Escola de Ver˜ao de Matem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao
A Matem´ atica dos Labirintos
Jos´e F´elix Costa1
1Departamento de Matem´atica, Instituto Superior T´ecnico, Universidade de Lisboa
14 – 16 de julho
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As Pontes de K¨onigsberg
1. As Pontes de K¨ onigsberg
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As Pontes de K¨onigsberg
Leonhard Euler
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As Pontes de K¨onigsberg
Leonhard Euler
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As Pontes de K¨onigsberg
Leonhard Euler
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As Pontes de K¨onigsberg
Problema das pontes de K¨ onigsberg
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As Pontes de K¨onigsberg
Problema das pontes de K¨ onigsberg
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As Pontes de K¨onigsberg
Problema das pontes de K¨ onigsberg
A
B C
D
Figura: Problema das pontes de K¨onigsberg. O problema concreto (`a esquerda) ´e resolvido depois de interpretado por grafo modelo (`a direita).
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As Pontes de K¨onigsberg
Poema de William Thomas Tutte (1917 – 2002)
Poema de homenagem a Euler
Some citizens of Koenigsberg Were walking on the strand Beside the river Pregel With its seven bridges spanned.
“O, Euler come and walk with us”
Those burghers did beseech
“We’ll walk the seven bridges o’er And pass but once by each.”
“It can’t be done” then Euler cried
“Here comes the Q. E. D.
Your islands are but vertices, And all of odd degree.”
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As Pontes de K¨onigsberg
Poema de William Thomas Tutte (1917 – 2002)
Poema de homenagem a Euler
Some citizens of Koenigsberg Were walking on the strand Beside the river Pregel With its seven bridges spanned.
“O, Euler come and walk with us”
Those burghers did beseech
“We’ll walk the seven bridges o’er And pass but once by each.”
“It can’t be done” then Euler cried
“Here comes the Q. E. D.
Your islands are but vertices, And all of odd degree.”
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As Pontes de K¨onigsberg
Poema de William Thomas Tutte (1917 – 2002)
Poema de homenagem a Euler
Some citizens of Koenigsberg Were walking on the strand Beside the river Pregel With its seven bridges spanned.
“O, Euler come and walk with us”
Those burghers did beseech
“We’ll walk the seven bridges o’er And pass but once by each.”
“It can’t be done” then Euler cried
“Here comes the Q. E. D.
Your islands are but vertices, And all of odd degree.”
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As Pontes de K¨onigsberg
Poema de William Thomas Tutte (1917 – 2002)
Poema de homenagem a Euler
Some citizens of Koenigsberg Were walking on the strand Beside the river Pregel With its seven bridges spanned.
“O, Euler come and walk with us”
Those burghers did beseech
“We’ll walk the seven bridges o’er And pass but once by each.”
“It can’t be done” then Euler cried
“Here comes the Q. E. D.
Your islands are but vertices, And all of odd degree.”
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As Pontes de K¨onigsberg
Os teoremas de Euler
Leonhard Euler, letter of April 1736
“... this type of solution bears little relationship to mathematics, and I do not understand why you expect a mathematician to produce it, rather than anyone else, for the solution is based on reason alone, and its discovery does not depend on any mathematical principle.”
Leonhard Euler, letter of March 1736
“This question is so banal, but seemed to me worthy of attention in that neither geometry, nor algebra, nor even the art of counting was sufficient to solve it.”
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As Pontes de K¨onigsberg
Os teoremas de Euler
Leonhard Euler, letter of April 1736
“... this type of solution bears little relationship to mathematics, and I do not understand why you expect a mathematician to produce it, rather than anyone else, for the solution is based on reason alone, and its discovery does not depend on any mathematical principle.”
Leonhard Euler, letter of March 1736
“This question is so banal, but seemed to me worthy of attention in that neither geometry, nor algebra, nor even the art of counting was sufficient to solve it.”
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As Pontes de K¨onigsberg
Os teoremas de Euler
Leonhard Euler, letter of April 1736
“... this type of solution bears little relationship to mathematics, and I do not understand why you expect a mathematician to produce it, rather than anyone else, for the solution is based on reason alone, and its discovery does not depend on any mathematical principle.”
Leonhard Euler, letter of March 1736
“This question is so banal, but seemed to me worthy of attention in that neither geometry, nor algebra, nor even the art of counting was sufficient to solve it.”
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As Pontes de K¨onigsberg
Os Teoremas de Euler
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)
Um multigrafo G´e euleriano se e s´o seG ´e conexo e todo o v´ertice de G ´e par.
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)
Um multigrafo G´e atravess´avel se e s´o se G´e conexo e tem exatamente dois v´ertices ´ımpares. Nomeadamente, todo o atalho euleriano deG comec¸a num dos v´ertices ´ımpares e termina no outro dos v´ertices ´ımpares.
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)
Um multigrafo G com 2nv´ertices ´ımpares pode ser descrito porn atalhos disjuntos. (Note-se que o n´umero de v´ertices ´ımpares ´e necessariamente par.)
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As Pontes de K¨onigsberg
Os Teoremas de Euler
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)
Um multigrafo G´e euleriano se e s´o seG ´e conexo e todo o v´ertice de G ´e par.
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)
Um multigrafo G´e atravess´avel se e s´o se G´e conexo e tem exatamente dois v´ertices ´ımpares. Nomeadamente, todo o atalho euleriano deG comec¸a num dos v´ertices ´ımpares e termina no outro dos v´ertices ´ımpares.
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)
Um multigrafo G com 2nv´ertices ´ımpares pode ser descrito porn atalhos disjuntos. (Note-se que o n´umero de v´ertices ´ımpares ´e necessariamente par.)
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As Pontes de K¨onigsberg
Os Teoremas de Euler
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)
Um multigrafo G´e euleriano se e s´o seG ´e conexo e todo o v´ertice de G ´e par.
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)
Um multigrafo G´e atravess´avel se e s´o se G´e conexo e tem exatamente dois v´ertices ´ımpares. Nomeadamente, todo o atalho euleriano deG comec¸a num dos v´ertices ´ımpares e termina no outro dos v´ertices ´ımpares.
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)
Um multigrafo G com 2nv´ertices ´ımpares pode ser descrito porn atalhos disjuntos. (Note-se que o n´umero de v´ertices ´ımpares ´e necessariamente par.)
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As Pontes de K¨onigsberg
Os Teoremas de Euler
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)
Um multigrafo G´e euleriano se e s´o seG ´e conexo e todo o v´ertice de G ´e par.
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)
Um multigrafo G´e atravess´avel se e s´o se G´e conexo e tem exatamente dois v´ertices ´ımpares. Nomeadamente, todo o atalho euleriano deG comec¸a num dos v´ertices ´ımpares e termina no outro dos v´ertices ´ımpares.
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)
Um multigrafo G com 2nv´ertices ´ımpares pode ser descrito porn atalhos disjuntos. (Note-se que o n´umero de v´ertices ´ımpares ´e necessariamente par.)
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As Pontes de K¨onigsberg
Os teoremas de Euler
u0
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v1
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u1 un
u`
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=vi
C
C1
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As Pontes de K¨onigsberg
Os teoremas de Euler
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u1 un
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C
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Os teoremas de Euler
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As Pontes de K¨onigsberg
Os teoremas de Euler
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As Pontes de K¨onigsberg
Os teoremas de Euler
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Os teoremas de Euler
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As Pontes de K¨onigsberg
Os teoremas de Euler
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Os teoremas de Euler
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Os teoremas de Euler
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Os teoremas de Euler
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Os teoremas de Euler
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As Pontes de K¨onigsberg
Os teoremas de Euler
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u1 un
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C
C1
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As Pontes de K¨onigsberg
Os teoremas de Euler
u0
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C
C1
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As Pontes de K¨onigsberg
Os teoremas de Euler
u0
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u1 un
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C
C1
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As Pontes de K¨onigsberg
Os teoremas de Euler
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C
C1
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As Pontes de K¨onigsberg
Os teoremas de Euler
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C
C1
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As Pontes de K¨onigsberg
Os teoremas de Euler
u0
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u1 un
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=vi
C
C1
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As Pontes de K¨onigsberg
As pontes do rio Madison
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Plantas e Redes
2. Plantas e Redes
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Plantas e Redes
Plantas, vide [Cha85]
R
D E
A B C
A D
B C
E
R
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Plantas e Redes
Plantas, vide [Cha85]
R
D E
A B C
A D
B C
E
R
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Plantas e Redes
Plantas, vide [Cha85]
R C B A
D
E F
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Plantas e Redes
Plantas, vide [Cha85]
R C B A
D
E F
A
R
C
B E F
D
2 1
1
2 1 2
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Plantas e Redes
Plantas
R1 R2 R3
R4 R5 R6
R7 R8 R9
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Plantas e Redes
Plantas
R1 R2 R3
R4 R5 R6
R7 R8 R9
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Plantas e Redes
Plantas
R1 R2 R3
R4 R5 R6
R7 R8 R9
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Plantas e Redes
Plantas
R1 R2 R3
R4 R5 R6
R7 R8 R9
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Plantas e Redes
Plantas
R1 R2 R3
R4 R5 R6
R7 R8 R9
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Plantas e Redes
Plantas
R1 R2 R3
R4 R5 R6
R7 R8 R9
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Plantas e Redes
Plantas
R1 R2 R3
R4 R5 R6
R7 R8 R9
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Plantas e Redes
Plantas
R1 R2 R3
R4 R5 R6
R7 R8 R9
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Plantas e Redes
Plantas
R1 R2 R3
R4 R5 R6
R7 R8 R9
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Plantas e Redes
Plantas
R1 R2 R3
R4 R5 R6
R7 R8 R9
44/ 113
Plantas e Redes
Plantas
R1 R2 R3
R4 R5 R6
R7 R8 R9
45/ 113
Plantas e Redes
Plantas
R1 R2 R3
R4 R5 R6
R7 R8 R9
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Plantas e Redes
Plantas
R1 R2 R3
R4 R5 R6
R7 R8 R9
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Plantas e Redes
“Doodleling”
Casa do Pai Natal
Quais das seguintes figuras podem ser desenhadas sem levantar a caneta do papel, iniciando o desenho num dos v´ertices e sem repetir arestas?
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Plantas e Redes
“Doodleling”
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
“Doodling a lot”: Pit´ agoras, Maom´ e e Tutte (vide [BC87])
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Plantas e Redes
Quantas vezes ´e necess´ario levantar a caneta do papel? (Vide[BC87])
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Labirintos
2. Labirintos
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Labirintos
Catedral de Notre Dame d’Amiens
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Labirintos
Catedral de Notre Dame d’Amiens
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Labirintos
Catedral de Notre Dame de Chartres
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Labirintos
Labirinto de Hever Castle
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Labirintos
Labirinto de New Hampton
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Labirintos
Labirinto de Wiltshire (Somerset)
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Labirintos
Labirinto de Reignac sur Indre (Franc¸a)
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Labirintos
Labirinto de New Hampton
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Labirintos
Labirinto de New Hampton (vide [BLW06])
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O Labirinto de D´edalo
4. O Labirinto de D´ edalo
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O Labirinto de D´edalo
O labirinto de D´ edalo
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O Labirinto de D´edalo
O Labirinto de D´ edalo
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O Labirinto de D´edalo
O labirinto de D´ edalo
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O Labirinto de D´edalo
Labirinto de Creta
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O Labirinto de D´edalo
O labirinto de D´ edalo
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O Labirinto de D´edalo
O labirinto de D´ edalo
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O Labirinto de D´edalo
O labirinto de D´ edalo
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O Labirinto de D´edalo
O labirinto de D´ edalo
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O Labirinto de D´edalo
O labirinto de D´ edalo
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O Labirinto de D´edalo
O labirinto de D´ edalo na Eneida de Virg´ılio
Eneida, Livro V, trad. Jo˜ao Franco Barreto
Como j´a na alta Creta o monstruoso Labirinto se diz teve tecido
Um caminho t˜ao cego, e portentoso, Com outros mil caminhos dividido;
Que era assaz intrincado e duvidoso Error, e t˜ao confuso e incompreendido, Que aos que entravam nele era imposs´ıvel Sair daquela confus˜ao terr´ıvel:
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O Labirinto de D´edalo
Labirinto da Quinta da Regaleira em Sintra
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O Labirinto de D´edalo
O labirinto de D´ edalo nas Metamorfoses de Ov´ıdio
Metamorfoses, Livro VIII, trad. Paulo Farmhouse Alberto
Celeb´errimo pelo seu talento na arte da arquitetura, D´edalo encarrega-se da obra, baralha os sinais e faz o olhar enganar-se em retorcidas curvas e contracurvas de corredores sem conta.
Tal como na Fr´ıgia o Meandro nas l´ımpidas ´aguas se diverte fluindo e refluindo num deslizar que confunde, e, correndo ao encontro de si pr´oprio, contempla a ´agua que h´a-de vir,
e, voltando-se ora para nascente, ora para o mar aberto, empurra a sua corrente sem rumo certo, assim enche D´edalo
os inumer´aveis corredores de equ´ıvocos. A custo ele pr´oprio logrou voltar `a entrada: de tal modo enganador era o edif´ıcio.
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O Labirinto de D´edalo
Labirinto de Avaris
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O Labirinto de D´edalo
Labirinto romano
89/ 113
O Labirinto de D´edalo
Labirinto romano
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O Labirinto de D´edalo
Labirinto moderno (vide [BC87])
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O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em profundidade
Pesquisa em profundidade
SejaG um grafo conexo ev0 um v´ertice de G. A ´arvore de cobertura deG obtida por pesquisa em profundidade constr´oi-se da seguinte maneira:
1 Toma-seu=v0 como v´ertice corrente da pesquisa en= 0. T0 ´e a
´
arvore que cont´em somente o v´ertice v0.
2 Escolhe-se, caso exista, um v´ertice vn+1 ainda n˜ao inclu´ıdo emTn adjacente a u; toma-se paraTn+1 a ´arvore que expandeTn com a nova arestavnvn+1; toma-se u:=vn+1 en:=n+ 1.
3 Repete-se o passo 2 at´e que o v´ertice correnteu n˜ao seja adjacente a nenhum v´ertice de G ainda n˜ao visitado. Se a ´arvore obtidaTn cobre todo o grafo, ent˜ao a pesquisa termina; se n˜ao, retrocede-se para o v´ertice corrente anterior, i.e. toma-seu=vn−1 e n:=n+ 1;
repete-se o passo 2.
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O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em profundidade
v0
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O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em profundidade
v0 v1 e0
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O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em profundidade
v0 v1 v2 v3
e0
e2
e1
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O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em profundidade
v7
v6 v5 v0 v1
v4 v2 v3
e0
e2
e1 e3
e4
e5
e6
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O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em profundidade
v9
v7 v8
v6 v5 v0 v1
v4 v2 v3
e0
e2
e1 e3
e4
e5
e6 e7
e8
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O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em profundidade
v9 v10 v11
v7 v8 v12
v6 v5 v0 v1
v4 v2 v3
e0
e2
e1 e3
e4
e5
e6 e7
e8 e9
e10
e11
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O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em profundidade
v9 v10 v11
v7 v8 v13 v12
v6 v5 v0 v1
v4 v2 v3
e0
e2
e1 e3
e4
e5
e6 e7
e8 e9
e10
e11 e12
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O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em largura
Pesquisa em largura
SejaG um grafo conexo ev0 um v´ertice de G. A ´arvore de cobertura deG obtida por pesquisa em largura constr´oi-se da seguinte maneira:
1 Toma-seu=v0 como v´ertice corrente da pesquisa,n= 0 e m= 1.
T0 ´e a ´arvore que cont´em somente o v´ertice v0.
2 Escolhe-se, caso exista, um v´ertice vn+1 ainda n˜ao inclu´ıdo emTn adjacente a u; toma-se paraTn+1 a ´arvore que expandeTn com a nova arestavnvn+1; toma-se n:=n+ 1.
3 Repete-se o passo 2 at´e que n˜ao existam mais v´ertices n˜ao visitados adjacentes a u. Se a ´arvore obtidaTn cobre j´a todo o grafo, ent˜ao a pesquisa termina; se n˜ao, toma-se o primeiro dos v´erticesvm que ainda n˜ao foi v´ertice corrente e toma-sem:=m+ 1; repete-se o passo 2.
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O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em largura
v0
101/ 113
O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em largura
v5
v4 v0 v1
v3 v2
e0
e3
e2
e4
e1
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O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em largura
v5
v4 v0 v1
v6 v3 v2
e0
e3
e2
e4
e1 e5
103/ 113
O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em largura
v8 v5
v7 v4 v0 v1
v6 v3 v2
e0
e3
e2
e4
e1 e5
e6
e7
104/ 113
O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em largura
v9 v8 v5
v7 v4 v0 v1
v6 v3 v2
e0
e3
e2
e4
e1 e5
e6
e7
e8
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O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em largura
v9 v10 v8 v5
v7 v4 v0 v1
v6 v3 v2
e0
e3
e2
e4
e1 e5
e6
e9 e7
e8
106/ 113
O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em largura
v11 v12 v9 v10 v8 v5
v7 v4 v0 v1
v6 v3 v2
e0
e3
e2
e4
e1 e5
e6
e9 e7
e10 e11 e8
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O Labirinto de D´edalo
Pesquisa em largura
v11 v12 v9
v10 v8 v5 v13
v7 v4 v0 v1
v6 v3 v2
e0
e3
e2
e4
e1 e5
e6
e9 e7
e10 e11 e8 e12
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O Labirinto de D´edalo
Labirinto de Gopal
A C B
D E F G
H
J K
L M N P
Q
R S
T U
109/ 113
O Labirinto de D´edalo
Labirinto de Gopal
A C B
D
E F
G
H J
K
L
M
N
P
R S Q
T U
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O Labirinto de D´edalo
Algoritmo dos labirintos
Algoritmo dos labirintos
1 Sempre que chegar a um v´ertice n˜ao visitado, siga pela aresta ainda n˜ao percorrida nele incidente que lhe aprouver;
2 Sempre que, por aresta ainda n˜ao percorrida, chegar a v´ertice j´a visitado ou a v´ertice de grau1 (beco sem sa´ıda), recue pela mesma aresta at´e ao v´ertice precedente;
3 Sempre que por aresta j´a percorrida chegar a v´ertice j´a visitado, siga por nova aresta, se esta existir;
4 Uma aresta j´a percorrida duas vezes n˜ao pode mais ser mais usada.
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O Labirinto de D´edalo
O tema do labirinto na poesia (vide compilac¸˜ao em [Fer08])
Miguel Torga, Di´ario VII
Perdi-me nos teus brac¸os, alamedas Onde o tempo caminha e descaminha.
Pus a forc¸a que tinha Na instintiva defesa
De encontrar a sa´ıda, a liberdade.
Mas agora Teseu era um poeta, E Ariane a poesia, o labirinto.
Desajudado,
S´o me resta cantar, deixar marcado O pˆanico que sinto.
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O Labirinto de D´edalo
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