga os dois conjuntos.
O estudo das estruturas algébricas têm sua importância quando, a partir de conhecimento de suas características, é possível aplicar as mesmas operações e propriedades em conjuntos diferentes. É através das estruturas algébricas que o aluno pode falar em reta real usando as propriedades atribuídas aos números reais, bem como pode usar as mesmas regras quando se estuda matrizes, polinômios e vetores.
3.2 – AS ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
Definiremos abaixo, as estruturas algébricas conhecidas.
I – GRUPÓIDE – consiste no par (A, *) onde * é uma operação interna definida no conjunto A.
Exemplo 1: (Z, *), onde a * b = a – b (operação subtração).
Observe que (Z, -) é um grupóide com elemento neutro à direita sendo 0 esse elemento neutro pois a Z, a – 0 = a. Também, em (Z, -) todo elemento é inversível à direita, sendo cada elemento o seu próprio inverso ( a Z, a – a = 0).
II – SEMI-GRUPO – consiste em um grupóide associativo.
Exemplo 3: conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 definidas por aij
= mi + nj, com m e n inteiros munido da operação multiplicação.
Note que a matriz identidade não possui a forma definida para esse conjunto. A multiplicação dessas matrizes é associativa, não tem elemento neutro, não é comutativa.
Como não existe o elemento neutro, não se pode definir o inverso.
III – MONÓIDE – consiste em um semi-grupo com elemento neutro. Exemplo 4: Conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 munido da operação multiplicação. A multiplicação é associativa, tem elemento neutro (matriz identidade aij = 1 se i = j e aij = 0 se i j), não é comutativa
e nem todo elemento tem inverso (matrizes com determinante nulo não são inversíveis).
IV – MONÓIDE COMUTATIVO - consiste no par (A, *) onde a operação *, definida no conjunto A, é associativa, tem elemento neutro, não admite inverso e é comutativa.
Exemplo 5: conjunto N e a operação adição.
V – GRUPO – consiste no par (A, *) onde a operação *, definida no conjunto A, é associativa, tem elemento neutro, e todo elemento de A é inversível.
Exemplo 6: conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 e determinante diferente de zero, munido da operação multiplicação.
VI – GRUPO ABELIANO OU GRUPO COMUTATIVO - consiste em um grupo onde a operação * além das propriedades já descrita é também comutativa.
Exemplo 7: Conjunto Z e a operação adição.
VII – ANEL – a estrutura de anel é identificada quando um conjunto A admite duas operações internas. Indica-se (A, , *). Para a operação , o sistema consiste em um grupo abeliano e para a operação *, o sistema consiste em um semi-grupo.
Isto é:
(1) (A, ) é um par onde é associativa, tem elemento neutro, é inversível e comutativa
(2) (A, *) é um par onde * é associativa.
Além disso, deve-se verificar a distributividade de * em relação à .
Se * for comutativo, o anel é dito anel comutativo.
Exemplo 8: O conjunto das matrizes quadradas de ordem n, com as operações adição e multiplicação constitui um anel, não comutativo, com identidade.
VIII – CORPO – O sistema (A, , *) é um corpo se (A, ) e (A, *) forem ambos grupos abelianos e * for distributiva em relação a .
Exemplo 9: conjunto Q e as operações adição e multiplicação.
IX – ESPAÇO VETORIAL – para esta estrutura são necessários dois conjuntos A e B, nos quais são definidas as operações e * em A, em B além de uma operação externa .
Os elementos de A são denominados operadores e os elementos de B são denominados vetores. O conjunto A deve apresentar uma estrutura de corpo comutativo. O conjunto B deve apresentar uma estrutura (mínima) de grupo, podendo apresentar o elemento neutro e inversibilidade apenas à esquerda ou à direita.
Nesta condições dizemos que B é um espaço vetorial sobre o corpo A. Para constituir um espaço vetorial, além da estrutura de corpo comutativo para A e grupo para B, devem ser observadas as propriedades abaixo para a operação externa:
, , A e u, v, w B,
(1) (u) = ( * ) u (associatividade) (2) (uv) = (u) (v) (distributividade) (3) () u = (u) (u) (distributividade).
Exemplo 10:
A = R (conjunto dos reais) com as operações adição e multiplicação; B = {v R3 | v = (x, y, z)}.
A operação externa é a multiplicação de escalar por vetor.
Esta estrutura é denominada de espaço vetorial sobre o corpo dos reais.
EXERCÍCIOS
1 – Seja G = {a, b, c} e * uma operação definida no grupo G. Construa tabelas para a operação * que:
(a) (G, *) não seja um grupo.
(b) (G, *) seja um grupo não comutativo. (c) (G, *) seja um grupo comutativo.
(d) Para cada item acima, mostre as condições que satisfaçam aos pedidos.
2 – Construa as tabelas das classes de equivalência módulos 4 e 5 para as operações adição e multiplicação. Verifique se cada uma delas caracteriza ou não um grupo comutativo.
3 - Considere os conjuntos Un, n N formados pelas soluções complexas
da equação xn = 1.
Notas:
(I) as raízes dessa equação são as raízes de índice n da unidade. (II) expressando a unidade 1 por 1 = cos 360k + i.sen 360k, k N, as “n” raízes de xn = 1 serão dadas por z
k = cos (360ºk/n) + i.sen
(360ºk/n), fazendo k = 0, 1, 2, 3, ... n – 1.
(a) Construa então as tabelas para a multiplicação das raízes complexas da equação xn = 1, para n = 1, 2, 3 e 4.
(b) Verifique e informe se os Un, para n = 1, 2, 3 e 4 são ou não
grupos comutativos para a multiplicação.
4 – Informe se os conjuntos de classes residuais abaixo, com a operação multiplicação constituem ou não um grupo. Em caso positivo, construir a tabela operacional.
(a) Z7
(b) Z9
(c) Z12 – {0}
(d) Z7 – {0}
5 – Construa o conjunto P(A) para: (a) A = {1, 2}
6 – Construa a tabela das composições das permutações para A = {1, 2}
7 – Considere as permutações Pi(1, 2, 3, 4, 5) = (3, 1, 2, 5, 4) e Pj(1, 2, 3,
4, 5) = (1, 3, 5, 2, 4). Calcule PioPj(1, 2, 3, 4, 5).
8 – Sejam P1(1, 2, 3, 4, 5) = (3, 4, 2, 1, 5) e P2(1, 2, 3, 4, 5)=(4, 2, 5, 1, 3).
Calcule:
(a) P12 = P1oP1
(b) P22 o P1
(c) P2-1
(d) P2-1 o P12
9 – Verifique se o conjunto {P1, P2, P3}, onde P1(1, 2, 3) = (1, 2, 3), P2(1, 2,
3) = (2, 3, 1) e P3(1, 2, 3) = (3, 1, 2), munido da operação composição de
funções constitui ou não um grupo. Este grupo é ou não abeliano? Justifique.
10 - Prove que:
(a) Se x e y são elementos grupo (G, ) tais que x y = x, então y = n, sendo n o elemento
neutro do grupo G para a operação .
(b) O único elemento idempotente (an = a para todo a Z) de um
grupo é o elemento neutro.
11 - Considere definidas no conjunto G = (a, b, c, d) as operações apresentadas nas tabelas:
Informe, justificando, se alguma (ou ambas) das operações estabelece no conjunto G uma estrutura de grupo.
12 - Sejam a, b, c e x elementos de um grupo G com a operações definidas nas tabelas.
13 - Resolva cada uma das equações em relação a x. (obs. xn significa x
x x ... n vezes) (a) x b = c.
(b) x2 a = b x c-1 e a c x = x a c.
(c) x2 = a2
(d) x5 = n, onde n é o elemento neutro de G para a operação .
(e) (x a x)3 = b x
(f) x2 a = (x a)-1.
(g) x2 b = x a-1 c.
14 - Em cada uma dos itens a seguir, prove que a proposição é verdadeira para qualquer grupo (G, X) onde X é a operação multiplicação ou, caso contrário, dê um contra-exemplo mostrando que é falsa em pelo menos um grupo.
(a) Se x2 = 1, então x = 1;
(b) (ab)2 = a2b2;
a b c d * a b c d
a a b c d a d c b A
b b a d c b c a d B
c c d a b c b d a c
d d b c a d a b c d
a b c
a a b c
b b c a
(c) Para todo x G existe y G tal que x = y2 (isto é equivalente a
dizer que todo o elemento de G tem uma raiz quadrada); (d) Se x2 = a2, então x = a;
(e) Se x2 = x, então x = 1.
15 - Mostre que, em um grupo, (x-1yx)k = x-1yx yk = y, k > 0.
16-Seja G um grupo. Prove que as condições seguintes são equivalentes: (I) G é abeliano.
(II) a, b G, aba-1b-1 = n, onde n é o elemento neutro de G.
(III) a, b G, (ab)2 = a2b2.
17 - Sejam a e b elementos de um grupo tais que a2 = n e aba = b3. Prove
que b8 = n.
18 - Seja G o grupo cíclico de ordem 6 gerado por a. Considere os seguintes subgrupos de G: H = {n, a2, a4}, K = {n, a3} Indique os
elementos e escreva a tabela dos grupos quociente G/H e G/K.
19 - Considere o grupo cíclico G gerado por um elemento a de ordem 12. (a) Indique todos os subgrupos de G de ordem 6.
(b) Prove que H = {n, a4, a8} é um subgrupo de G.
(c) Decomponha G em classes laterais à direita segundo H.
20 - Escreva o subgrupo de Z12 gerado por 6 e 9.
21 - Mostre que Z2 X Z3 é um grupo cíclico.
22 - Seja G o grupo Z15 e H = <5> um subgrupo de G. Indique todas as
classes laterais de H. Para cada classe lateral indique os seus elementos.
23 - Seja H = {at | t Z} um grupo cíclico infinito. Determine um subgrupo
K de H tal que [H : K] = 7.
24 – Quais são os únicos subgrupos de (Z11, +). Justifique.
25 - Explique por quê, no anel M(2,R), não vale a fórmula (X + Y)2 = X2 +
2XY + Y2.
26 - Verifique se cada uma das estruturas algébricas (K, +, .) dadas abaixo é um corpo. [Não se esqueça de primeiramente verificar se as duas operações são definidas em K]
(a) K = {a + bp | a, b Q} sendo p um número primo positivo fixado, e + e . a adição e a multiplicação de números reais.
(b) R com as operações binárias e * definidas por: x y = x + y e x * y = 2xy.
(c) A = {(x, 1) R2 | x R} e as operações e * definidas por:
(x, 1) (y, 1) = (x + y, 1) e (x, 1)*(y, 1) = (xy, 1).
27 – Para cada um valores de m verifique se Zm (i) é um anel; (ii) é um
anel com unidade; (iii) é um anel comutativo com unidade; (iv) é um anel com divisor de zero; (v) é um corpo. No caso de existir divisor de zero, informe quais são divisores de zero.
(a) m = 2 (b) m = 4 (c) m = 5 (d) m = 6 (e) m = 7 (f) m = 8
28 – Seja o anel (Z12, +, .). Quais são os elementos inversíveis de Z12?
Quais são os divisores de zero de Z12?
29 – Dê as condições para que Zm tenha divisores de zero? Quais
elementos são divisores de zero?
30. Verifique se o conjunto indicado é um subanel do anel dado.
(a) O conjunto dos reais da forma a + b2, com a, b N em (R,+, .). (b) O conjunto dos complexos da forma a + bi, com a, b Z em (C, +, .).
(a) Mostre que, para todos x, y A, (x + y)2 = x2 + y2.
(b) Mostre que a função h : A A, tal que x x2, é um
endomorfismo de A.
32 - Liste os elementos inversíveis do anel (Zm, +, .), nos casos
(a) m = 32 (b) m = 36 (c) m = 53
33 - Mostre que, no anel (Z420, +, .), 17 e 121 são elementos inversíveis e
determine seus inversos.
34 - Liste os divisores de zero do anel (Zm, +, .) nos casos
(a) m = 36 (b) m = 53 (c) m = 100
35 - Joãozinho tentou inventar um conceito de mdc em Zm, da seguinte
forma: sendo a e b dois inteiros - pensou Joãozinho - e sendo a e b as suas classes de congruência, elementos de Zm, vou definir mdc(a, b)
como sendo a classe mdc (a, b). Através de um exemplo, mostre que o mdc de Joãozinho não está bem definido, ou seja, podemos ter inteiros a, b, a’ e b’, com a = a’, b = b’ e mdc (a, b) mdc (a’, b’). Em outras palavras mdc (a, b) não é definido de maneira única em função dos elementos a e b.
