Álgebra Matricial - Nota 06 Matrizes

(1)

´

Algebra Matricial - Nota 06

Matrizes

M´arcio Nascimento da Silva 8 de outubro de 2013

A manipulação com n úmeros dispostos em linhas e colunas foi muito útil na resolução de sistemas. Vimos que esta forma de dispor os coeficientes de um sistema, aliada ao método de Gauss, tornou poss´ıvel a aplicação de uma única “arma” para resolver os mais variados tipos de sistema. Os chineses, pioneiros nessa técnica, estavam com a semente do que mais tarde germinaria como a Álgebra Matricial (MEYER, 2000).

As matrizes passaram a ganhar um tratamento algébrico (com a definição de operaç ões e proprie-dades) apenas com Arthur Cayley (1821-1895).

1 Representac¸˜ao de conjunto de matrizes

Nossa primeira ideia de matriz foi a de uma representação organizada dos coeficientes de um sistema de equaç ões lineares. Esta representação consistia da disposição dos coeficientes em linhas e colunas bem determinadas.

Podemos trabalhar com coeficientes (e termos independentes) sendo n úmeros reais (R) ou complexos (C). Aliás, tais conjuntos podem ser usados para a representação de outros, alguns até visualizáveis geometricamente:

• R2 _{= R×R = {(x}

1, x2) ; xi∈ R} - Conjunto dos pares ordenados de n ´umeros reais. Plano Cartesiano. • R3 _{= R × R × R = {(x}

1, x2, x3) ; xi ∈ R} - Conjunto dos ternos ordenados de n ´umeros reais. Espac¸o. • Rn_{= R × R . . . × R = {(x}

1, x2, . . . , xn) ; xi ∈ R} - Hiperplano de dimens˜ao n.

Por exemplo, o elemento (1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4) pertence à R8_{. Um espaço com 8 dimens ões e um tanto}

quanto dif´ıcil de se representar geometricamente... Analogamente, podemos usarC para representar os conjuntosC2, C3, . . . , Cn.

Observação 1 (N úmeros Complexos) Lembremos que um n úmero complexo é um elemento na forma a+ bi onde a, b são números reais e i, chamada unidade imaginária, é tal que i2= −1. Assim, a representação geométrica deC já é feita através de um plano, havendo uma correspondência biun´ıvoca entre C e R2. Tal correspondência também existe entreC2_e_R4_,_C3_e_R6_{e, mais geralmente, entre}_Cn_e_C2n_.

Para representar um conjunto de matrizes podemos usar notação semelhante. Considere, por exemplo, uma matriz qualquer de ordem 2× 2, isto é, uma matriz que possui 2 linhas e 2 colunas:

A=

"

x y

z w

#

Poder´ıamos representar os elementos de tal matriz em uma lista, da seguinte forma: (x, y, z, w)

Observe que a ordem em que os elementos aparecem na lista, tem uma relação direta com a ordem de disposição na forma matricial, isto é, a representação da lista

(2)

(3, 4, 1, 5) como uma matriz de ordem 2× 2 seria

" 3 4 1 5 #

Diremos, então, que a matriz genérica A descrita acima é um elemento deR2×2, uma vez que seus elementos podem ser escritos em uma lista de 4 elementos (R4_{). Mas por que não}_R1×4_ou_R4×1_{? Simples!}

A notaçãoR2×2nos diz exatamente a ordem da matriz que se quer representar. Se escrevêssemosR1×4, por exemplos, estar´ıamos afirmando que a matriz tem 1 linha e quatro colunas. Desta forma,

R2×2= {conjunto das matrizes de ordem 2 × 2 e elementos reais} Exemplo 2 " 8 0 2 7 7 4 # ∈ R2×3,     −3 1 5 2 4 3 5 7    ∈ R4×2,   −1 0 0 14 3 2 1 1 2 5 9    ∈ R3×4 Obviamente, no caso de matrizes com elementos complexos, a ideia ´e a mesma.

Exemplo 3 " (1− 2i) (4 + 2i) (7− 7i) (2 − 4i) # ∈ C2×2_,   5−3i− i −2 + 2i1 0 −i    ∈ C3×2_,   −1 0 0 14 3 2 1 1 2 5 9    ∈ C3×4 Generalizando,

Rn×m_{= {conjunto das matrizes de ordem n × m e elementos reais}}

Cn×m_{= {conjunto das matrizes de ordem n × m e elementos complexos}}

1.1 Notac¸˜ao

Nem sempre é poss´ıvel explicitar uma matriz. E, algumas vezes, também é incoveniente escrever por inteiro uma matriz qualquer. Assim, para escrever uma matriz de forma genérica, podemos usar a seguinte notação A=      a11 a12 . . . a1m a21 a22 . . . a2m ... ... ... an1 an2 . . . anm     

cada elemento (ou entrada) da matriz possui um ´ındice duplo. Esta informação diz a posição do elemento dentro da matriz:

• a23- elemento posicionado na segunda linha e terceira coluna;

• a18- elemento posicionado na primeira linha e oitava coluna;

(3)

Repare, ainda, que o último elemento da matriz traz em seu ´ındice informaç ões sobre a ordem da matriz. Neste caso, anmindica que a matriz possui n linhas e m colunas.

Em alguns casos, é poss´ıvel e conveniente condensar ainda mais a representação da matriz. Podemos escrever simplesmente:

A= [ars]n×m

para indicar uma matriz de n linhas e m colunas. Observe que o primeiro ´ındice, o r, varia de 1 a n, enquanto o ´ındice s, o da coluna, varia de 1 a m.

Exemplo 4 Vamos esboc¸ar matriz A= [ars]3×2sabendo que ars= r − 2s.

Inicialmente vemos que a matriz possui 3 linhas e 2 colunas. Ent˜ao sua forma ser´a a seguinte: A=

 

a11a21 a12a22 a31 a32

  

Para detereminar cada entrada da matriz, basta fazer a conta “linha menos duas vezes a coluna”:

A=   (1(2− 2.1) (1 − 2.2)− 2.1) (2 − 2.2) (3− 2.1) (3 − 2.2)    =   10 −3−2 1 −1   

2 Operac¸ ˜oes com Matrizes

Para falarmos em Álgebra Matricial, se faz necessário introduzir operaç ões em um conjunto de matrizes. Veremos que em alguns momentos, teremos situaç ões similares às experimentadas com n úmeros reais ou complexos.

Doravante, um escalar nada mais é do que um n úmero real ou complexo. Eles serão extremamente úteis para o porvir.

Diremos que duas matrizes A = [ars], B = [brs] s˜ao iguais quando ambas tˆem a mesma ordem e elementos correspondentes iguais.

Exemplo 5 As matrizes A= " 1 −1 0 2 # , B = " −cosπ −sen(π/2) log 1 √4 #

são iguais, pois ambas são de ordem 2× 2 e a11 = b11, . . . , a22= b22. Já as matrizes A=h1 5i, B =

" 1 5 #

embora tenham os mesmos elementos, têm ordem diferente. Não são iguais!

2.1 Soma

Desde muito cedo lidamos com operaç ões entre n úmeros naturais. Com o passar dos anos, aprendemos como operar n úmeros inteiros, racionais, reais e complexos e, nesse último conjunto, vemos uma generalização do que aprendemos desde o in´ıcio com os naturais.

Agora, embora diante de conjuntos “diferentes” dos n úmeros complexos1podemos definir operaç ões baseadas nas operaç ões que já conhecemos para os conjuntos numéricos. A primeira delas é a soma.

Sejam A = [ars] e B = [brs] matrizes de mesma ordem m× n. Definimos a soma A + B da seguinte forma:

(4)

A+ B = [(ars+ brs)]m×n

isto ´e, a soma de duas matrizes ´e uma nova matriz (de mesma ordem m× n) obtida pela soma elemento a elemento de A e B. Exemplo 6 Sendo A=   41 −22 5 4   , B =   −3 58 1 3 3    tem-se A+ B =   1 39 3 8 7   

J´a para as matrizes

C= " 1 0 1 2 1 0 # , D = " 7 6 4 2 #

a soma n ão est á definida, pois as ordens são diferentes.

Uma vez que a soma de matrizes se baseia na soma de n ´umeros complexos, ´e de se esperar que tenhamos as mesmas propriedades neste caso.

(1) Associatividade: Sejam A= [ars], B = [brs] e C= [crs] matrizes de mesma ordem m× n. Ent˜ao

A+ (B + C) = [ars]+ ([brs]+ [crs])

= [ars]+ [(brs+ crs)] (somando B e C) = [ars+ (brs+ crs)] (somando A e (B+C))

= [(ars+ brs)+ crs] (associatividade dos complexos) = [(ars+ brs)]+ [crs] (separando a soma)

= ([ars]+ [brs])+ [crs] (separando a soma) = (A + B) + C

(2) Comutatividade: Sejam A[ars] e B= [brs] matrizes de mesma ordem m× n.

A+ B = [ars]+ [brs]

= [(ars+ brs)] (definic¸˜ao de soma)

= [(brs+ ars)] (comutatividade dos complexos) = [brs]+ [ars] (separando a soma)

= B + A

(3) Existência do Elemento Neutro:Na adição de n úmeros complexos, o zero aparece como elemento que não altera o valor da operação, isto é, para qualquer n úmero complexo z, a soma z+0 continua sendo z. No caso de uma matriz qualquer A = [ars], também temos uma matriz que faz as vezes do 0 dos n úmeros complexos. Vejamos se há solução para a equação

(5)

A+ X = A ⇔ [ars]+ [xrs]= [ars]

⇔ [(ars+ xrs)]= [ars]

⇔ ars+ xrs= ars para cada r∈ {1, 2, . . . , m}, s ∈ {1, 2, . . . , n} ⇔ xrs = 0 para cada r ∈ {1, 2, . . . , m}, s ∈ {1, 2, . . . , n}

Portanto, a solução da equação A+ X = A é X = [0]m×n e este é o elemento neutro da soma de

matrizes.

(4) Inverso aditivo: No caso de n úmeros complexos, o inverso aditivo de z é o n úmero w tal que

z+ w = 0, já que zero é o elemento neutro da soma. No caso de matrizes, tudo indica que cada A= [ars] possui uma inversa aditiva. Vejamos se há solução para a equação A+ B = [0]

A+ B = [0] ⇔ [ars]+ [brs]= [0] ⇔ [(ars+ brs)]= [0]

⇔ ars+ brs= 0 para cada r ∈ {1, 2, . . . , m}, s ∈ {1, 2, . . . , n} ⇔ ars= −brs para cada r∈ {1, 2, . . . , m}, s ∈ {1, 2, . . . , n}

Portanto, para cada matriz A= [aij] a sua inversa aditiva é matriz [−aij]. Observe que pelo fato de cada n úmero complexo possuir somente um inverso aditivo, segue-se que cada matriz A possui, também, única inversa aditiva. Denotaremos a matriz [−aij] por−A.

Exemplo 7 Dada a matriz

A=    (1+ i) (3− 2i) 4 (√2+ √2i) 4− 1 3i 2i   

a sua inversa aditiva ´e

−A =    (−1 − i) (−3 + 2i) −4 (−√2− √2i) −4 +1 3i −2i    Observação 8 (Subtração) Podemos aproveitar a existência de inverso aditivo no conjunto de matrizes para definir a operação subtraç ão. Dadas duas matrizes A= [ars] e B = [brs] de mesma ordem m× n, definimos a diferença entre A e B por

A− B = A + (−B) Isso significa realizar a subtrac¸˜ao elemento a elemento:

A− B = A + (−B)

= [ars]+ [−brs] = [ars+ (−brs)]

= [ars− brs] (definic¸˜ao de inverso aditivo nos complexos) Exemplo 9 Considerando as matrizes

A=

 

(1−i+ 8i) 7 (1 − 2i)3i (2− i)

5 4 0   , B =  

(4+ 2i) (7 − 3i) (5 − 5i)2i 6 0 (2− 7i) (5 − 8i) (4 + 8i)   

(6)

temos

A− B =

 

(−4 − 3i) (−7 + 6i) (−3 + 4i)(1+ 6i) 1 (1− 2i) (3+ 7i) (−1 + 8i) (−4 − 8i)  

, B− A =

 

(−1 − 8i)(4+ 3i) (7 − 6i) (3 − 4i)−1 (−1 + 2i) (−3 − 7i) (1 − 8i) (4 + 8i)

  

IMPORTANTE: a subtração de matrizes é N ÃO COMUTATIVA.

2.2 Produto de matriz por escalar

A soma de matrizes é uma operação envolvendo, basicamente, duas matrizes. No entanto, podemos definir operaç ões envolvendo elementos de “natureza diferente”.

Exemplo 10 A seguir, um quadro mostrando a variação de preços (em reais) dos produtos P1, P2e P3nas cidades C1, C2, C3e C4. T1 C1 C2 C3 C4 P1 20 35 42 50 P2 200 150 130 130 P3 3 3 3 2, 5

Devido à variação do mercado, a empresa decidiu reajustar os preços em todas as cidades com um aumento de 20% no valor de cada produto. Desta forma, a tabela de preços passa a ser:

T2

C1 C2 C3 C4

P1 24 42 50, 4 60

P2 240 180 156 156

P3 3, 6 3, 6 3, 6 3

Considerando `as matrizes compostas pelos prec¸os dos produtos, temos

A=   200 150 130 13020 35 42 50 3 3 3 2, 5   , B =   240 18024 42 50156, 4 60156 3, 6 3, 6 3, 6 3   

Qual a relação entre A e B? Lembre que cada produto teve um aumento de 20%, isto é, o preço foi multiplicado por 1,2. Desta forma, todos os elementos de A foram multiplicados por 1,2.

A situação do exemplo acima pode ser generalizada para uma matriz qualquer. Considere uma matriz A de ordem m× n e um escalar α. Se multiplicarmos todos os elementos de A pelo escalar α, obtemos uma nova matriz (também de ordem m× n):

α ∈ C, A = [ars]∈ Cm×n−→ α.A = [(α.ars)] No exemplo (10), aconteceu: 1, 2.   200 150 130 13020 35 42 50 3 3 3 2, 5    =   240 18024 42 50156, 4 60156 3, 6 3, 6 3, 6 3    O produto por escalar tem algumas propriedades:

(7)

(1) Seα e β são escalares e A = [ars] é uma matriz de ordem m× n, então (α.β).A = α.(β.A)

De fato,

(α.β).A = (α.β).[ars]

= [(α.β).ars] (produto de cada entrada pelo escalarα.β) = [α.(β.ars)] (associatividade dos complexos)

= α.[(β.ars)] (definição de produto por escalar) = α. β.[ars] (definição de produto por escalar) = α. β.A

(2) Distributividade do Escalar: Seα é um escalar e A = [ars], B = [brs] são matrizes de ordem m× n, então

α.(A + B) = α.A + α.B pois

α.(A + B) = α.([ars]+ [brs])

= α.[(ars+ brs)] (soma de matrizes)

= [α.(ars+ brs)] (definic¸˜ao de produto por escalar) = [α.ars+ α.brs] (distributividade dos complexos) = [α.ars]+ [α.brs] (separando a soma)

= α.[ars]+ α.[brs] (definic¸˜ao de produto por escalar) = α.A + α.B

(3) Distributividade da Matriz:Seα e β são escalares e A = [ars] é uma matriz de ordem m× n, então (α + β)A = α.A + β.A

com efeito

(α + β)A = (α + β)[ars]

= [(α + β)ars] (definição de produto por escalar) = [α.ars+ β.ars] (distributividade dos complexos) = [α.ars]+ [β.ars] (definição de soma de matrizes) = α.[ars]+ β.[ars] (definição de produto por escalar) = α.A + β.B

(4) Elemento identidade: Se A = [ars] é uma matriz de ordem m× n e o produto α.A é sempre uma matriz, então deve existir um escalarα0tal queα0.A = A. Resolvendo a equação x.A = A onde x

´e um escalar, temos:

x.A = A ⇔ x.[ars]= [ars]

⇔ [x.ars]= [ars] (definic¸˜ao de produto por escalar) ⇔ x.ars= ars para cada r∈ {1, 2, . . . , m}, s ∈ {1, 2, . . . , n} ⇔ x = 1

(8)

2.3 Tranposição Considere as matrizes A= " 1 5 7 (2− i) (1 − 2i) 0 # e B=   15 (1(2− 2i)− i) 7 0    Alguma semelhança entre elas?

Veja que as duas matrizes possuem exatamente os mesmos elementos, mas não na mesma ordem. A primeira linha de A corresponde à primeira coluna de B e, da mesma forma, a segunda linha de A corresponde à segunda coluna de B. Repare, ainda, que a ordem da matriz A é 2× 3. Já a matriz B tem ordem 3× 2. Assim, podemos dizer que a matriz B foi constru´ıda depois de transpormos as linhas de

A para a posic¸˜ao de coluna.

Definic¸˜ao 11 (Transposta de uma matriz) Seja A = [ars] uma matriz de ordem m× n. Se reescrevermos os

elementos de A de modo que cada linha seja disposta em forma de coluna, então a nova matriz obtida terá n linhas e m colunas e será chamada transposta de A, cuja notação é AT.

Exemplo 12 Se A=      2i 7 3/5 √2 4i (2− 6i) √ 3 i√5      ent˜ao AT = " 2i 3/5 4i √3 7 √2 (2− 6i) i√5 #

onde A tem ordem 4× 2 e ATtem ordem 2× 4.

2.3.1 Conjugada de uma matriz

Nos complexos, temos o conceito de conjugado, que na representação geométrica nada mais é do que a reflexão de um n úmero complexo em relação ao eixo horizontal.

a+bi

a

a−bi

−b

b

Figura 1: Representação geométrica do conjugado de um n úmero complexo. No caso de matrizes, podemos usar o conceito algébrico para definir uma matriz conjugada.

(9)

Definição 13 (Matriz Conjugada) Seja A= [ars] uma matriz de ordem m× n. A matriz conjugada de A é definida por:

A= [ars]

onde arsé o conjugado2do n úmero complexo arspara cada r∈ {1, 2, . . . , m}, s ∈ {1, 2, . . . , m}. Exemplo 14 Se A= " (1+ 2i) (3 − 5i) 5 4i # então A= " (1− 2i) (3 + 5i) 5 −4i # Podemos tomar a conjugada de uma matriz e, em seguida, a sua transposta. Considerando, nova-mente, a matriz do exemplo acima, teremos:

A= " (1+ 2i) (3 − 5i) 5 4i # =⇒ A = " (1− 2i) (3 + 5i) 5 −4i # =⇒AT = " (1− 2i) 5 (3+ 5i) −4i # Mas nada impede que tomemos a transposta para depois considerar a conjugada, isto ´e:

A= " (1+ 2i) (3 − 5i) 5 4i # =⇒ AT ₌ " (1+ 2i) 5 (3− 5i) 4i # =⇒ AT ₌ " (1− 2i) 5 (3+ 5i) −4i #

Vemos que a conclus˜ao ´e a mesma. E, de fato, este resultado vale para qualquer matriz: AT = AT pois AT =      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... am1 am2 . . . amn      T =      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... am1 am2 . . . amn      T = =     

a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2

... ... ...

a1n a2n . . . amn

    =     

a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2

... ... ...

a1n a2n . . . amn

    = =      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... am1 am2 . . . amn      T = (AT₎

A matriz quando conjugada e tomada a sua transposta, tem uma notac¸˜ao especial:

A∗:= (AT₎ Desta forma, Se A= " (1+ 2i) (3 − 5i) 5 4i #

(10)

ent˜ao A∗= " (1− 2i) 5 (3+ 5i) −4i #

Algumas propriedades da transposta e da conjugada transposta merecem registro. (1) Transposta da soma e soma das transpostas: (A+ B)T_{= A}T_{+ B}T

De fato, sendo A= [ars] e B= [brs] duas matrizes de mesma ordem m× n, temos:

(A+ B)T = [(ars+ brs)]T =      (a11+ b11) (a21+ b21) . . . (am1+ bm1) (a12+ b12) (a22+ b22) . . . (am2+ bm2) ... ... ... (a1n+ b1n) (a2n+ b2n) . . . (amn+ bmn)      =     

a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2

... ... ...

a1n a2n . . . amn

    +      b11 b21 . . . bm1 b12 b22 . . . bm2 ... ... ... b1n b2n . . . bmn     = A T_{+ B}T

(2) Conjugada da transposta da soma e soma das conjugadas transpostas: (A+ B)∗= A∗+ B∗ (3) A transposta no produto de um escalar por um matriz, age apenas na matriz:(α.A)T _{= α.A}T (4) A conjugada transposta no produto de um escalar por um matriz, age em ambos:(α.A)∗= α.A∗

Todas essas propriedades podem ser verificadas como a primeira.

3 Simetrias

A transposta ou conjugada transposta aplicada `a matrizes quadradas podem gerar matrizes com algu-mas peculiaridades, como veremos a seguir.

3.1 Matrizes Sim´etricas

Exemplo 15 Considere a matriz

A=   3 2 12 4 5 1 5 0   

Veja que a matriz transposta

AT =   3 2 12 4 5 1 5 0   

´e exatamente igual a matriz A.

Dentro da pr ópria matriz A observamos que a primeira linha é igual3a primeira coluna, a segunda linha é igual a segunda coluna e que a terceira linha é igual a terceira coluna. Em s´ımbolos:

A1∗= A∗1, A2∗= A∗2, A3∗= A∗3

3_{Igual, aqui, significa que os elementos s˜ao iguais e aparecem na mesma ordem. Em s´ımbolos, se L ´e uma linha de uma}

(11)

Denotando a matriz A por [ars] observamos, ainda, que a11 = a11, a12 = a21, a13 = a31 e assim por

diante. Generalizando, temos:

ars= asr para r, s ∈ {1, 2, . . . , n}

Al´em disso, observamos que a diagonal principal4_{da matriz n˜ao muda em A}T_.

Definição 16 (Matriz Simétrica) Dizemos que uma matriz quadrada A é simétrica quando A= AT_.

3.2 Matrizes Antissim´etricas

Considere agora o seguinte exemplo. Exemplo 17 Se A=   04 −4 i0 2 −i −2 0    ent˜ao AT =   −4 0 −20 4 −i i 2 0   

Neste caso não ocorre A= AT, no entanto, há uma outra semelhança. Repare que as entradas de ATsão iguais às de A a menos do sinal, isto é

AT = −A

Na matriz do exemplo acima, vemos que a relação entre linhas e colunas dentro da pr ópria matriz A é

A1∗= −A∗1, A2∗= −A∗2, A3∗= −A∗3

enquanto que a relação entre os elementos de A= [ars] é

ars = −asr para r, s ∈ {1, 2, . . . , n}

Com relação à diagonal principal, para que a relação acima seja verdadeira, devemos ter:

a11= −a11, a22 = −a22, . . . , ann = −ann

e portanto

arr = 0 é uma condição necessária para que ocorra AT = −A.

Definição 18 (Matriz Antissimétrica) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é antissimétrica quando AT = −A.

Importante: Antissimétrica N ÃO É o contrário de simétrica!!!

Exemplo 19 Uma matriz pode que não é simétrica, não necessariamente é antissimétrica:

A=   1 2 32 1 3 3 1 1    =⇒ AT ₌   1 2 32 1 1 3 3 1   

Veja que n˜ao ocorre AT = A e nem AT− A.

4_{A diagonal principal aparece em matrizes quadradas e ´e formada pelos elementos do tipo a}

(12)

3.3 Matrizes Hermitianas

Outras matrizes com caracter´ısticas interessantes aparecem ao considerarmos a transposta conjugada de uma matriz.

Exemplo 20 Considere a matriz

A=   32+ i 33− i 2 + 2i5− 3i 2− 2i 5 + 3i 4   

Sua conjugada transposta ´e

A∗=   32+ i 3− i 2 + 2i3 5− 3i 2− 2i 5 + 3i 4    isto ´e, A∗= A. Lembrando que Ar_∗e A_∗sdenotam, respectivamente, a linha r e a coluna s da matriz A, vamos usar

Ar∗e A∗spara denotar, respectivamente, a linha

[ar1 ar2 . . . arn] e a coluna      a1s a2s ... ans     

Desta forma, na matriz do exemplo acima, vemos que Ar∗ = A∗r ocorre para cada r ∈ {1, 2, . . . , n}. Al´em disso, vemos que

ars = asr

para r, s ∈ {1, 2, . . . , n} e isso significa que os elementos da diagonal principal devem, necessariamente, ser reais puros, pois se arr = αrr+ iβrr ent˜ao

arr = arr⇐⇒ αrr+ i.βrr= αrr− i.βrr⇐⇒ βrr = −βrr ⇐⇒ βrr= 0 isto ´e, arr= αrre, portanto, ´e um real puro.

Definição 21 (Matriz Hermitiana) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é hermitiana5 quando A∗= A.

3.4 Matrizes Anti-hermitianas

Como no caso das matrizes antissimétricas, temos uma situação análoga ao considerarmos a conjugada transposta. Exemplo 22 Sendo A=   (−1 + i)i (1+ i)0 (2+ 3i)2 −2 (−2 + 3i) −4i    temos que

(13)

A∗=   (1−i− i) (−1 − i)0 (−2 − 3i)−2 2 (2− 3i) 4i   

e percebemos que A∗= −A.

No exemplo (22) vemos que a relação entre linhas e colunas de A é a seguinte:

Ar∗= −A∗r

Consequentemente, a relação entre os elementos da matriz A é

ars = −asr

para r, s ∈ {1, 2, . . . , n}. Isso faz com que os elementos da diagonal principal tenham a seguinte carac-ter´ıstica:

arr = −arr Isto ´e, se arr= αrr+ i.βrr, ent˜ao

arr = −arr ⇐⇒ αrr+ i.βrr = −(αrr− i.βrr)= −αrr+ i.βrr ⇐⇒ αrr = 0

e desta forma os elementos da diagonal principal da matriz devem, necessariamente, ser da forma

arr= i.βrr

Definição 23 (Matriz Anti-hermitiana) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é anti-hermitiana quando A∗= −A.

Importante: Anti-hermitiana N ÃO É o contrário de hermitiana!!!

4 Exerc´ıcios

1. Determine a quantidade desconhecida em cada uma das express ˜oes: (a) 3.X = 0 3 6 9 ! (b) 2 x+ 2 y + 3 4 0 ! = 3 6_{y z} !T

2. Identifique cada uma das seguintes matrizes como sim´etrica, anti-sim´etrica ou nenhum dos dois. (a)    −31 −34 −33 3 3 0    (b)    03 −3 −30 1 3 −1 0    (c)    −30 −3 −30 3 −3 3 1    (d) 1 2 0 2 1 0 !

3. Explique por quê o conjunto de todas as matrizes simétricas de ordem n× n é fechado para a adição. Isto é, explique por quê a soma de duas matrizes simétricas de ordem n× n é também uma matriz simétrica de ordem n× n. O conjunto de todas as matrizes antissimétricas de ordem n × n

é fechado para a adição?

(14)

5. Seja A uma matriz quadrada.

(a) Mostre que A+ AT é simétrica e que A− AT é antissimétrica.

(b) Mostre que existe uma, e somente uma, maneira de escrever A como uma soma de uma matriz sim´etrica com uma matriz antissim´etrica.

6. Se A e B são duas matrizes de mesma ordem, mostre que cada uma das sentenças é verdadeira: (a) (A+ B)∗= A∗+ B∗

(b) (αA)∗_{= α.A}∗

7. Mostre que (AT)T = A.

8. Dada uma matriz A∈ Cn×n_{, quando ocorre A}∗_{= A}T_?

9. É poss´ıvel encontrar uma matriz que seja ao mesmo tempo simétrica e antissimétrica? E uma matriz que ao mesmo tempo seja hermitiana e anti-hermitiana?

Referˆencias

[1] MEYER, Carl Dean. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra Book and Solutions Manual. SIAM, 2000.