Biomatemática - Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital (ICBS UFAL) - Material disponível no endereço

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Universidade Federal de Alagoas Instituto de Ciências e Biológicas e da Saúde

BIOB-003 – Biomatemática

Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital

1. Introdução

- Agora que já entendemos o que é uma derivada, podemos partir para a etapa de calculá-la, o que chamamos de derivação. Derivar uma função é uma tarefa relativamente simples, que deve seguir algumas regras gerais que apresentarei aqui.

- Cada uma das regras apresentadas aqui pode ser demonstrada matematicamente, e algumas demonstrações são na verdade bem simples! Não iremos nos preocupar com todas as demonstrações em sala de aula, já que nosso tempo é curto; mas basta recorrer ao livro do Batschelet para acompanhá-las com facilidade.

2. Ponto de partida

- Como vimos na definição do que é uma derivada na aula passada, encontrar uma derivada é encontrar um limite. Dada uma função y = f(x), sua derivada em x1 será:

lim

𝑥2 → 𝑥1 ∆𝑦 ∆𝑥 - Vamos desdobrar um pouco, e dizer que:

lim 𝑥2 → 𝑥1 𝑦₂− 𝑦₁ 𝑥2− 𝑥1 = 𝑓(𝑥₂) − 𝑓(𝑥₁) 𝑥2− 𝑥1

- E agora vamos substituir alguns termos, dizendo que: x1 = x, x2 = x + h, e, conseqüentemente, Δx = h

- Estamos apenas dizendo que a diferença entre x1 e x2 vale h.

- Encontrar uma derivada é, então, encontrar o seguinte limite:

lim

ℎ →0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ

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Bi om at e m át ica -P rof .M ar co s V iní ci us C ar nei ro V ita l( IC BS – U FA L) -M at e ria ldi sp on ív e lno e nd e re ço ht tp :/ /m ar co sv ita l.w or dp re ss .co m / 3. Encontrando a derivada de y = x2

- Na prática, para encontrarmos uma derivada precisamos apenas seguir um conjunto de regras que serão apresentadas adiante, o que é relativamente simples. Mas para compreendermos de onde estas regras saíram, vamos deduzir uma delas em alguns passos usando como exemplo a função potência y = x2_.

- Passo à passo, vamos lá:

- A função é:

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2

- E o limite de uma função é:

lim

ℎ →0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ

- Colocando a nossa função no formato f(x + h):

𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)2 _{= 𝑥}2_{+ 2𝑥ℎ + ℎ}2

- E substituindo isso no limite que queremos encontrar: 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ = 𝑥2_{+ 2𝑥ℎ + ℎ}2_{− 𝑥}2 ℎ = 2𝑥ℎ + ℎ2 ℎ

- Vamos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por h, e teremos então:

2𝑥 + ℎ - Então queremos saber:

lim

ℎ →02𝑥 + ℎ

- Se h tende à zero, então tudo o que sobre é: 2𝑥 - Ou seja, a nossa derivada é:

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- A generalização do que acabamos de fazer é uma regrinha que nos permitirá encontrar a derivada de qualquer função polinomial:

(𝑥𝑛₎′ _{= 𝑛𝑥}𝑛−1

4. As regras

- Para derivarmos uma função qualquer, só precisamos seguir algumas regras, que nos permitem encontrar rapidamente o limite da função quando o h tende a zero. As quatro primeiras regras (em negrito) são as mais importantes para a resolução de problemas biológicos, e serão as únicas que vamos aplicar em exercícios e em prova.

(𝒄)′ _{= 𝟎} (𝒙𝒏₎′ _{= 𝒏𝒙}𝒏−𝟏 (𝒄 ∙ 𝒇(𝒙))′ = 𝒄 ∙ 𝒇′_(𝒙) (𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙))′ = 𝒇′_{(𝒙) + 𝒈}′_(𝒙) (𝑠𝑒𝑛 𝑥)′ _{= cos 𝑥} (cos 𝑥)′ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 (𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥))′ = 𝑓′_{(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔}′_(𝑥)

- Para seguirmos adiante e apresentar outras três regras, precisamos pensar um pouco sobre a idéia de uma função composta. Tanto as funções compostas quanto as três regras a seguir não serão usadas em nossos exercícios e provas.

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Bi om at e m át ica -P rof .M ar co s V iní ci us C ar nei ro V ita l( IC BS – U FA L) -M at e ria ldi sp on ív e lno e nd e re ço ht tp :/ /m ar co sv ita l.w or dp re ss .co m / 5. Funções compostas

- Uma função composta é, literalmente, uma “função de uma função”. Podemos representar uma função deste tipo dizendo:

𝑦 = 𝑓(𝑢(𝑥))

- Por exemplo: podemos desmembrar a função y = sen2_{x em duas partes,} e dizer que u(x) = sen x, e que f(u) = u2

- A partir das funções compostas, podemos demonstrar as três últimas regras que nos ajudam a encontrar uma derivada. Veja o livro para as demonstrações.

6. Mais três regras

- A derivada de uma função composta:

(𝑓(𝑢(𝑥)))′ = 𝑓′_{(𝑢) ∙ 𝑢}′_(𝑥)

- A derivada do quociente de duas funções:

(_𝑔(𝑥)𝑓(𝑥))

′

= 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓′(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔_𝑔(𝑥)₂ ′(𝑥)

- Por fim, a derivada de uma função inversa: 𝑑𝑥

𝑑𝑦= 1 𝑑𝑦/𝑑𝑥 Exercício 1

Neste primeiro exercício, vamos partir do exercício resolvido da aula anterior (aquele com o cálculo da taxa média de crescimento de uma planta aquática) e destrinchar passo a passo como derivar uma função qualquer. Percebam que encontrar uma derivada é um simples exercício de se aplicar uma ou mais regras, e depois substituir os valores de x para se encontrar a taxa instantânea desejada.

O exercício realizado foi:

Um pesquisador determinou que a população de uma planta aquática invasora cresce em um lago recém ocupado de acordo com a seguinte equação:

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N é o número de indivíduos (sendo N0 o número inicial) e t é o tempo medido em dias.

1.1. Após a introdução de três plantas em um lago, quantos indivíduos devemos encontrar após 7 dias (ou seja, quando t=7)?

1.2. Esboce o gráfico do crescimento populacional desta espécie, considerando apenas valores inteiros de tempo e obedecendo ao domínio D = {t | 0 ≤ t ≤ 7}

1.3. Qual a taxa média de crescimento populacional entre t = 2 e t = 5?

A primeira e a segunda pergunta são bem simples, basta substituir os valores. Na terceira, vocês calcularam uma taxa média, substituindo os valores de tempo e resolvendo:

Δ𝑦 Δ𝑥 =

138 − 27 5 − 2 = 37

Como podemos ver, a taxa média depende de um intervalo específico de tempo, e sempre representará um erro, pois representa a média de várias taxas que ocorrem naquele intervalo de tempo. Uma derivada representa uma taxa instantânea no tempo, e nos dá uma resposta muito mais precisa do que está acontecendo com a população em um momento específico.

Imaginem, então, uma quarta questão que pedisse:

1.4. Calcule a taxa instantânea de crescimento populacional da planta no tempo t = 3.

Passo 1: calculando a derivada da função.

- Temos que usar as regras de derivação para encontrar a derivada da função. Neste caso, precisamos das quatro primeiras regras:

(𝑐)′_{= 0} (𝑥𝑛₎′ _{= 𝑛𝑥}𝑛−1 (𝑐 ∙ 𝑓(𝑥))′ = 𝑐 ∙ 𝑓′_(𝑥) (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))′ = 𝑓′_{(𝑥) + 𝑔}′_(𝑥) - A função é: 𝑁 = 𝑁₀+ 2𝑡 + 5𝑡2

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A quarta regra nos diz que podemos simplesmente encontrar a derivada de cada “pedaço” da nossa função, então a vida fica bem simples:

- A derivada de N0, uma constante, é zero, por causa da primeira regra.

- A derivada de 2t é 2 vezes a derivada de t, por causa da terceira regra: (2𝑡)′ _{= 2(𝑡)′}

- E a derivada de t é, segundo a segunda regra:

(𝑡′_{) = (𝑡}1₎′ _{= 1𝑡}1−1 _{= 1𝑡}0_{= 1} - Ou seja, a derivada de 2t é:

(2𝑡)′ _{= 2}

- Por fim, para 5t2 o raciocínio é o mesmo que acabamos de fazer: (5𝑡2₎′ _{= 5(𝑡}2₎′ _{= 5(2𝑡}2−1_{) = 10𝑡}

- O resultado final, então, é que a derivada da função é: 𝑁′ _{= 2 + 10𝑡}

Passo 2: calculando a taxa instantânea desejada.

Uma taxa instantânea, por definição, varia a cada momento do tempo (exceto para as funções lineares), então para encontrarmos a taxa que queremos, devemos substituir o valor de x adequado.

- Neste caso, a pergunta foi sobre a taxa no tempo t = 3. Então: 𝑁′ _{= 2 + 10 ∙ 3 = 2 + 30 = 32}

- Então a taxa instantânea de crescimento no tempo t = 3 é de 32 indivíduos. Significa que naquele momento do tempo 32 indivíduos são adicionados à população.

Exercício 2

Após ingerir um alimento com 5 gramas de glicose, um organismo começou a absorvê-lo segundo a função:

𝑀 = 5 − 0,03𝑡2

Onde M é a massa de glicose ingerida, e t o tempo em horas. A velocidade com a qual a glicose é absorvida pelo organismo é chamada de taxa de reação.

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2.1. Esboce um gráfico da massa de glicose em relação ao tempo, para o domínio {t| 0 ≤ t ≤ 10}, considerando apenas os valores inteiros de t.

Nada de complicado, basta substituir os valores, e obter o M para cada tempo. O gráfico ficaria assim:

2.2. Qual a taxa instantânea de reação em t = 5 horas?

Novamente, temos que calcular uma derivada. Vou omitir os passos, já que são semelhantes aos da questão anterior.

(5 – 0,03t2)’ = 0 – 0,03 ∙ 2t = – 0,06t Para t = 5:

M’ = – 0,06 ∙ 5 = – 0,3

Ou seja, a taxa instantânea de reação quando t = 5 é de – 0,3 gramas de glicose. (a taxa é negativa porque temos um decréscimo)

Exercício 3

Um fragmento de mata com 545 km2 sofre um decréscimo em sua área seguindo a equação A = A0 – 7 ∙ t – 7 ∙ t3 (onde A é a área e t o tempo em anos).

3.1. Qual a taxa média de perda de área para o intervalo de tempo t = 1 e t = 3?

Δ𝑦 Δ𝑥 = 335 − 531 3 − 1 = −98 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 12

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3.2. Qual a taxa instantânea de perda de área no tempo t = 2?

𝐴′ _{= −7 − 21𝑡}2 𝐴′ _{= −7 − 21 ∙ 2}2 _{= −91}

Exercício 4

A população de uma bactéria está sendo criada em um meio de cultura que gera um crescimento descrito pela equação:

N = N0 + 10t + 4t2

Onde N é o tamanho da população, N0 é o tamanho inicial, e t é o tempo em horas. Considere a inoculação de um único indivíduo no meio de cultura, e responda: 4.1. Qual a taxa média de crescimento populacional entre os tempos t = 2 e t = 5?

Δ𝑦 Δ𝑥 =

151 − 37 5 − 2 = 38

4.2. Esboce o gráfico da função para o domínio D = {t | 0 ≤ t ≤ 5}

N t 1 0 15 1 37 2 67 3 105 4 151 5

4.3. Qual a taxa instantânea de crescimento populacional no tempo t = 5?

0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 1 2 3 4 5 6 Tam anho da popul aç ão Tempo

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A população de um protozoário está sendo criada em laboratório, em condições nas quais seu crescimento pode ser descrito pela equação:

N = N0 + 5t + 3t2

Onde N é o tamanho da população, N0 é o tamanho inicial, e t é o tempo em horas. Considere uma população inicial de cinco indivíduos, e responda:

5.1. Qual a taxa média de crescimento populacional entre os tempos t = 2 e t = 5?

Δ𝑦 Δ𝑥 =

105 − 27 5 − 2 = 26

N t 5 0 13 1 27 2 47 3 73 4 105 5

N’ = 0 + 5 + 6t = 35

Exercício 6

A população de um inseto em um silo de armazenamento de careais cresce de acordo com a equação:

N = N0 + 50t + 3t2

Onde N é o tamanho da população, N0 é o tamanho inicial, e t é o tempo em meses. Considere uma população que começou com 8 indivíduos, e responda:

6.1. Qual a taxa média de crescimento populacional entre os tempos t = 2 e t = 5?

∆𝑦 ∆𝑥= (333 − 120) (5 − 2) = 71 0 20 40 60 80 100 120 0 1 2 3 4 5 6 7 8

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N t 8 0 61 1 120 2 185 3 256 4 333 5

𝑁′ _{= 0 + 50 + 6𝑡 = 80}

Exercício 7

Um lago de 2300 m2 está diminuindo de tamanho devido ao processo de erosão que ocorre em suas margens. Sua redução segue a equação:

A = A0 – 23t – 2t3

Onde A é a área do lago, A0 é a área inicial e t é o tempo em meses.

7.1. Qual a taxa média de redução da área do lago para o intervalo de tempo t = 3 e t = 7? ∆𝑦 ∆𝑥= (1453 − 2177) (7 − 3) = −181 0 50 100 150 200 250 300 350 0 1 2 3 4 5 6

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N t 2300 0 2275 1 2238 2 2177 3 2080 4 1935 5 1730 6 1453 7 1092 8 635 9 70 10

7.3. Qual a taxa instantânea de redução de área do lago no tempo t = 10?

𝑁′ _{= 0 − 23 − 6𝑡}2 _{= −623} 0 500 1000 1500 2000 2500 0 2 4 6 8 10 12