BRUNO DA SILVEIRA DIAS
Conteúdo
0. Introdução 1
1. Grupos Topológicos 2
2. Subgrupos, Produtos Diretos e Limites Inversos 8
3. A Topologia de Krull 11
4. A Correspondência de Galois 16
Apêndice A. Vizinhanças 18
Referências 19
0. Introdução
O Teorema Fundamental da teoria de Galois nos diz que dada uma extensão de corpo finita e galoisiana F ⊆ E, existe uma correspondência natural entre extensões intermediárias F ⊆ K ⊆ E e subgrupos do grupo AutF(E) dos automorfismos de E
que mantém fixo o corpo base F. Essa correspondência se dá associando a cada corpo intermediário K o subgrupo AutK(E) dos automorfismos que o deixam fixo e
a cada subgrupo H 6 AutF(E), o subcorpo EH formado pelos pontos fixos da ação
de H sobre E.
A pergunta natural que surge então é se esta mesma correspondência é válida quando passamos a considerar extensões infinitas. O primeiro a desconfiar de que a resposta era negativa foi o matemático alemão Richard Dedekind, que analisou a extensão Q(µp∞), obtida de Q através da adjunção de todas as raízes pn-ésimas
da unidade (para algum primo fixo p), chegando muito próximo de apresentar um subgrupo do grupo de automorfismos que não corresponde à nenhuma extensão intermediária. O responsável por esclarecer a questão foi outro matemático alemão, Wolfgang Krull, no ano de 1928, em seu artigo intitulado “Galoissche Theorie der unendlichen algebraischen Erweiterungen” (Teoria de Galois das extensões algébricas infinitas). A ideia de Krull consistiu em equipar o grupo de Galois AutF(E) com uma topologia, hoje denominada topologia de Krull, e verificar que os subgrupos que correspondem a extensões intermediárias F ⊆ K ⊆ E são exatamente aqueles que são fechados nesta topologia.
O objetivo deste trabalho é, portanto, apresentar a teoria de Krull para extensões galoisianas infinitas, enunciando e demonstrando o teorema da correspondência de Galois para esse contexto. Nas primeiras seções, fazemos uma breve introdução aos grupos topológicos, incluindo a noção de limite inverso. Na Seção 3, definimos a
Artigo escrito para a disciplina Introdução à Teoria de Galois, 2018-1, UFSC/MTM - Prof. Eliezer Batista.
topologia de Krull e estudamos suas propriedades básicas. Por fim, a utilizamos para estabelecer a correspondência de Galois para extensões de grau arbitrário.
1. Grupos Topológicos
O fator fundamental que nos permitirá estender a correspondência de Galois para o contexto de extensões infinitas é a observação de que o grupo de automorfismos de uma extensão galoisiana F ⊆ E é não apenas um grupo, mas um grupo topoló-gico. Em outras palavras, AutF(E) possui naturalmente uma estrutura de espaço topológico, a qual é compatível com as operações do grupo.
As propriedades topológicas deste grupo, que são irrelevantes quando o grupo é finito, tornam-se fundamentais ao passarmos para o estudo de extensões infinitas. Por causa disso, fazemos nesta seção um breve estudo sobre as propriedades básicas dos grupos topológicos.
Começamos pela definição, que torna precisa a ideia de uma topologia em um grupo ser compatível com as suas operações:
Definição. Um grupo topológico é um grupo G cujo conjunto subjacente está equipado com uma topologia que satisfaz às seguintes condições:
(i) o mapa de multiplicação µ : G × G → G, (g, h) 7→ gh, é contínuo quando se considera em G × G a topologia produto;
(ii) a inversão ι : G → G, g 7→ g−1, é uma aplicação contínua (e portanto um
homeomorfismo, pois ι ◦ ι = IdG).
Dizemos então que tal topologia é uma topologia de grupo para G. Exemplos.
1) A reta R, munida de sua topologia usual, é um grupo topológico sob a operação de adição de números reais.
2) O grupo multiplicativo R∗ (resp. C∗) de números reais (resp. complexos) não nulos, quando equipado com sua topologia usual de subespaço, forma um grupo topológico.
3) Qualquer grupo G pode ser visto como um grupo topológico, se considerado como um espaço topológico discreto ou trivial.
4) O círculo S1 := {z ∈ C | |z| = 1} é grupo topológico sob a operação de
multiplicação de números complexos.
Fixemos agora um grupo G com multiplicação µ : G × G → G, inversão ι : G → G e elemento neutro e. Para cada g ∈ G definimos as funções Lg, de translação à
esquerda por g, e Rg, de translação à direita por g:
Lg : G→ G Rg: G→ G
x7→ gx x7→ xg.
Notação. Dados g ∈ G e A, B ⊆ G, usaremos as notações gA, Ag, A−1 e AB
para denotar os conjuntos Lg(A), Rg(A), ι(A) e µ(A × B) ={ab | a ∈ A, b ∈ B},
respectivamente.
Observe que para todo g ∈ G e fixada qualquer topologia em G, a função constante x7→ g e a identidade x 7→ x são aplicações contínuas de G em G, e portanto induzem funções contínuas
(g,·) : G → G × G (·, g) : G → G × G
Assim, se G é um grupo topológico então as translações Lg e Rg são contínuas para
todo g ∈ G, pois Lg= µ◦ (g, ·) e Rg= µ◦ (·, g). Entretanto, a continuidade destas
funções não garante que G seja um grupo topológico, como mostra o exemplo a seguir:
Exemplo. Considere a reta R, com sua operação usual s : R × R → R de adição de números reais, mas munida da topologia de Sorgenfrey, que tem como base de abertos o conjunto {[a, b) | a < b ∈ R}. Veja que se x, y ∈ R são tais que x + y∈ [a, b), então existe ε > 0 tal que x + y + 2ε ∈ [a, b) e portanto temos a inclusão
[x, x + ε)× [y, y + ε) ⊆ s−1([a, b))
Isso mostra que s−1([a, b)) é aberto, e, como [a, b) foi qualquer, segue que s é
contínua. Em particular, são contínuas as translações à esquerda e à direita. Por outro lado, a inversão do grupo x 7→ −x não é uma função contínua. Se fosse, então os intervalos da forma (z, w] seriam abertos nessa topologia, e daí haveria um δ > 0 tal que [w − δ, w + δ) ⊆ (z, w], o que é um absurdo. Portanto a topologia de Sorgenfrey não faz de R um grupo topológico, apesar de tornar contínuas as translações.
Isto mostra que a continuidade das translações é uma propriedade estritamente mais fraca do que a de ser um grupo topológico. Fazemos então a seguinte definição: Definição. Um grupo G é dito ser um grupo semitopológico se está munido de uma topologia tal que para todo g ∈ G as funções de translação Lg e Rg são contínuas.
A discussão acima pode então ser resumida pela afirmação de que todo grupo topológico é também um grupo semitopológico, mas não vale a recíproca. Com isso em mente, apresentamos algumas propriedades válidas em qualquer grupo semitopológico.
Lema 1.1. Se G é um grupo munido de uma topologia tal que para todo g∈ G a translação Lg (resp. Rg) é contínua, então cada Lg (resp. Rg) é um
homeomorfismo com inversa Lg−1 (resp. Rg−1).
Demonstração. Veja que para quaisquer g, h, x ∈ G valem as igualdades Lg(Lh(x)) = Lg(hx) = g(hx) = (gh)x = Lgh(x),
Le(x) = ex = x.
Portanto Le = IdG e para quaisquer g, h ∈ G têm-se Lg ◦ Lh = Lgh. Em
particular, tomando h = g−1, obtemos que L
g◦ Lg−1 = Lg−1◦ Lg = IdG. Isso
significa que cada translação Lg é uma bijeção com inversa Lg−1. Assim, a hipótese
de que todas estas funções são contínuas implica que cada uma é um homeomorfismo. A demonstração no caso das translações à direita é totalmente análoga. Corolário 1.2. Se G é um grupo semitopológico, então para quaisquer x, y ∈ G existe um homeomorfismo f : G → G tal que f(x) = y.
Demonstração. Basta tomar f = Lyx−1 ou f = Rx−1y
Um espaço topológico para o qual vale a propriedade do Corolário 1.2 acima é dito ser topologicamente homogêneo; intuitivamente, esta propriedade significa que o espaço “parece o mesmo de cada um dos seus pontos”. Nestes espaços, informações topológicas de caráter local podem ser transferidas de um ponto a outro por meio
de homeomorfismos apropriados. No caso de interesse aqui, estes homeomorfismos são as translações do grupo, que por serem particularmente simples, tornam-se ferramentas importantes no estudo dos grupos (semi)topológicos.
Corolário 1.3. Seja G um grupo semitopológico. Para qualquer subconjunto A⊆ G, valem as seguintes afirmações:
(i) Se A é aberto (resp. fechado, compacto, conexo) então gA e Ag são abertos (resp. fechados, compactos, conexos) para todo g ∈ G;
(ii) Se A é aberto então para qualquer B ⊆ G, AB e BA também o são; (iii) Para quaisquer g, x ∈ G, se A é uma vizinhança de x então gA é uma
vizinhança de gx e Ag é uma vizinhança de xg.
Demonstração. O item (i) é uma consequência imediata do Lema 1.1, pois homeo-morfismos preservam as propriedades em questão. A afirmação (ii) segue então de (i) observando que AB =S
b∈BAb e BA =
S
b∈BbAsão uniões de abertos.
Por fim, se A é uma vizinhança de x então existe um aberto O em G tal que x∈ O ⊆ A. Neste caso, gx ∈ gO ⊆ gA e xg ∈ Og ⊆ Ag. O resultado segue então
do item (i), pois gO e Og são abertos.
Por causa do item (iii) do Corolário 1.3 acima, é suficiente conhecer o sistema de vizinhanças de algum ponto de um grupo semitopológico para que se conheça todos. Em particular, toda a informação topológica de um grupo semitopológico está concentrada no sistema de vizinhanças do seu elemento neutro. Mais precisamente temos o seguinte resultado:
Teorema 1.4. Seja G um grupo semitopológico. SeV é uma base de vizinhanças do elemento neutro, então para cada g ∈ G os conjuntos gV = {gU | U ∈ V} e Vg = {Ug | U ∈ V} são bases de vizinhanças de g, e portanto a topologia de G está completamente determinada por V.
Demonstração. Seja N uma vizinhança de g ∈ G. Pelo Corolário 1.3, g−1Né uma
vizinhança do elemento neutro e portanto deve existir U ∈V tal que U ⊆ g−1N.
Têm-se daí que gU ⊆ N e, como N é arbitrária, gV é uma base de vizinhanças de g. Analogamente, mostra-se queVg também o é.
Por fim, lembre que um subconjunto de um espaço topológico é aberto se e somente se é uma vizinhança de todos os seus pontos. Assim, se G é um grupo semitopológico eV é uma base de vizinhanças do seu elemento neutro, então segue do que foi mostrado acima que um subconjunto A ⊆ G é aberto se e somente se para todo g ∈ A existe U ∈ V tal que gU ⊆ A. Logo, a topologia de G está
completamente determinada por V.
A principal consequência deste resultado é que, quando G é um grupo semitopo-lógico, podemos verificar a continuidade das operações do grupo apenas a partir das vizinhanças do seu elemento neutro. Obtemos assim um critério útil para determinar se G é um grupo topológico. Este é o conteúdo do próximo lema:
Lema 1.5. Seja G um grupo semitopológico e V uma base de vizinhanças do seu elemento neutro (que denotamos por e). Então:
(i) A multiplicação do grupo µ : G × G → G é contínua se somente se para todo U ∈V existe V ∈ V tal que VV ⊆ U;
(ii) A inversão ι : G → G é contínua se somente se para todo U ∈V existe V∈V tal que V−1⊆ U.
Demonstração. Fixe (g, h) ∈ G × G e suponha que para todo U ∈V exista V ∈ V tal que VV ⊆ U. Se N é uma vizinhança qualquer de gh ∈ G então g−1Nh−1 é uma vizinhança de e, e portanto existe U ∈V com U ⊆ N. Da hipótese, concluímos que existe V ∈ V tal que VV ⊆ g−1Nh−1. Assim, gV × Vh é uma vizinhança de
(g, h) em G × G e
µ(gV× Vh) = gVVh ⊆ g(g−1Nh−1)h = N.
Isso mostra1que µ é contínua em (g, h). Como (g, h) foi arbitrário em G × G, temos que µ : G → G é uma função contínua.
Reciprocamente, se µ é contínua e U é um membro deV, então µ−1(U)é uma vizinhança de (e, e) em G × G e portanto existem vizinhanças V1, V2de e tais que
V1× V2⊆ µ−1(U). Tomando V ∈V tal que V ⊆ V1∩ V2, temos que VV ⊆ U.
Isto prova a afirmação (i). A demonstração de (ii) é análoga. Corolário 1.6. Seja G um grupo cujo conjunto subjacente está munido de uma topologia. Então G é um grupo topológico se e somente se valem as seguintes condições:
(i) As translações Lg e Rg são contínuas para todo g ∈ G (i.e., G é um
grupo semitopológico);
(ii) A multiplicação µ : G × G → G é contínua em (e, e) ∈ G × G; (iii) A inversão ι : G → G é contínua em e ∈ G.
Demonstração. Basta ver que (ii) e (iii) são equivalentes a existência de vizinhanças
satisfazendo às hipóteses do Lema 1.5.
Com isto, podemos enunciar e provar o principal teorema desta seção, que descreve as bases de vizinhanças do elemento neutro de um grupo topológico e, reciprocamente, estabelece condições necessárias para que uma coleção de subconjuntos forme uma tal base (em alguma topologia de grupo).
Teorema 1.7. Seja G um grupo topológico. SeV é uma base de vizinhanças do elemento neutro e ∈ G, então valem as seguintes propriedades:
(P1) Para todo U ∈V, têm-se e ∈ U;
(P2) Para quaisquer U, V ∈V, existe W ∈ V tal que W ⊆ U ∩ V; (P3) Para qualquer U ∈V, existe V ∈ V tal que VV ⊆ U;
(P4) Para todo U ∈V, existe V ∈ V tal que V−1⊆ U;
(P5) Para quaisquer g ∈ G e U ∈V, existe V ∈ V tal que V ⊆ gUg−1.
Reciprocamente, se G é um grupo e V é uma coleção de subconjuntos de G com as propriedades (P1)–(P5) acima, então existe uma única topologia de grupo em G para a qual V é uma base de vizinhanças do elemento neutro. Nesta topologia, um conjunto A é aberto se e somente se para todo g ∈ A existe U ∈V tal que gU ⊆ A.
Demonstração. Veja que (P1) e (P2) valem para bases de vizinhanças de um ponto em qualquer espaço topológico e são consequências imediatas das definições. A propriedade (P3) é equivalente a afirmação de que a aplicação µ : G × G → G é contínua em (e, e), e similarmente (P4) equivale continuidade da inversão ι : G → G em e. Por fim, (P5) segue da continuidade simultânea das aplicações de translação à esquerda e à direita.
Para provar a recíproca, sejam G um grupo e V uma coleção de subconjuntos de G satisfazendo (P1)–(P5). Defina uma topologia T em G da seguinte maneira: um conjunto A ⊆ G é aberto se e somente se para todo g ∈ A existe U ∈V tal que gU ⊆ A. É imediato desta definição que G, ∅ ∈ T e que T é fechado por uniões arbitrárias. Para ver queT de fato é uma topologia, tome A, B ∈ T e g ∈ A∩B. Pela definição de T existem U, V ∈ V tais que gU ⊆ A e gV ⊆ B, e por (P2) podemos tomar W ∈V tal que W ⊆ U ∩ V. Assim,
gW⊆ g(U ∩ V) = gU ∩ gV ⊆ A ∩ B,
donde segue que A ∩ B é aberto e T é fechado por interseções finitas.
Vejamos agora que com relação a esta topologiaV é uma base de vizinhanças do elemento neutro. Para isso, tome U ∈V e seja U0:={g ∈ U | ∃V ∈ V com gV ⊆ U}.
Observe que e ∈ U0⊆ U, de modo que é suficiente mostrar que U0é aberto para
concluir que U é uma vizinhança de e. Pela definição da topologia T, isto se faz mostrando que para cada g ∈ U0 existe W ∈V tal que gW ⊆ U0.
Tome então g ∈ U0e seja V ∈V com gV ⊆ U (existe pela definição de U0). Pela
propriedade (P3), existe W ∈V satisfazendo WW ⊆ V, e portanto x∈ gW =⇒ xW ⊆ gWW ⊆ gV ⊆ U.
Pela definição de U0, isto significa que gW ⊆ U0. Como g ∈ U0 foi arbitrário,
concluímos que U0é aberto e U é vizinhança de e.
EntãoV é uma coleção de vizinhanças do elemento neutro e qualquer vizinhança de e inclui algum membro deV, como se vê pela definição da topologia. Em outras palavras,V é uma base de vizinhanças do elemento neutro. Como esta base satisfaz as propriedades (P3) e (P4), segue do Lema 1.5 que G é um grupo topológico se e somente se é um grupo semitopológico. Mostremos então que são contínuas as translações.
A continuidade das translações à esquerda é imediata da definição deT (e portanto estas funções são homeomorfismos, pelo Lema 1.1). Para ver que são contínuas também as translações à direita, note que para todo g ∈ G e A ⊆ G têm-se
Rg(A) = Ag−1= g−1(gAg−1) = Lg−1(gAg−1).
Assim, Rg é contínua se e só se gAg−1 é aberto para todo aberto A (pois Lg−1 é
homeomorfismo). Mas esse é sempre o caso, pois se A é aberto e x ∈ gAg−1, então
g−1xg∈ A e existe U ∈V tal que g−1xgU⊆ A. Pela propriedade (P5), podemos
tomar V ∈V com V ⊆ gUg−1, e uma simples verificação mostra que xV ⊆ gAg−1. Segue disto que T é uma topologia de grupo para G e, pelo Teorema 1.4, é a única que temV como base de vizinhanças do elemento neutro. Temos assim uma maneira relativamente simples de dar a um grupo G uma topologia que o faça um grupo topológico: basta encontrar uma coleção V de subconjuntos de G com as propriedades (P1)–(P5) e declarar que um conjunto A⊆ G é aberto se e somente se para todo g ∈ A existe U ∈ V tal que gU ⊆ A. Mais do que isso, o Teorema 1.7 nos diz que todas as topologias de grupo para G podem ser obtidas dessa forma. Entretanto, é importante observar que, em geral, os membros de V não serão abertos nesta topologia.
Corolário 1.8. Seja G um grupo e V uma coleção de subconjuntos de G com as propriedades (P1)–(P5) do Teorema 1.7, para a qual vale também
Então existe uma única topologia de grupo em G para a qual V é uma base de vizinhanças abertas do elemento neutro. Nesta topologia, um conjunto A é aberto se e somente se para todo g ∈ A existe U ∈ V tal que gU ⊆ A, e o conjunto B = {gU | g ∈ G, U ∈ V} é uma base.
Demonstração. Pelo Teorema 1.7, existe uma única topologia de grupo em G para a qualV é uma base de vizinhanças do elemento neutro; nesta topologia um conjunto A é aberto se e somente se para todo g ∈ A existe U ∈V tal que gU ⊆ A. Em particular, (P6) equivale a afirmação de que os membros de V são abertos.
Consequentemente, são abertos também todos os membros de B. Além disso, pela definição da topologia, se A é um aberto então para cada g ∈ A existe Bg∈B
tal que g ∈ Bg⊆ A. É claro daí queSg∈ABg= A, donde se segue queB é base da
topologia.
Ao definir topologias de grupo através deste processo, um caso de especial importância acontece quando os membros deV são subgrupos de G. Neste caso, muitas das propriedades necessárias são automaticamente satisfeitas, conforme o corolário a seguir:
Corolário 1.9. Seja G um grupo e V uma coleção de subgrupos de G com as propriedades (SG1) e (SG2) abaixo:
(SG1) Para quaisquer U, V ∈V, existe W ∈ V tal que W ⊆ U ∩ V; (SG2) Para quaisquer g ∈ G e U ∈V, existe V ∈ V tal que V ⊆ gUg−1.
Então existe uma única topologia de grupo em G para a qual V é uma base de vizinhanças abertas do elemento neutro e. Nesta topologia, um conjunto A é aberto se e somente se para todo g ∈ A existe U ∈V tal que gU ⊆ A, e o conjunto B = {gU | g ∈ G, U ∈ V} é uma base.
Demonstração. Isto se segue do Corolário 1.8, pois (SG1) e (SG2) são o mesmo que (P2) e (P5) do Teorema 1.7 e o fato de que os membros deV são subgrupos de G automaticamente implica que valem as propriedades (P1), (P3), (P4) e (P6). De fato, se U é um subgrupo de G, então e ∈ U, UU = U−1= Ue gU = U para todo
g∈ U.
Em particular, o Corolário 1.9 garante que uma coleção de subgrupos normais de G dá origem a uma topologia de grupo se for fechada por interseções finitas. Utilizaremos este fato na Seção 3, para definir a chamada topologia de Krull no grupo AutF(E) de automorfismos de uma extensão Galoisiana F ⊆ E.
Como consequência do Teorema 1.7, têm-se o princípio de que propriedades topológicas de um grupo topológico podem ser descritas em termos de vizinhanças do seu elemento neutro. Encerramos esta seção ilustrando este princípio com o resultado abaixo, que nos será útil posteriormente.
Teorema 1.10. Seja G um grupo topológico e V uma base de vizinhanças do elemento neutro e. São equivalentes:
(i) G é um espaço Hausdorff; (ii) T
U∈VU ={e};
(iii) {e} é fechado.
Demonstração. (i) =⇒ (ii): Se G é Hausdorff e g 6= e, então existe alguma vizinhança N de e tal que g 6∈ N. Em particular, existe U ∈ V tal que g 6∈ U. Portanto T
(ii) =⇒ (iii): SuponhaT
U∈VU ={e} e veja que se g 6= e, então existe U ∈ V tal
que g−16∈ U. Segue daí que gU é uma vizinhança de g que não contém e, donde {e} é fechado (pois g 6= e foi arbitrário).
(iii) =⇒ (i): Como G é um grupo topológico, a aplicação f : G × G → G dada por f(g, h) = gh−1 é contínua, pois f = µ ◦ (Id
G× ι), onde µ e ι são, respectivamente,
a multiplicação e a inversão do grupo. Logo, se {e} é fechado então a diagonal ∆ = {(g, g) ∈ G × G | g ∈ G} também é, pois ∆ = f−1({e}). Segue disso que G é Hausdorff: se g 6= h, então (g, h) 6∈ ∆ e daí existem vizinhanças U de g e V de h, tais que (U × V) ∩ ∆ = ∅; o que só pode ocorrer se U ∩ V = ∅.
2. Subgrupos, Produtos Diretos e Limites Inversos
O objetivo desta seção é analisar como algumas construções usuais da teoria de grupos (e.g. subgrupos, produtos diretos) se comportam no contexto de grupos topológicos. Além disso, introduzimos a noção de limite inverso, que intuitivamente pode ser pensada como uma maneira de “colar” uma família de objetos (aqui, grupos topológicos) que estejam relacionados através de morfismos apropriados. Este conceito será importante pois, conforme veremos nas próximas seções, fornece um ponto de vista diferente para enxergarmos o grupo AutF(E) de automorfismos de uma extensão galoisiana.
Lema 2.1. Se G é um grupo munido de uma topologia, então G é um grupo topológico se e somente se a aplicação ω : G × G → G, dada por (g, h) 7→ gh−1
é contínua.
Demonstração. Denote por µ e ι, respectivamente, a multiplicação e a inversão do grupo, e veja que para quaisquer g, h ∈ G têm-se ω(g, h) = µ(g, ι(h)), de modo que ω é contínua quando G é um grupo topológico.
Reciprocamente, se ω é contínua então a inversão também o é, pois ι(g) = ω(e, g) para todo g ∈ G. Mas então µ também é contínua, pois µ(g, h) = ω(g, ι(h)) para
quaisquer g, h ∈ G.
Proposição 2.2. Se G é um grupo topológico e H6 G, então H é um grupo topológico quando equipado com a topologia de subespaço.
Demonstração. Sejam i : H ,→ G a inclusão de H em G e ω : G × G → G, ωH:
H× H → H as funções dadas por (g, h) 7→ gh−1. Pela propriedade característica
da topologia de subespaço, a função ωH é contínua se e somente se é contínua a
composição i ◦ ωH. Mas esta é simplesmente a restrição de ω ao subconjunto H × H,
e portanto é uma função contínua, pois G é um grupo topológico. Então ωH é
contínua e H é um grupo topológico.
Proposição 2.3. Seja G um grupo topológico e H6 G um subgrupo. Então: (i) O fecho topológico H de H é um subgrupo de G;
(ii) Se H é aberto, então H é fechado;
(iii) Se H é fechado e tem índice finito, então H é aberto.
Demonstração. (i): Veja que um subconjunto A ⊆ G é um subgrupo se e só se AA−1⊆ X. Portanto, se ω : G×G → G é a função contínua dada por (g, h) 7→ gh−1
então A é um subgrupo se e só se A × A ⊆ ω−1(A). Agora, usando que H é um
subgrupo e ω é contínua, concluímos que
e portanto H é um subgrupo.
(ii): Se H é aberto então as suas classes laterais também o são, pois G é um grupo topológico. Segue disso que nesse caso H também é fechado, pois o seu complementar em G é união das demais classes laterais, logo é aberto.
(iii): Analogamente a (ii), temos que o complementar de H é fechado, pois é
união de classes laterais de H, que é fechado.
Proposição 2.4. Se (Gα)α∈Γ é uma família de grupos topológicos, então o
produto direto G =Qα∈ΓGαé um grupo topológico quando munido da topologia
produto.
Demonstração. Para cada α ∈ Γ , denote por πα: G→ Gα a projeção canônica no
fator α e por ωα : Gα× Gα → Gα o mapa contínuo dado por (g, h) 7→ gh−1. Seja
também ω : G × G → G a função ((gα)α∈Γ, (hα)α∈Γ)7→ (gαh−1α )α∈Γ. Do Lema 2.1,
para mostrar que G é um grupo topológico basta mostrar que ω é contínua. Pela propriedade característica da topologia produto, isto acontece se e somente se a composição πβ◦ ω : G × G → Gβ é uma função contínua para cada β ∈ Γ . Veja
então que
(πβ◦ ω)((gα)α∈Γ, (hα)α∈Γ) = πβ((gαhα−1)α∈Γ) = gβh−1β = ωβ(gβ, h−1β )
e portanto πβ◦ ω = ωβ◦ (πβ× πβ), para todo β ∈ Γ . O lado direito sendo uma
composição de funções contínuas, concluímos que ω é contínua, e portanto G é um
grupo topológico.
Se G, H são grupos topológicos, então uma função f : G → H é dita ser um morfismo de grupos topológicos se é um morfismo de grupos (no sentido usual) e é contínua com relação às topologias de G e H. A seguir, diremos simplesmente que “f é um morfismo” para indicar que é um morfismo de grupos topológicos.
Observação. Os grupos topológicos e seus morfismos formam uma categoria. A definição de limite inverso apresentada abaixo continua fazendo sentido em qualquer outra categoria.
Definição. Um conjunto parcialmente ordenado (Γ, ) é dito ser dirigido se para quaisquer α, β ∈ Γ existe γ ∈ Γ tal que α γ e β γ.
Definição (Limite Inverso). Seja (Γ, ) um conjunto dirigido.
(a) Um sistema inverso de grupos topológicos indexado por (Γ, ) consiste de uma família (Gα)α∈Γ de grupos topológicos e, para cada α β ∈ Γ , um
morfismo fα,β: Gβ → Gα, satisfazendo:
(i) para todo α ∈ Γ , fα,α= IdGα;
(ii) para quaisquer α, β, γ ∈ Γ tais que α β γ, fα,β◦ fβ,γ= fα,γ.
Gγ
Gβ Gα
fβ,γ fα,γ
(b) Seja G é grupo topológico e (pα: G→ Gα)α∈Γ uma família de morfismos tais que fα,β◦ pβ = pα ∀α β: G Gβ Gα pβ pα fα,β
Então o par (G, (pα)α∈Γ)é dito ser um limite inverso do sistema se satisfaz
à seguinte propriedade universal: para qualquer outro grupo topológico H e família (qα : H→ Gα)α∈Γ de morfismos tais que qα= fα,β◦ qβ ∀α β,
existe um único morfismo ϕ : H → G tal que qα= pα◦ ϕ para todo α ∈ Γ :
H G Gβ Gα qβ ϕ qα pβ pα fα,β
Proposição 2.5. Se existir, o limite inverso de um sistema inverso de grupos topológicos é único a menos de isomorfismo.
Demonstração. Suponha que (G, (pα)α∈Γ)e (H, (pα)α∈Γ)sejam dois limites
inver-sos para um sistema (Gα, fα,β: Gβ→ Gα). Pela propriedade universal que define o
limite inverso, existem únicos morfismos ϕ e ψ tais que o diagrama abaixo comuta para todo α β: H G Gβ Gα qβ ϕ qα pβ ψ pα fα,β
Portanto pα= pα◦ (ϕ ◦ ψ) para todo α ∈ Γ . Mas, pela propriedade universal de
(G, (pα)), existe um único morfismo G → G satisfazendo esta igualdade e portanto
devemos ter (ϕ ◦ ψ) = IdG. Analogamente (ψ ◦ ϕ) = IdHe G,H são isomorfos.
Denotaremos por lim
←−Gα o limite inverso de um sistema (Gα, fα,β: Gβ→ Gα).
Proposição 2.6. Seja (Gα, fα,β : Gβ → Gα) um sistema inverso de grupos
topológicos e considere o seguinte conjunto G = (gα)α∈Γ ∈ Y α∈Γ Gα fβ,γ(gγ) = gβ ∀β γ ∈ Γ ⊆Y α∈Γ Gα
Então G é um subgrupo do produto direto Qα∈ΓGα, e portanto é um grupo
topológico. Além disso, se para cada α ∈ Γ , pα: G→ Gα denota a restrição a
G da projeção canônica no fator α, então (G, (pα)α∈Γ) =lim←−Gα.
Demonstração. Se (gα)α∈Γ, (hα)α∈Γ ∈ G e β γ, então, como fβ,γ é um
mor-fismo, temos
e portanto (gαh−1α )α∈Γ. Então G é um subgrupo do produto direto e, pelas
proposições anteriores, é um grupo topológico com a topologia de subespaço. Pela propriedade universal do produto direto, se H é um grupo topológico e (qα : H→ Gα)α∈Γ é uma família de morfismos, então existe um único morfismo
ϕ : H→Qα∈ΓGα tal que πα◦ ϕ = qα ∀α (onde πα é a projeção canônica). Assim,
se qβ= fβ,γ◦ qγ∀β γ então fβ,γ◦ (πγ◦ ϕ) = fβ,γ◦ qγ= qβ. Isto significa que
ϕ(H)⊆ G. Mudando o contradomínio, temos um morfismo ϕ : H → G que satisfaz qα = pα◦ ϕ para todo α ∈ Γ (pois pα é restrição da projeção πα a G). Então
(G, (pα)α∈Γ)satisfaz a propriedade universal que define o limite inverso e portanto
(G, (pα)α∈Γ) =lim←−Gα.
3. A Topologia de Krull
O objetivo desta seção é definir a chamada topologia de Krull do grupo de automorfismos AutF(E) de uma extensão galoisiana F ⊆ E e apresentar as suas propriedades básicas. Começamos relembrando alguns resultados da teoria de extensões de corpos e estabelecendo a notação que será utilizada.
Se F ⊆ E é uma extensão algébrica e G = AutF(E) é o seu grupo de automorfismos,
então para cada subconjunto S ⊆ G, denotamos por ESo conjunto dos pontos fixos
por S na ação natural de G sobre E, isto é:
ES={a ∈ E | σ(a) = a, ∀σ ∈ S}.
Quando S ={σ} escrevemos também Eσ para denotar este conjunto. Não é difícil
verificar que, para qualquer S, valem que ES
é um corpo e F ⊆ ES⊆ E.
Definição. Uma extensão algébrica F ⊆ E com grupo de automorfismos G é dita ser de Galois ou galoisiana se F = EG.
Temos ainda a seguinte caracterização de extensões galoisianas, cuja demonstração pode ser encontrada em [3]:
Teorema 3.1. Uma extensão algébrica F ⊆ E com grupo de automorfismos G é galoisiana se e somente se é normal e separável. O teorema a seguir será fundamental no estudo das extensões algébricas de grau arbitrário. Lembre que um isomorfismo de corpos σ : F → F0 induz naturalmente um isomorfismo de anéis F[x] → F0[x]. Se f ∈ F[x] é um polinômio, denotamos a sua imagem através deste isomorfismo por σ(f).
Teorema 3.2 (Extensão de Isomorfismos). Seja σ : F → F0 um isomorfismo de corpos. Se E é o corpo de decomposição de uma família de polinômios (fλ)λ∈Λ
em F[x] e E0 é o corpo de decomposição de (σ(fλ))λ∈Λ em F0[x], então existe
um isomorfismo τ : E → E0 que estende σ, isto é, τ(a) = σ(a) ∀a ∈ F.
Demonstração. Seja X o conjunto de pares (K, ϕ) onde K é um subcorpo de E e ϕ : K → E0 é um morfismo que estende σ. Então X é não vazio, pois (F, σ) ∈ X. Além disso, podemos tornar X um poset declarando que (K1, ϕ1) (K2, ϕ2) se
e somente se K1 ⊆ K2 e ϕ2 estende ϕ1. Assim, se {(Ki, ϕi)i∈I} é uma cadeia
em X, entãoS
i∈IKi é um subcorpo de E e a função ϕ :Si∈IKi→ E0 dada por
ϕ(a) = ϕi(a)para algum i ∈ I tal que a ∈ Ki é um morfismo bem definido de
corpos, que estende todos os ϕi. Portanto, pelo lema de Zorn, existe pelo menos
um elemento maximal (L, τ) em X. Afirmamos que L = E, donde se segue que τ é um isomorfismo que estende σ. De fato, se existisse algum polinômio fλ que não se
decompõe em L, então existiria a ∈ E \ L uma raiz deste polinômio e τ se estenderia a um isomorfismo L(a) → (τ(L))(b), onde b é uma raiz de σ(fλ), contradizendo a
sua maximalidade.
A importância da extensão de isomorfismos para a teoria de Galois infinita reside no seguinte resultado:
Lema 3.3. Se F ⊆ K ⊆ E são extensões galoisianas, então a função de restrição a K, σ 7→ σ|K, é um morfismo sobrejetor de grupos ResK,E:AutF(E) → AutF(K)
cujo núcleo é AutK(E). Em particular, AutK(E) é um subgrupo normal de AutF(E) e AutF(K) ∼= AutF(E)
AutK(E).
Demonstração. Se i : E ,→ E é inclusão de E em um fecho algébrico E, então para qualquer σ ∈ AutF(E) a função i ◦ σ|K : K → E é um morfismo que estende IdF. Portanto (i ◦ σ|K)(K) = K, pois K é normal sobre F. Isso significa que σ|K(K) = K, e podemos ver σ|K como um elemento de AutF(K).
Seja então ResK,E :AutF(E) → AutF(K) a função dada por σ 7→ σ|K e veja que para quaisquer τ, σ ∈ AutF(E) vale a igualdade (τ ◦ σ)|K= τ|K◦ σ|K, de modo que ResK,E é um morfismo de grupos. Pelo Teorema 3.2, para qualquer ρ ∈ AutF(K) existe σ ∈ AutF(E) tal que σ|K= ρe portanto ResK,E é sobrejetor. Por fim, o seu núcleo é
ker ResK,E={σ ∈ AutF(E) | σ|K= IdK} = AutK(E),
e as demais afirmações seguem do primeiro teorema de isomorfismos. A partir de agora, vamos fixar uma extensão galoisiana F ⊆ E, cujo grupo de automorfismos AutF(E) denotaremos por G.
A primeira observação a ser feita é que, independentemente do grau desta extensão, podemos ver E como a união dos subcorpos K ⊆ E que são extensões finitas e galoisianas de F. Isto é uma consequência do seguinte lema:
Lema 3.4. Para quaisquer a1, . . . , an ∈ E, existe um corpo K ⊆ E tal que
a1, . . . , an ∈ K e F ⊆ K é uma extensão finita e galoisiana.
Demonstração. Como F ⊆ E é uma extensão normal, E contém todas as raízes do polinômio minimal de aisobre F, para cada i ∈ {1, . . . , n}. Seja então K ⊆ E o
corpo de decomposição desta família de polinômios. Então F ⊆ K é uma extensão normal e além disso é separável, pois E é separável sobre F. Portanto, F ⊆ K é galoisiana. Como a quantidade de ai’s é finita, têm-se [K : F] < ∞.
Definimos então os seguintes conjuntos, aos quais iremos nos referir frequente-mente:
• K = {K ⊆ E | K é uma extensão finita e Galoisiana de F} • N = {N 6 G | N = AutK(E) para algum K ∈ K}
Nesta notação, é imediato do Lema 3.4 que vale a igualdade E =S
K∈KK, de
modo que podemos ver E como uma união de extensões finitas e galoisianas de F. A ideia é então utilizar os subgrupos correspondentes a tais extensões (isto é, os membros deN) para dar uma topologia ao grupo de Galois G.
Lema 3.5. Se N ∈N e K ∈ K são tais que N = AutK(E), então K = EN, N é
Demonstração. Como E é normal e separável sobre F, também o é sobre K. Por-tanto K ⊆ E é uma extensão galoisiana e K = EN. As demais afirmações seguem
então do Lema 3.3.
Lema 3.6. Se K1, K2∈K, então seu compositum K1K2 também pertence a K.
Além disso, para quaisquer N1, N2∈N, têm-se N1∩ N2∈N.
Demonstração. Sejam K1, K2∈K e veja que o compositum K1K2é um subcorpo
de E e uma extensão finita de F, pois K1e K2o são. Cada Ki é normal sobre F e
portanto é o corpo de decomposição de uma família de polinômios. Mas então K1K2
é corpo de decomposição da união destas famílias e portanto é uma extensão normal. Além disso, K1K2 é separável sobre F pois E o é. Então F ⊆ K1K2 é Galoisiana
finita, e K1K2∈K.
Para quaisquer N1, N2∈N, tome K1, K2 tais que Ni=AutKi(E). Afirmamos
que N1∩ N2=AutK1K2(E), de modo que, pela primeira parte, N1∩ N2∈N. De
fato, dado σ ∈ G, têm-se σ ∈ N1∩ N2se e somente se σ|K1 = IdK1 e σ|K2= IdK2,
isto é, se e somente se K1⊆ Eσ e K2⊆ Eσ. Esta última afirmação é equivalente a
K1K2⊆ Eσ, e portanto temos que σ ∈ N1∩N2se e somente se σ ∈ AutK1K2(E).
Com isto, já podemos provar que de fato N dá origem a uma topologia de grupo em G, fazendo uso dos resultados apresentados na Seção 1:
Teorema 3.7. Existe uma única topologia de grupo em G para a qualN é uma base de vizinhanças abertas do elemento neutro IdE∈ G. Nesta topologia, um conjunto A ⊆ G é aberto se e somente se para todo σ ∈ A existe N ∈N tal que σN⊆ A, e o conjunto B = {σN | σ ∈ G, N ∈ N} é uma base para esta topologia. Demonstração. Pelo Corolário 1.9 da Seção 1, basta mostrar que N satisfaz às seguintes condições:
(SG1) Para quaisquer N1, N2∈N, existe N3∈N tal que N3⊆ N1∩ N2;
(SG2) Para quaisquer σ ∈ G e N1∈N, existe N2∈N tal que N2⊆ σN1σ−1.
Mas isto é imediato dos resultados anteriores: se N1, N2∈N, então pelo Lema 3.6
temos N1∩ N2∈N e podemos tomar N3= N1∩ N2em (SG1). Além disso, pelo
Lema 3.5 os membros deN são subgrupos normais de G, de modo que basta tomar
N2= N1em (SG2).
Podemos então fazer a seguinte definição, sem ambiguidades:
Definição (Topologia de Krull ). A topologia de Krull em G é a única topologia de grupo para a qualN é uma base de vizinhanças abertas de IdE; explicitamente, um conjunto A ⊆ G é aberto nesta topologia se e somente se para todo σ ∈ A existe N∈N tal que σN ⊆ A.
A partir de agora, o grupo AutF(E) de automorfismos de uma extensão galoisiana será sempre considerado como um grupo topológico, equipado com a topologia de Krull acima definida. Isto se aplica, inclusive, ao caso em que o grau da extensão é finito. Quando isso ocorre, a topologia assim definida é simplesmente a topologia discreta, pois se F ⊆ E é uma extensão finita, então E ∈ K e daí o subgrupo trivial é um membro deN, donde todos os subconjuntos de AutF(E) são abertos. Isso ajuda a explicar a ausência de considerações topológicas na teoria de extensões finitas.
Lema 3.8. Para qualquer σ ∈ G, o conjunto {σN | N ∈ N} é uma base de vizinhanças de σ que são simultaneamente abertas e fechadas. Além disso, T
N∈NσN ={σ}.
Demonstração. Pelo Teorema 3.7, N forma uma base de vizinhanças abertas de IdE. Os seus membros são subgrupos abertos de G, que é um grupo topológico, portanto são também fechados pela Proposição 2.3. Segue então do Teorema 1.4 que, para cada σ ∈ G, o conjunto {σN | N ∈ N} é uma base de vizinhanças abertas e fechadas de σ.
Vejamos agora que T
N∈NN ={IdE}. Pelo Lema 3.4, para qualquer a ∈ E existe
K ∈ K tal que a ∈ K. Assim, se σ ∈TN∈NNentão em particular σ ∈ AutK(E) e
portanto σ(a) = a. Logo, σ ∈T
N∈NNse e só se σ = IdE. Utilizando o fato de que
as transações do grupo são contínuas, concluímos queT
N∈NσN ={σ} para todo
σ∈ G.
Teorema 3.9. Quando munido da topologia de Krull, o grupo G = AutF(E) é Hausdorff e totalmente desconexo (i.e., todo subconjunto conexo tem no máximo um elemento).
Demonstração. Tomando σ = IdEno Lema 3.8, temos queT
N∈NN ={IdE}, donde
G é Hausdorff pelo Teorema 1.10.
Então se σ, τ ∈ G são tais que σ 6= τ, podemos tomar vizinhanças U de σ e V de τ tais que U ∩ V = ∅. Pelo Lema 3.8, podemos supor que estas vizinhanças são abertas e fechadas, donde concluímos que σ e τ pertencem a componentes conexas
distintas.
A última e talvez mais importante propriedade da topologia de Krull do grupo de automorfismos de uma extensão Galoisiana F ⊆ E é o fato de que, quando equipado com ela, este grupo torna-se um espaço topológico compacto. Para provar isto, precisaremos enxergar o grupo G = AutF(E)de uma maneira diferente.
Para isso, observe que K = {K ⊆ E | K é uma extensão finita e Galoisiana de F} pode ser visto como um conjunto parcialmente ordenado através da relação usual ⊆ de ser um subcorpo. Segue então do Lema 3.6 que (K, ⊆) é um conjunto dirigido, pois para quaisquer K1, K2emK o compositum K1K2também é um membro deK,
e é claro que K1⊆ K1K2e K2⊆ K1K2. Além disso, se K, L ∈ K são tais que K ⊆ L
então pelo Lema 3.3 temos um morfismo sobrejetor ResK,L:AutF(L) → AutF(K) dado por σ 7→ σ|K. É óbvio da definição deste morfismo que ResK,K = IdK e ResK,M =ResK,L◦ ResL,M para quaisquer K ⊆ L ⊆ M ∈ K. Em outras palavras, (AutF(K), ResK,L : AutF(L) → AutF(K)) forma um sistema inverso de grupos topológicos indexado por (K, ⊆). Veja que todos os grupos AutF(K) deste sistema são grupos de automorfismo de extensões galoisianas finitas e portanto são discretos. Teorema 3.10. O grupo topológico G = AutF(E) é isomorfo e homeomorfo ao limite inverso do sistema (AutF(K), ResK,L:AutF(L) → AutF(K)).
G ∼= lim←− K∈K AutF(K) = (σK)K∈K∈ Y K∈K AutF(K) ResL,M(σM) = σL ∀ L ⊆ M ∈ K
Demonstração. Para todo K ∈ K, F ⊆ K ⊆ E são extensões galoisianas e portanto, pelo Lema 3.3, temos uma família de morfismos ΨK = ResK,E : G → AutF(K), dados por σ 7→ σ|K. Para cada K ∈ K, este morfismo é sobrejetor e seu núcleo é
AutK(E) ∈ N. Então se ρ ∈ AutF(K), temos
Ψ−1K (ρ) = σker ΨK= σAutK(E),
para algum σ ∈ G tal que σ|K= ρ. Em particular, temos que Ψ−1
K (ρ)é um aberto
de G na topologia de Krull. Como AutF(K) é discreto, segue disso que ΨK é uma função contínua.
Pela propriedade universal do produto direto (para grupos e espaços topológicos), temos um morfismo contínuo de grupos (i.e., um morfismo de grupos topológicos)
Ψ : G→ Y
K∈K
AutF(K), σ 7→ (σ|K)K∈K
É imediato da definição deste morfismo que Ψ(G) ⊆ lim
←−AutF(K). Por outro lado,
se (σK)K∈K∈ lim
←−AutF(K) então definimos
σ : E → E, σ(a) = σK(a)se a ∈ K
Pelo Lema 3.4 todo a ∈ E pertence a algum K ∈ K e, pela definição de lim←−AutF(K), se a ∈ K ⊆ L então σK(a) = (ResK,L(σL))(a) = σL(a). Portanto σ está bem
definido e como se vê facilmente, pertence a G (aplique o Lema 3.4 para ver que σé um automorfismo de E). Por construção, temos Ψ(σ) = (σK)K∈K e portanto a imagem de Ψ é exatamente lim
←−AutF(K).
Veja que Ψ é também injetivo, pois
σ∈ ker Ψ ⇐⇒ σ|K= IdK ∀ K ∈ K ⇐⇒ σ ∈ AutK(E) ∀ K ∈ K ⇐⇒ σ ∈ \
N∈N
N
e então, pelo Lema 3.8, temos ker Ψ ={IdE}.
Por fim, Ψ é uma função aberta. De fato, se σ ∈ G e AutK(E) = N ∈ N então para cada L ∈ K temos
πL(Ψ(σN)) = σ|LAutK∩L(L).
Estes conjunto são abertos em AutF(L) e, exceto para uma quantidade finita de subcorpos L, temos K ∩ L = F, pois K é uma extensão finita de F. Portanto em quase todos os fatores σ|LAutK∩L(L) é igual ao espaço AutF(L) todo, e então Ψ(σN) é um aberto em Q
K∈KAutF(K). Como {σN} forma uma base para a topologia de
G (Teorema 3.7), concluímos que Ψ é aplicação aberta.
Portanto Ψ : G →QK∈KAutF(K) é um morfismo de grupos injetivo, contínuo e aberto cuja imagem é lim←−AutF(K). Logo, G é isomorfo e homeomorfo a lim←−AutF(K).
Corolário 3.11. Se F ⊆ E é uma extensão Galoisiana, então o seu grupo de automorfismos G = AutF(E) é um espaço topológico compacto.
Demonstração. Vamos mostrar que lim
←−AutF(K) é compacto, donde se segue que
G também é, pois são homeomorfos pelo Teorema 3.10.
Para cada K ∈ K, o grupo AutF(K) é finito, e portanto compacto. Pelo teorema
de Tykhonov, isso significa que o produto QK∈KAutF(K) é compacto e então basta mostrar que lim
←−AutF(K) é um subconjunto fechado de
Q
(σK)K∈K 6∈ lim
←−AutF(K) então existem L ⊆ M ∈ K tais que (σM)|L 6= σL e daí o
conjunto
{(τK)K∈K∈
Y
K∈K
AutF(K) | (τM)|L6= τL} é uma vizinhança de (σK)K∈K que não intersecta lim
←−AutF(K) (lembre que cada
AutF(K) é um espaço discreto).
Um grupo topológico é dito ser um grupo profinito se é (isomorfo e homeomorfo a) o limite inverso de um sistema de grupos finitos com a topologia discreta. Assim, o Teorema 3.10 diz que o grupo de automorfismos de uma extensão Galoisiana F ⊆ E é um grupo profinito. É possível mostrar que todo grupo profinito é Hausdorff, totalmente desconexo e compacto e, mais do que isso, que todo grupo com estas propriedades é um grupo profinito.
4. A Correspondência de Galois
Nesta seção, vamos enunciar e provar uma versão geral do Teorema Fundamental da Teoria de Galois, para extensões Galoisianas arbitrárias, isto é, sem nenhuma restrição quanto ao grau da extensão. Dada uma extensão Galoisiana F ⊆ E, este teorema estabelece uma correspondência entre as extensões intermediárias F ⊆ K ⊆ E e os subgrupos fechados do grupo de automorfismos AutF(E), considerado como
um grupo topológico com a topologia de Krull.
Por toda esta seção, F ⊆ E é uma extensão Galoisiana cujo grupo de automorfis-mos AutF(E) denotamos por G. Consideramos G um grupo topológico equipado com a topologia de Krull e denotamos porN a base de vizinhanças de IdEdefinida na Seção 3.
Lema 4.1. Para qualquer extensão intermediária F ⊆ K ⊆ E, têm-se que E é Galois sobre K e AutK(E) é um subgrupo fechado de G. Além disso, se K = E
H
para algum subgrupo H 6 G, então AutK(E) é igual ao fecho topológico de H
em G.
Demonstração. Seja F ⊆ K ⊆ E uma extensão intermediária qualquer. Como E é normal e separável sobre F, também o é sobre K, e portanto K ⊆ E é uma extensão Galoisiana.
Pelo Lema 3.4, se a ∈ K então existe um subcorpo L ⊆ K tal que a ∈ L e F ⊆ L é uma extensão finita e Galoisiana. Portanto, seL é a coleção de tais subcorpos, então AutK(E) =T
L∈LAutL(E). Mas para cada L ∈ L, AutL(E) é um membro de
N e portanto é fechado pelo Lema 3.8, logo AutK(E) é fechado.
Suponha agora que K = EH
para algum subgrupo H 6 G. Como AutK(E) é
fechado e contém H, é óbvio que também contém o fecho de H, que denotaremos por H. Vamos provar a inclusão reversa AutK(E) ⊆ H mostrando que se σ ∈ G \ H, então σ(a) 6= a para algum a ∈ K, donde se seguirá o resultado. Para isso, veja que o fato de σ não estar em H implica que σN ∩ H = ∅ para algum N ∈ N. Por definição, N = AutL(E) para algum subcorpo L ⊆ E que é uma extensão Galoisiana e finita de F. Assim, se θ : G → AutL(E) é o morfismo sobrejetor dado por ϕ 7→ ϕ|L
(vide Lema 3.3), então θ−1(σ|
L) = σker θ = σN, donde σ|L 6∈ θ(H) 6 AutL(E)
e portanto, pelo Teorema Fundamental para extensões finitas, existe algum a ∈ Lθ(H) = LH ⊆ EH tal que σ|L(a)6= a. Portanto, σ(a) 6= a para algum a ∈ E
H,
A seguir apresentamos o Teorema Fundamental da Teoria de Galois Infinita (TFTGI), dividindo-o em três partes.
Teorema 4.2 (TFTGI, Parte I). As aplicações Υ : K 7→ AutK(E) e Φ : H 7→ EH
são bijeções inversas entre o conjunto de subcorpos de E que contém F e o conjunto de subgrupos de G que são fechados topologicamente:
{extensões intermediárias F ⊆ K ⊆ E} ←→ {subgrupos fechados de G} Além disso, esta correspondência inverte inclusões: H16 H2 ⇐⇒ EH1 ⊇ EH2.
Demonstração. Pelo Lema 4.1, se F ⊆ K ⊆ E é uma extensão intermediária então AutK(E) é um subgrupo fechado de G, de modo que Υ está bem definida. Além disso, têm-se que E é Galois sobre K o que por definição significa que K = EAutK(E),
donde (Φ ◦ Υ)(K) = K. Por outro lado, como consequência do mesmo lema, se H é um subgrupo fechado de G então AutEH(E) = H, isto é, (Υ ◦ Φ)(H) = H. Segue
então que estas aplicações são bijeções, uma inversa da outra.
É imediato das definições que estas bijeções invertem inclusões. Teorema 4.3 (TFTGI, Parte II). Sejam F ⊆ K ⊆ E uma extensão intermediá-ria e H = AutK(E) o subgrupo correspondente. As seguintes afirmações são equivalentes:
i) H é aberto.
ii) O grau [K : F] é finito; iii) O índice [G : H] é finito;
Ademais, quando isso ocorre vale a igualdade [G : H] = [K : F].
Demonstração. Supondo que H é aberto, podemos tomar N ∈N tal que N ⊆ H, poisN é uma base de vizinhanças de IdE. Então existe um subcorpo L ⊆ E finito e Galoisiano sobre F tal que AutL(E) 6 H. Pelo Teorema 4.2, têm-se daí que K ⊆ L
e portanto [K : F] 6 [L : F] < ∞. Portanto (i) =⇒ (ii).
Agora, se [K : F] < ∞, então existem a1, . . . , an ∈ K tais que K = F(a1, . . . , an).
Pelo Lema 3.4, podemos tomar uma extensão intermediária L ⊆ E que seja finita e Galoisiana sobre F e contenha a1, . . . , an. Têm-se assim que K ⊆ L, e portanto
AutL(E) 6 H. Logo [G : H] 6 [G : AutL(E)] < ∞ e (ii) =⇒ (iii).
A implicação (iii) =⇒ (i) é simplesmente o último item da Proposição 2.3. Por fim, supondo que valem estas condições, sejam L como acima (i.e., finita e Galoisiana sobre F, tal que K ⊆ L) e N = AutL(E). Pelo Lema 3.5, N é normal em
G e G/N ∼= AutF(L), via a função θ : σN 7→ σ|L. Neste isomorfismo, H/N é levado
no subgrupo θ(H/N) ={σ|L| σ ∈ H} que tem K ∩ L = K como subcorpo fixado e portanto, pelo teorema fundamental para extensões finitas, têm ordem igual ao grau [K : F]. Assim, [G : H] = [G/N : H/N] = |G/N| |H/N| = | AutF(L)| |θ(H/N)| = [K : F][L : F] = [K : F]. Teorema 4.4 (TFTGI, Parte III). Sejam F ⊆ K ⊆ E uma extensão intermediária com subgrupo correspondente H = AutK(E). Então para cada σ ∈ G o subgrupo correspondente a F ⊆ σ(K) ⊆ E é σHσ−1.
Em particular, F ⊆ K é Galois se e somente se H é um subgrupo normal. Se isso acontece, existe um isomorfismo de grupos G/H ∼= AutF(K). Quando
G/H está equipado com a topologia quociente, este isomorfismo é também um homeomorfismo.
Demonstração. Para a primeira afirmação, basta observar que para τ ∈ G e a ∈ E, têm-se
τ(a) = a ⇐⇒ (σ ◦ τ ◦ σ−1)(σ(a)) = σ(a).
Segue disso que H é subgrupo normal se e somente σ(K) = K para todo σ ∈ G. Esta última condição é equivalente a afirmação de que F ⊆ K é uma extensão normal, pois se a ∈ K é raiz de um polinômio em F[x] então todas as suas raízes são da forma σ(a), para algum σ ∈ G apropriado (isso acontece pois E é normal sobre F). Como esta extensão é sempre separável (pois F ⊆ E o é), concluímos que F ⊆ K é galoisiana se e somente se H é normal em G.
Quando isso acontece, o Lema 3.3 diz que θ : G → AutF(K), σ 7→ σ|K, é um morfismo sobrejetor de grupos cujo núcleo é H = AutK(E) e portanto G/H ∼= AutF(K).
Se L é um subcorpo de K que é galoisiano e finito sobre F e ρ ∈ H então θ−1(ρAutL(K)) = σ AutL(E),
para algum σ ∈ G tal que σ|K = ρ. Pela definição da topologia de Krull se vê então que θ é contínua, pois os conjuntos da forma ρ AutL(K) são uma base para a topologia de Krull em AutF(K) e para quaisquer σ e L, σ AutL(E) é um aberto em G (vide Teorema 3.7). Então θ é uma função contínua de G, que é compacto pelo Corolário 3.11, em AutF(K), que é Hausdorff pelo Teorema 3.9. Logo, θ é uma aplicação fechada e portanto induz um homeomorfismo entre G/H (com a topologia
quociente) e AutF(K).
Apêndice A. Vizinhanças
Reunimos aqui alguns resultados sobre vizinhanças. Para mais detalhes veja um livro de topologia geral, como [2].
Seja X um espaço topológico e x ∈ X um ponto. Um conjunto N ⊆ X é uma vizinhança de x se existe um aberto A tal que x ∈ A ⊆ N. A coleção de todas as vizinhanças de x é chamada sistema de vizinhanças de x e denotada porSx.
Definição. Um coleção V ⊆ Sx de vizinhanças de x é dita ser uma base de
vizinhanças de x se para toda vizinhança N ∈Sxexiste U ∈V tal que U ⊆ N.
Veja que se um conjunto N contém uma vizinhança de um ponto x ∈ X, então N é uma vizinhança de x. Em particular, dada uma base V de vizinhanças de x, têm-se
Sx={N ⊆ X | ∃U ∈ V tal que U ⊆ N},
de modo que podemos “recuperar” o sistema de vizinhanças de um ponto a partir de uma base.
Proposição A.1. Um conjunto A ⊆ X é um aberto se e somente se é uma vizinhança de todos os seus pontos.
Demonstração. Se um conjunto N é uma vizinhança de cada um dos seus pontos, então para todo x ∈ N existe um aberto Axtal que x ∈ Ax⊆ N. Segue daí que N é
aberto, pois claramente N =S
x∈NAx. Por outro lado, um aberto é (trivialmente)
Portanto, A ⊆ X é aberto se e somente se A ∈Sx para todo x ∈ A, de modo
que é suficiente conhecer o sistema de vizinhanças de cada ponto de um espaço topológico para determinar a sua topologia. Mais que isso, pela observação anterior, basta conhecer uma base de vizinhanças de cada ponto.
Definição. Se f : X → Y é uma aplicação entre espaços topológicos e x ∈ X, então f é dita ser contínua em x se para toda vizinhança U de f(x) existe uma vizinhança N de x tal que f(N) ⊆ U (equivalentemente, N ⊆ f−1(U)).
Proposição A.2. Sejam X, Y espaços topológicos. Uma função f : X → Y é contínua se e somente se é contínua em x para todo x ∈ X.
Demonstração. Suponha que f é contínua em x para todo x ∈ X e seja A ⊆ Y um aberto. Vamos mostrar que f−1(A)é aberto mostrando que é uma vizinhança de cada um dos seus pontos. Para isso, veja que se x ∈ f−1(A), então A é uma
vizinhança de f(x), pois A é aberto e f(x) ∈ A. Da continuidade de f em x concluímos que existe vizinhança N de x tal que N ⊆ f−1(A). Segue daí que f−1(A)é uma
vizinhança de x, e, como x ∈ f−1(A) foi qualquer, f−1(A)é aberto. Por fim, A é
um aberto arbitrário em Y, e portanto f é contínua.
Reciprocamente, suponha f contínua e fixe x ∈ X. Se U é uma vizinhança de f(x), então existe um aberto A ⊆ Y tal que f(x) ∈ A ⊆ U. Segue disso que f−1(A)é aberto e x ∈ f−1(A)⊆ f−1(U), donde f−1(U)é uma vizinhança de x. Observando
que f(f−1(U))⊆ U, concluímos que f é contínua em x, pois U é uma vizinhança
arbitrária de x.
Referências
[1] T. Husain; Introduction to Topological Groups, Saunders, 1aedição, 1966. [2] J. Kelley, General Topology, Springer-Verlag, 1aedição, 1991.
[3] P. Morandi; Field and Galois Theory, Springer-Verlag, 1a edição, 1996.
[4] J. Milne, Fields and Galois Theory (v4.51), disponínel em www.jmilne.org/math/, 2015. [5] T. Szamuely; Galois Groups and Fundamental Groups, Cambridge University Press, 1a edição,
