Propriedades Ondulatórias das

Propriedades Ondulatórias das Partículas II

Aula 8

Pacotes de Ondas

O que está ondulando?

• Onda em uma corda: segmento de corda.

• Onda sonora: volume (moléculas) de ar.

• Onda no mar: água.

• Onda eletromagnética no vácuo: campos elétrico e magnético.

Ondas de matéria: a probabilidade de observar a partícula.

Numa onda produzida numa corda, podemos representar a onda por y(x,t),

Para a radiação eletromagnética, a onda pode ser representada por E(x,t),

Todas as ondas satisfazem uma equação do tipo

Para ondas de matéria, ela será representada pela função de onda

Pacotes de Ondas

Vamos considerar uma onda associada a um elétron, descrita por

A velocidade da onda ou velocidade de fase seria

Suponhamos que o elétron se move com velocidade não relativística v, com energia potencial zero, assim

Este resultado parece estranho porque indica que a onda não seria capaz de acompanhar a partícula cujo movimento ela controla.

Pacotes de Ondas

Suponha uma partícula que se move ao longo do eixo x, sem influência de força, ou seja, com energia potencial zero. A onda de matéria associada a essa partícula também se move ao longo do eixo x.

A amplitude da onda de matéria é modulada tal que seu valor seja diferente de zero apenas em alguma região finita do espaço vizinho da partícula.

A onda de matéria deve de alguma forma ser associada no espaço à partícula cujo movimento ela controla. Ela está na forma de um grupo de ondas e, à medida que o tempo passa, o grupo deve se mover ao longo do eixo x com a mesma velocidade da partícula.

Pacotes de Ondas

Este grupo de ondas é conhecido como pacote de ondas.

Num pacote de ondas é importante diferenciar a velocidade do grupo (v

) e a velocidade de fase (v

).

Vamos considerar 2 ondas, com frequências e número de onda infinitesimalmente diferentes, se movendo no sentido positivo de x. Elas vão interferir ora contrutiva ora destrutivamente, produzindo sucessão de grupos, que se movem também no sentido positivo de x.

Pacotes de Ondas

Podemos construir um pacote de ondas mais genérico, com número maior de ondas

Pacotes de Ondas

Pacotes de Ondas

O pacote de ondas se propaga

com a velocidade da partícula

cujo movimento ele governa.

Interpretação Probabilística

Vejamos o experimento de fendas duplas

com fótons.

Interpretação Probabilística

Não se pode afirmar qual o ponto da tela cada fóton emitido irá atingir.

No entanto, após muitos fótons podemos observar um padrão muito bem definido descrito pela interferência.

• O aspecto corpuscular do fóton é evidenciado quando se registra o fóton em um filme como um ponto de interação.

• O aspecto ondulatório é evidenciado quando se observa a distribuição dos

fótons na tela, como um padrão de interferência.

A natureza da matéria e energia é dual e os aspectos corpuscular e ondulatório são complementares.

O Princípio da Complementaridade foi resumido por Niels Bohr.

Interpretação Probabilística

Quando a exposição é curta e a fonte é de baixa intensidade, flutuações aleatórias em relação aos resultados teóricos são claramente visíveis.

Quando a exposição é suficientemente longa p/ que muitos fótons atinjam a tela, as flutuações se cancelam e a natureza quântica da luz não é mais observada.

A figura de interferência depende apenas do número total de fótons e não do tempo de exposição.

Mesmo quando a intensidade da fonte é tão baixa que não existe mais do que um fóton se propagando em um dado instante de tempo, a figura de interferência está de acordo com as previsões da teoria ondulatória.

Interpretação Probabilística

• A teoria ondulatória nos diz que a intensidade da radiação é .

• A teoria corpuscular nos diz que .

De modo, que .

Einstein interpretou como uma medida probabilística da densidade de fótons. Assim, as franjas claras no experimento de dupla fenda, são locais com maior probabilidade de encontrar fótons.

De forma análoga, Max Born aplicou este argumento para unificar as teorias corpuscular e ondulatória da matéria.

Interpretação Probabilística

A amplitude da função de onda do elétron esta relacionada à probabilidade de que a partícula seja encontrada nesse ponto.

Para fótons,

Para elétrons,

Podemos interpretar P(x) como ma função de distribuição de probabilidade da localização da partícula

Interpretação Probabilística

Complexo conjugado

P(x)dx nos dá a probabilidade de

encontrar a partícula numa região

entre x e x+dx.

A ligação entre os modelos é feita por uma interpretação probabilística da dualidade onda-partícula.

A Física Quântica tem em sua essência esse aspecto probabilístico, que surge do aspecto dual da matéria.

é denominado de observável, e é a grandeza medida nos experimentos.

é a função de onda e, normalmente não é acessível nos experimentos.

Não se sabe dizer que ela chega a ser um ente físico real ou apenas uma abstração matemática (fashion!).

Interpretação Probabilística