Treinamento IMO 2016 Equaç ões Funcionais e Funç ões Aritm éticas Turma A

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Treinamento IMO 2016

Equaç ões Funcionais e Funç ões Aritm éticas

Turma A

Samuel Feitosa

1 T écnicas b ásicas para resolver equaç ões funcionais

1. Substituição de valores para as variáveis e obtenção de valores particulares. Por exemplo, faça x = 0, x = 1 etc. Manipuleyem função dexpara calcular f(0), f(1)etc.

2. Argumentos indutivos e de recorrˆencia.

3. Estrutua das órbitas: encontre os pontos fixos e peri ódicos. Os zeros da função também podem ser úteis.

4. Argumentos extremais. Qual ´e o f(x)m´aximo/m´ınimo?

5. Estudo do comportamento assint ótico da função e de suas taxas de variação.

6. Extens˜ao dos valores encontrados por argumentos de continuidade ou monotonicidade.

7. Redução da equação a algum exemplo clássico, por exemplo, a equação de Cauchy.

8. Argumentos de injetividade, sobrejetividade e paridade da func¸˜ao.

9. Para funç ões inteiras, considere os valores em conjuntos especiais: n úmeros primos, potências de inteiros, n úmeros de Fibonacci etc. Isso pode conduzir a certos padr ões relacionados à escrita dos n úmeros em bases especiais ou propriedades aritméticas conhecidas.

2 Aquecimento

Exerc´ıcio 1_. _Seja_a_{(1) =}_{1 e, para cada inteiro}_n_≥_2,_a₍_n₎_{igual ao menor inteiro positivo que n˜ao pertence a}_{_a₍_j_),_j<_n}

tal que∑n_j₌₁a(j)seja m ´ultiplo den. Prove quea(a(n)) =npara todo inteiro positivon.

Dica: Encontre muitos valores inicias e use o Teorema de Zenckendorff. Exerc´ıcio 2_. _{(OBM 2003) Suponha que} _f _:_(0,₊∞₎_→Rsatisfaz:

i) x<y⇒ f(x)< f(y)

ii) f

2xy x+y

≥ f(x) +₂ f(y), para todox,y∈(0,+∞_).

Prove que existex0∈(0,+∞₎_{tal que} _f₍_x0₎<0.

Exerc´ıcio 3_. _{(Singapura 2002) Seja} _f₍_x₎_{uma func¸˜ao que satisfaz}

f(29+x) = f(29−x), ∀x∈R.

Se f possui exatamente trˆes ra´ızes reaisα,βeγ, determine o valor deα+β+γ. Dica: Percebe alguma simetria no gr´afico de f?

Exerc´ıcio 4_. _{(IMO 1976) Seja}_P1₍_x_{) =} _x2₋_{2 e}_P

j(x) = P1(Pj₋1(x)) para j = 2, 3, . . .. Mpstre que para qualquer inteiro

positivon, as ra´ızes da equaçãoPn(x) =xsão reais e distintas.

Dica: Faça uma substituição trigonométrica.

Exerc´ıcio 5_. _{(Suécia 1996) Para todos os inteiros}_n_≥_{1, as funç ões}_p_n _{são definidas para}_x_≥_{1 por}

pn(x) = 1

2 h

(x+px2₋₁₎n_{+ (}_x

−px2₋₁₎ni .

(2)

Exerc´ıcio 6_. _{(Turquia 1998) Seja}₍_a_n₎_{uma sequˆencia de n ´umeros reais definida por}_a1₌_t_e

an+1=4an(1−an), n≥1.

Para quantos valores distintos dettemosa1998=0?

Exerc´ıcio 7_. _{(IMO 1968) Seja} _f _{uma função de valores reais definida no conjunto dos n úmeros reais tal que, para algum} valor positivo dea, a equação

f(x+a) = 1 2+

q

f(x)− f(x)2

´e verdadeira para todox.

1. Prove que a função f(x) é peri ódica.

2. Paraa=1, dê um exemplo de um função não constante com as propriedades mencionadas.

Exerc´ıcio 8_. _{Encontre todas as func¸ ˜oes} _f _:R_→Rtais que

1. f(λx) = f(x),∀x_∈R, ondeλ´e uma constante diferente de_±1.

2. f ´e cont´ınua emx=0.

Exerc´ıcio 9_. _{(IMO 1976) A sequˆencia}₍_u_n₎_{´e definida por}

u0 = 2,u1=5/2,

un+1 = un(u2n₋1−2)−u1, ,n≥1

Prove que para todos os inteiros positivosn,

⌊un⌋=2

⌊2n−(−1)n_⌋

3 _.

Exerc´ıcio 10_. _{(Putnam 1947) Encontre as soluç ões cont´ınuas} _f _:R_→Rda equação funcional

f(qx2₊_y2₌ _f₍_x₎_f₍_y_), _∀_x_,_y_∈_R_.

Dica: Use as equac¸ ˜oes de Cauchy.

Exerc´ıcio 11_. _{(Romênia 1997) Encontre todas as soluç ões cont´ınuas} _f _:R_→[0,+∞₎tais que

f(x2+y2) = f(x2−y2) +f(2xy).

Exerc´ıcio 12_. _{(Índia TST 2003) Encontre todas as funç ões} _f _:R_→Rtais que para todosx,y∈R, f(x+y) + f(x)f(y) =

f(x) + f(y) +f(xy).

Exerc´ıcio 13_. _{(IMO 1981) A função} _f _:N_×N_→Rsatisfaz as seguintes condiç ões:

a) f(0,y) =y+1;

b) f(x+1, 0) = f(x, 1);

c) f(x+1,y+1) = f(x,f(x+1,y)).

Encontre o valor de f(4, 1981).

Exerc´ıcio 14_. _{(Romênia 1998) Encontre todas as funç ões} _u _: R _→ R para os quais existe uma função estritamente mon ótona f :R_→Rtal que

f(x+y) = f(x)u(y) + f(y), ∀x,y∈R. Exerc´ıcio 15_. _{(Coréia 1997) Encontre todos os pares de funç ões} _f_,_u_:R_→Rtais que

1. Sex <_y_{, ent˜ao} _f(_x)< _f(_y);

2. para todosx,y∈R, f(xy) = f(x)u(y) +f(y).

Exerc´ıcio 16_. _{(IMO 1972) Sejam} _f _e_g _{funç ões de valores reais definidas nos n úmeros reais e que que satisfazem}

f(x+y) + f(x₋y) =2f(x)g(y),

(3)

Exerc´ıcio 17_. _{(Putnam 1971) Determine todos os polin ˆomios}_P₍_x₎_{tais que}

P(x2+1) =P(x)2₊_1,

eP(0) =0.

Exerc´ıcio 18_. _{(IMO 1983) Encontre todas as funç ões} _f _{definidas sobre o conjunto dos n úmeros reais positivos e com} valores reais positivos satisfazendo:

1. f(x f(y)) =y f(x), para todosx,ypositivos.

2. f(x)→0 quandox →+∞.

Exerc´ıcio 19_. _{(IMO 1994) Seja}_S _{o conjunto dos n úmeros reais estritamente maiores que}₋_{1. Encontre todas as funç ões}

f :S→Ssatisfazedno as duas condic¸ ˜oes:

1. f(x+ f(y) +x f(y)) =y+f(x) +y f(x),∀x,y∈S;

2. f(x)/x ´e estritamente crescente sobre cada um dos intervalos(−1, 0)e(0,∞_).

Exerc´ıcio 20_. _{(IMO 1996) Seja}N o conjunto dos inteiros não negativos. Encontre todas as funç ões f definidas sobreN tomando valores também emNtais que

f(m+f(n)) = f(f(m)) +f(n),

para todosm,nemN.

Exerc´ıcio 21_. _{(IMO 1990) Construa uma func¸˜ao} _f _:Q⋆

+→Q⋆+ tal que

f(x f(y)) = f(x)

y , ∀x,y∈Q ⋆ +.

Exerc´ıcio 22_. _{(IMO 1988) Uma função} _f _{é definida no conjunto dos inteiros positivos satisfazendo}

f(1) = 1,f(3) =3,f(2n) = f(n)

f(2n) = f(n)

f(4n+1) = 2f(2n+1)− f(n)

f(4n+3) = 3f(2n+1)−2f(n),

para todos os inteiros positivosn. Determine o n ´umero de inteiros positivosn, menores que ou iguais a 1988, para os quais

f(n) =n.

Exerc´ıcio 23_. _{(Banco da IMO 1988) Seja} _f₍_n₎_{uma func¸˜ao definida no conjunto de todos os inteiros positivos e possuindo} valores no mesmo conjunto. Suponha que

f(f(n) + f(m)) =m+n,

para todos os inteiros positivosmen. Encontre os poss´ıveis valores de f(1988). Exerc´ıcio 24_. _{(IMO 1998) Considere todas as func¸ ˜oes} _f _:N⋆

→N⋆

satisfazendo

f(t2f(s)) = f(t)2_s_,

para todossetemN⋆

. Determine o menor valor poss´ıvel de f(1998).

Exerc´ıcio 25_. _{((Russia 2000) Encontre todas as func¸ ˜oes} _f _:R_→Rsatisfazendo a desigualdade

f(x+y) + f(y+z) +f(z+x)≥3f(x+2y+3z)

para todos os reaisx,y,z.

Dica: Use algum argumento extremal

Exerc´ıcio 26_. _{Prove que existe um natural}_n_{tal que a representação decimal de}_n2_{começa ( da esquerda para a direita )}

com o n ´umero 201120112011. . . 2011 ( 2011 vezes).

Exerc´ıcio 27_. _{(OBM 1999) Prove que h´a pelo menos um algarismo diferente de zero entre a 1000000}a _{e a 3000000}a _casa

decimal de√2 ap ´os a v´ırgula.

Exerc´ıcio 28_. _{Encontre todas as func¸ ˜oes} _f _:R_−→Ztais que:

1. f(x+a) = f(x) +a, para todoa∈Z.

(4)

Exerc´ıcio 29_. _{(Taiwan 1998) Mostre que, para inteiros positivos}_m_e_n_,_mdc₍_m_,_n_{) =}₂

m−1

∑

k=0

_kn

m

+m+n₋mn.

Exerc´ıcio 30_. _{Prove que para todo inteiro}_m>2 existe um irracionalrque depende dem, tal que⌊rk⌋ ≡ −1( mod m).

Exerc´ıcio 31_. _{Existe uma função} _f _:R_→Rtal que f(f x)) =x2₋_{2 para todo n úmero real}_x_?

Exerc´ıcio 32_. _{(Banco da IMO 2003) Seja}R+o conjunto dos n úmeros reais positivos. Encontre todas as funç ões f :R+_→ R+ que satisfazem as seguintes condiç ões:

a) f(xyz) +f(x) +f(y) + f(z) = f(√xy)f(√yz)f(√zx).

b) f(x)< _f(_y)_{para todos 1}≤_x<_y_.

Dica: Use monotonicidade e a densidade dos n úmeros racionais Exerc´ıcio 33_. _{Encontre todas as funç ões}_h_:N_→Nque satisfazem

h(h(n)) +h(n+1) =n+2.

Exerc´ıcio 34_. _{(IMO 1987) Determine se existe uma func¸˜ao} _f _:N₀_→N₀tal que f(f(n)) =n+1987?

Exerc´ıcio 35_. _{Suponha que existe uma func¸˜ao} _f _: N _→ N que satisfaz f(n+1) > _f(_f(_n)), para todo natural _n ∈ N. Prove que f(n) =npara todon.

3 Problemas

Exerc´ıcio 36_. _{(RMM 2008) Prove que toda função bijetiva} _f _:Z_→Zpode ser escrita como f =u+v, ondeu,v:Z_→Z são funç ões bijetivas.

Exerc´ıcio 37_. _{(Irã 1997) Encontre todas as funç ões} _f _:N⋆

→N_{− {}1}tais que

f(n+1) + f(n+3) = f(n+5)f(n+7)−1375,

para todon≥0.

Exerc´ıcio 38_. _{(Banco da IMO 1989) Para cada} _n _∈ N⋆

, sejam X = {1, 2, . . . ,n_} e kum inteiro tal que n/2 ≤ k _≤ n. Determine, com prova, o n úmero de funç ões f :X_→Xsatisfazendo as seguintes condiç ões:

a) f2= f;

b) o n ´umero de elementos na imagem de f ´ek;

c) para cadayna imagem de f, o n úmero de pontos emXtais que f(x) =y é no máximo 2.

Exerc´ıcio 39_. _{(Teste IMO USA) Determine todas as func¸ ˜oes} _f _:N_→Qpor f(0) =0 e

f(3n+k) =−3₂f(n) +k, k=0, 1, 2, . . .n∈N.

Prove que f ´e injetiva e encontre f(N).

Exerc´ıcio 40_. _{(Banco da IMO 2005) Encontre todas as func¸ ˜oes} _f _:R_→Rtais que para quaisquerx,yemR,

f(x+y) +f(x)f(y) = f(xy) +2xy+1.

Exerc´ıcio 41_. _{(Ir˜a 1997) Suponha que} _f _:R⋆

+ →R⋆+ é uma função decrescente tal que para todosx,y∈R⋆+ f(x+y) +f(f(x) + f(y)) = f(f(x+ f(y)) +f(y+ f(x))).

Prove que f(x) = f−1(x).

Exerc´ıcio 42_. _{(Banco da IMO 2004) Encontre todas as funç ões} _fR_→Rsatisfazendo a equação

f(x2+y2+2f(xy)) = f(x+y)2

para todosx,y_∈R.

Exerc´ıcio 43_. _{(IMO 1992) Encontre todas as func¸ ˜oes} _f _:R_→Rtais que

f(x2+f(y)) =y+ f(x)2

(5)

Exerc´ıcio 44_. _{(IMO 1999) Determine todas as func¸ ˜oes} _f _:R_→Rtais que

f(x−f(y)) = f(f(y)) +x f(y) + f(x)−1

para todos os reaisxey.

Exerc´ıcio 45_. _{(Irã 1999) Encontre todas as funç ões} _f _:R_→Rsatisfazendo

f(f(x) +y) = f(x2₋y) +4f(x)y,

para todos os reaisx,y.

Exerc´ıcio 46_. _{(Vietnã 1999) Seja} _f₍_x₎_{uma função cont´ınua definida sobre}_{[0, 1]}_{tal que} _f_{(0) =} _f_{(1) =}_{0 e}

2f(x) + f(y) =3f

2x+y

3

,

para todosx,y∈[0, 1]. Prove que f(x) =0 para todosx,y∈[0, 1].

Exerc´ıcio 47_. _{(Irã 2000) Uma função} _f _:N_→N é definida recursivamente por f(1) =1 e

f(n+1) =       

f(n) +2 se n= f(f(n)−n+1)

f(n) +1 c.c.

para todon≥1.

a) Prove que f(f(n)−n+1)∈ {n,n+1}.

b) Encontre uma f ´ormula expl´ıcita para f.

Exerc´ıcio 48_. _{(Romênia 2000) Uma função} _f _:R2_→R é chamada de ol´ımpica se possui a seguinte propriedade: dados

n ≥ 3 pontos distintos A1,A2, . . . ,An ∈ R2, se f(A1) = f(A2) = . . .f(AN), então os pontos A1,A2, . . . ,An são vértices

de um pol´ıgono convexo. Seja P _∈ C[X] um polin ômio não-constante. Prove que a função f : R2 _→ R definida por

f(x,y) =|P(x+iy)| é ol´ımpica se, e somente se, todas as ra´ızes dePsão iguais. Dica: Use a continuidade de funç ões polinomiais.

Exerc´ıcio 49_. _{(Turquia 2000) Seja} _f _:R_→Ruma func¸˜ao tal que

|f(x+y)−f(x)− f(y)| ≤1

para todos reais x,y. Mostre que existe uma func¸˜aog : R _→ Rsatisfazendo |f(x)−g(x)| ≤ 1 para todox real e com

g(x+y) =g(x) +g(y)para quaisquerxeyreais. Dica: Estude o comportamento assint ´otico de f.

Exerc´ıcio 50_. _{(Turquia 1999) Determine todas as func¸ ˜oes} _f _:R_→Rtais que o conjunto

_f₍_x₎

x |x∈R e x6=0

´e finito e

f(x−1−f(x)) = f(x)−x−1

para todox∈R.

Dica: Use argumentos extremais.

Exerc´ıcio 51_. _{(Reino Unido 1999) Considere todas as func¸ ˜oes} _f _:N_→Ntais que

a) para cada inteiro positivom, existe um ´unico inteiro positivontal que f(n) =m;

b) Para cada inteiro positivon, f(n+1) ´e ou 4f(n)−1 ou f(n)−1.

Encontre o conjunto de inteiros ptais que f(1999) =ppara alguma func¸˜ao f com as propriedades(i)e(ii).

Exerc´ıcio 52_. _{(Vietnã 1999) Sejam}_S₌_{_{0, 1, 2, . . . , 1999}_}_e_T₌_{_{0, 1, 2, . . .}_}_{. Encontre todas as funç ões} _f _:_T_→_S_{tais que}

a) f(s) =spara todos∈S.

(6)

Exerc´ıcio 53_. _{(Ucrânia 1997) Seja}_d₍_n₎ _{o maior divisor ´ımpar de um n úmero natural}_n_{. Defina a função} _f _:N_→N de modo que f(2n−1) =2n e f(2n) = n+ 2n

d(n) para todon ∈ N. Encontre todos osktais que f(f(. . .f(1)). . .)) =1997, onde f est´a interadakvezes.

Exerc´ıcio 54_. _{(Banco IMO 2006) Uma sequência de n úmeros reais é definida pela f órmula}

ai+1=⌊ai⌋ · {ai}, para i≥0;

ondea0 é um n úmero real arbitrário,⌊ai⌋denota o maior inteiro que não excedeaie{ai}=ai− ⌊ai⌋. Prove queai =ai+2

paraisuficientemente grande.

Exerc´ıcio 55_. _{(Banco IMO 2007) Encontre todas as func¸ ˜oes sobrejetivas} _f _:N_→Ntais que para quaisquer naturaism,n

e todo n úmero primop, o n úmero f(m+n) é divis´ıvel porpse, e somente se, f(m) +f(n) é divis´ıvel porp.

Exerc´ıcio 56_. _{(Banco IMO 2007) Para um n úmero primo} _p_{e um inteiro positivo}_n_{, denote por}_ν_p₍_n₎_{o expoente de} _p_na fatoração den!. Dado um inteiro positivod e um conjunto finito de primos{p1,p2, . . . ,pk}, mostre que existem infinitos

inteiros positivosntais qued|νpi(n)para todo 1≤i≤k.

Exerc´ıcio 57_. _{(Banco IMO 2008) Seja} _f _:RNuma func¸˜ao que satisfaz

f

x+ 1

f(y)

= f

y+ 1

f(x)

para todos os reaisx,y. Prove que existe um inteiro positivo que não é um valor de f. Exerc´ıcio 58_. _{(IMO 2002) Encontre todas as funç ões} _f _:R_→Rtais que

(7)

Respostas e Solu¸c ˜oes. 26.

Podemos encontrarntal quen2comece com qualquer sequˆencia de d´ıgitos(c1c2...cr) =m. Tomeksuficientemente grande

tal que 2√m<10k−1. Sejan=⌊10k√m+1⌋. Ent˜ao,

0<10k√m<n≤10k√m+1 ⇒

102km<_n2≤₁₀2k_m+_2.10k√_m+₁ ⇒

102km<n2≤102km+102k−1+1 ⇒

102km<n2<₁₀2k(m+1).

Assim,n2_{comec¸a com a sequˆencia de d´ıgitos}_m_.

27.

Suponha que n˜ao, ent˜ao 102·106_⌊₁₀106√₂_⌋₌_⌊₁₀3·106√₂_⌋_{. Se}_k₌_⌊₁₀106√₂_⌋_{, temos:}

102·106k_≤103·106√2<102·106k+1 ⇒

k

10·106 <

√

2< k

10·106 +

1

103·106 ⇒ k2

102_·106 <2< k2

102_·106 +

2k

104_·106 +

1 106_·106

Como 2k 102·106 <

2√210106

102·106 ≤

1 2,

k2<₂·₁₀2·106 <_k2+₁ ⇒

0<2·102·106−k2<1.