COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROF. WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br Cubos e Paralelepípedos – 2014 - GABARITO
1. (UEPA) Um designer construiu um móvel temporário de papelão em forma de cubo, conforme a figura, o qual pode ser utilizado individualmente ou em conjunto, formando ambientes para sentar e apoiar. Se a diagonal do móvel na forma de cubo mede 60 3 cm e o lado do
quadrado ABCD mede um terço da aresta do cubo, a área da superfície externa do cubo, em m2, é:
a) 1, 20 b) 1, 21 c) 1, 76 d) 1,92 e) 2,08 Solução. Utilizando a fórmula da diagonal do cubo, temos:
3 60 3 a 60 3 60 3 3a
60 d
3a
d
.
O quadrado ABCD possui aresta a’ = 20cm, pois é a terça parte de a. A área desse quadrado será A’ = (20)2 = 400cm2. A área da superfície externa do cubo será a soma de quatro áreas das faces do cubo com de duas áreas das faces do cubo que estão com a abertura.
2 2 2
2 2
m08, 2 cm 20800 6400 14400 ) 3200 (2) 3600 .(4 ) externa (A
) 3200 (2) 3600 .(4 ) externa cm (A
3200 )400 3600 () aberta face(
A
cm 3600 )60(
)eira int face(
A
.
2. (IFSP) Um estudante encontrou um cubo maciço de metal e decidiu descobrir que tipo de metal era aquele. Com um paquímetro mediu a aresta do cubo, obtendo 3cm. Levou o cubo a sua escola para obter o valor de sua massa na balança do laboratório, que indicou 283,5 g. Utilizando a tabela a seguir, que indica o valor da densidade relativa de sólidos em relação à água a 4ºC, ele descobriu que metal era aquele.
Alumínio: 2,7 Ferro, aço: 7,1 a 7,9 Prata: 10,5 Chumbo: 11,3 Latão: 8,1 a 8,6 Vidro 2,4 a 2,6 Cobre 8,9 Níquel 8,9 Estanho 7,3 Madeira: 0,5 a 0,8 Zinco: 7,1
Usando o mesmo raciocínio do estudante, assinale a alternativa que corresponde ao metal do cubo.
a) Alumínio b) Prata c) Cobre d) Chumbo e) Estanho
Solução. O volume do cubo vale V = (3)3 = 27cm3. Temos:
5,10 27
5, 283 V D M 27 V
5, 283
M
.
3. (UFPR) Uma calha será construída a partir de folhas metálicas em formato retangular, cada uma medindo 1m por 40cm. Fazendo-se duas dobras de largura x, paralelas ao lado maior de uma dessas folhas, obtém-se três faces de um bloco retangular, como mostra a figura da direita.
a) Obtenha uma expressão para o volume desse bloco retangular em função de x.
Solução. O volume é o produto das três dimensões:
x2
2 x 4 , 0 ) x 2 4 , 0 ).(
1 ).(
x (
V .
b) Para qual valor de x o volume desse bloco retangular será máximo?
Solução. A expressão é uma função quadrática.
cm 10 x m 1 , 4 0
4 , 0 ) 2 ( 2
) 4 , 0 ( a 2
xv b
.
4. Maíra adora brincar na piscina da casa de Jean. A piscina tem 3m de largura por 4m de comprimento. A parte rasa tem 0,5m de profundidade e a parte funda, 1m de profundidade. O piso da piscina é o usual: uma rampa plana. A quantidade de litros de água necessária para enchê-la é:
a) 6000 b) 8000 c) 9000 d) 10000
Solução. O volume total da piscina será a soma do volume do paralelepípedo de dimensões (0,5m), (4m) e (3m) com a metade desse mesmo
paralelepípedo:
litros 9000 m
9 litros 1000 m
1
m 9 3 2 6
) 3 ).(
4 ).(
5 , 0 ) ( 3 ).(
4 ).(
5 , 0 ( ) total ( V
3 3
3
.
5. A área total do sólido da figura é:
a) 240 b) 242 c) 244 d) 246 e) 248
Solução. Os dois blocos das extremidades são congruentes. Identificando as faces do sólido e as respectivas áreas, temos:
i) Quatro áreas A: 4.(4 x 7) = 4.(28) = 112 ii) Duas áreas B: 2.(2 x 7) = 2.(14) = 28 iii) Quatro áreas C: 4.(4 x 2) = 4.(8) = 32 iv) Duas áreas D: 2.(5 x 4) = 2.(20) = 40 v) Duas áreas E: 2.( 2 x 5) = 2.(10) = 20 vi) Duas áreas F: 2.(3 x 2) = 2.(6) = 12 Total: 112 + 28 + 32 + 40 + 20 + 12 = 244
6. As dimensões de um ortoedro (paralelepípedo retângulo) P são 3m e 5m. Seu volume é 60m3. Calcule a medida do comprimento, em metros, do maior segmento de reta que une dois pontos de P.
Solução. O maior segmento que unde dois pontos de um paralelepípedo é a diagonal desse paralelepípedo. Considerando x a terceira dimensão, temos:
m25 50 1625 9 45 3D : diagonal )ii
15 cm4 x60 60 60V x15
x15) x).(5).(
)i 3(V
2 2
2
.
7. Determine as dimensões e o volume de um ortoedro, sendo a soma de suas dimensões igual a 45cm, a diagonal da base igual a 25cm e a área total igual a 1300cm2.
Solução. Considere a, b e c as dimensões do paralelepípedo com a e b sendo as arestas da base. Utilizando as fórmulas indicadas e trabalhando com produtos notáveis, temos:
15 ) 10 20 ( 45 b 20 a
20 ) 10 15 ( 45 b 15 0 a
) 20 1 ).(
15 a(
0 300 a 35 a
0 300 a 35 a 650 a 10 350 a 10 a a 35 650 )a 35 ( 10 a 10 )a 35 (a
650 b 10 a 10 ab
a 35 b 1300 b
20 a 20 ab 2
35 b a 1300 )
10 (b 2 ) 10 (a 2 ab 2
45 10 b )ii a
cm 10 100 c
1925 2025 c
2025 1300
c 625
625 b
a 25 b a b a )d(
diagonal
1300 bc
2 ac 2 ab 2 1300 )
total ( Área
2025 bc
2 ac 2 ab 2 c b a 45 c
b a 45 c b a )i
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
.
As dimensões são: 10cm, 15cm e 20cm.
8. A altura h de um paralelepípedo retângulo mede 60cm, sendo a sua base um quadrado. A diagonal do paralelepípedo forma um ângulo de 60º com o plano da base. Determine o volume desse sólido.
Solução. Considerando d a diagonal da base quadrada e utilizando a razão trigonométrica da tangente com a aresta a da base, temos:
10 6
.10 6
.(60) (100)(6)(60) 36000cm3: Volume )
iii
6 2 10
6 20 2 . 2 2
3 20 2
3 a 20 3 20 2 a 2 a d ) ii
3 3 20
3 60 3 . 3 3 60 3 d 60 d 3
60 d º 60 60 tg ) i
.
9. Calcule a área do triângulo que se obtém unindo-se o centro de uma face de um cubo com as extremidades de uma aresta da face oposta, sabendo que a medida da aresta do cubo vale 5cm.
Solução. A altura h pode ser calculada pela relação de Pitágoras.
Temos:
2 2
2 2
4 cm 5 25 2
) 5 2 .(
5 5 Área ) ii
2 5 5 4 h 125 4
25 125 4 5 25 2
h 5 ) i
.
10. A secção determinada por um plano em um cubo é um hexágono regular. Calcule a razão entre a área desse hexágono e a área do círculo circunscrito a ele.
Solução. Os vértices do hexágono regular estão sobre pontos médios das arestas de medida a do cubo. Considerando L a aresta do hexágono, temos:
2 2 L a 4 a 2 4 a 4 a 2 a 2 L a
2 2 2 2
2
2
.
O raio do círculo circunscrito ao hexágono regular possui a mesma medida da aresta do hexágono.
Calculando a razão entre as áreas, temos:
2 3 3 a . 2 4
3 a 3 2
a 4
3 a 3 ) círculo ( A
) hexágono (
: A Razão
2 a 2
2 R a
) círculo ( A
4 3 a 3 2
2 3 2 . a 3 2
3 L . ) 3 hexágono (
A
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
.
