Unidade F. Limites. Débora Bastos IFRS CAMPUS RIO GRANDE

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Unidade F

Limites

Débora Bastos

IFRS – CAMPUS RIO GRANDE FURG

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1. Noção de limites

Quando queremos saber a ordenada do ponto em uma função, cuja lei é y= f(x), em que x = a, basta calcularmos f(a). O ponto (a,f(a)) pertencerá ao gráfico de f. Agora é muito diferente querer investigar qual a tendência das ordenadas da função quando x se aproximam cada vez mais de um determinado valor a. O primeiro implica que a pertença ao domínio da função, o segundo não.

Exemplo1: Seja f: ℝ  ℝ, cuja lei é

          3 x , 1 3 x , 3 x 9 x 6 ² x ) x ( f .

Tem-se f(3) =1, agora quando x se aproxima cada vez mais de 3, o que acontece com os f(x)? Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaixo.

x 1 2 2,5 2,9 2,99 2,999 x  3

-f(x)

x 5 4 3,5 3,1 3,01 3,001 x 3+

f(x)

Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que cada vez que nos aproximamos mais do x = 3, mais os f(x) se aproximam de ______. Notação:   f(x) lim 3 x

Observação: 1)Esse processo não nos dá garantias do resultado do limite, pois para ter essa certeza deveríamos testar todas as formas de nos aproximarmos de x = 3. E quantas formas existem de fazer isso? Infinitas. Por isso, para o cálculo dos limites vamos nos basear em teoremas que nos garantam certos resultados. 2)O gráfico desta função está abaixo. Com o gráfico pronto conseguimos associar

o comportamento do gráfico com o limite. Os f(x) tendem a zero quando x tende a 3, mas f(3)=1.

3) Vemos também a noção de limites laterais. Se analisarmos a tendência dos f(x) quando x se aproximam de a, mas por valores menores que a, definem o limite lateral a esquerda. Denotamos por limf(x)

a

x  .

Se analisarmos a tendência dos f(x) quando x se aproximam de a, mas por valores maiores que a, definem o limite lateral a direita. Denotamos por limf(x)

a

x  .

Exemplo2: Seja f: ℝ  ℝ, cuja lei é

        2 x , 1 x 2 x , 1 ² x ) x ( f .

Tem-se f(2) = 3, agora quando x se aproxima cada vez mais de 2, o que acontece com os f(x)? Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaixo.

x 1 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 x  2

-f(x)

x 3 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001 x 2+

f(x)

Isso tudo nos dá a ideia de que se nos aproximamos de x = 2, não há um comportamento único dos f(x), assim não há limite.

Notação: limf(x)

2 x

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Note como faz diferença nos aproximarmos de 2 pela esquerda ou pela direita.

Trabalharemos mais adiante com a definição de função contínua. A função do exemplo 1 e este nos diz que a função é descontínua, pois em uma valor do seu domínio o gráfico é “partido”.

Proposição 1: Se o limite de uma função existe, então ele é único.

Isso significa que, se ao nos aproximarmos de um certo valor de x de maneiras diferentes e os f(x) se aproximarem de valores distintos o limite não existe. Essa proposição é importante para provarmos quando um limite não existe.

Corolário 2: limf(x) L limf(x) L limf(x)

a x a x a x        

Qualquer maneira que nos aproximemos de a, ou por valores maiores que a, ou valores menores que a, se o limite existe (e é único) o resultado deve ser o mesmo.

Exemplo 3: Seja f: ℝ  ℝ, cuja lei é

       0 x , 3 0 x , x senx ) x ( f .

Tem-se f(0) = 3, agora quando x se aproxima de 0, o que acontece com os f(x). Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaixo. Observação, como dependemos da função seno, x deve ser em radianos.

x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001 x  0+

f(x)

x -1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 x 0

-f(x)

Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que cada vez que nos aproximamos mais do x = 0, mais os f(x) se aproximam de ______. Notação:   f(x) lim 0 x

Essa função também não seria contínua.

Exemplo 4: Seja f: ℝ  ℝ, cuja lei é f(x) = x². Investigaremos o limite quando

x  -1. Tem-se f(-1) = 1, agora quando x se aproxima de -1, o que acontece com os f(x)? Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaixo.

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x -2 -1,5 -1,1 -1,01 -1,001 -1,0001 x  -1

-f(x)

x 0 -0,5 -0,9 -0,99 -0,999 -0,9999 x -1+

f(x)

Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que cada vez que nos aproximamos mais do x = -1, mais os f(x) se aproximam de ______.    f(x) lim 1 x =

Podemos observar que a tendência dos f(x) é a mesma que f(-1).

Observação: A diferença do exemplo 4 para os

anteriores é que esta função é continua em x = -1, onde o limite é investigado

2. Noção de função continua

Todas esses gráficos são de funções de domínio real. Analisando seu domínio o gráfico das três primeiras são formadas pelo conjunto de duas ou mais linhas. Já o quarto, formado de uma linha só. Isso dá a ideia que as três primeiras são descontínuas e a quarta é contínua. Isso por si só não constitui a definição de continuidade porque pode haver caso que a função tenha alguma restrição no domínio

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e consequentemente terá seu gráfico formado por mais de uma linha. Por exemplo, a função: f: ℝ*  ℝ*, cuja lei é x 1 ) x ( f  .

Não há divisão por zero, logo x = 0 não está definido para esta função. Não há gráfico em x = 0 (eixo oy). Assim obrigatoriamente o gráfico da função será formado por duas linhas. Uma para x < 0 e outra para x > 0. Em cada parte do seu domínio a função é contínua. Formada por uma linha, assim a função no seu domínio é contínua.

Só há sentido em definir continuidade dentro do domínio da função. Não há sentido analisar a continuidade de x = 0 na função citada acima. Já sabemos que, considerando todos os reais, ela “falha” porque não existe divisão por zero. Não há dúvida sobre isso. Analisar a continuidade é verificar DENTRO DO DOMÍNIO da validade da função, se há a característica de partes desconexas do gráfico.

Definição 3: Dizemos que uma função é contínua em x = a se, e somente se:

) a ( f ) x ( f lim a x  .

Isso nos dá uma vantagem automática. Conhecendo o gráfico de uma função, se quisermos investigar o limite em um certo x = a, em que a  D(f), sabemos o resultado do limite, é f(a). Então no caso de funções contínuas, sabemos CALCULAR LIMITES E NÃO APENAS A NOÇÃO de que valor os f(x) se aproximam quando x se aproxima de um a. Exemplo: Calcule: a)    (3x²) lim 1 x b)   ) x ( sen lim 2 x  c)   x 3 x 5 lim d)   ln(x) lim 0 x

3 Noção de limite infinito e no infinito

Limites no infinito são investigações sobre o comportamento dos f(x) quando x aumenta sem limitação e assim dizemos que x  + , ou quando x diminui sem limitação e assim dizemos que x  - . Inicialmente para termos a ideia, voltaremos às tabelas. Já podemos dizer que o resultado do limite é , se os f(x) aumentarem sem limitação f(x)  + , ou diminuírem sem limitação f(x)  - .

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Exemplo 1: Seja a função f: ℝ  ℝ cuja lei é f(x) = 2x_{. Já sabemos qual é o}

comportamento dessa função, pois estudamos o seu gráfico.

Sabemos que o gráfico é crescente (a>1), cresce muito a medida que x cresce. O eixo ox é assíntota do gráfico, pois os valores de y se aproximam de zero quanto menor o x (negativos).

Nessas duas características do gráfico podemos observar o que constataremos nas tabelas.

x 10 15 20 50 100 x + 

f(x)

x -10 -15 -20 -50 -100 _{x  -}_

f(x)

Há a ideia que quando x  - , f(x)  0 e quando x  + , f(x)  + .

Exemplo 2: Seja a função f: ℝ  ℝ definida pela lei f(x) =        0 x , 3 0 x , x 1 x 3 .

Investigaremos o limite quando x  0. Não sabemos se essa função é contínua, então não podemos calcular seu limite.

x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 x 0+ f(x) x -1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 x  0 -f(x) a) Noção de _   f(x) lim 0 x b) Noção de _   f(x) lim 0 x c)   f(x) lim 0 x x 10 15 20 50 100 _{x +}_ f(x) x -10 -15 -20 -50 -100 _{x  -}_ f(x) d) Noção de    f(x) lim x e) Noção de    f(x) lim x

f) Gráfico: Considerando que as intuições estão certas podemos ter a ideia de como é o gráfico da função e já sabemos que é descontínua no x = 0.

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Observação: Reforçando: preencher tabelas não nos garante o resultado do limite. Nos dá apenas uma ideia. A única vantagem é quando o limite não existe, pois se temos maneiras diferentes de nos aproximarmos de um mesmo valor, tendências distintas seriam impossíveis se houvesse o limite.

Exemplo 3: Seja a função f: ℝ  ℝ definida pela lei f(x) =

            0 x , 0 0 x , x sen  .

Investigaremos o limite quando x  0

x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 x 0+ x  f(x) x -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 x  0 -x  f(x) Noção de   f(x) lim 0 x x 2/3 2/31 2/303 2/3003 2/30003 x 0+ x  f(x) x -2/3 -2/31 -2/303 -2/3003 -2/30003 x  0 -x  f(x) Ou seja, limf(x) 0 x .

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Temos que ver resultados que nos possibilitem calcular limites. A definição demanda conhecimento básico matemático muito maior. Mostraremos em nível de curiosidade.

Definição 4:    f(x) L lim

a

x Existe  tal que |x – a| <  implique |f(x)– L| < , para  tão pequeno quanto se queira. Proposição 5: limx a

a x 

Demonstração:Basta tomar  =  , pois | x – a| = |f(x) – L|.

Considerando |x – a| < , temos |x- a| = |f(x) – L| <  = , logo implica que |f(x) – L| <  e assim limx a a

x  .

Observação: Para resolvermos um limite por definição temos que ter um candidato a solução o que não ajuda no seu cálculo. Assim, veremos alguns resultados e toma-los como base.

Proposição 6: limk k

x 

A função f: ℝ  ℝ, cuja lei é f(x) = k é uma função contínua, pois é uma função afim, cujo gráfico é uma reta paralela ao eixo ox. Assim, limf(x) limf( ) k

x

x     . Os limites podem ser até no infinito, o resultado é o mesmo.

Proposição 7: (i)     x lim x (ii) limx x   Proposição 8:                 _,_f₍_x₎ ₀ 0 ) x ( f , ) x ( f 1 lim 0 ) x ( f lim x x

Exemplos: Calcule os limites abaixo:

a) _   _x 1 lim 0 x b) _   _x 1 lim 0 x c)   _x 1 lim 0 x d)    _x 1 lim x e)    _x 1 lim x

Gráfico da função f: ℝ*  ℝ*, cuja lei é f(x) = x 1

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Teorema 9: Álgebra dos limites. Se limf(x) L a x  ; limxa g(x) M e c  ℝ, então: (a) lim



f(x) g(x)



L M a x    (b) lim



f(x) g(x)



L M a x    (c) M L ) x ( g ) x ( f lim a x _       desde que g(x) e M  0 (d) limcf(x) cL a x  Exemplo: a)







  x 5 lim 3 x b)   x² lim 5 x c)         x senx lim 2 x 

Proposição 10: Se p é polinômio qualquer, para todo a  ℝ:

) a ( p ) x ( p lim a x 

Exemplo: Calcule os limites abaixo:

(a) lim



x4 7x² x



2 1 x    (b) _            ₃_x ₉_x ₆_x_² ₇_x x 8 ² x 5 x 2 lim ₄ ₃ 3 0 x (c)          _x ₃ 9 ² x lim 3 x

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Proposição 11: Teorema da raiz: Se p(x) é um polinômio e a é uma raiz deste polinômio, ou seja, p(a)=o, então p(x) é divisível por x - a.

Exemplo: p(x)= x³ - 2x +1

No que isso pode ajudar a calcular limites? Ajuda nos casos de indeterminação 0 0 . Exemplos: (a)           _x_² ₁ 1 x 2 ³ x lim 1 x (b)           _x_³ ₁ 3 1 x 1 lim 1 x (c) _          _x ₁ 1 x lim 1 x

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Proposição 12: Considere k um número inteiro maior que 1, L um número real.

(a) Se k for ímpar e limf(x) L

a x  , então k k a x f(x) L lim   .

(b) Se k for par e limf(x) L

a x  , então k k a x f(x) L lim   para L > 0.

(c) Se k for par e limf(x) 0

a

x  , então lim f(x) 0 k

a

x  para f(x) > 0.

Proposição 13: Considere L um número real. Se limf(x) L

a

x  , então limxaf(x)  L.

Exemplo: Calcules os limites abaixo:

(a) limx² 4 1 x  (b) lim x² 4 3 x  (c) 4



_x ₁



1 x ₂ 1 x log lim _   

5 Limites Laterais, continuidade e mais alguns resultados de limites finitos

Se no exemplo (c) anterior, o limite lateral não fosse definido, não determinaríamos o resultado do limite com tanta facilidade, ou ainda, o limite poderia não existir se os laterais fossem diferentes. Nos casos que não é tão fácil saber o resultado de um limite lateral podemos usar o velho recurso de troca de variável.

Considere h  0, sempre com h > 0.

Limite lateral à esquerda: Trocar x por a – h, então: ) h a ( f lim ) x ( f lim 0 h a x     Observação: Se h  0+_{e x = a – h, então x  a}

-Limite lateral à direita: Trocar x por a + h, então:

) h a ( f lim ) x ( f lim 0 h a x     Observação: Se h  0+_{e x = a + h, então x  a}+

Exemplo 1: Calcule os limites indicados fazendo a troca de variáveis

correspondente. (a.1) lim x 2 2 x   (a.2) lim x 2 2 x  

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(a.3) lim x 2 2 x  (b.1) lim 9 x² 3 x   (b.2) lim 9 x² 3 x   (b.3) lim 9 x² 3 x  (c) lim x² 8x 16 4 x  

Exemplo 2: Calcule os limites laterais indicados e conclua se a função é contínua.

(a) Em relação a f: ℝ  ℝ, cuja lei é f(x) =       0 x , x x 0 x , 0 (a.1) x x lim 0 x  (a.2) x x lim 0 x  (a.3) É contínua em x = 0?

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(b) Considere f(x)=        1 x , 1 ² x 1 x , 1 x

, calcule os limites laterais: (b.1) lim f(x) 1 x  (b.2) lim f(x) 1 x  (b.3) A função é contínua em x = 1?

Atenção: Funções definidas apenas por uma sentença são sempre contínuas no seu

domínio. Há perigo de uma função ser descontínua se for definida por mais de uma sentença. Nesse caso os pontos suspeitos são os pontos em que há a mudança na lei de formação.

Exemplos: Verifique a continuidade das funções abaixo em seu domínio.

(a)        2 x ², x 2 x , 1 x 2 ) x ( f

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(b)           1 x , 1 ² x 2 1 x , 2 x ) x ( f Proposição 14: Se limf(x) L

x  e n uma constante natural, então

 

n n x f(x) L lim    Exemplos: a) 5 x _x 1 lim         b)limsen2x 3 x Proposição 15: Se limf(x) L x  e limx g(x)  M, então

 

M ) x ( g x f(x) L lim    , desde que L e M

não sejam nulos ao mesmo tempo (indeterminação 00_{) ou L = 0 e M < 0 (proposição 8).}

Exemplos: a)





x 2 x x 1 lim   b)





cosx 3 x senx lim   c)





log x 2 x 2 1 x 2 lim_  

Observação: O limite lateral a direita do exemplo c não existe, pois o domínio

da função é D=],1[]1,2[.

6 Limites infinitos e no infinito

Já trabalhamos com a noção de limites infinitos e no infinito e alguns resultados. Agora trabalharemos algumas proposições em decorrência do que estudamos e sabemos de funções e a importante álgebra dos limites infinitos.

Proposição 16: São verdadeiras, em decorrência das funções exponencial e

logarítmicas estudadas: (a)    a  0 lim x x e limx0 loga x   se a > 1 (b)     x x a lim e     log x lim_x a se a > 1 (c)     x x a lim e _    log x lim _a 0 x se 0 < a < 1 (d)    a  0 lim x x e limxloga x   se 0 < a < 1

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Proposição 17: Álgebra dos limites infinitos: Se   

 f(x) lim

x ; limx g(x)  ; c e d constantes reais em que c > 0 e d < 0, então:

(a)







    f(x) lim x (b)      f(x) g(x) lim x (c)     cf(x) lim x (d)     df(x) lim x (e)







    f(x) g(x) lim x (f)





 

f

(

x

)

lim

c x

Proposição 18: Álgebra dos limites infinitos: Se  

  f(x) lim

x ; limx g(x)  ; c e d constantes reais em que c > 0 e d < 0, então:

(a)







    f(x) lim x (b)      f(x) g(x) lim x (c)     cf(x) lim x (d)     df(x) lim x (e)







    f(x) g(x) lim x

Observação: Descrever todas as combinações possíveis de limites infinitos com

constantes e limites finitos geraria uma lista muito longa. Podemos deduzir o resultado desde que não caíamos numa indeterminação:



_,__-__,_₀_{, 0}__{, 1}__{, 0.}_ ou

0 0

. Aqui, quando se fala em 0 ou em 1 está subentendido que são funções que possuem este limite, não o próprio número 0 ou o próprio número 1, neste caso não há indeterminação. Exemplos: a) ₄_x x x ₂ 3 lim  

b) lim



log₂ x log₂ x²



0 x   c) lim(x² x) x  d) lim(x² x) x  e) lim(3x³ x² 8x 3) x   

(16)

f) _               _2x _9x _7x ₂ 1 4x 2x 3x lim 2 4 3 4 x g) _                _2x ₂_x _70x ₂₀ 1 3x 6x 3x lim 2 3 3 5 x ² x 4 h) _                2x x 1 x 13 1 3x 6x 2x lim 4 5 6 6 7 x ₄ x 4 3 i)                _2x _x ₁₄_x ₁₃ 1 3x x 4 6x 2x lim ₆ ₅ ₄ 2 3 4 x

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j) _          ₃_x ₆ 2 ² x lim x k) 6 5 3 1 x log x x lim _        l) x x x 2 x lim   

Observação: Os infinitos são infinitos de formas diferentes. Existem infinitos

que diante de outros infinitos se comportam como se fossem constantes. Para ter ideia do tamanho dos infinitos preencheremos a tabela abaixo:

x x2 _log 2x 2x x! xx 1 2 3 10 100 1000 10000

Colocando em ordem crescente:

Exemplos: Calcule os seguinte limites:

(a)    _x 2 lim x x (b)    _x_! 2 lim x x

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7. Limites Fundamentais

Os limites fundamentais resolvem algumas indeterminações importantes, que não teríamos artifícios para chegar nos mesmos resultados, então tomamos como verdades. Aproveitamos para trabalhar outras indeterminações:

0 0 ,   , ₁_,_0_,₀_,  

Antes de passar ao estudo dos limites fundamentais, veremos mais dois resultados de limites que nos ajudarão a compreender mais os limites assim como os fundamentais.

Teorema 19: Teorema do Confronto: Se f(x), g(x) e h(x) são funções tais que f(x) < g(x) < h(x) para todo x e L ) x ( h lim ) x ( f lim x x    , então limx g(x)  L. Exemplo: x senx lim 0 x 

Usaremos o teorema do confronto, ou seja, encontraremos funções f, g, h que satisfaçam o teorema e ao mesmo tempo que x

senx g(x)  .

Relacionaremos o triângulo OAP, o setor circular OAP e o triângulo OAT. Observe na figura que:

Área(OCP) < Àrea(S(OAP)) < Área(OAT) Assim, considerando x em radianos:

2 PC OA  < 2 OA x  < 2 TA OA  2 senx 1  < 2 1 x  < 2 tanx 1 

Multiplicando tudo por 2 e substituindo tanx: senx < x <

cosx senx

Dividindo tudo por senx, considerando senx>0, x  IQ: 1 < senx

x <

cosx 1

Invertendo os membros da desigualdade: cosx < x senx

< 1 Tudo isso para definirmos f(x) = cosx, g(x) =

x senx

e h(x) = 1.

Pelo teorema do confronto com a condição: limf(x) limh(x) 1

o x 0

x      , tem-se limxo g(x)  1. cqd

Para chegarmos ao resultado do primeiro limite fundamental, precisaríamos fazer esse limite pela esquerda. Todo o procedimento é semelhante e chegaríamos ao mesmo resultado.

Proposição 20: Se f(x) é uma função limitada, ou seja, para todo x  D(f),

tem-se |f(x)| < k, tem-sendo k uma constante positiva, e:

(a) limg(x) 0 x  , então limx f(x) g(x)  0. (b)     g(x) lim x , então limxf(x) g(x)  . Exemplos: a) x senx lim x

(19)

b)limx cosx x  Proposição 21: 1 x senx lim 0 x  Indeterminação ₀ 0 . Exemplos: a)   _x x 3 sen lim 0 x b)   _sen₅_x x 3 sen lim 0 x c)    _xsenx x cos 1 lim 0 x d)        _x ) x ( sen lim x Proposição 22: k x x _x e k 1 lim           Indeterminação 1 _. Exemplos: a)           x x _x 2 1 lim b)           x x ₃_x 2 1 lim c)



 



   xln(x 1) lnx lim x

(20)

d)            x x ₂_x ₃ 1 x 2 lim Proposição 23:





x k 1 0 x 1 kx e lim    Indeterminação 1 _. Exemplos: a)







  x 2 1 0 x 1 3x lim b)







  senx 1 0 x 1 4senx lim c)                     3 0 x 1 x x 1 ln x 2 lim Proposição 24: lna kx 1 a lim kx 0 x    Indeterminação ₀ 0 .

Exemplos: 1. Calcule os limites abaixo:

a)    _x 1 a lim x 3 0 x b)    _x b a lim x x 0 x

(21)

c)      _x _a 1 e lim a x a x

2. Verifique a continuidade da função:

             _       x , x 1 e x , ) x ( sen x ) x ( f _x 8. Exercícios.

Calcule os limites abaixo:



x 7x 9



lim 5 4 0 x   1- lim



1 x



0 x  2- 3-



4 3



1 x x 2x lim              _x ₂ 4 x lim 2 2 x 4-



x 3x 2



² lim 2 4 x   5-            _x_² ₁₆ 4 x 7 ² x 10 x 3 lim 3 16 x 6-             _x_² ₁ 1 x 3 x 3 x lim 2 3 1 x 7-             _x_² ₁₆ 2 4 x 5 lim 4 x 8- 3 x 9 x lim 9 x    9- 8 x 6 5 x 3 lim x     10-5 ³ x 2 x ² x 4 lim x     11- lim



9x² 5x 1 3x



x   

12-

tanx secx



lim 2 x   13-10 x 3 2 ² x lim x    

(22)

14-      _   x² 1 x 1 lim 0 x 15-x 2 4 x lim 0 x    16-x x 2 tan lim 0 x

17- lim(senx cotanx)

2 x   18-x x cos 1 lim 0 x   19- x x _x 3 x lim          20-1 x x ₅_x ₇ 4 x 5 lim    _       21- 2 x 1 10 lim 2 x 2 x      22-3 x 8 2 lim x 3 x    23-senbx senax e e lim bx ax 0 x   

24-Calcule os limites laterais das funções abaixo; nos valores indicados. Determine se o limite para a tendência indicada existe.

25-        0 x , 1 0 x , 1 ) x ( f ,para x  0 2 x 1 ) x ( g   26- , para x  2 ² x 1 ) x ( h  27- , para x  0 1 ² x 1 x ) x ( f    28- , para x  1 )² 1 x ( x 1 x ) x ( g    29- , para x  1

Examine a continuidade das funções com domínio ℝ, nos pontos indicados:

        2 x , 3 2 x , )² 2 x ( 1 ) x ( f 30-         0 x , 0 0 x , x x ) x ( g 31-           1 x , 1 x 1 x , 3 x ) x ( h 32-           2 x , 3 2 x , 2 x 1 ) x ( f 33-             0 x , x 2 1 e 0 x , 1 0 x , x senx ) x ( g x 2 34- 35-                                       2 x , 2 x sen 2 x , 2 x 1 sen 2 x ) x ( h 2     