O Teorema de MalgrangeEhrenpreis

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR ´

A

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

CURSO DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

DANIEL

PINHEIRO

SOBREIRA

O TEOREMA DE

MALGRANGE-EHRENPREIS

(2)

Daniel Pinheiro Sobreira

O TEOREMA DE

MALGRANGE-EHRENPREIS

Disserta¸cão submetida à Coordena¸cão do Curso de Pós-Gradua¸cão em Matemática, da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obten¸cão do grau de Mestre em Matemática.

´

Area de concentra¸c˜ao: An´alise.

Orientador: Prof. Dr. Antˆonio Caminha Muniz Neto.

(3)

(4)

AGRADECIMENTOS

O in´ıcio da minha carreira acadêmica aconteceu nas Olimp´ıadas de Ma-temática, na qual fui treinado pelos professores Antonio Caminha Muniz Neto, Onofre Campos da Silva Farias, Francisco José da Silva Junior. Chegou o ves-tibular e passei para o curso de Ciências da Computa¸cão. Conclu´ıdo o curso, resolvi fazer mestrado em Matemática e agrade¸co o incentivo e confian¸ca pres-tados por parte do meu orientador Antonio Caminha Muniz Neto.

Durante o mestrado, além da ajuda do orientador, me ajudaram os colegas: Bruno Holanda, Carlos Augusto, Marcelo Mendes, Samuel Barbosa e Nazareno. Agrade¸co o suporte financeiro dado pela Coordena¸cão de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior, CAPES, e à secretária de Pós-Gradua¸cão Andréa Costa Dantas.

(5)

RESUMO

No primeiro cap´ıtulo da disserta¸cão, é apresentada uma breve introdu¸cão do trabalho. Em seguida, no segundo cap´ıtulo, são demonstradas no¸cões e propri-edades de espa¸cos vetoriais topológicos. Dando seguimento ao presente estudo, no terceiro cap´ıtulo, efetua-se a abordagem da teoria das distribui¸cões, onde se proporciona, como exemplo a distribui¸cão delta de Dirac, na qual, por conse-guinte, são definidas ainda opera¸cões com distribui¸cões, entre elas a convolu¸cão de uma distribui¸cão com uma fun¸cão teste, e por fim, ainda no mesmo capi-tulo é feito uma análise das distribui¸cões com suporte compacto. No cap´ıtulo quatro, por sua vez, explana-se a transformada de Fourier e suas propriedades, bem como, propriedades de fun¸cões que pertencem ao espa¸co de Schwartz e ainda, é feito um estudo das distribui¸cões temperadas. Finalmente, no quinto e último cap´ıtulo é demonstrado o teorema de Malgrange-Ehrenpreis, que é a temática principal do trabalho elaborado, o qual afirma que todo operador di-ferencial com coeficientes constantes tem uma solu¸cão fundamental. Destarte, é implementado um estudo de alguns exemplos afins ao teorema.

(6)

ABSTRACT

In the first chapter of the dissertation, is a brief introduction. Then in the second chapter, are shown notions and properties of topological vector spa-ces. Following the present study, the third chapter, is effected the approach to the theory of distributions, which provides, as an example the Dirac delta distribution, in which, therefore, are defined further distribution operations, in-cluding the convolution of a distribution with a test function, and finally, still in same chapter an analysis is made of distributions with compact support. In chapter four, in turn, explains to the Fourier transform and its properties, as well as properties of functions belonging to Schwartz space and also a study is made of tempered distributions. Finally, the fifth and final chapter is shown the Malgrange-Ehrenpreis theorem, which is the main theme of the work done, which states that any differential operator with constant coefficients has a fun-damental solution. Thus, it implemented a study of some examples related to the theorem.

(7)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 8

2 Preliminares 9

2.1 Espa¸cos vetoriais topol´ogicos . . . 9 2.2 Fun¸c˜oes-teste . . . 16

3 Distribui¸c˜oes 23

3.1 Distribui¸cões . . . 23 3.2 Convolu¸cões . . . 30 3.3 Distribui¸cões com suporte compacto . . . 35

4 A Transformada de Fourier 42

4.1 Tranformada de Fourier . . . 42

4.2 O Espa¸co de Schwartz . . . 47 4.3 Distribui¸c˜oes Temperadas . . . 50

5 O Teorema de Malgrange-Ehrenpreis 61

(8)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

O presente trabalho traz como tema : O Teorema de Malgrange-Ehrenpreis, que foi demonstrado, na primeira metade da década 1950-1960, de forma indepen-dente por Bernard Malgrange e Leon Ehrenpreis. O teorema se relaciona com equa¸cões em derivadas parciais, que exercem um papel central na matemática pura e aplicada, e o estudo destas tem proporcionado e segue proporcionando resultados de enorme interesse teórico e prático. Elas expressam de forma di-reta, por exemplo, as leis fundamentais do movimento de Newton, as leis básicas de movimento dos fluidos, dos campos elétricos, transmissão de calor e muitos outros fenômenos. Historicamente, o estudo das equa¸cões em derivadas parciais foi motivado por problemas da F´ısica e da Geometria.

Tal estudo foi a primeira evidência impressionante do impacto da teoria das distribui¸cões aplicada a equa¸cões diferenciais parciais lineares. Malgrange usou as distribui¸cões de modo sistemático e estudou operadores de convolu¸cão.

A teoria das distribui¸cões está motivada pelo desejo de derivar, em algum sentido, fun¸cões que não são deriváveis. Para isso estendemos o cálculo a uma classe mais ampla que a classe das fun¸cões diferenciáveis, as distribui¸cões. Che-gamos ao espa¸co das distribui¸cões como o dual topológico do espa¸co das fun¸c˜ oes-teste. E passamos a ver fun¸cões como distribui¸cões, definindo a derivada de uma distribui¸cão e estudando algumas propriedades do produto de convolu¸cão que se define somente para uma distribui¸cão e uma fun¸cão-teste.

Apresentamos a transformada de Fourier como uma técnica para solu¸cão de equa¸cões diferenciais ordinárias e parciais que nos permite transformar equa¸cões diferenciais em equa¸cões algébricas e equa¸cões diferenciais parciais em equa¸cões diferenciais ordinárias. Posteriormente, mostramos que ela é um isomorfismo no Espa¸co de Schwartz, e a relacionamos com a convolu¸cão de fun¸cões.

(9)

Cap´ıtulo 2

Preliminares

2.1 Espa¸

cos vetoriais topol´

ogicos

Em tudo o que segue, salvo men¸c˜ao em contr´ario consideraremos sempre espa¸cos vetoriais complexos.

Defini¸cão 2.1. Umespa¸co vetorial topológico(EVT)é um espa¸co vetorial munido de uma topologia Hausdorff, em rela¸cão à qual as opera¸cões de espa¸co vetorial são cont´ınuas.

Alguns comentários sobre as continuidades postuladas na defini¸cão acima: a topologia usual de um produto cartesianoX×Y de espa¸cos topológicos é a

topologia produto, i.e., aquela que tem por base a fam´ılia

B={A×B;A⊂X eB⊂Y s˜ao abertos}.

A defini¸cão acima afirma que a adi¸cão + : X×X →X e a multiplica¸cão por escalar · : C_×_X _→ _X _{são cont´ınuas com respeito às topologias-produto dos}

dom´ınios. Assim, por exemplo, sexn →x,yn→y no EVTX eλn→λemC,

ent˜ao

xn+yn→x+y e λnxn→λx.

O efeito de se combinar a estrutura de espa¸co vetorial com a topologia torna um EVTX homeomorfo a si mesmo sob transla¸c˜oes e homotetias. Mais preci-samente, temos a seguinte

Proposi¸c˜ao 2.2. Sejam X um EVT, y ∈ X e λ ∈ C_{\ {}₀_{}. As aplica¸c˜}_oes

fy:X→X e gλ:X →X, dadas respectivamente por

fy(x) =x+y e gλ(x) =λx,

(10)

Demonstra¸cão. As aplica¸cõesfyegλsão claramente cont´ınuas. E as aplica¸cões

fy−1:X→X egλ−1:X →X, dadas por

fy−1(x) =x−y e gλ−1(x) =

1 λx,

são suas inversas, que também são cont´ınuas.

No que segue vamos discutir uma maneira de construir EVT’s cujas topolo-gias satisfa¸cam uma certa condi¸c˜ao adicional.

Defini¸cão 2.3. Seja X um espa¸co vetorial. Uma aplica¸cão ρ:X →R₊ _{é uma}

semi-normase as seguintes condi¸c˜oes forem satisfeitas:

(a) ρ´e sub-aditiva, i.e.,ρ(x+y)≤ρ(x) +ρ(y), para todos x, y∈X.

(b) ρ(λx) =|λ|ρ(x), para todos λ∈C_,_x_∈_X_.

Se ρé uma semi-norma no espa¸co vetorial X, então é claro que ρ(0) = 0. Se a condi¸cão rec´ıproca for satisfeita, i.e., se ρ(x) = 0 ⇒x = 0, então ρserá uma norma em X. Há, no entanto, em vários espa¸cos vetoriais de interesse, semi-normas interessantes que não são normas, conforme atesta o seguinte

Exemplo 2.4. Se X =C1_[0,_{1] ´e o espa¸co vetorial das fun¸c˜}_oes_f _{: [0,}_1]_→_C

de classeC1_{, ent˜ao a aplica¸c˜}_ao _ρ _: _X _→_R

+ dada por ρ(f) = ||f′||L∞ ´e uma

semi-norma que n˜ao ´e norma. De fato,ρ(f+g) =||(f+g)′_||

L∞ =||f′+g′||_L∞ ≤

||f′_||

L∞+||g′||_L∞ = ρ(f) +ρ(g), e ainda, ρ(λf) = ||(λf)′||_L∞ =||λf′||_L∞ =

|λ|||f′_||

L∞ = |λ|ρ(f), sendo assim uma semi-norma. Mas sendo g qualquer

fun¸cão constante, temos queρ(g) = 0.Assim,ρnão é uma norma.

O lema a seguir coleciona algumas propriedades elementares ´uteis de semi-normas.

Lema 2.5. Seρ´e uma semi-norma em um espa¸co vetorialX, ent˜ao, para todos

x, y, z∈X, temos:

(a) ρ(x−y)≥ |ρ(x)−ρ(y)|.

(b) ρ(x−z)≤ρ(x−y) +ρ(y−z).

Demonstra¸c˜ao. (a) ρ(y+x−y)≤ρ(y) +ρ(x−y)⇒ρ(x)−ρ(y)≤ρ(x−y). E ainda ρ(x+y−x) ≤ ρ(x) +ρ(y−x) ⇒ ρ(y) ≤ ρ(x) +ρ(x−y) ⇒ −ρ(x−y)≤ρ(x)−ρ(y),assim

ρ(x−y)≥ |ρ(x)−ρ(y)|.

(11)

Defini¸c˜ao 2.6. Uma fam´ılia {ρα}α∈I de semi-normas em um espa¸co vetorial

X ´esuficienteousepara pontos se

ρα(x) = 0, ∀ α∈I⇒x= 0.

´

E imediato que se {ρα}α∈I ´e uma fam´ılia suficiente de semi-normas em um

espa¸co vetorialX, ent˜ao

x6=y⇔ ∃α∈I;ρα(x−y)>0.

Para o que segue, se X ´e um espa¸co vetorial eρ´e uma semi-norma em X, definimos aρ−bolade raiorcentrada emx∈X por

Bρr(x) ={y∈X;ρ(y−x)< r}.

Se{ρα}α∈I ´e uma fam´ılia de semi-normas em X, denotamos Brρα(x)

simples-mente porBα

r(x); ainda nesse caso, escrevemos n

\

j=1

Bαj

r (x) =Bαr1,...,αn(x).

Seja T uma topologia sobre o espa¸co vetorial X, a qual o torna um EVT. Se {ρα}α∈I ´e uma fam´ılia de semi-normas em X, todas cont´ınuas em rela¸c˜ao

a T, ent˜ao, fixados r > 0 e α∈I, temos que ρ−1

α (0, r) = Brα(0) ´e um aberto

de X. Portanto, para cada x ∈ X, s˜ao tamb´em abertos em X os conjuntos x+Bα

r(0) =Brα(x) eBrα1,...,αn(x). O teorema a seguir estabelece uma rec´ıproca

dessas observa¸c˜oes.

Teorema 2.7. Seja X um espa¸co vetorial e {ρα}α∈I uma fam´ılia suficiente

de semi-normas emX. A cole¸c˜ao B dos conjuntos da formaBα1,...,αn

r (x), com

x∈X,r >0,n∈N_e_α₁_{, . . . , α}_n_∈_I_{, ´e uma base para uma topologia sobre}_X_,

a qual o torna um EVT.

Demonstra¸cão. Para mostrarmos queBé uma base para uma topologia emX, vamos mostrar que a interse¸cão de dois abertosU eV é também aberta. Mas sex∈U∩V eBα1,...,αm

r (x)⊆U eBsβ1,...,βn(x)⊆V, ´e imediato que

Bα1,...,αm,β1,...,βn

min{r,s} (x)⊆U ∩V.

Para ver que a topologia assim definida é Hausdorff, sejam dados x, y∈X, comx6=y. Seα∈Ié tal queρα(y−x) =r >0, então a sub-aditividade deρα

garante queBα

r/2(x)∩Br/α2(y) =∅.

Resta verificar a continuidade de f : X ×X → X e g : C_×_X _→ _X,

respectivamente as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar. Como os conjuntos Bα

(12)

mostrar quef−1_(Bα

r(x))⊆X×X eg−1(Brα(x))⊆C×X s˜ao abertos. Quanto

af, note inicialmente que

f−1(Brα(x)) ={(y, z)∈X×X; ρα(y+z−x)< r}.

Portanto, fixado (y0, z0)∈f−1(Brα(x)) e sendoη =r−ρα(y0+z0−x)>0, a

sub-aditividade deρα garante que

(y0, z0)∈Bη/α2(y0)×Bη/α2(z0)⊆f−1(Brα(x)),

i.e.,f−1_(Bα

r(x)) ´e aberto emX×X. Para g, temos

g−1(Brα(x)) ={(λ, y)∈C×X; ρα(λy−x)< r}.

Portanto, fixado (λ0, y0)∈g−1(Bαr(x)), queremos encontrarδ, η >0 tais que

(λ, y)∈B(λ0;δ)×Bηα(y0)⇒ρα(λy−x)< r.

Para tanto, utilizando uma vez mais a sub-aditividade deρ, obtemos

ρα(λy−x) ≤ ρα(λy−λy0) +ρα(λy0−λ0y0) +ρα(λ0y0−x)

= |λ|ρα(y−y0) +|λ−λ0|ρα(y0) +ρα(λ0y0−x)

< (δ+|λ0|)η+δρα(y0) +ρα(λ0y0−x)< r.

Portanto, sendoǫ=r−ρα(λ0y0−x)>0, tomeδ= ₂₍_ρ_α₍_yǫ₀₎₊₁₎ eη= ₂₍_δ₊ǫ_|_λ₀_|₎.

Se X ´e um espa¸co vetorial e {ρα}α∈I ´e uma fam´ılia suficiente de

semi-normas emX, ´e imediato verificar que a base para a topologia de EVT dada pelo teorema acima ´e formada por conjuntosconvexos. De fato, sey, z ∈Bα1,...,αn

r (x)

et∈[0,1], ent˜ao

ραj

r ((1−t)y+tz−x)≤(1−t)ραrj(y−x) +tραrj(z−x)<(1−t)r+tr=r,

i.e., (1−t)y+tz∈Bα1,...,αn

r (x). Nesse caso dizemos queX´e um espa¸co vetorial

topol´ogicolocalmente convexo(EVTLC).

Vale observar que um EVTLC é uma generaliza¸cão natural de um espa¸co vetorial normado (EVN), uma vez que uma norma em um espa¸co vetorial é uma fam´ılia suficiente e unitária de semi-normas.

Exemplo 2.8. SeX ´e um EVN, atopologia fraca−∗em seu espa¸co dualX∗_´e

a menor topologia que torna as aplica¸c˜oes de avalia¸c˜ao

f ∈X∗7→f(x)∈C

cont´ınuas (x ∈ X). Portanto, tal topologia coincide com aquela gerada pela fam´ılia suficiente {ρx}x∈X de semi-normas, onde ρx(f) = |f(x)|, para todo

f ∈X∗_{. Em outras palavras,}_X∗_{´e um EVTLC quando munido com a topologia}

(13)

O teorema a seguir dá uma condi¸cão necessária e suficiente para a continui-dade de uma aplica¸cão linear entre EVTLC’s.

Teorema 2.9. SejamX e Y EVTLC’s, com topologias geradas pelas fam´ılias suficientes de semi-normas{ρα}α∈I e{σβ}β∈J. SeT :X →Y ´e uma aplica¸c˜ao

linear, ent˜ao s˜ao equivalentes:

(a) T ´e cont´ınua.

(b) T ´e cont´ınua em0∈X.

(c) Para cadaβ ∈J, existem α1, . . . , αk∈I e uma constanteC >0, tais que

σβ(T x)≤C k

X

j=1

ραj(x), ∀x∈X. (2.1)

Demonstra¸cão. A equivalência entre (a) e (b) segue imediatamente da pro-posi¸cão 2.2, de maneira que basta mostrarmos a equivalência entre (b) e (c). Para tanto, como T(0) = 0, note que T é cont´ınua em 0 se e só se a imagem inversa porT de todo elementoBβ

s(0) da sub-base de vizinhan¸cas de 0∈Y for

uma vizinhan¸ca aberta de 0∈X, o que por sua vez ocorre se e s´o se existirem α1, . . . , αk∈I, er >0 tais que

k

\

j=1

Bαj

r (0)⊂T−1(Bβs(0)).

Mas isso ´e o mesmo que

ραj(x)< r,∀ 1≤j≤k⇒σβ(T x)< s. (2.2)

Logo, se (2.1) for satisfeita es >0 e β ∈J forem dados, tomer=s/(Ck): se ραj(x)< rpara todo 1≤j≤k, ent˜ao

σβ(T x)≤C k

X

j=1

ραj(x)< C·kr=s.

Reciprocamente, fixados s > 0 e β ∈ J, se existirem r > 0 e α1, . . . , αk ∈ I

satisfazendo (2.2), ent˜ao afirmamos que

σβ(T x)≤

s r

k

X

j=1

ραj(x)

para todox∈X. De fato, parax∈X h´a duas possibilidades:

• ραj(x) = 0 para 1 ≤j ≤ k: neste caso ραj(tx) = 0 para todo t > 0, e

segue de (2.2) que σβ(T x) < s/t para todot > 0, donde σβ(T x) = 0 e

(14)

• ραj(x)6= 0 para algum 1≤j≤k: sendoλ=

Pk

j=1ραj(x)>0, temos

ραj

_r

λx

= r

λραj(x)< r

para 1≤j ≤k, de modo queσβ _λrT x< s. De outro modo,

σβ(T x)<

s rλ=

s r

k

X

j=1

ραj(x).

Desde que todo EVTLC X é Hausdorff, o limite de uma sequência em X, quando existir, será único. A proposi¸cão a seguir dá um critério útil para decidir quando uma tal sequência converge para um certo limite.

Proposi¸cão 2.10. Seja X um EVTLC cuja topologia é gerada pela fam´ılia suficiente {ρα}α∈I de semi-normas. Uma sequência (xn)n≥1 em X converge parax∈X se e só seρα(xn−x)→0, para todo α∈I.

Demonstra¸cão. A sequência (xn)n≥1 converge para x ∈ X se e só se, dado

x∈ U ⊆ X aberto, existir n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn ∈ U. Basta agora

notar que os conjuntosBα

r(x) formam uma sub-base de vizinhan¸cas dex, e que

ρα(xn−x)< r⇔xn∈Bαr(x).

Defini¸cão 2.11. Seja X um EVTLC. Uma sequência (xn)n≥1 em X é de Cauchyse, para todoǫ >0 e toda semi-normaρα definindo a topologia deX,

existirN =N(ǫ, α)∈N_{tal que}

m, n≥N ⇒ρα(xm−xn)< ǫ.

Como no caso de espa¸cos métricos, é imediato verificar que toda sequência convergente é de Cauchy; reciprocamente, se toda sequência de Cauchy em X convergir, diremos queX é um EVTLCcompleto.

Um espa¸co topológico X é metrizável se existir uma métrica d sobre X cuja topologia induzida coincida com a topologia original de X. Nesse caso, diremos que a métrica dé compat´ıvel com a topologia de X. O teorema a seguir dá uma condi¸cão suficiente para a metrizabilidade de um EVTLC.

Teorema 2.12. Se a topologia de um EVTLC X for gerada por uma fam´ılia enumerável{ρk}k∈Nde semi-normas, entãoXé metrizável. Mais precisamente, X admite uma métrica compat´ıvel etranslacionalmente invarianted, dada por

d(x, y) =X

k≥1

2−k ρk(x−y) 1 +ρk(x−y)

(15)

Demonstra¸cão. A condi¸cãod(x, y) = 0⇒x=y segue da suficiência da fam´ılia

{ρk}k∈N. Para verificar a desigualdade triangulard(x, z)≤d(x, y) +d(y, z), use que ρk(x−z) ≤ ρk(x−y) +ρk(y−z), juntamente com o fato que a fun¸c˜ao

f :R+ →Rdada porf(x) = ₁₊x_x ´e crescente e tal que f(a+b)≤f(a) +f(b),

para todosa, b∈R₊_.

Para mostrar que a topologia induzida pela métrica coincide com a topologia de EVTLC de X, basta mostrar que toda bola métrica aberta é aberta na topologia de EVTLC e, reciprocamente, que todo aberto básico de tal topologia é aberto na topologia métrica. Sejam, pois x∈ X, R > 0 e Bd(x;R) a bola

m´etrica de centro x e raioR. Se r >0 e N ∈ N _{s˜ao tais que} _r_{+ 2}−N _{< R,}

afirmamos que TN_k₌₁Bk

r(x) ⊆ Bd(x;R). De fato, se y ∈ TN_k₌₁Brk(x), ent˜ao

segue do fato da fun¸c˜aof do par´agrafo anterior ser crescente que

d(y, x) =

N

X

k=1

+ X

k>N

<

N

X

k=1

2−k r 1 +r+

X

k>N

2−k< r+ 2−N < R.

Reciprocamente, dado um aberto b´asico TN_k₌₁Bk

r(x) da topologia de EVTLC

de X, se R = 2−N r

1+r afirmamos que Bd(x;R) ⊆

TN

k=1Brk(x). De fato, se

y∈Bd(x;R) e 1≤k≤N, ent˜ao

2−k ρk(y−x) 1 +ρk(y−x)

≤d(y, x)<2−N r 1 +r ≤2

−k r

1 +r,

dondeρk(y−x)< r.

Um EVTLC metrizável e completo é denominado umespa¸co de Fréchet. O resultado a seguir é uma consequência imediata da proposi¸cão 2.10, da defini¸cão 2.11 e do teorema acima.

Corolário 2.13. Seja X um EVTLC metrizável, cuja topologia é gerada pela fam´ılia {ρk}k∈N de semi-normas. Uma sequência(x_n)_n_≥₁ em X é de Cauchy (resp. converge para x∈X) em rela¸cão à métrica ddada por (2.3)se e só se, para todosǫ >0 ek∈N_{, existir}_N ₌_{N(ǫ, k)}∈N_{tal que}

m, n≥N⇒ρk(xm−xn)< ǫ(resp.ρk(xm−x)< ǫ).

Para o que segue, dizemos que um espa¸co topológico X é normávelse X puder ser munido com uma norma|| ||, cuja topologia induzida coincida com a topologia original deX. Nesse caso, diremos que a norma || ||é compat´ıvel

(16)

Teorema 2.14. Se a topologia de um EVTLC X for gerada por uma fam´ılia finita{ρk}1≤k≤n de semi-normas, então X é normável. Mais precisamente, X

admite a norma compat´ıvel|| ||, dada por

||x||=

n

X

k=1

ρk(x).

Demonstra¸c˜ao. Adapte a prova do teorema 2.12.

2.2 Fun¸

c˜

oes-teste

Seja Ω⊂Rn _{um aberto. Se} _f _∈_C0_{(Ω), o}_suporte_de_f _{´e o conjunto}

supp(f) ={x∈Ω;f(x)6= 0}.

Ummulti-´ındiceα= (α1, α2, . . . , αn) ´e uman−upla de inteiros n˜ao-negativos;

aordem do multi-´ındiceα´e o inteiro n˜ao-negativo

|α|=α1+α2+· · ·+αn.

Denotamos ainda por∂α _{o operador diferencial linear}

∂α=∂α1

x1. . . ∂

αn

xn,

deordem|α|. Definimos ent˜ao os espa¸cos vetoriais

Ck_{(Ω) =}_{_f _∈_C0_(Ω);_∂α_f _∈_C0_(Ω),_{∀ |}_α_{| ≤}_k_}_,

C∞_{(Ω) =} \

k≥0

Ck_(Ω)

e

D(Ω) =Cc∞(Ω) ={f ∈C∞(Ω); supp(f) ´e compacto}.

Quando Ω =Rn_{, denotaremos os conjuntos definidos acima simplesmente por}

Ck_,_C∞_e_C∞

c , respectivamente. SeK⊂⊂Rn, definimos ainda

Dk=Cc∞(K) ={f ∈Cc∞; supp(f)⊂K}.

Para o que segue, precisamos do seguinte lema.

Lema 2.15. A fun¸c˜ao η:R_→R _{dada por}

η(x) =

e−1/x2

, sex >0

0, sex≤0

(17)

Demonstra¸cão. Essa fun¸cão é claramente diferenciável emx6= 0, e sua j-ésima derivada tem a forma

η(j)(x) =

Rj(x)e−1/x

2

, sex >0

0, sex <0

ondeRj(x) é um polinômio dividido por uma potência dex.Mas pela regra de

L’Hopital,

lim

x→0Rj(x)e

−1

x2 = 0,

e assimη(j)_{´e cont´ınua em 0, para todo}_j,_sendo_η_{infinitamente diferenci´avel.}

Proposi¸c˜ao 2.16. Os conjuntosCk_(Ω)_,_C∞_(Ω)_,_C∞

c (Ω)eCc∞(K) (paraK⊂⊂

Rn _{com interior n˜}_ao-vazio₎_s˜_{ao espa¸cos vetoriais n˜}_ao-vazios.

Demonstra¸c˜ao. E suficiente construirmos, para todos´ x= (x1, . . . , xn)∈Rn e

r >0, um elemento deCc∞(K), ondeK=

Qn

j=1[xj−r, xj+r]. Por composi¸c˜ao

com transla¸c˜oes e homotetias, basta considerarmos o caso em quex= 0 er= 1. Seφ∈C∞

c ([−1,1]), ent˜ao ´e claro que

ψ(x) =φ(x1). . . φ(xn)

´e um elemento de Cc∞([−1,1]n), de modo que basta construirmos uma tal φ.

Sendoηa fun¸c˜ao do lema anterior, podemos tomarφ(x) =η(1−x)η(1 +x).

Fixado um inteiro estendido 0 ≤ k ≤ +∞, seja BCk_{(Ω) o subespa¸co de}

Ck_{(Ω) formado pelas fun¸c˜}_oes_φ_∈_Ck_{(Ω) tais que}

||φ||k,∞,Ω:=

X

|α|≤k

||∂αφ||∞,Ω

seja finita. ´E imediato verificar que || ||k,∞,Ω´e uma norma emBCk(Ω) e que,

munido com tal norma,BCk_{(Ω) ´e um espa¸co de Banach. Se}_k_≤_{l, ´e claro que}

||φ||k,∞,Ω ≤ ||φ||l,∞,Ω, de modo que a inclus˜ao ι : BCl(Ω) → BCk(Ω) ´e uma

contra¸c˜ao, logo uniformemente cont´ınua. Quando Ω =Rn_{, denotamos}_{|| ||} k,∞,Ω

simplesmente por|| ||k,∞, eBCk(Ω) simplesmente por BCk.

ParaK⊂⊂Rn _{fixado, consideramos sobre}_C∞

c (K) a topologia de EVTLC

gerada pela fam´ılia de semi-normas || ||k,∞. Como || ||k,∞ ≤ || ||k+1,∞ para

todok≥0, dadosφ∈C∞

c (K) er >0, temosBrk+1(φ)⊂Bkr(φ); portanto, um

subconjuntoU deC∞

c (K) ´e aberto se e s´o se, para todoφ∈U, existiremk≥0

er >0 tais queBk

r(φ)⊂U.

Equivalentemente, pelo teorema 2.12, a topologia descrita acima sobreC∞

c (K)

´e aquela dada pela m´etrica translacionalmente invariante

dK(φ, ψ) =

X

k≥0

(18)

Proposi¸c˜ao 2.17. Com a topologia descrita acima, C∞

c (K) ´e um espa¸co de

Fr´echet.

Demonstra¸cão. Se (φj)j≥1é uma sequência emCc∞(K), de Cauchy em rela¸cão

`

a métrica dK, segue do corolário 2.13 que, para cada k ≥0 inteiro, (φj)j≥1 é

de Cauchy em rela¸cão à norma || ||k,∞ deBCk. ComoBCk é um espa¸co de

Banach com tal norma, existe ψk ∈ BCk tal que φj → ψk em BCk. Agora,

para 0≤k≤l inteiros, a continuidade da inclus˜aoι:BCl_→_BCk _{garante que}

φj →ψk, ψl emBCk, de maneira queψk =ψl. Fica ent˜ao bem definida uma

fun¸c˜ao ψ ∈ T_k_≥₀BCk ₌ _BC∞_{, tal que} _φ

j → ψ em BCk, para todo k ≥ 0.

Em particular, temos supp(ψ)⊂K, donde ψ∈ C∞

c (K). Portanto, mais uma

aplica¸c˜ao do corol´ario 2.13 garante queφj→ψemCc∞(K).

Observa¸cão 2.18. Note que, apesar de ser um espa¸co de Fréchet,Cc∞(K)não

éum espa¸co de Banach com a métrica dK (é imediato provar que tal métrica

n˜ao prov´em de uma norma).

O teorema a seguir dá um critério para a continuidade de uma aplica¸cão linear deC∞

c (K) em um EVTLC.

Teorema 2.19. Seja X um EVTLC eT :Cc∞(K)→X uma aplica¸c˜ao linear.

S˜ao equivalentes:

(b) T ´e cont´ınua em0.

(c) T ´e sequencialmente cont´ınua.

(d) Para cada semi-norma ρem uma fam´ılia suficiente que gera a topologia deX, existem um inteiro k≥0 e uma constanteC >0 tais que

ρ(T φ)≤C||φ||k,∞, ∀ φ∈Cc∞(K). (2.4)

Demonstra¸cão. A equivalência entre os itens (a), (b) e (d) segue imediatamente do teorema 2.9, juntamente com o fato de que as semi-normas deCc∞(K) são

encaixantes. A equivalˆencia entre (a) e (c) segue do fato de queC∞

c (K) ´e um

espa¸co m´etrico.

O exemplo a seguir mostra que ´e mais dif´ıcil tratar com C∞

c (Ω) que com

C∞

c (K).

Exemplo 2.20. Tome φ ∈ Cc∞(R) tal que supp(φ) = [0,1] e φ(x) >0 para

x∈(0,1). Em seguida, para cada inteiron≥1, seja

ψn(x) = n

X

j=1

1

jφ(x−j)∈C

∞

(19)

de tal sorte que supp(ψn) = [1, n+ 1]. Defina ainda

ψ(x) =

∞ X

j=1

1

jφ(x−j)∈C

∞₍_R_).

´

E imediato verificar que||ψ(nk)−ψ(k)||0,∞→0 para cada inteirok≥0, ou ainda

que

||ψn−ψ||k,∞−→0

para cada inteirok≥0; no entanto,ψ /∈C∞

c (R), de maneira queCc∞(R) n˜ao ´e

completo em rela¸c˜ao `a topologia de EVTLC gerada pelas semi-normas|| ||k,∞.

Para assegurar que C∞

c (Ω) seja completo, n´os precisamos tanto da

con-vergˆencia uniforme dada pelas semi-normas|| ||k,∞,Ω quanto de uma condi¸c˜ao

que force que os limites de sequências convergentes também tenham suporte compacto. A defini¸cão a seguir explica quais semi-normas devem ser tomadas sobreC∞

c (Ω) a fim de que tais condi¸c˜oes sejam satisfeitas.

Defini¸c˜ao 2.21. Dado Ω⊂Rn _{aberto, consideramos sobre}_C∞

c (Ω) a topologia

de EVTLC gerada pela fam´ılia F(Ω) de semi-normas ρ : C∞

c (Ω) → R que

admitem, para todoK⊂⊂Ω, restri¸c˜oes cont´ınuas ρ|C∞

c (K):C

∞

c (K)→R.

Segue imediatamente da defini¸c˜ao acima que || ||n,∞,Ω ∈ F(Ω) para todo

n ≥ 0 inteiro. No que segue provamos que, com tal topologia, C∞

c (Ω) ´e um

EVLTC completo. Antes, contudo, precisamos do seguinte

Lema 2.22. Se{φn}n≥1é uma sequência emCc∞(Ω), então uma das condi¸cões

a seguir se verifica:

(a) ExisteK⊂⊂Ωtal quesupp(φn)⊂K para todon≥1.

(b) Existe uma semi-normaρ∈ F(Ω) tal que a sequˆencia real {ρ(φn)}n≥1 ´e ilimitada.

Demonstra¸c˜ao. Seja K = S_n_≥₁supp(φn). Se K estiver contido em Ω e for

compacto, nada mais haverá a fazer. Senão, ou K é ilimitado ouK 6⊂Ω. Em qualquer caso, podemos achar uma sequência {xk}k≥1 em Ω e fun¸cões ψk ∈

{φn}n≥1 tais que ψk(xk)= 0 e ou6 |xk| →+∞ouxk →x /∈Ω. Afirmamos que

ρ:C∞

c (Ω)→R, dada paraf ∈Cc∞(Ω) por

ρ(f) =X

k≥1

k

|ψk(xk)|

|f(xk)|,

é uma semi-norma em F(Ω). De fato, uma vez que supp(f)⊂⊂Ω, a soma do segundo membro é finita, e portantoρ certamente define uma semi-norma em Cc∞(Ω). Por outro lado, seL⊂⊂Ω eTk :Cc∞(L)→Ré a aplica¸cão linear dada

porTk(f) =f(xk), ent˜ao

(20)

e segue do teorema 2.19 queTk ´e cont´ınua sobre Cc∞(L). Portanto, a restri¸c˜ao

de ρ a C∞

c (L) ´e uma combina¸c˜ao linear finita das semi-normas f 7→ |Tk(f)|,

donde é cont´ınua. Segue então da defini¸cão deF(Ω) que ρ∈ F(Ω). Por fim, note queρ(ψk)≥k, i.e.,{ρ(ψk)}k≥1 é ilimitada.

Teorema 2.23. Com a topologia de EVTLC acima,C∞

c (Ω)´e completo.

Ade-mais, dadas uma sequˆencia{φn}n≥1emCc∞(Ω)eφ∈Cc∞(Ω), s˜ao equivalentes:

(a) φn→φ emCc∞(Ω).

(b) ExisteK⊂⊂Ωtal quesupp(φn),supp(φ)⊆K eφn→φ emCc∞(K).

Demonstra¸cão. Se{φn}n≥1é uma sequência de Cauchy emCc∞(Ω) eρ∈ F(Ω),

então é imediato que a sequência{ρ(φn)}n≥1 é limitada. Portanto, pelo lema

anterior existe K ⊂⊂ Ω tal que supp(φn) ⊆ K para todo n ≥ 1, i.e., φn ∈

C∞

c (K) para todon≥1. ComoCc∞(Ω) cont´em todas as semi-normas|| ||n,∞,

temos que {φn}n≥1 ´e tamb´em de Cauchy em Cc∞(K), e portanto existe φ ∈

C∞

c (K) tal que φn → φ em Cc∞(K). Mas se ρ∈ F(Ω), temos que ρ|C∞

c (K) :

C∞

c (K)→ R ´e cont´ınua, de maneira que ρ(φn −φ) → 0. Logo, φn → φ em

C∞

c (Ω), e portanto,Cc∞(Ω) ´e completo.

Para a equivalência entre (a) e (b), note inicialmente que a última parte do argumento acima prova a implica¸cão (b)⇒ (a). Para a rec´ıproca, se φn →φ

emC∞

c (Ω) e ρ∈ F(Ω), então é novamente claro que a sequência {ρ(φn)}n≥1é

limitada. Aplicando uma vez mais o lema anterior, garantimos a existˆencia de K⊂⊂Ω tal que supp(φn),supp(φ)⊆K para todon≥1, i.e., φn, φ∈Cc∞(K)

para todon≥1. ComoF(Ω) cont´em todas as semi-normas|| ||n,∞, segue que

φn→φemCc∞(K).

Observa¸c˜ao 2.24. Mostraremos ao final desta se¸c˜ao que C∞

c (Ω) n˜ao ´e um

espa¸co metriz´avel.

O teorema a seguir dá um critério para a continuidade de uma aplica¸cão linear deC∞

c (Ω) em um EVTLC.

Teorema 2.25. Seja X um EVTLC e T :C∞

c (Ω)→X uma aplica¸c˜ao linear.

S˜ao equivalentes:

(b) T ´e cont´ınua em0.

(c) T ´e sequencialmente cont´ınua.

(d) Para todo K⊂⊂Ω,T|C∞

c (K):C

∞

c (K)→X ´e cont´ınua.

(e) Para todo K ⊂⊂Ω e toda semi-norma ρ em uma fam´ılia suficiente que gera a topologia de X, existem um inteiro k≥0 e uma constante C >0

tais que

(21)

Demonstra¸cão. A equivalência entre os itens (a) e (b) segue do teorema 2.9, ao passo que a equivalência entre os itens (d) e (e) segue do teorema 2.19. Note ainda que (a)⇒(c) é sempre verdade para uma fun¸cão cont´ınua entre espa¸cos topológicos. Para o que falta, mostremos que (c) ⇒ (d) ⇒ (b). Supondo (c) verdadeira, segue do teorema 2.23 que T|C∞

c (K) ´e sequencialmente cont´ınua e

portanto cont´ınua, uma vez queC∞

c (K) ´e metriz´avel. Supondo agora (d)

ver-dadeiro basta provarmos que, seBrρ(0) ´e um elemento da sub-base da topologia

deX em 0, ent˜aoT−1_(Bρ

r(0)) ´e aberto emCc∞(Ω). Como

T−1_(Bρ

r(0)) ={φ∈Cc∞(Ω); (ρ◦T)(φ)< r},

basta então mostrarmos queρ◦T ∈ F(Ω), o que é imediato, poisρ◦T∈ F(Ω) se, e só se,

(ρ◦T)|C∞

c (K)=ρ◦T|Cc∞(K):C

∞

c (K)→C

´e cont´ınua, para todo K⊂⊂Ω, o que ´e garantido por (d).

Corol´ario 2.26. Fixados ρ ∈ F(Ω) e K ⊂⊂ Ω, existem um inteiro k ≥0 e uma constanteC >0 tais que

ρ(φ)≤C||φ||k,∞, ∀φ∈Cc∞(K).

Demonstra¸cão. Aplique a equivalência (a)⇔(e) do teorema anterior à identi-dade Id :C∞

c (Ω)→Cc∞(Ω), a qual ´e obviamente cont´ınua.

Corol´ario 2.27. Para todo multi-´ındice α, o operador linear ∂α _: _C∞

c (Ω) →

C∞

c (Ω)´e cont´ınuo.

Demonstra¸c˜ao. Fixe ρ ∈ F(Ω) e K ⊂⊂ Ω. Como φ ∈ C∞

c (K) ⇒ ∂αφ ∈

C∞

c (K), segue do corol´ario anterior que, para certosk≥0 inteiro e C >0 real

(independentes deφ),

ρ(∂αφ)≤C||∂αφ||k,∞≤C||φ||k+|α|,∞.

Portanto, aplicando novamente o teorema 2.25 conclu´ımos que∂α_: _C∞

c (Ω)→

C∞

c (Ω) ´e cont´ınua.

Finalizamos esta se¸c˜ao mostrando que, apesar de completo, C∞

c (Ω) n˜ao ´e

metriz´avel. Para tanto, note inicialmente que, para todo K ⊂⊂ Ω fixado, C∞

c (K) ´e fechado emCc∞(Ω). De fato, sejaψ∈Cc∞(Ω) um ponto de acumula¸c˜ao

deC∞

c (K), com suporte L⊂⊂Ω; se L6⊂K, fixex0∈L\K tal que ψ(x0)6=

0. Como as normas || ||0,∞ s˜ao semi-normas para a topologia de Cc∞(Ω), a

defini¸cão de ponto de acumula¸cão garante a existência de φ∈C∞

c (K) tal que

||φ−ψ||0,∞<|ψ(x0)|; em particular,

|ψ(x0)|=|φ(x0)−ψ(x0)| ≤ ||φ−ψ||0,∞<|ψ(x0)|,

(22)

Suponha agora queC∞

c (Ω) fosse metriz´avel, donde um espa¸co m´etrico

com-pleto. SendoK1⊂K2⊂ · · · uma exaust˜ao de Ω por compactos, ter´ıamos

Cc∞(Ω) =

[

n≥1

Cc∞(Kn),

uma união enumerável de fechados. Portanto, para chegarmos a uma con-tradi¸cão via o teorema de Baire (cf. [4]), basta mostrarmos que C∞

c (K) tem

interior vazio em C∞

c (Ω) para cada K ⊂⊂ Ω, o que pode ser feito do

se-guinte modo: suponhaBρ1,...,ρm

r (φ)⊂Cc∞(K) para certos r >0 e semi-normas

ρ1, . . . , ρm ∈ F(Ω). Tome L ⊂⊂ Ω\K com interior n˜ao-vazio e, pelo

co-rol´ario 2.26, constantes Ci>0 eki∈Ntais que

ρi(η)≤Ci||η||ki,∞, ∀ η∈C

∞

c (K∪L).

Seψ∈C∞

c (L) for tal que||ψ−φ||ki,∞< r/Cipara 1≤i≤m, ent˜aoρi(ψ−φ)<

rpara 1≤i≤m, i.e.,

ψ∈Bρ1,...,ρm

r (φ)⊂Cc∞(K),

(23)

Cap´ıtulo 3

Distribui¸

c˜

oes

3.1 Distribui¸

c˜

oes

Defini¸c˜ao 3.1. DadoΩ⊆Rn _{aberto, uma}_distribui¸_c˜_ao_em_Ω_{´e um funcional}

linear cont´ınuo u: C∞

c (Ω) → C. Denotamos por D′(Ω) o espa¸co vetorial das

distribui¸c˜oes em Ω; se Ω =Rn_{, denotaremos} _D′_(Ω) _{simplesmente por}_D′_.

Se u : C∞

c (Ω) → C´e um funcional linear, denotamos a imagem por ude

φ∈C∞

c (Ω) porhu, φi. O teorema 2.25 nos d´a imediatamente o seguinte crit´erio

para queu∈ D′_(Ω).

Teorema 3.2. Seja u:C∞

c (Ω)→Cum funcional linear. S˜ao equivalentes:

(a) u´e cont´ınuo.

(b) u´e cont´ınuo em0.

(c) u´e sequencialmente cont´ınuo.

(d) Para todo K⊂⊂Ω,u|C∞

c (K):C

∞

c (K)→C´e cont´ınuo.

(e) Para todoK⊂⊂Ω, existem um inteirok≥0e uma constanteC >0tais que

|hu, φi| ≤C||φ||k,∞, ∀φ∈Cc∞(K). (3.1)

Vejamos, no que segue, alguns exemplos relevantes de distribui¸c˜oes.

Exemplo 3.3. Sef ∈ L1

loc(Ω), e uf :Cc∞(Ω) →C ´e o funcional linear dado

por

huf, φi=

Z

Ω

(24)

ent˜aouf ∈ D′(Ω). De fato, tem-se neste caso

|huf, φi| ≤

Z

Ω

|f(x)||φ(x)|dx≤ ||f||L1(Ω)||φ||0_,_∞,

e o item (e) do teorema acima garante queuf∈ D′(Ω).

A prova da proposi¸c˜ao a seguir pode ser encontrada em [3].

Proposi¸c˜ao 3.4. Para1≤p <∞eΩ⊆Rn _aberto,_C∞

c (Ω)´e denso emLp(Ω).

O corol´ario a seguir ´e conhecido como olema de Lebesgue.

Corol´ario 3.5 (Lebesgue). DadoΩ⊆Rn _{aberto, a aplica¸c˜}_{ao linear}

L1

loc(Ω) → D′(Ω)

f 7→ uf

´e injetiva.

Demonstra¸c˜ao. Basta provar que sef ∈L1

loc(Ω) ´e tal queuf = 0, a distribui¸c˜ao

nula, então f = 0 a.e. em Ω. Fixado um retângulo fechado R ⊂⊂ Ω, seja (φk)k≥1 uma sequência de fun¸cões emCc∞(Ω) tal queφk → XR emL1(Ω). Pelo

teorema da convergˆencia dominada de Lebesgue, temos

0 =huf, φki=

Z

Ω

f(x)φk(x)dx→

Z

Ω

f(x)XR(x)dx=

Z

R

f(x)dx

Como isso ´e verdadeiro para todoR, segue quef = 0 a.e. em Ω.

O lema de Lebesgue garante que L1

loc(Ω) pode ser identificado com um

su-bespa¸co de D′_{(Ω). Gra¸cas a tal identifica¸c˜}_{ao, juntamente com o fato de os}

elementos de L1

loc(Ω) serem fun¸c˜oes (definidas a.e.), ´e costume denominarmos

os elementos de D′_{(Ω) de} _fun¸_c˜_{oes generalizadas} _{em Ω. Mais ainda, para}

u∈ D′_{(Ω) e}_φ_∈_C∞

c (Ω), utilizaremos por vezes a nota¸c˜ao alternativa

hu, φi=

Z

Ω

uφdx.

Doravante, sempre que considerarmos f ∈ L1

loc(Ω) como um elemento u ∈ D′_{(Ω), suporemos que tal elemento ´e}_u₌_u

f.

Dadau∈ D′_{(Ω), se existe}_f _∈_L1

loc(Ω) tal queu=uf, dizemos queu´e uma

distribui¸cãoregular. Caso contrário, ué dita uma distribui¸cãosingular.

Exemplo 3.6. Seµé uma medida (positiva) localmente finita ou uma medida complexa naσ−álgebra de Borel de Ω, então o funcional linearu:C∞

c (Ω)→R

dado por

hu, φi=

Z

Ω

(25)

´e um elemento de D′_{(Ω). De fato, neste caso tem-se}

|hu, φi| ≤ |µ|(supp(φ))||φ||0,∞≤ |µ|(K)||φ||0,∞,

para todo K ⊂⊂ Ω e toda φ ∈ C∞

c (K). Note que se µ for absolutamente

cont´ınua em rela¸cão à medida de Lebesgue, então o teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym garante a existência def ∈L1_{(Ω) tal que}

hu, φi=

Z

Ω

φ(x)dµ(x) =

Z

Ω

φ(x)f(x)dx=huf, φi,

e a distribui¸c˜aouser´a regular.

Exemplo 3.7. Sex∈Ω, o funcional linearδx:Cc∞(Ω)→Cdado por

hδx, φi=φ(x)

define uma distribui¸c˜ao singular em Ω, denominada a fun¸c˜ao de Dirac, ou

massa de Dirac, ou aindadelta de Diracemx.

Demonstra¸cão. Queδx, definida como acima, é distribui¸cão, é óbvio a partir do

teorema 3.2:

|hδx, φi|=|φ(x)| ≤ ||φ||0,∞.

Para ver que tal distribui¸c˜ao ´e singular, basta usar o lema de Lebesgue: se φ∈C∞

c e seu suporte esta contido em Ω\ {x}, ent˜aohδx, φi= 0. Portanto, se

existissef ∈L1

loc(Ω) tal que δx =uf, dever´ıamos terf = 0 a.e. em Ω\ {x},

dondef = 0 a.e. em Ω; mas a´ı ter´ıamos, para todaφ∈Cc∞(Ω),

hδx, φi=

Z

Ω

f(x)φ(x)dx= 0,

o que ´e um absurdo.

No que segue, gostar´ıamos de aprender a operar com distribui¸cões, de ma-neira a generalizar as opera¸cões elementares com fun¸cões, por exemplo adi¸cão, multiplica¸cão, etc. Para tanto, nos valeremos do seguinte argumento geral: se T : C∞

c (Ω) → Cc∞(Ω) ´e um operador linear cont´ınuo, ent˜ao seu dual (ou

ad-junto)T′ _:_D′_(Ω)_{→ D}′_{(Ω) ´e tal que}_T′_u₌_u_◦_T_{, i.e.,}

hT′u, φi=hu, T φi,

para todosu∈ D′_(Ω),_φ_∈_C∞

c (Ω).

Exemplo 3.8. Se f ∈ C∞_{(Ω) e} _T

f : Cc∞(Ω) → Cc∞(Ω) ´e o operador linear

dado porTf(φ) =f φ, afirmamos queTf ´e cont´ınuo. De fato, fixados ρ∈ F(Ω)

e K ⊂⊂ Ω, segue do corol´ario 2.26 a existˆencia de um inteiro k ≥ 0 e uma constanteC >0 tais que

(26)

Com taisCek, a regra de diferencia¸c˜ao de produtos nos d´a

ρ(Tfφ)≤C||f||k,∞||φ||k,∞, ∀φ∈Cc∞(K),

e o item (e) do teorema 2.25 assegura a continuidade deTf.

A discuss˜ao acima nos permite ent˜ao definir, para u ∈ D′_{(Ω), uma nova}

distribui¸c˜aof u porf u=T′

fu, de maneira que

hf u, φi=hu, f φi, (3.2)

c (Ω).

Observa¸c˜ao 3.9. i) Seu∈L1

loc(Ω) ef ∈C∞(Ω), a distribui¸c˜ao f u

defi-nida acima coincide com a distribui¸cão regular gerada pela fun¸cão local-mente integrávelf u.

ii) Se u∈D′_(Ω),_{temos que}_u

k→k uemD′(Ω)⇒f uk →k f u emD′(Ω).E se

ψ∈Cc∞(Ω),comohψu, φi=hu, ψφie o segundo membro faz sentido para

φ∈Cc∞,podemos usar essa igualdade para definirψucomo um elemento

deD′_.

Exemplo 3.10. Pelo corol´ario 2.27, para todo multi-´ındiceαo operador linear ∂α_:_C∞

c (Ω)→Cc∞(Ω) ´e cont´ınuo. Podemos, ent˜ao, considerar seu dual (∂α)′:

D′_(Ω) _{→ D}′_{(Ω), tal que (∂}α₎′_u₌ _u_◦_∂α_{. Para} _{φ, ψ} _∈ _C∞

c (Ω). Temos, pela

f´ormula de integra¸c˜ao por partes, que

Z

∂α_φ(x)ψ(x)dx_{= (}₋₁₎|α|Z _φ(x)∂α_ψ(x)dx.

Definimos, ent˜ao, a distribui¸c˜ao∂α_u_por_∂α_u_{= (}₋₁₎|α|_(∂α₎′_{u, de maneira que}

h∂αu, φi= (−1)|α|hu, ∂αφi, (3.3)

c (Ω).

Observa¸c˜ao 3.11. E imediato verificar que, quando´ u∈L1

loc(Ω) ef ∈C∞(Ω),

a distribui¸c˜aof uacima definida coincide com a fun¸c˜aof u∈L1

loc(Ω); do mesmo

modo, para u ∈ Ck_{(Ω) e todo multi-´ındice} _α _{de ordem} _|_α_{| ≤} _{k, a}

distri-bui¸c˜ao ∂α_u_{acima definida coincide com a distribui¸c˜}_{ao regular obtida a partir}

daα−derivada ordin´aria deu.

Para u, v ∈ D′_{(Ω) e multi-´ındices quaisquer} _{α, β, segue imediatamente da}

defini¸c˜ao que∂α_(u₊_{v) =}_∂α_u₊_∂α_v_e_∂α_∂β_u₌_∂β_∂α_u₌_∂α+β_u.

Proposi¸cão 3.12. Podemos estender, à distribui¸cões, a regra de Leibniz de diferencia¸cão de produtos: paraf ∈C∞_(Ω)_,_u_{∈ D}′_(Ω) _e_α_{multi-´ındice, temos}

∂α(f u) = X

β≤α

α β

(27)

onde

α β

= α!

β!(α−β)! =

n Y j=1 _α j βj .

Demonstra¸c˜ao. Fa¸camos indu¸c˜ao em|α|

Seja|α|= 1,eφ∈Cc∞,ent˜ao

h∂(f u), φi = −hf u, ∂φi

= −hu, f(∂φ)i

= −hu, ∂(f φ)−(∂f)φi

= hu,(∂f)φi − hu, ∂(f φ)i

= h(∂f)u, φi+h∂u, f φi

= h(∂f)u, φi+hf(∂u), φi

= h(∂f)u+f(∂u), φi.

E assim ∂(f u) = (∂f)u+f(∂u). Assuma agora que a regra ´e valida para o multi-´ındiceα,mostremos que a regra vale tamb´em para o multi-´ındiceγ,com

|γ| = |α|+ 1. Suponha, sem perda de generalidade, que α = (α1, α2, ...αn) e

γ= (α1+ 1, α2, ..., αn).

Assim,

∂γ_{(f u) =}

∂1∂α(f u) =

∂1Pβ≤α α β

∂α−β_{f ∂}β_u₌

P

β≤α α β

∂1(∂α−βf ∂βu) =

P

0≤β1≤α1 0≤β2≤α2...

0≤βn≤αn

α1

β1

α2

β2

... αn

βn

(∂α1−β1+1

1 ∂

α2−β2

2 ...∂nαn−βnf)∂ β1

1 ∂

β2

2 ...∂nβnu+

P

0≤β1≤α1 0≤β2≤α2...

0≤βn≤αn

α1

β1

α2

β2

... αn

βn

∂α1−β1

1 ∂

α2−β2

2 ...∂nαn−βnf(∂ β1+1

1 ∂

β2

2 ...∂βnnu) =

P

0≤β1≤α1 0≤β2≤α2...

0≤βn≤αn

α1

β1

α2

β2

... αn

βn

(∂α1−β1+1

1 ∂

α2−β2

2 ...∂nαn−βnf)∂ β1

1 ∂

β2

2 ...∂nβnu+

P

1≤β1≤α1 +1 0≤β2≤α2... 0≤βn≤αn

α1

β1−1

α2

β2

... αn

βn

∂α1−β1+1

1 ∂

α2−β2

2 ...∂nαn−βnf(∂1β1∂

β2

2 ...∂nβnu) =

P

0≤β1≤α1 +1 0≤β2≤α2... 0≤βn≤αn

α1+1

β1

α2

β2

... αn

βn

∂α1+1−β1

1 ∂

α2−β2

2 ...∂nαn−βnf(∂ β1

1 ∂

β2

2 ...∂nβnu) =

P

β≤γ γ β

∂γ−β_{f ∂}β_u

Concluindo assim a demonstra¸c˜ao.

Exemplo 3.13. Suponha Ω =Rn _{e defina, para} _x_∈_Rn _e_λ_∈_C∗ _{fixados, os}

operadores linearesτx, Tλ:Cc∞→Cc∞ por

(28)

Uma vez que

||τxφ||k,∞=||φ||k,∞

e

||Tλφ||k,∞≤( max

0≤j≤k|λ| j₎_||_φ_||

k,∞,

raciocinando como no exemplo 3.8 conclu´ımos queτx eTλ s˜ao operadores

line-ares cont´ınuos. Podemos ent˜ao definir as distribui¸c˜oesτ′

xueTλ′uporhτx′u, φi=

hu, τxφiehTλ′u, φi=hu, Tλφi. Agora, gostar´ıamos de definir o que se entende

pelas distribui¸c˜oes τxu e Tλu; a fim de que tais defini¸c˜oes sejam consistentes

com a fórmula de mudan¸ca de variáveis para o caso de distribui¸cões regulares, pomosτxu=u◦τ−xeTλu= _|_λ1_|u◦T1/λ, i.e.,

hτxu, φi=hu, τ−xφi e hTλu, φi=

1

|λ|nhu, T1/λφi. (3.5)

Proposi¸c˜ao 3.14. Seu∈D′_(Ω)_e_e

j denota um vetor da base canˆonica deRn,

ent˜ao, em D′_(Ω),

τteju−u

t

t→0 −→∂ju.

Demonstra¸c˜ao. Paraφ∈Cc∞,tem-se

hτteju−u

t , φi = hτteju,

φ ti − hu,

φ ti

= hu, τ−tej

φ t

i − hu,φ ti

= hu,τ−tejφ−φ

t i

t→0

−→ hu,−∂jφi=h∂j, φi,

uma vez que τtejφ−φ

t t→0

−→∂jφemCc∞,pelos teoremas 2.13 e 2.23.

Consideramos emD′_{(Ω) a topologia de EVTLC gerada pela fam´ılia suficiente}

de seminormas{ρφ;φ∈ D(Ω)}, onde

ρφ(u) =|hu, φi|.

Pela proposi¸c˜ao 2.10, uma sequˆencia{uk}k≥1emD′(Ω) converge parau∈ D′(Ω)

se e s´o se

huk, φi → hu, φi, ∀ φ∈ D(Ω)

(observe que tal topologia emD′_{(Ω) ´e simplesmente a topologia fraca}_−∗_).

(29)

Demonstra¸c˜ao. Seja {uk}k≥1 ⊂ D′(Ω) tal que huk, φi ´e de Cauchy para toda

φ∈Cc∞(Ω),ent˜ao basta mostrar queu:Cc∞(Ω)→Cdefinido por

hu, φi= lim

k→+∞huk, φi

define uma distribui¸cão. Mas queuestá bem definida e é linear é claro. Para mostrar a continuidade, basta mostrarmos, pelo teorema 3.2, que u|Cc∞(K) é

cont´ınua,∀ K⊂⊂Ω.Para tanto, seja

Fj = {φ∈Cc∞(K);|huk, φi| ≤j,∀k≥1}

= \

k≥1

uk−1(B(0;j)),

fechado emCc∞(K).Como toda sequˆencia{huk, φi}_k_≥₁ converge, temos

Cc∞(K) =

[

j≥1

Fj.

ComoCc∞(K) ´e um espa¸co m´etrico completo, o teorema de Baire garante que

∃l ≥ 1 tal que Int(Fl) 6= ∅ em Cc∞(K). Assim, existem m ∈ Z+, r > 0 e

ψ∈Cc∞(K) tais que

Brm(ψ) ={φ∈Cc∞(K);||φ−ψ||m,∞,K< r} ⊂Fl.

Assim,

||φ−ψ||_m,_∞_,K< r⇒ |huk, φi| ≤l,∀k≥1.

Em particular, para φ ∈ Cc∞(K), temos φ1 = ψ+ r₂_||_φ_||φ

m,∞,K em Br

m_(ψ),

donde|huk, φ1i| ≤l,∀k≥1.Portanto,

|huk, φi| =

2||φ||_m,_∞_,K

r |huk, φ1−ψi| ≤

2||φ||_m,_∞_,K

r {|huk, φ1i|+|huk, ψi|} 2||φ||_m,_∞_,K

r .2l=

4l

r||φ||m,∞,K,

eu|Cc∞(K)´e cont´ınua.

Seja agoraT :C∞

c (Ω)→Cc∞(Ω) um operador linear cont´ınuo com adjunto

T′_{. Se}_u

k →uemD′(Ω), ent˜aoT′uk→T′uemD′(Ω). De fato, paraφ∈ D(Ω)

tem-se

hT′uk, φi=huk, T φi → hu, T φi=hT′u, φi.

(30)

Proposi¸c˜ao 3.16. Seja α um multi-´ındice qualquer. Se uk → u em D′(Ω),

ent˜ao ∂α_u

k →∂αuem D′(Ω).

Demonstra¸c˜ao. Para todaφ∈D,

h∂αuk, φi= (−1)|α|huk, ∂αφi →(−1)|α|hu, ∂αφi=h∂αu, φi.

3.2 Convolu¸

c˜

oes

No que segue, denotaremosux=τx eue=T−1u,isto ´e,

hux, φi=hu, φ−xieheu, φi=hu,φei.

Exemplo 3.17. Se f ∈L1

loc(Rn) eg∈Cc(Rn),sabemos que a convolu¸c˜ao de

f eg ´e a fun¸c˜ao f∗g:Rn→C_{definida por}

(f∗g)(x) =

Z

f(y)g(x−y)dy=

Z

f(y)g_ex(y)dy=

Z

fg_exdy.

Isso nos induz a defini¸c˜ao defini¸c˜ao a seguir.

Defini¸c˜ao 3.18. Definimos aconvolu¸c˜aodeu∈D′ _e_φ_∈_C∞

c como a fun¸c˜ao

u∗φ:Rn _→_C_{dada por}

(u∗φ)(x) =hu,φfxi, ∀x∈Rn.

Note que xk → x ⇒ φgxk → φfx em C

∞

c ⇒ hu,φgxki → hu,φfxi, de modo que

u∗φ∈C0_(Ω).

Proposi¸c˜ao 3.19. Se u∈D′_(Ω) _e_φ_∈_C∞

c , ent˜ao:

(a) (u∗φ)x=ux∗φ=u∗φx, ∀ x∈Rn.

(b) u∗φ∈C∞ _e_∂α_(u_∗_{φ) =}_∂α_u_∗_φ₌_u_∗_∂α_φ, _∀ _α.

Demonstra¸c˜ao. (a)

(u∗φ)x(y) = (u∗φ)(y+x) =hu,φ]y+xi.

(ux∗φ)(y) =hux,φfyi=hu, τ−xφfyi.

(u∗φx)(y) =hu,^(φx)yi.

Mas

]

φy+x(z) =φy+x(−z) =φ(x+y−z)

τ−xfφy(z) =φfy(−x+z) =φy(x−z) =φ(x+y−z)

^

(φx)y(z) = (φx)y(−z) =φx(y−z) =φ(x+y−z)

(31)

(b) Note primeiro que

(∂αu∗φ)(x) =h∂αu,φfxi= (−1)|α|hu, ∂αfφxi.

Mas, pela regra da cadeia,

(∂αφfx)(z) = (−1)|α|(∂αφx)(z) = (−1)|α|(∂αφ)x(z),

de modo que

(∂α_u_∗_{φ)(x) = (}₋₁₎|α|_h_u,₍₋₁₎|α|_(∂α_φ)

xi=hu,(∂αφ)xi= (u∗∂αφ)(x)

Resta, ent˜ao, provar que∂α_(u_∗_{φ)(x) = (u}_∗_∂α_{φ)(x). Por indu¸c˜}_{ao, basta}

provarmos que ∂j(u∗φ)(x) = (∂ju∗φ)(x),∀1≤j≤n. Para tanto, seja

ej o j-´esimo elemento da base canˆonica e, parat >0,considere

Tt=

1

t(τtej−I).

Segue de (a) que

Tt(u∗φ)(x) =

1

t{τtej(u∗φ)(x)−(u∗φ)(x)}

= 1

t{(τteju∗φ)(x)−(u∗φ)(x)}

= (Ttu∗φ)(x)

= hTtu,fφxi.

Como, pela proposi¸c˜ao 3.14, Ttu t→0

−→ ∂juem D′, segue do que foi feito

acima que lim

t→0Tt(u∗φ)(x) existe e ´e igual ah∂ju,φfxi= (∂ju∗φ)(x).Mas

lim

t→0Tt(u∗φ)(x) =∂j(u∗φ)(x).

Proposi¸c˜ao 3.20. Se φ, ψ∈Cc∞ e u∈D′, ent˜ao(u∗φ)∗ψ=u∗(φ∗ψ).

Demonstra¸c˜ao. Comoφ∗ψ∈Cc∞, ´e uniformemente cont´ınua. Portanto, a

in-tegral de convolu¸c˜ao (φ∗ψ)(x) =Rφ(x−y)ψ(y)dy´e aproximada uniformemente por uma soma de Riemann: set >0 e

Rt(x) =

X

k∈Zn

φ(x−tk)ψ(tk)tn,

ent˜ao

Rt t→0

(32)

Portanto, de

(∂αRt)(x) =

X

k∈Zn

(∂αφ)(x−tk)ψ(tk)tn,

o mesmo argumento acima garante que

∂αRt−→t→0(∂αφ)∗ψ=∂α(φ∗ψ)

uniformemente emx, onde na ´ultima igualdade usamos a proposi¸c˜ao anterior. Lembrando por fim que

supp(Rt)⊂ supp(φ) +supp(ψ),

conclu´ımos, do que foi exposto acima, que

Rt t→0

−→φ∗ψ em Cc∞.

Logo,

u∗(φ∗ψ))(x) = hu,(φ^∗ψ)xi= lim t→0hu,

^

(Rt)xi

= lim

t→0hu,

X

k∈Zn

^

(φ−tk)xψ(tk)tni

= lim

t→0

X

k∈Zn

hu,(φ^−tk)xiψ(tk)tn

= lim

t→0

X

k∈Zn

(u∗φ−tk)(x)ψ(tk)tn

= lim

t→0

X

k∈Zn

(u∗φ)(x−tk)ψ(tk)tn

= ((u∗φ)∗ψ)(x),

a ´ultima igualdade valendo para cadax∈Rn

Observa¸c˜ao 3.21. Fixada ψ ∈ Cc∞, o operador linear T : Cc∞ → Cc∞ tal

queT(φ) =φ∗ψ satisfaz, pela desigualdade de Young, ||T φ||_k,_∞ = ||φ∗ψ||_k,_∞

= X

|α|≤k

||∂α(φ∗ψ)||_∞

= X

|α|≤k

||(∂α_φ)_∗_ψ)_||

∞

≤ X

|α|≤k

||∂αφ||_∞||ψ||₁

= ||ψ||₁||φ||_k,_∞,

(33)

Portanto, fica bem definido o operador linear dual T′ _: _D′ _→ _D′ _por

hT′_{u, φ}_i ₌ _h_{u, T φ}_i ₌ _h_{u, φ}_∗_ψ_i_{. Quando} _u _∈ _L1

loc, temos, pelo teorema de

Fubini, que

hu, φ∗ψi =

Z

u(x)(φ∗ψ)(x)dx=

Z Z

u(x)φ(y)ψ(x−y)dydx

=

Z Z

u(x)ψ(ye −x)φ(x)dxdy

=

Z

(u∗ψ)(y)φ(y)dye

= hu∗ψ, φe i,

de modo queT′_u₌_u_∗_{ψ. Mas, como}e _h_u_∗_{ψ, φ}_i₌_h_{u, φ}_∗_ψe_i_{, teria sido natural}

definir, parau∈D′_{, ψ}_∈_C

c∞, u∗ψ∈D′ por

hu∗ψ, φi=hu, φ∗ψei.

Mostremos que tal defini¸c˜ao, mais consoante com o esp´ırito das anteriores, coincide com a dada no exemplo 3.17. Denotando (u∗1ψ) =hu,ψfxieu∗2ψ∈D′

tal quehu∗2ψ, φi=hu, φ∗1ψi,temos

u∗1ψ=u∗2ψemD′ ⇔ hu∗1ψ, φi=hu∗2ψ, φi,∀φ∈Cc∞

⇔

Z

(u∗1ψ)(x)φ(x)dx=hu, φ∗1ψei,∀φ∈Cc∞.

Mas pela proposi¸c˜ao anterior,

Z

(u∗1ψ)(x)φ(x)dx = ((u∗1ψ)∗1φ)(0) = (ue ∗1(ψ∗1φ))(0)e

= hu,(ψ^∗1φ)e ₀i=hu, φ∗1ψei,

pois

^

(ψ∗1φ)e₀(x) = (ψ∗1φ)e ₀(−x) = (ψ∗1φ)(e −x) = (φe∗1ψ)(−x)

=

Z e

φ(−x+y)ψ(−y)dy

=

Z

φ(x−y)ψ(y)dye

= (φ∗ψ)(x).e

Defini¸cão 3.22. Uma aproxima¸cão da identidade é uma fam´ılia {φǫ}ǫ>0 de fun¸cões tal que φǫ(x) =ǫ−nφ(ǫ−1x), onde φ∈L1 é positiva e||φ||1= 1.

Se u ∈ Ck_{(Ω) e} _|_α_{| ≤} _k, _{a distribui¸c˜}_ao _∂α_u _{coincide com a distribui¸c˜}_ao

(34)

Proposi¸c˜ao 3.23. Se u∈C0_(Ω) _{tem derivadas distribucionais}

∂αu∈C0(Ω),∀ |α| ≤k,

ent˜ao u∈Ck_(Ω).

Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao, podemos supor k = 1. Seja ∂ju= fj e suponha

inicialmente que supp(u)⊂Ω é compacto. Se {φǫ}_ǫ>₀ é uma aproxima¸cão da

identidadeCc∞,ent˜ao o teorema 0.13 de [2] garante queu∗φǫ ǫ→0

−→u uniforme-mente. Portanto, parax∈ supp(u) e ǫ <<1,temos

∂j(u∗φǫ)(x) = (u∗∂jφǫ)(x) =

Z

u(y)(∂jφǫ)(x−y)dy

= −

Z

u(y)∂j(φǫ(x−y))dy=−

Z

u(y)∂j(φ]ǫ)x(y)dy

= −hu, ∂j(φ]ǫ)xi=h∂ju,(φ]ǫ)xi=hfj,(φ]ǫ)xi

=

Z

fj(y)(φ]ǫ)x(y)dy=

Z

fj(y)φǫ(x−y)dy

= (fj∗φǫ)(x),

isto ´e,

∂j(u∗φǫ) =fj∗φǫ como fun¸c˜oes.

Agora, novamente pelo teorema 0.13 do [2], (supp(u∗φǫ)⊂⊂Ω paraǫ <<1,

uma vez que supp u´e compacto)

∂j(u∗φǫ) =fj∗φǫ ǫ→0 −→fj

uniformemente, donde o teorema da deriva¸c˜ao termo a termo garante queu´e C1 _e_∂

ju=fj no sentido cl´assico.

No caso geral, sejax0∈Ω eψ∈Cc∞(Ω) igual a 1 numa vizinhan¸ca de x0.

Ent˜aoψu∈C0_{(Ω) tem suporte compacto e, para}_φ_∈_C

c∞(Ω),

h∂j(ψu), φi = −hψu, ∂jφi=−hu, ψ∂jφi

= hu,(∂jψ)φ−∂j(ψφ)i

= h(∂jψ)u, φi+h∂ju, ψφi

= h(∂jψ)u+ψ∂ju, φi,

isto ´e, no sentido das distribui¸c˜oes,

∂j(ψu) = (∂jψ)u+ψ∂ju∈C0(Ω).

Portanto ψu ∈ C1_. _Como _ψ _≡ _{1 numa vizinhan¸ca de} _x

0, segue que u ´e C1

numa vizinhan¸ca dex0. Comox0∈Ω foi escolhido arbitrariamente, segue que

(35)

Lema 3.24. Se φ, ψ ∈Cc∞, e {φǫ} é uma aproxima¸cão da identidade, então

ψ∗φǫǫ−→→0ψ emCc∞.

Demonstra¸c˜ao. Certamenteψ∗φǫ ∈ Cc∞ e supp(ψ∗φǫ)⊂ supp ψ+ supp φ

paraǫ≤1. Portanto, basta mostrarmos que∂α_(ψ_∗_φ ǫ)

ǫ→0

−→∂α_ψ_{uniformemente.}

Para tanto, note que∂α_(ψ_∗_φ

ǫ) =∂αψ∗φǫe que∂αψ∗φǫ→∂αψuniformemente,

pelo teorema (0.13) de [2].

3.3 Distribui¸

c˜

oes com suporte compacto

Defini¸c˜ao 3.25. Se u, v ∈ D′_(Ω)_{, dizemos que} _u ₌ _v _em _V _⊂ _Ω _{aberto se}

hu, φi=hv, φi, para todaφ∈Cc∞(V).

Lema 3.26. Sejam u, v ∈D′_(Ω) _e _{_V

α}α∈A uma fam´ılia de abertos de Ω, tal

queu=v em cada Vα. Ent˜ao u=v em

[

α∈A

Vα.

Demonstra¸c˜ao. Temos de mostrar quehu, φi=hv, φi,∀ φ∈Cc∞

[

α

Vα.Para

tanto, note que o suporte de uma talφest´a contido numa uni˜aoVα1∪ · · · ∪Vαk.

Tomando uma parti¸c˜ao da unidade sobre supp(φ), subordinada aVα1∪· · ·∪Vαk,

podemos escreverφ=φ1+· · ·+φk, com supp(φj)⊂Vj para todo 1≤j ≤k.

Comou=v em cadaVα, segue que

hu, φi=

k

X

j=1

hu, φji= k

X

j=1

hv, φji=hv, φi.

Com o lema acima, a seguinte defini¸c˜ao tem sentido.

Defini¸c˜ao 3.27. Osuportedeu∈D′(Ω)´e o complemento do maior conjunto aberto deΩ no qualu= 0.

Se u∈L1

loc(Ω),´e imediato que os dois conceitos de suporte coincidem.

Proposi¸c˜ao 3.28. Cc∞(Ω)´e denso emD′(Ω),∀Ω⊂Rn aberto.

Demonstra¸c˜ao. Sejamu∈D′_(Ω),_{_V

j}j≥1uma exaust˜ao de Ω por abertos

pr´e-compactos eηj ∈Cc∞(Ω), tais queηj = 1 em Vj. Afirmamos inicialmente que

ηju j

→uemD′_(Ω).

De fato, se φ ∈ C∞

c (Ω), ent˜ao existe j ≥ 1 tal que supp(φ) ⊂ Vj; da´ı

(1−ηj)φ= 0 em Ω, de modo que

(36)

Basta agora mostrarmos que cadaηju´e o limite, emD′(Ω), de uma sequˆencia

de fun¸c˜oes emC∞

c (Ω), vistas como distribui¸c˜oes. Pela observa¸c˜ao 3.9, cadaηju

pode ser vista como uma distribui¸c˜ao em Rn_{. Se} _{_ψ

ǫ}´e uma aproxima¸c˜ao da

identidade, ent˜ao (ηju)∗ψǫ∈C∞ e, pelo lema 3.24,

h(ηju)∗ψǫ, φi = hηju, φ∗fψǫi

= hηju, φ∗ψeǫi ǫ→0

−→ hηju, φi

Portanto, basta provarmos que (ηju)∗ψǫtem suporte compacto paraǫ <<1,

o que ´e imediato: se supp(ηj)⊂Vk, afirmamos que supp((ηju)∗ψǫ)⊂Vk. De

fato,

supp(φ)⊂Vk c

⇒ h(ηju)∗ψǫ, φi=hηju, φ∗fψǫi=hu, ηj(φ∗ψfǫ)i= 0

para ǫ << 1, uma vez que supp(ηj) ∈ Vk e supp(φ∗fψǫ) ⊂ supp(φ) +

supp(fψǫ)⊂Vk c

+B(0, ǫ)⊂Vk c

paraǫ <<1.

Se Ω⊂Rn_{´e aberto, o espa¸co das distribui¸c˜}_{oes em Ω com suporte igual a um}

subconjunto compacto de Ω ´e denotado porE′_{(Ω); se Ω =}_Rn_{, denotamos}_E′_(Ω)

simplesmente porE′_{. Mostremos que}_E′_{(Ω) ´e o dual de}_C∞_{(Ω) quando}

consi-deramos emC∞_{(Ω) uma topologia apropriada. Para tanto, fixe uma exaust˜ao}

{Vk}k≥1de Ω e considere emC∞(Ω) a topologia de EVTLC gerada pela fam´ılia

de semi-normas

||f||_m,_∞_,V_k = X

|α|≤m

||∂αf||_L∞₍_V

k).

Fixada uma outra exaust˜ao {Uk}k≥1 de Ω, a topologia gerada ´e a mesma.

De fato, para cadak≥1 existe j≥1 tal queUk⊂Vj; portanto,

||f||_m,_∞_,V_j = X

|α|≤m

||∂αf||_L∞₍_V

j)≥

X

|α|≤m

||∂αf||_L∞₍_U

k)=||f||m,∞,Uk

Por outro lado, como todo conjunto compactoK⊂Ω est´a contido em algum Vk, e como

fj j

−→f emC∞_(Ω)_{⇔ ||}_f

j−f||_m,_∞_,V_k j

−→0,∀k, m,

segue que a topologia de C∞_{(Ω) ´e a da convergˆencia uniforme, sobre partes}

compactas, da fun¸c˜ao e de todas as suas derivadas.

Como a fam´ılia de semi-normas é enumerável,C∞_{(Ω) é um espa¸co métrico.}

Mais ainda, o teorema da deriva¸c˜ao termo a termo garante que C∞_{(Ω) ´e um}

(37)

Proposi¸cão 3.29. A inclusãoι:Cc∞(Ω)→Cc∞(Ω) é cont´ınua e densa.

Demonstra¸cão. Para a primeira parte, pelo teorema 2.25 basta provarmos qur ι:Cc∞(K)→Cc∞(Ω) é cont´ınua,∀K⊂⊂Ω. Mas seK⊂Vj,então

||φ||_m,_∞_,K< r⇒ ||φ||_m,_∞_,V_j < r,∀φ∈Cc∞(K),

isto ´e,

ι−1(Br(0))⊃Br(0),

onde na primeira bola da equa¸c˜ao inclus˜ao acima, usamos a norma|| ||_m,_∞_,V

j

e na segunda bola usamos a norma|| ||_m,_∞_,K. Para a densidade, tome, para cadak≥1,ψk ∈Cc∞(Ω) tal queψk = 1 emVk.Sef ∈C∞(Ω), ent˜ao

k≥k0⇒ ||ψkf −f||_k₀_,_∞_,V_k

0 = 0,

uma vez queψk = 1 emVk0.

Teorema 3.30. E′_(Ω)_≈_C∞_(Ω)′_._{Mais precisamente, se}_u_∈_E′_(Ω),_ent˜_ao_u_se

estende unicamente a um funcional linear cont´ınuo emC∞_(Ω),_{reciprocamente,}

sev∈C∞_(Ω)′_, _ent˜_ao_v

|Cc∞(Ω)∈E

′_(Ω).

Demonstra¸c˜ao. Seja v : C∞_(Ω) _→ _C _{cont´ınua. Como} _ι _: _C

c∞(Ω) → C∞(Ω)

é cont´ınua, também é cont´ınua u = v◦ι : Cc∞(Ω) → C. Note agora que a

continuidade dev garante, via teorema 2.9 (e porque as seminormas deC∞_(Ω)

s˜ao encaixantes) a existˆencia deC >0 em, k≥1 tal que

|hv, fi| ≤C||f||_m,_∞_,V_k,∀ f ∈C∞(Ω).

Portanto,

supp(f)⊂Vk c

⇒ hv, fi= 0, de modo quesupp(v)⊂Vk, isto ´e,v∈E′(Ω).

Tome agorau∈E′_(Ω),_se_ψ_∈_C

c∞(Ω) qualquer ´e tal queψ= 1 emsupp(u),

ent˜ao

hv, fi:=hu, ψfi

bem define um funcional linear v : C∞_(Ω) _→ _C_. _{(de fato, se} _ψ

1, ψ2 = 1 em

supp(u), ent˜ao (ψ1−ψ2)f = 0 emsupp(u),dondehu, ψ1fi=hu, ψ2fi). Como,

pelo teorema 2.25, u|Cc∞(suppψ) : Cc

∞_(suppψ) _→ _C _{´e cont´ınuo, existem} _{C >}

0, m≥1 tal que

|hu, φi| ≤C||φ||_m,_∞,∀φ∈Cc∞(suppψ).

Em particular, paraf ∈C∞_(Ω), _se_k_≥_{1 ´e tal que} _supp(ψ)_⊂_V

k,ent˜ao

|hv, fi|=|hu, ψfi| ≤C||ψf||_m,_∞≤C′||f||_m,_∞_,V_k,