DUAS ABORDAGENS DE SISTEMAS INTELIGENTES PARA A SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE DESPACHO ECONÔMICO

A pesquisa Operacional e os Recursos Renováveis 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN

DUAS ABORDAGENS DE SISTEMAS INTELIGENTES

PARA A SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE DESPACHO ECONÔMICO

Leticia Takahashi

Universidade Estadual Paulista – UNESP – Bauru – SP Departamento de Engenharia Elétrica

takahashi_let@yahoo.com.br

Leonardo Nepomuceno

Universidade Estadual Paulista – UNESP – Bauru – SP Departamento de Engenharia Elétrica

leo@feb.unesp.br

Ivan Nunes da Silva

Universidade Estadual Paulista – UNESP – Bauru – SP Departamento de Engenharia Elétrica

ivan@feb.unesp.br

Resumo: Neste artigo, o problema de Despacho Econômico (DE) é resolvido por duas abordagens baseadas em sistemas inteligentes: redes neurais artificiais e algoritmos genéticos.

Os algoritmos de otimização convencional têm apresentado problemas para resolver o DE nos casos em que as funções envolvidas apresentam características de não convexidade e/ou não diferenciabilidade. As abordagens neurais, mais especificamente a rede de Hopfield, vêm se mostrando boas ferramentas no estudo do DE quando funções objetivo não convexas são estudadas. Na Rede de Hopfield Modificada (RHM) aqui analisada, alguns problemas rotineiramente encontrados em outras abordagens neurais, tais como soluções infactíveis e a não convergência aos pontos de equilíbrio (que representam uma solução para o sistema), são tratados de forma eficiente e robusta. A RHM tem tido ainda um bom desempenho no que diz respeito à velocidade de convergência, se comparada com outras abordagens neurais que em geral apresentam um número excessivo de iterações com um conseqüente aumento do esforço computacional. Já os algoritmos genéticos têm a facilidade de se adaptarem a problemas com características não-lineares e que não precisam de uma continuidade rigorosa da derivada da função custo, como geralmente são impostas pelas técnicas clássicas de busca. Assim sendo, a abordagem de algoritmo genético proposta neste trabalho consegue tratar de forma eficiente modelos de DE mais precisos, nos quais a função de custo das unidades geradoras leva em consideração características altamente não-lineares, tais como os pontos de válvula (que tornam a função não diferenciável). Resultados da simulação e uma análise comparativa das duas abordagens para a solução do DE são apresentados utilizando sistemas teste.

Palavras-Chave: Despacho Econômico, Redes Neurais, Algoritmos Genéticos, Ponto de Válvula.

Abstract: The economic dispatch (DE) problem is solved in this paper by two intelligent

system approaches: artificial neural networks and genetic algorithms. Conventional optimization

algorithms have presented some drawbacks when solving certain DE problems presenting non-

convexity or non-differentiability issues. The neural approaches, specially the Hopfield

network, have proven its efficiency as good tools for solving the DE when such problem

presents non-convex objective functions. In the Modified Hopfield network (RHM) studied in

this work some problems being highlighted in the literature, such as infeasible solutions or bad

convergence rates to the equilibrium points, have been effectively handled. The RHM has also

presented a good convergence rate when compared to other neural approaches, which, in general, take thousands of iteration to reach the solution. The Genetic algorithms have proven to be suitable for solving optimization problems presenting non-linear and non-differentiable cost functions. Thus, the genetic algorithm approach presented in this work is able to solve more accurate DE problems, in which the valve point loading is introduced in the cost function analysis. The valve point introduces non-differentiability characteristics in the objective function. Simulation results and a comparative analysis of the intelligent approaches studied in this work are presented in the final sections of the paper.

Keywords: Economic Dispatch, Neural Networks, Genetics Algorithms, Loading Valve Point.

1. Introdução

O problema de Despacho Econômico (DE) consiste em calcular os níveis de geração de

cada unidade geradora de um sistema de energia,

aparecem quando são considerados os chamados pontos de carregamento de válvula [12] de unidades de geração térmica.

Este artigo tem como objetivo básico a comparação numérica e conceitual entre duas abordagens baseadas em sistemas inteligentes, quais sejam: a rede de Hopfield Modificada, descrita em [7], e uma abordagem baseada em algoritmos genéticos descrita neste trabalho.

O artigo é organizado como se segue. Na Seção 2 é descrita a formulação do problema de DEC. Na Seção 3, é apresentada a rede de Hopfield Modificada e descrita a técnica do subespaço válido para projetar os parâmetros da rede. Um mapeamento do problema de DEC usando a rede de Hopfield Modificada é apresentado na Seção 4. Na Seção 5 é apresentado o Algoritmo Genético proposto. Na Seção 6, resultados das simulações envolvendo as duas abordagens são apresentados para validar e comparar os métodos desenvolvidos. Na Seção 7, as conclusões principais são apresentadas.

2. Descrição do Modelo de Despacho Econômico Clássico (DEC)

A formulação do Despacho Econômico é matematicamente descrita pelo seguinte problema de otimização:

( )















+

=

≤

≤

=

∑

∑

=

=

) 3 (

) 2 ( :

A consideração das características não-lineares e pontos de válvula apresentam, dificuldades tais como as descontinuidades da derivada da função custo e com vários pontos de ótimos locais. Neste caso, o problema pode ser solucionado através de Programação Dinâmica (PD), que trabalha diretamente por enumeração de todas as possíveis soluções e avalia o problema em estágios (que correspondem às estratégias de operação), escolhendo o estado ótimo (que corresponde ao despacho com custo mínimo), recursivamente. As dimensões deste problema podem se tornar extremamente grandes e cada estágio pode exigir avaliações excessivas das relações recursivas [13].

Fig. 1 Funções típicas de custo de geração, para unidades de geração térmica, e de perdas para unidades de geração hidráulicas.

Para as unidades hidráulicas a função que melhor tem representado o problema de despacho é a função de perdas na geração proposta em [15]. Esta função é calculada de forma a representar as perdas no sistema de geração relacionadas com: o rendimento da máquina, a altura de queda de jusante, as perdas nas tubulações. Estão mostrados no gráfico da figura 1 (à direita), várias situações de perdas para a usina, a qual pode operar com 1, 2, 3 ou 4 unidades de geração. Por simplicidade, as 4 situações de perdas são mostradas ao mesmo tempo no gráfico.

As faixas de cavitação

também são mostradas no gráfico.

As abordagens tradicionais de solução de problemas de otimização têm sérias deficiências para tratar problemas com funções objetivos descontínuas e não diferenciáveis [14], conforme mostrado na figura 1. Os algoritmos genéticos não apresentam dificuldades em lidar com tais funções, já que as derivadas da função não são requeridas. Assim, a motivação básica para a aplicação de AGs para a solução de problemas de DEC reside basicamente no comportamento da função objetivo descrito na figura 1. Os AGs têm facilidade de se adaptar a problemas com características não-lineares e que não precisam que a derivada da função objetivo seja estritamente contínua no espaço

considerado. Outro ponto que também motiva a aplicação de AGs para a solução do problema está relacionado a um melhor mapeamento do espaço de otimização.

3. A Rede de Hopfield Modificada

As redes de Hopfield têm sido aplicadas em diversas classes de problemas de otimização, demonstrando grande habilidade na resolução destes tipos de problemas

1 Faixas de operação nas quais unidades de geração hidráulica não podem operar.

eficientemente. Pode ser verificado em [8][9] que os pontos de equilíbrio da rede de Hopfield correspondem aos valores v(t) para os quais a função de energia (5) associada com a rede, é minimizada:

( ) ( )

( )

T t t t

t

E =− v Tv −v i

2 ) 1

(

(5) Um mapeamento do DE usando uma rede de Hopfield consiste em se determinar a matriz de pesos T e o vetor de entradas i b para obter os pontos de equilíbrio. Uma função de energia modificada E

(t) é usada neste processo. Esta função é definida como segue:

( ) t E ( ) t E ( ) t

E

=

+

(6) onde Econf(t) é um termo de confinamento que agrupa as restrições de igualdade e desigualdade; e Eot(t) é um termo de otimização que conduz a saída da rede aos pontos de equilíbrio. Este método é contrastante com a maioria das abordagens neurais usadas em problemas de DE, o que as tornam ineficientes pelo fato de tratarem estes termos em uma única função de energia [7]. A operação da rede de Hopfield modificada consiste de três passos principais:

Passo (I): Minimização de Econf, correspondendo à projeção de v(t) no subespaço-válido definido por:

( )

conf t

t T v i

v( +1)= +

(7) onde:

T

é uma matriz projeção (T

. T

= T

) e o vetor i

é ortogonal ao subespaço (T

.i

= 0). Uma análise da técnica do subespaço-válido é apresentada em [10].

Passo (II): Aplicação de uma função de ativação do tipo rampa simétrica não-linear [8]

restringindo v(t) em um hipercubo:

se ,

se ,

se , )

(

i max max

max min

min min









>

≤

≤

>

=

i i

i i i i

i i i

i i

v v v

v v v v

v v v

v

g

(8)

onde

.

Passo (III): Minimização de Eot, o que envolve a atualização de v(t) na direção da solução ótima (definida por T ot e i ot ) correspondendo aos pontos de equilíbrio da rede. Estes pontos são também as soluções para o problema do despacho econômico. Aplicando o gradiente em relação ao termo de energia Eot(t):

v v v

∂

∂ ( ) )

( E t

dt t

d

−

=

= _& (9)

( ) (

)

ot

t

E

t v T v i

v = − ∆ ∇ = ∆ +

∆

Desta forma, a minimização do termo E

(t) consiste em atualizar v(t) na direção oposta ao

gradiente de E

(t). Cada iteração possui 2 estágios diferentes. Primeiro, como descrito no Passo

(III), v é atualizado usando o gradiente do termo E

(t) separadamente. Em seguida, após cada

atualização, v é diretamente projetado no subespaço-válido. Este é um processo iterativo, no

qual v é primeiramente projetado ortogonalmente no subespaço-válido definido em (7). Em

seguida, os seus elementos são limitados pela função de ativação rampa-simétrica (8) dentro do

intervalo

.

4. Mapeamento do DEC Pela Rede de Hopfield Modificada

Como observado na seção 2, o DEC consiste em minimizar uma função custo na presença de restrições lineares de igualdade e desigualdade. Uma vez que restrições de igualdade podem ser facilmente convertidas em restrições de desigualdade assume-se, por simplicidade, apenas restrições de desigualdade. Considere o seguinte problema de otimização restrita, com m restrições e n variáveis, definido a seguir:

max min

confot T

. : ) ( E : s.a.

C (v) E Min

z v z

b v A

v ^T

≤

≤

≤

=

(10)

onde A ∈ ℜ

, b ∈

, e v, z

, z

∈ ℜ

. As restrições de desigualdade em (10) definem as fronteiras de um poliedro convexo. No problema DE temos v

= [P

F

], o qual deve permanecer dentro deste poliedro caso o mesmo represente uma solução válida para o problema.

A técnica do subespaço-válido garante que a primeira restrição de desigualdade em (10) seja satisfeita. Além disso, o hipercubo inicial representado pelas restrições canalizadas em (10) é mapeado diretamente pela função rampa-simétrica (8) usada como uma função de ativação da rede.

Os termos T

e i

são calculados pela transformação das desigualdades em (10) em igualdades, introduzindo-se variáveis de folga [11] w ∈ ℜ

, conforme a seguir.

0 . )

(

1

= +

∑

= j q

j ij

i w

g v δ

(11) sendo que δ

é definido pela função impulso de Kronecker:





= ≠

j i

j i

ij 0 , se

= se ,

δ 1

(12)

Após esta transformação, o problema definido em (10) pode ser rescrito como:

} ..

1 { 0

} ..

1 { .

) ( : ) ( :

. .

) (

max max min

+ +

+

+ + +

+

∈

≤

≤

∈

≤

≤

=

=

N n i z

v

n i z

v z

b v A v E a s

C v E Min

i i

T

conf ot T

(13)

onde N

= n + m, e v

= [v

w

] ∈ ℜ

é um vetor de variáveis estendidas. Como no problema DE as linhas de A

são linearmente independentes, então a solução para a restrição de igualdade de (13) será dada por:

v

= A

.( A

.A

)

.b

(14) e a expressão do subespaço-válido em (7) deve levar em consideração esta solução, i.e.:

i

= A

.( A

.A

)

.b

(15) O parâmetro T

é deduzido como segue:

v

= T

. v

+ i

(16) v

= T

. v

+ A

.( A

.A

)

.b

(17) A expressão para T

é dada por:

T

= I – A

.(A

.A

)

. A

(18)

onde I é a matriz identidade. Os parâmetros T

e i

neste caso são tais que o vetor v

é atualizado na direção oposta ao gradiente da função de energia E

. Uma vez que as condições dadas no problema (13) definem um poliedro convexo fechado, então sua função objetivo possui um único mínimo global (|T

=0|). Assim, usando (5) e (9), os pontos de equilíbrio da rede podem ser calculados assumindo-se os seguintes valores para T

and i

:



 



−

=

N ot

v f v f v f

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ( ) ( )

) (

2 1

v v

i v L

(19) T

= 0 (20)

5. Resolução do DEC por Algoritmos Genéticos

Algoritmos Genéticos (AGs) são algoritmos de busca baseados nos mecanismos da seleção natural e da genética [14]. Os AGs combinam “sobrevivência dos mais aptos” com uma troca de informações, ao mesmo tempo, estruturada e aleatória. Uma população de strings, representando soluções de um problema específico, é mantida pelo algoritmo genético. O algoritmo genético cria iterativamente novas populações, a partir da população inicial, selecionando strings e cruzando as mais aptas para gerar novas strings que, espera-se, estejam mais próximas da solução ótima do problema dado. Em cada geração, criam-se novas strings a partir de bits e pedaços de strings anteriores, adicionando novos dados para evitar a estagnação da população. Apesar de usar oportunamente a idéia de aleatoriedade para realizarem uma pesquisa, é preciso ficar bem claro que os AGs não são simples algoritmos aleatórios de pesquisa [14]. Os AGs não são desprovidos de direção de pesquisa, eles utilizam o conhecimento adquirido de gerações anteriores de strings para construir uma nova geração que irá se aproximar da solução ótima [14]. Estes algoritmos fornecem robustez, eficiência e flexibilidade quando pesquisam espaços de problemas em busca da solução ótima.

AGs não impõem muitas das limitações encontradas nos métodos de busca tradicionais.

Os AGs diferem dos métodos tradicionais de busca e otimização, principalmente nos seguintes aspectos: i) AGs trabalham com uma população e não com um único ponto; isto dá aos AGs a capacidade de pesquisar em espaços ruidosos com vários pontos ótimos locais ii) Os AGs observam diferentes áreas do espaço do problema de uma só vez e usam todas estas informações para se guiarem. iii) AGs utilizam informações de custo (função objetivo), e não derivadas ou outro conhecimento auxiliar. Uma vez conhecido este valor, os AGs podem usá-lo para continuar a pesquisa pelo valor ótimo. iv) AGs utilizam regras de transição probabilísticas e não determinísticas. Isto é resultado direto das técnicas randômicas usadas pelos AGs. Um AG simples é composto por três operações básicas, detalhadas a seguir: Reprodução, Crossover e Mutação.

A reprodução permite que strings sejam copiadas para as próximas gerações. A possibilidade de uma string ser copiada é baseada em seu valor de adaptação (função objetivo).

Para cada geração, a operação de reprodução escolhe algumas strings que serão utilizadas para realizarem cruzamentos. Há muitas formas de implementar o operador reprodução. Neste trabalho a reprodução é implementada através da chamada “Roleta Giratória” (Roulette Wheel [14]), onde cada string da população tem uma proporção na roleta em relação ao valor de adaptação. O algoritmo do Método da Roleta pode ser descrito da seguinte maneira:

1. [Soma] Calcular a soma dos valores de adaptação de todos os indivíduos - soma S.

2. [Seleção] Gerar um número aleatório r dentro do intervalo (0,S).

3. [Loop] Começar a somar os valores de adaptação dos indivíduos até atingir ou ultrapassar o valor r. Retornar o último indivíduo utilizado na soma.

Após a reprodução, que definiu o conjunto das strings reprodutoras, o Crossover é

aleatoriamente do grupo das progenitoras. As strings

3.1.Seleção: Selecionar dois cromossomos pais da população de acordo com seus valores de adaptação (os mais adaptados têm maior chance de serem selecionados).

3.2.Crossover: Com a probabilidade de Crossover, cruzar os cromossomos selecionados no item anterior para formar as novas strings filhas. Se nenhum Crossover foi executado, as strings filhas serão cópias exatas das progenitoras.

3.3.Mutação: Com a probabilidade de mutação, realizar mutações em cada locus (posição em um cromossomo) das novas strings produzidas.

3.4. Inserir as novas strings na nova população.

4. Substituição: Substituição da antiga população pela nova população gerada.

5. Condição de Parada: Verificar se as condições de parada são satisfeitas:

5.1. Se sim, parar a execução e retornar a melhor solução da população atual (geração das unidades com custo total mínimo do combustível).

5.2. Se não, voltar ao Passo 2.

O tamanho da população é um fator muito importante no desempenho dos AGs, já que uma população inicial muito pequena pode ocasionar ciclos e, por outro lado, populações muito grandes irão exigir um maior número de avaliações, comprometendo a eficiência do método. A função custo permite verificar a quantidade dos cromossomos ou soluções que dependem do problema a ser resolvido. Essa função mapeia cada cadeia de caracteres em um número real, sendo que os valores obtidos serão utilizados para a escolha das cadeias que permanecerão na população e serão responsáveis pelos descendentes dessa população. Assim, aqueles que tiverem valores altos serão os responsáveis pela formação da população futura e aqueles com valores baixos tendem a desaparecer, não contribuindo com a nova geração.

6. Resultados da Simulação

Nesta seção, resultados da simulação e análises comparativas são apresentados para validar os métodos desenvolvidos. Em todos os exemplos, na execução do método utilizando o Algoritmo Genético, foram consideradas as seguintes informações:

Número de gerações: 100

Número de indivíduos por geração: 100

Quantidade de bits de representação por unidade: 11 Percentagem de ocorrência de crossover: 0,95

Percentagem de ocorrência de mutação: 0,01

Em todos os exemplos, as execuções dos métodos foram realizadas utilizando um processador Intel 1000 MHz, Pentil III.

Exemplo 1:

O sistema assumido neste exemplo é composto por três unidades geradoras que suportam uma demanda total de 850 MW. Os parâmetros relativos à função custo são apresentados na Tabela 1, onde a

, b

e c

são constantes de custo para a unidade i; P

e P

são, respectivamente, a mínima e máxima geração de saída do gerador i e e

e f

são as constantes relativas ao ponto de válvula.

Tabela 1 – Parâmetros Iniciais – Sistema de 3 Barras Unidade a

b

c

Pi

(MW)

(MW) e

f

1 561 7,92 0,001562 100 600 900 0,0315

2 310 7,85 0,001940 100 400 600 0,0420

3 78 7,97 0,004820 50 250 450 0,0630

A Tabela 2 apresenta os resultados obtidos pela execução da rede de Hopfield Modificada (RHM) e do Algoritmo Genético proposto. Para o AG mostrado na tabela, assim como para a RHM considerou-se a função de custo aproximada: sem o ponto de válvula. Para AGV o problema de DEC foi formulado considerando o ponto de válvula. A RHM não foi aplicada à solução deste, já que também não consegue lidar com a não diferenciabilidade da função objetivo.

Tabela 2 – Resultados da Simulação.

Método P

(MW) P

(MW) P

(MW) Custo ($) RHM 389,27 337,23 123,50 8194,40

AG 391,99 331,70 126,31 8194,40

AGV 399,361 299,61 151,03 8259,50

O custo total obtido pelo método da RHM e pelo AG, quando são desconsideradas as características não lineares e "pontos válvula" na função custo das unidades geradoras, é de

$8194,40. Pode-se verificar que a RHM, e o AG são capazes de lidar com funções de custo não- lineares, encontrando para estes casos sempre uma solução factível, entretanto o caráter não diferenciável da função objetivo não pode ser tratado pela rede neural. A RHM encontrou a solução em aproximadamente 50 iterações e 10 segundos. Ao tratarmos o ponto de válvula utilizando o algoritmo genético proposto, o custo total obtido foi de $ 8259,50. Neste sentido, observou-se, inicialmente, um aumento do custo do sistema de geração quando os "pontos válvula" são considerados, comparando-se com o método anterior que não os consideram.

Verificou-se ainda que o algoritmo genético proposto supera outra importante deficiência atribuída aos métodos convencionais de otimização: as dificuldades inerentes à descontinuidade da derivada da função custo e a existência de vários pontos ótimos locais. Estes algoritmos fornecem robustez, eficiência e flexibilidade quando pesquisam espaços de problemas de busca da solução ótima. O método que utiliza Algoritmos Genéticos converge para soluções ótimas ou aproximadamente ótimas em níveis globais, encontrando a solução em aproximadamente 26 segundos.

Exemplo 2:

O sistema assumido neste exemplo é composto por cinco unidades geradoras que suportam uma demanda total de 860 MW. Os parâmetros relativos à função custo são apresentados na Tabela 3.

Tabela 3 – Parâmetros Iniciais – Sistema de 5 Barras

Unidade a

b

c

(MW)

(MW) e

f

1 550 8,10 0,00028 0 680 870 0,02094

2 126 8,60 0,00284 0 120 30 0,06283

3 240 7,74 0,00324 0 180 120 0,05712

4 309 8,10 0,00056 0 360 390 0,03927

5 240 7,74 0,00324 0 180 120 0,05236

A Tabela 4 é análoga à tabela 2 anterior.

Tabela 4 – Resultados da Simulação.

Método P

(MW) P

(MW) P

(MW) P

(MW) P

(MW) Custo ($)

RHM 287,02 37,83 180,00 175,10 180,00 8574,16

AG 348,51 13,72 95,32 314,45 88,00 8508,50 AGV 198,65 33,36 104,00 359,65 164,35 8689,65

A RHM atingiu a solução de custo mínimo em aproximadamente 35 iterações e 23 segundos. A maioria das redes neurais podem levar milhares de iterações para atingir os pontos de equilíbrio.

Na RHM aqui estudada tais problemas relacionados à velocidade de convergência são efetivamente contornados. Também neste caso, não foi possível a aplicação da RHM à solução do DEC considerando pontos de válvula, devido, à descontinuidade da derivada da função custo. Com o Algoritmo Genético proposto, problemas sem e com "pontos válvula" podem ser otimizados com boa aproximação. O AG obteve a solução de custo mínimo em aproximadamente 45 segundos.

7. Conclusão

As técnicas convencionais de otimização têm apresentado problemas para resolver modelos de DEC quando funções não-diferenciáveis e/ou não convexas descrevem estes modelos. Nestes casos, a aplicação de técnicas de sistemas inteligentes tem apresentado bons resultados. Este artigo desenvolve duas abordagens de sistemas inteligentes para resolver problemas de DEC. Na Rede de Hopfield Modificada avaliada, os pontos de equilíbrio são obtidos eficientemente e a viabilidade da solução do DEC é garantida pela técnica de subespaço válido adotada. No método baseado em AG, o problema do despacho pode ser representado de uma forma mais precisa, dado que a função custo das unidades geradoras considera pontos de válvula e características não-lineares bem acentuadas. A utilização de métodos matemáticos convencionais, baseados em derivadas, não é possível de ser implementada dadas as descontinuidades das derivadas da função objetivo e os vários pontos de ótimos locais. Já o AG aqui proposto, tem a facilidade de se adaptar a problemas com características não-lineares e que não precisam de uma continuidade rigorosa da derivada da função objetivo. Os resultados focalizam as discrepâncias entre o modelo de RHM e AG. Os resultados mostram que a RHM é eficiente nos casos em que funções não convexas são utilizadas, entretanto não podem resolver problemas de DEC envolvendo funções objetivo não diferenciáveis. Por outro lado os AGs obtiveram soluções para todos os tipos de DEC estudados.

8. Referências Bibliográficas

[1] B. H. Chowdhury and S. Rahman, “A Review of Recent Advances in Economic Dispatch”, IEEE Trans. Power Systems, vol. .5, pp. 1248-1257, 1990.

[2] H. H. Happ, “Optimal Power Dispatch - A Comprehensive Survey”, IEEE Trans. Power Apparatus and Syst., vol. PAS-96, pp. 841-854, 1977.

[3] J. S. Luo, E.F. Hill, T. H. Lee, “Power System Economic Dispatch Via Network Approach”, IEEE Trans. Power App. and Systems, vol. PAS 103, pp. 1242-1248, 1984.

[4] G.F. Reid, L. Hasdorff, “Economic dispatch using quadratic programming”, IEEE Trans.

Power App. and Systems, vol. PAS 92, pp. 2015-2023, 1973.

[5] Yan X. and Quintana V. H. “An Efficient Predictor-Corrector Interior Point Algorithm for Security-Constrained Economic Dispatch”, IEEE Trans on Power Syst. Vol 12, no. 2, pp 803-810, 1997.

[6] A. Jiang and S. Ertem, “Economic Dispatch with Non-Monotonically Increasing Incremental Cost Units and Transmission System Losses”, IEEE Trans. Power Systems, vol. 10, pp.

891-897, 1995.

[7] I. N. Silva and L. Nepomuceno, “An Efficient Neural Approach to Economic Load Dispatch

in Power Systems”, IEEE PES Summer Meeting, Vancouver, CD-ROM, 2001.

[8] J. J. Hopfield, “Neurons with a Graded Response Have Collective Computational Properties Like Those of Two-State Neurons”, Proc. of the National Academy of Science, vol. 81, pp.

3088-3092, 1984.

[9] S. V. B. Aiyer, M. Niranjan and F. Fallside, “A Theoretical Investigation into the Performance of the Hopfield Model”, IEEE Trans. on Neural Networks, vol. 1, pp. 204-215, 1990.

[10] I. N. Silva, L. V. R. Arruda and W. C. Amaral, “A Modified Hopfield Architecture for Solving Nonlinear Programming Problems with Bounded Variables”, Neural Network World, vol. 10, pp. 713-722, 2000.

[11] M. S. Bazaraa and C. M. Shetty, “Nonlinear Programming”, John Wiley & Sons, New York, 1979.

[12] A. H. Noyola, W. M. Grady, G. L. Viviane, “An Optimized Procedure for Determining Incremental Heat Rate Characteristics”, IEEE Trans. Power Systems, vol. 5, pp. 376-383, May 1990.

[13]R.R. Shoults, S.V. Venkantesh, S.D. Helmich, G.L. Ward, M.J. Lollar, “A Dynamic Programming based method for developing dispatch curves when incremental heat rate curves are non-monotonically increasing”, IEEE Trans, 1986, PWRS-1, (1), pp 10-16.

[14]D.E. Goldberg, “Genetic Algorithms in Search Optimization & Machine Learning”, Addison-Wesley, Reading, MA, 1989.

[15]Soares, S. e Salmazo, C. T. “Minimum Loss Predispatch Model for Hidroelectric Power

Systems”, IEEE Trans. On Power Syst., vol. 12, no. 3, pp. 1220 – 1228, August, 1997.