Estudo dos polígonos: Definição, classificação, soma dos ângulos internos e externos, diagonais
Objetivo
Compreender a definição de polígonos, tal como suas classificações e propriedades. Estabelecer um significado para as propriedades angulares e do número de diagonais de um polígono.
Se liga
Para este módulo, é interessante saber o conceito de ângulo. Pintou alguma dúvida sobre isso? Assista a essa aula (caso não seja direcionado, pesquise pela aula “Geometria: Ângulo” na biblioteca).
Curiosidade
O prefixo poli significa muitos, enquanto o termo gonos faz referência ao número de lados. Assim, polígonos carregam o sentido de serem “figuras de muitos lados”.
Teoria
Definição
Polígono é uma linha fechada formada pela união de segmentos de reta, de modo que os segmentos se encontrem dois a dois em uma única extremidade comum e que não se cruzem no mesmo plano.
Polígonos convexos e não-convexos (côncavo)
O polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 é chamado de convexo se, ao tomarmos dois pontos quaisquer na região limitada pelo polígono, o segmento de reta que os une sempre estará inteiramente contido nesta região. Uma outra maneira de visualizar se um polígono é convexo ou não, é pelas suas diagonais: se uma diagonal passar por fora do polígono, então ele é não é convexo, sendo chamado então de côncavo.
O polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 é convexo, uma vez que traçando qualquer segmento como extremidades em seu interior, o segmento estará inteiramente contido no interior do polígono.
O polígono 𝑀𝑁𝑂𝑃𝑄𝑅𝑆 é não-convexo, uma vez que o segmento 𝑈𝑇̅̅̅̅, apesar de ter vértices no interior no polígono possui um trecho que é externo ao mesmo.
Elementos de um polígono convexo
Um polígono convexo tem alguns elementos importantes a ser estudados como: vértices, lados, diagonais, ângulos internos e ângulos externos.
Vértices
São os pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 e 𝐹. Cada um deles é comum às extremidades de exatamente dois segmentos que formam o polígono.
Lados
São os segmentos de reta 𝐴𝐵̅̅̅̅, 𝐵𝐶̅̅̅̅, 𝐶𝐷̅̅̅̅, 𝐷𝐸̅̅̅̅, 𝐸𝐹̅̅̅̅ e 𝐹𝐴̅̅̅̅. Diagonais
São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro não consecutivo a ele: 𝐴𝐶̅̅̅̅, 𝐴𝐷̅̅̅̅, 𝐴𝐸̅̅̅̅, 𝐵𝐷̅̅̅̅, 𝐵𝐸̅̅̅̅, 𝐵𝐹̅̅̅̅, 𝐶𝐸̅̅̅̅, 𝐶𝐹̅̅̅̅
e 𝐷𝐹̅̅̅̅.
Para encontrar o número de diagonais que um polígono possui, usamos a fórmula:
𝑑 = 𝑛(𝑛 − 3) 2
Ângulos Internos
São formados por dois lados consecutivos contidos na região interna do polígono. São ângulos internos desse polígono: 𝐴𝐵̂𝐶 ou 𝐵̂, 𝐵𝐶̂𝐷 ou 𝐶̂, 𝐶𝐷̂𝐸 ou 𝐷̂, 𝐷𝐸̂𝐹 ou 𝐸̂, 𝐸𝐹̂𝐴 ou 𝐹̂ e 𝐹𝐴̂𝐵 ou 𝐴̂.
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada pela fórmula:
𝑆𝑖 = 180°(𝑛 − 2)
Onde 𝑛 é o número de lados do polígono.
Ângulos Externos
São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do seu lado consecutivo.
A soma dos ângulos externos é sempre 360°, qualquer que seja o polígono convexo.
𝑆𝑒 = 360°
Nome dos polígonos quanto ao número de lados
Número de lados Nome do polígono
3 Triângulo
4 Quadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono
20 Icoságono
Polígonos Regulares
Um polígono regular é aquele que todos os lados possuem mesmo comprimento (equilátero) e que todos os ângulos internos possuem a mesma medida (equiângulo). Por essas características, eles possuem duas fórmulas específicas:
• Medida do ângulo interno de um polígono regular de 𝑛 lados:
Se a soma dos ângulos internos é 𝑆𝑖= 180°(𝑛 − 2) e todos esses ângulos possuem mesma medida, cada ângulo interno terá:
𝑎𝑖 =180°(𝑛 − 2) 𝑛
• Medida do ângulo externo de um polígono regular de 𝑛 lados:
Se a soma dos ângulos externos é 𝑆𝑒= 360° e todos esses ângulos possuem mesma medida, cada ângulo externo terá:
𝑎𝑒 =360°
𝑛
Exercícios de fixação
1. Reflita e responda às seguintes perguntas, dado exemplos que sustentem a sua resposta:
a) Todo polígono equiângulo (com ângulos de mesma medida) é equilátero?
b) Todo polígono equilátero é equiângulo?
2. Construa em seu caderno um polígono convexo qualquer, com quantos lados queira. Escolha um único vértice e trace todas as suas diagonais.
a) Em quantos triângulos o polígono original ficou dividido?
b) Se tivéssemos um polígono de 𝑛 lados e fizéssemos a mesma construção, em quantos triângulos o polígono estaria dividido?
c) Relembremos: a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é sempre 180°. Volte ao polígono que você construiu no início dessa questão. Quanto vale a soma dos ângulos internos de todos os triângulos que foram obtidos por você, juntos?
d) E qual seria a soma dos ângulos internos de todos esses triângulos em um polígono de 𝑛 lados, como pensado no item b?
3. Observe a figura abaixo, que representa um parque na forma de um polígono convexo. Imagine-se agora no vértice 𝐴 desse polígono. Sempre olhando em frente, você caminha sobre os lados do polígono, indo de 𝐴 para 𝐵, de 𝐵 para 𝐶 e assim sucessivamente até retornar ao vértice 𝐴. Você sempre anda com o seu pescoço reto, só girando o seu corpo o suficiente ao fazer uma curva. Ao final dessa caminhada, o seu corpo fez um giro de quantos graus no total? Que propriedade de polígonos convexos podemos concluir a partir desse experimento?
4. Construa em seu caderno três polígonos convexos quaisquer, cada um com quantos lados queira, mas cada um com um número diferente de lados. Em seguida, escolha um único vértice de cada um desses polígonos e trace todas as diagonais que partem desse vértice.
a) Quantas diagonais você obteve a partir do vértice escolhido em cada polígono? Se escolhesse um vértice diferente em cada polígono, esses valores ainda seriam os mesmos?
b) Agora, avalie o número de lados dos polígonos desenhados e o número de diagonais que partem de cada vértice do respectivo polígono. Qual a relação entre esses valores? Para um polígono de 𝑛 lados, qual a relação entre o número 𝑛 de lados e de diagonais que partem de cada vértice?
c) Volte aos seus polígonos e termine de traçar todas as diagonais que saem de cada vértice. Se você se deparar com uma diagonal que já foi traçada, mas agora ela está partindo de outro vértice, dê um risco sobre ela para indicar que você a traçou duas vezes. Ao final desse experimento, quantas diagonais estavam com um risco? Dessa forma, responda: o que aconteceria se, para contarmos o número total de diagonais de um polígono de 𝑛 lados, simplesmente somássemos o número de diagonais que partem de cada um dos 𝑛 vértices?
d) Lembre-se de que o número total de diagonais de um polígono convexo é dado pela relação 𝑑 =
𝑛(𝑛−3)
2 . Baseado no que foi feito nos itens anteriores, tente explicar com as suas palavras o porquê de essa fórmula ser assim.
5. Observe os oito polígonos regulares abaixo, com lados variando de três (triângulo) à dez (decágono).
a) Atente-se para os polígonos regulares com número par de lados. Perceba que para cada um dos vértices há um outro vértice que está “do outro lado” do polígono. Isto é, há pares de vértices simétricos em relação ao centro do polígono. O mesmo ocorre para os polígonos com número ímpar de lados?
b) Utilizando o item anterior, chegue a uma conclusão: qual o número de diagonais de um polígono regular de 𝑛 lados, sendo 𝑛 um número par, que passam pelo centro do polígono? E se 𝑛 é ímpar?
Exercícios de vestibulares
1. A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de 𝑅$0,25 é:
a) 60°
b) 45°
c) 36°
d) 83°
e) 51°
2. “Há uns dez anos, um aluno, cujo nome infelizmente não recordo, apareceu na escola com algumas peças de seu artesanato. Trabalhando com madeira, pregos e linhas de várias cores, em compunhas paisagens, figuras humanas e motivos geométricos. Foi a primeira vez que vi esse tipo de artesanato.
Depois disso, vi muitos outros trabalhos na mesma linha (sem trocadilho!). Certo dia, folheando um livro, vi o desenho de um decágono regular e suas diagonais.”
Observe que, no decágono que ilustra o texto acima, o aluno citado usou vários pedaço sde linha para compor os lados e as diagonais do polígono. Cada lado e cada diagonal foi construído com, exatamente, um pedaço de linha. A quantidade de pedaços de linha usados para formar as diagonais do decágono é
a) 50 b) 70 c) 25 d) 40 e) 35
3. O valor de 𝑥 no pentágono abaixo é igual a:
a) 25°
b) 40°
c) 250°
d) 540°
e) 1.000°
4. Um robô, caminhando em linha reta, parte de um ponto 𝐴 em direção a um ponto 𝐵, que distam entre si cinco metros. Ao chegar ao ponto 𝐵, gira novamente 60° à esquerda e caminha mais cinco metros, repetindo o movimento e o giro até retornar ao ponto de origem. O percurso do robô formará um polígono regular de
a) 10 lados.
b) 9 lados.
c) 8 lados.
d) 7 lados.
e) 6 lados.
5. Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura.
Nestas condições, o ângulo 𝜃 mede:
a) 108°.
b) 72°.
c) 54°.
d) 36°.
e) 18°.
6. Três pentágonos regulares congruentes e quatro quadrados são unidos pelos lados conforme ilustra a figura a seguir.
Acrescentam-se outros pentágonos e quadrados, alternadamente adjacentes, até se completar o polígono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻. . . 𝐴, que possui dois eixos de simetria indicados pelas retas 𝑟 e 𝑠. Se as retas perpendiculares 𝑟 e 𝑠 são mediatrizes dos lados 𝐴𝐵 e 𝐹𝐺, o número de lados do polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻. . . 𝐴 é igual a:
a) 18 b) 20 c) 24 d) 30 e) 36
7. Alguns polígonos regulares, quando postos juntos, preenchem o plano, isto é, não deixam folga, espaço entre si. Por outro lado, outras combinações de polígonos não preenchem o plano.
A seguir, exemplos desse fato: a Figura 1, formada por hexágonos regulares, preenche o plano; a Figura 2, formada por pentágonos e hexágonos regulares, não preenche o plano.
Na Figura 2, a medida do ângulo 𝑥 é igual a a) 14°
b) 12°
c) 10°
d) 8°
e) 6°
8. Na figura abaixo, as retas 𝑟 e 𝑠 são paralelas. A soma 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝛿 das medidas dos ângulos indicados na figura é:
a) 180°.
b) 270°.
c) 360°.
d) 480°.
e) 540°.
9. Um desenhista foi interrompido durante a realização de um trabalho, e seu desenho ficou como na figura abaixo.
Se o desenho estivesse completo, ele seria um polígono regular composto por triângulos equiláteros não sobrepostos, com dois de seus vértices sobre um círculo, e formando um ângulo de 40° como indicado na figura.
Quando a figura estiver completa, o número de triângulos equiláteros com dois de seus vértices sobre o círculo é
a) 10.
b) 12.
c) 14.
d) 16.
e) 18.
10. Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras:
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um
a) triângulo.
b) quadrado.
c) pentágono.
d) hexágono.
e) eneágono.
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Gabaritos
Exercícios de fixação
1.
a) Não. Podemos pensar no retângulo, que possui todos os ângulos medindo 90°, mas seus lados não necessariamente possuem a mesma medida.
b) Não. Podemos pensar no losango, que possui todos os lados de mesma medida, mas seus ângulos não necessariamente possuem mesma medida.
2.
a) Resposta pessoal. O número de triângulos é sempre duas unidades menor que o número de lados do polígono.
b) O polígono teria 𝑛 − 2 triângulos.
c) Resposta pessoal. Deve ser o resultado do produto 180° ∙ (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠)
d) A soma seria 180° ∙ (𝑛 − 2). Dessa forma, concluímos o porquê de a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono convexo ser essa.
3. Ao longo do trajeto seu corpo terá dado um giro completo de 360°. Esse valor também coreesponde ao total que seu ângulo de visão percorreu durante todo o trajeto. Isso nos levar a concluir que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo sempre é 360°.
4.
a) Resposta pessoal, mas a resposta independe de qual polígono você escolha.
b) O número de diagonais será sempre três unidades menor que o número de lados do polígono, uma vez que um vértice não faz diagonal com si mesmo nem com os vértices adjacentes. Assim, de cada um dos 𝑛 vértices partem 𝑛 − 3 diagonais.
c) Todas as diagonais devem ter um risco. Isto é, se traçamos todas as diagonais que parte de cada vértice, vamos traçar todas as diagonais mais de uma vez (uma vez saindo de um vértice e chegando no outro, a outra no caminho inverso). Assim, essa forma de contagem nos faria contar o dobro de diagonais.
d) Se de cada vértice saem 𝑛 − 3 diagonais e temos 𝑛 vértices, teríamos 𝑛(𝑛 − 3) diagonais. Porém, esse processo nos faz contar cada diagonal duas vezes, como visto no item anterior. Assim, o número de diagonais de um polígono é 𝑑 =𝑛(𝑛−3)2 .
5.
a) Não ocorre a mesma coisa. Nenhum dos vértices tem um correspondente simétrico em relação ao centro, do outro lado do polígono.
b) No caso de 𝑛 ser par, cada um dos vértices tem um correspondente simétrico, que está “do outro lado” do polígono regular. Por esse motivo, podemos dizer que temos 𝑛2 pares de vértices simétricos.
Note que a diagonal que sai de um vértice e vai até o vértice oposto necessariamente passa pelo centro do polígono regular. Assim, 𝑛2 diagonais passam pelo centro. No caso de 𝑛 ímpar, não há esse correspondente simétrico e, com isso, nenhuma diagonal passa no centro do polígono regular.
Exercícios de vestibulares
1. E
Usaremos a fórmula do ângulo interno de um polígono regular:
𝒂𝒊=(𝑛 − 2) ∙ 180°
𝑛 =(7 − 2) ∙ 180
7 =5 ∙ 180
7 ≅ 𝟏𝟐𝟖, 𝟓°
Por fim, temos que o ângulo externo é o suplemento do ângulo interno. Então, o ângulo externo valerá 𝟏𝟖𝟎° − 𝟏𝟐𝟖, 𝟓° = 𝟓𝟏, 𝟓°
2. E
Calculando o número de diagonais do decágono:
𝒅 =𝑛 ∙ (𝑛 − 3)
2 =10 ∙ (10 − 3)
2 = 𝟑𝟓
3. B
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo pode ser calculada por meio da fórmula a seguir, onde 𝒏 é o número de lados do polígono.
𝑺𝒊= 𝟏𝟖𝟎° ∙ (𝒏 − 𝟐) Ou seja, a soma dos ângulos internos de um pentágono será
𝑺𝒊= 𝟏𝟖𝟎° ∙ (𝒏 − 𝟐) = 𝟏𝟖𝟎° ∙ (𝟓 – 𝟐) = 𝟏𝟖𝟎° ∙ 𝟑 → 𝑺𝒊= 𝟓𝟒𝟎°
Assim, sabendo que a soma dos ângulos internos do pentágono é 540°, podemos escrever que:
540 = 2𝑥 + 30 + 5
2𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 + 50 + 4𝑥 – 40 540 = 10𝑥 + 5
2𝑥 + 40 → 1000 = 25𝑥 → 𝑥 = 40°
4. E
5. D
Pela figura, temos que soma dos 𝟑 ângulos internos dos pentágonos com o ângulo 𝜽 é igual a 𝟑𝟔𝟎° (uma volta completa). Logo, temos que descobrir a medida dos ângulos internos de um pentágono regular.
A fórmula da medida dos ângulos internos de um polígono regular é:
𝑺𝒊=𝟏𝟖𝟎° ∙ (𝒏 − 𝟐) 𝒏 Onde 𝒏 é a quantidade de lados do polígono.
Desse modo, cada um dos pentágonos terá soma dos ângulos internos igual a:
𝑺𝒊=𝟏𝟖𝟎° ∙ (𝟓 − 𝟐) 𝟓 𝑺𝒊=𝟏𝟖𝟎° ∙ 𝟑
𝟓 =𝟓𝟒𝟎°
𝟓 = 𝟏𝟎𝟖°
Agora, como a soma desses 𝟑 ângulos de medida 𝟏𝟎𝟖° com o ângulo 𝜽 deve ser 𝟑𝟔𝟎°, temos que:
𝟏𝟎𝟖° + 𝟏𝟎𝟖° + 𝟏𝟎𝟖° + 𝜽 = 𝟑𝟔𝟎°
𝟑𝟐𝟒° + 𝜽 = 𝟑𝟔𝟎°
𝜽 = 𝟑𝟔𝟎° − 𝟑𝟐𝟒°
𝜽 = 𝟑𝟔°
6. B
A questão nos diz que o polígono regular 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯. . . 𝑨 possui dois eixos de simetria. A saber, as retas 𝒓 e 𝒔. Por isso, podemos afirmar que o quadrante mostrado no desenho representa 𝟏
𝟒 do polígono.
Contando os lados, vemos que, neste quadrante, temos 5 lados. Multiplicando por 4, por serem 4 quadrantes, temos como resultado 20. Ou seja, o polígono possui 20 lados.
7. B
Calculando a medida do ângulo do interno do pentágono regular:
𝒂𝒊=𝟏𝟖𝟎°(𝒏 − 𝟐)
𝒏 =𝟏𝟖𝟎°(𝟓 − 𝟐)
𝟓 =𝟏𝟖𝟎° ∙ 𝟑
𝟓 = 𝟏𝟎𝟖°
Calculando a medida do ângulo interno do hexágono regular:
𝒂𝒊=𝟏𝟖𝟎°(𝒏 − 𝟐)
𝒏 =𝟏𝟖𝟎°(𝟔 − 𝟐)
𝟔 =𝟏𝟖𝟎° ∙ 𝟒
𝟔 = 𝟏𝟎𝟖 Portanto:
𝒙 + 𝟏𝟎𝟖° + 𝟐 ∙ 𝟏𝟐𝟎° = 𝟑𝟔𝟎° → 𝒙 = 𝟏𝟐°
8. E
Trace uma reta perpendicular à 𝒓 e 𝒔. Dessa forma, temos formado um hexágono. Determinemos, então, a soma de seus ângulos internos:
𝑆𝑖= 180°(𝑛 − 2) 𝑆𝑖= 180°(6 − 2)
𝑆𝑖= 720°
Portanto,
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝛿 + 90° + 90° = 720°
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝛿 = 540°
9. E
A medida de cada um dos ângulos internos do polígono será 60° + 60° + 40° = 160°.
Portanto, cada um de seus ângulos externos será de 20°. Admitindo que 𝑛 é o número de lados do polígono regular, podemos escrever:
360°
𝑛 = 20° → 𝑛 =360°
20° → 𝑛 = 18
Logo, o número de triângulos será igual ao número de lados, ou seja 18.
10. B
Cada ângulo interno do octógono regular mede 135° e cada ângulo interno do quadrado mede 90°.
