LUIZ ROBERTO DANTE
• Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP
• Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática, pela PUC – São Paulo
• Mestre em Matemática pela USP
• Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP
• Ex-professor da rede estadual do Ensino Fundamental e Médio – São Paulo
• Autor de vários livros, entre os quais: Didática da resolução de problemas de Matemática;
Didática da Matemática na pré-escola; Coleção Aprendendo Sempre (1º- ao 5º- ano);
Tudo é Matemática (6º- ao 9º- ano); Matemática Contexto & Aplicações (Volume único),
por esta editora.
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1
Volume
Matemática
Ensino Médio
Manual do Professor
Editora: Cármen Matricardi
Edição de texto: Lídia La Marck
Sônia Scoss Nicolai
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.)
Kátia Scaff Marques (coord.) Ivana Alves Costa
Maurício Baptista Vieira Patrícia Travanca
Assessoria didática: Eloy Ferraz Machado Neto
Sofia Isabel Machado Lucas Pesquisa iconográfica e cartográfica: Sílvio Kligin (superv.)
Cláudia Bertolazzi (iconografia) Márcio Santos de Souza (cartografia)
Edição de arte: Rosimeire Tada (coord.)
Programação visual: Catherine Saori Ishihara
Editoração eletrônica: Formato Comunicação Ltda.
Maria Alice Silvestre Guimarães Loide Edelweiss Iizuka
Ilustrações e gráficos: Formato Comunicação Ltda.
Capa: Estúdio Sintonia
Foto da capa: Ewa Ahlin/Johner RF/Getty Images
Título original da obra: Matemática – Contexto & Aplicações – Volume 1 © Editora Ática S.A.
2013
Todos os direitos reservados pela Editora Ática S.A. Av. Otaviano Alves de Lima, 4400
5º- andar e andar intermediário Ala A Freguesia do Ó – CEP 02909-900 São Paulo – SP Tel.: 0800 115152 – Fax: 0(XX)11 3990-1616 www.atica.com.br [email protected] ISBN 978 85 08 12909-6 (aluno) ISBN 978 85 08 12910-2 (professor)
ApresentAção
A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos. Aristóteles
Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.
Lobachevsky
Ao elaborar esta coleção para o Ensino Médio, levamos em conta as ideias que abrem esta apresentação. Isso porque nosso objetivo é criar condições para que o aluno possa compreender as ideias básicas da Matemática desse nível de ensino atribuindo significado a elas, além de saber aplicá-las na resolução de problemas do mundo real.
Todos os conceitos básicos próprios do Ensino Médio foram explorados de maneira intuitiva e compreensível. As receitas prontas e o formalismo excessivo foram evitados, porém mantivemos o rigor coerente com o nível para o qual a coleção está sendo proposta.
Na abertura dos capítulos apresentamos informações gerais sobre o assunto que será discutido, para preparar o aluno e despertar nele o interesse sobre o tema.
Antes de resolver os exercícios propostos, é absolutamente necessário que o aluno estude a teoria e refaça os exemplos. Na seção Tim-tim por tim-tim, com exemplos comentados, explicitamos as fases da resolução de um problema.
A seção A Matemática e as práticas sociais foi criada para formular, resolver e interpretar si-tuações-problema que exigem a participação consciente do cidadão na sociedade.
Cada capítulo contém ainda uma seção de Atividades adicionais com questões de vestibulares de todas as regiões do país, destinadas a revisar, fixar e aprofundar os conteúdos estudados.
No fim de cada volume foram incluídas questões do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem).
A coleção engloba, desse modo, todos os assuntos costumeiramente trabalhados no Ensino Médio, além de auxiliar o aluno em sua preparação para os processos seletivos de ingresso nos cursos de Educação Superior.
Esperamos poder contribuir para o trabalho do professor em sala de aula e para o processo de aprendizagem dos alunos, consolidando e aprofundando o que eles aprenderam no Ensino Fundamental.
As sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste trabalho serão sempre bem- -vindas.
sumário
Capítulo 1
revisão: produtos notáveis
e fatoração
... 81. Produtos notáveis ... 10
2. Fatoração de expressões algébricas ... 12
Atividades adicionais ... 17
Capítulo 2
Conjuntos e conjuntos
numéricos
... 18 1. Introdução ... 20 2. A noção de conjunto ... 203. Propriedades, condições e conjuntos ... 21
4. Igualdade de conjuntos ... 21
5. Conjuntos vazio, unitário e universo ... 22
6. Subconjuntos e a relação de inclusão ... 22
7. Conjunto das partes... 26
8. Complementar de um conjunto ... 26
9. Contrapositiva ... 27
10. Operações entre conjuntos ... 28
11. Conjuntos numéricos ... 36 12. Intervalos... 44 13. Coordenadas cartesianas ... 47 14. Produto cartesiano ... 51 15. Relação binária ... 52 16. Situações-problema envolvendo números reais, grandezas e medidas ... 55
A Matemática e as práticas sociais ... 64
Atividades adicionais ... 66 Leituras ... 69
Capítulo 3
Funções
... 70 1. Introdução ... 72 2. Explorando intuitivamente a noção de função ... 723. A noção de função por meio de conjuntos ... 74
4. Domínio, contradomínio e conjunto imagem ... 76
5. Funções definidas por fórmulas matemáticas ... 77
6. Estudo do domínio de uma função real ... 81
7. Gráfico de uma função... 82
8. Função par – Função ímpar ... 87
AN tONIO P Et ICO v/ ACER vO DO AR tIS tA
9. Função crescente e
função decrescente ... 89
10. Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva ... 94
11. Função composta ... 99
12. Função inversa ... 101
13. Função e sequências ... 104
A Matemática e as práticas sociais ... 106
Atividades adicionais ... 108
Capítulo 4
Função afim
... 1101. Introdução ... 112
2. Definição de função afim ... 112
3. Casos particulares importantes da função afim f(x) = ax + b ... 113
4. valor de uma função afim ... 113
5. Determinação de uma função afim conhecendo-se seus valores em dois pontos distintos ... 114
6. taxa de variação da função afim f(x) = ax + b... 114
7. Caracterização da função afim ... 115
8. Função afim e progressão aritmética ... 118
9. Gráfico da função afim f(x) = ax + b ... 118
10. Função afim e Geometria analítica ... 121
11. Uma propriedade característica da função afim f(x) = ax + b ... 122
12. Função afim crescente e decrescente... 123
13. Estudo do sinal da função afim... 130
14. Zero da função afim ... 130
15. Estudo do sinal da função afim pela análise do gráfico... 131
16. Inequações do 1º grau ... 132
17. Função afim e movimento uniforme ... 136
18. Proporcionalidade e função linear... 138
19. Outras aplicações da função afim ... 142
A Matemática e as práticas sociais ... 144
Atividades adicionais ... 146
Capítulo 5
Função quadrática
... 1481. Introdução ... 150
2. Definição de função quadrática ... 150
3. Situações em que aparece a função quadrática ... 151
4. valor da função quadrática em um ponto ... 151
5. Zeros da função quadrática ... 154
6. Forma canônica da função quadrática ... 158
7. Gráfico da função quadrática ... 164
8. A parábola e suas intersecções com os eixos ... 172
9. vértice da parábola, imagem e valor máximo ou mínimo da função quadrática ... 174
10. Estudo do sinal da função quadrática ... 180
11. Inequações do 2o grau ... 184
12. taxa de variação da função quadrática ... 191
13. Função quadrática e progressão aritmética ... 195
14. Outros problemas envolvendo equação do 2o grau e função quadrática ... 196
A Matemática e as práticas sociais ... 197
Atividades adicionais ... 199
Função modular
... 2041. Módulo de um número real ... 206
2. Distância entre dois pontos na reta real ... 210
3. Função modular ... 210
4. Equações modulares ... 217
5. Inequações modulares ... 220
6. Uma aplicação do módulo na Física ... 223
Atividades adicionais ... 224
Capítulo 7
Função exponencial
... 228 1. Introdução ... 230 2. Revisão de potenciação ... 230 3. Simplificação de expressões ... 235 4. Função exponencial ... 237 5. Equações exponenciais ... 241 6. Inequações exponenciais ... 2447. Aprofundando o estudo da função exponencial ... 246
8. As funções f(x) = ax e g(x) = a−x ... 248
10. Aplicações da função exponencial ... 250
A Matemática e as práticas sociais ... 254
Atividades adicionais ... 256
Capítulo 8
Logaritmo e função logarítmica
... 2581. Logaritmo ... 260
2. Função logarítmica ... 274
3. Equações logarítmicas... 279
4. Inequações logarítmicas ... 281
5. Outras aplicações da função logarítmica e dos logaritmos ... 284
A Matemática e as práticas sociais ... 285
Atividades adicionais ... 287 Leituras ... 291
Capítulo 9
progressões
... 292 1. Introdução ... 294 2. Sequências ... 2943. Progressão aritmética (PA) ... 297
4. Progressão geométrica (PG) ... 312 5. Problemas envolvendo PA e PG ... 330 Atividades adicionais ... 333
Capítulo 10
matemática financeira
... 336 1. Introdução ... 338 2. Números proporcionais ... 338 3. Porcentagem ... 340 AURELIANO Mü LLER / F OL h APRESS4. termos importantes de
Matemática financeira ... 346
5. Juros e funções ... 351
6. Equivalência de taxas ... 352
7. Equivalência de capitais ... 353
A Matemática e as práticas sociais ... 357
Atividades adicionais ... 358
Capítulo 11
trigonometria no
triângulo retângulo
... 360 1. Introdução ... 362 2. Índice de subida ... 363 3. A ideia de tangente ... 365 4. A ideia de seno ... 365 5. A ideia de cosseno ... 3666. Definição de seno, cosseno e tangente por meio de semelhança de triângulos ... 366
A Matemática e as práticas sociais ... 384
Atividades adicionais ... 386
Tabela de razões trigonométricas ... 389
Capítulo 12
Geometria plana
... 3901. Propriedades de figuras geométricas ... 392
2. Semelhança de triângulos ... 404
3. Relações métricas no triângulo retângulo ... 412
4. Polígonos regulares inscritos na circunferência e comprimento da circunferência ... 416
5. Áreas: medidas de superfícies ... 419
A Matemática e as práticas sociais ... 435
Atividades adicionais ... 437 Leitura ... 442
Questões do enem
... 443Glossário
... 465sugestões de leituras
complementares
... 470significado das siglas
de vestibulares
... 470referências bibliográficas
... 471respostas
... 472 BE tt MANN / CORBIS / L At INS tOC k FREDERICRevisão: pRodutos
notáveis e fatoRação
Papiro Rhind, imagem com os
problemas 49 a 55 e final do 46.
Bridgeman art LiBrary/keystone
o conhecimento que temos hoje sobre a matemática do antigo egito tem como base dois grandes documentos, cujos textos estão escritos em papiros. o mais antigo é conhecido por Papi-ro Rhind, o outPapi-ro é o PapiPapi-ro de Moscou. eles são compostos de problemas e resoluções, razão pe la qual se supõe que tenham sido destinados ao ensino dos fun cio nários do estado e dos escribas dos faraós.
o Papiro rhind é considerado o mais precioso documento relativo aos conhecimentos mate máticos dos egíp cios e data, aproximadamente, de 1650 a.C. em forma de manual prático, contém uma coleção de 85 problemas de aritmética e geometria, em sua maioria envolvendo assun tos do cotidiano, como o preço do pão e a armazenagem de grãos de trigo. seu nome se deve a um antiquário escocês, alexander Henry rhind, que o com
prou em 1808, no egito. após sua morte, cinco anos depois, o papiro foi adquirido pelo British museum de Londres, onde se encontra atual
mente.
o Papiro rhind é também deno minado Papiro Ahmes em homena gem ao escriba egípcio que o co piou, em escrita hierática (sagrada),
de um manuscrito mais antigo, de cerca de duzentos anos antes.
>
atividades
os problemas apresentados nos papiros eram resolvidos por processos aritméticos comuns para os egípcios. no Papiro rhind, ahmes utilizava um processo conhecido como método da falsa posição para resolver problemas que envolviam equações lineares com uma incógnita (x + ax 5 b, por exem plo). nesse processo, um valor específico, provavelmente falso, é assumido para x, e as operações in dicadas à esquerda da igualdade são efetuadas para esse valor; o resultado é então comparado com o resultado que se pretende e, usandose proporções, chegase à resposta correta. ahmes também utilizava, às vezes, outro método chamado método da fatoração, que consistia em colocar o aha (a incógnita) em evidência no lado esquerdo da igualdade e dividir ambos os membros da equação por seu coeficiente. Certamente esse último processo é familiar a você, já que corresponde a um dos casos de fatoração estudados anteriormente.
os conceitos e procedimentos algébricos serão aqui revistos e aprofundados a fim de preparálo para novas aplicações.
1.
experimente resolver a equação x 1 x7 5 24 pelo método da falsa posição definido acima. (Sugestão: dê um valor conveniente para x, por exemplo, 7.)2.
no Papiro rhind, há problemas que parecem ter sido formulados como enigmas, como no caso do proble ma 79, em que figuram apenas os seguintes dados: “sete casas, 49 gatos, 343 ratos, 2 401 espigas de trigo, 16 807 hectares”.a) o que têm em comum os números indicados no enunciado do problema 79?
b) segundo a interpretação do historiador moritz Cantor, esse problema poderia ter a seguinte formulação: “Uma relação de bens consistia em sete casas, cada casa tinha sete gatos, cada
gato comeu sete ratos, cada rato comeu sete espigas de trigo, e cada espiga de trigo produ zia sete hectares de grãos. Casas, gatos, ratos, espigas de trigo e hectares de grãos, quanto havia disso tudo?”
relacione esse possível enunciado com os valores apresentados e encontre o resultado.
3.
sabendo que a unidade fundamental de peso (no sentido de massa) era o deben (equivalia a 91 g) e que shaty era uma unidade só conhecida por meio do Papiro rhind, resolva o seguinte problema (nú mero 62 no Papiro):“Uma bolsa contém o mesmo peso de ouro, prata e estanho. o valor total é 84 shaty. Um deben de ouro é 12 shaty, o de prata, 6 shaty e o de estanho, 3 shaty. Calcular o valor de cada metal”.
Quadrado de uma diferença indicada: (a 2 b)
2ou (a 2 b)(a 2 b)
(a 2 b)2 5 (a 2 b)(a 2 b) 5 a • a 2 a • b 2 b • a 1 b • b 5 a2 2 2ab 1 b222ab
Assim:
(a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 b2
Geometricamente, equivale a calcular a área da região quadrada de lado (a 2 b).
1
. Produtos notáveis
Alguns produtos que envolvem expressões algébricas apresentam um padrão, uma regularidade em seus resul-tados. Por isso são conhecidos como produtos notáveis. Conhecendo-os, podemos economizar muitos cálculos.
Vamos estudar os produtos notáveis conhecidos por quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da
soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.
Quadrado de uma soma indicada: (a 1 b)
2ou (a 1 b)(a 1 b)
(a 1 b)2 5 (a 1 b)(a 1 b) 5 a • a 1 a • b 1 b • a 1 b • b 5 a2 1 2ab 1 b2
2ab
Assim:
(a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2
Geometricamente, é o mesmo que calcular a área da região quadrada de lado (a 1 b).
a ab a2 a b b ab b2 Para refletir
Tente descobrir, observan do a figura, por que a ex pres são a2 1 2ab 1 b2 é chamada de
trinômio qua drado perfeito.
Ao dividir o lado do quadrado em duas partes de medidas a e b, a região quadrada fica dividida em quatro partes: duas retangulares de área ab cada uma, uma quadrada de área a2 e outra quadrada de área b2.
Veja alguns exemplos:
• (3x 1 5)2 5 9x2 1 30x 1 25 • (y 1 6)2 5 y2 1 12y 1 36 (3x)2 2 • (3x) • 5 52 a b E b F I B A a b b a G H D C a b2
Exercício proposto
1.
Use a regularidade que você acabou de ver e calcule o resultado dos quadrados da soma:a) (a 1 5)2 b) (2x 1 4)2 c) 5 2 y 1 1 2 d) (x2 1 b)2
Veja alguns exemplos:
• (x 2 4)2 5 x2 2 8x 1 16 • (3x 2 y)2 5 9x2 2 6xy 1 y2
Exercício proposto
2.
Use a regularidade do quadrado da diferença e calcule: a) (a 2 3)2 b) (4x 2 7)2 c) y 2 1 3 2 d) (x 2 2b)2Produto de uma soma indicada por uma diferença indicada: (a + b)(a 2 b)
(a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 ab 1 ba 2 b2 5 a2 2 ab 1 ab 2 b2 5a2 2 b2 Assim:
(a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 b2
Geometricamente, equivale a calcular a área da região retangular de lados (a 1 b) e (a 2 b).
Veja alguns exemplos:
• (3x 1 7)(3x 2 7) 5 9x2 2 49 • (5x 1 y)(5x 2 y) 5 25x2 2 y2 • (x2 1 x)(x2 2 x) 5 x4 2 x2 a a b B b C D A E F a b
Cubo de uma soma indicada: (a 1 b)
3(a 1 b)3 5 (a 1 b)(a 1 b)2 5 (a 1 b) • (a2 1 2ab 1 b2) 5 a3 1 2a2b 1 ab2 1 ba2 1 2ab2 1 b3 5a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3
Assim:
(a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3
Exercícios propostos
3.
Use a regularidade que você acabou de ver e calcule mais estes produtos notáveis:a) (x 2 7)(x 1 7) b) (a 1 20)(a 2 20) c) (x 1 4y)(x 2 4y) d) (5x 1 8)(5x 2 8)
4.
Pratique um pouco mais os produtos notáveis vistos até aqui: a) (4x 2 9)2 c) (3a 1 8b)2 b) (5x 1 y)(5x 2 y) d) x 2 2 3 2 Exercício proposto
5.
Efetue: a) (x 1 2)3 b) (a 2 4b)3 c) (1 2 10x)3 d) (x 1 y)32
. Fatoração de expressões algébricas
Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la em um produto.
Existem vários casos de fatoração que devem ser utilizados de acordo com as características da expressão algébrica a ser fatorada.
1
‚‚
caso de fatoração: colocação de um termo em evidência
Vamos fatorar 3a2 1 3ab.
3a é o fator comum às duas parcelas de 3a2 1 3ab. Assim: 3a2 1 3ab 5 3a(a 1 b)
forma fatorada
Em 4x 1 6, o 2 é o fator comum das duas parcelas. Então, 4x 1 6 5 2(2x 1 3).
Geometricamente, (a 1 b)3 indica o volume de um cubo com arestas que medem a 1 b. Esse cubo pode ser dividido em: um cubo de arestas a (a3), três paralelepípedos de arestas a, a e b (3a2b), três paralelepípedos de arestas a, b e b (3ab2) e um cubo de arestas b (b3).
b a a b b b b b b b b a a a a a a a b b b b b b b a a a a a a a
Veja alguns exemplos:
• (x 1 3)3 5 x3 1 3 • x2 • 3 1 3 • x • 32 1 33 5 x3 1 9x2 1 27x 1 27
• (2a 1 b)3 5 (2a)3 1 3 • (2a)2• b 1 3 • 2a • b2 1 b3 5 8a3 1 12a2b 1 6ab2 1 b3
Cubo de uma diferença indicada: (a 2 b)
3(a 2 b)3 5 (a 2 b) • (a 2 b)2 5 (a 2 b)(a2 2 2ab 1 b2) 5 a3 2 2a2b 1 ab2 2 a2b 1 2ab2 2 b3 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3 Assim:
(a 2 b)3 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3 Veja alguns exemplos:
• (x 2 4)3 5 x3 2 3 • x2 • 4 1 3 • x • 42 2 43 5 x3 2 12x2 1 48x 2 64
Exercício proposto
6.
Fatore as expressões, colocando em evidência o fator comum em cada uma delas:a) 6x2y2 2 9x2y 1 15xy2
b) x(x 2 4) 1 6(x 2 4) c) 2x2 1 4xy
d) 7a3 1 14ab
2
‚‚
caso de fatoração: agrupamento
Analise com atenção a expressão algébrica de quatro termos ax + 2a + 5x + 10. Não existe um fator comum aos quatro termos. Mas, agrupando-os de forma conveniente, podemos fazer a sua fatoração aplicando duas vezes o 1‚ caso de fatoração. Veja:
ax + 2a + 5x + 10
a(x + 2) + 5(x + 2)
(x + 2) • (a + 5)
Para refletir
A fatoração de dois gru-pos, separadamente, de- ve “gerar” um fator co-mum pa ra uma nova fatoração.
Veja outros exemplos:
• ab 1 a 2 bx 2 x • a2 2 5a 1 a 2 5 • x3 2 2x2 1 x 1 x2y 2 2xy 1 y
a(b 1 1) 2 x(b 1 1) a(a 2 5) 1 1(a 2 5) x(x2 2 2x 1 1) 1 y(x2 2 2x 1 1) (b 1 1)(a 2 x) (a 2 5)(a 1 1) (x2 2 2x 1 1)(x 1 y)
3
‚‚
caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito
No estudo dos produtos notáveis você viu que o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois termos nos dão trinômios como resultados. Por exemplo:
• (x 1 5)2 5 x2 1 10x 1 25 • (a 2 7)2 5 a2 2 14a 1 49 • (3x 1 10)2 5 9x2 1 60x 1 100 • (4x 2 9y)2 5 16x2 2 72xy 1 81y2
Cada um dos trinômios obtidos é conhecido por trinômio quadrado perfeito. O caminho inverso do que apare-ce acima é a fatoração do trinômio. Veja:
• x2 1 10x 1 25 5 (x 1 5)2 • 16x2 2 72xy 1 81y2 5 (4x 2 9y)2
quadrado quadrado (4x)2 (9y)2
de x de 5 22 • (4x) • (9y)
o dobro do produto de x e 5
Exercícios propostos
7.
Fatore as expressões seguintes usando a fatoração por agrupamento:a) 2x2 2 4x 1 3xy 2 6y b) a2 2 a 2 ab 1 b
c) x2 1 xy 1 x 1 y d) ab 1 3b 2 7a 2 21
8.
Fatore a expressão algébrica4
‚‚
caso de fatoração: diferença de dois quadrados
Você já viu que o produto da soma pela diferença dos mesmos termos é um produto notável e que seu resul-tado é igual à diferença entre o quadrado do 1‚ termo e o quadrado do 2‚ termo. Por exemplo:
• (x 1 8)(x 2 8) 5 x2 2 64 • (7x 1 y)(7x 2 y) 5 49x2 2 y2 • (5x 1 9)(5x 2 9) 5 25x2 2 81 • (10 1 a)(10 2 a) 5 100 2 a2
O caminho inverso do que aparece acima é a fatoração da diferença de dois quadrados. Veja:
• x2 2 64 5 (x 1 8)(x 2 8) • 25x2 2 81 5 (5x 1 9)(5x 2 9) • 100 2 a2 5 (10 1 a)(10 2 a) quadrado quadrado de 8 (5x)2 92 102 a2 de x
Exercício proposto
9.
Fatore completamente: a) x2 1 16x 1 64 b) 49x2 2 14x 1 1 c) 9x2 1 12xy 1 4y2 d) a2 2 2ab 1 b2*
*
(Ibmec-SP) No bolso de uma pessoa havia X cédulas de Y reais e Y cédulas de X reais. Se esta pessoa colocar neste bolso mais X cédulas de X reais e Y cédulas de Y reais, então esta pessoa terá no bolso:a) (X 1 Y)2 reais. c) (X2 1 Y2) reais. e) (X2 1 Y2)2 reais. b) (X 2 Y)2 reais. d) (X2 2 Y2) reais.
1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema?
São dadas as quantidades de cédulas de X reais e a quantidade de cédulas de Y reais. b) O que se pede?
Pede-se que se estabeleça a quantidade de dinheiro que a pessoa tem no bolso. 2. Planejando a solução
Como sabemos a quantidade de cédulas de X e de Y reais que a pessoa tinha no bolso, basta car a quantidade de cédulas pelo seu valor para ter o total de dinheiro. Depois, somaremos todos esses valores e, se necessário, manipularemos a expressão obtida para chegar à resposta correta.
3. Executando o que foi planejado
Antes, havia no bolso X cédulas de Y reais, totalizando X ? Y reais; e havia Y cédulas de X reais, totalizando mais X ? Y reais.
Assim, inicialmente, ela tinha XY 1 XY, ou seja, 2XY reais no bolso.
Depois, ela colocou mais X cédulas de X reais, totalizando X ? X, ou seja, X2 reais;
e colocou também Y cédulas de Y reais, totalizando mais Y ? Y, ou seja, Y2 reais.
Assim, ela terá no bolso X2 1 2XY 1 Y2. 4. Emitindo a resposta
Para chegar à resposta, é necessário fatorar a expressão inicialmente obtida. Devemos perceber então que se trata de um trinômio quadrado perfeito:
X2 1 2XY 1 Y2 5 (X 1 Y)2 A resposta é o item a. 5. Ampliando o problema
Discussão em equipe
Troque ideias com seus colegas sobre como alterar o enunciado para que o resultado seja o item b das alternativas. ti m -t im p o r t im -t im
5
‚‚
caso de fatoração: soma de dois cubos
Veja o que acontece quando multiplicamos a soma de dois termos por um trinômio formado pelo quadrado do 1‚ termo, menos o produto do 1‚ pelo 2‚ e mais o quadrado do 2‚ termo:
• (x 1 y)(x2 2 xy 1 y2) 5 x3 2 x2y 1 xy2 1 yx2 2 xy2 1 y3 5 x3 1 y3
cubo de x cubo de y
• (5x 1 2)(25x2 2 10x 1 4) 5 125x3 2 50x2 1 20x 1 50x2 2 20x 1 8 5 125x3 1 8
cubo de 5x cubo de 2
O caminho inverso do que aparece acima é mais um caso de fatoração (soma de dois cubos). Veja: • x3 1 y3 5 (x 1 y)(x2 2 xy 1 y2) • 125x3 1 8 5 (5x 1 2)(25x2 2 10x 1 4)
cubo de x cubo de y (5x)3 23
6
‚‚
caso de fatoração: diferença de dois cubos
O raciocínio é o mesmo do caso anterior:
• (x 2 y)(x2 1 xy 1 y2) 5 x3 1 x2y 1 xy2 2 yx2 2 xy2 2 y3 5 x3 2 y3
cubo de x cubo de y
• (3x 2 5)(9x2 1 15x 1 25) 5 27x3 1 45x2 1 75x 2 45x2 2 75x 2 125 5 27x3 2 125
(3x)3 53
Fazendo o caminho inverso temos o caso de fatoração para expressões que indicam a diferença de dois cubos:
• x3 2 y3 5 (x 2 y)(x2 1 xy 1 y2) • 27x3 2 125 5 (3x 2 5)(9x2 1 15x 1 25)
cubo de x cubo de y (3x)3 53
Exercícios propostos
10.
Escreva as diferenças como produto de uma soma por uma diferença dos mesmos termos:a) 9x2 2 16y2 c) x2 2 1
36
b) 4a2b2 2 9x2y2 d) 1
4 2 4a2b2
11.
Fatore a expressão (3x 1 4)2 2 (2x 2 1)2.12.
Faça a fatoração das expressões abaixo:a) 3x2 2 15x d) x2 1 40x 1 400 b) 9x2 2 25 e) y2 2 81 c) 5a2 2 a 1 10ab 2 2b f) 2a2 2 6ab 1 4a
Exercício proposto
13.
Fatore as expressões que indicam soma de dois cubos: a) a3 1 1 000b) 27x3 1 1
c) 8x3 1 y3 d) 27 1 8a3b3
Exercício proposto
14.
Faça a fatoração das diferenças entre dois cubos: a) x3 2 64b) 8a3 2 1
c) 27a3 2 125y3 d) 64 2 8x3y3
• x4 2 81 5 (x2 1 9)(x2 2 9) 5 (x2 1 9)(x 1 3)(x 2 3) • x2 2 y2 1 3x 1 3y 5 (x 1 y)(x 2 y 1 3)
(x 1 y)(x 2 y) 1 3(x 1 y)
• 3x2 2 75 5 3(x2 2 25) 5 3(x 1 5)(x 2 5)
colocando o 3 fatorando a diferença
em evidência entre dois quadrados
• 4x3 1 4x2 1 x 5 x(4x2 1 4x 1 1) 5 x(2x 1 1)2
Quando multiplicamos (x 1 3) por (x 1 2) obtemos x2 1 5x 1 6, ou seja: (x 1 3)(x 1 2) 5 x2 1 5x 1 6
O processo inverso, ou seja, partindo de x2 1 5x 1 6 para chegar a (x 1 3)(x 1 2), é chamado de fatoração da
expressão quadrática x2 1 5x 1 6.
Veja alguns exemplos de fatoração de expressões quadráticas: • x2 1 6x 1 8
Devemos encontrar dois números cujo produto é 8 e cuja soma é 6. Esses números são 4 e 2. Então, x2 1 6x 1 8 5 (x 1 4)(x 1 2).
• x2 2 6x 1 8
Devemos encontrar dois números cujo produto é 8 e cuja soma é 26. Esses números são 22 e 24. Então, x2 2 6x 1 8 5 (x 2 2)(x 2 4).
Resolução da equação do 2
‚ grau usando fatoração de expressões quadráticas
Vamos resolver a equação do 2‚ grau x2 1 x 2 12 5 0.Fatorando, temos:
x 2 3 5 0 ⇒ x 5 3 x2 1 x 2 12 5 0 ⇒ (x 2 3)(x 1 4) 5 0 ⇒ ou
x 1 4 5 0 ⇒ x 5 24 Assim, as raízes da equação x2 1 x 2 12 5 0 são x 5 3 ou x 5 24.
Exercício proposto
15.
Fatore as expressões quadráticas: a) x2 1 7x 1 10 b) x2 1 3x 2 10 c) x2 2 2x 2 35 d) x2 2 6x 1 8 e) b2 2 4b 2 21 f) a2 1 14a 1 45 d) y2 2 15y 1 56 5 0 e) x2 2 14x 1 49 5 0 f) x2 1 9x 1 18 5 0Exercício proposto
16.
Resolva as equações do 2‚ grau usando fatoração: a) x2 1 7x 1 12 5 0b) x2 1 5x 2 14 5 0 c) x2 2 x 2 12 5 0
Fatorações sucessivas
Há expressões nas quais podemos fatorar duas ou mais vezes até chegar ao resultado final. Veja alguns exemplos:
Exercício proposto
17.
Fatore as expressões completamente: a) 45x3 2 5xy2b) a4 2 b4
c) xy 2 5x 1 4y 2 20 d) x2 1 2xy 1 y2 1 5x 1 5y
ATENÇÃO!
A seguir, separadas por regiões geográficas, relaciona-mos algumas questões de vestibular que envolvem o con-teúdo deste capítulo.
Região Norte
1.
(Ufam) Se x 2 1 x 5 3, então o valor de x2 2 1 3 x 1 x3 1 1 2 x é: a) 27. d) 11. b) 47. e) 63. c) 36.
2.
(Ufam) Se (x 1 y)2 2 (x 2 y)2 5 30, então 2xy é igual a:a) 0. d) 5
2.
b) 15. e) 5
3.
c) 6.
3.
(UFRR) O valor da expressão (a 1 b)2 2 (a 2 b)2 para a 5 25 e b 5 b0 é 1 000. Podemos afirmar que o valor de b0 é:a) 12. d) 40.
b) 0. e) 10.
c) 5.
Região Nordeste
4.
(Unit-SE) Se x é um número real estritamente positivo, a expressão x2 x 2 2 2 é equivalente a: a) x2 2 1. d) ( )x 1 1 . 2 x b) ( )x 2 12 . x e) (x 2 1)2 2 2 . c) x 2 1 . 2 x5.
(Unifor-CE) Se a e b são números reais, tais que |a| |b| e ab 5 1 2, o valor da expressão a b a b a b a b 3 3 3 3 é: a) 2. d) 21. b) 1. e) 22. c) 0.6.
(Uece) Considerando os números a 5 5 12 3 e b 5 5 2 3 , 2 o valor de a2 2 b2 é: a) 5 3 . b) 2 3 . c) 3 2. d) 3 4.7.
(UFC-CE) O valor exato de
32 10 7 32 10 7 é:
a) 12. b) 11. c) 10. d) 9. e) 8.
Região Centro-Oeste
8.
(UFMT) Sobre o número natural n 5 240 2 1, conside-re as seguintes afirmativas:I) n é um múltiplo de 31. II) n é um múltiplo de 5. III) n é um número primo. IV) n é um número par. Estão corretas as afirmativas:
a) III e IV. c) II e IV. e) I e II. b) II e III. d) I e III.
Região Sudeste
9.
(UFMG) Sejam x e y números reais não nulos tais quex y y 2 2 1
x 5 22. Então, é correto afirmar que:
a) x2 2 y 5 0. c) x2 1 y 5 0. b) x 1 y2 5 0. d) x 2 y2 5 0.
10.
(PUC-RJ) O produto (x 1 1)(x2 2 x 1 1) é igual a: a) x3 2 1. d) x3 2 3x2 1 3x 2 1. b) x3 1 3x2 2 3x 1 1. e) x2 1 2.c) x3 1 1.
11.
(Fatec-SP) O valor da expressão y 5 xx x 3 2 8 2 4 , para x 5 2 , é: a) 2 .22 d) 20,75. b) 2 . 1 2. 22 e) 24 3. c) 2.
Região Sul
12.
(UFRGS-RS) Se a 5 x 1y, 2 b 5 x 2y 2 e c 5 xy ,em que x e y são números reais tais que xy . 0, então uma relação entre a2, b2 e c2 é:
a) a2 1 b2 2 c2 5 0. d) a2 2 b2 1 c2 5 0. b) a2 2 b2 2 c2 5 0. e) a2 5 b2 5 c2. c) a2 1 b2 1 c2 5 0.
>
Atividades adicionais
AS QUESTÕES DE VESTIBULAR FORAM TRANSCRITAS LITERALMENTE. EMBORA EM ALGUMAS
APAREÇA: “ASSINALE”, “INDIQUE”, ETC.,
NÃO ESCREVA NO LIVRO.
Conjuntos e
Conjuntos numériCos
A obra 1,618, de Antonio Peticov (1946-), artista plástico paulista, reproduz a formação do caramujo Nautilus marinho. A constituição da espiral do caramujo segue exatamente a sequência do retângulo de ouro (um retângulo é áureo quando a razão entre seu comprimento
e sua largura é o “número de ouro”).
Os gregos, na Antiguidade, só trabalhavam com números naturais (os inteiros positivos) e as razões entre eles (os racionais). Até o século V a.C. acreditavam que esses números fossem suficien-tes para comparar duas grandezas quaisquer de mesma espécie — segmentos de reta, áreas, volumes, etc.
A primeira grande crise no desenvolvimento da Matemática ocorreu quando se percebeu que havia segmentos de reta cuja medida não corres-pondia a nenhuma razão entre dois números na-turais, o que significava que a reta numerada con-tinha pontos que não correspondiam a nenhum número conhecido. E esses novos números foram chamados irracionais. Assim, a construção dos
conjuntos numéricos permaneceu por séculos como uma grande questão entre os matemáticos, sendo amplamente pesquisada, cul minando, no século XIX, com a teoria dos conjuntos de Georg Cantor (1845-1918).
O “número de ouro” dos gregos, símbolo da harmonia e da beleza, é um dos mais famosos exemplares desse novo tipo de número. Repre-sentado por 1 5 ,
2 corresponde, na forma
de-cimal, ao número 1,61803398... Está presente em diversos elementos da Natureza — forma de cres-cimento das plantas e dos demais seres vivos, presas dos elefantes, escamas dos peixes, cauda do pavão, corpo humano — e em vários campos do conhecimento — Arte, Arquitetura, Música,
Litera-tura. Podemos citar alguns exemplos:
AN tONIO PE tICOV /ACERVO d O AR tI st A
Conjuntos e
Conjuntos numériCos
>
atividades
st EVEN P u Etz ER /COR bI s/ LA tIN st OC k1.
Observe a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... Ela é chamada de sequência de Fibonacci (esse assunto será retomado na abertura do ca-pítulo 9).a) descubra o padrão de formação dessa sequência. b) Efetue sucessivas divisões entre um número da
sequência, a partir do quinto, e o que o antecede. O que você observa?
c) são dados: o corte da concha de um Nautilus, no qual se veem as câmaras formando a espiral de ouro, e a sequên cia de retângulos áureos que dão origem a essa espiral. Que relação existe entre a sequência de retângulos e a de Fibonacci?
13 8 53 2 8 53 2 53 2 3 2 2
2.
Calcule a razão entre a sua altura e a distância de seu umbigo até o chão. Compare o valor obtido com o número de ouro. O que se pode observar? Repita a experiência com outras pessoas e compare.>
atividades
• A fachada do templo grego Partenon é toda organizada segundo a razão áurea.
• Na grande pirâmide de Gizé, no Egito, o quociente entre a altura de uma face e a metade do lado da base vale quase 1,618.
• A obra Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, apresenta a razão áurea em várias partes.
• A proporção entre fêmeas e machos na população das abelhas, em qualquer colmeia, é áurea.
• O pentagrama — estrela regular de cinco pontas — contém uma inumerável quantidade de
relações douradas.
• O caramujo Nautilus marinho apresenta a razão áurea em seu corpo segmentado em forma de espiral, cha mada espiral de ouro. Pode-se cons truí-la a partir de retângulos cujos lados estão na razão áurea.
O conceito de conjunto e os conjuntos numéricos serão revistos e aprofundados neste capítulo.
Edw AR d k IN sMAN /P h O tO RE sEARC h ER s, INC ./LA tIN st OC k ATENÇÃO! NÃO ESCREVA NO LIVRO.
Região Sudeste Brasil 3 França, 1/7/2006. Brasil 3 EUA, 23/9/2006. Brasil 3 Polônia, 3/12/2006.
Para resolver questões desse tipo, devemos utilizar conhecimentos de conjuntos.
2
. A noção de conjunto
A noção de conjunto é bastante simples e fundamental na Mate-mática, pois a partir dela podem ser expressos todos os conceitos ma-temáticos.
Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Por exemplo: • conjunto dos estados da região Sudeste: S 5 {São Paulo, Rio de Janeiro,
Minas Gerais, Espírito Santo}
• conjunto dos números primos: B 5 {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} • conjunto dos quadriláteros: C 5 {quadriláteros}
Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A. Quando for, dizemos que:
a pertence a A e escrevemos a A. Caso contrário, dizemos que:
a não pertence a A e escrevemos a A. Nos exemplos acima, temos:
• Minas Gerais S e Paraná S • 2 B e 9 B
• retângulo C e triângulo C
1
. Introdução
Analise a seguinte situação-problema:
Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol e de vôlei; 8 de basquete e de vôlei e 5 gostam das três modalidades.
a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes? b) Quantas gostam somente de futebol?
c) Quantas gostam só de basquete? d) Quantas gostam apenas de vôlei?
e) Quantas não gostam nem de basquete nem de vôlei?
f) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos?
MATEMÁTICA PNLEM - VOL. 1 Dante MG ES OCEANO ATLÂNTICO RJ SP 0 330 km TRÓPICO DE CAPRICÓRNIO N
Fonte: Adaptado de Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2007.
Para refletir
Todo número primo maior do que 2 é ímpar? Todo número ímpar maior do que 2 é primo? pA ulo p Into/ AG ênc IA E st Ado Jon Ath An c Ampos/ AG ênc IA E st Ado JE ff ER son BER n AR d Es/ AGE nc E f RA nc E-p RE ss E
Exercícios propostos
3.
Escreva o conjunto expresso pela propriedade: a) x é um número natural par;b) x é um número natural múltiplo de 5 e menor do que 31;
c) x é um quadrilátero que pos sui 4 ângulos retos.
Para refletir
Todo quadrado é um retângulo?
4.
Escreva o conjunto dado pela condição: a) y é um número tal que y2 2 25 5 0;b) y é um número tal que y2 2 5y 1 6 5 0; c) y é um número divisor de 16 tal que y3 5 8; d) y é um número inteiro menor do que 6 e maior do
que 22.
5.
Escreva uma propriedade que define o conjunto: a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};b) {0, 2, 4, 6}.
6.
Escreva uma condição que define o conjunto: a) {23, 3};b) {5}.
3
. Propriedades, condições e conjuntos
Consideremos a propriedade p:
p: x é um número natural ímpar Essa propriedade pode ser expressa pelo conjunto I 5 {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}. Assim, é indiferente dizer que x possui a propriedade p ou que x I. Consideremos agora a condição c:
c: x é um número inteiro que satisfaz a condição x2 2 4 5 0 Essa condição pode ser expressa pelo conjunto A 5 {22, 2}.
Nesse caso, também é indiferente dizer que x satisfaz a condição c ou que x A.
É mais simples trabalhar com conjuntos do que com propriedades e condições. Além disso, podemos definir relações e operações entre conjuntos. Já com propriedades e condições isso seria muito difícil.
4
. Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Por exemplo, se A 5 {números naturais pares} e B 5 {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …}, então A 5 B.
Se A não é igual a B, então A é diferente de B e escrevemos A B.
Observação: {1, 2} 5 {1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2}, pois possuem os mesmos elementos. A quantidade de vezes que eles aparecem não é importante.
Exercícios propostos
Para resolver os exercícios 1 e 2 a seguir, use as conven-ções dadas na página ao lado.
1.
Escreva com símbolos:a) Espírito Santo pertence ao conjunto dos estados da região Sudeste.
b) Bahia não pertence ao conjunto dos estados da região Sudeste.
c) 17 pertence ao conjunto dos números primos. d) 15 não pertence ao conjunto dos números primos.
e) Pentágono não pertence ao conjunto dos quadri-láteros.
f) Losango pertence ao conjunto dos quadriláteros.
2.
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):a) São Paulo S f) paralelogramo C b) Piauí S g) trapézio C c) Rio de Janeiro S h) hexágono C d) 21 B i) 29 B e) 2 B j) Venezuela S
5
. Conjuntos vazio, unitário e universo
Um conjunto interessante é o conjunto vazio, cuja notação é ∅. Uma propriedade contraditória qualquer pode ser usada para definir o conjunto vazio. Por exemplo:
{números naturais ímpares menores do que 1} 5 {x | x é um número natural ímpar menor do que 1} 5 ∅,
lê-se "tal que"
pois não há número natural ímpar menor do que 1.
Assim, o conjunto vazio não possui elementos. Ele pode ser representado também por { }. Outro conjunto interessante é o conjunto unitário, formado por um único elemento. Exemplo:
{números naturais pares e primos} 5 {x | x é um número natural par e primo} 5 {2}, pois o único número natural par e primo é o 2.
Como curiosidade, observe que ∅ é diferente de {∅}, pois {∅} é um conjunto unitário que tem como único elemento o conjunto vazio.
Um conjunto importante é o conjunto universo, cuja notação é U. É o conjunto formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando num determinado assunto. Fixado o universo U, todos os elementos pertencem a U e todos os conjuntos são partes de U.
É muito importante saber em qual universo estamos trabalhando. Por exemplo, se U é o conjunto dos números naturais, então a equação x 1 5 5 2 não tem solução; porém, se U é o conjunto dos números inteiros, então a equa-ção x 1 5 5 2 tem como soluequa-ção x 5 23.
Para refletir O correto é escrever A 5 {números ímpares}, e não A 5 {conjunto dos números ímpares}.
6
. Subconjuntos e a relação de inclusão
Consideremos dois conjuntos, A e B. Se todos os elementos de A forem também elementos de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou que A está contido em B ou, ainda, que A é parte de B. Indicamos esse fato por A , B.
A é subconjunto de B ou
A , B lê-se A está contido em B ou A é parte de B No diagrama, temos: B A U Para refletir Quando A , B podemos também escrever B A (lê-se B contém A).
Exercícios propostos
7.
Classifique como conjunto vazio ou conjunto unitário considerando o universo dos números naturais: a) A 5 {x | x é menor do que 1}b) B 5 {x | x é maior do que 10 e menor do que 11} c) C 5 {x | x é par maior do que 3 e menor do que 5} d) D 5 {x | x é primo maior do que 7 e menor do que 11} e) E 5 {x | x 1 7 5 4}
f ) F 5 {x | x , 0} g) G 5 {x | 5x 5 60}
8.
Escreva qual é o conjunto universo em cada caso: a) O triângulo é um polígono de três lados, oquadrilá-tero é um polígono de quatro lados e o pentágono, um polígono de cinco lados.
b) A adição de dois números naturais é comutativa. c) No conjunto dos números inteiros as soluções da
equação x2 2 16 5 0 são 24 e 4.
d) No conjunto dos números naturais a solução da equação x2 2 16 5 0 é 4.
Se A não for subconjunto de B, escrevemos A B. Nesse caso, existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B.
Exemplos:
1‚) Considerando P o conjunto dos números naturais pares e n o conjunto dos números naturais, temos: P 5 {0, 2, 4, 6, 8, 10, …} e n 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Nesse caso, P , n, pois todos os elementos de P pertencem a n.
2‚) Se A é o conjunto dos retângulos e B é o conjunto dos quadriláteros, então A , B, pois todo retângulo é um quadrilátero.
3‚) Se A 5 {1, 2, 3} e B 5 {1, 2, 4}, então A B, pois 3 A e 3 B. Nesse caso, também B A.
Relação de inclusão
A relação A , B chama-se relação de inclusão. São casos particulares extremos de inclusão: • A , A, pois é claro que qualquer elemento de A pertence a A.
• ∅ , A, qualquer que seja o conjunto A, pois, se admitíssemos que ∅ A, teríamos um elemento x tal que x ∅ e x A. Mas x ∅ é impossível. Logo, ∅ , A.
A relação de inclusão possui três propriedades básicas. Dados os conjuntos A, B e C quaisquer de um determi-nado universo U, temos:
• A , A (propriedade reflexiva).
• Se A , B e B , A, então A 5 B (propriedade antissimétrica). • Se A , B e B , C, então A , C (propriedade transitiva).
A propriedade antissimétrica é sempre usada quando se quer provar que dois conjuntos são iguais. Para provar que A 5 B basta provar que A , B (todo elemento de A pertence a B) e que B , A (todo elemento de B pertence a A).
A propriedade transitiva é fundamental nas deduções. Na lógica, ela é conhecida como uma forma de raciocí-nio chamada silogismo. Por exemplo:
• P: conjunto dos paulistas • B: conjunto dos brasileiros • S: conjunto dos sul-americanos
Todo paulista é brasileiro. Todo brasileiro é sul-americano. Então, todo paulista é sul-americano. Se P , B e B , S, então P , S.
Veja outro exemplo:
•n: conjunto dos números naturais •œ: conjunto dos números racionais •®: conjunto dos números reais
Para refletir
A é subconjunto próprio de B quando A , B com A ∅ e A B. S B P œ n ® P n B A
Então, todo número natural é real. Se n , œ e œ , ®, então n , ®.
Observação: e são relações entre elemento e conjunto. , e , e são relações entre conjunto e conjunto.
Por exemplo, 2 n pode ser escrito também como {2} , n, mas não podemos escrever 2 , n nem {2} n.
Exemplo:
Dado o conjunto A 5 {1, 2, {3, 4}, {5}}, vamos verificar se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos: a) O conjunto A tem 4 elementos.
Verdadeiro, pois os elementos são 1, 2, {3, 4} e {5}. É importante notar que conjuntos podem ser elementos de outro conjunto.
b) 1 A
Verdadeiro, pois 1 é elemento de A. c) 1 , A
Falso, pois 1 é elemento e o símbolo , relaciona conjuntos. d) {1} A
Falso, pois {1} é conjunto e o símbolo relaciona elemento e conjunto. e) {1} , A
Verdadeiro, pois {1} é subconjunto de A (já que 1 é elemento de A). f) 5 A
Falso, pois 5 não é elemento de A. Não devemos confundir 5 com {5}. g) 5 , A
Falso, pois 5 é elemento e o símbolo , relaciona con juntos. h) {5} A
Verdadeiro, pois {5} é elemento de A. i) {5} , A
Falso, pois {5} não é subconjunto de A (já que 5 não é elemento de A). j) {{5}} , A
Verdadeiro, pois {{5}} é subconjunto de A (já que {5} é elemento de A). k) 2 A
Verdadeiro, pois 2 é elemento de A. l) {3, 4} A
Verdadeiro, pois {3, 4} é elemento de A. m) {2} , A
Verdadeiro, pois {2} é subconjunto de A (já que 2 é elemento de A). n) {3, 4} , A
Falso, pois {3, 4} não é subconjunto de A (já que 3 e 4 não são elementos de A).
Relação de inclusão e implicação lógica
Vimos que uma propriedade pode ser expressa por um conjunto. Vamos considerar A o conjunto dos elemen-tos de um certo universo U que possuem a propriedade p, e B o conjunto dos elemenelemen-tos desse mesmo universo que possuem a propriedade q. Quando dizemos que:
p ⇒ q (p implica q ou p acarreta q), estamos dizendo que A , B.
Exemplos:
1‚) No universo dos números naturais, vamos considerar as propriedades: • p: n é um número natural que termina com 3;
• q: n é um número natural ímpar. Então A 5 {3, 13, 23, 33, …},
B 5 {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} e p ⇒ q ou A , B.
2‚) Consideremos, no universo dos quadriláteros, as propriedades: • p: ser quadrilátero com quatro lados de mesma medida; • q: ser quadrilátero com lados opostos paralelos.
Nesse caso, A é o conjunto dos losangos e B é o conjunto dos paralelogramos e, portanto, A , B. Logo, p ⇒ q, ou seja, ser losango implica ser paralelogramo, ou, ainda, se um quadrilátero é losango, então ele é paralelogramo.
Para refletir
A implicação p ⇒ q também pode ser lida assim:
• se p, então q;
• p é condição suficiente para q; • q é condição necessária para p.
Recíproca de uma implicação lógica e equivalência
Dada a implicação p ⇒ q, chamamos de sua recíproca a implicação q ⇒ p. Observe que nem sempre a recí-proca de uma implicação verdadeira é também verdadeira. No 2‚ exemplo dado anteriormente, temos que p ⇒ q é verdadeira, pois todo losango é um paralelogramo, mas sua recíproca q ⇒ p é falsa, pois nem todo paralelogra-mo é losango.
Quando a implicação p ⇒ q e sua recíproca q ⇒ p são ambas verdadeiras, escrevemos p ⇔ q e lemos: p é equivalente a q ou p se e somente se q ou p é condição necessária e suficiente para q
Exemplo:
• p: a propriedade de um número natural x ser igual a 2 (x 5 2) • q: a propriedade de o dobro deste x ser igual a 4 (2x 5 4)
p ⇒ q, pois, se x 5 2, multiplicamos ambos os membros da igualdade por 2 e obtemos 2x 5 4. q ⇒ p, pois, se 2x 5 4, dividimos ambos os membros da igualdade por 2 e obtemos x 5 2.
Assim, p ⇒ q e q ⇒ p são verdadeiras. Logo, p ⇔ q e podemos escrever x 5 2 ⇔ 2x 5 4.
Exercícios propostos
9.
Dados os conjuntos A 5 {1, 2}, B 5 {1, 2, 3, 4, 5}, C 5 {3, 4, 5} e D 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5}, classifique em ver-dadeiro (V) ou falso (F): a) A , B g) B , C b) C , A h) B , B c) B , D i) [ A d) D , B j) D A e) C A k) [ , B f ) A , D l) C D10.
Considerando que:• A é o conjunto dos números naturais ímpares me-nores do que 10;
• B é o conjunto dos dez primeiros números naturais; • C é o conjunto dos números primos menores do
que 9;
use os símbolos , ou e relacione esses conjuntos na ordem dada:
a) A e B b) C e A c) C e B d) A e C
11.
Escreva três conjuntos X tal que A , X, sendoA 5 {2, 4, 6}.
12.
Observe o diagrama a seguir. Os conjuntos X, Y e Z não são vazios. Escreva algumas relações verdadeiras entre eles usando os símbolos , ou .X Y
Z
13.
Escreva, na forma de conjuntos, os silogismos: a) Todo retângulo é paralelogramo.Todo paralelogramo é quadrilátero. Então, todo retângulo é quadrilátero. b) Todo aluno pertence a uma classe. Toda classe pertence a uma escola. Então, todo aluno pertence a uma escola. c) Todo recifense é pernambucano. Todo pernambucano é brasileiro. Então, todo recifense é brasileiro.
14.
Escreva os conjuntos definidos pelas propriedades, a implicação lógica e a inclusão de conjuntos:a) Considerando o universo dos números reais: p: n é um número natural par;
q: n é um número natural.
b) Considerando o universo dos polígonos: p: x é um trapézio;
q: x é um quadrilátero.
15.
Escreva como se lê a implicação p ⇒ q, sabendo que: p: n é um número natural par;q: n é um número escrito na forma n 5 2m, com m lN.
16.
No exercício anterior, a recíproca q ⇒ p é verdadeira? Em caso positivo, como se escreve a equivalência das duas propriedades?8
. Complementar de um conjunto
Dado o universo U 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e o conjunto A 5 {1, 3, 5, 7}, dizemos que o complementar de A em relação a U é {0, 2, 4, 6, 8, 9}, ou seja, é o conjunto for-mado pelos elementos de U que não pertencem a A.
De modo geral, dado um conjunto A, subconjunto de um certo universo U, chama-se complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A; indica-se UA ou Ac ou A (lê-se complementar de A em
relação a U).
Logo, Ac 5 {x | x U e x A} .
Propriedades
É possível demonstrar a validade das seguintes propriedades:
1·) (Ac)c 5 A para todo A , U (o complementar do complementar de um conjunto A é o próprio conjunto A).
2·) Se A , B, então Ac Bc (se um conjunto está contido em outro, seu complementar contém o complementar
desse outro). Escrevendo de outra forma:
A , B ⇒ Bc , Ac
Para refletir
De modo geral, podemos considerar AB sempre que A , B. Você
sabia que o diagrama do exercício 22 é chamado diagrama de Venn?
Para refletir
O complementar de um conjunto só tem senti-do quansenti-do fixamos um conjunto universo U.
7
. Conjunto das partes
Dado o conjunto A 5 {a, e, i}, é possível escrever todos os subconjuntos (ou todas as partes) de A. Esse conjunto formado por todos os subconjuntos de A é chamado de conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, temos:
P(A) 5 {∅, {a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}
Observe que {a}, {a, e} e {a, e, i}, por exemplo, são elementos de P(A). Portanto, escrevemos {a} P(A), {a, e} P(A) e {a, e, i} P(A), e não {a} , P(A), {a, e} , P(A) e {a, e, i} , P(A). Veja que ∅ , P(A) e ∅ P(A).
Observe também que há uma relação entre o número de elementos de P(A) e o número de elementos de A: • ∅ tem 0 elemento e P(∅) 5 {∅} tem 1 elemento.
• A 5 {a} tem 1 elemento e P(A) 5 {∅, {a}} tem 2 elementos.
• A 5 {a, e} tem 2 elementos e P(A) 5 {∅, {a}, {e}, {a, e}} tem 4 elementos.
• A 5 {a, e, i} tem 3 elementos e P(A) 5 {∅, {a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}} tem 8 ele mentos.
Lembre-se de que 20 5 1; 21 5 2; 22 5 4; 23 5 8. É possível conjecturar então que, se A tem n elementos, P(A) tem 2n elementos.
Essa conjectura é verdadeira e será demonstrada no volume 2.
Para refletir O que significa conjecturar? Dê um exemplo.
Exercícios propostos
17.
Dados A 5 {0, 1} e B 5 {1, 3, 5}, determine: a) P(A); b) P(B);c) o número de elementos de P(A); d) o número de elementos de P(B).
18.
Se P(A) tem 64 elementos, quantos elementos tem o conjunto A?19.
Escreva um subconjunto A dos números naturais tal que P(A) tenha 16 elementos.U A
9
. Contrapositiva
Já vimos que, se p é a propriedade que define o conjunto A e q é a propriedade que define o conjunto B, dizer que A , B é o mesmo que dizer que p ⇒ q (p implica q).
Vamos representar por p’ a negação de p e por q’ a negação de q. Assim, dizer que um objeto x goza da pro-priedade p’ significa afirmar que x não goza da propro-priedade p (isso vale também para q’ em relação a q). Dessa forma, podemos escrever a equivalência:
A , B ⇔ Bc , Ac
da seguinte maneira:
p ⇒ q se, e somente se, q’ ⇒ p’
ou seja, a implicação p ⇒ q (p implica q) é equivalente a esta outra implicação: q’ ⇒ p’ (a negação de q implica a negação de p).
A implicação q’ ⇒ p’ chama-se contrapositiva da implicação p ⇒ q.
Exemplo:
Consideremos o universo U o conjunto dos quadriláteros convexos, p a propriedade de um quadrilátero x ser losango, e q a propriedade de ser paralelogramo. Assim, p’ é a propriedade que tem um quadrilátero convexo de não ser losango, e q’ a de não ser paralelogramo.
Logo:
(1) p ⇒ q: Se x é losango, então x é paralelogramo.
(2) q’ ⇒ p’: Se x não é paralelogramo, então x não é losango.
As afirmações (1) e (2) são equivalentes, isto é, são duas maneiras diferentes de dizer a mesma coisa.
Exercícios propostos
20.
Dados U 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},A 5 {0, 2, 4, 6, 8}, B 5 {1, 3, 5, 7, 9} e C 5 {2, 4}, determine:
a) cAU b) cBU c) cCU d) cCA
21.
Verifique com um exemplo a equivalência já citada:A , B ⇔ Bc , Ac.
22.
Copie o diagrama ao lado no caderno e hachure os conjuntos fazendo uma figura para cada item: a) cAU c) cCU b) Bc A B C U Para refletir O que é um polígo-no convexo?Exercícios propostos
23.
Escreva a contrapositiva da implicação p ⇒ q em que: p: número natural maior do que 2 primo.q: número natural maior do que 2 ímpar.
p ⇒ q: se um número natural maior do que 2 é primo, então ele é ímpar.
24.
Escreva a contrapositiva das implicações:a) “Se um número quadrado perfeito é par, então sua raiz quadrada é par.”
b) “Se um número é par, então esse número é divisível por 2.”
25.
Escreva a contrapositiva da implicação:
r s
t
“Se duas retas distintas (r e s) de um plano a são per-pendiculares a uma terceira reta (t) desse plano, então elas (r e s) são paralelas.”
10.
Operações entre conjuntos
Diferença
Dados os conjuntos A 5 {0, 1, 3, 6, 8, 9} e B 5 {1, 4, 9, 90}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elemen-tos que pertencem a A, mas que não pertencem a B. Assim, C 5 {0, 3, 6, 8}.
O conjunto C é chamado diferença entre A e B e é indicado por A 2 B (lê-se A menos B). De modo geral, escrevemos:
B A
A B
A 2 B 5 {x | x A e x B}
Observe que, se B , A, a diferença A 2 B é igual a cBA .
Por exemplo, se A 5 {0, 2, 4, 6, 8} e B 5 {0, 4}, então A 2 B 5 {2, 6, 8} 5 cBA.
Reunião ou união
Dados os conjuntos A 5 {0, 10, 20, 30, 50} e B 5 {0, 30, 40, 50, 60}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou a ambos. Assim, C 5 {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60}. O conjunto C é chamado reunião ou união de A e B e é indicado por A B (lê-se A reunião B ou A união B).
De modo geral, dados dois conjuntos A e B, a reunião A B é o conjunto formado pelos elementos de A mais os elementos de B:
A B 5 {x | x A ou x B}
Por exemplo, se A 5 {3, 6} e B 5 {5, 6}, então A B 5 {3, 5, 6}. Nos diagramas abaixo, a reunião A B está colorida:
A U B A B U B A U A B U
Observação: Este “ou” da reunião não é o “ou” de exclusão da linguagem usual “vamos ao cinema ou ao teatro”. Ele significa: se x A B, então x A ou x B ou x pertence a ambos, isto é, x A B quando pelo menos uma das afirmações, x A ou x B, é verdadeira.
Intersecção
Dados os conjuntos A 5 {a, e, i, o, u} e B 5 {a, e, u, b}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, ou seja, pelos elementos comuns a A e B. Assim, C 5 {a, e, u}.
O conjunto C é chamado intersecção de A e B e é indicado por A B (lê-se A intersecção B ou, simplesmente, A inter B).
De modo geral, dados dois conjuntos A e B, a intersecção A B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B:
A B 5 {x | x A e x B}
Por exemplo, se A 5 {2, 4, 6} e B 5 {2, 3, 4, 5}, então A B 5 {2, 4}.
A B
A B cB
Nos diagramas abaixo, a intersecção A B está colorida: A B U A B U B A U A B U Observações:
1·) x A B quando as duas afirmações, x A e x B, são simultaneamente verdadeiras. 2·) Se A B 5 ∅, então os conjuntos A e B são chamados disjuntos.
Propriedades da reunião e da intersecção
Dados três conjuntos, A, B e C, valem as propriedades: 1·) A B 5 B A A B 5 B A (comutativa) 2·) (A B) C 5 A (B C) (A B) C 5 A (B C) (associativa) 3·) A (B C) 5 (A B) (A C) A (B C) 5 (A B) (A C) (distributiva) U A B C U A B C A (B C) (A B) (A C) 4·) A , B ⇔ A B 5 B ⇔ A B 5 A B A B A A B 5 B A B 5 A 5·) A , B ⇒ (A C) , (B C) A , B ⇒ (A C) , (B C) 6·) Leis de De Morgan
Dados A e B subconjuntos de um universo U, tem-se:
(A B) 5A B (O complementar da reunião é igual à intersecção dos complementares.)
(A B) 5 A B (O complementar da intersecção é igual à reunião dos complementares.)
Por exemplo, se U 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A 5 {1, 3, 5, 7} e B 5 {2, 4, 6}, temos: A B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
(A B) 5 {0, 8, 9}
A 5 {0, 2, 4, 6, 8, 9}
B 5 {0, 1, 3, 5, 7, 8, 9}
A B 5 {0, 8, 9}
Observe que (A B) 5 A B 5 {0, 8, 9}. Nesse caso, A B 5 ∅, (A B) 5 U e A B 5 U.
Logo, (A B) 5 A B .
Você pode constatar a veracidade dessas propriedades, de um modo geral, representando os conjuntos por diagramas, como foi feito com a 3· e a 4· propriedade.
