MAT - 2127 - CÁLCULO II PARA A QUÍMICA Segunda lista de exercícios - 2020
1. Diferenciabilidade e Plano Tangente
(1) Seja f (x, y) = x3 x2+ y2, se (x, y) 6= (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0). (a) Verifique que f é contínua em (0,0).
(b) Calcule ∂f ∂x(0, 0) e ∂f ∂y(0, 0). (c) É f diferenciável em (0, 0)? (d) São ∂f ∂x e ∂f ∂y contínuas em (0, 0)?
(2) Determine o conjunto de pontos de R2 onde f não é diferenciável, sendo: (a) f (x, y) = p3 x3+ y3 (b) f (x, y) = x|y| (c) f (x, y) = e √ x4+y4 (d) f (x, y) = cos(px2+ y2)
(3) Ache a equação do plano tangente e a equação da reta normal a cada superfície no ponto indicado: (a) z = ex2+y2, no ponto (0, 0, 1) (b) z = exln(y2), no ponto (3, 2, 0)
(4) Verifique que os gráficos das funções f (x, y) =px2+ y2 e g(x, y) = 1
10(x2+ y2) + 5
2 se intersectam no
ponto (3, 4, 5) e têm o mesmo plano tangente nesse ponto.
(5) Determine uma equação do plano que passa pelos pontos (0, 1, 5) e (0, 0, 6) e é tangente ao gráfico de g(x, y) = x3y. Existe um só plano?
(6) Determine k ∈ R para que o plano tangente ao gráfico de f (x, y) = ln(x2+ ky2) no ponto (2, 1, f (2, 1)) seja perpendicular ao plano 3x + z = 0.
(7) Calcule o plano tangente e a reta normal ao gráfico das funções abaixo no ponto (x0, y0, f (x0, y0)) nos
casos abaixo:
(a) f (x, y) = (x2y + y)3, (x0, y0) = (1, 2)
(b) f (x, y) = ln(1 + x2+ y4), (x0, y0) = (1, 1)
(c) f (x, y) = cos(x2y) + y, (x0, y0) = (0, 0)
(8) Para ~v = (3/5, 4/5), calcule a derivada direcional ∂f
∂~v(x0, y0) para f e (x0, y0) nos casos do exercício 7, acima.
(9) Calcule ~v, unitário, que maximiza a derivada direcional ∂f
∂~v(x0, y0) para f e (x0, y0) nos casos do exercício 7, acima.
2. Regra da Cadeia
(1) Calcule a derivada da composta f ◦ γ, em t0, nos seguintes casos:
(a) f (x, y) = x x2+ y4; γ(t) = (cos t, sen t) e t0 = 0. (b) f (x, y) = x x2+ y2; γ(t) = (t 2, (1 + t)10) e t 0 = −1. 1
(2) Sejam f : R2 → R, diferenciável em R2, com ∇f (−2, −2) = (k, −4) e g(t) = f (2t3− 4t, t4− 3t).
Deter-mine k para que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa 1 seja paralela à reta y = 2x + 3.
3. Vetor Gradiente
(1) Se f (x, y) = x2+ 4y2, ache o vetor gradiente ∇f (2, 1) e use-o para achar a reta tangente à curva de nível
8 de f no ponto (2, 1). Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente.
(2) Seja r a reta tangente à curva x3 + 3xy + y3 + 3x = 18 no ponto (1, 2). Determine as retas que são tangentes à curva x2+ xy + y2 = 7 e paralelas à reta r.
(3) O gradiente de f (x, y) = x2+ y4 é tangente à imagem da curva γ(t) = (t2, t) em um ponto P = γ(t0)
com t0 > 0. Considere a curva de nível de f que contém P . Encontre a equação da reta tangente a essa
curva no ponto P .
(4) Verifique que f (x, y) = p3
x2y é contínua em (0, 0) e tem todas as derivadas direcionais em (0, 0). A
função f é diferenciável em (0, 0)?
(5) Ache a derivada direcional máxima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre. (a) f (x, y) = xe−y+ 3y, (1, 0); (b) f (x, y) = ln(x2+ y2), (1, 2);
(6) Determine todos os pontos de R2 nos quais a direção de maior variação da função f (x, y) = x2+ y2− 2x − 4y é a do vetor (1, 1).
(7) Seja f uma função diferenciável em R2 tal que γ(t) = (t + 1, −t2), ∀t ∈ R é uma curva de nível de f . Sabendo que ∂f
∂x(−1, −4) = 2, determine a derivada direcional de f no ponto (−1, −4) e na direção e sentido do vetor ~u = 3 5, 4 5 .
(8) Sabe-se que f : R2 → R é diferenciável em R2 e que o gráfico de f contém as imagens de ambas
curvas γ(t) = −t 2, t 2, t 2 e σ(u) = u + 1, u, u + 2 + 1 u , u 6= 0. Determine ∂f ∂~u 1 2, − 1 2 , onde ~ u = √ 2 2 , √ 2 2 ! . 4. Polinômio de Taylor
(1) Seja f (x, y) = ln(x + y). Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta do ponto (12,12). Mostre que para todo (x, y) com x + y > 1 ,
|ln(x + y) − (x + y − 1)| < 1
2(x + y − 1)
2.
(2) Sejam f (x, y) = x3+ y3− x2+ 4y e P
1(x, y) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta do ponto
(1, 1). Mostre que para todo (x, y) ∈ R2 com |x − 1| < 1 e |y − 1| < 1, |f (x, y) − P1(x, y)| < 5(x − 1)2+ 6(y − 1)2.
Usando P1(x, y), calcule um valor aproximado para f (1, 001, 0, 99) e estime o erro cometido com essa
aproximação.
(3) Seja a função f (x, y) = x3+ y3− 3xy + 8.
(a) Determine o polinômio de Taylor P1(x, y) de ordem 1 de f , em torno do ponto (1, 1).
(c) Usando o ítem (b), mostre que, para todo (x, y) ∈ R2 , com x > 1/2 e y > 1/2, vale que E1(x, y) ≥ 32(x − y)2.
5. Máximos e Mínimos
(1) Ache a derivada direcional máxima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre. a) f (x, y, z) = xez+ sen (y), (2, 0, 0) b) f (x, y, z) = −4y + z ln(x), (1, 2, −1)
(2) Suponha que sobre uma certa região do espaço o potencial elétrico V é dado por V (x, y, z) = 5x2− 3xy + xyz.
a) Ache a taxa de variação do potencial em P (3, 4, 5) na direção do vetor ~v = ~i + ~j − ~k.
b) Em que direção V muda mais rapidamente em P ? c) Qual é a maior taxa de variação em P ?
(3) Encontre, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em C, bem como os pontos onde estes valores são assumidos: a) C = {(x, y) ∈ R2 : x2+ 2y2 = 1} e f (x, y) = x3y. b) C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2= z e z = 2y} e f (x, y, z) = x − z. c) C = {(x, y, z) ∈ R3: x2+y2+z2= 1 e (x − 1)2+y2+(z − 1)2 = 1} e f (x, y, z) = xz +y. d) C = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 1 e x − y + 3z = 3} e f (x, y, z) = x2+y2+z2. (4) Ache o máximo e o mínimo absolutos da função na região D. (Esboce D.)
a) f (x, y) = 5 − 3x + 4y; D é o triângulo (com interior e bordas) cujos vértices são (0, 0), (4, 0) e (4, 5) b) f (x, y) = xy e−x2−y2; D = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 2, x ≤ 0, y ≥ 0}
c) f (x, y) = 2x3+ y4; D = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 1}
d) f (x, y) = 2x2− xy + y2+ 7x; D = {(x, y) ∈ R2/ − 3 ≤ x ≤ 3, −3 ≤ y ≤ 3}.
e) f (x, y) = (4x − x2) cos y; D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 3, −π4 ≤ y ≤ π4} (5) Seja T (x, y) = 4
x2+ y2 uma função que dá a temperatura do ponto (x, y) do plano. Em que ponto da
região A = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ −x + 1} a temperatura máxima é atingida? E a mínima? Justifique. (6) Encontre o máximo e o mínimo absolutos de f (x, y) em D sendo:
a) f (x, y) = xy; D =(x, y) ∈ R2 : x2− y2 = 1, x ∈ [1, 2]
b) f (x, y) = 2x3+ y4; D = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 = 1, x ∈ [0,14], y ≥ 0} Você pode usar multiplicadores de Lagrange (apenas) para resolver esse exercício?
(7) A temperatura num ponto (x, y, z) do espaço é dada por T (x, y, z) = xy + yz. Determine os pontos da esfera x2+ y2+ z2 = 1 onde a temperatura é mais alta e onde é mais baixa. Justifique.
(8) Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f sujeita às restrições explicitadas: a) f (x, y) = xy; 5x2+ 5y2+ 6xy − 64 = 0
b) f (x, y, z) = xyz; x2+ 2y2+ 3z2 = 6 c) f (x, y, z) = x2y2z2; x2+ y2+ z2 = 1 d) f (x, y, z) = x2+ y2+ z2; x4+ y4+ z4 = 1
(9) Determine o valor máximo e o valor mínimo de f em R sendo
a) f (x, y, z) = x2−2x+y2−4y+z2−6z e R = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+y2+z2 ≤ 56}
b) f (x, y, z) = x2+ y2+ 2z2− 4xy − 4z + 3x e
R = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 4} (10) Encontre os pontos de máximo e de mínimo de f em C:
a) f (x, y, z) = x + y + z e C = {(x, y, z) ∈ R3: x2+ y2 = 1 e 4x + 4y = z2}; b) f (x, y, z) = x3+y3+z3 e C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+y2+z2 = 1 e x+y +z = 1};
c) f e C como no exercício 8 (a); d) f e C como no exercício 8 (b).
(11) Encontre o máximo e o mínimo de f (x, y, z) = 2x + y − z2 no compacto C. a) C = {(x, y, z) ∈ R3 : 4x2+ y2− z2+ 1 = 0, z > 0 e 2z = 2x + y + 4}.
b) C = {(x, y, z) ∈ R3 : 4x2+ y2− z2+ 1 = 0, z > 0 e 2z ≤ 2x + y + 4}.
(12) Seja f (x, y, z) = x2+ y2+ 2z2− 4xy − 4z. Achar o máximo e o mínimo de f em: a) {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2+ z2= 4}; b) {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2+ z2≤ 4}; c) {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2+ z2= 4 e z ≥ 12}; d) {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2+ z2≤ 4 e z ≥ 1 2}; e) {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2+ z2= 4 e z ≥ x + y}. (13) Seja f (x, y) = k(x2+ y2) − 2xy, onde k é uma constante.
a) Verifique que, para todo k ∈ R, o par (0, 0) é um ponto crítico de f .
b) Para cada valor de k, classifique o ponto crítico (0, 0) com relação a máximos e mínimos locais e sela. Existem valores de k para os quais podemos afirmar que (0, 0) é extremo global (absoluto) de f ?
(14) Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os: a) z = 2x2+ xy + 3y2+ 10x − 9y + 11 b) z = x2y2 c) z = x3y3 d) z = (2x − x2)(2y − y2) e) z = y√x − y2− x + 6y f) z = y cos x g) z = xye−x2−y2 h) z = ln(3x2+ 4y2− 2x + 7) i) z = (x − 1)3+ (y − 2)3− 3x − 3y
(15) Determine os valores de a para os quais a função f (x, y) = 2ax4+ y2− ax2− 2y. a) tenha exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local;
b) tenha exatamente dois pontos de sela e um mínimo local.
c) Existe a ∈ R para o qual a função tenha ao menos um máximo local? d) Existe a ∈ R para o qual a função tenha mais de 3 pontos críticos?
(16) É impossível para uma função contínua de R em R ter 2 máximos locais e nenhum mínimo local. Por quê? O mesmo não ocorre com uma função f : R2 → R. Verifique que f(x, y) = −(x2− 1)2− (x2y − x − 1)2
tem exatamente dois pontos críticos, ambos máximos locais. Faça um esboço de uma superfície com tais características e tente compreender como isso ocorre.
(17) Mostre que a função f (x, y) = x2+ 5y2(1 + x)3 possui um único ponto crítico, que este ponto crítico é
um mínimo local, e que f não possui ponto de mínimo global.
(18) Determine a equação do plano que passa por (2, 2, 1) e que delimita no primeiro octante o tetraedro de menor volume.
(19) Dentre todos os planos que são tangentes à superfície xy2z2 = 1 encontre aqueles mais distantes da origem.
(20) Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com 27cm2 de papelão.
(21) Um quarto de armazenamento aquecido tem a forma de uma caixa retangular e tem o volume de 1000 pés cúbicos. Como o ar quente sobe, a perda de calor por unidade de área pelo teto é cinco vezes maior
que a perda de calor pelo chão. A perda de calor pelas quatro paredes é três vezes maior que a perda de calor pelo chão. Determine as dimensões do quarto que minimiza a perda de calor e, portanto, minimiza o custo do aquecimento.
(22) Ache os máximos e mínimos locais (globais) de f (x, y) na região D. a) f (x, y) = −x + 2y + 3 e D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ −x2+ 4x};
b) f (x, y) = −5x + 2y + 3 e D = {(x, y) ∈ R2 : x/2 ≤ y ≤ 2x e 1 ≤ x ≤ 4}; c) f (x, y) = −x + 2y − 3 e D = {(x, y) ∈ R2: x2+ 1 ≤ y ≤ x + 3};
d) f (x, y) = x3+ y3− 12x − 3y e D = {(x, y) ∈ R2: 0 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ x}.
(23) (Método dos Mínimos Quadrados) Sejam Pi = (xi, yi) ∈ R2, 1 ≤ i ≤ n (dado n ∈ N, n ≥ 2),
com xi 6= xj, se i 6= j. Estes pontos representam os resultados de algum experimento, e gostaríamos
de encontrar uma função linear afim f : R → R, f (x) = ax + b para a, b ∈ R a serem determinados, tal que o gráfico de f contenha Pi para 1 ≤ i ≤ n. Nem sempre existe uma tal função; com efeito, o
sistema linear nas variáveis a e b dado por axi+ b = yi, 1 ≤ i ≤ n, é, em geral, impossível se n ≥ 3. O
objetivo deste exercício é verificar que é possível encontrar uma solução aproximada deste sistema, i.e. que minimiza a soma dos quadrados dos erros E(a, b) =Pn
i=1[yi− (axi+ b)]2. Mostre que E : R2 → R
assim definida tem um único ponto de mínimo global e encontre tal ponto. (24) Seja f (x, y) = x2+ y2− z2+ 3.
a) Mostre que f tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo locais na esfera S2 = {(x, y, z) ∈ R3: x2+ y2+ z2= 1};
b) Determine os pontos de máximo e de mínimo de f em D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2+ z2= 1 e x + y + z = 1}.
(25) Seja f (x, y, z) = x − 2y − +z2. Ache, caso existam, os pontos de máximos e mínimos em D = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x2+ y2+ z2 = 9 ex − 2y + 2z = 0}.
(26) Sejam k um número real não-nulo e f (x, y) = k x3+ x2+ 2y2− 2x − 2y, definida em R2.
a) Ache k de modo que f tenha exatamente 2 pontos críticos; b) Classifique os dois pontos críticos de f obtidos em (a).
(27) Ache os extremos relativos de f com as restrições dadas, nos seguintes casos: a) f (x, y, z) = xz + yz, com as restrições x2+ z2= 2 e yz = 2.
b) f (x, y, z) = xyz, com a restrição x2+ 2y2+ 4z2 = 4. c) f (x, y, z) = y3+ xz2, com a restrição x2+ y2+ z2 = 1. d) f (x, y, z) = xyz com a restrição 2xy + 3xz + yz = 72.
Respostas – Seção 1
(1) (b) ∂f
∂x(0, 0) = 1 e ∂f
∂y(0, 0) = 0. (c) Não. (d) Nenhuma das derivadas parciais é contínua em (0, 0). (2) (a) f não é diferenciável em nenhum ponto da reta y = −x.
(c) f é diferenciável em R2 pois é de classe C1 em R2. (d) O mesmo que o item (c).
(3) (a) z = 1 e a reta X = (0, 0, 1) + λ(0, 0, 1), λ ∈ R. (b) e3y − 2z − 2e3 = 0 e a reta X = (3, 2, 0) + λ(0, e3, −1), λ ∈ R. (5) 6x − y − z + 6 = 0 (sim, só um) (6) k = 8
Respostas – Seção 2
(2) k = 3Respostas – Seção 3
(1) ∇f (2, 1) = (4, 8) e a reta é x + 2y − 4 = 0. (2) 4(x − 1) + 5(y − 2) = 0 e 4(x + 1) + 5(y + 2) = 0. (3) X = 1 4, 1 2 + λ(−1, 1), λ ∈ R.(4) f não é diferenciável em (0, 0). (5) (a)√5 e (1, 2); (b) √2 5 e 1 5, 2 5 . (6) Em todos os pontos da reta x − y + 1 = 0.
Respostas – Seção 4
(2) P1(x, y) = 3x + 7y − 5; f (1, 001; 0, 99) = 4, 931 ; O erro é de 10−3.
(3) (a) P1(x, y) = 7; (b) E1(x, y) = 3 c(x − 1)2− (x − 1)(y − 1) + d(y − 1)2, para algum ponto
(c, d) interno ao segmento que une (x, y) a (1, 1).
Respostas – Seção 5
1. a)√6 ; (1, 1, 2) b) √2 ; (−1, 1, 0). 2. a) √32 3 b) (38, 6, 12) c) 2 √ 406. 3. a) ptos de máx: ( √ 3 2 , 1 2√2) e ( −√3 2 , −1 2√2); ptos de mín: ( −√3 2 , 1 2√2) e ( √ 3 2 , −1 2√2); b) pto máx: (√1 5, 1 − 2 √ 5, 2 − 4 √ 5); pto mín: ( −1 √ 5, 1 + 2 √ 5, 2 + 4 √ 5); c) pto máx: (12,√1 2, 1 2); pto mín: ( 1 2, −1 √ 2, 1 2);d) pto mín: (13,−16 ,56); não tem pto de máximo. 4. a) valor máx: f (4, 5) = 13, valor mín: f (4, 0) = −7; b) valor máx: f (0, 0) = 0, valor mín: f (−√1 2, 1 √ 2) = − 1 2e. c) valor máx: f (1, 0) = 2, valor mín: f (−1, 0) = −2.
d) máximo: f (3, −3) = 57, mínimo: f (−2, −1) = −7; e) máximo: f (2, 0) = 4, mínimo: f (3, −π4) = f (3,π4) = f (1,−π4 ) = f (1,π4) = 3 √ 2 2 . 5. Mais quentes: 12, √ 2 2 , 1 2, −1 2 , −√2 2 , −1 2 ; Mais frios : 1 2, −√2 2 , 1 2, −1 2 , √ 2 2 , −1 2 . 6. a) valor máx: f (2, 2) = f (−2, −2) = 4; valor mín: f (4, −4) = f (−4, 4) = −16; b) valor máx: √2 3, mín: − 2 √ 3; c) valor máx: 1 27, valor mín: 0; d) valor máx: √3, mín: 1. 9. a) valor mín: f (1, 2, 3) = −14, valor máx: f (−2, −4, −6) = 112; b) valor mín: f (32, 2,12) = −114, valor máx: f (4, 0, 0) = 28. 10. a) ptos de mín.: (0, 1, −2) e (1, 0, −2), pto de máx: (√1 2, 1 √ 2, 2 4 √ 2); b) ptos de mín: (23,23, −13), (23, −31,23), e (−13,23,23), ptos de máx: (0, 0, 1), (0, 1, 0) e (1, 0, 0);
11. a) valor mín: f (1 + √ 7 2 , 2 + √ 7, 4 +√7) = −19 − 6√7, valor máx: f (1 − √ 7 2 , 2 − √ 7, 4 −√7) = −19 + 6√7; b) valor mín: f (1 + √ 7 2 , 2 + √ 7, 4 +√7) = −19 − 6√7, valor máx: f (14,12, q 3 2) = − 1 2. 12. a) pto de máx: (0, 0, −2), ptos de mín: (43,43,23) e (−43, −43,23); b) os mesmos que em (a);
c) pto de máx: ( √ 15 2√2, − √ 15 2√2, 1 2) e (− √ 15 2√2, √ 15 2√2, 1 2), ptos de mín: ( 4 3, 4 3, 2 3) e (− 4 3, − 4 3, 2 3); d) os mesmos que em (c); e) ptos de máx: (−13 ± √ 15 3 , − 1 3 ∓ √ 15 3 , − 2 3), pto de mín: (− 4 3, − 4 3, 2 3).
13. b) k > 1: mínimo local; −1 < k < 1: sela; k < −1: máximo local; k ≥ 1: (0, 0) é ponto mínimo global; k ≤ −1: (0, 0) é ponto máximo global.
14. (chequem possíveis trocas de ítem) a) pto de mín: (−3, 2); b) ptos de mín: (0, λ) e (λ, 0) com λ ∈ R;
c) ptos de sela: (0, λ) e (λ, 0) com λ ∈ R;
d) pto de máx:(1, 1), ptos de sela: (0, 0), (2, 0), (0, 2), (2, 2); e) pto de sela: (0, 0), ptos de máx: ±√1
2, 1 √ 2 , ptos de mín: ±−√1 2, 1 √ 2 ; f) pto de mín: (13, 0). 18. x + y + 2z − 6 = 0 19. 22/5x + 29/10y + 29/10z = 5; 22/5x − 29/10y + 29/10z = 5; 22/5x + 29/10y − 29/10z = 5; 22/5x − 29/10y − 29/10z = 5. 20. base 3 × 3cm, altura 1,5cm.
21. largura, profundidade e altura iguais a 10 pés. Avaliação
-A média final (MF1) será calculada à partir das notas de 2 Listas de Exercícios (L1 e L2) e 2 Provas (P 1 e P 2) de acordo com a fórmula abaixo. Haverá uma Prova Substitutiva (Sub) aberta para todos os alunos e serão escolhidas 2 notas entre P1, P2 Sub que produzam a melhor MF1 possível para cada um.
A média MF1 ≥ 5 e frequência ≥ 70% indica aprovação, 3 ≤ M F 1 < 5 e frequência ≥ 70% dará direito a uma prova de recuperação (Rec), MF1 < 3 ou frequência < 70% indica reprovação. Àqueles que fizerem a Rec terão uma segunda média final (MF2) que será a média de MF1 e a Rec. Se MF2 ≥ 5 indica aprovação e M F 2 < 5 indica reprovação.
As listas L1 e L2 e as provas deverão ser Provas Testes. Tanto as listas quanto as provas serão realizadas no Moodle Usp (E-Disciplinas).
M F 1 = L1 + 4P 1 + 2L2 + 5P 2 12 e M F 2 = M F 1 + Rec 2 Prova Data L1 14/10/2020 P 1 26/10/2020 L2 25/11/2020 P 2 02/12/2020 Sub 09/12/2020 ABERTA Rec a ser marcada
