O teste de McNemar. A tabela 2x2. Depois

(1)

Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

Engenharia de Produção

Prof. Lorí Viali, Dr.

http://www.pucrs.br/famat/viali/

viali@pucrs.br

O teste de McNemar

O teste de McNemar para a

significância de mudanças é

particularmente aplicável aos

experimentos do tipo "antes e depois" em

que cada sujeito é utilizado como seu

próprio controle e a medida é efetuada em

escala nominal ou ordinal.

Para testar a significância de

qualquer mudança observável, através

deste método, é necessário construir uma

tabela de freqüências “2x2”. Veja exemplo

a seguir:

A tabela 2x2

D

C

-B

A

+

Antes

+

-Depois

(2)

Note-se que aqueles casos que

mostram mudanças entre a primeira e a

segunda resposta aparecem nas células

A

e

D

. Um sujeito é contado na célula

A

se ele

muda de

+

para

-

e é contado na

D

se ele

muda de

-

para

+

.

Se nenhuma mudança é ocorre ele

é contado nas células

B

(resposta

+

antes

e

depois

) e

C

(resposta

-

antes

e

depois

).

Hipóteses

A Como A + D representa o

número total de elementos que

acusaram alguma modificação, a

expectativa, sob a hipótese de

nulidade, é de que 1/2 (A + D) acuse

modificações em um sentido e 1/2 (A +

D) no outro sentido.

Variável Teste

(

)

2 D

+

A

)

2 D

+

A

D

(

=

2 D

+

A

)

2 D

+

A

(

=

E

O

=

χ

2

2 i

k

1 =

i

2

1 -∑

-Simplificando vem:

D

+

A

)

D

A

(

==

χ

₁

2 -

2 A correção torna-se necessária porque

uma distribuição contínua, no caso, o

qui-quadrado está

sendo usada para

aproximar uma distribuição discreta.

Quando todas as freqüências esperadas

são pequenas, esta aproximação pode não

ser boa.

Correção de Continuidade

A correção de continuidade (de

Yates) é uma tentativa de remover esta

fonte de erro. A expressão acima

incluindo a correção de Yates fica:

Correção de Continuidade

D

+

A

)

1 |

D

A

(|

==

χ

₁

2 -

-

2

(3)

Uma pesquisa realizada entre donos

de automóveis sobre a necessidade do uso

do cinto de segurança foi realizada antes e

depois de um filme sobre acidentes, onde

era enfocado os benefícios do uso do cinto.

Dos 80 motoristas entrevistados 20 eram

a favor do uso do cinto antes e continuaram

após, 30 eram contra antes e ficaram a favor

após, 15 eram contra antes e continuaram

contra após e 5 eram a favor e ficaram contra

após. Teste, ao nível de 1%, a significância das

mudanças.

H

₀

: A proporção de mudanças de A

para B é igual a de B para A, isto

é, P

_A

= P

_B

= 1/2

H

₁

: P

_A

> P

_B

Hipóteses

Os dados

30

15 -20

5 +

Antes

+

-Depois

A estatística teste

457 ,

16 =

30 +

5 )

1 |

5 (|

==

χ

₁

2 -

30 -

2

(4)

Significância do Resultado

Como pode ser visto o resultado

encontrado é significativo a 1% ou

menos, portanto as mudanças são

significativas.

Objetivos

A prova de Wilcoxon de duas

amostras emparelhadas é a equivalente não

paramétrica ao teste t para duas amostras

dependentes. As hipóteses são as mesmas,

embora às vezes elas possam ser colocadas

em termos da mediana e não da média.

Hipóteses

H

₀

: A diferença entre as médias (ou

medianas) populacionais é zero.

H

₁

: A diferença entre as médias (ou

mediadas) não é zero.

Objetivos

A suposição básica por trás deste teste

é que as distribuições populacionais são

simétricas (médias e medianas idênticas).

Inicialmente calcular d

_i

= diferença

dentro do par “i”. A seguir atribuir postos a

cada d

_i

, independentemente de sinal. Ao menor

d

_i

, atribuir o posto 1; ao próximo 2, etc. A cada

posto atribuir o sinal da diferença, isto é,

identificar quais postos decorrem de diferenças

negativas e quais de diferenças positivas.

(5)

Se as duas classificações são

equivalentes, isto é se Ho é verdadeira, é de se

esperar que algumas das maiores diferenças

sejam positivas e outras negativas. Desta

forma, se forem somados os postos com sinal

mais e os postos com sinal menos, deve-se

esperar somas aproximadamente iguais.

Metodologia

Se houver diferença entre estas duas

somas é sinal de que as duas classificações

(ou tratamentos) não se equivalem e

deve-se então rejeitar a hipótedeve-se nula.

Metodologia

Se as duas amostras foram extraídas da

mesma população, então se espera que as

distribuições acumuladas das amostras estejam

próximas. Se as distribuições estão “distantes”

isto sugere que as amostras provenham de

populações distintas e um desvio grande pode

levar a rejeição da hipótese de nulidade.

Eventualmente os escores de dois

pares serão iguais. Neste caso eles

devem

ser

excluídos da análise e o valor de n

deve ser reduzido na mesma quantidade

de valores em que a diferença for nula.

Empates

Pode ocorrer, ainda, um outro tipo de

empate. Duas ou mais diferenças podem ter o

mesmo valor absoluto. Neste caso, atribuí-se o

mesmo posto aos empates. Este posto é a

média dos postos que teriam sido atribuídos se

as diferenças fossem diferentes.

Por exemplo, se três pares acusam as

diferenças: -1, -1 e +1, a cada par será

atribuído o posto 2, que é a média entre 1, 2 e

3. O próximo valor, pela ordem, receberia o

valor 4, porque já teriam sido utilizados os

postos 1, 2 e 3.

(6)

Se T = a menor soma dos postos de

mesmo sinal (negativos ou positivos)

então T será significativo se não superar

o valor dado na tabela, sob determinado

nível de significância.

Pequenas Amostras (n < 25)

Neste caso T (menor soma) é

aproximadamente normal com os

seguintes parâmetros:

Grandes Amostras (n ≥ 25)

24 )

1 +

n

2 )(

1 +

n

(

n

=

σ

T

4 )

1 +

n

(

n

=

µ

_T

Um grupo de 25 motoristas foi

submetido a um teste para verificar o

efeito do álcool na percepção de

obstáculos. O número de cones derrubados

antes e depois da ingestão de uma dose de

destilado foi anotado.

2

4

2

5

4

3

2

1

2 D

1

4

3

4

3

2

1

2

1

0 A

3

1

3

1

5

3

4

2

1

0 A

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11 M

4

5

6

3

4

2

3

2

3

2 D

9

8

6

7

10

5

4

3

2

1 M

Teste a hipótese de que o álcool

não tem influência sobre a

percepção dos motoristas.

(7)

Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística Engenharia de Produção

Resultados - SPSS

116,00

9,67

12 Positive

Ranks

5,00

Mean

Rank

20

4

4 N

Total

Ties

Negative

Ranks

20,00

Antes –

Depois

Sum of

Ranks

0,005

Exact Sig. (1-tailed)

0,011

Asymp. Sign (2 tailed)

0,002

0,010

-2,542 (a)

Antes –Depois

Point Probability

Exact Sig. (2-tailed)

Z

a Based on negative ranks.

b Wilcoxon Signed Ranks Test

O teste

é uma extensão direta do

qui-quadrado para duas amostras independentes.

Em geral, o teste é o mesmo, tanto para duas,

como para k amostras independentes.

O teste qui-quadrado

O teste

χ

²

de “k”

amostras

independentes pode ser utilizado para

verificar a dependência ou independência

entre as variáveis sendo consideradas.

H

₀

:

As variáveis são independentes

H

₁

:

As variáveis são dependentes

Hipóteses e Cálculo

(

)

E

O

=

χ

ij

k

1 =

i

∑

l

1 =

j

ij

2

2 υ

∑

-A variável teste é:

(8)

Expressão alternativa

(

)

n

E

O

=

E

O

=

χ

ij

k

1 =

i

l

1 =

j

2 ij

ij

k

1 =

i

l

1 =

j

ij

2

2 υ

-∑ -∑

∑

-A variável

teste é:

r = número de linhas da tabela;

L = número de colunas da tabela;

O

_ij

= freqüência observada na interseção

da linha i com a coluna j.

E

_ij

= número de casos esperados na

interseção da linha i com a coluna j.

Onde:

= tamanho da amostra;

∑

k

1 =

i

l

1 =

j

∑ O

ij

=

n

χ

2 _υ

_{é a estatística teste;}

p

n

=

E

ij

_ij

são as freqüências esperadas

de cada célula ij da tabela.

p

_ij

é a probabilidade de ocorrer uma

observação na célula ij. Se as variáveis são

supostamente independentes (H

₀

é

Verdadeira), então p

_ij

= p

_i.

p

_.j

, onde p

_i.

é a

probabilidade marginal correspondente à

linha “i” e p

_.j

é a probabilidade marginal

correspondente a coluna j.

Como não se conhecem as probabilidades

marginais, elas devem ser estimadas através

das correspondentes freqüências relativas.

Então:

n

f

=

n

f

.

n

f

.

n

=

p

.

p

n

=

p

n

=

E

j

.

i

j

.

i

j

.

i

ij

∑

k

1 =

i

ij

j

.

l

1 =

j

ij

.

i

=

∑ f

e

f

=

f

(9)

O teste de Kruskal-Wallis é utilizado

para decidir se k amostras independentes

podem ter sido extraídas de populações

diferentes.

Objetivos

Os valores amostrais diferem entre si

e deve-se decidir se essas diferenças

amostrais significam diferenças efetivas

entre as populações, ou se representam

apenas variações casuais.

O teste supõe que a variável em

estudo tenha distribuição contínua e exige

mensuração no mínimo ao nível ordinal.

Cada um dos

n

valores é substituído por

um posto. Isto é, os escores de todas as k

amostras combinadas são dispostos em uma

única série de postos. Ao menor escore é

atribuído o posto 1, ao seguinte o posto 2 e

assim por diante até o maior posto que é n =

número total de observações.

Metodologia

Feito

isso, determina-se a soma dos

postos em cada amostra (coluna). A prova

então testa se estas somas são tão diferentes

entre si, de modo que não seja provável que

tenham sido todas retiradas de uma mesma

população.

(10)

Se as k amostras forem de uma mesma

população (H

₀

é V) então a estatística de

Kruskal-Wallis tem distribuição conhecida

(Tabela O) se as amostras forem pequenas

(n < 5) ou Qui-Quadrado com

gl

= k

-

1

1 , desde

que os tamanhos das k amostras não sejam

muito pequenos (5 ou mais elementos).

A estatística teste

O grau de liberdade

é

:

A estat

í

stica amostral

amostras

de

número

=

k

onde

,

1 k

=

ν

n

T

-

1 )

1 +

n

(

3 n

R

)

1 +

n

(

n

12 =

H

3 k

1 =

j

2 j

-∑

∑

-e

e

Onde:

k = número de amostras;

n

j

= número de elementos na amostra “j”;

R

_j

= soma dos postos na amostra (coluna) “j”;

n = ∑n

j

= número total de elementos em todas

as amostras combinadas;

T = t

3 _{– t, onde t é o número de empates.}

Verificar a influência do Fator

“Idade” sobre a variável “tempo, em

dias, para conseguir um emprego”,

considerando as seguintes amostras:

12

45

33

64

71

18

14

6

31

25 Abaixo de 25

30

51

28

27

42

33 Entre 25 e 40

57

58

43

20

63 Acima de 40 anos

(11)

Tem-se n = 21 (total de

informações). Então o maior posto

será 21.

10

2

15

3

20

21 Σ

Σ

R

3

3 = 31

= 31

5

4

1

11

7 Postos (3)

Postos (3)

Σ

R

2

2 = 90

= 90

16

9

8

13

12 Postos (2)

Postos (2)

Σ

R

1

1 = 110

= 110

17

18

14

6

19 Postos (1)

Postos (1)

A vari

á

vel teste ser

á

:

04 ,

21 =

66

04 ,

87 =

=

+

)

6

31 +

8

90 +

7

110 (

)

1 +

21 (

21

12 =

=

)

1 +

n

(

3 n

R

)

1 +

n

(

n

12 =

H

2

2 k

1 =

j

2 j

-1)

3(21

-∑

-O grau de liberdade é:

2 =

1 -3

=

1 k

=

ν

-Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

O

χ

2 ₂

_{tabelado é:}

A 1% de significância é possível

afirmar que o fator “idade” tem

influência sobre o “tempo para

encontrar trabalho”.

(12)

Resultados SPSS

Kruskal-Wallis Test

5,92

10,81

15,57

Mean Rank

21

6

8

7 n

Total

2

1

0 Controle

0,020

2 7,839

Tempo

Assyp. Sig.

df

Chi-Square

Objetivos

Quando os dados de k amostras estão em

correspondência, isto é, o número de casos é o

mesmo para cada uma delas, pode-se utilizar a

análise de variância por postos de Friedman

A dupla análise de variância ou χ

2 _de

Friedman é uma alternativa não paramétrica

para testar diferenças entre duas ou mais

amostras dependentes.

A estatística teste é dada por:

Cálculo

∑

-k

1 =

i

2 i

2 υ

=

_nk

₍

12 _k

₊

₁

₎

R

3 n

(

k

+

1 )

χ

Onde:

k = número de tratamentos;

n = tamanho da amostra;

ΣR

i

= soma dos postos de cada tratamento;

v = k –1 = grau de liberdade.

(13)

Onde:

k = número de tratamentos;

n = tamanho da amostra;

ΣR

i

= soma dos postos de cada tratamento;

v = k –1 = grau de liberdade.

Oito gerentes foram convidados de uma

empresa de Internet para avaliar o novo sítio

da instituição onde trabalham. Eles foram

convidados a dar uma nota de 0 a 5 para cada

uma de quatro características de interesse do

local. Teste se as características diferem

significativamente a 5%.

3

4

3

5

2

4

2 C2

5

4

1

2

0

2

3

3 C1

5

3

7

0

1

6

4

3

0

2

5

1 C4

5

4

3

5

4

2 C3

8

5

4

3

2

1 Gerentes

Engenharia de Produção Engenharia de Produção

Friedman Test

2,19

2,88

2,69

2,25

Mean Rank

C

4 C

₃

C

2 C

1 0,606

3 1,846

8 Asymp. Sig.

df

Chi-Square

n

(14)

Como a significância do resultado é

60,60%, acima da significância do teste,

não é possível rejeitar a hipótese de que

existe diferença entre as diversas

características.