Aula 12. Derivadas Parciais de f(x, y)

Aula 12

Derivadas Parciais de f(x, y)

Uma representa¸c˜ao geom´etrica de uma fun¸c˜aof(x, y) ´e o seu gr´afico, isto ´e, o conjunto das triplas da forma (x, y, z) = (x, y, f(x, y)), ou seja, a superf´ıcie dada pela equa¸c˜ao z =f(x, y). Veja a Figura 1 como ilustra¸c˜ao. Imagine que vocˆe esteja num ponto (x0, y0, f(x0, y0)) do gr´afico e come¸ca se movendo, dentro do gr´afico def(x, y). Qual a taxa com que vocˆe subiu/desceu? Depende da dire¸c˜ao que vocˆe seguiu! Nesta aula, vamos estudar estas taxas quando vocˆe segue 2 dire¸c˜oes espec´ıficas: a dire¸c˜ao dada pelo eixo doxe a dire¸c˜ao dada pelo eixo do y.

Figura 1: Representa¸c˜ao gr´afica do conjunto graf(f) ={(x, y, z)|z=f(x, y)}

Em c´alculo I, quando vocˆe estudou fun¸c˜oes de 1 vari´avelf(x), e o corres- pondente gr´afico dado pela curva planary=f(x), vocˆe apenas tinha a dire¸c˜ao do eixo do x. Se vocˆe, partindo de um ponto (x0, f(x0)) no gr´afico de f, se deslocar uma quantidade ∆xnessa dire¸c˜ao, vocˆe subiu/desceu com uma taxa

∆f

∆x =f(x0+ ∆x)−f(x0)

∆x .

Fazendo ∆x → 0 (e assumindo que o limite existe) vocˆe obt´em a ‘taxa de varia¸c˜ao instantˆanea’, ou seja, a derivada def no pontox0:

df

dx(x0) = lim

h→0

f(x₀+h)−f(x₀)

h .

Agora em c´alculo II vamos aplicar o mesmo procedimento para fun¸c˜oes com duas vari´aveis, considerando, separadamente, as 2 dire¸c˜oes dadas pelo eixo do xe pelo eixo do y. Fixemos um ponto (x0, y0).

dire¸c˜ao dex: andar na dire¸c˜ao de x´e o mesmo que fixar y = y0. Assim, definimos aderivada parcial de f relativamente `a vari´avel x, no ponto (x₀, y₀) por

∂f

∂x(x0, y0) = lim

h→0

f(x0+h, y0)−f(x0, y0)

h ,

sempre que este limite existir. Note que se trata de uma derivada de c´alculo 1, isto ´e, da derivada da fun¸c˜ao de1 vari´avelg(x) =f(x, y0), no pontox0: _dx^dg(x0).

Geometricamente: quando fixamosy =y0, no espa¸co tridimensional es- tamos intersetando o gr´afico de f(x, y) com o plano y = y0. Desta maneira obtemos uma curva (assim como em c´alculo I) cuja reta tangente no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) tem declive ^∂f_∂x(x0, y0). Veja a Figura 2.

Figura 2: Superf´ıciez=f(x, y) intersetada com o planoy=y0

Da mesma maneira temos:

dire¸c˜ao dey: andar na dire¸c˜ao de y ´e o mesmo que fixar x= x0. Assim, definimos aderivada parcial de f relativamente `a vari´avely, no ponto (x0, y0) por

∂f

∂y(x0, y0) = lim

h→0

f(x0, y0+h)−f(x0, y0)

h ,

sempre que este limite existir. Trata-se da derivada da fun¸c˜ao de 1 vari´avel h(y) =f(x0, y), no pontoy0: ^dh_dy(y0).

Geometricamente: agora obtemos outra curva no espa¸co, intersetando o gr´afico de f(x, y) com o planox=x0. A reta tangente a esta curva no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) tem declive ^∂f_∂y(x0, y0). Veja a Figura 3.

Figura 3: Superf´ıciez=f(x, y) intersetada com o planox=x0

Os dois vetores tangentes `as curvas de interse¸c˜ao da superf´ıcie z =f(x, y) com os planosx=x0ey=y0, respectivamente, geram um plano que na pr´oxima aula chamaremos de plano tangente `a superf´ıcie no ponto (x0, y0, f(x0, y0)).

Veja a Figura 4.

Figura 4: Plano tangente `a superf´ıciez=f(x, y) no ponto (x0, y0, f(x0, y0))

Na pr´atica, como as derivadas parciais^∂f_∂x(x0, y0) e ^∂f_∂y(x0, y0) s˜ao derivadas de fun¸c˜oes de 1 vari´avel, para calcul´a-las podemos usar as regras de deriva¸c˜ao que aprendemos em c´alculo I (sempre que pudermos us´a-las). Para calcular

∂f

∂x(x0, y0), derivamos f(x, y) na vari´avel x, assumindo y constante (no caso y=y₀). Para calcular ^∂f_∂y(x₀, y₀), derivamosf(x, y) na vari´avely, assumindox constante (no casox=x0).

Exemplo 1: Sejaf(x, y) =x²+ 2y³+x³y². Calcule ^∂f_∂x(2,1) e ^∂f_∂y(2,1).

Para calcular ^∂f_∂x(x, y) num ponto gen´erico (x, y), derivamos a express˜ao de f(x, y) na vari´avelx,assumindo y constante (no caso pedidoy = 1, mas a conta a seguir vale tamb´em para outros pontos):

∂f

∂x(x, y) = 2x+ 0 + 3x²y².

Da mesma maneira, para calcular^∂f_∂y(x, y) num ponto gen´erico (x, y), derivamos a express˜ao def(x, y) na vari´avely,assumindo xconstante(no caso pedido x= 2):

∂f

∂y(x, y) = 0 + 6y²+x³2y.

Logo,

∂f

∂x(2,1) = 2·2 + 3·2²·1²= 16,

∂f

∂y(2,1) = 6·1²+ 2·2³·1 = 22.

Geometricamente, isto significa que um vetor tangente ao gr´afico de f(x, y), no ponto (1,2,14), na dire¸c˜ao de x, tem declive 16. E um vetor tangente ao gr´afico def(x, y), no mesmo ponto (1,2,14), mas na dire¸c˜ao de y, tem declive 22. Portanto, se a gente estiver no gr´afico def(x, y), no ponto (1,2,14), a gente

‘sobe mais rapidamente’ se andarmos na dire¸c˜ao de y do que se andarmos na dire¸c˜ao dex.

Dito de outra maneira, se andarmos um pouco na dire¸c˜ao dex, ent˜aof(x, y) crescer´a a 16u.m.(caso essa taxa se mantivesse ao longo de toda a trajet´oria).

Assim, podemos aproximar (parahpequeno) f(2 +h,1)≈f(2,1) +∂f

∂x(2,1)h= 14 + 16h.

E da mesma maneira

f(2,1 +h)≈f(2,1) +∂f

∂x(2,1)h= 14 + 22h.

Obs.: Outra nota¸c˜ao para derivadas parciais:

∂f

∂x(x, y) =fx(x, y), ∂f

∂y(x, y) =fy(x, y).

Exemplo 2: Considere a fun¸c˜aof(x, y) =xsin(x²y). Calcule suas derivadas parciais.

∂f

∂x(x, y) = ∂

∂x xsin(x²y)

= ∂

∂x

x

sin(x²y) +x ∂

∂x

sin(x²y)

= 1·sin(x²y) +xcos(x²y) ∂

∂x

x²y

= sin(x²y) +xcos(x²y)·2xy

= sin(x²y) + 2x²ycos(x²y)

∂f

∂y(x, y) = ∂

∂y xsin(x²y)

=x ∂

∂y

sin(x²y)

=xcos(x²y) ∂

∂y

x²y

=xcos(x²y)·x²·1

=x³cos(x²y)

Derivadas parciais de segunda ordem

Como visto no exemplo anterior, cada uma das derivadas parciais ^∂f_∂x(x, y) e

∂f

∂y(x, y) ´e uma nova fun¸c˜ao de 2 vari´aveis. Assim podemos derivar parcialmente cada uma delas em ordem axou em ordem ay. Deste modo obtemos 4 derivadas parciais de segunda ordem, como esquematizado no seguinte diagrama:

f(x, y)

∂f

∂x

∂f

∂y

∂

∂x

_∂f

∂x

= ^∂_∂x^2f2

∂

∂y

∂f

∂x

= _∂y∂x^∂2f

∂

∂x

_∂f

∂y

= _∂x∂y^∂2f

∂

∂y

∂f

∂y

= ^∂_∂y^2f2

x

y

x

y

x

y

Como em calculo I, as derivadas de 2^aordem ^∂_∂x^2f₂ e^∂_∂y^2f₂ medem ascurvaturas do gr´afico def(x, y) na dire¸c˜ao dexe na dire¸c˜ao dey, respectivamente (ou seja, as concavidades das curvas exibidas nas Figuras 2 e 3, respectivamente).

Exemplo 3: Sejaf(x, y) =x²+ 2y³+x³y². J´a t´ınhamos visto que

∂f

∂x = 2x+ 3x²y² , ∂f

∂y = 6y²+ 2x³y Calculando as derivadas parciais de segunda ordem, temos:

∂²f

∂x² = ∂

∂x 2x+ 3x²y²

= 2 + 6xy²

∂²f

∂y∂x = ∂

∂y 2x+ 3x²y²

= 6x²y

∂²f

∂x∂y = ∂

∂x 6y²+ 2x³y

= 6x²y

∂²f

∂y² = ∂

∂y 6y²+ 2x³y

= 12y+ 2x³

Perceba que, neste caso, as derivadas de 2^a ordemcruzadas s˜ao iguais:

∂²f

∂y∂x = 6x²y= ∂²f

∂x∂y

Coincidˆencia? N˜ao! Isso ´e um fato que enunciaremos na forma do Teorema (Clairaut) : Se _∂x∂y^∂2f (x, y) e _∂y∂x^∂2f (x, y) s˜ao cont´ınuas, ent˜ao

∂²f

∂y∂x(x, y) = ∂²f

∂x∂y(x, y).

Obs.: No exemplo anterior f(x, y) = x²+ 2y³+x³y², suas derivadas parci- ais de qualquer ordem ser˜ao polinˆomios, portanto, cont´ınuas, satisfazendo as condi¸c˜oes do teorema. Logo, antes de derivarmos, por este teorema, j´a sabemos que as derivadas de 2^a ordem cruzadas s˜ao iguais, e portanto, bastaria termos calculado uma delas (nao interessando a ordem de deriva¸c˜ao.)

O diagrama mostrado anteriormente fica simplificado nesse caso:

f(x, y)

∂f

∂x

∂f

∂y

∂²f

∂x²

∂²f

∂x∂y

∂²f

∂y²

x

y

x

y

x

y

Ou seja, h´a somente trˆes deridadas parciais de segunda ordem, sempre que estivermos nas condi¸c˜oes do teorema de Clairaut.

Fun¸c˜oes de 3 vari´aveis

Considere uma fun¸c˜ao de 3 vari´aveisf(x, y, z). Agora, para cada uma das vari´aveis x, y e z, temos uma derivada parcial de 1^a ordem. Por exemplo, para calcular ^∂f_∂x, usamos xcomo vari´avel e as outras, y ez, como constantes (novamente, cada derivada parcial ´e a derivada de uma fun¸c˜ao de 1 vari´avel apenas).

Exemplo 4: Calcule as derivadas parciais def(x, y, z) =x²+y²+z²+xyz.

∂f

∂x(x, y, z) = 2x+ 0 + 0 +yz (y ez constantes nesta deriva¸c˜ao )

∂f

∂y(x, y, z) = 0 + 2y+ 0 +xz (z exconstantes nesta deriva¸c˜ao)

∂f

∂z(x, y, z) = 0 + 0 + 2z+xy (xey constantes nesta deriva¸c˜ao)

Exerc´ıcio: Seja c uma constante real positiva fixada. Mostre que a fun¸c˜ao u(x, t) = sen (x−ct) satisfaz a seguinteequa¸c˜ao diferencial parcial (equa¸c˜ao de onda):

u_tt=c²u_xx.