Medida do Momento de Inercia de um Disco
Measureofthemomentofinertiaofadisk
Carlos A.F. Pint~ao,Moacir P. de Souza Filho,Carlos R. Grandini
fonzar@fc.unesp.br
Departamentode Fsica,Unesp,Bauru
C.P.473,17033-360,Bauru,SP,Brasil
Roberto Hessel
Departamento deFsica,Unesp,Rio Claro
C.P.178,13500-970, RioClaro, SP,Brasil
Recebidoem16dejunho,2000. Aceitoem15desetembro,2000
Nestetrabalho,descreve-seumamontagemquepermitemedir,apartirdeumacorrenteeletrica,a
velocidadeangularalcancadaporumdisco,girandoemtornodeumeixo,quandosubmetidoaum
torquecomdurac~aode nida. Apartirdessas informac~oes, mostra-secomoe possvel determinar
omomentodeinerciadodisco,seguindoumprocedimentodiferentedaquelesmaisusuais,queem
geralenvolvemmedidadetempo. S~aotambemapresentadosalgunsresultadosexperimentaispara
ilustraratecnica. Asexperi^enciasrealizadasmostramquetantoomomentodeinerciadeumdisco
comoodeumanel,queforamtomadoscomoexemplo,podemserdeterminadoscomumerromenor
que5%.
Inthiswork,itisdescribedanassemblywhichallowsthemeasurementoftheangularspeedreached
byadisk,thatrotatesaround anaxis,submittedtoatorquewithde neddurtion. Startingfrom
thoseinformation,anelectriccurrentandusingadi erentprocedure,itisshownhowitispossible
toobtainthemomentofinertiaofthedisk. Inordertoilustratethethechnique,someexperimental
resultsarepresented. Theaccomplishedexperiencesshowthatthemomentofinertiaofadisk,as
wellasofring,aredeterminedwithinanerrorsmallerthan5%.
I Introduc~ao
Em um dos metodos tradicionais para se determinar
omomentodeinerciadeumdisco,montadocom
rola-mentoemumeixo,utiliza-seumcorposuspensoporum
oenrolado emtorno deum discomenor, conc^entrico
e preso ao primeiro, cuja nalidade e fazer girar o
disco enquanto cai. O experimento consiste em
me-dir o tempo necessario para o corpo cair de uma
al-turaconhecida ateatingir o solo. A partirdesses
da-dos, da massa do disco, de par^ametrosgeometricose
considerando o princpio da conservac~ao de energia,
determina-se o momento de inercia do disco [1, 2].
Nosusamosumamontagemsemelhante,masadotamos
umprocedimentodiferenteparadeterminaromomento
de inercia do disco. Utilizando um metodo
original-mentepropostoparamedircapacit^ancia[3,4],
determi-namosdiretamente,apartirdeumaleituradecorrente
eletrica,avelocidadeangularalcancadapelodisco
de-cida. Comisso,eliminamosanecessidadedesemediro
tempo. Conhecendo-seavelocidadeangular,obtem-se
aacelerac~aoangular. Oexperimentoeent~aorepetido,
variando-se a massa do corpo suspenso. O momento
de inercia, por suavez, edeterminadoa partirda
in-clinac~aodaretaobtidaquandoselevantaogra codo
torque(queeconhecido)contraaacelerac~aoangular. A
vantagemdometodoequen~aoprecisamosnos
preocu-parcomoatrito,umavezqueainclinac~aodaretan~ao
depende, comoveremos,dotorque associado asforcas
deatrito.
II Medida da velocidade
angu-lar
A medida da velocidade angular pode ser feita,
indi-retamente,recorrendo aum metodode medida de
Fle-Fig. 1 o capacitor e carregado quando a chave S faz
contatocomp edescarregadoatravesde ummedidor
MdecorrenteD.C.,quandofazcontatocomq.
Figura1. Circuitoparamedidadefrequ^encia.
Pode-semostrar[5]que,seestasoperac~oesdecarga
e descarga forem realizadas a uma frequ^encia
su ci-entemente alta, a capacit^ancia C sera dada porC =
i=(f:V), onde i e a corrente lida no medidor M, f e
frequ^enciade comutac~ao eV atens~ao aplicadano
ca-pacitor. Se, poroutro lado,afrequ^encia eagrandeza
desconhecida, podemos, usando a mesma montagem,
determina-laapartirdarelac~ao
f = i
CV
(1)
O elemento primordial nesta montagem e a chave
S, ou seja,o dispositivoque faz periodicamente a
co-mutac~ao entre a carga e adescarga do capacitor. Se
montarmosachaveS nopropriodiscogirante,
podere-mosrelacionarafrequ^enciadadapor (1)coma
veloci-dadeangular! dodisco. Tendoissoemmente,
dividi-mosodiscoem24setoresiguais,sendo12espelhadose
12opacosdispostosalternadamente.Emseguida,
mon-tamosumsensoropto-eletr^onico(emissorereceptorde
radiac~aoinfravermelha),faceandoasuperfciedodisco
(Fig. 3.), capaz de reconhecer atravesda re ex~ao do
feixe infravermelho a natureza da superfcie que esta
passando diante dele. Usando um CI4093, conforme
ilustradona Fig. 2, associamos onvellogico 0as
su-perfciesopacase onvel1as espelhadas. Estesnveis
(pulsosquadrados)ir~aocomandarumachaveanalogica
CMOScomutadora(CI4066),quefaraopapeldachave
S na Fig. 1,dando incio aoprocesso decarga e
des-cargadocapacitor.
Figura 2. Esquema para montagem do sensor
opto-eletr^onico.
Afrequ^enciaderotac~aododisco,nestecaso,e1/12
dafrequ^enciadecomutac~aof logo,avelocidade
angu-lar ! do disco pode ser escrita como ! = 2f=12 =
f=6,quecombinadacomaEq. 1,resulta
!=
6CV
i (2)
Vemos, portanto, que a velocidade angular do disco
pode ser obtida diretamente a partir de uma leitura
decorrenteeletricanomedidor M.
III Medida do momento de
inercia de um disco
Paramediromomentodeinerciadeumdisco,usamos
amontagemesquematizadanaFig 3. Odiscotemum
rolamento xonocentro,demodoquepodegirarsobre
oeixo quase sem interfer^encia do atrito. Conc^entrico
aessediscoe presoa ele,existe tambem umoutro de
menor di^ametro, em torno do qual enrola-se um o.
Naextremidadelivredesse oprende-seumamassam,
que permanecera, inicialmente, auma altura h acima
dosolo.
O torqueresultante responsavelpelo movimento
derotac~aododiscoedadopor
= T at =I ; (3) onde T e at
s~ao, respectivamente, ostorques
associ-adosatrac~aoT aplicadapelo oeasforcas deatrito,
I e omomento de inercia dodisco e suaacelerac~ao
angular.
A acelerac~ao pode ser determinada a partir da
Equac~ao de Torricelli para o movimento MCUV. De
fato, a altura de queda h e dada por h = r::
Combinando este resultado com a Eq. de Torricelli,
! 2 =2 ,obtemos: = r ! 2 (4)
Figura3. Esquemadamontagemexperimentalutilizada.
Trazendoovalorde! dadopelaEq.2paraesta
ex-press~ao,resulta nalmente
=ki 2 ; (5) onde k = r 2 =72h(CV) 2
e uma constante conhecida,
uma vez que r, h, C eV s~ao par^ametrospreviamente
conhecidos.
A forca resultante sobre o corpode massa m,
en-quanto esta caindo, e mg T = ma = m r, de
modo que T = m(g r). Como
T
= T:r, resulta
T
=m(g r)r, que,usando aEq. 5,podetambem
serexpressoemtermosdecorrentecomo
T =mgr m(kr 2 ):i 2 : (6)
Assim, conhecendo asconstantes que comparecem
nasexpress~oes5e6,podemosdeterminartanto a
ace-lerac~aoangularcomootorque,apartirdeumaleitura
decorrente.
Variando a massa do corpo suspenso e mantendo
constantes os demais par^ametros, podemos obter um
conjunto devaloresde
T
e ecomeles construirum
gra co de
T
versus . Pela Eq. 3, a relac~ao entre
essas grandezas deve ser lineare a inclinac~ao da reta
deveforneceromomentodeinerciaI procurado. A
in-tersec~ao da reta com o eixo vertical, por outro lado,
forneceotorqueassociadoasforcasdeatrito.
Como vemos,avantagemdeste procedimentopara
determinar I e que, em princpio, podemos ignorar o
atrito, pois a inclinac~ao da reta n~ao depende dele, se
IV Resultados experimentais
Experi^encia 1: Acelerac~aoangularconstante.
Oobjetivodestaexperi^enciaeveri car,
preliminar-mente, que odisco gira com acelerac~ao angular
cons-tanteenquantoocorposuspensoestacaindo.
E
interes-sante comecar comesta experi^encia, porque, nasec~ao
precedente,admitimosistocomo hipoteseao
desenvol-verateoriaapresentada.
Isso pode ser comprovado experimentalmente,
ve-ri cando por exemplo se o movimento de rotac~ao do
discoobedeceaequac~aodeTorricelli. Paraisto,basta
levantarogra code! contra p
h,ouicontra p
h,uma
vezque,pelaEq.2,!eproporcionalai. Ogra codei
contra p
hnaFig. 4mostraumresultadotpico,obtido
quandoum corposuspenso de 200geabandonadode
diferentes alturas.
Figura4. Correnteeletricaemfunc~aodaraizquadradada
alturadequedaparaumtorqueconstante.
Elenosmostraque,defato,ieproporcionala p
h(ou
que ! e proporcional a p
h) como se esperava o fato
da reta,tracada pelo metododos mnimos quadrados,
n~ao passarexatamente pela origempode seratribudo
aumapequenaincertezaassociadaaozerodacorrente.
Experi^encia 2: Momento deinerciadeumdisco.
Nesta experi^encia, usamos um disco macico de
massa M = (2;3930;001)kg, raio R = (10;00
0;05)cmeodiscomenorcomraior=(4;000;01)cm.
O corpo suspenso caiu de uma altura h = (1;100
0;001)F eummicroampermetrocomfundodeescala
de50A eresist^enciainternade1k:
Oexperimentoconsisteemdeixarocorposuspenso
cair e ler a corrente no microampermetro
imediata-mente aposocorpoter atingidoosolo. A partirdessa
leitura, calcula-separa cada massa suspensa o torque
aplicadopelo oeacorrespondenteacelerac~aoangular,
usando-serespectivamenteasEqs. 5e6.
Ogra codotorqueemfunc~aodaacelerac~aoangular
naFig. 5,tracadocomoauxliodometododosmnimos
quadrados,ilustraumresultadotpico. Essesdados
fo-ramobtidosusandocorpossuspensos,cujasmassasiam
desde30ate400gramas.
Figura 5. Torque aplicado aum disco em func~aoda
ace-lerac~aoangular.
Omomentodeinerciadoconjunto(discogrande+
discopequeno), determinadoapartirda inclinac~aoda
reta,eiguala(1;240;02):10 2
kg.m 2
. Poroutrolado,
o valor previsto teoricamente para esse conjunto, que
pode sercalculado [6]pela express~ao I = (1=2)M:R 2 , vale (1;230;02):10 2 kg.m 2 . Levando em conta o
erro namedida, estevalor eaquele obtido
experimen-talmente podem serconsideradospraticamente
coinci-dentes; odesvioentreos doisvaloresecercade0,8%.
Experi^encia3: Momentodeinerciadeumanel.
Comamesmamontagem,medimos tambemo
mo-mento deinerciadeumaneldemassaM
a =(1;518 0;001)kg,raioexternoR e =(11;500;05)cm eraio internoR i
praticamenteigualaododiscousadona
Ex-peri^encia 1,no qual foi encaixadoe xado. O
experi-mentoconsisteemdeterminaromomentodeinerciado
conjuntodisco+anelapartirdainclinac~aodaretaem
umgra codotorqueemfunc~aodaacelerac~aoangular.
O momento de inercia do anel e ent~ao determinado,
subtraindo desse valor omomento de inerciado disco
noqualestaencaixado.
ProcedendodamesmaformaquenaExperi^encia1,
obtivemosogra codotorqueemfunc~aodaacelerac~ao
O momento de inercia do conjunto, obtido
calcu-lando a inclinac~ao da reta, vale (3;01 0;03):10 2
kg.m 2
. Subtraindo desse valor o momento de inercia
dodisco,obtemosparaomomentodeinerciadoanelo
valor(1;77 0;04):10 2
kg.m 2
. Essevalorpraticamente
coincidecomoteorico,(1;760;02):10 2
kg.m 2
,
cal-culadousandoaexpress~aoI
anel =(1=2)M a :(R 2 e +R 2 i ).
Adiferencaentreosdoisvaloresecerca de0,6%.
Figura 6. Torque aplicado ao conjunto disco + anel em
func~aodaacelerac~aoangular.
V Conclus~oes
Comamontagemdescritafoipossveldeterminaro
mo-mento de inercia de umdisco oude um anel comum
erromenorque1%. Oprocedimentoadotadodispensa
amedidadetempoepermiteignorarasforcasdeatrito,
aocontrario doque acontececom algunsdosmetodos
tradicionais. Nessesentido,ometodoqueestamos
pro-pondoconstituiumaalternativaparaaquelesmais
usu-aisdescritosnaliteratura.
Paracarregare descarregarocapacitor naFig. 1,
optamosporumachaveanalogicaCMOSemassociac~ao
com um sensor opto-eletr^onico, porque julgamos
de-sejavel que o aluno aprenda a conviver com tais
dis-positivos ou com dispositivos eletr^onicos em geral o
mais cedo possvel, dada a sua import^ancia na vida
moderna. Isto pode atemesmo servirde estmulo ou
motivac~aoparaoalunoqueacabadeingressaremum
cursouniversitario. Noentanto, poder-se-iausar,para
omesmo m,umdispositivomec^anicocomoumachave
del^aminasdepolo duplo(VejaRef. 5.).
Finalmente, a nossa montagem presta-se tambem
comouma ferramenta auxiliarao seintroduzir
concei-tos como torque, momento de inercia ou mesmo
mo-mentoangular. AExperi^encia1,porexemplo,vainessa
direc~ao, pois mostra que torque resultante constante
produz acelerac~ao angular constante. Em sequ^encia,
primeira-proporcionala1=I. Dessas duasrelac~oes concluir-se-a
que =I: , quee aformaapropriadade expressara
2a. Lei de Newton quando seestuda o movimento de
rotac~ao[7].
Agradecimentos
Osautoresagradecem aoProf. Dr. JoseArmando
Xavierpelas discuss~oese gurasdotexto.
References
[1] GOLDEMBERG, J. Fsica Geral e Experimental. 2a.
ed., S~ao Paulo: Companhia editora Nacional, 1970, p.
481-483,v.1
[2] TYLER, F. A Laboratory Manual of Physics. 4a. ed.,
London: EdwardArnold,1974,p.22-24.
[3] FLEMING,J.A.eCLINTON,W.C.\Onthe
Measure-mentofSmallCapacitiesandInductances".Phil.Mag.
S.6,v.5,n.29,p.493-511,1903.
[4] BENNET, G.A.G. Electricity andModernPhysics. 2a.
ed.,London: EdwardArnold,1974,p.167-168.
[5] HESSEL,R.eBUCALONA.J.\Medidadecapacit^ancia
por meio decargas e descargas periodicas". Rev.Ens.
Fs.v.8,n.1,p.9-23,1986.
[6] HALLIDAY,D.,RESNICK,R.eWALKER,J.
Funda-mentos de Fsica: Mec^anica. 4a. ed., Rio de Janeiro:
LivrosTecnicoseCient cos,1998,p.249.
[7] HESSEL, R. \Descric~ao e Uso deum aparelho parao
estudo da Din^amica da Rotac~ao". Rev.Ens. Fs. v.5,
