SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO ENTRE DUAS PLACAS PLANAS PARALELAS INFINITAS

SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO LAMINAR

COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO ENTRE DUAS PLACAS

PLANAS PARALELAS INFINITAS

Diego Alexandre Estivam

Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) Departamento de Engenharia Mecânica

Laboratório de Simulação Numérica em Mecânica dos Fluidos e Transmissão de Calor C.P. 476, CEP 88040-900, Florianópolis -SC, Brasil

e-mail: estivam@sinmec.ufsc.br

Resumo. O presente trabalho consiste em simular numericamente, o escoamento laminar incompressível entre duas placas planas

paralelas e infinitas. Foi utilizado o código computacional CFX-4 para as simulações e o programa ICEM-CFD para a geração das malhas. Inicialmente são apresentadas as equações governantes e é deduzida a solução a solução analítica deste problema. Para realizar as comparações entre os perfis numérico e analítico da velocidade, foram simuladas malhas com diferentes tipos de refino. A simulação numérica obtida, representou fielmente o fenômeno estudado.

Palavras chave : escoamento laminar, fluidodinâmica computacional, placas planas paralelas, simulação numérica.

1.0 Introdução

Geralmente, os fluidos nos sistemas hidráulicos de alta pressão, vazam através das folgas entre pistão e cilindro do sistema. Quando a folga entre esses dois últimos é muito pequena, na faixa de 0.005 mm de espessura, o escoamento pode ser analizado como um escoamento entre placas planas paralelas infinitas.

O problema escolhido tem a característica de ser viscoso, incompressível e isotérmico. Utilizou-se coordenadas cartesianas , além do regime laminar e permanente entre as duas placas .

Neste trabalho, serão apresentadas inicialmente as equações que regem o fenômeno. Na seqüência é apresentada a dedução da solução analítica, seguido do estudo do refino das malhas, análise e comparação dos resultados numericamente com a solução analítica.

2.0 Equações governantes

O conjunto de equações resolvidas numericamente pelo código computacional CFX-4, para um escoamento laminar e isotérmico, são as equações bidimensionais da conservação da massa e do momento linear, eq. (2.1), conhecidas como as equações de Navier-Stokes, eq. (2.2). Estas equações estão n a forma geral, independente do sistema de coordenadas adotado, devido ao fato de que as equações de conservação, são resolvidas no plano transformado e não no plano físico. Para a transformação de um plano à outro usa-se as métricas que são calculadas pelo gerador de malha ICEM -CFD. (CFX4, 2001), ( Maliska, 1995).

0

)

(

=

⋅

∇

+

∂

∂

U

t

ρ

ρ

(2.1)

(

ρ

)

σ

ρ

+

∇

⋅

⊗

=

+

∇

⋅

∂

∂

B

U

U

U

t

(2.2)

3.0 Obtenção da Solução Analítica

Admite-se que as placas estão separadas por uma distância a, conforme mostrado na Fig.(3.1). As placas são consideradas infinitas na direção z (perpendicular ao plano do papel), sem a variação de qualquer propriedade do fluido nesta direção. O volume de controle diferencial utilizado, mostrado na Fig.(3.1), possui um volume dV= dx dy dz. Sabe-se também que a componente u da velocidade (direção x), deve ser zero nas placas superior e inferior, em consequência da condição de não-deslizamento nas paredes. (Fox, 1998)

Figura 3.1 - Volume de controle .

Para analisar o fenômeno, selecionou-se o volume de controle apresentado na figura anterior, aplicando a componente em x da equação d o momento.

A equação básica do balanço da força é dada por:

∫

∫

+

∂

∂

=

+

SC VC

u

dV

u

d

V

d

A

t

Fbx

Fsx

ρ

ρ

r

.

r

(3.1)

Para a equação anterior, pode-se fazer algumas simplificações em função das hipóteses estabelecidas anteriormente: *

Fbx

=0 ;

*

∫

+

∫

∂

∂

SC VC

u

dV

u

d

V

d

A

t

r

r

.

ρ

ρ

= 0

, escoamento permanente;

Então a eq. (3.1) se reduz a um somatório das forças de pressão:

x

Fs

=0 ;

(3.2)

Chamando de p a pressão no centro do elemento e somando as forças de pressão que são normais ao volume de controle e as forças de cisalhamento que são tangenciais ao volume de controle, tem-se que as forças sobre as faces esquerda e direita do elemento serão respectivamente:

dx

dy

dz

x

p

p













∂

∂

−

2

;

(3.3)

dz

dy

dx

x

p

p













∂

∂

+

−

2

;

(3.4)

Se a tensão de cisalhamento no centro do volume for

τ

_yx

,

então obtém-se as seguintes equações para as forças de cisalhamento sobre as faces do fundo e do topo respectivamente:

dz

dx

dy

dy

yx

d

yx









₋

−

2

τ

τ

;

(3.5)

dy

dx

dz

dy

yx

d

yx









₊

2

τ

τ

;

(3.6) Substituindo agora as forças atuantes, na Eq.(3.2) e simp lificando a nova expressão, obtém-se :

dy

yx

d

τ

=

x

p

∂

∂

;

(3.7)

Integrando-se a equação anterior,

yx

τ

=













∂

∂

x

p

y + c1

=

µ

dy

du

;

(3.8)

y

x

p

u













∂

∂

=

µ

2

1

₂

+

µ

1

c

a + c2 ;

(3.9)

Conhecendo as condições de contorno, onde em y=0, u=0 e y=a, u=0, pode-se calcular as constantes c1 e c2 obtendo-se o perfil de velocidades para um escoamento laminar completamente desenvolvido entre duas placas planas infinitas:













∂

∂

=

x

p

a

u

µ

2

2





























−













a

y

a

y

2

(3.10) 4.0 Simulação numérica 4.1 CFX -4 e ICEM-CFD

Nas simulações, fora m geradas diversas malhas utilizando-se coordenadas cartesianas , através do programa computacional ICEM -CFD.

O tratamento numérico utilizado no CFX-4 para as simulações é do tipo volumes finitos com tratamento co-localizado de variáveis, função de interpolação "HYBRID", resolução das equações algébricas por método de gradientes conjugados "STONE" e " ICCG" para as componentes cartesianas da velocidade e pressão.

A equação de conservação da massa é usada para obter uma equação de correção da pressão de acordo com o algoritmo "SIMPLEC". O algoritmo de Rhie-Chow é empregado para que não haja problemas no acoplamento pressão-velocidade em malhas co-localizadas. (CFX-4, 2001), (Icem-CFD, 2000), (Patankar, 1980).

4.2 Condições de Contorno

Na fronteira oeste é prescrito um valor de pressão, maior do que o valor prescrito na fronteira leste. A diferença entre esses dois valores acarreta o fluxo de massa dentro do domínio. Na fronteira sul prescreveu-se a condição de parede, assim como na fronteira norte, como mostra a figura 4.1 .

Figura 4.1- Desenho esquemático das condições de contorno.

Tabela 4.2.2 – Tabela de dados utilizados na simulação.

4.3 Parâmetros de simulação

Para que ocorra o escoamento por entre as placas é necessário a diferença de pressão entre os pontos inicial e final do escoamento. Devido à condição de não -deslizamento nas placas , sabe-se que a velocidade na parede é zero ao longo de todo o trajeto. Assim, o aparecimento de uma camada-limite implica em uma aceleração da velocidade na região central da distância entre as placas. Esta é a forma do escoamento obedecer a lei da conservação da massa.

Para o escoamento incompressível, a conservação da massa exige que a velocidade na linha de centro do tubo aumente com a distância em relação à entrada. A velocidade média, em qualquer seção do trajeto deve se igualar à velocidade de entrada. Para realizar as simulações, foi calculado o comprimento de entrada, ou seja, a distância em que o escoamento é plenamente desenvolvido e o perfil de velocidades não muda mais na direção x . É nessa região que deve entrar o perfil de velocidades que será comparado com a solução analítica.

Primeiramente, é necessário verificar se o número de Reynolds é = 2500, caracterizando um escoamento laminar. Para este cálculo foi utilizada a definição de Reynolds:

µ ρ⋅V⋅a = Re (4.1) onde : • µ = 1.0000E-02 Pa.s • ? = 1.0000E-03 Kg/m^3

Para o escoamento laminar, o comprimento de entrada,

L

_e, é função do número de Reynolds, obedecendo à expressão apresentada por Fox(1998):

Re

06

,

0

≈

a

L

_e (4.2)

A velocidade máxima do escoamento é encontrada em :

2

a

y

=

com

=

0

dy

du

Substituindo tais valores na Eq.(3.10) obtemos:

u

a

x

p

u

máx

2

3

8

1

2

₌













∂

∂

−

=

µ

; (4.3) O valor de

x

p

∂

∂

é obtido através do gráfico de pressão ao longo da direção d o escoamento. Como este apresenta um comportamento praticamente linear, seu valor é o próprio coeficiente angular da reta.

5.0 Estudo de Malha

As malhas estudadas possuem um número de células descritos na Tab. (5.1).

Malha Malha 1 Malha 2 Malha 3

Nú mero de células 1245 4990 20979

Tabela 5.1- Número de células das malhas

Figura 5.1. Exemplo da Malha 2D utilizada – Malha 3 com 20979 células .

Foram construídos três tipos de malhas, na intenção de avaliar qual refino que melhor representa o fenômeno em questão. As malhas simuladas possuem 1245, 4990, 20979 células. Para o refino das mesmas, levou-se em consideração, que os volumes de controle permaneçam sempre quadrados . Em todos os casos foram utilizados os mesmos parametros de simulação.

5.1 Resultados e Comparação de dados

A seguir, são apresentadas as comparações entre os perfis de velocidade obtidos analítica e numericamente.

Figura. 5.2 – Comparação entre resultados para malha de 1245 células.

Figura. 5.4 – Comparação entre resultados para malha de 20979 células

Com base nos resultados obtidos, verificou-se que a malha 1 apresentou uma solução numérica do ca mpo de velocidades com erros elevados( aprox. 7,7%). O uso da malha 3, no entanto , exigiu um esforço computacional demasiadamente maior comparado com as outras malhas, como era de se esperar, pois é muito mais refinada. Porém a redução do erro percentual aparentemente não justifica a sua utilização. Finalmente a malha 2 apresenta-se como a melhor alternativa, pois exige um esforço computacional intermediário e um resultado muito próximo do analítico.

A Tabela 5.2 mostra os erros percentuais obtidos com as simulações, comprovando que erro diminui muito com o aumento do refino.

Tabela 5.2 – Erros percentuais da velocidade máxima.

Os gráficos apresentados a seguir, foram obtidos no pós-processamento do CFX-4. A primeira malha utilizada, foi a de 1245 células,obtendo o perfil indicado pela Fig.(5.5).

Numero de células Umax (numérico) Umax (analítico) Erro Percentual 1245 46,00000 49,8507 7,724% 4990 49,50000 49,9285 0,858% 20979 49,77199 49,9642 0,384%

Figura. 5.5 - Perfil de velocidade obtido com a malha de 1245 células.

Para a segunda malha, de 4990 células obteve-se o perfil de velocidades mostrado na Fig(5.6). O aumento do número de vetores, decorre do fato dessa segunda malha apresentar-se um pouco mais refinada em relação a malha de número 1.

Figura. 5.6 - Perfil de velocidade obtido com a malha de 4990 células.

Por último, apresenta-se o perfil de velocidades obtido para a terceira malha.O acréscimo no núme ro de vetores é bem maior do que nos gráficos anteriormente apresentados, já que essa malha possui um número de células aproximadamente 4 vezes maior em relação a segunda e 20 vezes maior do que a primeira.

Figura. 5.7 - Perfil de velocidade obtido com a malha de 20979 células.

6.0 Conclusões e Sugestões de trabalho

A simulação numérica demonstrou ser uma poderosa ferramenta na análise do problema físico neste trabalho apresentado. Com o código computacional CFX-4 e com o gerador de malhas ICEM -CFD, obteve-se resultados com percentual de erro muito pequeno em comparação com a solução analítica no problema analisado.

O fenômeno também poderia ser tratado de forma simétrica ao eixo y. Tal forma de abranger o problema, poderia ser outro estudo a ser realizado, avaliando assim o efeito da simetria em relação aos resultados obtidos e realizando comparações entre o tempo computacional em ambas as simulações.

O refino das malhas demonstrou ser um estudo necessário, pois foi esse o maior fator que implicou na diminuição do erro numérico. Variações no refino das malhas e no formato das células também poderiam ser estudadas, já que esse trabalho procurou manter uniforme o formato das células.

7.0 Referências

CFX4.4, 2001, Solver Manual, CFX International, AEA Technology, UK, 2001.

Maliska, C.R.,1995, “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional: Fundamentos, Coordenadas Generalizadas”, LTC Editora, Brasil.

ICEM CFD Hexa,2000, Meshing Manual, ICEM CFD Engineering, USA, 2000.

Patankar, S., 1980, “Numerical Heat Transfer and Fluid Flow”, Ed. Hemisphere Publishing Corp., USA. Fox, Robert W., McDonald, Alan T.1998, “Introdução à Mecânica dos Fluidos”, LTC Editora, Brasil.

8.0 Apêndice

O arquivo de comando (command file), é o arquivo de definição dos parâmetros utilizados no código computacional CFX-4. É através dele que são especificados as dimensões do problema, como o tipo de escoamento a ser utilizado, escolha de modelos matemáticos para as simulações, as propriedades físicas do fluido utilizado como a densidade e viscosidade. A seguir apresenta-se o arquivo de comando utilizado para a resolução do problema apresentado.

>>CFX4 >>OPTIONS

TWO DIMENSIONS BODY FITTED GRID LAMINAR FLOW ISOTHERMAL FLOW INCOMPRESSIBLE FLOW STEADY STATE >>MODEL DATA >>TITLE

PROBLEM TITLE 'PLACAS PLANAS' >>PHYSICAL PROPERTIES >>FLUID PARAMETERS VISCOSITY 1.0000E-02 DENSITY 1.0000E-03 >>SOLVER DATA >>PROGRAM CONTROL

MAXIMUM NUMBER OF ITERATIONS 1000 MASS SOURCE TOLERANCE 1.0000E-20 >>MODEL BOUNDARY CONDITIONS >>PRESSURE BOUNDARIES

PATCH NAME 'INLET' PRESSURE 5.0000E+04 >>PRESSURE BOUNDARIES PATCH NAME 'OUTLET' PRESSURE 3.0000E+04 >>WALL BOUNDARIES PATCH NAME 'SDWALL' >>STOP