2 A 2 1 1 V 2 V 2  [  [ x    x x 12 4 V V 1 A 2 h  9 @ 3  72  62

(1)

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

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Trabalho para a 2ª Certificação 2009 – Valor: 1,5 - GABARITO

1) Um prisma hexagonal regular, com lado da base medindo 3cm e altura 8cm, está inscrito em uma esfera, como ilustrado. Qual a área da superfície da esfera?

Solução. Observe que a base superior do prisma é um hexágono que não tangencia a esfera. Mas o raio do círculo determinado pelo hexágono vale a aresta dessa base, r = 3cm e dista 4cm do centro da esfera.

Calcula-se o raio da esfera pela relação R² = 3² + 4². Logo a esfera possui raio igual a 5cm.

Logo a área será:

A

_esfera

 4r

²

 4 5

^{` a}²

A   100cm

²

2) As ilustrações a seguir representam um setor circular, com ângulo central de

2

3

ffffffff radianos e raio 9, e o cone tendo este setor como área lateral. Qual o volume do cone?

Solução. Relacionando o comprimento do arco do setor circular do cone com o perímetro da base, temos:

a)

l  R  9 A 2

3

ffffffff

 6

l  2 A r [ 6  2r [ r  3

X^

^\

^^ Z

b) A altura do cone vale:

h 

^q

9

²

@ 3

²

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww



^p^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w

72

^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w

 6 2

c) O volume do cone será:

V

cone

 A

_base

- 3

fffffffffffffffffffff

 

^{` a}

3

²

A 6 2

3

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

 18

^p^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w

2

^w^w

3) Uma pirâmide regular de base quadrada e altura 1, é dividida, por um plano paralelo à base, em uma pirâmide menor e um tronco de pirâmide, ambos de mesmo volume, conforme ilustrado a seguir. Qual a altura do tronco de pirâmide obtido?

Solução. Se o plano dividiu a a pirâmide em duas partes iguais, então o volume da pirâmide inteira vale o dobro do volume da pirâmide pequena.

Estabelecendo a razão entre os volumes das pirâmides pequena e grande em relação às alturas, temos:

a) Altura da pirâmide menor:

V

p

V

g

ffffffff

 x

³

1

³

fffffff

[ V

p

2 V

p

ffffffffffff

 x

³

1

³

fffffff

[ x  1

3

2

pfffffffffffwwwwwwwwwwwwwwwww

 1 A

^q³

2

²

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

3

2

pwwwwwwwwwwwwwwwww

A

^q³

2

²

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww ffffffffffffffffffffffffffffff



^p³^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w^w

4

^w

2

ffffffffffff

b) A altura do tronco será:

h

_t

 1 @x  1 @

4

^w

2

ffffffffffff

 2 @

4

^w

2

ffffffffffffffffffffffff

(2)

4) Na figura, estão representados um cubo, cujas arestas medem, cada uma, 3 cm, e a pirâmide MABC, que possui três vértices em comum com o cubo. O ponto M situa-se sobre o prolongamento da aresta BD do cubo.

Os segmentos MA e MC interceptam arestas desse cubo, respectivamente, nos pontos N e P e o segmento ND mede 1 cm. Com essas informações, calcule o volume da pirâmide MNDP em cm³.

Solução. Os triângulos MND e MAB são semelhantes e permitem que calculemos a altura “h” da pirâmide menor.

a)

1 3

^fff

 h

3

ffffffffffffffff

 h [ 3h  3  h [ h  3 2

^fff

A área da base da pirâmide maior é a metade da área do quadrado.

b)

A

_base

 1

2

^fff

A3

^{b c}²

 9

2

^fff. Logo o volume da pirâmide maior vale:

V

g

 1 3

fff

A 9 2

f fffg

A 3  3 2

f fffg

 27 4

fffffff

Relacionando os volumes com as alturas, temos:

V

p

V

g

ffffffff



3 2 d effff 3

3 

³₂^ffff

d e3

fffffffffffffffffffffffffff

 3 2

fff

A 2 9

f fffg³

 1 3

f gfff³

 1 27

fffffff

[ V

p

V

g

A 1 27

fffffff

[ V

p

 27 4

fffffff

A 1 27

fffffff

 1 4

ffff

5) Os pontos A, B, C, D, E, F, G, H dividem, respectivamente, cada uma das arestas da base de um cubo em três partes iguais, conforme as figuras abaixo. Um ponto V está sobre uma aresta do cubo e a uma distância da base igual a 2/3 da aresta. Qual a razão entre o volume do cubo e o volume da pirâmide de vértice V e base ADFH?

Qual é a razão entre o volume do cubo e o volume da pirâmide de vértice V e base ADFH?

Calculando as áreas dos triângulos pelo semiproduto dos catetos, temos:

2 . 9 2

4 2 2 2

. 2

2 . 2 2

2 . 2

2

. ² ² ² ² ²

1234

a a a a a a a a a a a a

A  a        

iv) A área da base da pirâmide será:

2 9 2

9 18 2 9 9

2 ) 9 3 2 (

9 2 2 ² ² ² ²

2 2

1234

a a a a a

a a A a

A

A_base  _quadrado        

v) O volume da pirâmide será: 3 3

2

3 3 9 3

3 ) 3 ( .2 2 9 3

. a a

a a

h

V_pirâmide  A^base   

Resposta: A razão entre os volumes do cubo e da pirâmide será ⁹ 3

27

3 3



 a a V

V

pirâmide

cubo .

Solução.

i) Volume do cubo: (3a)³. ii) Volume da pirâmide: Ab.h

iii) A área da base será o valor da diferença entre a área do quadrado de lado l = 3a e a soma das áreas dos triângulos (A1, A2, A3, A4).