Aula 09 – Matrizes, Determinantes e Sistemas
Raciocínio Lógico-Quantitativo p/ Analista da CGU – 2019
Sumário
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES ... 3
MATRIZES ... 3
DETERMINANTES ... 7
Matriz de ordem 1 ... 7
Matriz de ordem 2 ... 7
Matriz de ordem 3 ... 7
Matriz de ordem 4 ou superior ... 9
Propriedades dos determinantes ... 11
SOLUÇÃODESISTEMASLINEARES ... 13
QUESTÕES COMENTADAS PELO PROFESSOR ... 20
LISTA DE QUESTÕES DA AULA ...64
GABARITO ... 81
RESUMO DIRECIONADO ... 82
Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima.
É com muita alegria que inicio mais essa aula.
Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro:
Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares
Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo:
MATRIZES
Uma matriz Mmxn é uma tabela com m linhas e n colunas. Os elementos desta tabela são representados na forma aij, onde i representa a linha e j representa a coluna deste termo. Ex.: abaixo temos uma matriz A2x3. Veja que o termo a13, por exemplo, é igual a -3:
7 4 3 2 1 0
A
Dizemos que a ordem desta matriz é 2x3. A partir dela, podemos criar a matriz transposta AT, que é construída trocando a linha de cada termo pela sua coluna, e a coluna pela linha. Repare que a ordem de AT é 3x2:
7 2 4 1
3 0 AT
Uma matriz é quadrada quando possui o mesmo número de linhas e colunas. Ex.: abaixo temos uma matriz quadrada de ordem 3:
1 3 0 3 1 5 0 5 1 A
Esta matriz possui uma diagonal principal, que neste exemplo é formada pelos números 1. A outra diagonal é dita secundária. Repare que, em relação à diagonal principal, os demais termos dessa matriz são simétricos. Veja que, em uma matriz simétrica, a transposta é igual à matriz original, isto é, AT = A.
Dizemos, portanto, que uma matriz é simétrica quando os termos de um lado da diagonal principal são IGUAIS aos termos correspondentes do outro lado desta diagonal. De forma análoga, dizemos que uma matriz é antissimétrica quando os termos de um lado da diagonal principal são o OPOSTO dos termos do outro lado da diagonal principal. Isto é, se tivéssemos 3 de um lado da diagonal, precisaríamos ter -3 do outro lado, e assim por diante, para construir uma matriz antissimétrica.
Para somar ou subtrair duas matrizes, basta somar ou subtrair os termos correspondentes. Repare que as matrizes precisam ser de mesma ordem. Ex.:
1 3 0 1 3 0 2 6 0
3 1 5 3 1 5 6 2 10 0 5 1 0 5 1 0 10 2
Veja este exercício:
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) Dadas a matriz 2 3 0 0 1 1
A
e a matriz 3 1 1 1 1 2
B
, assinale a alternativa que apresenta a matriz C que representa a soma da matriz A e B, ou seja, C = A + B:
a) 2 3 0 0 1 1
C
b) 3 1 1
1 1 2
C
c) 2 3 0
1 1 1
C
d) 3 1 1
1 3 2
C
e) 5 4 1 1 0 1
C
RESOLUÇÃO:
A soma de duas matrizes A e B equivale à matriz resultante da soma dos elementos correspondentes entre A e B, ou seja, se A = (aij)m x n e B = (bij)m x n, então os elementos da matriz C = A + B é dado por cij = (aij + bij)m x n. Assim, teremos
A + B = C
+ = C
+ =
+ =
C = Resposta: E
Para multiplicar um número por uma matriz, basta multiplicar cada termo da matriz por aquele número.
Ex:
1 3 0 10 30 0 10 3 1 5 30 10 50
0 5 1 0 50 10
Ao multiplicar 2 matrizes, cada termo da nova matriz é formado pela soma das multiplicações de cada termo de uma linha da primeira matriz por cada termo de uma coluna da segunda matriz. Veja:
7 4 3 1 2 7 1 4 0 ( 3) ( 1) 7 ( 2) 4 1 ( 3) 0 10 10 2 1 0 0 1 2 1 1 0 0 ( 1) ( 2) ( 2) 1 1 0 0 2 5
1 0
Repare que multiplicamos uma matriz de ordem 2x3 por outra de ordem 3x2, e obtivemos uma matriz 2x2. Veja que só é possível multiplicar 2 matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. E a ordem da matriz resultado será formada pelo número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. Além disso, a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, AxB não é, necessariamente, igual a BxA. Veja que:
1 2 11 2 3
7 4 3
0 1 2 1 0
2 1 0
1 0 7 4 3
Veja essa questão comigo:
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) Dada a matriz 1 3 A 4 2
e a matriz
1 2 B 3 4
, assinale a alternativa que apresenta a matriz C que representa o produto da matriz A e B, ou seja, C = A * B.
a) 2 10
10 16
C
b) 1 2
C 0 2
c) 3 0
C 4 16
d) 2 2
C 4 15
e) 8 10
10 16
C
RESOLUÇÃO:
Quando se tem duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)m x n, o produto de A por B é a matriz C = (cij)m x p, na qual cada elemento cij é a soma dos produtos obtidos ao multiplicar o 1º elemento da linha i de A pelo 1º elemento da coluna j de B; o 2º elemento da linha i de A pelo 2º elemento da coluna j de B, e assim sucessivamente. Ou seja:
C11 = a11 x b11 + a12 x b21 = (- 1) x 1 + 3 x 3 = -1 + 9 = 8 C12 = a11 x b12 + a12 x b22 = (- 1) x 2 + 3 x 4 = -2 + 12 = 10
C21 = a21 x b11 + a22 x b21 = 4 x 1 + 2 x 3 = 4 + 6 = 10 C22 = a21 x b12 + a22 x b22 = 4 x 2 + 2 x 4 = 8 + 8 = 16 Assim, teremos a seguinte matriz C =
Resposta: E
Chamamos de matriz Identidade de ordem “n” a matriz quadrada que possui todos os termos da diagonal principal iguais a 1, e todos os demais termos iguais a zero. Veja a matriz identidade de ordem 3:
3
1 0 0 0 1 0 0 0 1 I
Dada uma matriz A, chamamos de inversa de A, ou A-1, a matriz tal que:
A x A-1 = I (matriz identidade)
Como veremos a seguir, nem toda matriz quadrada possui inversa, isto é, nem toda matriz quadrada é inversível.
DETERMINANTES
O determinante de uma matriz é um número a ela associado. Aqui estamos tratando apenas de matrizes quadradas. Vamos aprender a calcular os determinantes de matrizes de diferentes ordens, ok?
Matriz de ordem 1
Em uma matriz quadrada de ordem 1, o determinante é o próprio termo que forma a matriz. Ex.:
Se A[3], então det(A) = 3
Matriz de ordem 2
Em uma matriz quadrada de ordem 2, o determinante é dado pela subtração entre o produto da diagonal principal e o produto da diagonal secundária. Veja:
Se 5 1
7 2
A
, então det(A) = 5x2 – 1x7 = 3
Matriz de ordem 3
Em uma matriz quadrada de ordem 3, o determinante é calculado da seguinte forma:
det
a b c
d e f aei bfg cdh ceg bdi afh g h i
Não tente decorar a fórmula acima. É mais fácil você gravar um procedimento. Em primeiro lugar, repita as duas primeiras colunas, como eu fiz abaixo:
Feito isto, basta multiplicar os termos no sentido da diagonal principal (retas azuis) e subtrair a multiplicação dos termos no sentido da diagonal secundária (retas verdes):
Veja que, com isso, chegamos exatamente à expressão:
a.e.i + d.h.c + g.b.f – a.h.f – g.e.c – d.b.i Exemplificando:
Se
1 2 3 0 4 5 1 3 0 A
,
Podemos fazer:
então det(A) = 1x4x0 + 2x5x1 + 3x0x3 – 3x4x1 – 2x0x0 – 1x5x3 = -17
Pratique esse exercício:
FUNIVERSA – IFB – 2012) O determinante da matriz
3 2 2
4 0 4 5 3 1
, de acordo com a regra de Sarrus, é igual a
a) 36 b) 42
c) 68 d) 92 e) 108
RESOLUÇÃO:
Esse determinante é dado por:
3x0x1 + 2x4x5 + 4x(-3)x(-2) – (-2)x0x5 – 3x4x(-3) – 2x4x1 = 0 + 40 + 24 + 0 + 36 – 8 =
92 RESPOSTA: D
Matriz de ordem 4 ou superior
De vez em quando pode aparecer na sua prova o cálculo de um determinante de ordem 4 ou superior.
Neste caso, devemos fazer o seguinte:
1 – escolher uma linha ou coluna da matriz (de preferência a que tiver mais zeros);
2 – calcular o cofator relativo a cada termo da linha ou coluna escolhida (já vamos aprender o cálculo de cofatores);
3 – multiplicar cada termo da linha ou coluna escolhida pelo seu respectivo cofator, e então somar tudo.
A “receita de bolo” para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem 4 ou superior está resumida acima. Vamos aprender a utilizar essa receita com base em um exercício de prova. Veja comigo:
FUNDATEC – SEFAZ/RS – 2014) O determinante da matriz
A) -32.
B) -26.
C) 14.
D) 16.
E) 28.
RESOLUÇÃO:
Vamos reproduzir a “receita de bolo” que vimos acima. O primeiro passo é escolher uma linha ou coluna da matriz, preferencialmente aquela com mais zeros. Neste caso, o melhor é escolher a quarta coluna, pois ela possui 2 zeros.
Agora, precisamos calcular o cofator relativo à cada termo da quarta coluna. Os termos da quarta coluna são o a14, a24, a34 e a44, certo? Chamaremos os respectivos cofatores de A14, A24, A34 e A44.
Mesmo que você não saiba ainda o que é um cofator, lembre que o último passo para o cálculo do determinante é multiplicar cada termo pelo seu respectivo cofator e somar tudo. Isto é:
Determinante = a14.A14 + a24.A24 + a34.A34 + a44.A44
Estou adiantando este passo para que você perceba o seguinte: como os termos a14 e a24 são iguais a zero, eu não preciso perder tempo calculando os cofatores A14 e A24, afinal eles serão multiplicados por zero, e o resultado final será inevitavelmente igual a zero.
Vamos calcular, portanto, os cofatores A34 e A44 apenas. Afinal de contas, o que é um cofator Aij de uma matriz? Simples:
Aij é igual a (-1)i+j multiplicado pelo determinante da matriz que sobra ao retirarmos a linha i e a coluna j
Vamos ver isso na prática? Para calcular o cofator A34, posso começar tirando a terceira linha e a quarta coluna da minha matriz. Veja o que sobra:
Olhando somente para os termos que sobraram, veja que temos uma matriz com 3 linhas e 3 colunas apenas, cujo determinante sabemos calcular:
Determinante = 1.3.1 + 2.1.2 + 2.1.1 – 1.3.2 – 2.2.1 – 1.1.1 Determinante = -2
O cofator A34 será, portanto:
A34 = (-1)3+4 . determinante A34 = (-1)7 . (-2)
Lembrando que, ao elevar -1 a um expoente ímpar, o resultado final é negativo, temos:
A34 = (-1) . (-2)
A34 = 2
Agora podemos calcular o cofator A44. Para isso devemos excluir a quarta linha e a quarta coluna da matriz original, ficando com:
Calculando o determinante 3x3 que restou, temos:
Determinante = 1.3.2 + 2.1.2 + 2.(-3).1 – 1.3.2 – 1.(-3).1 – 2.2.2 Determinante = -7
Assim, o cofator A44 é:
A44 = (-1)4+4 . determinante A44 = (-1)8 . (-7) Ao elevar -1 a um expoente par, o resultado é positivo. Assim:
A44 = 1 . (-7) A44 = -7
Agora podemos calcular o determinante da matriz original:
Determinante = a14.A14 + a24.A24 + a34.A34 + a44.A44
Determinante = 0.A14 + 0.A24 + 1.2 + 4.(-7) Determinante = 0 + 0 + 2 - 28
Determinante = -26 Resposta: B
Propriedades dos determinantes
As principais propriedades do determinante são:
- o determinante de A é igual ao de sua transposta AT
- se uma fila (linha ou coluna) de A for toda igual a zero, det(A) = 0
- se multiplicarmos todos os termos de uma linha ou coluna de A por um valor “k”, o determinante da matriz será também multiplicado por k;
- se multiplicarmos todos os termos de uma matriz por um valor “k”, o determinante será multiplicado por kn, onde n é a ordem da matriz;
- se trocarmos de posição duas linhas ou colunas de A, o determinante da nova matriz será igual a –det(A);
- se A tem duas linhas ou colunas iguais, então det(A) = 0
- sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, det(AxB) = det(A) x det(B) - uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, det( )A 0
- se A é uma matriz inversível, det(A-1) = 1/det(A).
Veja uma questão básica sobre as propriedades dos determinantes:
IDECAN – AGU – 2014) Se o determinante de uma matriz é igual a um valor x, representamos como det(A) = x.
Sendo B uma matriz quadrada de ordem 3 e det(B) = 4, é correto afirmar que o valor de det(3B) será igual a A) 4.
B) 12.
C) 36.
D) 96.
E) 108.
RESOLUÇÃO:
Veja que 3B é a matriz B multiplicada pelo número 3. Pelas propriedades que conhecemos a respeito dos determinantes, sabemos que, ao multiplicar todos os termos de uma matriz por k, o determinante será multiplicado por kn, onde n é a ordem da matriz. Isto é:
det(k.B) = kn.det(B)
No caso em tela, temos n = 3 (pois B é uma matriz de ordem 3), e k = 3 (pois este é o número pelo qual multiplicamos a matriz B). Assim,
det(3B) = 33.det(B) det(3B) = 33.4 det(3B) = 27.4 det(3B) = 108 RESPOSTA: E
SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
Os conceitos de matrizes e determinantes vistos acima tem uma aplicação importante na resolução de sistemas lineares. Vamos trabalhar com o sistema abaixo, que possui 3 variáveis (x, y e z) e 3 equações:
2x + y + z = 4 x – y + z = 1
x + y = 2
Já aprendemos a resolver este sistema através do método da substituição (que tal praticá-lo aqui?). Aqui veremos como resolver aplicando os conceitos de matrizes e determinantes.
Os números que multiplicam as variáveis x, y e z em cada equação são chamados de coeficientes.
Podemos reescrever este sistema de equações em forma matricial, separando os coeficientes em uma primeira matriz, as variáveis na segunda e os resultados na terceira. Veja:
Para obtermos os valores de x, y e z, devemos:
Calcular o determinante da primeira matriz (matriz dos coeficientes), que chamaremos de D. Isto é,
= 2.(-1).0 + 1.1.1 + 1.1.1 – 1.(-1).1 – 1.1.2 – 0.1.1 = 1
Substituir os coeficientes de x da primeira matriz (isto é, a primeira coluna) pelos valores da matriz de resultados, obtendo o determinante desta nova matriz, que chamaremos de Dx. Isto é,
Dx = 4.(-1).0 + 1.1.2 + 1.1.1 – 1.(-1).2 – 4.1.1 – 1.1.0 Dx = 1
Substituir os coeficientes de y da primeira matriz pelos valores da matriz de resultados, e obter Dy:
2 1 1 4
1 1 1 1
1 1 0 2
x y z
2 1 1 det 1 1 1 1 1 0 D
4 1 1 det 1 1 1 2 1 0 Dx
Dy = 2.1.0 + 4.1.1 + 1.2.1 – 1.1.1 – 4.1.0 – 2.1.2 Dy = 1
Repetir o procedimento, obtendo Dz:
Dz = 2.(-1).2 + 1.1.1 + 4.1.1 – 4.(-1).1 – 1.1.2 – 2.1.1 Dz = 1
Desta forma, os valores x, y e z que representam a solução deste sistema linear são:
𝑥 =𝐷𝑥 𝐷 =1
1= 1 𝑦 =𝐷𝑦
𝐷 =1 1= 1 𝑧 =𝐷𝑧
𝐷 =1 1= 1
De fato a solução (1,1,1) atende o nosso sistema.
Dizemos que um sistema linear é homogêneo quando todos os termos livres (aqueles que não multiplicam variáveis) são iguais a zero. Este sistema abaixo NÃO é homogêneo, pois temos os termos 4, 1 e 2:
2x + y + z = 4 x – y + z = 1
x + y = 2 Mas este sistema aqui é homogêneo:
2x + y + z = 0 x – y + z = 0
x + y = 0 2 4 1 det 1 1 1 1 2 0 Dy
2 1 4 det 1 1 1 1 1 2 D
A solução trivial de um sistema de equações é a aquela onde x, y e z são todos iguais a ZERO. Veja que o sistema abaixo NÃO admite a solução trivial:
2x + y + z = 4 x – y + z = 1
x + y = 2
Para você entender melhor, substitua x, y e z por zero na primeira equação. Ficaríamos com:
2.0 + 0 + 0 = 4 0 = 4
Ou seja, realmente o sistema não admite a solução trivial. Já o sistema abaixo admite a solução trivial:
2x + y + z = 0 x – y + z = 0
x + y = 0
Se você substituir x, y e z por zero nas três equações acima, vai obter 0 = 0. Ou seja, o sistema realmente é atendido pela solução trivial.
Existem sistemas lineares que admitem INFINITAS soluções, ou seja, infinitas combinações das variáveis.
Já outros sistemas lineares apresentam uma ÚNICA solução. E outros sistemas não admitem NENHUMA solução. É importante que você saiba analisar se um sistema admite nenhuma, uma ou infinitas soluções.
Vejamos como fazer isso:
CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS QUANTO À POSSIBILIDADE DE SOLUÇÃO
a) Se D é diferente de 0, então o sistema é possível e determinado neste caso, podemos obter valores únicos para x, y e z;
b) Se D = Dx = Dy = Dz = 0, então o sistema é possível e indeterminado existem infinitos valores possíveis para x, y e z;
c) Se D = 0 e pelo menos um dos demais determinantes (Dx, Dy e/ou Dz) for diferente de zero, então o sistema é impossível não existem valores x, y e z que resolvem o sistema.
Vejamos uma questão sobre o assunto para você praticar esses conceitos:
ESAF – AFRFB – 2009) Com relação ao sistema
onde 3 z + 2 ≠ 0 e 2 x + y ≠ 0 , pode-se, com certeza, afirmar que:
a) é impossível.
b) é indeterminado.
c) possui determinante igual a 4.
d) possui apenas a solução trivial.
e) é homogêneo.
RESOLUÇÃO:
Observe que 2 1
3 2 2 1 x y z
z x y
pode ser separada nas duas equações abaixo:
2 1
3 2
x y z
e
1 1
2 z
x y
Reescrevendo-as de modo a eliminar as frações, temos:
2x y 3z2 e 1 2 z xy
Para montar o sistema linear, devemos colocar todas as variáveis de um lado da igualdade e o termo constante do outro lado. Fazendo isso com as equações acima, temos:
2x y 3z2 e 2x y z 1
Assim, o nosso sistema linear é formado pelas 3 equações abaixo:
1
2 3 2
2 1
x y z x y z x y z
Para podemos classificar este sistema, devemos montar as matrizes dos coeficientes, para obter D, e as matrizes necessárias para obter Dx, Dy e Dz. Veja:
1 1 1
2 1 3
2 1 1
D
Calculando este determinante:
D = 1 x (-1) x (-1) + 1 x (-3) x 2 + 1 x 2 x 1 – 1 x (-1) x 2) – 1 x 2 x (-1) – 1 x (-3) x 1 D = 1 – 6 + 2 + 2 + 2 + 3
D = 4
Portanto, o determinante do sistema é igual a 4, o que já nos permite assinalar a alternativa C. Por fins didáticos, vamos obter Dx, Dy e Dz e classificar o sistema.
Para obter Dx devemos substituir a primeira coluna (que possui os coeficientes da variável x em cada equação) pelos termos constantes:
1 1 1
2 1 3 1 3 2 1 3 2 6
1 1 1
Dx
Para obter Dy devemos substituir a segunda coluna de D (coeficientes de y) pelos elementos constantes:
1 1 1
2 2 3 2 6 2 4 3 2 5 2 1 1
Dy
De maneira análoga podemos obter Dz:
1 1 1
2 1 2 1 4 2 2 2 2 3 2 1 1
Dz
Como D0, estamos diante de um sistema possível e determinado. Isto é, certamente será possível obter valores únicos para x, y e z que atendam as 3 equações ao mesmo tempo. Esses valores são:
6 1, 5 4 x Dx
D 5 1, 25 4
y Dy D
3 0, 75 4
z Dz
D
Para conferir se não erramos os cálculos, podemos testar a primeira equação, substituindo os valores de x, y e z que encontramos:
x + y + z = 1,5 + (-1,25) + 0,75 = 1 Resposta: C
Veja mais uma questão:
IDECAN – AGU – 2014) Um estudante, ao resolver um problema, chegou ao seguinte sistema linear:
2x 3y 2z 12 x 3y 2z 13 x 2y 2z 11
É correto afirmar que x + y + z é igual a A) 1.
B) 3.
C) 5.
D) 7.
E) 9.
RESOLUÇÃO:
Podemos calcular os seguintes determinantes para este sistema linear:
𝐷 =
2 3 2 1 3 2 1 2 2
D = 2.3.2 + 3.2.1 + 1.2.2 – 1.3.2 – 3.1.2 – 2.2.2 D = 12 + 6 + 4 – 6 – 6 – 8
D = 2
Substituindo os coeficientes de x, podemos obter Dx:
𝐷𝑥 =
12 3 2 13 3 2 11 2 2
Dx = 12.3.2 + 13.2.2 + 11.3.2 – 11.3.2 – 3.13.2 – 12.2.2 Dx = 72 + 52 + 66 – 66 – 78 – 48
Dx = -2
𝑥 =𝐷𝑥 𝐷 = −2
2= −1
𝐷𝑦 =
2 12 2 1 13 2 1 11 2
Dy = 2.13.2 + 12.2.1 + 1.11.2 – 1.13.2 – 1.12.2 – 2.11.2 Dy = 52 + 24 + 22 – 26 – 24 – 44
Dy = 4
𝑦 =𝐷𝑦 𝐷 =4
2= 2
𝐷𝑧 =
2 3 12 1 3 13 1 2 11
Dz = 2.3.11 + 3.13.1 + 1.2.12 – 1.3.12 – 3.1.11 – 2.2.13 Dz = 66 + 39 + 24 – 36 – 33 – 52
Dz = 8
𝑧 =𝐷𝑧 𝐷 =8
2= 4
Assim, x + y + z = -1 + 2 + 4 = 5.
RESPOSTA: C
Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui?
Questões comentadas pelo professor
1. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018)
Sejam A uma matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz quadrada de ordem 3, tais que detA . detB = 1. O valor de det(3A) . det(2B) é
(A) 5 (B) 6 (C) 36 (D) 72 (E) 108
RESOLUÇÃO:
Vale lembrar que det(a.M) = det(M).an, onde n é a ordem da matriz M. Ou seja, det(3A) = det(A).32 = 9det(A)
det(2B) = det(B).23 = 8det(B)
Logo,
det(3A) . det(2B) = 9det(A) . 8det(B) = 72 . det(A) . det(B) =
72 . 1 = 72 Resposta: D
2. CESPE – SEDUC/AL – 2018)
Julgue os itens que se seguem, relativos a matrizes e sistemas lineares.
() Se P for uma matriz simétrica, então P será inversível.
() Se a é um número real e se o determinante da matriz for igual a zero, então a = - 2 ou a = 1.
RESOLUÇÃO:
() Se P for uma matriz simétrica, então P será inversível.
Uma matriz é inversível se, e somente se, sua determinante for diferente de zero.
Uma matriz é simétrica quando os termos de um lado da diagonal principal são iguais aos termos correspondentes do outro lado desta diagonal.
Se a matriz P é simétrica, não necessariamente seu determinante será diferente de zero (uma matriz formada por elementos iguais é simétrica e tem o determinante igual a zero). Portanto, não necessariamente será inversível. Item ERRADO.
() Se a é um número real e se o determinante da matriz for igual a zero, então a
= - 2 ou a = 1.
Vamos primeiro calcular a soma da matriz P:
Para calcular o determinante de uma matriz, basta multiplicar as diagonais e subtrair os produtos. Veja:
Det (P) = a x (a + 1) – (-1) x (-2) a² + a – 2 = 0
Δ = 1 – 4 x (-2) = 9 a = −1 ± 3
2
a’ = - 1 ou a” = -2 Item CORRETO.
Resposta: E C
3. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018)
Sistemas lineares homogêneos possuem, pelo menos, uma solução e, portanto, nunca serão considerados impossíveis. O sistema linear dado abaixo possui infinitas soluções.
0 0 2 0 x y z x y z x y z
Qual o maior valor possível para α?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
RESOLUÇÃO:
Podemos representar esse sistema linear na forma de matriz:
Para um sistema de infinitas soluções, o determinante deve ser zero. Portanto:
(2 α + α + α) – (α² + α + 2) = 0 4 α – α² – α – 2 = 0
- α² + 3 α – 2 = 0 α² - 3 α + 2 = 0 Δ = 9 – 4 x 2 = 1
α = 3 ± 12 α = 2 ou α = 1 Logo, o maior valor para α é 2.
Resposta: C
4. FUMARC - SEE/MG – 2018)
Durante um campeonato de basquete, a comissão técnica de um time anotou a pontuação de alguns jogadores na matriz a seguir:
O elemento 𝑎𝑖𝑗 dessa matriz representa o número de pontos marcados na partida i pelo jogador j. Qual jogador marcou mais pontos nesse campeonato?
(A) Jogador 1 (B) Jogador 2 (C) Jogador 3 (D) Jogador 4 (E) Jogador 5 RESOLUÇÃO:
Vamos visualizar o total de pontos feitos por cada jogador na forma de uma tabela:
Jogador 1 Jogador 2 Jogador 3 Jogador 4 Jogador 5
1ª partida 11 6 5 6 6
2ª partida 13 6 6 11 10
3ª partida 8 14 17 9 18
4ª partida 14 17 11 14 11
5ª partida 17 18 14 18 12
6ª partida 6 10 10 7 12
Total de pontos 59 71 63 65 69
Veja que o jogador 2 foi o que fez um total de pontos maior.
Resposta: B
5. FUMARC - SEE/MG – 2018)
Um dos indicadores financeiros de uma empresa é calculado com base na fórmula:
I = 𝒅𝒆𝒕 (𝑷).𝒅𝒆𝒕 (𝑸)
𝟏𝟎𝟎 , em que P e Q são matrizes.
No mês de janeiro, o setor financeiro divulgou as matrizes
Qual o valor do indicador I dessa empresa, no mês de janeiro?
(A) -0,72 (B) -0,27 (C) 0,00 (D) 0,27 (E) 0,72 RESOLUÇÃO:
Vamos calcular o determinante de cada matriz:
Det (P) = 2 x 3 – 4 x 4 = 6 – 16 Det (P) = - 10
Quanto ao Det (Q), observe que a primeira linha só tem um termo diferente de zero (a12 = 2). Assim, o determinante da matriz é, simplesmente,
det(Q) = a12 x A12
det(Q) = 2 x (-1)1+2 x detA
Onde A é a matriz:
Veja que a 3ª coluna desta nova matriz só tem zeros, e um valor igual a 1, que é o termo a33. Logo,
detA = a33 x A33 = 1 x (-1)3+3 x detB
Onde B é a matriz:
Veja que a 4ª coluna desta nova matriz só tem zeros, e um valor igual a 3, que é o termo a44. Logo, detB = a44 x A44 = 3 x (-1)4+4 x detC
Onde C é a matriz:
Veja que:
detC = 0x0x2 + 3x2x2 + 0x1x2 – 2x0x2 – 0x3x2 – 0x1x2 detC = 12
Logo,
detB = 3 x 1 x 12 = 36 detA = 1 x 1 x 36 = 36 det(Q) = 2 x (-1) x 36 = -72
I = 𝒅𝒆𝒕 (𝑷).𝒅𝒆𝒕 (𝑸)
𝟏𝟎𝟎 =(−10)𝑥(−72) 100 = 7,2
Veja que não há alternativa de resposta, pois a letra E, apontada pela banca, é 0,72.
Resposta: E
6. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017)
Na matriz
2 2 2
1 1 1 A m n p m n p
, m, n e p são números inteiros ímpares consecutivos tais que m < n < p.
O valor de det A+ detA+4detA é (A) 2
(B) 8 (C) 16 (D) 20 (E) 22
RESOLUÇÃO:
Calculando o determinante:
detA = 1.n.p2 + 1.m.n2 + 1.p.m2 – 1.n.m2 – 1.m.p2 – 1.p.n2
Como m, n e p são números inteiros ímpares consecutivos, nesta ordem, podemos dizer que:
m = n – 2 p = n + 2
Logo,
m2 = n2 – 4n + 4 p2 = n2 + 4n + 4
Substituindo na equação anterior,
detA = 1.n.( n2 + 4n + 4) + 1.(n-2).n2 + 1.(n+2).( n2 – 4n + 4) – 1.n.( n2 – 4n + 4) – 1. (n-2).( n2 + 4n + 4) – 1.(n+2).n2
detA = n.( n2 + 4n + 4) + n3 - 2n2 + n.( n2 – 4n + 4) + 2(n2 – 4n + 4) – n.( n2 – 4n + 4) – n.( n2 + 4n + 4) + 2.(n2 + 4n + 4) – n3 - 2n2
detA = - 2n2 + 2(n2 – 4n + 4) + 2.(n2 + 4n + 4) - 2n2
detA = - 2n2 + 2n2 – 8n + 8 + 2n2 + 8n + 8 - 2n2 detA = 8 + 8
detA = 16
Logo,
det A+ detA+4detA = 16 + √16 + √164 =
16 + 4 + 2 = 22 Resposta: E
7. VUNESP – OFICIAL PM/SP – 2017)
Considere a elaboração, pelo Centro de Inteligência da Polícia Militar (CIPM), de um planejamento estratégico para a deflagração de uma operação policial ostensiva em uma região R, com alta incidência do tráfico de drogas. A questão tem como referência essa proposição.
O mapa da região R foi representado em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, no qual foram assinalados os pontos M (–3, –2), N (7, 8) e P (x, 3), que são colineares e correspondem a alvos estratégicos. A distância entre os pontos N e P, na referida representação, é, em unidades de comprimento, igual a
a) 5√2 b) 3√5 c) 2√10 d) 2√5 e) √10 RESOLUÇÃO:
Dizemos que 3 pontos (X1,X2), (Y1,Y2) e (Z1,Z2) são colineares quando o determinante abaixo for igual a zero:
X1 X2 1
Y1 Y2 1
Z1 Z2 1
Substituindo os valores dos pontos dados, temos:
-3 -2 1
7 8 1
x 3 1
Det = -24 + 21 – 2x – (8x – 14 – 9) Det = -3 – 2x – 8x + 23
Det = -10x + 20 = 0 10x = 20
x = 2
A distância entre dois pontos é dada por:
2 2 2
(xa xb ) (ya yb ) d
Substituindo as coordenadas de N e P, temos:
2 2 2
2 2 2
2 25 25 50 50 5 2
(7 2) (8 3) (5) (5)
d
d d d
Resposta: A
8. IBFC – Polícia Científica/PR – 2017)
Dadas a matriz 2 3 0
0 1 1
A
e a matriz
3 1 1 1 1 2
B
, assinale a alternativa que apresenta a matriz C que representa a soma da matriz A e B, ou seja, C = A + B:
a) 2 3 0 0 1 1
C
b) 3 1 1
1 1 2
C
c) 2 3 0
1 1 1
C
d) 3 1 1
1 3 2
C
e) 5 4 1 1 0 1
C
RESOLUÇÃO:
A soma de duas matrizes A e B equivale à matriz resultante da soma dos elementos correspondentes entre A e B, ou seja, se A = (aij)m x n e B = (bij)m x n, então os elementos da matriz C = A + B é dado por cij = (aij + bij)m x n. Assim, teremos
A + B = C
+ = C
+ =
+ =
C = Resposta: E
9. IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) Dadas a matriz 3 0
4 7 A
e a matriz 1 2 0 2 B
, assinale a alternativa que apresenta a matriz C que representa a subtração da matriz A e B, ou seja, C = A - B.
a) 3 0
4 7
C
b) 1 2
0 2 C
c) 3 0 C 4 7
d) 2 2
C 4 5
e) 2 2
4 5 C
RESOLUÇÃO:
Quando se tem a operação matricial C = A – B temos uma soma da matriz A com a matriz oposta de B, ou seja, C = A + (- B)
A soma de duas matrizes A e B equivale à matriz resultante da soma dos elementos correspondentes entre A e B, ou seja, se A = (aij)m x n e B = (bij)m x n, então os elementos da matriz C = A + B é dado por cij = (aij + bij)m x n. Assim, teremos:
Se B = ,então (- B) =
C = +
C =
C =
Resposta: E
10.IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) Dada a matriz 1 3
A 4 2
e a matriz 1 2
B 3 4
, assinale a alternativa que apresenta a matriz C que representa o produto da matriz A e B, ou seja, C = A * B.
a) 2 10
10 16
C
b) 1 2
C 0 2
c) 3 0
C 4 16
d) 2 2 C 4 15
e) 8 10
10 16
C
RESOLUÇÃO:
Quando se tem duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)m x n, o produto de A por B é a matriz C = (cij)m x p, na qual cada elemento cij é a soma dos produtos obtidos ao multiplicar o 1º elemento da linha i de A pelo 1º elemento da coluna j de B; o 2º elemento da linha i de A pelo 2º elemento da coluna j de B, e assim sucessivamente. Ou seja:
C11 = a11 x b11 + a12 x b21 = (- 1) x 1 + 3 x 3 = -1 + 9 = 8 C12 = a11 x b12 + a12 x b22 = (- 1) x 2 + 3 x 4 = -2 + 12 = 10 C21 = a21 x b11 + a22 x b21 = 4 x 1 + 2 x 3 = 4 + 6 = 10 C22 = a21 x b12 + a22 x b22 = 4 x 2 + 2 x 4 = 8 + 8 = 16 Assim, teremos a seguinte matriz C =
Resposta: E
11.IDECAN – Bombeiros/RN – 2017)
O sistema linear a seguir pode ser classificado considerando o número de soluções como:
2 0
2 3 8
3 3 2 0
x y z x y z x y z
A) Impossível.
B) Possível e determinado.
C) Possível e indeterminado.
D) Admite apenas a solução (1, 3, –4).
RESOLUÇÃO:
Calculando D, temos:
D =
1 2 1
2 1 3
3 3 2
= -2 -18 + 6 – (3 – 9 – 8) = -14 + 14 = 0
Como D = 0, temos um sistema impossível.
Resposta: A
12.ESAF – ANAC – 2016) Dada a matriz
o determinante da matriz 2A é igual a a) 40.
b) 10.
c) 18.
d) 16.
e) 36.
RESOLUÇÃO:
O determinante da matriz A é:
d = 2x1x4 + 1x1x3 + 0x1x1 – 3x1x0 – 1x1x4 – 2x1x1 d = 8 + 3 + 0 – 0 – 4 – 2
d = 5
O determinante da matriz 2A é dado por 23 x 5 = 8 x 5 = 40. Veja que bastava notar que A era uma matriz de 3ª ordem, de modo que ao multiplicar essa matriz por um número (2), o seu determinante fica multiplicado por 2n, onde n é a ordem da matriz.
Resposta: A
13. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2014)
A matriz quadrada A, definida genericamente por A = aij, é dada por a11 = 0; a12 = - 4; a13 = 2; a21 = x; a22 = 0; a23 = (1 - z); a31 = y; a32 = 2z e, por último, a33 = 0. Desse modo, para que a matriz A seja uma matriz antissimétrica, os valores de a21, a23, a31 e a33 deverão ser, respectivamente, iguais a:
a) 4; -2; -2; -2.
b) 4; -2; 2; -2.
c) 4; 2; -2; -2.
d) -4; -2; 2; -2.
