Encontre o dom´ınio e a imagem da fun¸c˜ao

1. Encontre o conjunto solu¸c˜ao das desigualdades abaixo:

a) _x−1⁵ <3, R: x∈(−∞,1)∪(8/3,+∞)

b) −2<2−3x≤5, R:x∈[−1,4/3)

c) (x−3)(2x+ 1) >0, R:x∈(−∞,−1/2)∪(3,+∞)

d) |5x+ 2| ≤3, R:x∈[−1,1/5]

e) |2x−5|>2, R:x∈(−∞,3/2)∪(7/2,+∞)

e) |3x−1|<|2x+ 3|, R:x∈(−2/5,4)

2. Encontre o dom´ınio e a imagem da fun¸c˜ao.

a) f(x) = 1 +√

3−x²−2x R:x∈[−3,1],f ∈[1,3]

b) f(x) = _1+x¹2 R: x∈R,f ∈(0,1]

c) f(x) = _3−x^x 2

R: x∈R− {3},f ∈[0,+∞)

d) f(x) =x²−3 R:x∈R, f ∈[−3,+∞)

3. Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao:

a) f(x) = 2−3x b) f(x) =|3x−2|

c) f(x) =

2, se x≤3 2x−5, se x >3 d) f(x) =

2x+ 1, se x≥1 2−3x, se x <1

1. Uma caixa retangular aberta com volume de 2 m³ tem uma base quadrada. Expresse a ´area superficial da caixa como fun¸c˜ao do comprimento de um lado da base. R:A(x) =_x⁸+x² m²

2. Considere o segmento de reta de comprimento 2 cm, que est´a no primeiro quadrante, e que ´e gerado pela reta r que intercepta os semi-eixos x e y positivos. Suponha que a retar intercepta o eixo y em (0, s), coms >0.

a) Encontre a equa¸c˜ao da reta r. R:y=s−^{√ s}

2−s²x

b) Encontre a ´area da regi˜ao abaixo da reta r, no primeiro quadrante, como fun¸c˜ao de s. R:

A(s) = ^s

√2−s² 2

3. Encontre a equa¸c˜ao da reta que passa pelos pontos (3,−1) e (2,1). Encontre os interceptos da reta com os eixos coordenados.

4. Encontre af⁻¹(x) e seu dom´ınio.

a) f(x) = 3x−4 R:f⁻¹(x) = ^4+x₃

b) f(x) = ^3x+1_2x+4 R: f⁻¹(x) =^1−4x_2x−3

c) f(x) = 4−x², x∈(−∞,0] R:f⁻¹(x) =−√ 4−x

5. Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao.

a) f(x) = 3x²−2x+ 1 b) f(x) = (3x+ 2)(2−x)

c) f(x) =x(x−3)

6. Seja r, a reta que passa pelos pontos (3,0) e (0,2). Considere o retˆangulo, no primeiro quadrante, que tem um v´ertice na origem e outro na retar.

a) Encontre a ´areaA(x) do retˆangulo como fun¸c˜ao do comprimentox da base do retˆangulo. R:

A(x) =x 2−²₃x

.

b) Fa¸ca um esbo¸co deA(x).

c) Encontre o valor de x para que o retˆangulo tenha a ´area m´axima. R:x= 3/2

1. Encontre a solu¸c˜ao exata.

a) e^{xln 2} = 8, R:x= 3

b) xlog₂3 + log₂6 = log₂ ³₂

R:x= 2

c) 8^x/3+ 3^xlog32 = 64, R: x= 5

d) 4^x/2+ 2^x−1 = 12, R: x= 3

e) logx+ log(x−1) = _log¹

210, R:x= 2

f) ln(x+ 3)−2 lnx= _log¹_e −ln 5, R:x= 3/2

2. Encontre o valor exato da quantidade dada.

a) cos

2 tan^{−1 1}₂

R: ³₅

b) sin

2 cos^{−1 3}₅

R: ²⁴₂₅

c) cos

sin^{−1 2}₃

+ cos^{−1 1}₄

R:

√5−2√ 15 12

d) sin

sin^{−1 1}₃

−2 cos^{−1 3}₄

R: ₂₄¹ 1−6√ 14

e) tan

sin^{−1 3}₅

+ tan^{−1 1}₂

R: 2

1. Encontre o limite, se existir.

a) lim

x→0

x

sen(3x), R: ¹₃

b) lim

x→0

cosx−1

x , R: 0

c) lim

x→0

√x+ 4−2

x , R: ¹₄

d) lim

x→9

√x−3

x−9 , R: ¹₆

e) lim

x→8

x^1/3−2

x−8 , R: ₁₂¹

f) lim

x→+∞ln e^x

1 +e^x

, R: 0

g) lim

x→−∞

|x| −1

x+ 2 , R:−1

h) lim

x→0⁺

1−x^−1/2

1 +x^1/2 , R:−1

i) lim

x→3⁻

x

3−x, R:−∞

j) lim

x→0⁺

lnx³−2

lnx , R: 3

k) lim

x→−∞tan⁻¹x, R:−^π₂

2. Seja f(x) =√

1 + 2x, calcule limx→4

f(x)−f(4)

x−4 , R :1

3,

1. Calcule a derivada da fun¸c˜ao.

a) f(x) =x²√

1 +x³, R:f⁰(x) =^x(^7x3+4)

2√ x³+1

b) f(x) =p

2 + cos(x³+ 1), R:f⁰(x) =− ^3x

2sin(^x3)

2√

cos(x³)+2

c) f(x) = ^√1−x2

1+x², R:f⁰(x) =−^x(^x2+3)

(x²+1)^3/2

d) f(x) =x 1 +x²√

1 +x²1/3

, R: f⁰(x) = ^6x4+5x2+3

√x²+1 3√

x²+1(^√x2+1x2+1)^2/3

2. Encontre a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f(x) = x(4−x) em (s, f(s)), com s ∈[0,4], e que passa pelo ponto (5,0).

3. Considere todos os segmentos de retas de comprimento 2 que interceptam os semi-eixos x ey positivos. Todos os segmentos de reta ocupam uma regi˜ao no primeiro quadrante, abaixo de uma curvaC, e s˜ao tangentes `a curvaC. Encontre a equa¸c˜ao da curvaC. R:y= ¹₄ 4−(4x)^2/33/2