Espaço de configurações e OCHA

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(7) Espaços de Configurações e aCHA Este. exemplar. corresponde. final da tese devidamente. à redação corrigida. e. defendida por Eduardo Outeiral Correa Roefel e aprovada pela comissão julgadora.. Campinas, 12 de Abril de 2006. ~ Prof. Dr. Alcibiades Rigas Orientador. Prof. Dr. Tomas Edson Barros Co-orientador Banca Examinadora Prof. Dr. Tomas Edson Barros (UFSCar), Co-orientador Prof. Dr. Mamo Spreafico (USP - SÃO CARLOS) Prof. Dr. Alexandre Luis Trovon de Carvalho (UFPr) Prof. Dr. Marcos Benevenuto Jardim (UNICAMP) Prof. Dr. Adriano Adrega de Moma (UNICAMP). Tese apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computaçãoo Científica, da Universidade Estadual de Campinas, UNICAMP, como requisito parcial para a obtenção do título de DOUTOR em Matemática..

(8) FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BffiLIOTECA DO IMECC DA UNICAMP Bibliotecária:MiriamCristinaAlves- CRB8a/ 859. Hoefel, Eduardo Outeiral Correa. H67le. Espaços de configurações e OCHA / Eduardo Outeiral Correa Hoefel -- Campinas, [S.P. :s.n.], 2006. Orientadores : Alcibiades Rigas; Tomas Edson Barros. Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. 1. Topologia algébrica. 2. Teoria da homotopia. 3. Teoria de módulos. 4. Álgebra homológica.. I. Rigas, Alcibiades.. 11. Barros,. Tomas Edson. m. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. IV. Título.. Título em inglês: Configuration spaces and OCHA Palavras-chave em inglês (Keywords): 1.AIgebraic topology. 2.Homotopy theory. 3. Moduli theory. 4. Homological algebra. Área de concentração: Geometria / Topologia Titulação: Doutor em Matemática Banca examinadora: Prof. Dr. Tomas Edson Barros (UFSCar) Prof. Df. Mauro Spreafico (USP-São Carlos) Prof. Df. Alexandre Luis Trovon de Carvalho (UFPr) Prof. Df. Marcos Benevenuto Jardim (IMECC-UNICAMP) Prof. Dr. Adriano Adrega de Moura (IMECC-UNICAMP) Data da defesa: 06/03/2006.

(9) Tese de Doutorado defendida em 06 de março de 2006e aprovada Pela Banca Examinadora. composta pelos Profs. Drs.. ~~~. Profia).. /. Dr (a). TOMÁS EDSON BARROS. ~@.f~Prof. (a). Dr (a).l\1AURO SPREAFICO. ~~~~~. Prof. (a). Dr (a). ALEXANDRE LUIS TROVON DE CARVALHO. ~J~~ Prof. (a). \Dr (a). MAR~S. BENEVENUTO. JARDIM.

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(570) A∞ /+ . A∞ % A - . 2 − n $ - n 1( mn : A⊗n → A. . n−j+1 . β(i, j, k)mi (a1 ⊗· · ·⊗ak−1 ⊗mj (ak ⊗· · ·⊗ak+j−1 )⊗· · ·⊗an ) = 0. . i+j=n+1 k=1. . β(i, j, k). n = 1, 2, 3, 4. (. k−1 & −1 % (j + 1)k + j(n + m=1 |am |)! < = $ - $ . +.

(571) 5)6. m1 = d. & (. 5,6. m = m2 : A ⊗ A → A. 5>6. m3 : A⊗3 → A. d2 = 0*. & * * d & % m = m2* & % m* m3 d[3] + dm3 = m(m ⊗ 1) − m(1 ⊗ m). d[3] d ⊗ 1⊗2 + 1 ⊗ d ⊗ 1 + 1⊗2 ⊗ d* 5?6. & 5 6 m4d[4] − dm4 @ K4 5% ' )* @ >6( m4. m4 d[4] − dm4 = m3 (m2 ⊗ 1⊗2 − 1 ⊗ m2 ⊗ 1 + 1⊗2 ⊗ m2 ) − m2 (m3 ⊗ 1 + 1 ⊗ m3 )..

(572)

(573)

(574) L∞ > -

(575) 8 '. : % 9:;

(576)

(577)

(578) 1. . σ ∈ Σn & (p, n − p) σ(1) < · · · < σ(p) σ(p + 1) < · · · < σ(n)! " Σp,n−p (p, n − p) !. ) * +4 ,) 1 /+. + 5+. A (p, n − p) &. "/ . - ln : L⊗n → L & * &( &3 + ,

(579) L∞ /+. . . n! ! (n − p)! p!. L∞. ln (x1 , . . . , xn ) = −(−1)(σ) ln (xσ(1) , . . . , xσ(n) ). L. ∀σ ∈ Sn. 2 − n $ - n 1( . . e(σ)(−1)σ (−1)i(j−1) li (lj (vσ(1) ⊗ · · · ⊗ vσ(j) ) ⊗ vσ(j+1) ⊗ · · · ⊗ vσ(n) ) = 0. i+j=n+1 σ. σ (j, n − j) ! . $.

(580) 7

(581) * n = 1* $ l1 & (l1 2 = 0)! B n = 2*

(582) ' l2 & * n = 3* C l3 ! & '(> : -

(583)

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(585) G % 1" <

(586) 9 Q % A∞ > L∞ !.

(587) . & (C, ∆, )* C & . % * ∆ : C → C ⊗ C : C → K - $ = % % ( ) * + ,2

(588) /+. C ∆. ↓ C⊗C. ∆. →C ⊗C. 1⊗. C ⊗← K←. ∆⊗1. . ↓ →C ⊗C⊗C. ∆. ⊗1. → K⊗C →. . ,. C. 1⊗∆. ) * + , /+. ' ( (. C ⊗C ↑. D ∆ : C → C ⊗ C * : C → C ⊗n n 2* . ∆(n−1). ∆(n−1) = (∆ ⊗ 1 ⊗ · · · ⊗ 1) ◦ · · · ◦ (∆ ⊗ 1) ◦ ∆. n−2. '. ∆ 9 * 9 &

(589) 9

(590) '. & % . " * (C, ∆, ) ! .. ' & φ : C → C $. ) * +. ,0* 2

(591) /+. (C , ∆ , ). . ∆ φ = (φ ⊗ φ)∆. φ = .. χ : C → C & . ' * χ−1 : χ(C) → C & . ' ! 6 + (+. $.

(592) " !. (χ⊗χ)∆ = ∆ χ ⇒ (χ⊗χ)∆χ−1 = ∆ ⇒ (χ−1 ⊗χ−1 )∆ = ∆χ−1 .. . f : C → C & % (C, ∆, ε) $ @ -( εf = 0 ) * + ' , /+. (f ⊗ 1 + 1 ⊗ f )∆ = ∆f.. E m : A ⊗ A → A & * % & d : A → A $ m(d ⊗ 1 + 1 ⊗ d) = d m! + +.

(593) J

(594) & '(

(595) % C 9 ' & : %

(596) (C)

(597) & '( : . G

(598) 1. (C, ∆) (C , ∆ ) χ : C → C . '. ! f : C → C & % χ(C)* f = χ−1f χ & % C !. 6 + !+. " ! 4 / > : χ−1 : χ(C) → C * - % : (f ⊗ 1 + 1 ⊗ f ) ◦ ∆ = (χ−1 f χ ⊗ 1 + 1 ⊗ χ−1 f χ) ◦ ∆ = = (χ−1 ⊗ χ−1 ) ◦ (f ⊗ 1 + 1 ⊗ f ) ◦ (χ ⊗ χ) ◦ ∆ = = (χ−1 ⊗ χ−1 ) ◦ (f ⊗ 1 + 1 ⊗ f ) ◦ ∆ ◦ χ = = (χ−1 ⊗ χ−1 ) ◦ (∆ ◦ f ) ◦ χ = = ((χ−1 ⊗ χ−1 ) ◦ ∆ ) ◦ f ◦ χ = = ∆ ◦ χ−1 ◦ f ◦ χ = ∆ ◦ f.. χ : C → C * - % > & ◦ χ = >

(599)

(600) C C &

(601) ◦ f = ◦ (χ−1 ◦ f ◦ χ) = ( ◦ χ−1 ) ◦ f ◦ χ = = ( ◦ f ) ◦ χ = 0 ◦ χ = 0.. ,.

(602) " (C, ∆) (C , ∆)! 7 (C ⊗ C , Ψ) & ' . ) * + 4 ,2

(603) 7/+. Ψ : C ⊗ C → (C ⊗ C ) ⊗ (C ⊗ C ) def. Ψ = (1C ⊗ τ ⊗ 1C ) ◦ (∆ ⊗ ∆ ),. τ & ' τ : C ⊗ C → C ⊗ C, τ (x ⊗ y) = (−1)|x||y| y ⊗ x! 4 ' C⊗C : C ⊗ C → K* C⊗C (x ⊗ x) = C (x)C (x )! . . . (C, ∆) (C , ∆) ! f : C → C & % * f ⊗ 1C : C ⊗ C → C ⊗ C & % !. 6 +5+. . " ! ((f ⊗ 1C ) ⊗ 1C⊗C + 1C⊗C ⊗ (f ⊗ 1C ))Ψ = = ((f ⊗ 1C ) ⊗ 1C⊗C + 1C⊗C ⊗ (f ⊗ 1C )) ◦ (1C ⊗ τ ⊗ 1C ) ◦ (∆ ⊗ ∆ ) = = (1C ⊗ τ ⊗ 1C ) ◦ [(f ⊗ 1C ) ⊗ 1C ⊗C + (1C ⊗ f ) ⊗ 1C ⊗C )] ◦ (∆ ⊗ ∆ ) = = (1C ⊗ τ ⊗ 1C ) ◦ [(f ⊗ 1C + 1C ⊗ f ) ◦ ∆) ⊗ (1C ⊗C ◦ ∆ )] = = (1C ⊗ τ ⊗ 1C )(∆f ⊗ ∆ ) = (1C ⊗ τ ⊗ 1C ) ◦ (∆ ⊗ ∆ )(f ⊗ 1C ) = Ψ(f ⊗ 1C )..

(604) '. C⊗C. . . ◦ (f ⊗ 1C ) = 0>. 8

(605)

(606) '. C ◦ f = 0.

(607)

(608)

(609)

(610) " % V * & ' (T c V, ∆⊗ , π0)* T c V = n0 V ⊗n * . ) * + +. V. ∆⊗ : T c V → T c V ⊗ T c V. & ' ∆⊗ (v1 ⊗ · · · ⊗ vn ) = v[n] ⊗ 1 +. . (v1 ⊗ · · · ⊗ vi ) ⊗ (vi+1 ⊗ · · · ⊗ vn ) + 1 ⊗ v[n]. 1in−1. ).

(611) v[n] = v1 ⊗ · · · ⊗ vn + & F π0 :. V ⊗n → K. n0. % V ⊗0 = K!. J & '. * H & '(

(612) %

(613) &* % %- : 7 4

(614)

(615) J'.

(616) B

(617) . πn : T cV → V ⊗n F! 8 ∆⊗ * = (. 6 ++. (n−1). πn = (π1 ⊗ · · · ⊗ π1 )∆⊗. . ,. n2. ). ∆(n−1) & ' )!)>! ⊗ " ! 4 -

(618) '. ∆⊗> : ∆(n−1) * ⊗ (n−1). ∆⊗. (x1 ⊗ · · · ⊗ xk ) =. . x[j0+1,j1 ] ⊗ x[j1 +1,j2 ] ⊗ · · · ⊗ x[j(n−1) +1,jn]. /.

(619) (n − 1)8 (j1 , . . . , jn−1 )

(620) : 0 = j0 j1 · · · jn−1 jn = k > x = x1 ⊗ · · · ⊗ xl 8D

(621) x[i,j] * -

(622)

(623) 9 ⎧ ⎪ ⎪ 1, ⎪ ⎨. x[i,j] =. se j < i. x,. se i = j. i ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ xi ⊗ · · · ⊗ xj , se i < j..

(624) 8 : 7. /

(625) * n 8D

(626) J'.

(627) B

(628) πn : T c V → V ⊗n * -

(629) . ⎧ ⎨ x ⊗ · · · ⊗ x , se k = n 1 k πn (x1 ⊗ · · · ⊗ xk ) = ⎩ 0, se k = n,. /. 2.

(630)

(631) 8 π 1 ⊗ ·· · ⊗ π1

(632) 7. /> n termos. . (π1 ⊗ · · · ⊗ π1 )(x[j0 +1,j1 ] ⊗ x[j1 +1,j2 ] ⊗ · · · ⊗ x[j(n−1) +1,jn ] ).. 6 7.

(633) " *

(634) .

(635) >

(636) > 8 D

(637) x[j +1,j ]

(638) V > J > k = n x[j +1,j ] = xl 1 l n & i. i+1. (l−1). (n−1). (π1 ⊗ · · · ⊗ π1 )∆⊗. l. (x1 ⊗ · · · ⊗ xk ). * x1 ⊗ · · · ⊗ xn :

(639) k = n * H

(640) . < T c V V ! 7 T aV ! < * % * T c V ∼ = T aV ! A G ⊂ A ! " %- d1 , d2 : A → A! d1 |G = d2 |G d1 = d2* A G d1 d2 $ E$! < 1' T aV = V ⊗n ( ++. (x1 ⊗ · · · ⊗ xn ) ⊗ (y1 ⊗ · · · ⊗ ym ) −→ x1 ⊗ · · · ⊗ xn ⊗ y1 ⊗ · · · ⊗ ym ,. f : V → T a V * A % fˆ : T aV → T aV ! &. & % %-! B f : T cV → V % % fˆ : T c V → T c V ! 4 ! f : V ⊗n → V & * % % fˆ : T c V → T c V ' fˆ(v1 ⊗ · · · ⊗ vk ) = 0 k < n . ) * +. ,6 /+. fˆ(v1 ⊗ · · · ⊗ vk ) =. k−n . (1⊗i ⊗ f ⊗ 1⊗k−n−i )(v1 ⊗ · · · ⊗ vk ),. i=0. 2. k n.. 0.

(641) -

(642) '. 9 : : ' & V A8 :> V * ' & V = n∈Z V ⊗n f * 1<

(643) |f |>

(644) -

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(646) . 9" 0

(647) -

(648) '. - fˆ(v1 ⊗· · ·⊗vk ) =. k−n . (−1)(|v1 |+···+|vi |)|f | v1 ⊗· · ·⊗vi ⊗f (vi+1 , . . . , vi+n )⊗vi+n+1 ⊗· · ·⊗vk .. i=0. 3 ' & : : V

(649) ' &

(650) ' % S

(651)

(652) T

(653) H A 9" H

(654) fˆ(v1 ⊗ · · · ⊗ vk ) =. k−n . v1 ⊗ · · · ⊗ vi ⊗ f (vi+1 , . . . , vi+n ) ⊗ vi+n+1 ⊗ · · · ⊗ vk .. i=0. D % V f : V ⊗n → V * fˆ : T c V → T c V & % ! " ! 4&

(655)

(656) .8 4 9" 6 +(+. ∆⊗ fˆ(v1 ⊗ · · · ⊗ vk ) = k−n i . =. k−n . ∆(v1 ⊗ · · · vi ⊗ f (vi+1 , . . . , vi+n ) ⊗ vi+n+1 · · · ⊗ vk ) =. i=0. . (v1 ⊗ · · · ⊗ vl ) ⊗ (vl+1 ⊗ · · · vi ⊗ f (vi+1 , . . . , vi+n ) ⊗ vi+n+1 · · · ⊗ vk ) +. i=0. +. l=0 k . . (v1 ⊗ · · · vi ⊗ f (vi+1 , . . . , vi+n ) ⊗ vi+n+1 · · · ⊗ vl ) ⊗ (vl+1 ⊗ · · · ⊗ vk ). .. l=i+n. 4 k . (fˆ ⊗ 1 + 1 ⊗ fˆ)∆⊗ (v1 ⊗ · · · ⊗ vk ) = (fˆ ⊗ 1 + 1 ⊗ fˆ). . (v1 ⊗ · · · ⊗ vl ) ⊗ (vl+1 ⊗ · · · ⊗ vk ) =. l=0. =. k . . fˆ(v1 , . . . , vl ) ⊗ (vl+1 ⊗ · · · ⊗ vk ) + (v1 ⊗ · · · ⊗ vl ) ⊗ fˆ(vl+1 , . . . , vk ) =. l=0. =. k l−n l=n. +. k−n . . i=0. (v1 ⊗ · · · ⊗ vl ) ⊗. l=0. . v1 ⊗ · · · vi ⊗ f (vi+1 , . . . , vi+n ) ⊗ vi+n+1 · · · ⊗ vl ⊗ (vl+1 ⊗ · · · ⊗ vk ) + k−n−l . vl+1 ⊗ · · · vl+i ⊗ f (vl+i+1 , . . . , vl+i+n ) ⊗ vl+i+n+1 · · · ⊗ vk. i=0. 0. . =.

(657) =. k−n . (v1 ⊗ l=0 k l−n . · · · ⊗ vl ) ⊗. . k−n . (vl+1 ⊗ · · · vi ⊗ f (vi+1 , . . . , vi+n ) ⊗ vi+n+1 · · · ⊗ vk ). +. i=l. . (v1 ⊗ · · · vi ⊗ f (vi+1 , . . . , vi+n ) ⊗ vi+n+1 · · · ⊗ vl ) ⊗ (vl+1 ⊗ · · · ⊗ vk ) .. +. l=n. i=0. 8 : ∆⊗ fˆ(v1 ⊗ · · · ⊗ vk ) = (fˆ ⊗ 1 + 1 ⊗ fˆ)∆⊗ (v1 ⊗ · · · ⊗ vk ).. 8

(658) . &