O Espaço Euclidiano R n

(1)

Cap´ıtulo 1

O Espa¸

co Euclidiano R

n

1a _{L i¸c ˜a o}

1.1 R e sultados pre lim inare s

Os elem en to s d e Rn _{s˜a o ch a m a d o s vetores e ta m b ´em p o n to s, d ep en d en d o d o}

q u e ´e m a is su g estiv o n o c o n tex to .

In tro d u z -se d e m o d o n a tu ra l a s n o ¸c ˜o es d e :

(i) Adi¸c˜ao (soma): S e x = (x1, .., xn) e y = (y1, ..., yn) s˜a o d o is v eto res

(elem en to s) d e Rn_{, en t˜a o}

x + y = (x1+ y1, ..., xn+ yn)

(ii) Multiplica¸c˜ao (Produto) por um escalar: S e x = (x1, .., xn)∈ Rn e

α∈ R, en t˜a o

α.x = (α.x1, .., α.xn)

O elem en to zero d e Rn_{´e θ = (0, ..., 0) = 0} Rn.

Os c o n c eito s d e a d i¸c ã o (so m a ) d e v eto res e m u ltip lic a ¸c ã o (P ro d u to ) p o r u n esc a la r d eterm in a m em Rn_{a estru tu ra d e u m esp a ¸c o v eto ria l. T o d a v ia , n ã o sã o}

su fi c ien tes p a ra d efi n ir o s c o n c eito s d e d istˆa n c ia e ˆa n g u lo s.

1.1.1 P roduto Inte rno Euclidiano de R

n

O produto euclidiano em Rn_{´e u m a a p lic a ¸c ˜a o d efi n id a em R}n_{× R}n_{c o m v a lo res}

(2)

(a) x.y = y.x (c) (α.x).y = α.(x.y)

(b) (x + y).z = x.z + y.z (d) x.x > 0, se x6= 0

O esp a ¸c o v eto ria l Rn _{c o m este p ro d u to in tern o ´e ch a m a d o d e n-espa¸co}

euclidi-ano.

A norm a euclidiana (o u c o m p rim en to ) d e u m v eto r x é o n ú m ero rea l n ã o n eg a tiv o

|x| = (x.x)1/2 _(1.2)

Proposi¸c˜ao 1 . P ara todo x, y∈ Rn_{, tem -se}

(i)|x.y| ≤ |x| . |y| (D esigualdade de C auch y ) (ii) |x + y| ≤ |x| + |y| (D esigualdade T riˆangular)

D emon stra¸cão - (i) S e y = 0, en tã o a m b o s o s la d o s sã o n u lo s. Assim , su p õ e-se y6= 0. p a ra ca d a t ∈ R tem -se p ela s p ro p ried a d es (a) - (c) d e p ro d u to in tern o q u e:

(x + ty).(x + ty) = x.x + 2tx.y + t2_y.y

D a i, e d e (1.2) tem -se

(∗) 0 ≤ |x + t.y|2=|x|2+ 2tx.y + t2

|y|2= p(t) O p o lin ˆo m io q u a d r´a tic o p (t) tem u m m ´ın im o , p o is|y| > 0, em t = t0=−

2x.y 2|y|2 =−

x.y y.y

S u b stitu ´ın d o este v a lo r d e t em (* ) resu lta 0≤ |x + t.y|2=|x|2−2|x.y| 2 |y|2 + |x.y|2 |y|2 Ou seja , 0≤ |x + t.y|2=|x|2−|x.y| 2 |y|2 D a i, |x.y|2 ≤ |x|2 .|y|2

E x tra in d o a ra iz tem (i). (ii) T em o s q u e|x + y|2

= (x + y).(x + y) =|x|2

+ 2x.y +|y|2

P ela d esig u a ld a d e d e C a u ch y |x.y| ≤ |x| . |y|. Assim ,

|x + y|2≤ |x|2+ 2|x| . |y| + |y|2= (|x| + |y|)2

(3)

1.1. R ESULTADOS PR ELIM INAR ES 3 A distância euclidiana en tre x e y é o n ú m ero rea l n ã o n eg a tiv o

d(x, y) =|x − y| (1.3)

S e x, y∈ Rn_{, en t˜a o x}_{− z = (x − y) + (y − z).}

Ap lic a n d o (ii) d a p ro p o si¸c ˜a o 1, tem -se

|x − z| ≤ |x − y| + |y − z| A q u a l ju stifi c a o n o m e d e d esig u a ld a d e triˆa n g u la r.

S e x, y∈ Rn _{sã o n ã o n u lo s, o âng ulo θ entre x e y é d efi n id o p o r}

Co s θ = x.y

|x| |y|, 0≤ θ ≤ π (1.4)

A fó rm u la (1.4) sa tisfa z p a ra n =2, 3 a s ” in tu i¸c õ es” d a g eo m etria a n a l´ıtic a . Os v eto res x e y sã o ortog onais se x.y = 0, em o u tra s p a la v ra s, se o â n g u lo θ é u m â n g u lo reto . T em -se

|x − y|2=|x|2+|y|2− 2x.y o u p o r (1.4)

|x − y|2=|x|2+|y|2− 2 |x| |y| Co s θ a q u a l ´e a lei d o s c o sen o s d a trig o n o m etria .

1.1.2 B ase s Ortog onais e m

R

n

Q u a lq u er c o n ju n to d e v eto res B ={v1, .., vn} lin ea rm en te in d ep en d en te d e Rn

ta l q u e d a d o v∈ Rn _{tem -se} v = n X i=1 αivi, c o m αi∈ R (1.5)

é u m a base de Rn_{. A ex p ressã o (1.5) é ch a m a d a d e com b ina¸cão linear.}

U m a b a se B ={v1, .., vn} ´e ch a m a d a o rto n o rm a l, se

vi.vj= δij=

0, se i6= j

1, se i = j, i, j = 1, ..., n

O s´ım b o lo δij fo i in tro d u z id o p elo m a tem ´a tic o K ro n eck er, e c o n seq u en

te-m en te ´e ch a te-m a d o d e δ d e K ro n eck er.

Os v eto res c a n ô n ic o s o u u n itá rio s d e Rn_{sã o e}

(4)

F in a lm en te, lem b re-se q u e c a d a x∈ Rn _{p o d e ser unicam ente d a d o c o m o c o m} -b in a ¸c ˜a o lin ea r x = α1x1+ ... + αnxn= n X i=1 αixi (1.6)

1.1.3 G e om e tria Ele m e ntar de R

n

Os c o n c eito s d e reta s, p la n o s, c´ırc u lo s e esfera s em R2 _{e R}3 _{tˆem a n a lo g o s em}

Rn p a ra q u a lq u er d im en s˜a o n .

RETA

D efi n i¸c˜ao 1 (R eta ). S eja x1, x2∈ Rn com x16= x2. A reta q ue passa por x1 e

x2´e dada

L={x ∈ Rn_{, x = tx}

1+ (1− t)x2, t∈ R}

F a z en d o z = x1− x2 en t˜a o L p o d e ser reesc rito p o r

L={x ∈ Rn_{, x = x}

2+ tz, t∈ R}

N o p la n o R2_{a eq u a ¸c ˜a o v eto ria l x = x}

2+tz é d efi n id a p ela s ” eq u a ¸c õ es p a ra m étric a s” d a

reta q u e p a ssa p o r x1= (a, b), x2= (c, d) s˜a o

x = c + t(a− c) y = d + t(b− d) O seg m ento de reta lig a n d o x1e x2´e

x1x2={x ∈ Rn; x = tx1+ (1− t)x2, t∈ [0, 1]}

H IP ERP L AN O D a d o s x1, x2∈ Rn, c o n sid ere o c o n ju n to

P={x ∈ Rn_{; (x}

1− x2)(x− x2) = 0}

O c o n ju n to P ´e ch a m a d o u m h ip erp la n o p a ssa n d o p o r x2.

G eo m etric a m en te im a g in e a ssim :

ch a m a -se r1 e r2 d e p erp en d ic u la r, se (x1− x2)(x− x2) = 0. Assim , P

m a p eia to d a s a s reta s p erp en d ic u la res a r1 a p a rtir d e r2” a c im a ” .

fa z en d o z = x1− x2e α = z.x2, en t˜a o

(x1− x2)(x− x2) = z.(x− x2) = z.x− z.x2= z.x− α.

D a i, a d efi n i¸c ã o d e h ip erp la n o p o d e ser d a d a d e m o d o sim p lifi c a d o , p o r: D efi n i¸cão 2 (H ip erp la n o ). U m h iperplano em Rn_{é o conjunto da form a}

(5)

1.1. R ESULTADOS PR ELIM INAR ES 5 O b serv a¸c˜ao 1 . U m h iperplano ´e: um ponto, se n = 1 , um a reta para n = 2 , um plano para n = 3 .

O b serv a¸c˜ao 2 . U m h iperplano H ={x ∈ Rn_{, z.x = α}_{} ´e paralelo a}

P={x ∈ Rn_{, z.x = α}

1} para α 6= α1.

O b serv a¸cão 3 . S e α1= 0, então P contém θ, e P é um subespa¸co de Rn, com

dim ens˜ao n-1 .

E x emplo 1 . E ncontrar o h iperplano P de R4 _{o q ual cont´em os q uatro pontos:}

e1, e1+ 2e2, e2+ 3e3, e3+ 4e4.

T odo x∈ P deve satisfazer z.x = α onde z e α devem ser encontrados. F azendo x = e1= (1, 0, 0, 0)⇒ α = z.e1= (z1, z2, z3, z4).(1, 0, 0, 0) = z1

x = e1+ 2e2= (1, 2, 0, 0)⇒ α = (z1, z2, z3, z4).(1, 2, 0, 0) = z1+ 2z2

x = e2+ 3e3= (0, 1, 3, 0)⇒ α = (z1, z2, z3, z4).(0, 1, 3, 0) = z2+ 3z3

x = e3+ 4e4= (0, 0, 1, 4)⇒ α = (z1, z2, z3, z4).(0, 0, 1, 4) = z3+ 4z4

D ai, as com ponentes z1, z2, z3, z4 de z satisfazem

z1= α, z2= 0, z3= α/3, z4= α/6

T om ando α = 6 (por conveniˆencia) tem -se P={x ∈ Rn_{; 6x}

1+ 2x3+ x4= 6}

O b serv a¸c˜ao 4 . O h iperplano {x ∈ Rn_{; z.x}_{≥ α} ´e dito fech ado.}

O b serv a¸c˜ao 5 . O h iperplano {x ∈ Rn_{; z.x > α}_{} ´e dito aberto.}

O b serv a¸c˜ao 6 . U m h iperplano {x ∈ Rn_{; z.x = α} divide o R}n _{em dois}

sube-spa¸cos. N a verdade, Rn₌_{{x ∈ R}n_{; z.x > α} ∪ {x ∈ R}n_{; z.x < α}.}

ES F ERA

D a d o x0∈ Rn e δ > 0, o c o n ju n to S ={x ∈ Rn;|x − x0| = δ} ´e ch a m a d o d e

(n -1) - esfera c o m c en tro em x0 e ra io δ:

P a ra n = 1, S c o n siste d o s p o n to s x =±δ, p a ra n =2, S ´e u m c´ırcu lo , e p a ra n = 3 ´e u m a esfera .

O c o n ju n to {x ∈ Rn_;_{|x − x}

0| < δ} ´e u m a n -b o la a b erta cen tra d a em x0 e ra io

δ, e{x ∈ Rn_;_{|x − x}

0| ≤ δ} ´e u m a n -b o la fech a d a co m cen tro em x0e ra io δ.

C O N J U N TO C O N V EX O

S eja K ⊂ Rn_{. E n t˜a o K ´e u m conjunto convex o, se u m seg m en to d e reta}

ju n ta n d o d o is p o n to s q u a isq u er d e K est´a c o n tid o em K .

(6)

E x emplo 3 . O conjunto vazio e conjuntos de um ´unico ponto s˜ao conjuntos convex os.

E x emplo 4 . B olas e h iperplanos s˜ao conjuntos convex os.

P a ra c o n ju n to s em esp a ¸c o s c o m d im en sã o a c im a d e três, n em sem p re é fác il, in tu itiv a m en te, d iz er q u e estes c o n ju n to s sã o c o n v ex o s o u n ã o . P a ra m o stra r q u e u m c o n ju n to K é c o n v ex o , u sa n d o a d efi n i¸c ã o , d v e-se p ro v a r q u e, p a ra to d o x1, x2∈ K e t ∈ [0, 1], o ” p o n to ” x = tx1+ (1− t)x2 ta m b ém , p erten c e a K . S e

x1= x2, en t˜a o x∈ K, d esd e q u e x = x1= x2.

E x emplo 5 . T odo h iperplano fech ado ´e um conjunto convex o. D e fato, seja H={x ∈ Rn_{; z.x}_{≥ α} e z 6= θ.}

D ados x1, x2∈ H e x = tx1+(1−t)x2com t∈ [0, 1], ent˜ao z.x1≥ α e z.x2≥ α.

S endo t ≥ 0, 1 − t ≥ 0, tem -se que tz.x1 ≥ tα e (1 − t)z.x2 ≥ (1 − t)α. D ai,

z.x = tz.x1+ (1− t)z.x2≥ tα + (1 − t)α = α.

L og o, x = tx1+ (1− t)x2∈ H.

1.1.4 N o¸

c˜ao T opol´

og ica e m

R

n

D efi n i¸c˜ao 3 . U m a vizinh an¸ca de um ponto x0∈ Rn´e um a n-bola V ={x ∈ Rn, |x − x0| < δ},

onde δ > 0 é ch am ado o raio de V . T am bém usa-se a nota¸cão Vδ.

D efi n i¸c˜ao 4 . S eja A um conjunto q ualq uer de Rn_{. U m ponto x ´e ch am ado}

ponto interior de A , se ex iste alg um a vizinh an¸ca V de x tal q ue V ⊂ A. S e a lg u m a v iz in h a n ¸c a d e x est´a c o n tid a n o c o m p lem en ta r Ac _{= R}n_{− A,}

en t˜a o x ´e u m ponto ex terior d e A.

S e q u a lq u er v iz in h a n ¸c a d e x , c o n tém p elo m en o s u m p o n to d e A, e p elo m en o s u m p o n to d e Ac_{= R}n_{− A, en tã o x é u m ponto de fronteira d e A o u A}c_.

E x emplo 6 . S eja Vδ um a vizinh an¸ca de x0. M ostra-se q ue todo ponto de Vδ ´e

ponto interior de Vδ.

D e fato, dado x∈ Vδ, seja r = δ− |x − x0| > 0 e seja Ur outra vizinh an¸ca de

x . S e y∈ Ur, ent˜ao y− x0= (y− x) + (x − x0) e pela desig ualdade triˆang ular

|y − x0| ≤ |y − x| + |x − x0| < r + |x − x0| = δ

D ai, y∈ Vδ. Isto m ostra q ue Ur⊂ Vδ. L og o, x ´e um ponto interior de V .

D efi n i¸c˜ao 5 . O interior de um conjunto A ´e o conjunto de todos os pontos interiores de A , denotado por Int(A ) ou ˚A.

(7)

1.2 . TOPOLOG IA ELEM ENTAR DE RN 7 D efi n i¸cão 7 . O conjunto A∪ ∂A é o fech o de A , e é denotado por A ou F c(A ). N o ex em p lo p rec ed en te, in t(V ) = V e ∂V é a esfera d e d im en sã o n -1 d e ra io δ.

E x emplo 7 . (i) S e A = (a, b]⊂ R. E nt˜ao S up(A ) = b ∈ ∂A. (ii) S e A = Rn_{, ent˜ao Int(A ) = R}n_{= R}n _{e ∂R}n₌_∅.

N o te q u e A c o n siste d e to d o s o s p o n to s n ˜a o ex terio res a A. Assim , (A)c_{= Int(A}c_).

´

E , ta m b ém , v erd a d e q u e Int(A) ⊂ A. S e In t(A) e A sã o ig u a is, en tã o A é ch a m a d o u m conjunto aberto.

D efi n i¸cão 8 . U m conjunto A é aberto, se todo ponto de A é interior a A . N o te q u e q u a lq u er v iz in h a n ¸c a Vδ e Rn sã o c o n ju n to s a b erto s.

D efi n i¸c˜ao 9 . U m conjunto A ´e fech ado, se seu com plem entar Ac _{for aberto.}

N o u tra s p a la v ra s: A ´e u n c o n ju n to fech a d o , se A c o n t´em to d o s seu s p o n to s d e fro n teira .

1.2 T opolog ia Ele m e ntar de R

n

2a _{L i¸c ˜a o}

1.2 .1

F un¸

c˜oe s

O o b jetiv o ´e estu d a r fu n ¸c ˜o es em Rn_{. T o d a v ia , relem b ra -se a lg u n s c o n c eito s p}

r´e-c o n r´e-c eb id o s.

S eja m A e B c o n ju n to s. O c o n ju n to p ro d u to c a rtesia n o , d en o ta d o p o r A× B c o n siste d e to d o s o s p a res o rd en a d o s (a , b ), o n d e a∈ A, b ∈ B. Ou seja

A× B = {(x, y); x ∈ A, y ∈ B} E x emplo 8 . S e A ={1, 2, ..., n} e B = {1, 2, ..., m}, ent˜ao A× B = {(i, j); i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., m}

S e A1, A2, .., Ans˜a o c o n ju n to s, en t˜a o o n c o n ju n to p ro d u to c a rtesia n o , d en o

-ta d o p o r A1×A2×..×An´e fo rm a d o p o r to d a s a s n -u p la s o rd en a d a s (a1, a2, .., an),

o n d e ai∈ Aip a ra c a d a i = 1, 2, .., n. E m p a rtic u la r Rn= R× R × ... × R.

E x emplo 9 . S e A = [a, b] e B = [c, d], ent˜ao

(8)

D efi n i¸cão 1 0 . Q ualq uer subconjunto f do produto cartesiano A× B é ch am ada um a rela¸cão entre A e B . A rela¸cão f é ch am ada um a fun¸cão, se para todo a∈ A ex iste ” ex atam ente” um b∈ B tal que (a, b) ∈ f. O elem ento b é denotado por f(a).

N ota¸c˜ao: O d o m ´ın io d e d e f, d en o ta d o p o r D (f) ´e o c o n ju n to D(f ) ={x ∈ A ; f(x) exis te } ⊂ A

A im a g em d e f, d en o ta d a p o r Im (f) ´e

Im(f ) ={f(x) ∈ B ; x ∈ D(f)} ⊂ B

O b serv a¸c˜ao 7 . S e para todo b∈ B existe um a ∈ A tal que f(a) = b, dizem os q ue f ´e sob rejetora ou sim plesm ente sob re. N este caso, Im(f ) = B.

O b serv a¸cão 8 . D izem os q ue a fun¸cão f é injetora (ou univalente), se f (a1) = f (a2) im plica q ue a1= a2. E q uivale, se a16= a2 então f (a1)6= f(a2).

O b serv a¸cão 9 . S e f : A⊂ R → R, dizem os que é um a fun¸cão com valores reais.

O b serv a¸cão 1 0 . Q uando f : A→ Rn_{, é ch am ada de fun¸cão vetorial.}

O b serv a¸cão 1 1 . U m a fun¸cão vetorial f : D⊂ Rn _{→ R}m_{, é dita usualm ente}

um a transform a¸c˜ao1 _{de D em R}m_.

O b serv a¸cão 1 2 . S e f, g são fun¸cões, com m esm o dom ´ınio A e valores em um espa¸co vetorial, por ex em plo Rn_{, podem os defi nir a som a de fun¸cões por:}

(f + g)(a) = f (a) + g(a), ∀x ∈ A

O b serv a¸cão 1 3 . S e f tem valores em um R-espa¸co vetorial V e φ é um a fun¸cão com valores reais, am bas com m esm o dom ´ınio A , pode ser defi nido o produto de fun¸cões φ.f , um a nova fun¸cão com valores em V , dada por:

(φ.f )(a) = φ(a).f (a), ∀x ∈ A

1.2 .2

L im ite e Continuidade de T ransform a¸

c˜oe s

S u p o n h a F : D⊂ Rn_{→ R}m_{, c o m n.m}_{∈ N.}

U m a v iz in h a n ¸c a ” fu ra d a ” d e x0, será u sa d a a n o ta ¸c ã o ˙Uδo u ˙U é u m a v iz in h a n ¸c a

c en tra d a em x0, sem x0.

Assu m e-se q u e D c o n t´em a lg u m a s ˙U d e x0. P o r d efi n i¸c ˜a o d e lim ite em x0,

relem b re-se, x0n ˜a o n ec essita esta r em D . S e x0∈ D, o v a lo r d e f em x0´e

irrel-ev a n te p a ra o estu d o d e lim ite.

(9)

1.2 . TOPOLOG IA ELEM ENTAR DE RN 9 D efi n i¸c˜ao 1 1 . S eja ˙U = U um a vizinh an¸ca de x0, sem x0 e

F : D⊂ Rn_{→ R}m_{. S e para toda vizinh an¸ca V de y}

0, ex iste um a vizinh an¸ca U

de x0 tal q ue F (U )⊂ V , então y0 é o lim ite da transform a¸cão F em x0.

D en o ta m o s. y0= lim x→x0

F (x) o u F (x)→ y0q u a n d o x→ x0.

O b serv a¸c˜ao 1 4 . Ob servam os q ue o raio de U ´e peq ueno , o sufi ciente tal q ue U⊂ D.

O b serv a¸cão 1 5 . S e , δ são os raios de U e V respectivam ente, a defi ni¸cão acim a pode ser refraseada por:

y0= lim x→x0

F (x), eq uivale , q ue para todo > 0, ex iste δ > 0 tal q ue |F (x) − F (x0)| < sem pre que 0 < |x − x0| < δ

onde o n`um ero δ = δ(), pode depender tam b´em de x0.

Proposi¸c˜ao 2 . S ejam as fun¸c˜oes F, G : D⊂ Rn_{→ R}m_{, tais q ue}

y0= lim x→x0 F (x) e z0= lim x→x0 G(x), ent˜ao: (1 ) y0+ z0= lim x→x0 [F (x) + G(x)] (2 ) αy0= lim x→x0 [αF (x)] onde α∈ R (3 ) y0.z0= lim x→x0 [F (x).G(x)]

D emon stra¸c˜ao - (1 ) S eja m Vu m a v iz in h a n ¸c a d e y0+ z0, V_/21 v iz in h a n ¸c a d e

y0e V_/22 v iz in h a n ¸c a d e z0. S e y∈ V_/21 , z∈ V_/22 , tem -se q u e

(y + z)− (y0+ z0) = (y− y0) + (z− z0). U sa n d o d esig u a ld a d e triˆa n g u la r, resu lta

|(y + z) − (y0+ z0)| ≤ |y − y0| + |z − z0| < /2 + /2 = D a´ı, y + z∈ V. P o r h ip ó tese, ex istem v iz in h a n ¸c a s ” fu ra d a s” U1_{, U}2_{d e x} 0ta is q u e F (U1₎ ⊂ V1 /2, G(U 2₎ ⊂ V2 /2. S eja U = U 1 ∩ U2_{, a q u a l é u m a v iz in h a n ¸c a} ” fu ra d a ” d e x0. S e x∈ U, en tã o (F + G)(x) ∈ V , lo g o (F + G)(U) ⊂ V . (2 ) E x erc´ıc io . (3 ) S eja m V = V1(y0)(v iz in h a n ¸c a d e ra io 1 d e y0) e ˙U = ˙U (x0)(v iz in h a n ¸c a d e x0 sem x0, ra io n ã o fi x a d o ) ta l q u eF ( ˙U )⊂ V , p o is |F (x) − y0| < 1. D en o ta m o s C = m a x{|y0| + 1, |z0|} . N o te q u e, se y∈ V , en tã o y = y0+ (y− y0), e|y| ≤ |y0| + |y − y0| ≤ |y0| + 1 < C. Ob serv e q u e F (x).G(x)− y0.z0= F (x).G(x)− F (x).z0+ F (x).z0− y0.z0. P ela

d esig u a ld a d e triˆa n g u la r e d e C a u ch y , tem -se

(10)

D a d o > 0, d efi n im o s V1_{= V} /2C(y0), V2= V/2C(z0), eV1= V1∩ V. (se ≤ 2C, en t˜a o eV1_{= V}1₎ P o r h ip ´o tese ex istem U1= ˙U1(x0), U2= ˙U2(x0) ta is q u e F (U1)⊂ eV1⇔ |F (x) − y0| < /2C, ∀x ∈ U1 G(U2)⊂ V 2 ⇔ |G(x) − z0| < /2C, ∀x ∈ U2

F a z em o s U = U1∩U2. P a ra to d o x∈ U, tem -se F (x) ∈ V . Ou seja , |F (x)| ≤ C.

D isto tu d o e (* ), p o d e-se esc rev er: |F (x).G(x) − y0.z0| ≤ C

2C + C

2C = , ∀x ∈ U

D efi n i¸cão 1 2 . U m a transform a¸cão F é dita lim itada em um conjunto A , se ex iste K tal q ue |F (x)| ≤ K, ∀x ∈ A.

L IM IT E D E C OM P ON E N T E S

S eja F : D⊂ Rn_{→ R}m _{u m a tra n sfo rm a ¸c ˜a o ta l q u e F (x) =} _f1_{(x), ..., f}m_(x)_,

o n d e fi _{: D} _{→ R ´e ch a m a d a d e co m p o n en te d e F (co m co m p o n en tes n a b a se}

c a n ò n ic a d e Rm_{), p a ra c a d a i = 1,.., m .} Proposi¸cão 3 . y0= lim x→x0 F (x)⇔ yi0= lim x→x0 fi(x), para cada i = 1 ,.., m . D emon stra¸cão - S eja U = Uδ(x0). P o r h ip ótese, ex iste V = V(y0) ta l q u e

F (U )⊂ V . Ou seja , se x ∈ U, en t˜a o F (x) ∈ V . E m o u tro s term o s, |F (x) − y0| 2 = f1 (x), ..., fm(x)− y1 0, ..., ym0 2 = f1 (x)− y1 0, .., fm(x)− y0m 2 U sa n d o a m ´etric a eu c lid ia n a |F (x) − y0| 2 = f1 (x)− y1 0 2 + ... + (fm(x)− ym 0 ) 2 < 2 se 0 <|x − x0| < δ L o g o , fi(x)− yi 0 < , se 0 <|x − x0| < δ, p a ra ca d a i = 1, .., m. P o rta n to , y0i = lim x→x0 fi(x), p a ra c a d a i = 1, .., m.

(11)

1.2 . TOPOLOG IA ELEM ENTAR DE RN 11 S eg u e-se q u e |F (x) − y0| < se 0 < |x − x0| < δ O q u e eq u iv a le y0= lim x→x0 F (x) L IM IT E AO L ON G O D E R E T AS Proposi¸c˜ao 4 . S e y0= lim x→x0

F (x), ent˜ao para todo v6= θ, tem -se y0= lim

t→0F (x0+ tv), com t∈ R.

D emon stra¸c˜ao - S eja V = V (y0), p o r h ip ´o tese ex iste δ > 0 ta l q u e F (x)∈ V

d esd e q u e 0 <|x − x0| < δ. E sco lh en d o 0 < |t|R< δ/|v|, tem o s q u e

|(x0+ tv)− tv| = |t|R|v| <

δ |v||v| = δ C o n seq u en tem en te, F (x0+ tv) ∈ V, t ∈ U =

− δ |v|, δ |v| . N o te q u e, U ´e u m in terv a lo d a reta c en tra d o n o z ero .

O b serv a¸cão 1 6 . A proposi¸cão afi rm a q ue, se F tem um lim ite y0 em x0, então

y0é tam bém o lim ite q uando x0é aprox im ado ao long o de q ualq uer reta passando

por x0.

O b serv a¸cão 1 7 . Q uando um a aplica¸cão F não tem lim ite em x0, freq

uente-m ente testa-se este fato, ao long o de várias ” retas” ou ” cauente-m inh os” . E x emplo 1 0 . C onsidere F : R2 → R dada por F (x, y) =    x2 x2_{+ y}2, se (x, y)6= (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0) S eja x0= (0, 0), suponh a: (a) S e y = 0 e v = e1= (1, 0). E ntão F (x0+ tv) = F (t, 0) = 1, ∀t 6= 0. L og o, F (t, 0)→ 1, quando t → 0. (b ) S e x = 0 e v = e2= (0, 1). E ntão F (x0+ tv) = F (0, t) = 0, ∀t 6= 0. L og o, F (0, t)→ 0, quando t → 0. P ortanto F não tem lim ite em (0 , 0 ). E x emplo 1 1 . C onsidere F : R2 → R dada por F (x, y) =    (y2 − x)2 y4_{+ x}2 , se (x, y)6= (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0) N ovam ente, considere x0= (0, 0) e

(12)

F (x0+ tv) = F (th, tk) = (t2_k2 − th)2 t4_k4_{+ t}2_h2 = (tk2 − h)2 t2_k4_{+ h}2 → h2 h2 = 1 q uando t→ 0. (b ) S e v = (h, h2_{) + (0, 0) resulta F (th, t}2_k2_{) = 0} → 0 quando t → 0. P ortanto F n˜ao tem lim ite em (0 , 0 ).

O b serv a¸cão 1 8 . N ote q ue, no ex em plo precedente, h á infi nitas m aneiras de aprox im ar ao long o de retas da orig em , dando lim ite 1 e infi nitas m aneiras ao long o de parábolas do lim ite zero. C onclu´ı-se q ue o lim ite de um a aplica¸cão de várias variáveis é m ais ” delicado” q ue de um a.

C ON T IN U ID AD E

Aq u ´ı su p ˜o e-se x0n o in terio r d o d o m ´ın io D d a tra n sfo rm a ¸c ˜a o F .

D efi n i¸cão 1 3 . U m a transform a¸cão F é cont´ınua em x0, se F (x0) = lim x→x0

F (x) E m term o s v iz in h a n ¸c a : F ´e c o n t´ın u a em x0, se p a ra to d a v iz in h a n ¸c a

V = V (y0) ex iste u m a v iz in h a n ¸c a U = U (x0) ta l q u e F (U )⊂ V.

E x emplo 1 2 . M ostrar diretam ente pela defi ni¸c˜ao q ue F (x, y) = √xy ´e cont´ınua em zero. D e fato, dado > 0, ex iste δ > 0 tal q ue

|F (x, y) − F (0, 0)| < desde que 0 < x2 + y2 < δ2 D ado q ue x2 ± 2xy + y2 ≥ 0, resulta que √_xy ≤p1/2px2_{+ y}2

A ssim , com o F (0, 0) = 0 tem -se |F (x, y) − F (0, 0)| =√xy. P ortanto, dado > 0, escolh e-se δ =√2. L og o,

|F (x, y)| < sem pre que 0 < x2

+ y2

< δ2

O b serv a¸cão 1 9 . N em sem pre, é um a tarefa fácil m ostrar a continuidade de uam F , com o no ex em plo acim a.

Proposi¸cão 5 . F é cont´ınua em x0 s.s.s. fi é cont´ınua em x0, para cada

i = 1 , 2 ,..., m .

D emon stra¸cão - Id ên tic a a p ro p o si¸c ã o a n terio r.

E x emplo 1 3 . Q ualq uer polinôm io em n-variáveis é um a aplica¸cão cont´ınua. E x emplo 1 4 . U m a fun¸cão racional do tipo P (x)

Q(x), onde P (x ) e Q (x ) são polinôm ios com valores reais é cont´ınua em seu dom ´ınio, isto é, nos x tais q ue Q(x)6= 0.

L IM IT E N O IN F IN IT O

U m a a p lic a ¸c ˜a o tem lim ite n o in fi n ito (∞) q u a n d o , p a ra to d a v izin h a n ¸ca V = V (y0) ex iste u m a v iz in h a n ¸c a U ={x; |x| > b} d o in fi n ito ta l q u e F (U) ⊂ V .

D en o ta m o s

(13)

1.3 . SEQ ¨U ˆENCIAS EM RN 13

1.3 S e q ¨uˆe ncias e m

R

n

3a _{L i¸c ˜a o}

D efi n i¸cão 1 4 . U m a seq üência ou sucessão em Rn _{é um a fun¸cão defi nida em}

N com valores em Rn_{. Ou seja, a cada m} _{∈ N ´e associado um ´unico vetor}

xm ∈ Rn. Identifi cam os a fun¸c˜ao com sua im ag em e denotam os (xm)m∈N ou

sim plesm ente (xm). O vetor xm ´e ch am ado de n-´esim o term o de (xm).

O c o n ju n to d o s term o s d e (xm) ´e d en o ta d o p o r {x1, x2, ..., xm, ...} o q u a l

p o d e ser fi n ito o u n ˜a o .

E x emplo 1 5 . S e xm= (−1)m, então a seq üência é -1 , 1 , -1 ,... e o conjunto

{x1, x2, ..., xm, ...} tem s´o dois elem entos -1 e 1 .

D efi n i¸cão 1 5 . U m a seq üência (xm) , xm ∈ Rn converg e para x0∈ Rn, se para

cada > 0 ex iste n0= n0()∈ N tal que

|xm− x0| < , ∀m ≥ n0

O vetor x0 é ch am ado lim ite de (xm) e a sucessão (xm) é dita converg ente.

D en o ta -se p o r: x0= lim

n→∞xm o u xm→ x0 q u a n d o m→ ∞

C a so c o n trá rio , a seq ü ên c ia (xm) é d ita d iv erg en te.

S er´a d eix a d o c o m o ex erc´ıc io o s resu lta d o s. Proposi¸c˜ao 6 . S ejam x0= lim

n→∞xm e y0= limn→∞ym. E nt˜ao: (a) x0+ y0= lim n→∞(xm+ ym) (b) λ.x0= lim n→∞λ.xm, λ∈ R (c) x0.y0= lim n→∞(xm.ym) (d) S e xi

m é a i-ésim a com ponente do vetor xm, então:

x0= lim n→∞xm s.s.s. x i 0= lim n→∞x i m para cada i = 1, ..., n

D efi n i¸cão 1 6 . U m a seq üência (xm) é lim itada, se ex iste C > 0 tal q ue:

|xm| ≤ C, para todo m .

D efi n i¸cão 1 7 . U m a seq üência (xm) é ch am ada seq üência de C auch y , se para

cada > 0 ex iste n0= n0()∈ N tal que

(14)

O b serv a¸cão 2 0 . N ote q ue a defi ni¸cão não diz nada a respeito do lim ite x0 da

sucess˜ao (xm), e sim do com portam ento dos term os da sucess˜ao.

O b serv a¸cão 2 1 . O conceito de seq üência de C auch y e convergência de seq üência são eq uivalentes em Rn_.

T eorema 1 (C ritério d e C o n v erg ên c ia d e C a u ch y ). U m a seq üência (xm) é

con-verg ente se e som ente se (xm) é um a seq üência de C auch y .

D emon stra¸cão - S eja (xm) u m a su c essã o c o n v erg en te. E n tã o , se x0 é seu

lim ite, p a ra c a d a > 0 ex iste n0= n0() ta l q u e

|xm− x0| < /2, |xp− x0| < /2, ∀m, p ≥ n0

C o m o xm− xp= (xm− x0) + (x0− xp), p ela d esig u a ld a d e tria n g u la r tem -se q u e

|xm− xp| ≤ |xm− x0| + |x0− xp| < /2 + /2 =

P o rta n to , (xm) é u m a seq ü ên c ia d e C a u ch y .

R ec ip ro c a m en te, se (xm) é u m a seq ü ên c ia d e C a u ch y ela é lim ita d a . D e fa to ,

to m a n d o = 1, p ela d efi n i¸c ˜a o , ex iste n0= n0() ta l q u e

|xm− xp| < 1, ∀m, p ≥ n0

E m p a rtic u la r, seja p = n0 e c o n sid ere o n ´u m ero p o sitiv o

C = m a x{|x1|, |x2|, ..., |xn0−1|, |xn0| + 1}

E n t˜a o , sen d o xm= xn0+ (xm− xn0), tem -se q u e p o r d esig u a ld a d e tria n g u la r

|xm| ≤ |xm− xn0| + |xn0| < 1 + |xn0| ≤ C

P o rta n to ,|xm| ≤ C, p a ra to d o m = 1,2,...

C o n sid era m o s (xm) u m a su c ess˜a o d e C a u ch y d e n ´umeros reais, e C > 0 ta l

q u e|xm| ≤ C, p a ra to d o m .

P a ra c a d a m , d en o ta m o s ym= in f{xm, xm+ 1, ...}, en t˜a o ym≤ ym+ 1.

S en d o |xm| ≤ C, ∀m, en t˜a o |ym| ≤ C, ∀m.

Assim , a seq ü ên c ia (ym) é n ã o d ec resc en te e lim ita d a . P o rta n to p o r p ro p ried a d e

d e seq ü ên c ia d e n ú m ero s rea is, a seq ü ên c ia (ym) tem u m lim ite y0.

M o stra -se a g o ra , q u e xm → x0q u a n d o m → ∞. D e fa to , d a d o > 0 ex iste

n0= n0() ta l q u e

|xm− xn0| < /2, ∀m ≥ n0

D a i,

(15)

1.3 . SEQ Ü ÊNCIAS EM RN 15 T em o s q u e xn0 − /2 é u m lim ite in ferio r e xn0+ /2 é u m lim ite su p erio r d e

{xm, xm+ 1, ...}.

P o rta n to , q u a n d o m≥ n0, tem -se

xn0− /2 ≤ ym≤ y0≤ xn0+ /2

L o g o ,

|xm− y0| ≤ |xm− xn0| + |xn0− y0| < /2 + /2 =

O q u e m o stra q u e xm→ y0q u a n d o m→ ∞, n o ca so rea l.

P a ra o c a so g era l, se (xm) ´e u m a su c ess˜a o d e C a u ch y em Rn, a s c o m p o n en tes

sa tisfa z em q u e xi m− xip ≤ |xm− xp| , p a ra ca d a i = 1, 2, .., n

en t˜a o a s c o m p o n en tes fo rm a m u m a su c ess˜a o d e C a u ch y xi m

d e n ú m ero s rea is. C a d a seq ü ên c ia xi

m

tem u m lim ite yi

0, p a ra c a d a i =1, 2,.., n . L o g o , p ela

p ro p ro si¸c ˜a o a n terio r, item (d ), xm→ y0q u a n d o m→ ∞

D efi n i¸cão 1 8 . U m conjunto A não vazio é lim itado , q uando ex iste C > 0 tal q ue

|x| < C, ∀x ∈ A

D efi n i¸cão 1 9 . O diâm etro de um conjunto lim itado A é o núm ero real diam (A ) = S up{|x − y| : x, y ∈ A}

T eorema 2 (C a n to r). S eja (Am) um a seq ¨uˆencia de conjuntos fech ados tais q ue

A1⊃ A2⊃ .... e lim m→∞diam (Am) = 0 E nt˜ao, ∞ \ m=1

Am cont´em s´o um ponto.

D emon stra¸c˜ao -P a ra c a d a m =1, 2,.. seja xm∈ Am.

E n tã o (xm) é u m a seq ü ên c ia d e C a u ch y . D e fa to , d a d o > 0, ex iste n0∈ N ta l

q u e d ia m (An0 < .

S e m, p≥ n0, en t˜a o xm, xp∈ An0, p o is Am⊂ An0 e Ap⊂ An0. P o rta n to ,

|xm− xp| < d ia m (An0) <

P elo teo rem a d e c o n v erg ˆen c ia d e C a u ch y , a su c ess˜a o (xm) tem u m lim ite x0.

p a ra c a d a p =1, 2,..., xm ∈ Ap,∀m ≥ p, p o is Am ⊂ Ap. C o m o Ap ´e fech a d o ,

(16)

C o m o d ia m (Am) → 0 q u a n d o m → ∞, resu lta q u e |x − x0| = 0, e a ssim ,

x = x0.

E x emplo 1 6 . S ejam n= 1 e Am = {m, m + 1, ...} . T em os que Am n˜ao ´e um

conjunto fech ado e A1⊃ A2⊃ .... . A lém disso Amnão é lim itado. A interse¸cão ∞

\

m=1

Am ´e vazia.

D efi n i¸c˜ao 2 0 . S eja A⊂ Rn_{um conjunto. U m ponto x}

0´e ch am ado de ponto isolado de A ,

se ex iste um a vizinh an¸ca V = V (x0) tal q ue A∩ V = {x0}.

E x emplo 1 7 . T odo ponto de A ={1, 1/2, .., 1/n, ..} é um ponto isolado de A . D efi n i¸cão 2 1 . U m ponto x0é ch am ado de ponto de acum ula¸cão de A , se toda

vizinh an¸ca de x0 cont´em um n´um ero infi nito de pontos de A .

O b serv a¸cão 2 2 . N a defi ni¸cão de ponto de acum ula¸cão, não é ex ig ido q ue q ue o ponto de acum ula¸cão x0 ∈ A. N a verdade, m ostra-se que os pontos de

acu-m ula¸c˜ao est˜ao eacu-m A.

Proposi¸cão 7 . x0é um ponto de acum ula¸cão de A , se e som ente se, x0∈ A e

x0n˜ao ´e um ponto isolado de A .

D emon stra¸cão - S u p o n h a m o s q u e x0 é u m p o n to d e a c u m u la ¸c ã o d e A, lo g o

x0∈ A0, c o m o A = A∪ A0, resu lta q u e x0∈ A. Além d isso , x0 n ã o é u m p o n to

iso la d o d e A, p ela d efi n i¸c ˜a o d a d a .

Ag o ra , c o n sid era m o s x0∈ A e x0 n ˜a o ´e u m p o n to iso la d o d e A.

S eja V1 = V1(x0) u m a v iz in h a n ¸c a q u a lq u er d e x0. D a i, sen d o x0 p o n to n ˜a o

iso la d o , en t˜a o ex iste x1∈ A ∩ V1, c o m x16= x0. M o stra rem o s q u e A∩ V1c o n t´em

u m n ú m ero in fi n ito d e p o n to s. D e fa to , su p o n h a m o s o c o n trá rio , isto é, tem u m n ú m ero fi n ito d e p o n to s. L o g o , A∩ V1c o n tém fi n ito s p o n to s x1, .., xpd iferen tes

d e x0. S eja Vδ= Vδ(x0) a m en o r v iz in h a n ¸c a d e x0, ta l q u e

δ < m in {|xm− xp| , m = 1, .., p}

Assim , o u A∩ Vδ ´e v a z io o u A∩ Vδ={x0}. A p rim eira p o ssib ilid a d e co n tra d iz

q u e x0∈ A, p o is d a d o q u e x0∈ A, im p lica q u e x0∈ A o u x0∈ A0. M a s x0n ˜a o

p o d e esta r em A0_{, j´}_{a q u e A}_{∩ V}

δ t´em fi n ito s p o n to s. E , se x0 ∈ A, tem -se q u e

A∩ Vδ 6= ∅. E sta seg u n d a p o ssib ilid a d e co n tra d iz o fa to d e x0 n ˜a o ser p o n to

iso la d o d e A. P o rta n to , x0´e p o n to d e a c u m u la ¸c ˜a o d e A.

E x emplo 1 8 . N o conjunto A = {1, 1/2, .., 1/n, ..} o zero é o único ponto de acum ula¸cão de A , o q ual não pertence a A .

(17)

1.3 . SEQ Ü ÊNCIAS EM RN 17 A seg u ir, c a ra c teriz a -se p o r m eio d e su c essã o o s p o n to s d e a c u m u la ¸c ã o d e u m c o n ju n to .

Proposi¸cão 8 . x0 é um ponto de acum ula¸cão de A , se e som ente se, ex iste

um a sucess˜ao (xm), com lim ite x0, tal q ue xm∈ A e xm6= x0para todo m .

D emon stra¸c˜ao - (E x erc´ıc io ).

D efi n i¸c˜ao 2 2 (n -C u b o ). S eja I⊂ Rn _{um conjunto, defi nido por}

I =x∈ Rn_, _xi_{− x}i o _R_{≤ a/2, com i = 1, .., n} onde x = (x1_{, x}2_{, ..., x}n_{) e x} 0= (x10, x 2 0, ..., xn0). O c o n ju n to I, a c im a d efi n id o , ´e ch a m a d o d e n -c u b o o u c u b o d e n la d o s, c en tra d o em x0 e c o m p rim en to d e la d o a . n o te q u e, se A ´e q u a lq u er c o n ju n to

lim ita d o d e Rn_{, p o d em o s o b ter A}_{⊂ I p a ra a lg u m n -cu b o I.}

T eorema 3 (B o lz a n o - W eierstra ss). T odo conjunto infi nito ´e lim itado em Rn_,

tˆem pelo m enos um ponto de acum ula¸c˜ao

D emon stra¸c˜ao - S eja A u m c o n ju n to in fi n ito e lim ita d o d e Rn_{. C o n sid era m o s}

I1 a lg u m n -c u b o c o n ten d o A. D iv id e-se I1 em m = 2n n c u b o s fech a d o s e c o n

-g ru en tes I11, I12, ..., I1m c o m o n a fi g u ra a c im a .

S en d o A u m c o n ju n to in fi n ito , seg u e-se q u e A∩ I1k´e u m c o n ju n to in fi n ito p a ra

p elo m en o s u m d o s k = 1, 2,.., m .

E sc o lh e-se a lg u m d estes k ´s e fa ¸c a I1k = I2. D iv id e-se, a g o ra , I2 em m = 2n

n -c u b o s fech a d o s e c ˆo n g ru o s: I21, ..., I2m. C o m o a n tes, A∩ I2k ´e in fi n ito p a ra

p elo m en o s u m k . E sc o lh e-se este k e fa ¸c a I2k = I3. C o n tin u a n d o , o b t´em -se

n -c u b o s fech a d o s e c ˆo n g ru o s:

I1⊃ I2⊃ ...

T a l q u e A∩ Ip´e in fi n ito p a ra c a d a p = 1, 2,... e d ia m (Ip) = 0 q u a n d o p→ ∞.

P elo teo rem a d e C a n to r I1∩ I2∩ I3.... tem u m ´u n ic o p o n to x0.

S e V = V (x0) ´e u m a v iz in h a n ¸c a q u a lq u er d e x0, tem o s q u e Ip ⊂ V p a ra p

su fi c ien tem en te g ra n d e. C o m o A∩ Ip ⊂ A ∩ V, en t˜a o A ∩ V, ´e u m co n ju n to

in fi n ito . P o rta n to , x0´e u m p o n to d e a c u m u la ¸c ˜a o d e A.

Alg u m a s c o n seq ¨u ˆen c ia s d o teo rem a d e B o lz a n o -W eierstra ss.

C orol´ario 1 . S eja B um conjunto fech ado e lim itado de Rn_{. E nt˜ao todo}

con-junto infi nito A⊂ B tem pelo m enos um ponto de acum ula¸c˜ao x0∈ B.

D emon stra¸cão - C o m o B é u m c o n ju n to lim ita d o e A⊂ B, lo g o A é lim ita d o . P elo teo rem a d e B o lz a n o -W eierstra ss, A tem u m p o n to d e a c u m u la ¸c ã o x0.

P o r p ro p o si¸c ˜a o a n terio r, x0 ∈ A. D a d o q u e B ´e fech a d o , resu lta q u e A ⊂ B,

(18)

C orolário 2 . S ejam A1, A2, ... conjuntos não vazios, lim itados e fech ados de Rn, tais q ue A1⊃ A2⊃ .... E ntão ∞ \ m=1

Am n˜ao ´e vazia.

D emon stra¸c˜ao - P a ra m = 1, 2,... esc o lh e-se a lg u m p o n to xm ∈ Am,. S eja

A ={x1, x2, ...}. S e A ´e u m co n ju n to fi n ito , en t˜a o ex iste a lg u m x ∈ A ta l q u e

x = xm rep etid a s v ez es.

C o m o A1⊃ A2⊃ ...., lo g o x ∈ Amp a ra to d o m . Assim , x∈ ∞

\

m=1

Am.

S u p o n h a , a g o ra , q u e A n ˜a o ´e u m c o n ju n to fi n ito . D a d o q u e Am ⊂ A1, seg u e

q u e A⊂ A1. C o m o A1´e lim ita d o , lo g o A ´e lim ita d o .

S eja x0u m p o n to d e a c u m u la ¸c ã o d e A, p o r c o rlário a n terio r, x0∈ A1, p o is A1é

u m c o n ju n to fech a d o e A⊂ A1. P a ra c a d a m , o v eto r x0´e, ta m b ´em , u m p o n to

d e a c u m u la ¸c ˜a o d o c o n ju n to B ={xm, xm+ 1, ...} .

D a d o q u e B ⊂ Am e Am ´e fech a d o , seg u e-se q u e x0 ∈ Am, p a ra c a d a m .

P o rta n to , x0∈ ∞ \ m=1 Am

1.4 Espa¸

co M ´

e trico

4a_{L i¸c ˜a o}

S eja E u m c o n ju n to n ã o v a z io q u a lq u er. A n o ¸c ã o d e distância en tre d o is ele-m en to s a, b∈ E é d efi n id a p o r u m a a p lica ¸cã o d : E × E → R ta l q u e sa tisfa z:

(i) d(a, b)≥ 0, ∀a, b ∈ E e d(a, b) = 0 s .s .s . a = b (ii) d(a, b) = d(b, a),∀a, b ∈ E

(iii) d(a, c)≤ d(a, b) + d(b, c), ∀a, b, c ∈ E

A fu n ¸c ã o d d efi n id a em E× E co m v a lo res em R q u e sa tisfa z (i) - (iii) é ch a m a d a d e u m a m étrica em E .

D efi n i¸cão 2 3 . U m espa¸co m étrico é um conjunto E 6= ∅ com um a fun¸cão d com valores em R e dom ´ınio E× E satisfazendo as propriedades (i) - (iii). E x emplo 2 0 . S eja E = Rn _{e d(x, y) =} " _n X i=1 (xi− yi) 2 #1/2 , ∀x, y ∈ E. A fun¸cão d é ch am ada de distância euclidiana, e d satisfaz as propriedades (i) - (iii).(verifi q ue!)

S e A ⊂ Rn_{, a d istâ n c ia eu c lid ia n a , ta m b ém , d efi n e u m a m étric a em A.}

P o rta n to , q u a lq u er su b c o n ju n to n ã o v a z io d e Rn_{, c o m a d istâ n c ia eu c lid ia n a é}

(19)

1.4 . ESPAÇ O M ÉTR ICO 19 E x emplo 2 1 . S eja A um conjunto q ualq uer não vazio. em A× A defi ne-se

d(a, b) =

1, se a6= b 0, se a = b N ote q ue

(a) d(a, a) = 0 e d(a, b) = 1 > 0 se a6= b, logo verifi ca (i).

(b ) d(a, b) = d(b, a) = 1, se a 6= b e d(a, b) = d(b, a) = 0, se a = b, o que acarreta (ii).

(c) T am bém , se a6= b 6= c, então d(a, c) = 1 < 1 + 1 = d(a, b) + d(b, c). N os outros casos, (iii) tam bém é verifi cada. P ortanto, a aplica¸cão é um a m étrica (” distância” ), a q ual é bastante artifi cial.

U m a v iz in h a n ¸c a V = Vδ(a) em u m esp a ¸c o m ´etric o ´e o c o n ju n to

V = Vδ(a) ={b ∈ E, d(a, b) < δ} co m δ > 0

N o p rim eiro ex em p lo d esta p a rte, v iz in h a n ¸c a d e x s˜a o a s u su a is, en q u a n to n o seg u n d o ex em p lo , u m a v iz in h a n ¸c a V = Vδ(a) ={a}, se 0 < δ < 1.

Os c o n c eito s d e c o n v erg ên c ia d e seq ü ên c ia s e seq ü ên c ia s d e C a u ch y em u m esp a ¸c o m étric o E sã o d efi n id o s d e fo rm a sim ila r a o c a so d e E = Rn_{, o u seja .}

D efi n i¸cão 2 4 . S eja (am) , m = 1, 2, .. um a sucessão em um espa¸co m étrico E .

S e para cada > 0 ex iste n0= n0()∈ N tal que d(am, a0) < , ∀m ≥ n0, ent˜ao

(am) ´e converg ente com lim ite a0.

D efi n i¸c˜ao 2 5 . S e para cada > 0 ex iste n0= n0()∈ N tal que

d(am, ap) < , ∀m, p ≥ n0, então (am) é um a seq üência de C auch y .

D efi n i¸cão 2 6 . S eja E um espa¸co m étrico, com m étrica d. D iz-se q ue E é com pleto, se toda seq üência de C auch y (am), com am ∈ E, converge para um

lim ite a0∈ E.

E x emplo 2 2 . O crit´erio da convergˆencia de C auch y g arante q ue Rn_{, com a}

m étrica euclidiana é um espa¸co m étrico com pleto.

1.4 .1

Espa¸

co V e torial N orm ado

D efi n i¸cão 2 7 . U m espa¸co vetorial norm ado é um espa¸co vetorial V com um a fun¸cão defi nida em V com valores em R, denotada pork.k tal que:

(a)kuk > 0, ∀u ∈ V, u 6= θV

(b )kλ.uk = |λ|R.kuk , ∀λ ∈ kuk , u ∈ V

(20)

D efi n e-se a ” d istˆa n c ia ” en tre u, v∈ V p o r d(u, v) = ku − vk. a ssim , V to rn a -se u m esp a ¸c o m ´etric o n o rm a d o .

E x emplo 2 3 . S eja V = Rn_{, com a norm a de um vetor x = (x}1_{, .., x}n_{) dada}

por

kxk = m ax|x1

|R, ...,|xn|R

E sta ´e um a das m uitas norm as (n˜ao usuais) q ue podem ser defi nidas em Rn_.

E x emplo 2 4 . O seg uinte espa¸co V é um a versão infi nitam ente dim ensional do Rn_{. C onsidere um a seq üência de núm eros reais denotada por X = (x}1

, .., xn_{, ...).}

S e Y = (y1

, .., yn_{, ...) é outra seq üência de núm eros reais, então a som a é}

defi nida por

X + Y = (x1

+ y1

, x2

+ y2

, ...., xn+ yn, ....) T am b´em , defi ne-se o produto por um escalar

λ.X = (λ.x1

, λ.x2

, ...., λ.xn, ....) O espa¸co V com a norm a

(∗) kXk = " _∞ X m=1 (xm)2 #1/2

é um espa¸co vetorial norm ado. N ote q ue V é form ado pelas sucessões tais q ue a som a de q uadrados das coordenadas xm _{de X é fi nita.}

D efi n i¸cão 2 8 . U m espa¸co vetorial V (infi nito dim ensional) com pleto (na m ètrica d(u, v) =ku − vk) é ch am ado de espa¸co de B anach .

O esp a ¸c o Rn _{c o m q u a lq u er n o rm a , ´e u m esp a ¸c o d e B a n a ch fi n ito .}

O esp a ¸c o d o ex em p lo (), ´e u m esp a ¸c o d e B a n a ch .

1.4 .2

N orm as n˜ao Euclidianas e m

R

n

(21)

1.4 . ESPAÇ O M ÉTR ICO 21 E x emplo 2 5 . S eja x∈ Rn_{, então a fun¸cão}

|x| =

n

X

i=1

|xi|R

satisfaz as propriedades (a), (b ) e (c) da defi ni¸c˜ao de norm a. L og o, ´e um a norm a em Rn_.

N o esp a ¸c o n o rm a d o Rn _{a s n o rm a s s˜a o eq u iv a len tes. P rec isa m en te, tem -se.}

T eorema 4 . D ada q ualq uer norm a k.k em Rn_{, ent˜ao ex istem n´um eros reais}

positivos k1 e k2tais q ue, para todo x∈ Rn tem -se

(1) k1|x| ≤ kxk ≤ k2|x|

onde|x| ´e a norm a euclidiana.

D emon stra¸cão - A rela ¸c ã o (1) é o b v ia m en te v á lid a q u a n d o x = θ. S u p o n h a x∈ Rn_{, x}_{6= θ. S a b e-se q u e x é d a d o d e m o d o ún ico p o r:}

x = x1_e

1+ x2e2+ ... + xnen, o n d e ei s˜a o o s v eto res d a b a se c a n ˆo n ic a d o Rn.

P ela d esig u a ld a d e tria n g u la r, resu lta kxk ≤x1 Rke1k + x2 Rke2k + ... + |x n_| Rkenk C o m o keik = 1 e xi R≤ |x| p a ra to d o i = 1, 2,.., n , en t˜a o kxk ≤ n |x|. D en o ta n d o n fi x a d o p o r k2resu lta (2) kxk ≤ k2|x| , ∀x ∈ Rn

D a i, tem -se q u e a fu n ¸c ˜a o k.k ´e ta l q u e

kx − yk ≤ k2|x − y| , ∀x, y ∈ Rn

P o rta n to , p a ra c a d a > 0, esc o lh en d o δ = /k2 > 0, c o n c lu i-se q u e k.k ´e

c o n t´ın u a em Rn_{. Assim ,}_{k.k tem u m m ´ın im o n o co n ju n to co m p a cto}

B ={x ∈ Rn_,_{|x| = 1}.}

S eja k1 = m in {kxk , |x| = 1}. C o m o x 6= θ seg u e-se q u e k1 > 0. S u p o n h a

C = 1/|x|. T em o s q u e kC.xk = C. kxk = 1. D a i e d efi n i¸c˜a o d e k1:

(3) kC.xk ≤ k1

P o r o u tro la d o , p ela p ro p ried a d e (b ) d a d efi n i¸c ˜a o d e n o rm a , tem -se (4) kC.xk = |C|Rkxk

D e (39 e (4) e d efi n i¸c ˜a o d e C , o b t´em -sekC.xk = 1

kxkkxk ≥ k1. P o rta n to ,

(5) kxk ≥ k1|x| , ∀x ∈ Rn