INTERPRETAÇÕES DE ESTUDANTES SOBRE COMPRIMENTOS DE SEGMENTOS

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INTERPRETAÇÕES DE ESTUDANTES SOBRE

COMPRIMENTOS DE SEGMENTOS

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MÁRCIA STOCHI VEIGA

INTERPRETAÇÕES DE ESTUDANTES SOBRE

COMPRIMENTOS DE SEGMENTOS

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meu caminho pessoas especiais, que participaram desse trabalho e

o enriqueceram, cada um a seu modo, cada um a seu tempo.

A M aria Cristina S. A . M aranhão, ou " Cris" ,

pela sugestão do tema para pesquisa, que veio ao

encontro de minhas indagações. Sua orientação procurava

mostrar-me o melhor caminho em detrimento do caminho mais fácil.

Minha gratidão por tudo que me ensinou, por saber quando eu

precisava de ajuda e quando podia fazer sozinha. Sempre me fez

acreditar que eu seria capaz de realizar um bom trabalho.

A todos os professores do P rograma de Educação

M atemática,

(6)

A o P rofessor Dr. B enedito Silva,

pela orientação, não só no Exame de Qualificação, mas

também no decorrer da pesquisa. Minha gratidão por sua atenção e

por suas observações que em muito enriqueceram esse trabalho.

A P rofessora Dr

a

. Dione L uchesi,

pela clareza e pelo entusiasmo com que colocou suas

observações e sugestões.

A C.A .P .E.S.

,

pela bolsa concedida num momento em que, sem esta, eu

teria precisado interromper os estudos.

A Escola P rima, seus educadores e alunos,

(7)

A os meus amigos ,

que me incentivaram e compreenderam meu afastamento.

Em especial ao Rodrigo Villalba Caniza que com competência fez a

revisão do texto. A Eliana Tereza Carrieri que digitou todas as

entrevistas, facilitando meu trabalho. Ao Carlos B. Paiva Neto por

ter feito as ilustrações. A Renata Barroso pela sua contribuição na

língua inglesa.

A os meus P ais e I rmãs,

pelo carinho e apoio. Em especial a minha Mãe pelo amor

que me dedica.

A o M eu M arido e F ilhos,

(8)

RESUMO

Palavras-chave: conservação de comprimento, Teorema de Thales, divisão de segmentos

Esta pesquisa teve por objetivo analisar interpretações de alunos de 8a série do

ensino fundamental, que tinham estudado na escola o Teorema de Thales mas não tinham estudado o procedimento de divisão de segmentos em partes iguais, baseado nesse Teorema. À luz da Teoria de DUVAL, foi elaborada uma seqüência de tarefas, contendo questões referentes a figuras resultantes de um procedimento de divisão de segmentos, baseado no Teorema de Thales. Essa seqüência foi aplicada aos alunos em sessões individuais por meio de entrevistas clínicas baseadas em tarefas. Eles eram questionados sobre o que visualizavam, sobre os comprimentos dos segmentos existentes nas figuras e podiam justificar suas interpretações sobre esses comprimentos utilizando-se da visualização ou de instrumentos de medida de comprimento, que estavam disponíveis, ou ainda poderiam justificar suas interpretações através de propriedades. A análise das respostas obtidas nas entrevistas nos proporcionou condições de observar a manifestação de diferentes tipos de apreensões, relacionadas a essas figuras e também relacionadas à comparação entre os comprimentos dos segmentos existentes nessas figuras. Os estudantes investigados, na maioria das situações

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The aim of this research was to analise the interpretation made by the students in

the 8th grade from Elementary school, who had studied the Thales' Theorem but

(10)

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ...1

CAPÍTULO 1 - PROBLEMÁTICA 1.1. O problema e as questões...4

1.2. O quadro teórico, a questão central e as escolhas metodológicas ...8

1.2.1 As unidades constitutivas de uma figura e os processos cognitivos relacionados a essa figura...8

1.2.1.1. Variações do tipo 1 (dimensionais)...12

1.2.1.2. Outras variações visuais...16

1.2.1.2.1. Variações de comprimento...16

1.2.1.2.2. Variações de forma...18

1.2.1.2.3. Variação de posição...19

1.2.2. As tarefas do diagnóstico sobre os conhecimentos dos alunos em relação a aplicações do Teorema de Thales...21

1.2.3. As tarefas sobre as figuras resultantes de um procedimento de divisão de segmentos ...25

1.2.4. A escolha da escola e do professor...41

1.2.5. Características da população...42

CAPÍTULO 2 - REALIZAÇÃO DA PESQUISA NA ESCOLA 2.1. Entrevista com a professora dos alunos investigados...43

(11)

2.3.2.8. Análise das respostas dos alunos em relação à 8a figura...94

CAPÍTULO 3 - CONCLUSÕES 3.1. Conclusões relativas à visualização das figuras...111

3.1.1. Quanto à dimensão das unidades figurais que foram citadas primeiramente pelos alunos...111

3.1.2. Quanto ao deslocamento entre dimensões...112

3.1.3. Às unidades figurais de dimensão 2 que foram mais citadas...113

3.1.4. Quanto às unidades figurais de dimensão 0...114

3.2. Conclusões relativas às escolhas realizadas nas análises em relação as variáveis pertinentes...116

3.2.1. Comparação entre os comprimentos do segmento principal e auxiliar...116

(12)

3.3. Quanto às comparações dos comprimentos dos segmentos em jogo...119

3.3.1. As primeiras formulações dos alunos sobre comparação entre os comprimentos em jogo e o processo de formação dessas formulações...119

3.3.2. Quanto às propriedades evocadas pelos alunos para justificarem suas interpretações...120

3.3.3. Quanto à utilização dos materiais de medida disponíveis...120

3.3.4. Quanto à conservação dos comprimentos e a análise dos alunos...121

ANEXOS Anexo I...131

Anexo II...134

Anexo III...150

(13)

procedimento era estudado na escola antes do Teorema de Thales.

Ao abordar a divisão de segmentos em partes iguais ou proporcionais, percebemos duas situações nas quais os alunos pareciam não ter compreendido o procedimento utilizado; alguns afirmavam que as partes do segmento que fora dividido e as partes do segmento que se utilizou para auxiliar a divisão tinham o mesmo comprimento; outros não conseguiam dividir o segmento, pois traçavam as retas transversais perpendicularmente ao segmento que deveria ser dividido, como mostra a figura 1.

FIGURA 1

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cidade de São Paulo, acompanhando o Professor Delton Cappozzi, na disciplina de Desenho Geométrico I. Nas primeiras aulas, lecionava-se a divisão de segmentos em partes iguais pelo procedimento baseado no Teorema de Thales. Então percebemos, nesses alunos de graduação, as mesmas dificuldades que havíamos percebido nos alunos de ensino fundamental e além disso percebemos a não aplicação imediata do Teorema de Thales por esses alunos. Esperávamos que esses alunos já tivessem estudado na escola esse Teorema pois estavam na graduação.

Em conversas com o Professor Cappozzi, ele afirmou já haver percebido, em seus trinta anos de magistério nessa disciplina, as mesmas dificuldades que havíamos notado ao abordarmos esse conteúdo. Ele disse que se utilizássemos segmentos com comprimentos muito próximos, para efetuamos uma divisão de segmento em partes iguais, isso poderia levar o aluno a acreditar que o comprimento das partes do segmento que fora divido fossem iguais ao

comprimento das partes do segmento que auxiliou a divisão. Acrescentou também

que havia alunos que ao unirem as extremidades do segmento que foi dividido

com aquele que auxiliou a divisão, esperavam que essa reta ficasse perpendicular em relação ao segmento que deveria ser dividido, o que não acontecia, e fazia com que eles acreditassem ter errado o procedimento e não finalizassem a divisão.

(15)

procedimento de divisão de segmentos, baseado no Teorema de Thales em uma escola de São Paulo.

No Capítulo 1 discorremos sobre a problemática, situando-a no quadro de pesquisas relativas ao tema, apresentamos as questões de pesquisa, o quadro teórico que a embasa, bem como as escolhas metodológicas.

No Capítulo 2 apresentamos a realização da pesquisa na escola escolhida, os resultados e conclusões parciais.

(16)

CAPÍTULO 1

1. PROBLEMÁTICA

1.1. O problema e as questões

A divisão de segmentos em partes iguais ou proporcionais consta do currículo da disciplina de Desenho Geométrico lecionada em cursos de graduação como Desenho Industrial, Arquitetura e Artes plásticas. Esse procedimento é utilizado em vários conteúdos nessa disciplina, tais como na ampliação e redução de figuras ou na divisão de uma circunferência em partes iguais (processo de RINALDINI).

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), no terceiro ciclo do ensino

fundamental (7a e 8a séries), sugerem o ensino de divisão de segmentos em

partes proporcionais e em partes iguais utilizando-se de régua e compasso, assim como a realização de verificações experimentais, como aplicações do Teorema de Thales.

(17)

requeria a obtenção de segmentos de mesmo comprimento. A seguir o enunciado do problema:

1. Um motorista fez um passeio de 100 km, dirigindo regularmente durante 1 hora e 30 minutos.

a) Marquem o ponto em que ele estava ao se passarem exatamente 25 km do início, na linha abaixo.

0 km 90 km 100 km partida chegada 1h e 30 min b) Marquem, na mesma linha os pontos em que ele estava ao se passarem 55 km e 65 km.

c) Marquem o horário em cada um dos pontos marcados.

d) Marquei, abaixo, dois pontos em que ele foi fotografado por amigos: os pontos A e B.

partida chegada 0h A B 1h e 30 min Respondam:

(18)

É importante citar que os itens a e d figuravam em folhas distintas, com a finalidade de favorecer certos procedimentos de resolução. Em tal atividade, a pesquisadora observou os procedimentos de demarcação de pontos, pelos alunos da investigação. Os alunos marcavam pontos tanto nas questões que solicitavam

explicitamente a marcação quanto nas demais. Na questão (d), esses alunos

sobrepunham os segmentos de reta que figuravam no problema ou faziam a projeção ortogonal de pontos, obtendo segmentos de mesmo comprimento nas duas figuras, com a finalidade de facilitar os cálculos, aproveitando as

demarcações já feitas na figura da questão (a). Havia os que faziam a projeção

ortogonal de pontos corretamente, porém houve alunos que ao posicionarem as

retas dos itens a e d com a finalidade de projetar os pontos ortogonalmente,

deixaram-nas não paralelas, com o ponto de concorrência não visível, obtendo segmentos de comprimentos diferentes mas admitindo-os com mesmo comprimento . Na época, a pesquisadora concluiu que esses alunos admitiram a conservação de comprimento em situações que os comprimentos não eram conservados. Ela indicou a necessidade de estudos sobre os fatores que levariam os alunos a essa última suposição, deixando em aberto a análise dos mesmos . Entre fatores ligados às condições da situação, (como as condições de precisão requeridas no problema proposto), fatores didáticos (como os ligados à aprendizagem prévia dos alunos sobre projeção ortogonal de pontos), e fatores cognitivos, destacamos que:

(19)

Com o objetivo de aprofundar aquela pesquisa, o presente estudo pretende focalizar o exame desses dois fatores referentes à visualização de figuras.

Com base nessas pesquisas e nesses documentos, decidimos realizar o

presente estudo entre alunos de 8a série, que já tenham estudado na escola o

Teorema de Thales mas que não estudaram o procedimento de divisão de segmentos em partes iguais ou proporcionais baseado nesse teorema. Queremos verificar se alunos nessas condições, quando visualizam figuras resultantes desse procedimento :

a) Formulam interpretações sobre os comprimentos existentes;

b) e, em caso positivo, ao justificar sua interpretação; b1) apelam à percepção ou

b2) apelam a medidas ou b3) apelam a propriedades.

(20)

1.2. O quadro teórico, a questão central e as escolhas metodológicas

1.2.1. As unidades constitutivas de uma figura e os processos cognitivos relacionados a essa figura

Segundo DUVAL (1995), em geometria há processos cognitivos que preenchem funções especificas, dentre os quais destacamos:

• visualização: que é o processo que examina o espaço-representação, para a exploração heurística de uma situação complexa;

• discurso teórico: para a explicação e prova.

Ainda segundo o autor, a coordenação dos tratamentos específicos ao registro das figuras e aquele de um discurso teórico em língua natural tornam-se absolutamente necessários, ou seja, em geometria esses processos são interligados e indispensáveis para a proficiência da geometria. O mesmo também considera que os problemas de geometria referem-se a registros de representação

que dão lugar a formas de interpretações autônomas. Para essas interpretações,

(21)

• discursiva, que é a interpretação dos elementos da figura geométrica, privilegiando a articulação dos enunciados e levando em consideração a rede semântica de propriedades do objeto.

DUVAL afirma ainda que a resolução de problemas de geometria depende da tomada de consciência da distinção das formas de apreensão da figura.

Para empreender esse estudo, formulamos aos alunos alguns problemas nos quais as unidades constitutivas de uma figura geométrica são controladas como variáveis de pesquisa.

(22)

Esse contraste é considerado, por esse pesquisador, o primeiro elemento de toda representação visual, formando um sinal visível, ou, mais precisamente, segundo o autor, a “implantação” de um sinal visível. Com base nessas considerações, as tarefas que formulamos aos alunos contêm figuras geométricas representadas sobre folhas de papel em branco sem nenhuma designação e as tarefas escritas foram apresentadas em folhas anexas.

Para Duval, a implantação da figura no papel é susceptível de diversas variações visuais, que podem ser agrupadas em dois grandes tipos:

Tipo 1 – o tipo de variações ligadas ao número de dimensões:

0 – um ponto 1 – uma linha 2 – uma região

Tipo 2 – as variações qualitativas, entre elas:

a) de forma – linha reta ou linha curva, contorno aberto ou contorno fechado de uma região,

(23)

(24)

As figuras que apresentamos aos alunos são resultantes de um procedimento de divisão de segmentos. Numa tarefa de divisão de segmento, baseada em

Thales, parte-se de um segmento que aqui chamamos principal, aquele que se

propôs dividir, e utiliza-se um outro segmento, que aqui chamamos de auxiliar,

aquele usado para auxiliar a divisão . Para obtenção dessas figuras utilizamos o procedimento de divisão proposto por BRAGA (1997, P.25).

Escolhemos portanto, as seguintes variações visuais qualitativas, pertinentes em relação ao nosso referencial teórico e às nossas questões de pesquisa.

1.2.1.1 Variações do tipo 1 (dimensionais)

As variações escolhidas nesse trabalho são as de dimensão 0, 1 e 2. Assim, destacamos que:

- As representações das unidades de dimensão 1 (as retas paralelas e as

transversais) podem se sobrepor às das unidades de dimensão 2 , (triângulos ou trapézios), conforme figura 3.

FIGURA3

(25)

FIGURA 4

Vale observar que a figura resultante de um processo de divisão de segmentos baseado no Teorema de Thales, em geral, ressalta a dimensão 2, mas o que se quer destacar é a comparação dos comprimentos dos segmentos, ou seja as unidades figurais de dimensão 1.

Nas tarefas propostas aos alunos, utilizamos apenas figuras de dimensão 2

(fig. 4), que chamamos de figura de partida. A seguir descrevemos os motivos

desta escolha:

(26)

- Segundo DUVAL, no registro das figuras, há uma predominância perceptiva

das unidades de dimensão 2 sobre as de dimensão inferior (0 e 1). Porém, dentro do discurso em linguagem natural, em que são definidos os objetos

representantes da figura, há uma predominância em discursar sobre os

objetos de dimensão 1 ou 0. Para exemplificarmos essa afirmação,

tomemos a figura 4: em uma análise perceptiva, os triângulos e trapézios

existentes nessa figura se destacam, mas em uma situação de descrição, em linguagem natural, os objetos destacados seriam, por exemplo, as retas paralelas e concorrentes (suportes dos segmentos que formam a figura), o ponto A como ponto de interseção entre dois segmentos e outros elementos de dimensões 0 ou 1. Oferecemos aos alunos figuras do tipo da figura 4 e requisitamos uma descrição dessas figuras para podermos observar as formulações e interpretações dos alunos sobre as figuras.

- Pretendíamos observar também , se eles se referiam às unidades figurais

(27)

de podermos observar se apresentavam apreensão perceptiva e analisar seu processo de formação. Além disso observaríamos as justificativas dos alunos sobre suas formulações, eles poderiam lançar mão de recursos para a comparação dos comprimentos, e nesse caso poderíamos obter dados

sobre apreensão operatória. Eles também poderiam conhecer propriedades,

relacionadas às figuras (trapézios, triângulo...) ou outras propriedades, que poderiam ser evocadas como justificativas; nesse caso obteríamos dados sobre a apreensão discursiva.

Em resumo, nesse quadro teórico, consideramos relevante investigar se na

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1.2.1.2. Outras variações visuais

Como já mencionamos anteriormente, para a interpretação de uma figura

geométrica é necessária uma apreensão operatória. Essa apreensão é centrada

nas modificações possíveis de uma figura de partida (fig. 4) e a reorganização perceptiva que estas modificações sugerem. Deste modo, passaremos a descrever as modificações que utilizamos nas figuras que ofereceremos aos alunos.

1.2.1.2.1. Variações de comprimento

a) do segmento principal e do auxiliar : Os segmentos podem ter comprimentos iguais, próximos ou visivelmente diferentes. Nas figuras que

utilizaremos, o segmento principal tem sempre 50 mm e os segmentos

auxiliares têm 50 mm ou 60 mm ou 75 mm. Consideramos 50 mm e 60 mm como comprimentos visualmente próximos e 50 mm e 75 mm como visualmente diferentes. Colocamos à prova essa suposição. As figuras 5 e 6 pretendem fornecer ao leitor referência visual para avaliar essa suposição.

(29)

b) das partes do segmento principal e conseqüentemente do comprimento das partes do segmento auxiliar: O segmento principal e o

auxiliar podem estar divididos em partes de comprimentos iguais ou em partes de comprimentos proporcionais. Para a divisão em 2 partes iguais do

segmento principal bastaria traçarmos sua mediatriz. Deste modo,

escolhemos a divisão desse segmento em 3 partes iguais, por ser essa a menor quantidade para a qual se faz necessária à utilização desse procedimento de divisão. Para a divisão em partes proporcionais, a razão

entre os comprimentos de um mesmo segmento é igual à 2:1. As figuras7e

8 ilustram essas escolhas.

(30)

FIGURA 8 - Segmento principal e auxiliar dividido em partes proporcionais

1.2.1.2.2. Variações de forma

As retas suporte, dos segmentos principal e auxiliar, podem ser concorrentes

(figura 9 e figura 10) ou paralelas (figura 11). Caso sejam concorrentes, o ponto de

concorrência pode ser visível (figura 9) ou não (figura 10). No caso de as retas serem concorrentes e o ponto de concorrência não ser visível, posicionaremos as retas de um modo que, supomos, perceptivelmente não levará a consideração de que as mesmas são paralelas. Essa nossa suposição também será colocada à prova no estudo.

(31)

O fato de as retas suportes do segmento principal e auxiliar serem paralelas, faz com que a figura apresente apenas paralelogramos em suas unidades figurais de dimensão 2. Neste caso, há a conservação do comprimento

FIGURA 11 - Segmento principal e auxiliar paralelos

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conseqüência dessa escolha, o ângulo formado entre as retas suportes do segmento principal e do auxiliar teve que variar (fig. 13), em relação à figura de partida. Pretendíamos verificar, nas duas situações, se os alunos admitiriam que as

partes do segmento principal e do auxiliar têm o mesmo comprimento.

FIGURA 12 - Retas transversais não perpendiculares ao segmento principal

FIGURA 13 - Retas transversais perpendiculares ao segmento principal

Na fig. 6, em virtude do ângulo entre o segmento principal e as transversais

terem ficado muito próximo de 90o_{, resolvemos trocar o ângulo entre o segmento}

(33)

Optamos por conduzir esse diagnóstico em uma sessão de 50 minutos entre

os alunos de 8a série da escola escolhida, individualmente. Algumas interferências

do pesquisador eram previstas, como reler os enunciados, para evitar bloqueios, quando fosse o caso. Os alunos tinham a liberdade de voltar às questões não resolvidas, ou de refazê-las se quisessem e isso seria anotado. A sessão foi gravada e contamos com as anotações de uma observadora. Os materiais disponíveis para os alunos eram: lápis, borracha, régua graduada, régua não graduada, jogo de esquadros não graduado, compasso e transferidor.

Primeiramente aplicamos três problemas relacionados ao Teorema de Thales e um solicitando diretamente a divisão de um segmento em partes iguais, pois eles têm o potencial de nos auxiliar nas análises posteriores. Essa atividade está baseada na pesquisa aplicada por HARUNA (2000).

Relacionamos algumas variáveis que fixamos, nesta pesquisa, ao escolher esses problemas:

1. Variação dimensional segundo DUVAL : 2 (triângulos e trapézios); 2. O número de partes do segmento principal e auxiliar 2 ou 3;

(34)

Apresentamos, aqui, as questões constantes do diagnóstico e o que pretendíamos observar em cada uma delas. Além disso, com o intuito de não rompermos com o contrato didático, realizamos entrevista com a professora, que é apresentada no capítulo 2. O diagnóstico, como foi apresentado aos alunos, consta do anexo I.

O problema:

1) Sendo AB paralelo a CD, determine x nas figuras :

O que pretendíamos observar:

(35)

Nessa questão, pretendíamos observar se os alunos utilizariam apenas visualização ou se fariam cálculos para resolvê-la. No caso de fazerem cálculos gostaríamos de saber se estes cálculos estariam relacionados a conhecimentos relativos ao Teorema de Thales.

O problema:

3) Pode-se calcular x com os dados propostos ? Justifique (considere as

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Observamos que, neste desenho, as retas suportes paralelas que cortam as transversais não estão em azul, mas na tarefa entregue aos estudantes elas eram azuis.

Nessa questão, pretendíamos observar se o fato dos valores dados não serem relativos a segmentos consecutivos seria uma dificuldade para sua resolução. Outro fator importante é que os segmentos foram divididos em três partes, pois alguma das figuras constantes da tarefa posterior a essa também apresentaria segmentos divididos em três partes. Gostaríamos também de observar se os alunos reconheceriam que "x = 2" por meio de cálculos ou por meio da medida dada das partes do segmento.

O problema:

(37)

1.2.3. As tarefas sobre as figuras resultantes de um procedimento de divisão de segmentos

A apresentação aos alunos das 12 figuras escolhidas foi efetuada do modo

descrito a seguir: primeiramente, o aluno recebeu a figura 1 em uma folha e em outra folha a seguinte pergunta:

a) Observe a figura, o que você visualiza?

Em seguida, ainda de posse da figura 1, ele recebeu mais uma instrução, em outra folha:

b) Analise-a, estabelecendo relações entre seus elementos.

(38)

Então, fornecemos as figuras seguintes, sempre com o mesmo procedimento utilizado na figura 1. Os materiais disponíveis para os alunos eram os mesmos oferecidos no diagnóstico sobre o Teorema de Thales. Repetimos que a tarefa, da forma que foi apresentada aos alunos, está no anexo II.

Optamos por conduzir essa parte da investigação por meio de entrevistas

clínicas baseadas em tarefas (GOLDING 2000). Esse procedimento de pesquisa nos proporciona condições para a coleta de dados escritos em folha de papel, que são obtidos dos alunos pelas respostas a tarefas propostas. Por incluir intervenções do pesquisador possibilita também o enriquecimento dos dados escritos, pois pode-se analisar as intervenções e, subseqüentes respostas dos alunos no decorrer da solução das tarefas.

As entrevistas foram estruturadas de modo que cada sessão durasse entre 45 minutos e 1 hora e que tivesse três estágios diferentes durante a entrevista. São eles:

a) Apresentamos a questão "a" com tempo suficiente para ser respondida. No decorrer dessa fase, incentivamos os alunos

a falarem. Poderíamos indagar: "Você pode me falar mais

(39)

usaria as sugestões novamente quando o entrevistado não falasse espontaneamente das diversas relações que poderia estabelecer entre os elementos das figuras. Ele poderia até

sugerir algo como: "Você pode traçar as retas em que estão

esses segmentos para decidir se são paralelas ou não. Pode usar régua, esquadro ou qualquer desses materiais que estão disponíveis" . As questões são exploratórias e a cada

uma delas poderíamos acrescentar: "Você pode explicar

como pensou para responder essa questão?"

(40)

O entrevistado seria questionado sobre suas comparações

entre os comprimentos, como por exemplo: "Como você

justifica suas afirmações?" . Caso essa pergunta não fosse suficiente para que o aluno justificasse suas interpretações, o entrevistador poderia perguntar: "Apenas por visualização já é suficiente para você justificar suas respostas? Você quer usar algum instrumento para comparar os comprimentos dos

segmentos ou estudou alguma coisa na escola que justifique

a sua opinião?". Admitindo que essas justificativas poderiam ter sido dadas também na instrução anterior, a tarefa teria sido cumprida e desse modo a instrução "c" seria suprimida.

As sessões foram filmadas e também gravadas. A cada aluno foram aplicadas tarefas baseadas nessas figuras, em uma sessão de entrevista.

Esse procedimento de coleta de dados nos deu condições de obter informações para análise dos dados no quadro teórico tomado como base.

(41)

GC FG AF EB DE AD C A B mm AC mm AB = = = = ° = = = 45 60 50 )

- Unidades figurais de dimensão 0 :

Os pontos: A, D, E e B pertencentes ao segmento principal. Os pontos A, F, G e C pertencentes ao segmento auxiliar.

O ponto de intersecção A entre os segmentos AB e AC é visível.

Os segmentos de reta AD, AE, AB, DE, DB, EB pertencentes ao segmento

principal.

Os segmentos AF, AG, AC, FG, FC e GC pertencentes ao segmento

auxiliar.

(42)

FIGURA 15 - 2a_figura_{e suas características}

1 2 45 60 50

= =

° = = =

GC EB

AG AE C A B

mm AC

mm AB

)

Os pontos A, E e B pertencentes ao segmento principal. Os pontos A, G e C pertencentes ao segmento auxiliar.

Os segmentos de reta AE, AB, EB pertencentes ao segmento principal.

Os segmentos de reta AG, AC, e GC pertencentes ao segmento auxiliar.

Os triângulos ABC e AEG .

(43)

GC FG AF EB DE AD C A B mm AC mm AB = = = = ° = = = 30 75 50 )

Os pontos: A, D, E e B pertencentes ao segmento principal. Os pontos A, F, G e C pertencentes ao segmento auxiliar.

Os segmentos de reta AD, AE, AB, DE, DB e EB pertencentes ao segmento

principal.

Os segmentos de reta AF, AG, AC, FG, FC e GC pertencentes ao

segmento auxiliar.

Os triângulos ABC, AEG e ADF .

(44)

1 2 30 75 50

= =

° = = =

GC EB

AG AE C A B

mm AC

mm AB

)

Os pontos: A, E e B pertencentes ao segmento principal. Os pontos A, G e C pertencentes ao segmento auxiliar.

Os segmentos de reta AE, AB e EB pertencentes ao segmento principal.

Os segmentos AG, AC e GC pertencentes ao segmento auxiliar.

Os triângulos ABC e AEG.

(45)

GC FG AF EB DE AD C B A G E A F D A mm AC mm AB = = = = = = = = = ° 90 ˆ ˆ ˆ 60 50 - Unidades figurais de dimensão 0 :

Os pontos A, D, E e B pertencentes ao segmento principal. Os pontos A, F, G e C pertencentes ao segmento auxiliar.

principal.

Os segmentos de reta AF, AG, AC, FG, FC e GC pertencentes ao

segmento auxiliar.

Os triângulos retângulos. ABC, AEG e ADF .

(46)

FIGURA 19 - 6a_{figura e suas características} 1 2 90 ˆ ˆ 60 50 = = ° = = = = GC EB AG AE C B A G E A mm AC mm AB

Os segmentos de reta AG, AC e GC pertencentes ao segmento auxiliar.

Os triângulos retângulo ABC e AEG.

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GC FG HF

EB DE AD

mm HC

mm AB

= =

= = = =

60 50

Os pontos A, D, E e B pertencentes ao segmento principal. Os pontos H, F, G e C pertencentes ao segmento auxiliar.

O ponto de intersecção entre os segmentos AB e HC não é visível.

principal.

Os segmentos de reta HF, HG, HC, FG, FC e GC pertencentes ao

segmento auxiliar.

(48)

1 2 60

50

= =

GC EB HG

AE

mm HC

mm AB

Os pontos A, D e B pertencentes ao segmento principal. Os pontos H, G e C pertencentes ao segmento auxiliar.

O ponto de intersecção entre os segmentos AB e AC nãoé visível.

Os segmentos de reta AE, AB, e EB pertencentes ao segmento principal.

Os segmentos de reta HG, HC e GC pertencentes ao segmento auxiliar.

(49)

GC FG HF

EB DE AD

HC AB

mm HC

= =

= = =

// 50

AH = DF = EG= BC

Os pontos A, D, E e B pertencentes ao segmento principal. Os pontos H, F, G e C pertencentes ao segmento auxiliar.

principal.

Os segmentos de reta HF, HG, HC, FG, FC e GC pertencentes ao

segmento auxiliar.

(50)

FIGURA 23 - 10a_{figura e suas características}

1 2 //

50 50

= = = =

GC EB

AG AE

HC AB

mm HC

mm AB

Os pontos A, E e B pertencentes ao segmento principal. Os pontos A; G e C pertencentes ao segmento auxiliar.

(51)

O O

B

C

H

C

G

E

B

F

D

C

H

A

C

B

A

B

E

G

B

D

F

B

A

H

GC

FG

HF

EB

DE

AD

HC

AB

mm

HC

mm

AB

90

90 //

50

50 =

=

)

Os pontos A D E e B pertencentes ao segmento principal. Os pontos H, F, G e C pertencentes ao segmento auxiliar.

principal.

Os segmentos HF, HG, HC, FG, FC e GC pertencentes ao segmento

auxiliar.

(52)

FIGURA 25 - 12a_{figura e suas características} O O B C H C G E C H A C B A B E G B A H GC EB AG AE HC AB mm HC mm AB 90 90 1 2 // 50 50 = = = = = = = = = = ) ) ) ) ) )

(53)

contatá-la para verificar se era possível a aplicação de nossa pesquisa nesse estabelecimento.

Ao contatarmos a Coordenação Pedagógica da Escola, essa demonstrou interesse em nosso projeto e nos encaminhou à única professora de matemática da escola. A professora permitiu a aplicação de nossas tarefas, para seus alunos de 8a série, no horário das aulas de matemática .

(54)

1.2.5. Características da população

A 8a série do ensino fundamental desta escola possui 8 alunos, com idades

entre 15 e 17 anos. São eles : Letícia, Dafne, Alessandra, Renata, Oliver, Paula, Priscila e Pedro.

(55)

professora dos alunos investigados. Em seguida discorremos sobre os resultados obtidos na aplicação do diagnóstico e finalmente apresentamos a descrição dos dados colhidos na aplicação da tarefa relacionada as 12 figuras.

2.1. Entrevista com a professora dos alunos investigados

A seguir relatamos trechos transcritos da entrevista realizada com a professora.

Pesquisadora: Os alunos da 8a série do ensino fundamental já trabalharam as fichas sobre aplicações do Teorema de Thales?

Professora: Sim, todos os alunos.

Pesquisadora: Quantas aulas os alunos levaram para executar as

fichas sobre esse conteúdo?

Professora: Nesse conteúdo, eles precisaram de uma semana

(4 horas e meia de aula) para trabalhar as

(56)

Pesquisadora: Os alunos realizaram alguma avaliação sobre esse conteúdo?

Professora: Não, o aluno é avaliado na execução das fichas.

Pesquisadora: Você pode olhar nosso diagnóstico sobre esse teorema

e dizer se eles já trabalharam questões similares? Professora: Eles já fizeram exercícios similares a esses, menos o de divisão de segmentos em partes iguais.

Pesquisadora: Os alunos costumam realizar construções geométricas utilizando materiais como compasso, jogo de esquadros e régua nas aulas de matemática? Professora: Não, eles não fazem construções

geométricas, utilizam apenas régua graduada.

Pesquisadora: Eles têm aula de Desenho Geométrico?

Professora: Não. Nessa escola não lecionamos essa disciplina.

Pesquisadora: Você saberia me informar se os alunos utilizam compasso ou jogo de esquadros em outras disciplinas? Professora: Todo material utilizado é fornecido pela

escola. Os alunos não trazem nada de casa, assim sendo tenho certeza que eles não

(57)

atribuídos foram : insuficiente (I) para a

Dafne_{, a}Let ícia_{e a} Alessandra_{, suficiente}

(S) para a Renat a, o Oliver e a Paula e

pleno (P) para a Priscila_{e o}Pedro_{. A}Dafne

possui dificuldades de memória atestada por médicos,

(58)

2.2. Resultados da aplicação do diagnóstico sobre os conhecimentos dos alunos em relação a aplicações do Teorema de Thales

Apresentamos, aqui, os resultados obtidos na aplicação do diagnóstico. Em cada questão descrevemos o desempenho dos alunos. Organizamos estes dados em categorias e com alguns exemplos elucidativos .

1) Sendo AB paralelo a CD, determine x nas figuras :

Paula , Oliver, Pedro e Alessandra resolveram a questão, sem perguntas e

acertaram. Renata escreveu a proporção da primeira figura de modo incorreto ,

como exemplificamos aqui : 

  



 ₌ _⇔ ₌

13 75 5

15 13

x

(59)

Priscila: Pode?

Pesquisadora: Pode.

Então, Priscila voltou à primeira questão escrevendo a proporção

      ₌ _⇔ ₌ _⇔ ₌ 39 195 5 15 5 13 x x

x e resolveu-a corretamente.

Dafne escreveu uma proporção para a primeira figura       ₌ _⇔ ₌ 5 15 13 15 5 13 x x

mas não resolveu completamente a questão, tampouco tentou resolver a questão referente à segunda figura, deixando-a em branco e dizendo:

Dafine: Eu sei, já fiz essa ficha, mas não me lembro.

(60)

FIGURA 26 - Produção de Letícia

conclusões parciais:

Observamos que 6 dos 8 alunos conseguiram resolver a questão. No grupo dos que acertaram a questão, estão alunos que têm desempenhos escolares diferentes , sendo que só duas das três alunas que possuem o conceito escolar insuficiente (I) não conseguiram resolver a questão.

Concluímos que a maior parte da classe consegue resolver problemas que envolvem esse tipo de figura e o Teorema de Thales.

(61)

Paula: Elas não são paralelas, pois suas razões não são iguais.

Renata afirmou que são paralelas e Pedro disse:

Pedro: Eu não tenho nenhuma conclusão disso.

Oliver, Dafne e Letícia, afirmaram que são paralelas. Oliver disse:

Oliver: São paralelas pois estou vendo que são.

Priscila disse que precisaria fazer algum cálculo mas não sabia como

Faze-lo. Portanto não poderia afirmar se as retas eram paralelas ou não. Alessandra

afirmou não saber como resolver a questão.

Conclusões parciais:

(62)

não eram paralelas. No grupo dos que erraram a questão, estão alunos que possuem desempenhos escolares diferentes.

Concluímos que a maioria da classe tem dificuldade em resolver esse tipo de questão. No entanto, as justificativas por visualização usadas pelos alunos, incentivaram-nos a seguir com a pesquisa, pois nos interessa observar esse tipo de justificativa . Quanto aos dois alunos que escreveram a proporção, mas não acertaram a questão, concluímos que eles o fizeram por uma questão de contrato didático, pois na questão anterior eles haviam montado uma proporção para calcular o valor desconhecido. Outro fator que pode tê-los levado a isso, é o fato da figura ser parecida com aquelas apresentadas anteriormente. Desse modo, eles utilizaram a proporção não por saber que esse era um caminho para concluir que as retas não eram paralelas, mas sim por acreditar que era isso que a pesquisadora esperava deles.

(63)

Letícia afirmou não precisar fazer nenhum cálculo para saber que x era igual a 2. Pedro disse não ser possível calcular o valor de x e disse:

Pedro: Esta faltando o valor do meio, então não dá para

calcular o x.

Observamos que a maioria dos alunos acertou a questão. Nesse

grupo, apenas Letícia, uma aluna que possui conceito escolar insuficiente,

percebeu que não era necessário efetuar cálculos para encontrar o valor de "x". O restante do grupo resolveu de modo similar à primeira, ou seja,escrevendo uma

proporção. Priscila lembrou como se resolviam as demais questões, depois de

conseguir resolver essa . Pedro não resolveu a questão, pois o feixe continha

(64)

na tarefa posterior os alunos iriam observar segmentos divididos em partes iguais.

Para Pedro, o fato dos valores dados não serem relativos a segmentos

consecutivos fez com que ele não conseguisse resolver a questão.

4) Divida o segmento AB em 3 partes iguais .

Nessa tarefa, aceitamos o uso de régua pois de acordo coma a entrevista realizada com a professora, achamos pouco provável que os alunos usassem o compasso. Porém algum destes alunos poderiam ter aprendido a divisão de segmentos em partes iguais fora da escola. Portanto resolvemos considerar satisfatória a aproximação de uma casa decimal (54 mm) para o comprimento do

segmento1_{. Nesse procedimento cada parte teria 18 mm.}

Priscila e Pedro pegaram a régua, mediram o segmento AB (53,5 mm), e

efetuaram uma divisão (5,5:3=1,8). Marcaram no segmento AB, com o auxilio da

(65)

Letícia, também utilizou a régua, mediu o segmento e efetuou uma divisão

(5:3=1,6). Marcou no segmento AB, com o auxilio da régua, um ponto a 16 mm

de A, outro a 32 mm de A e mais outro a 48 mm de A . A aluna terminou a

demarcação e disse :

Letícia: Acho que não deu muito certo , dá para corrigir mas

eu não sei.

Sua produção foi considerada não satisfatória pois ela dividiu o segmento em 4 partes, sendo 3 partes com 16 mm e uma com 6 mm.

Paula e Alessandra marcaram diretamente pontos utilizando-se da

(66)

Alessandra marcou no segmento AB um ponto a 15 mm de A, outro a 32 mm de

A e mais outro a 45 mm de A . Dividiu o segmento em 4 partes, sendo 1 parte com

15 mm, outra com 17 mm, outra com 13 mm e a última com 9 mm. Suas produções foram consideradas não satisfatórias, como mostra a figura 28 com a

produção da Alessandra;

FIGURA 28 - Produção da Alessandra

Oliver, Renata e Dafne disseram que não sabiam como resolver a questão. Renata afirmou:

Renata: O valor é quebrado, não sei como fazer.

(67)

trabalho, podendo deixar abertura para novas pesquisas relativas a designação e notação. Depois relatamos as ocorrências nas entrevistas, entremeadas de análises e conclusões parciais. Para tanto, procedemos à seleção dos dados (escritos e orais) passíveis de análise no quadro teórico previamente descrito nessa pesquisa e organizamos esses dados em quadros com as respostas escritas pelos alunos, que estão no anexo III. Em seguida, analisamos esses dados seguindo a ordem das escolhas que colocamos a prova, respondendo a algumas questões nas conclusões parciais.

2.3.1. Designação e notação utilizadas pelos alunos para notação nas 12 figuras

Neste item, relatamos como foram utilizadas pelos alunos as designações e notações, das unidades figurais de dimensão 2, nas 12 figuras em jogo. Em nosso relato incluímos algumas produções dos alunos e trechos das entrevistas.

(68)

Pesquisadora:O que você visualiza? Letícia: (Silêncio)

Pesquisadora:O que você vê na figura?

Letícia: Tem triângulo.

Pesquisadora:Qual triângulo?

Letícia: O pequenininho.

Pesquisadora:Tem mais algum triângulo?

Letícia: O grandão.

Pesquisadora: Você vê mais alguma coisa?

Letícia: Não.

De acordo com a metodologia escolhida para a coleta de dados, caso houvesse dúvidas ou bloqueio sobre o que o entrevistador queria, poder-se-ia fazer sugestões. Desse modo, resolvemos estimula-los a utilizar notações para as unidades figurais existentes na figura, a fim de facilitar a comunicação:

Pesquisadora: Quais são paralelas?

Renata: Estas. (apontando as retas DF, EG e BC).

Pesquisadora: Você costuma dar nomes as retas?

Renata: Sim, com letras.

Pesquisadora:Ótimo, você pode nomeá-las para facilitar a nossa

comunicação?

Renata: Posso usar as letras que eu quiser?

(69)

Letícia, Renata, Paula e Pedro utilizaram como notação para os pontos existentes nas figuras, ora letras maiúsculas ora minúsculas, como mostra a figura 30 da produção do Pedro na 1o figura.

(70)

Alessandra nomeou apenas 3 pontos da figura com letras maiúsculas e utilizou-se também de letras maiúsculas para designar a distância entre as retas

paralelas como mostra a figura 39 com sua produção na 1a_{figura .}

FIGURA 31 - Produção da Alessandra na 1a_{figura recebida pelos alunos}

No decorrer da tarefa, os alunos Pedro, Priscila, Letícia e Dafne utilizaram-se de "tracinhos" para identificar utilizaram-segmentos com comprimentos iguais. Isso ocorreu mais ostensivamente nas últimas figuras, como mostra a figura 32 com a produção da Paula na 12a_figura.

(71)

Alessandra usou letras apenas na 1a figura. Utilizou-se de "tracinhos" para denominar segmentos de mesmo comprimento. Usou "bolinhas" e "cruzinhas" para indicar as retas que eram paralelas escrevendo a seguinte simbologia: X=// querendo indicar que nas retas nas quais colocou X eram paralelas entre si, como mostra a figura 33 com sua produção na 12a_figura.

(72)

Os alunos Oliver e Renata utilizaram-se apenas de letras para denominar as unidades figurais da 1a figura a 12a figura.

Da primeira figura até a oitava figura havia trapézios entre as unidades figurais de dimensão 2. Letícia, Renata, Paula e Priscila referiram-se a eles

como trapézios, Dafne, Alessandra, Oliver e Pedro referiram-se como

quadriláteros. Na nona a décima figura havia apenas paralelogramos entre as unidades de dimensão 2. Nenhum dos alunos citou em qualquer momento o nome

paralelogramo. Paula referiu-se a eles como trapézios, Dafne, Alessandra e

Pedro referiram-se como quadriláteros. Letícia e Priscila referiram-se a eles

como losango. Renata e Oliver referiram-se a esses polígonos como retângulos.

Embora não houvesse losangos ou retângulos nessas figuras, a entrevistadora não fez nenhuma observação sobre essas designações para não desviar o foco

da pesquisa. Na décima primeira e décima segunda figuras, havia apenas

retângulos entre as unidades figurais de dimensão 2. Dafne designou-as como

quadrados na décima primeira figura e como retângulos na décima segunda figura. Os demais alunos referiam-se a essas unidades figurais como retângulos.

Conclusão :

Observamos que os alunos não julgaram ser necessário, utilizar notação nas

unidades figurais existentes na 1a figura, preferindo aponta-las ou acompanha-las

(73)

sem qualquer notação para seus elementos. Porém, para facilitar a compreensão das respostas dadas por eles, primeiramente apresentamos a figura com as notações que constam no Capítulo 1 e, no decorrer da descrição das respostas dos alunos, nas entrevistas, colocamos, entre parênteses, essa notação.

2.3.2.1. Análise das respostas dos alunos em relação à 1a figura

(74)

Quanto à visualização da figura:

Dafne, Paula e Pedro referiram-se a dois triângulos (ABC e ADF) e identificaram, na figura, dois trapézios (DEGF e EBCG).

Renata citou, inicialmente, dois triângulos (ABC e ADF) e foi questionada pela entrevistadora sobre a existência de outras figuras, mas ela reafirmou haver apenas triângulos. O diálogo transcrito é exemplo desse fato:

Pesquisadora: Observe a figura. O que você visualiza?

Renata: Um triângulo, dividido em três partes.

Pesquisadora: Mais alguma figura?

Renata: Um triângulo menor.

Pesquisadora: Mais alguma figura?

Renata: Acho que não, só tem triângulos aqui.

Alessandra, Oliver e Priscila também iniciaram sua descrição pelas unidades de dimensão 2, mas citaram apenas um triângulo (ABC). Desse grupo,

apenas Priscila citou dois trapézios (DEGF e EBCG).

Todos os alunos, exceto Letícia, tiveram que ser estimulados para passar

das unidades figurais de dimensão 2 para as de dimensões menores. Eles descreviam apenas triângulos e trapézios.

(75)

Dafne, Renata, Paula e Pedro referiram-se a três retas paralelas (DF, EG

e BC) e duas não paralelas (AB e AC). Desses alunos, apenas Paula citou o ponto

de concorrência entre os segmentos principal e auxiliar (A). Os demais não

fizeram referência às unidades de dimensão 0 . Alessandra disse visualizar duas

linhas. Oliver e Priscila afirmaram visualizar três retas paralelas (DF, EG e BC),

mas apenas Priscila citou unidades figurais de dimensão 0 (A, B, C, D, E, F e G).

Letícia iniciou sua descrição da figura afirmando que via ângulos. Em seguida, quando indagada se visualizava mais alguma coisa, afirmou visualizar paralelas (DF, EG e BC). Como não citou espontaneamente mais nenhuma unidade figural, a entrevistadora teve que estimulá-la. Disso é exemplo o seguinte diálogo transcrito:

Pesquisadora: O que você visualiza?

Letícia: ângulos.

Pesquisadora: Quais ângulos?

Letícia: Estes. (Aponta para os ânguloS DF)Ge EG)C).

Pesquisadora: O que mais você visualiza?

Letícia: Paralelas.

(76)

Pesquisadora: Figuras, retas ou pontos? Letícia: Tem triângulo.

Pesquisadora: Qual é o triângulo?

Letícia: Esse (mostrando o triângulo ADF).

Pesquisadora: Tem mais algum triângulo?

Letícia: Tem, esse grande (mostrando o triângulo ABC).

Pesquisadora: Tem mais algum triângulo?

Letícia: Não.

Pesquisadora: Tem mais alguma outra figura?

Letícia: Não.

Todos os alunos citaram primeiramente unidades figurais de dimensão 2, sendo que dos oito alunos sete iniciaram sua descrição pelos triângulos e um por ângulos, o que confirma as referências teóricas de DUVAL (1995). Observamos também que todos os alunos apresentaram dificuldades para passar de uma dimensão para outra, necessitando serem estimulados. A única aluna que passou diretamente da dimensão 2 (ângulos) para dimensão 1 (paralelas), teve que ser estimulada a citar outras unidades figurais e retornou então a dimensão 2, citando triângulos .

(77)

Quanto aos comprimentos em jogo:

Dafne, Alessandra, Paula e Pedro afirmaram que os comprimentos das

partes do segmento principal eram iguais (AD =DE=EB) e que os comprimentos

das partes do segmento auxiliar também eram iguais (AF =FG=GC). Para

Letícia, os comprimentos das partes do segmento principal eram diferentes e os

comprimentos das partes do segmento auxiliar também eram diferentes. Ela ainda

escreveu uma relação de comparação entre os comprimentos das partes dos

segmentos (AD<DE<EB) e (AF<FG<GC) . Renata e Oliver não compararam

os comprimentos desses segmentos. Priscila afirmou não haver segmentos de

mesmo comprimento na figura. Portanto, para ela, (AD ≠ DE ≠ EB) e

(AF ≠ FG ≠ GC).

Dafne e Letícia afirmaram que o comprimento do segmento auxiliar era

maior que o comprimento do segmento principal (AC > AB). Alessandra e Paula

afirmaram que o comprimento do segmento principal era igual ao comprimento do

segmento auxiliar (AC = AB). Os demais alunos não fizeram referência a esses

comprimentos.

(78)

contadas a partir do ponto de concorrência, eram iguais (AD =AF e DE =FG),

mas para ela a última parte do segmento auxiliar era maior que a última parte do

segmento principal (GC>EB). Desses alunos, apenas Renata, Oliver e Paula

quiseram confirmar suas afirmações utilizando-se de régua graduada para medir os segmentos. Desse modo, eles retificaram suas produções, afirmando então que as partes do segmento principal não possuíam mesmo comprimento que as

respectivas partes do segmento auxiliar (AD ≠ AF, DE ≠ FG e EB ≠ GC).

Renata e Oliver, que não haviam citado que as partes de um mesmo segmento (principal e auxiliar) eram iguais, o fizeram depois de utilizarem a régua,

escrevendo que os comprimentos das partes eram iguais (AD =DE=EB e

AF=FG=GC). Priscila afirmou não haver segmentos com comprimentos iguais

nessa figura.

Priscila e Pedro afirmaram que o comprimento das partes do segmento principal eram diferentes do comprimento das partes do segmento auxiliar

(AD ≠ AF, DE ≠ FG e EB ≠ GC). Quando indagados sobre suas afirmações,

ambos justificaram suas interpretações sobre os comprimentos dizendo que os ângulos eram diferentes (AD)F ≠ AF)D) e, portanto, os comprimentos dos lados do

triângulo (ADF) não poderiam ser iguais. Disso, os seguintes diálogos transcritos são exemplo:

I - Pesquisadora: Agora eu quero saber do comprimento dos segmentos. Priscila: Tem que medir ?

Pesquisadora: Só se você quiser.

(79)

comprimento e os que possuem comprimentos diferentes.

Pedro: Não vejo nenhum com mesmo comprimento.

Pesquisadora: Você pode escrever isso para mim?

Pedro:(Responde oralmente) Acho que AB é diferente de AE (referindo-se a

AD e AF ), BC é diferente de EF (referindo-se a DE e FG) e CD é

diferente de FG (referindo-se a EB e GC).

Pesquisadora: O que o faz pensar que são diferentes? Você aprendeu algo

que o faz achar que são diferentes?

Pedro: Porque são triângulos e não são eqüiláteros, então os lados não são

iguais.

Pesquisadora: E essas partes desses mesmos segmentos (apontando e

referindo-se a AD, DE e EB) têm o mesmo comprimento ou não?

Pedro: Estas têm o mesmo comprimento (referindo-se a AD, DE e EB), e

estas também (referindo-se a AF, FGe GC).

Todos os alunos fizeram interpretações sobre os comprimentos em jogo e

utilizaram a visualização para formularem suas primeiras hipóteses. Três alunos

(80)

Quanto aos comprimentos das partes de um mesmo segmento, quatro alunos afirmaram que elas eram iguais, dois afirmaram que elas eram diferentes e os dois restantes não compararam os comprimentos desses segmentos.

Dos oito alunos, dois afirmaram que os comprimentos dos segmentos principal e auxiliar eram iguais e outros dois afirmaram que o comprimento do

segmento auxiliar era maior do que o comprimento do segmento principal . Os

quatro alunos restantes não fizeram referências diretas a esses comprimentos. Assim, não pudemos concluir se as medidas escolhidas nas análises (50 mm para

o segmento principal e 60 mm para o segmento auxiliar formando um ângulo de

45o) são perceptivamente próximas.

Dos oito alunos, seis admitiram a conservação de comprimento em uma situação onde o comprimento não era conservado. Para tanto, basearam-se na

forma da figura, utilizando apenas visualização. Dois alunos justificaram sua

resposta através de propriedades e acertaram na comparação dos comprimentos

demonstrando, assim, uma apreensão discursiva. É importante ressaltar que uma

(81)

Quanto à visualização da figura:

Dafne, Letícia, Renata, Paula, Priscila e Pedro referiram-se a dois triângulos (ABC e AEG). Esses triângulos foram as únicas unidades figurais de

dimensão 2 que Renata citou. Os demais alunos identificaram na figura um

trapézio (EBCG). Alessandra e Oliver referiram-se apenas a um triângulo (ABC).

Todos os alunos falaram primeiramente das figuras de dimensão 2 e precisaram ser questionados para citar as de dimensão 1. Porém, não foi necessário

perguntar diretamente a respeito de retas, segmentos e pontos como na 1a figura

(82)

Pesquisadora: O que você vê nesta figura? Priscila: triângulos e trapézios.

Pesquisadora: Quantos triângulos e quantos trapézios?

Priscila: Dois triângulos e um trapézio.

Pesquisadora: Além de triângulos e trapézios o que mais você vê?

Priscila: Vejo duas paralelas e dois lados.

Dafne, Letícia, Renata, Oliver, Paula, Priscila e Pedro citaram duas retas

paralelas (BC e EG) e duas não paralelas (AC e AB). Alessandra citou apenas

uma linha (EG). Letícia foi a única aluna que afirmou visualizar pontos. Porém não

disse a quais se referia.

Todos os alunos começaram sua descrição pelas unidades figurais de dimensão 2, sendo que, dessa vez, todos começaram pelos triângulos, confirmando DUVAL (1995). Embora essa tenha sido a segunda figura que fora

apresentada aos alunos, eles não conseguiram passar espontaneamente da

dimensão 2 para as dimensões menores, mas uma única sugestão do tipo "O que

mais você visualiza" foi suficiente para o deslocamento entre dimensões e na figura anterior essa sugestão não tinha sido suficiente. Esse fato nos leva a supor

que a 1a figura que oferecemos aos alunos interferiu, facilitando o deslocamento

(83)

figura?" ajudam os alunos a perceber outras unidades figurais, melhorando assim sua apreensãoperceptiva. Nessa figura, não houve unidades figurais de dimensão 2 que não foram citadas.

Apenas uma aluna citou as unidades figurais de dimensão 0 e ela não o

havia feito na figura anterior, e as duas alunas que citaram pontos na figura anterior não o fizeram nessa figura. Desse modo, temos quatro alunos que não citaram unidades figurais de dimensão 0 em nenhum momento da tarefa.

Quanto aos comprimentos em jogo:

Dafne, Letícia e Alessandra afirmaram que o comprimento das partes do

segmento principal eram iguais aos respectivos comprimentos das partes do

segmento auxiliar (AE=AG e EB= GC) utilizando-se apenas de visualização. Dafne acrescentou que o comprimento do segmento principal é menor que o

comprimento do segmento auxiliar (AB< AC). Dessas alunas, apenas

(84)

É importante ressaltar que, para todos os alunos que quiseram rever suas produções, medindo o comprimento dos segmentos a partir da segunda figura, a entrevistadora mostrou, com um exemplo, como comparar comprimentos de segmentos utilizando o compasso, mas deixou para o aluno a escolha de qual instrumento utilizar.

Dafne reviu suas afirmações utilizando-se do compasso. Letícia reviu suas afirmações conferindo-as com a régua. Ambas retificaram suas produções dizendo

que as partes do segmento principal eram menores que as respectivas partes do

segmento auxiliar (AE<AG e EB<GC). Disso é exemplo o diálogo transcrito:

Pesquisadora: Você aprendeu alguma coisa na escola que poderia justificar a

sua comparação entre os comprimentos dos segmentos?

Dafne: Não sei, eu só estou vendo.

Pesquisadora: Quer usar algum instrumento para verificar se eles têm o

mesmo comprimento ou não?

Dafne: Pode ser a régua?

Pesquisadora: Pode usar qual você quiser. Você sabe comparar

comprimentos de segmentos com compasso? Dafne: Não, só uso para fazer círculos.

Pesquisadora: Eu vou mostrar para você como faz.(Demonstra com um

exemplo). Você pode escolher qual instrumento quer usar.