APOSTILA 2013 - Parte 3

(1)

SUMÁRIO

Matemática

Aula 20: Funções III - Exponencial 2

Aula 21: Funções IV - Logarítmicas 3

Aula 22: Sistemas Lineares 4

Aula 23: Matrizes 6

Física

Aula 1: Cinemática I 8 Aula 2: Cinemática II 9 Aula 3: Estática I 10 Aula 4: Estática II 11 Aula 5: Dinâmica 12

Química

Aula 9: Reações Químicas 15

Aula 10: Estequiometria 17

Aula 11: Tipos de concentrações I 19

(2)

MATEMÁTICA

AULA 20: Função Exponencial

Chama-se uma função exponencial qualquer função f, de R em R, dada por uma lei da forma f(x) =

a

x, em que

a

é um número real dado, a > 0 e a ≠ 1. Decorre da definição que f(x) > 0, para qualquer x.

Gráfico da função exponencial

A regra geral para construir gráficos é a seguinte: 1) atribuir valores a X; 2) obter os Y`s correspondentes e 3) desenhar a curva.

Para a função exponencial existem algumas

particularidades. Vamos analisar o gráfico da função exponencial f(x) = mx + n, onde m e n são constantes.

Se x = 0 → f(0) = n → o gráfico corta o eixo vertical em n. Se 0 < m < 1 → o gráfico de f(x) é decrescente

Se m > 1 → o gráfico de f(x) é crescente f(x) > n, para qualquer valor de x.

Exemplo 1) Construir o gráfico da função F(x) = 2x + 1

X -2 -1 0 1 2

F(X) 1,25 1,5 2 3 5

Observe que F(x) > 1

Exemplo 2) Construir o gráfico da função G(x) = – 3.

X -2 -1 0 1 2

G(X) 1,25 1,5 2 3 5

Observe que G(x) > -3

Exercícios

1. Construa os gráficos das seguintes funções exponenciais:

f(x) = 4x f(x) = (1/3)x

f(x) = 0,24.2x f(x) = 3.x-x + 1

f(x) = 2x – 2 f(x) = 3x + 3

f(x) = (1/2)x + 1 f(x) = -4 . (1/2)x + 2 2. Na figura abaixo está representado o gráfico de

f(x) = a.2x, sendo a uma constante real. Determine o

valor de f(3).

3. O gráfico a seguir representa a função f, cuja lei é dada por f(x) = a + b . 2x, sendo a e b constantes positivas.

(a) Determine a e b.

(b) Qual é o conjunto imagem de f? (c) Calcule f(-2).

4. A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a . bx, conforme o gráfico abaixo:

Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano (x = 4)de declínio.

Inequações Exponenciais

Uma inequação exponencial é aquela que apresenta a incógnita no expoente de pelo menos uma potência. São exponenciais por exemplo:

(3)

Um método usado para resolver inequações exponenciais consiste em reduzir ambos os membros da inequação a potências das mesma base

a

(0 <

a

≠ 1), e daí aplicar a propriedade:

( ) ( )

Exemplo 1) Resolver as seguintes inequações em R:

(a) 2x > 64 → 2x > 26 → x > 6 (pois a base 2 é maior que 1) (b) ( ) ( ) ( ) (pois < 1) (c) ( ) < Como base = 2 > 1

{ }

Exercícios

5. Resolver as seguintes inequações em R: (a) 3x < 81 (b) 5x > 125

(c) ( ) (d) ( )

(e) (f) 52x+2 – 5x+3 ≤ 5x – 5

(g) 4x > 32 (h) ( )

Aula 21: Função Logarítmica

Definição de logaritmo: Sendo

a

e

b

números reais, com

a

≠ 1, chama-se logaritmo de

b

na base

a

o expoente

x

ao qual se deve elevar a base

a

de modo que a potência

a

x

seja igual a

b.

Na expressão log ab = x, temos:

a

é a base do logaritmo;

b

é o lagaritmando;

x

é o logaritmo. Exemplos:  log28 = 3, pois 23 = 8  log39 = 2, pois 32 = 9  log55 = 1, pois 51 = 5  log41 = 0, pois 40 = 1  log0,50,25 = 2, pois (0,5)2 = 0,25

Observações: As restrições para a (0 < a ≠ 1) e para b (b > 0), colocadas na definição, garantem a existência e a unicidade de logab.

Exercícios

1. Utilize a definição e calcule (se der, coloque na mesma base):

(a) log24 = (b) log216 =

(c) log5125 = (d) log381 =

(e) log 1000 = (f) log864 =

(g) log3√ = (h) log816 =

(i) log36√ = (j) log0,2√ = Propriedades

 loga1 = 0

 log_aa = 1

 = b



Exemplo 1) Calcular o valor de .

Resposta: ( ) ( )

Exemplo 2) Calcular o valor de x tal que:

( ) ( )

Resposta: Das condições de existência e unicidade devemos achar um x que satisfaça as duas equações simultaneamente:

(2x+1)>0 → 2x > -1 → x > -1/2 (I) (x+3) >0 → x > -3 (II)

Devemos ter que 2x + 1 = x + 3 → 2x – x = 3 – 1 → x = 2. Como o x encontrado satisfaz (I) e (II), a resposta é x = 2.

Gráfico da função logarítmica

Vamos construir o gráfico da função y = log2x:

X 1/4 1/2 1 2 4 8

Y = log2x -2 -1 0 1 2 3

Particularidades do gráfico:

 A função logarítmica sempre corta o eixo horizontal em x = 1

 O gráfico não corta o eixo y (por causa da definição x > 0)

(4)

2. Construir o gráfico das seguintes funções logarítmicas: (a) y = log2(x+1) (b) y = log2(2x – 1)

(c) y = log3(2x) (d) y = log3(3x)

3. Determine se existirem, os valores de x que satisfazem as condições de existência e unicidade dos logaritmos. (a) log(1-x)(2x + 1) =

(b) log(2-x)(x – 2) =

(c) log(2x–3)(x2) =

Aula 22 - Sistemas Lineares

Um conjunto de m equações nas variáveis X1, X2, ... Xn é

dito sistema linear de m equações e n incógnitas (ou variáveis). Em todo sistema de equações existe uma matriz associada. Veja os sistemas a seguir:

x + y = 5 x - y = 3

A matriz associada a esse sistema é: (

)

A coluna 1 da matriz associada são os valores de x. A coluna 2 são os valores de y e a coluna 3 são os termos independentes

x + y + z = 10

x – y + z = 4 x – y – z = 0

A matriz associada a esse sistema é:

(

)

A coluna 1 da matriz associada são os valores de x. A coluna 2 são os valores de y. A coluna 3 são os valores de z e a coluna 4 são os termos independentes.

x + y + z = 1 x – y – z = 2

A matriz associada a esse sistema é: (

)

A coluna 1 da matriz associada são os valores de x. A coluna 2 são os valores de y. A coluna 3 são os valores de z e a coluna 4 são os termos independentes.

Resolução de sistemas lineares

Resolver um sistema significa achar valores para as incógnitas que satisfazem simultaneamente todas as equações do sistema. No primeiro caso, observe que x = 4 e y = 1 satisfaz as duas equações simultaneamente. No segundo caso, x = 5, y = 3 e z = 2 satisfaz as três equações simultaneamente!

No terceiro caso podemos ter infinitas soluções! Observe que

X = 3, y = 0 e z = -1 é solução! X = 3, y = 2, z = -3 é solução! X = 3, y = -1, z = 0 é solução!

 Se o número de equações do sistema for menor que o número de variáveis, o sistema irá ter infinitas soluções! O caso 3 acima é exemplo disso. Nessas condições o sistema é dito possível e indeterminado.

 Se o número de equações do sistema for maior que o número de variáveis, o sistema não terá solução! Nessas condições o sistema é dito impossível.

 Se o número de equações for igual ao número de variáveis, o sistema terá uma única solução! Os casos 1 e 2 são exemplos desse tipo). Nessas condições o sistema é dito possível e determinado.

Escalonamento de sistemas

Escalonar um sistema é obter uma matriz equivalente que possua uma “escada” de zeros. Por exemplo:

( ) ( )

Matriz original Matriz escalonada equivalente

Como escalonar?

 Uma matriz não se altera quando uma linha é multiplicada por uma constante

 Linhas podem ser somadas ou subtraídas umas das outras sem alterar o resultado

Observe como foi feito o escalonamento da matriz anterior: ( ) ( ) ( )

Para um sistema com duas variáveis e duas incógnitas a coluna 1 serão os valores de x, a coluna 2 serão os valores de y e a coluna 3 serão os termos independentes. A matriz escalonada:

(

) representa o seguinte sistema:

x + 2y + 3z = 1 y + z = 1 2z = 2

para resolver o sistema, começamos da linha 3: 2z = 2 → z = 1 (substituir nas eqs das linhas 1 e 2) y + z = 1 → y + 1 = 1 → y = 0 (substituir na linha 1) x+2y+3z=1→x+2.0+3.1=1→x=-2

Solução: (x, y, z) = (-2, 0, 1) É um sistema linear com 2 equações e 2

variáveis (x e y)

É um sistema linear com 3 equações e 3 variáveis (x, y e z)

É um sistema linear com 2 equações e 4 variáveis (x, y, z e w)

L1 – L2 →

(5)

Três etapas para resolver um sistema: 1. Obter a matriz associada ao sistema 2. Escalonar a matriz obtida

3. Substituir os valores das incógnitas a partir da última linha e ir subindo

Exercício

1. Obtenha a matriz associada aos seguintes sistemas: 2x + 2y = 1 3x – y = 2 x + 2y + z = 3 3x – y +2z = 2 2y + z = 1 x + 2y + z = 3 3x – y = 2 2y + z = 1

2. Escalone as matrizes obtidas acima. 3. Resolva os sistemas.

Exemplo:

João tem barracas de frutas na feira (bananas, laranjas e mangas). Depois de um dia de trabalho ele resolve fazer o balanço do que ganhou e vê que recebeu:

da banca 1: 10 bananas, 15 laranjas e 3 mangas, totalizando R$ 42,50.

A pergunta que fica é: qual era o preço de cada fruta? Para responder essa pergunta vamos usar a seguinte notação para facilitar: bananas → b; laranjas → L, mangas → m. Vamos equacionar (transformar do português para o “matematiquês”) as vendas de cada banca:

banca 1: 10b + 15L + 3m = R$ 42,50. banca 2: 5b + 10L + 5m = R$ 32,50. banca 3: 4b + 30L + 7m = R$ 55,50.

Considerando simultaneamente as três equações, obtemos o seguinte sistema:

10b + 15L + 3m = R$ 42,50. 5b + 10L + 5m = R$ 32,50. 4b + 30L + 7m = R$ 55,50.

4. Resolva o sistema do exercício anterior e diga qual o preço de cada fruta.

5. Um feirante estava vendendo embalagens com 10 pêras, 5 maçãs e 10 laranjas por R$ 4,05. O seu concorrente da barraca ao lado vendia um pacote contendo 12 pêras, 3 maçãs e uma dúzia de laranjas por R$ 4,41 e em uma outra barraca vendia 4 pêras, 7

maçãs e 15 laranjas por R$ 3,25. Sabendo-se que o preço de cada espécie de fruta era o mesmo nas três barracas,

(a) qual o preço de cada fruta?

(b) Quanto vou pagar por 8 pêras, 2 maçãs e 10 laranjas em qualquer uma dessa barracas?

6. A distância entre dois automóveis é 80 km. Se eles são dirigidos na mesma direção e no sentido um do outro eles se encontrarão em 48 minutos mas, se eles estiverem indo na mesma direção e no mesmo sentido eles se encontrarão em 4 horas.

(a) Transforme o enunciado em um sistema.

(b) Resolva e encontre a velocidade de cada automóvel.

7. Uma copeira lavou os 800 copos usados em uma festa. Ela recebeu R$ 0,05 por copo que lavou e teve de pagar R$ 0,25 por copo que quebrou. Terminado o serviço, a copeira recebeu R$ 35,80. Determine o número de copos que ela quebrou.

8. Um litro de creme contém suco de fruta, leite e mel. A quantidade de leite é o dobro da quantidade de suco de fruta, e a quantidade de mel é a nona parte da quantidade dos outros dois líquidos juntos. Determine a quantidade de suco de fruta que contém esse litro de creme.

9. Três pessoas jogam juntas. Na primeira rodada a primeira perde para cada um dos outros dois a mesma quantia que cada um deles tinha no inicio do jogo. Na segunda rodada, a segunda pessoa perde para cada um dos outros a mesma quantia que eles tinham no inicio desta rodada. Na terceira rodada, a primeira e a segunda ganham do terceiro jogador, cada um, a mesma quantia que cada um deles tinham no início da segunda rodada. Encerrando o jogo elas verificam que estão com quantias iguais a R$ 24,00. Quanto cada um tinha no inicio do jogo?

10. Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com o seu clube: cada vez que ele convertesse um arremesso, receberia R$10,00 do clube e, caso errasse, pagaria R$5,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, recebeu a quantia de R$50,00. Quantos arremessos ele acertou?

11. Uma loja de departamentos, para vender um televisor, um DVD e um aparelho de som, propôs a seguinte oferta: o televisor e o DVD juntos custam R$1200,00; o DVD e o som juntos custam R$1100,00 e o televisor com o som custam juntos R$1500,00. Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos?

12. Dois casais foram a um barzinho. O primeiro pagou R$5,40 por 2 latas de refrigerantes e uma porção de batatas fritas. O segundo pagou R$9,60 por 3 latas de refrigerantes e 2 porções de batatas fritas. Calcule a diferença entre o preço de uma porção de fritas e de uma lata de refrigerante nesse bar.

(6)

13. Em um restaurante são servidos três tipos de saladas: A, B e C. Num dia de movimento, observaram-se os clientes X, Y e Z. O cliente X serviu-se de 200g de salada A, 300g da B e 100g da C e pagou R$5,50 pelo prato. O cliente Y serviu-se de 150g de salada A, 250g da B e 200g da C e pagou R$5,85. Já o cliente Z serviu-se de 120g de salada A, 200g da B e 250g da C e pagou R$5,76. Calcule o preço do quilo de cada salada.

Aula 23 - Matrizes

Dizemos que uma matriz m x n é uma tabela de m.n números dispostos em m linhas e n colunas. Vejamos:

A = (5 -2 ½) é uma matriz 1 x 3 (a linha, 3 colunas) B = ( ) é uma matriz 3 x 2 C = () é uma matriz 2 x 2 D = ( ) é uma matriz 3 x 4

Um elemento genérico de uma matriz é representado por

a

ij, onde i é o numero da linha e j é o numero da coluna em que o elemento está. Uma matriz genérica pode ser representada por:

(

)

Exercícios

1. Determine uma matriz 4 x 4 onde o termo genérico é dado por:

a

ij,=3i – 2j.

2. Determine uma matriz 3 x 2 onde o termo genérico é dado por

b

ij =

i

j

.

Indique os elementos da diagonal

principal e da diagonal secundária.

Igualdade de Matrizes

Dizemos que duas matrizes são iguais se São da mesma ordem e se os elementos correspondentes são iguais. Por exemplo, suas matrizes A e B são iguais se:

( ) = ( ) ↔ a11 = b11; a12 = b12; a21 = b21; a22 = b22; a31 = b31; a32 = b32 Exercícios

3. Determine a, b, c, e d para que se tenha a igualdade de matrizes abaixo:

(

) ( )

4. Determine a, b, c, e d para que se tenha a igualdade de matrizes abaixo:

( _{) (} )

5. Verifique se existe algum valor para t para que se tenha:

( ) ( )

Operações com matrizes Soma e Subtração

Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, a matriz soma

(ou subtração) A + B é a matriz C = (cij)mxn, em que cij = aij

+ bij (ou cij = aij – bij)para todo i e para todo j.

Ou seja, a matriz C é do mesmo tipo que A e B e é tal que cada um de seus elementos é a soma (ou subtração) de elementos correspondentes de A e B. Por exemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Multiplicação de matrizes

Para que seja a multiplicação de uma matriz Amxn por

outra Btxs

,

devemos ter n = t e a matriz C = A x B será do

tipo mxs.

Considere as seguintes matrizes: A = ( ) e B = ( ) A matriz C, produto de A x B será do tipo 3 x 3 e seus elementos serão dados por:

( ) Exercícios

6. Determine, se existirem, os produtos:

(a)

diagonal principal diagonal secundária

(7)

(b)

(c)

(d)

(8)

FÍSICA

Aula 1 - Cinemática I: MRU

Os corpos em movimento serão considerados como pontos materiais. Um ponto material é um corpo cujas dimensões não interferem em determinado fenômeno. Quando as dimensões do corpo são relevantes ele será chamado de ponto extenso. Um carro, ao estacionar, é um ponto extenso enquanto que esse mesmo carro numa viagem longa é um ponto material.

Trajetória x distância

A trajetória é o caminho por onde um corpo de move enquanto que a distância é o comprimento

Exemplo: Para ir do ponto A ao ponto B, a distância que tenho que percorrer (de carro) seguindo a trajetória indicada pela linha azul é 13,5Km. Porém, se eu fosse muito rico e houvesse um helicóptero a minha disposição, eu poderia seguir a trajetória indicada pela linha pontilhada, percorrendo uma distância de 9Km.

Movimento: uma questão de referencial

Um ponto material está em movimento em relação a um determinado referencial quando sua posição, nesse referencial, varia no decorrer do tempo.

Considere uma lâmpada no teto do vagão do trem. Para alguém (referencial) na plataforma, a lâmpada estará em movimento. Porém, para alguém (referencial) dentro do vagão, a lâmpada estará em repouso.

Velocidade escalar média

Considere um ônibus que se desloca em uma rodovia do Km 40 até o Km 200 em duas horas. A velocidade escalar

média é a variação do espaço que o ônibus percorre, dividido pelo tempo de deslocamento. Ou seja:

Lembrando: O símbolo  significa “variação” (pensar em variação é pensar: final – inicial)

A fórmula genérica da velocidade média é:

S1 é o espaço em t1 e S0 é o espaço (inicial) em t0 (inicial).

Considerando que o tempo inicial é zero, podemos obter uma função para o espaço de um corpo em determinado tempo t1: → Exercícios

7. Um ônibus passa pelo Km 30 de uma rodovia às 6 h, e às 9 h 30 min passa pelo Km 240. Qual é a velocidade escalar média desenvolvida pelo ônibus nesse intervalo de tempo?

8. Um carro de passeio percorre 30 Km em 20 min. Determine sua velocidade escalar média nesse percurso.

9. No exercício anterior, qual teria sido a velocidade escalar média do carro se ele tivesse parado 10 min para o abastecimento?

10. Um ônibus percorre a distância 480 Km, entre Santos e Curitiba, com velocidade escalar média de 60 Km/h. De Curitiba a Florianópolis, distantes 300 Km, o ônibus desenvolve a velocidade escalar média de 75 Km/h. Qual é a velocidade escalar média do ônibus no percurso de Santos a Florianópolis? 11. Um trem de 150m de comprimento atinge a entrada

de um túnel e, 30s depois, a extremidade de seu último vagão abandona o túnel. Sabendo que o trem mantém uma velocidade constante de 25 m/s, determine o comprimento do túnel.

12. Um carro percorre o primeiro trecho de uma estrada (200 km) a 80 km/h e o segundo (150 km) a 90 km/h. Qual a velocidade média do carro nos 350 km de estrada percorridos?

13. Um motorista deseja percorrer 40 Km com velocidade média de 80 Km/h. Nos primeiros 15 minutos, ele manteve a velocidade média de 40 Km/h. Para cumprir seu objetivo, ele deve fazer o restante do percurso com velocidade qual média (em km/h)?

Definições

Movimento progressivo: o corpo se move no sentido

(9)

Movimento retrógrado: o corpo se move no sentido

negativo do eixo. (V < 0)

Função horária

A função horária do movimento é uma expressão que dá o espaço

S

do móvel em função do tempo

t

.

Exemplo S = 10 +5t (S em metros e t em segundos) Se t = 0 s → S = 10 m Se t = 1 s → S = 15 m Se t = 2 s → S = 20 m Se t = 3 s → S = 25 m

Como o espaço cresce no decorrer do tempo, o movimento é progressivo. Observe que como a fórmula geral é S = S0 + V.t, identificamos S0 = 10 m e V = 5m/s

Observação: espaço inicial é o espaço em S0. Exercícios

1. Determine o gráfico das funções horárias: (a) S = 20 – 5t (S em metros e t em segundos) (b) S = 8 – 4t + t2 (S em metros e t em segundos) 2. Construa o gráfico da equação do movimento a partir

da tabela abaixo.

S(m) 0 2 4 8 16

t(s) 10 15 20 30 50

Determine o deslocamento (S) para t = 7s.

3. Três amigos não querem perder de jeito nenhum a final Corinthians x São Paulo, numa cidade a 65 quilômetros do lugar onde vivem. O único meio de transporte de que dispõem é uma moto que anda no máximo a 60 km/h, mas que pode transportar apenas duas pessoas. A pé, eles andam no máximo a 6 km/h. Como devem se organizar para chegar ao estádio no tempo mínimo? Quanto tempo gastarão na viagem? 4. Você dirige uma picape por uma estrada reta por 15

km a 75 km/h quando então ela pára por falta de gasolina. Nos 24 minutos seguintes você caminha por 3 km ao longo da estrada até o posto mais próximo. (a) Qual o seu deslocamento total?

(b) Qual o intervalo de tempo t total?

(c) Qual a velocidade enquanto você dirige, enquanto caminha e a média ao longo de todo o trajeto? (d) Suponha que para pegar a gasolina e voltar até a picape você gaste mais 45 minutos. Qual será a velocidade média do início da viagem até voltar ao veículo com a gasolina?

Aula 2 – Cinemática II: MRUV

MRUV = Movimento retilíneo uniformemente variado Quando o movimento possui aceleração (símbolo a)

→ Unidade típica: m/s 2 Exercícios

1. Em um anúncio de certo tipo de automóvel, afirma-se que o veículo, partindo do repouso (velocidade inicial = zero), atinge a velocidade de 108 km/h em 8 s. Qual é a aceleração desse automóvel?

2. Um objeto cai com aceleração constante de 10 m/s2. Supondo que tenha partido do repouso, qual é sua velocidade nos tempos 1s, 2s, 3s e 4s?

3. Um piloto de corrida se move a 250 km/h. Quando se aproxima de uma curva é forçado a reduzir sua velocidade para 88 km/h num intervalo de tempo de 3s. Qual é a aceleração desse carro no intervalo de tempo citado? Dê a resposta em e em m/s2

Definições:

Movimento acelerado: a > 0 (a velocidade aumenta) Movimento retardado: a < 0 (a velocidade diminui)

Fórmula da velocidade em função do tempo:

A velocidade no instante inicial (t = 0) é chamada velocidade inicial. A velocidade ( ) no instante t é dada pela fórmula:

Fórmula dos espaços em função do tempo:

É possível demonstrar que:

Gráficos do MRUV (exercício resolvido)

A tabela abaixo mostra a velocidade de um objeto em função do tempo. O sinal da velocidade indica o sentido do movimento segundo uma orientação da trajetória.

t (s) 0 1 2 3 4 5

V (m/s) 8 6 4 2 0 -2 Responda às seguintes questões

(a) O movimento é uniforme ou variado? (b) Qual a velocidade no instante inicial? (c) O movimento é acelerado ou retardado? (d) Qual a aceleração no intervalo de 0 a 5s? E no intervalo de 2 a 4s?

(e) Qual a velocidade no tempo 10s?

(f) Sabendo que o espaço inicial é 10m, calcule os espaços nos tempos 1s, 2s, 3s e 4s.

t S _{S = 10 +5t}

S=10 m

(10)

(g) Desenhe o gráfico da velocidade em função do tempo. (h) Desenhe o gráfico dos espaços em função do tempo.

Exercícios

4. Dois motociclistas A e B partem de um mesmo ponto de uma estrada retilínea e horizontal, com velocidades constantes e iguais a 36km/h e 108 km/h, respectivamente. Sabendo-se que se movem no mesmo sentido, o que o motociclista B parte 3 segundos após a partida de A, determine a posição e o instante do encontro. Resposta: o encontro ocorre a 45 metros do ponto de partida, após 4,5s da partida de A.

5. Um barco a motor, que ia subindo um rio, encontrou uma balsa que se movia no sentido da corrente. Decorrida uma hora do encontro, o motor do barco parou. O conserto do motor durou 30 minutos e durante esse tempo o barco moveu-se livremente no sentido da corrente. Depois do conserto, o barco começou a mover-se na direção da corrente com a mesma velocidade relativa à água e alcançou a balsa a uma distância S = 7,5 km, em relação ao primeiro encontro. Determinar a velocidade da corrente, considerando-a cosntante. Dica: a balsa não tem motor. Resposta: 3 km/h

6. Uma ventania extremamente forte está soprando com uma velocidade v na dire ção da seta mostrada na _gura. Dois aviões saem simultaneamente do ponto A e ambos voarão com velocidade constante c em relação ao ar. O primeiro avião voa contra o vento até o ponto B e retorna logo em seguida ao ponto A, demorando para efetuar o percurso total um tempo t1. O outro voa perpendicularmente ao vento até o ponto D e retorna ao ponto A, num tempo total t2. As distâncias AB e AD são iguais a l. Qual é a razão entre os tempos de vôo dos dois aviões? Resposta:

7. A e B são duas estações de uma estrada de ferro de linha dupla. Num dado instante passa pela estação A um trem T, que se dirige para B com velocidade constante e igual a 54 km/h. Decorrido um certo intervalo de tempo, m outro trem, T', cuja velocidade é também constante e igual a 72 km/h, passa por A rumo à estação B. O intervalo de tempo que separa as passagens de T e T' pela estação A é tal que ambos os trens passam simultaneamente por B. Acontece, entretanto, que após ter percorrido 2=3 da distância que separa as duas estações, o trem T reduz a sua velocidade à metade e, em consequência, é ultrapassado por T' num ponto situado a 10 km aquém da estação B. Determinar a distância entre as duas estações. Resposta: 37,5 km

8. Um ponto realiza um movimento que satisfaz a equação s(t) = �6 + 8t � 2t2, para s em metros e t em segundos. Determine: a) a posição inicial; b) a velocidade inicial; c) a aceleração do movimento; d) a função horária da velocidade; e) em que instante o ponto inverte o movimento; f) em que instante o ponto passa pela origem do sistema de referência.

Respostas: a)�6m; b)8m=s; c)�4m=s2; d)v = 8 � 4t; e)t = 2s; f)t = 1s

9. A equação de um movimento é S(t) = 2 + 8t2. Determine: a) as posições para t1 = 1s e t2 = 4s; b) a variação de posição entre t1 e t2; c) a velocidade média entre t1 e t2. Respostas: a)S(1) = 10m e S(4) = 130m; b)_S = 120m; c) vmédia = 40m=s

10. Observe a tabela e analise o movimento quanto à velocidade e quanto à aceleração. Posteriormente, escreva a equação do movimento. t(s) 0 1 2 3 4 v(m/s) 10 5 0 -5 -10 Respostas: v = 10 � 5t

Aula 3 - Estática I – Condições de Equilíbrio

Uma partícula está em equilíbrio se a resultante das forças que agem sobre ela é nula: ∑ ⃑ . Ou seja, se a partícula está em repouso, ela continua em repouso. Se a partícula está em movimento uniforme, ela continua em movimento uniforme (Lei da Inércia).

Diagrama de Corpo Livre (DCL)

Para aplicar a equação de equilíbrio, devemos pensar nas partículas de forma isolada e “livre” do seu entorno. O DCL é um esboço que mostra a partícula isolada com todas as forças que atuam sobre ela!

Como desenhar o DCL? 1. Isole a partícula

2. Mostre todas as forças que agem sobre ela. As forças mais comuns são: atrito (quando a partícula está apoiada), tensão (em fios), tração (em cabos e hastes), Peso, Normal (quando a partícula está apoiada) 3. Identifique as forças conhecidas marcando suas

intensidades e direções.

Exercícios

1. Forneça os Diagramas de Corpo Livre dos elementos indicados nas figuras abaixo. Nota: todos os elementos são homogêneos, os fios inextensíveis e de massa desprezível. a) a) b)  B A

(11)

c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n)

Aula 4 - Estática II

Determinação das forças

Para resolver os exercícios que consideram as forças, temos que decompor a equação ∑ ⃑ em suas componentes horizontal e vertical: ∑ ⃑ e ∑ ⃑ . Considere o seguinte: A forca ⃑ que age sobre o bloco pode ser decomposta em suas componentes horizontal e vertical ( ⃑ e ⃑) através do seno e cosseno:

⃑ ⃑ ⃑ ⃑ Exercícios

1. Determine o valor da força para que o corpo fique em equilíbrio:

a)

Massa de A=10kg; g=10m/s2; Qual deve ser a Força de atrito? Qual o valor da Força Normal?

O A 60⁰ 45⁰ A B 45⁰ 60⁰ A B 1 2 3  𝐹⃑ 𝐹⃑𝑥 𝐹⃑𝑦  Bloco M Bloco M

(12)

b) Massa de A=2kg;

1=30º; 2=45º;g=10m/s²; Não há atrito. Qual deve ser a

massa do bloco B para que o sistema fique em equilíbrio? 2. (UNIFOR-CE) Com 6 pedaços iguais de corda e três corpos de mesma massa e mesmo formato, um estudante fez as montagens representadas abaixo.

Coloque em ordem crescente a intensidade da força de tração nos pedaços de corda em cada uma das

montagens.

3.(UNICAMP-SP) Quando um homem está deitado numa rede (de massa desprezível), as forças que esta aplica na parede formam um ângulo de 30° com a horizontal, e a intensidade de cada uma é de 600N (ver figura adiante)

. a) Qual é o peso do homem?

b) O gancho da parede foi mal instalado e resiste apenas até 1300 N. Quantas crianças de 30 kg a rede suporta? (suponha que o ângulo não mude).

Respostas: 1.a)Fat=50N, N=50√ N; b)MB=√ kg; 2. T1=0,5P< T2=0,58P< T3=P

Aula 5 - Dinâmica I

O estudo da Dinâmica dos corpos não é nada além do que a análise de como a aplicação de forças interferem em corpos e como esses interferem entre si. Ao contrário da ESTÁTICA, onde apesar da aplicação de forças os corpos permanecem parados, na Dinâmica é estudado o que acontece com os corpos em movimento.

Os principais tipos de força que podem aparecer são: Força Peso: Como estamos na Terra, todos sofremos a ação da gravidade que nos “puxa para baixo”, com a força P = mg (onde P= peso, m= massa e g= gravidade= 9,8m/s²).

Peso

Força Normal: Sempre que existir contato entre 2 corpos, haverá Força Normal entre eles, com a mesma intensidade, mesma direção, mas sentidos opostos. (Normalmente essa força aparece em contato com o chão, como resposta ao Peso)

NORMAL

PESO

Força de Tração: Se 2 corpos estiverem conectados por um fio, a força aplicada em uma extremidade do fio é a mesma sentida na outra extremidade, com mesma intensidade, mesma direção, mas sentidos opostos.

T T

Força de atrito:

Quando 2 corpos estão em contato entre si existe uma força que tenta fazer um escorregar sobre o outro (arrastar no chão, por exemplo), existe uma força atrito no sentido oposto da aplicação da força. Este atrito pode ser estático (onde apesar da força o corpo fica parado), ou dinâmico (onde o corpo fica em movimento). E pode ser calculado como Fat = µN (onde Fat = Força de atrito, µ = coeficiente de atrito [depende do material dos corpos], e N = Força normal).

Nomal

Atrito Força F

LEIS DE NEWTON

Todo o estudo da Dinâmica clássica se baseia nas 3 Leis de Newton:

1ª Lei – INÉRCIA:

Todo corpo mantém seu estado até que outra força mude seu estado. Ou seja: permanece PARADO se já estiver PARADO, ou permanece com VELOCIDADE CONSTANTE (MRU) se já estiver em MRU (Movimento Retilínio Uniforme).

(13)

A B

2ª Lei – LEI DA RESULTANTE:

Essa lei é apresentada mais normalmente na forma matemática:

R = ma

Onde R=Força Resultante, m= massa do corpo e a=aceleração final.

Essa formula é provavelmente a mais importante da

dinâmica, pois relaciona a soma de todas as forças com o

movimento final do corpo. 3ª Lei – LEI DA AÇÃO E REAÇÃO:

A última lei simplesmente diz que um corpo, ao receber uma força, devolve essa força com a mesma força, mas em direção oposta.

Conhecendo os tipos de força, e as Leis que as regem, podemos agora entender a dinâmica dos corpos.

DICAS:

- SEMPRE desenhe todas as forças em todos os corpos!

- A Força RESULTANTE é a soma de todas as forças aplicadas em um corpo, mas é uma soma de vetores, então lembrar como fazer SOMA DE VETORES.

Exercícios

01. Por que uma pessoa, ao descer de um ônibus em movimento, precisa acompanhar o movimento do ônibus para não cair?

02. Explique a função do cinto de segurança de um carro, utilizando o conceito de inércia.

03. De que modo você explica o movimento de um barco a remo, utilizando a terceira lei de Newton?

04. Um carro pequeno colide com um grande caminhão carregado. Você acha que a força exercida pelo carro no caminhão é maior, menor ou igual à força exercida pelo caminhão no carro?

05. Ao corrermos sobre a Terra estamos aplicando uma força sobre o chão. Por que a Terra não se move?

06. Um corpo de massa m = 0,5 kg está sob a ação de duas forças (F1 = 20 N e F2 = 15 N ) com mesma direção e

sentidos opostos. Qual a aceleração adquirida pelo corpo? 07. Um corpo de massa 5 kg se encontra na Terra, num local em que a gravidade vale 10 m/s2. Esse corpo é então levado para a Lua, onde a aceleração da gravidade é 1,6 m/s2. Pede-se: o peso e o peso e a massa do corpo aqui na Terra; o peso e a massa do corpo na Lua.

08. (MACKENZIE) No sistema abaixo as polias P1 e P2 são fixas e P3 é móvel, todas são ideais e as massas do dinamômetro D e dos fios envolvidos são desprezíveis.

Adote g = 10 m/s² e admita que o sistema está em equilíbrio. Pede-se:

a) A indicação do dinamômetro; b) A massa mx

09. (UESPI) O homem de peso 750N, mostrado na figura, mantém em equilíbrio um corpo de massa 30kg, por meio de uma polia ideal, isto é, sem inércia e sem atrito no eixo. Considere g=10m/s². A força exercida pelo piso sobre os pés do homem tem intensidade, em newtons, igual a:

10. (FUVEST) A figura abaixo mostra dois blocos, A e B, empurrados por uma força horizontal, constante, de intensidade F = 6N, em um plano horizontal sem atrito. O bloco A tem massa 2kg e o bloco B tem massa 1kg. a) Qual o módulo da aceleração do sistema? b) Qual a intensidade da força resultante sobre o bloco A?

11. Dois blocos idênticos unidos por um fio, de massa desprezível, estão sobre uma mesa lisa e horizontal conforme mostra a figura, sabendo que a intensidade máxima que o fio suporta é 20N, determine o máximo valor de F que poderá ser aplicado na mesma direção do fio sem rompê-lo.

P1 D P2 50k mx P3 mg 𝐹

(14)

12. Considere um bloco de peso 10N sobre um plano horizontal. Sobre o bloco, aplica-se uma força F de intensidade 20N, conforme a figura. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano vale 0.5. Qual a intensidade da força de atrito desenvolvida sobre o bloco e o plano?

Respostas: 6)a=10m/s²; 7)MTerra=MLua=5kg,

PTerra=50N,PLua=8N; 9)450N; 10) a)2m/s² b) 4N; 11) 40N;

12) 0N

𝐹

(15)

QUÍMICA

Aula 9: Reações Químicas

Em química, medir a velocidade de uma reação significa medir a quantidade de reagente que desaparece ou a quantidade de produto que se forma em determinado intervalo de tempo. Por exemplo:

N2 + 3H2 → 2NH3

À medida que a reação vai ocorrendo, o N2 e o H2 vão

sendo consumidos e o NH3 vai sendo formado.

Como a concentração das substâncias é geralmente expressa por mol/L (molaridade), a velocidade média de uma reação é a variação da molaridade em função do tempo.

( ) ( )

Analisando em relação ao NH3 e indicando a molaridade

entre colchetes, temos:

Se ao longo da reação, os seguintes resultados são obtidos:

Tempo de reação (min) [NH3]

0 0 5 20 10 32,5 15 40 20 43,5 No intervalo de 0 a 5 minutos: ⁄ No intervalo de 5 a 10 minutos: ⁄ No intervalo de 10 a 15 minutos: ⁄ No intervalo de 15 a 20 minutos: ⁄

Se a reação estiver ocorrendo na proporção estequimétrica, ou seja, 1 mol de N2 para 3 mols H2 para 2

mols de NH3 (1N2 + 3H2 → 2NH3), é possível determinar as

velocidades de consumo dos reagentes:

Tempo de reação (min) V [N2] (mol/L.min) V [H2] (mol/L.min) V [NH3] (mol/L.min) 0 0 0 0 5 2 6 4 10 1,25 3,75 2,5 15 0,75 2,25 1,5 20 0,35 1,05 0,7

Para evitar confusão, convencionou-se dividir o valor da velocidade pelo coeficiente estequiométrico da substância. Assim, no intervalo de 0 a 5 minutos, a velocidade da reação passa a ser:

 Para o N2: ⁄

 Para o H2: ⁄

 Para o NH3: ⁄

Outro ajuste que deve ser feito é colocar o sinal negativo nas velocidades dos reagentes pois a variação de suas molaridades e é negativa e a velocidade deve ser um valor positivo.

Exercícios

1. Num dado meio onde ocorre a reação: N2O5 → N2O4 + 1/2 O2

observou-se a seguinte variação na concentração de N2O5 em função do tempo:

Calcule a velocidade média da reação no intervalo de 3 a 5 minutos.

2. A água oxigenada se decompõe segundo a reação H2O2 → H2O + O2

Calcule a sua velocidade de decomposição nos intervalos I, II e III.

3. A combustão do butano é representada pela equação:

C4H10(g) +

O2(g) 4CO2(g) + 5H2O(g)

Se houver um consumo de 4 mols de butano a cada 20 minutos de reação, qual o número de mols de dióxido de carbono produzido em 1 hora?

Como as reações ocorrem?

Imagine, por exemplo, a formação do HI a partir do H2 e

(16)

Os vários efeitos sobre as velocidades das reações químicas

A. Efeito da concentração

É fácil perceber que o aumento da concentração favorece o aumento na velocidade da reação. Quanto maior a concentração, maior será a probabilidade de choques entre as moléculas dos reagentes.

Lei Cinética da Velocidade das Reações

Vamos determinar a expressão matemática da velocidade de reação através de dois exemplos:

Exemplo 1)

H2(g) + I2(g) → 2HI(g)

Realizando-se areação três vezes em laboratório, mantendo a temperatura constante e variando a concentração dos reagentes, chegamos aos seguintes resultados:

Da tabela acima concluímos que a expressão da velocidade da reação é:

v = k.[H2].[I2]

A constante k não depende da concentração, mas depende dos demais fatores que influem na velocidade, principalmente a temperatura.

Exemplo 2)

2NO(g) + H2(g) → N2O(g) + H2O(g)

A realização da experiência três vezes em laboratório gerou os seguintes resultados:

A partir dos dados acima vemos que:

v = k[NO]2[H2]

A partir dos dois exemplos anteriores e considerando a equação aA + bB → xX + yY, obtemos a seguinte fórmula genérica da lei cinética:

v = k[A]m[B]n

onde os expoentes m e n são determinados

experimentalmente. Porém, se a reação ocorrer em uma única etapa, podemos escrever:

v = k[A]a[B]b

Exercícios

4. A reação genérica A + 2B → Produtos se processa em uma única etapa. Sua constante de velocidade vale 0,3 mol/L.min. Qual a velocidade da reação quando as concentrações de A e B forem, respectivamente, 2 e 3 mol/L?

5. A reação A2(g) + 3B2(g) → 2AB3(g) está ocorrendo num

recipiente fechado e em condições tais que a velocidade obedece à equação: v = k1[A2][B2]2.

Duplicando-se as concentrações molares de A e de B e permanecendo todas as demais condições, notamos que a velocidade da reação:

(a) duplica.

(b) permanece constante. (c) fica 16 vezes maios. (d) fica 8 vezes menor. (e) fica 4 vezes maior.

6. Num laboratório, foram efetuadas diversas experiências para a reação:

2H2(g) + 2NO(g) → N2(g) + 2H2O(g)

Com os resultados das velocidades iniciais obtidos, montou-se a seguinte tabela:

A partir dos dados acima, determine a expressão para a velocidade da reação.

B. Efeito dos catalisadores

Energia de ativação: é a energia necessária para ativar uma reação. O catalisador é a substância que diminui a energia de ativação de uma reação sem se decompor (ou se transformar) e aumenta a velocidade da reação. Se a substância provocar redução na velocidade da reação ela será chamada de inibidor.

Por exemplo, a equação química que representa a reação de oxidação do SO2, catalisada pela platina pode ser

escrita como:

SO2(g) + O2(g) SO3(g)

A catálise é dita heterogênea porque os reagentes são gases e o catalisador (Pt) é sólido (fases diferentes). Quando o catalisador e os reagentes são da mesma fase a catálise é dita homogênea.

Três considerações devem ser feitas:

I. O catalisador age tanto na reação direta quanto na reação inversa;

(17)

III. O catalisador não muda a entalpia (H) da reação, ou seja, a quantidade de energia que é liberada (ou absorvida) pela reação é sempre a mesma.

IV. Catalisadores biológicos são chamados enzimas. Por exemplo: pepsina (estômago), lipases (intestino), ptialina (boca)

C. Efeito da temperatura

Reações que liberam energia são chamadas reações exotérmicas. Reações que absorvem calor são chamadas reações endotérmicas. O aumento da temperatura favorece as reações exotérmicas ao passo que a diminuição de temperatura favorece as reações endotérmicas.

O aumento de temperatura atua em duas frentes:

(1) aumenta a freqüência de choques entre as partículas e (2) aumenta a energia das colisões.

Por exemplo, a reação SO2(g) + O2(g)

SO3(g) é uma reação

exotérmica (libera calor). Um aumento de temperatura favorece a reação. Por outro lado, a reação inversa, de decomposição do SO3, é uma reação endotérmica

(absorve calor para ocorrer) e, portanto, ela será

facilitada se houver diminuição na temperatura.

Exercícios

7. Considere as duas fogueiras feitas lado a lado com o mesmo tipo e quantidade de lenha:

A rapidez da combustão da lenha será:

a) maior na fogueira 1, pois a superfície de contato com o ar é maior.

b) maior na fogueira 1, pois a lenha está mais compactada, o que evita a vaporização de componentes voláteis.

c) igual nas duas fogueiras, uma vez que a quantidade de lenha é a mesma e estão no mesmo ambiente. d) maior na fogueira 2, pois a lenha está menos compactada, o que permite maior retenção de calor pela madeira.

e) maior na fogueira 2, pois a superfície de contato com o ar é maior.

8. Carbonato de cálcio foi colocado numa solução de ácido clorídrico diluído. Os resultados obtidos estão transcritos na tabela abaixo:

Calcule a velocidade da reação .

Aula 10: Estequiometria

Definições:

Mol é uma unidade do SI para a grandeza quantidade de

matéria.

Massa molar é a massa (em gramas) de um mol de

espécies (átomos, moléculas, íons, etc.)

Exercícios

1) Quantos mols correspondem a 88 g de dióxido de

carbono (CO2)? (Massas atômicas: C = 12; O = 16)

2) Quantos mols correspondem a 100 g de cálcio? Dado:

massa atômica do cálcio = 40.

3) A balança mais precisa pode detectar uma variação de

aproximadamente 10-8 g. Quantos átomos de ouro existiriam em uma amostra desse peso? (Massa atômica: Au = 197)

Casos de estequiometria

 Quando o dado e a pergunta são expressos em

massa.

Exemplo: O ácido fosfórico pode ser formado a partir da equação não-balanceada:

Ca3(PO4)2 + H2SO4 → H3PO4 + CaSO4

Partindo-se de 62 g de Ca3(PO4)2 e usando-se quantidade

suficiente de H2SO4, qual a massa aproximada, em

gramas, de H3PO4 obtida?

 Quando o dado é expresso em massa e a pergunta

em volume (ou vice-versa).

Exemplo: Calcular o volume de gás carbônico obtido, nas condições normais de pressão e temperatura, por calcinação de 200 g de carbonato de cálcio (massas atômicas: C = 12; O = 16; Ca = 40).

 Quando o dado e a pergunta são expressos em

volume

Exemplo: Um volume de 15 L de hidrogênio, medido a 15 °C e 720 mmHg, reage completamente com cloro. Qual é o volume de gás clorídrico produzido na mesma temperatura e pressão?

em mols (ou vice-versa)

Exemplo: Um volume de 15 L de hidrogênio, medido a 15 °C e 720 mmHg, reage completamente com cloro. Qual é o volume de gás clorídrico produzido na mesma temperatura e pressão?

(18)

Exemplo: Quantas moléculas de gás carbônico podem ser obtidas pela queima completa de 4,8 g de carbono puro? (Massa atômica: C % 12)

 Havendo duas ou mais perguntas

Exemplo: Quais são as massas de ácido sulfúrico e hidróxido de sódio necessárias para preparar 28,4 g de sulfato de sódio? (Massas atômicas: H = 1; O = 16; Na = 23; S = 32)

Casos particulares do cálculo

I. Quando são dadas as quantidades de dois (ou mais) reagentes (um deles está em excesso)

Exemplo: Misturam-se 147 g de ácido sulfúrico e 100 g de hidróxido de sódio para que reajam segundo a equação: H2SO4 + 2NaOH → Na2SO4 + 2H2O (massas atômicas: H =

1; O = 16; Na = 23; S = 32). Calcule (a) a massa de sulfato de sódio formada; (b) a massa do reagente que sobra (em excesso) após a reação.

II. Quando os reagentes são substâncias impuras Exemplo 1: Uma amostra de calcita, contendo 80% de

carbonato de cálcio, sofre decomposição quando submetida a aquecimento, segundo a equação:

CaCO3(s) CaO(s) + CO2(g)

Qual a massa de óxido de cálcio obtida a partir da queima de 800 g de calcita?

Exemplo 2: Deseja-se obter 180 L de dióxido de carbono,

medidos nas condições normais, pela calcinação de um calcário de 90% de pureza (massas atômicas: C = 12; O = 16; Ca = 40). Qual é a massa de calcário necessária?

III. Quando o rendimento da reação não é total

Exemplo 1: Deseja-se obter 180 L de dióxido de carbono,

medidos nas condições normais, pela calcinação de um calcário de 90% de pureza (massas atômicas: C = 12; O = 16; Ca = 40). Qual é a massa de calcário necessária?

Exemplo 2: O gás hilariante (N2O) pode ser obtido pela decomposição térmica do nitrato de amônio (NH4NO3). Se

de 4,0 g do sal obtemos 2,0 g do gás hilariante, qual a pureza do sal?

Exercícios

1. O CO2 produzido pela decomposição térmica de 320g

de carbonato de cálcio teve seu volume medido a 27 °C e 0,8 atm. Dados: Ca = 40; C = 12; O = 16; R 0,082 atm.L/mol.K. Qual o valor, em litros, encontrado? 2. Antiácido estomacal, preparado à base de bicarbonato

de sódio (NaHCO3), reduz a acidez estomacal provocada pelo excesso de ácido clorídrico segundo a reação:

HCl(aq) + NaHCO3(aq) → NaCl (aq) + H2O (l) + CO2(g)

(massa molar NaHCO3 = 84 g/mol; volume molar =

22,4 L/mol a 0 °C e 1 atm).

Qual o volume de gás carbônico liberado (aproximadamente) a 0 °C e 1 atm para cada 1,87 g de bicarbonato de sódio que reage?

3. O ferro metálico, em contato com o gás oxigênio, durante alguns meses, sofre oxidação chegando a um tipo de ferrugem denominado óxido férrico. Quantos mols de ferro metálico são oxidados por 134,4 litros de gás oxigênio, medido nas CNPT? (Fe % 56; O % 16). 4. O gás cianídrico é uma substância utilizada em câmara

de gás. Esse composto é preparado por uma reação do ácido sulfúrico (H2SO4) com o cianeto de potássio

(KCN). Com relação a esse composto, pede-se:

(a) a equação química balanceada para sua obtenção; (b) o número de moléculas formado a partir de 32,5 g de cianeto de potássio.

5. Em relação à produção de fosfato de sódio por meio da reação do ácido fosfórico com um excesso de hidróxido de sódio, pede-se:

(a) a equação balanceada para a reação;

(b) a quantidade, em gramas, de fosfato de sódio produzido ao se utilizar 2,5.1023 moléculas de ácido fosfórico.

6. O gás hidrogênio é facilmente produzido em laboratórios, fazendo-se reagir ferro comuma solução de ácido sulfúrico, de acordo com a equação abaixo:

Fe(s) + H2SO4(aq) → FeSO4(aq) + H2(g)

Ao se reagirem 11,2 gramas de esponja de aço com excesso de ácido sulfúrico, em condições normais de pressão e temperatura (1 atm e 0 °C), considerando que a esponja de aço seja constituída de puro ferro, qual a massa de sulfato ferroso produzida e o volume de gás hidrogênio liberado?

7. Em 200 g de hidróxido de bário, mantidos em suspensão aquosa, são borbulhados 16 L de anidrido sulfúrico, medidos a 27 °C e 950 mmHg. Pergunta-se: (a) Qual é a substância em excesso e qual é sua massa?

(b) Qual é a massa do sulfato de bário formado na reação?

Sugestão: Faça o cálculo em mols.

8. A nave estelar Enterprise, de Jornada nas estrelas, usou B5H9 e O2 como mistura combustível. As duas substâncias reagem de acordo com a seguinte equação balanceada:

2B5H9(l) + 12O2(g) → 5B2O3(s) + 9H2O(g)

(a) Se um tanque contém 126 kg de B5H9 e o outro 240 kg de O2 líquido, qual tanque esvaziará primeiro? Mostre com cálculos.

(b) Quanta água terá sido formada (em kg) quando um dos reagentes tiver sido completamente consumido? 9. A queima de carvão ocorre segundo a reação:

C(s) + O2(g) → CO2(g)

Na queima de 10kg de carvão, com 80% de pureza, quantas moléculas de gás carbônico são liberadas? 10. A equação:

2NaCl + MnO2 + 2H2SO4 → Na2SO4 + MnSO4 + Cl2 + 2H2O

representa a reação que se passa para obtermos o cloro. Considerando que ela teve um rendimento de 85%, que foi realizada na temperatura de 27 °C e a uma pressão de 1,5 atm, e que utilizamos 500 g de sal, qual o volume de cloro obtido (em litros)?

(19)

Aula 11: Tipos de concentrações

Concentração das Soluções

Usamos o termo concentração de uma solução para nos referirmos a qualquer relação estabelecida entre a quantidade do soluto (dada em mg, g, kg, mol, etc.) e a quantidade do solvente (dada em m3, L, ml, etc.).

Diariamente ouvimos frases do tipo:

 O teor alcoólico no vinho é 12% (proporção em volume);

 O teor normal de glicose no sangue está entre 75 e 110 mg/dL (valores superiores indicam tendência à diabete);

 A concentração média de sal (NaCl) na água do mar é de 3,5% (proporção em massa).

 O ar contém 0,94% de argônio em volume.

Existem vários tipos de concentração e cada tipo depende das unidades do soluto e do solvente (ou solução).

1 - Concentração comum (C): é a quantidade do soluto,

em gramas, em 1 litro de solução.

C =

Adotaremos a seguinte convenção: índice 1 indica soluto, 2 indica solvente e quando nenhum índice estiver expresso indicará solução. Portanto:

Observação: é importante não confundir concentração com densidade da solução. A densidade aparece frequentemente em exercícios de concentração porquê:

 A densidade de uma solução depende de sua concentração;

 É facilmente medida por um densímetro. Resumindo:

e

Observe a tabela a seguir que mostra a densidade de uma solução aquosa de ácido sulfúrico (H2SO4), a 20°C

Exercícios

1. Calcule a concentração de uma solução (em g/L), de uma solução de nitrato de potássio, sabendo que ela contém 60 g do sal em 300 cm3 de solução.

2. A figura abaixo mostra 5 recipientes que contém soluções aquosas de cloreto de sódio. Ordene as soluções da menos concentrada para a mais concentrada.

3. Comprei 1L de hidróxido de sódio com a concentração de 20 g/L. Se eu preciso 8g de hidróxido de sódio, qual o volume que devo separar da solução?

4. Qual é a massa dos íons Na+ existente em 200 mL de solução de NaOH de concentração igual a 80 g/L?

2 – Título ou fração em massa (): é a relação entre a

massa do soluto e a massa total da solução (soluto + solvente). Imagine uma solução formada por 10 g de cloreto de sódio e 90 g de água. A massa total será 10 g + 90 g = 100 g de solução. Assim dizemos que:

 10/100 = 0,1 é a fração da massa total que corresponde ao NaCl;

 90/100 = 0,9 é a fração da massa total que corresponde à água.

A fórmula é expressa por:

Onde m1 é a massa do soluto, m2 é a massa do solvente e

m é a massa da solução.

Relação entre Título e Concentração Comum:

C = ( )

( )

Igualando I e II:

Onde d e C são expressos em g/L.

Exercícios

5. Uma solução contém 15 g de carbonato de sódio em 135 g de água e tem densidade igual a 1,1 g/L. Calcule: (a) o título da solução e (b) a concentração em g/L. 6. A análise de um vinho revelou que ele contém 18 ml

de álcool em cada copo de 120 ml. Qual é o título em volume desse vinho?

7. Uma solução de densidade igual a 1,2 g/mL é formada pela dissolução de 10g de um sal em 290 g de H2O.

Calcule, em g/L, a concentração desse sal.

3 – Concentração em mols por litro ou molaridade (

M

): é

a quantidade, em mols, de soluto existente em 1L de solução.

(20)

M

M =

Onde: m1 é a massa do soluto (em g), M1 é a massa molar do soluto (em g/mol) e V é o volume da solução (em L). Preste atenção nas unidades pois, como a molaridade é expressa em litros (L), o volume também deve ser expresso em litros.

Relações entre Molaridade, Concentração e Título: Da molaridade temos que:

M =

M (III)

Portanto, igualando as expressões I, II e III, temos: C =

M.

M1

C = d.

Exercícios

8. No rótulo de um frasco de ácido clorídrico encontram-se as seguintes informações: título percentual em massa = 36,5%; densidade = 1,18 g/mL. Qual a molaridade desse ácido?

9. Um determinado laboratório usou uma solução com 20% em massa de hidróxido de sódio, que apresenta densidade de 1,2 Kg/L. Qual a molaridade desta solução? Dados: Na = 23 g/mol; O = 16 g/mol; H = 1 g/mol.

10. Um frasco de ácido clorídrico apresenta as seguintes informações: = 20% (em massa); densidade = 1,1g/mL; massa molar = 36,5g/mol. Qual a molaridade dessa solução?

11. 500 mL de solução contêm 10 g de sulfato férrico 100% dissociado. Calcule a molaridade do sulfato férrico e dos íons férrico e sulfato, em mols por litro. (massas molares: Fe = 56 g/mol; S = 32 g/mol; O = 16 g/mol).

Outros tipos de concentrações

Fração em mols: análogo à fração em massa, a fração

molar de um soluto é o quociente entre a quantidade de mols do soluto e a quantidade total de mols na solução (soluto + solvente). A fórmula é:

onde x1 é a fração molar do soluto, n1 é o número de mols do soluto e n2 é o número de mols do solvente.

Exercícios

12. Uma solução contém 230 g de etanol (C2H5OH) e 360

g de água. Calcule as frações molares do álcool e da água na solução (massas molares: H = 1 g/mol; C = 12 g/mol; O = 16 g/mol.

Partes por milhão: é uma unidade usada para medir

soluções extremamente diluídas, isto é, que apresentam uma quantidade de soluto muito pequena dissolvida em

uma quantidade muito grande de solvente (ou de solução). Por exemplo, sabemos que a qualidade do ar atmosférico se torna inadequada quando há mais de 0,000015g de monóxido de carbono (CO) por grama de ar. Para evitar o uso de valores tão pequenos quanto 0,000015 (ou 15.10-6) pode-se estabelecer a relação: 15.10-6 g de CO → 1 g de ar

x g de CO → 106 g de ar (1 milhão de gramas de ar)

x = 15 g. Dizemos então que há 15 partes de CO em 1 milhão de partes de ar ou, abreviadamente, 15 ppm de CO no ar. A fórmula seria:

Exercícios

13. A água potável não pode ter mais do que 5.10-4mg de mercúrio por grama de água. Expresse essa concentração em ppm.

14. Na crosta terrestre existem, em média, 70 ppb (partes por bilhão) do metal prata. Qual será a massa de prata existente em 1 tonelada da crosta terrestre?

Aula 12: Soluções (Misturas e Diluições)

Diluir é adicionar solvente. Fazemos isso diariamente quando:

 adicionamos água para fazer um suco de fruta;

 quando o detergente líquido se dilui na água na lavagem da louça;

 na agricultura, quando os inseticidas são diluídos na água antes da aplicação;

 na construção civil quando adiciona-se solvente à tinta para torná-la mais fluida e facilitar a aplicação

Durante a diluição, somente solvente é adicionado. Portanto, a massa do soluto permanece constante. Indicando por i, situações antes da diluição e por f as situações depois da diluição temos:

Para concentração comum: Para molaridade: ViMi = VfMf

Para resolução de exercícios envolvendo os demais tipos de concentrações (título, fração molar, ppm, etc.) é preferível raciocinar com as próprias definições.

A operação inversa à diluição chama-se concentração da

solução (retirada de solvente). Exercícios

(21)

1. Diluindo-se 100 ml de solução de cloreto de sódio de concentração igual a 15 g/L ao volume final de 150 mL, qual será a nova concentração?

2. Diluindo-se 200 mL de solução 5 mol/L de ácido sulfúrico a 250 mL, qual será a molaridade final? 3. Que volume de água se deve adicionar a 250 mL de

solução com 2 mol/L de hidróxido de sódio, a fim de se obter uma solução final com molaridade igual a 0,5 mol/L?

4. Uma solução de NaOH tem concentração igual a 200 g/L. Se 50ml dessa solução são diluídos a 200 mL, qual será a molaridade final da solução final?

5. 40 mL de ácido clorídrico, de densidade 1,18 g/mL e com 36,5% de HCl em massa, são diluídos a 200 mL. Qual será a molaridade da solução final?

6. Que massa devemos adicionar a 1kg de solução aquosa contendo 25% de NaCl em massa, a fim de torná-la a 10% em massa?

Mistura de soluções

Observe a figura a seguir:

 a massa final será a soma das massas em A e B.

mf = ma + mb

 o volume final também será a soma dos volumes em A e B.

Vf =Va + Vb Portanto, a concentração final será:

Exercícios

7. Misturam-se 50 mL de solução com 3 g/L de HCl com 150 mL de solução com 2 g/L do mesmo ácido. Qual é a concentração da solução final?

8. Juntando-se 100 g de solução a 20% em massa com 150 g de solução a 10% em massa, do mesmo soluto, qual será o título final?

Mistura de duas soluções de solutos diferentes que não reagem entre si

Não faz sentido somar as massas do NaCl e do KCl pois são substâncias diferentes. Neste caso,

analisamos cada

substância separadamente, como se cada uma sofresse uma diluição. Para o KCl: Para o NaCl:

Observe que na concentração final haverá três íons: Na+, Cl- e K+. Como você faria para calcular a concentração dos íons Cl–, K+ e Na+?

Mistura de dois solutos diferentes que reagem entre si

Os casos mais comuns ocorrem quando juntamos um ácido e uma base; uma solução de um oxidante e de um redutor; ou soluções de dois sais que reagem entre si. Havendo reação química, estes problemas devem ser resolvidos utilizando também o caçulo estequiométrico. Além disso, quando dois solutos entram em reação eles podem estar nas quantidades exatas para reagir (proporção estequiométrica) ou não. No segundo caso, sobrará um excesso de algum soluto.

Veja os exemplos a seguir:

I. Juntando-se 300 mL de HCl 0,4 mol/L com 200 mL de NaOH 0,6 mol/L, pergunta-se quais serão as molaridades da solução final em relação:

(a) ao ácido; (b) à base; (c) ao sal formado.

II. Juntando-se 300 mL de HCl 0,4 mol/L e 200 mL de NaOH 0,8 mol/L. Pergunta-se quais serão as molaridades da solução final em relação:

(a) ao ácido; (b) à base; (c) ao sal formado

Exercícios

1. Qual é a molaridade de uma solução de hidróxido de sódio, sabendo-se que 50mL dessa solução reagem completamente com 15mL de HCl 2 mol/L?

(22)

2. O metal X reage com ácido clorídrico de acordo com a equação balanceada:

X(s) + 3 HCl(aq) → X3+(aq) + 3 Cl–(aq) + H2(g)

3. Considerando-se que 500 mL de uma solução 3 mol/L de ácido clorídrico reagem completamente com 26 g desse metal, calcule a massa atômica de X.

4. 0,195 g de um metal bivalente foi dissolvido em 10 mL de H2SO4 0,5 mol/L. O excesso do H2SO4 foi

neutralizado por 16 mL de KOH 0,25 mol/L. Calcule a massa atômica do metal.

5. 1,24 g de ferro impuro foi dissolvido em 20 ml de HCl 3 mol/L, produzindo cloreto ferroso e hidrogênio. Após essa reação, o excesso de HCl foi neutralizado por 10 ml de NaOH 2 mol/L. Qual a porcentagem de pureza do ferro analisado?

6. Misturando-se 100 mL de solução aquosa 0,1 mol/L de KCl, com 100 mL de solução aquosa 0,1 mol/L de MgCl2. Quais serão as concentrações de íons K+, Mg2+ e