MAT 5730 ´ Algebra Linear Exerc´ıcio Resolvido
SejaA a matriz complexa
2 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0
−1 0 2 0 0 0 0 1 0 2 0 0 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 1 −1
.
Encontre a forma racional R e a forma de Jordan J de A e encontre tamb´em matrizes invers´ıveis P e Q tais queP−1AP =J e Q−1AQ =R.
1. Encontrar o polinˆomio caracter´ıstico e o polinˆomio minimal de A.
Fazendo os c´alculos, vemos que pA(x) = (x−2)5(x−1) e mA(x) = (x−2)4(x−1).
(Vocˆe calcula o polinˆomio caracter´ıstico. Usa que o polinˆomio minimal tem as mesmas ra´ızes quepA(X), e asssim, s´o pode ser da forma mA(x) = (x−2)s(x−1),com 1≤s ≤5, e vˆe qual
´
e o de grau menor e dessa forma, que anula a matriz A.)
2. Seja T : C6 → C6 o operador linear tal que [T]can =A. Use o Teorema da Decom- posi¸c˜ao Prim´aria para escrever C6 como uma soma direta de subespa¸cos invari- antes sob T.
Pelo Teorema da Decomposi¸c˜ao Prim´aria temos que C6 =V1⊕V2, onde V1 =Ker(T −2I)4 e V2 = Ker(T +I). Al´em disso, pelo mesmo teorema, temos que se T1 =T|V1 e V2 = T|V2, ent˜aomT1(x) = (x−2)4 e mT2(x) = (x+ 1). Tamb´em sabemos que dimW1 = 5 e dimW2 = 1.
E f´´ acil ver queV2 ´e o autoespa¸co associado ao autovalor −1 e uma base para ele ´e constituida pelo vetor e6 = (0,0,0,0,0,1).
Para encontrarmos uma base para V1, primeiro calculamos (A−2I6)4 e assim, achamos uma base para Ker(T −2I)4. Obtivemos a seguinte base deV1: B1 ={w1, w2, w3, w4, w5}, onde w1 = (−6/10,1,0,0,0,0),
w2 = (−9/10,0,1,0,0,0), w3 = (−9/10,0,0,1,0,0), w4 = (27/10,0,0,0,1,0) e w5 = (−81/10,0,0,0,0,1).
3. Encontre a forma de Jordan da matriz A.
(a) Encontrar a forma de Jordan J de A
SejaN1 =T1−2I.Ent˜aoN1 ´e um operador linear nilpotente, com ´ındice de nilpotˆencia igual a 4 emV1, que ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao 5 (e 5 = 4 + 1). Logo, existe uma
base C deV1 tal que
[N1]C =
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
.
Assim, a matriz de T1 = N1+ 2I em rela¸c˜ao `a base C ´e
[T1]C =
2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2
.
Na base B =C∪ {e6} a matriz deT ´eJ que ´e a forma de Jordan de A (ou deT).
J =
2 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 −1
.
(b) Encontrar uma base B de C6 tal que [T]B =J.
A matriz
[N1]B1 =
−6/10 −9/10 −9/10 27/10 −81/10 6/10 9/10 9/10 −27/10 81/10
1 0 0 0 0
4/10 1/10 1/10 27/10 −81/10
0 0 0 1 −3
Queremos agora um vetor v ∈W1 tal que N13v 6= 0. Fazendo as contas vemos que w1 ´e um desses vetores, ou ent˜ao, o vetor u = 10w1 = (−6,10,0,0,0,0,0). Temos ent˜ao que os vetores u, N1u, N12u, N13u s˜ao LI. Esses vetores s˜ao respectivamente:
(−6,10,0,0,0,0,0),(0,−6,6,1,4,0),(0,0,0,−6,10,4) e (0,0,0,0,−6,−2).
Note agora que N1w2 =N1w3 e ent˜ao, w2−w3 = e3−e4 = (0,0,1,−1,0,0)∈ KerN1. Assim o conjunto de vetores
C={u, , N1u, N12u, N13u,(0,0,1,−1,0,0)}
´
e uma base de W1 na qual a matriz deN1 est´a na forma de Jordan. Assim,
[T1]C =
2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2
.
Agora, tomandoB =C∪ {e6}temos que [T]B =J e seP =IB,can, temos queP−1AP = J.
4. Encontre a forma racional da matriz A.
(a) Encontrar a forma racional R de A.
R =
0 0 0 0 16 0 1 0 0 0 −48 0 0 1 0 0 56 0 0 0 1 0 −32 0
0 0 0 1 9 0
0 0 0 0 0 2
,
poismA(x) =−16+48x−56x2+32x3−9x4+x5 =f1ef2 =x−2 epA(x) = mA(x)(x−2).
(b) Encontrar uma matriz Q tal que Q−1AQ=R.
Vamos achar uma base B de C6 tal que [T]B = R. Para isso, precisamos encontrar um vetor v1 tal que mT,v1(x) =mT(x). Tomandow∈V1 tal que (T −2I)4w6= 0 e somando a um autovetor de T associado ao autovalor −1, obtemos um tal v1. Pelas contas j´a feitas acima, para encontrar uma base de V1, vemos que w = (−6,10,0,0,0,0) serve e um autovetor associado a −1 ´e o vetor e6. Logo v1 = (−6,10,0,0,0,1) e uma base de Z(v1;T) ´e {v1, T v1, T2v1, T3v1, T4v1}.
Agora, pelas contas j´a feitas acima, observe que T (ou A) tem s´o 2 autovetores LI associados ao autovalor 2. Um deles ´e N13w1 = (T −2I)3(E1v1) = (0,0,0,0,−6,−2) ∈ Z(v1;T), onde E1 ´e a proje¸c˜ao do Teorema da Decomposi¸c˜ao Prim´aria. (Lembre-se, da demonstra¸c˜ao do Teorema da Decomposi¸c˜ao Prim´aria que a proje¸c˜aoE1 :V →V1 ´e um polinˆomio em T.)
O outro autovetor deT associado ao autovalor 2 ´ev2 = (0,0,1,−1,0,0).J´a que a forma racional deAtem que ser a matrizR do item (a), o vetorv2 ∈/ Z(v1;T) e (T−2I)v2 = 0.
Logo C6 =Z(v1;T)⊕Z(v2;T). Assim na base
B ={v1, T v1, T2v1, T3v1, T4v1} ∪ {v2} a matriz de T ´e R.
