Problemas de Quântica em 1D

Problemas de Quântica em 1D Estados ligados

Um dos fenômenos quânticos mais interessantes é a quantização da energia do sistema caso ele represente

uma partícula connada.

Por envolver uma onda, a implicação de duas condições de contorno implica a existência de uma onda estacionária caracterizada pelo comprimento de

onda proporcional a largura do connamento e a possível existência de nós na função de onda.

Para mostrar esse fenômeno vamos considerar um poço de potencial nito e depois, am de perceber a transição de estados ligados e estados livres, perceber

de modo qualitativo o poço nito.

Caso motivador:

Para o caso motivador, considere um núcleo atômico de urânio ²³⁵ U chocando com um nêutron ⁰ n , Após a col- isão o urânio enrriquece sendo ²³⁶ U e, após ele sofre s- são se transmutando em bário, ¹⁴⁴ Ba , criptônio, ⁸⁹ Kr , e mais três nêutrons, 3 ⁰ n .

Esse decaimento pode ser entendido como transição de

estados livre para ligados.

Poço innito:

Suponha que uma partícula possa se mover entre a

posição x ∈ [0, L] . Fora desse intervalo a particula sofre

a presença de uma força repulsiva que a proíbe de estar

nessa região. A energia potencial dessa barreira pode

ser considerada como innita nessas regiões.

Poço innito:

Conhecido a energia potencial U (x) , para obter infor- mação da partícula como um objeto quântico, devemos obter a função de onda estacionária,

Ψ(x, t) = ψ(x)e ^{−iEt/ ~}

onde ψ(x) é o estado estacionário e E é a energia da partícula.

Para obter ψ(x) e E devemos resolver a equação de Schrodinger,

− ~ ² 2m

d ² ψ(x)

dx ² + U (x)ψ(x) = Eψ (x).

onde U (x) = {∞ se x / ∈ [0, L]; 0 se x ∈ [0, L]} .

Poço innito:

Para x / ∈ [0, L] , temos ψ(x) = 0 .

No intervalo, x ∈ [0, L] temos a equação de Sch.,

− ~ ² 2m

d ² ψ(x)

dx ² = Eψ (x) d ² ψ(x)

dx ² = −k ² ψ(x) onde k ² = 2mE/ ~ ² .

A solução da equação é:

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx),

onde A , B e k são determinados pelas condições de

contorno e pela condição de normalização.

Poço innito:

Pela continuidade da função de onda em x = 0 temos,

ψ(x → 0 ₋ ) = ψ(x → 0+) 0 = A cos(0) + B sin(0)

0 = A cos(0) A = 0

Assim, para x ∈ [0, L] , ψ(x) = B sin(kx) .

Poço innito:

Pela continuidade em x = L ,

ψ(x → L ₋ ) = ψ(x → L+) B sin(kL) = 0

sin(kL) = 0 kL = nπ

onde n = 1, 2, 3, · · · . Assim, para x ∈ [0, L] , ψ _n (x) =

B sin(nπx/L) .

Poço innito:

Aplicando a condição de normalização,

Z _∞

−∞ |Ψ(x, t)| ² dx = 1 chegamos a

Z _L

0 B ² sin ² (nπx/L)dx = B ² L

2 = 1 B =

s 2 L com isso, para x ∈ [0, L] ,

ψ _n (x) =

s 2 L sin

nπx L

Poço innito:

A função de onda estacionária depende de n ,

Ψ(x, t) =

s 2 L sin

nπx L

e ⁻ⁱ

bem como a energia,

E _n = h ² n ² 8mL ²

A função de onda é de um estado ligado e a energia

desse estado é quantizada. Ou seja, estando em um

estado ligado, a energia da partícula assume valor cor-

respondente e não há possibilidade de assumir valores

intemediários.

Poço innito:

A densidade de probabilidade da partícula na caixa de- pende de n e é dado por:

ρ(x) = 2 L sin

nπx L

, assim a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo, [a, b] é

P _[a,b] =

Z _b

a ρ(x)dx = 1 2

nπ

L (b − a) − cos(nπ (b + a)/l) sin(nπ(b − a)/L)

Poço innito:

Na gura abaixo vemos o comportamento dos cinco

primeiros estados ligados de um elétron connado em

uma poço de largura de L = 10 nm. Como convenção,

chamamos o estado ligado de mais baixa energia de

estado fundamental, o segundo mais baixo de primeiro

estado excitado e assim por diante.

Poço innito:

Dado um observável ˆ o , o valor médio desse observável é dado por

h ˆ oi =

Z _∞

−∞ Ψ ^∗ (x, t)ˆ oΨ(x, t)dx

Caso o observável seja a posição, ˆ o = x , temos hxi =

Z _∞

−∞ Ψ ^∗ (x, t)xΨ(x, t)dx = L 2

Caso o observável seja o momento linear, ˆ o = p = i ~ _∂x ^∂ , hpi =

Z _∞

−∞ Ψ ^∗ (x, t)i ~

∂

∂x Ψ(x, t)dx = 0

Poço nito:

O poço innito é uma idealização que não se pode

ter um modelo equivalente na natureza. Em geral, as

partículas connadas podem estar sob a ação de um

potencial nito,

Poço nito:

Nesse caso o valor da energia da partícula em relação a altura da energia potencial dene dois tipos de soluções para a equação de Schrodinger do problema.

A situação em que a energia da partícula e maior que a altura da barreira terá o comportamento de partícula livre.

A situação em que a energia da partícula é menor que

a altura da barreira terá o comportamento da partícula

connada.

Poço nito:

Na situação em que a energia é maior que a altur- ada barreira, E > U ₀ , a partícula se comporta como partícula livre,

onde E − U ₀ = ^~

^k

2m e E = ^~

^k

2m .

Poço nito:

Na situação em que a energia é menor que a altura da barreira, E < U ₀ , a partícula se comporta como partícula connada,

onde E − U ₀ = ^~

^κ

2m e E = ^~

^k

2m .

Poço nito:

Os estados ligados possíveis dentro do poço nito tem energia quantizada.

Vemos que esses níveis de energia dentro do poço são

limitados pela altura do poço. Dado um número quân-

tico n , a energia no poço nito é menor que a do poço

innito. No limite de um poço raso, temos pelo menor

um estado ligado.

Caso motivador:

No caso motivador vemos o neutron se chocando com o

urânio-235 e formando urânio-236. Pensando como um

potencial connante, vemos que o neutron livre é cap-

turado pelo potencial connante do núcleo do urânio

para formar o urânio-236. As partículas dentro do nú-

cleos estão nos estados ligados. Como dentro do núcleo

o potencial nuclear podee ser modelado como um poço

nito, temos uma quantidade de estados ligados den-

tro do núcleo e a função de onda podendo avançar para

fora do núcleo.

Caso motivador:

Fora do núcleo, temos para partículas carregadas um

potencial repulsivo tipo coulombiano. Como a função

de onda avança para fora do núcleo, poemos encontrar

partículas fora do núcleo. Ao estar fora do nucleo, esse

se desintegrar em dois ou mais núcleos.

Exercício:

14. Considerando que hxi e hx ² i representam o valor médio de x e o valor médio de x ² num dado estado Ψ(x, t) , calcule σ _x =

q

hx ² i − hxi ² e σ _p =

q

hp ² i − hpi ² para o estado fundamental do poço quadrado innito.

O resultado do produto σ _x σ _p é consistente com o princí-

pio de incerteza?