Arithmetica intuitiva

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(1)'.. Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. FREIRE. Arithmetica INTUITIVA OURSO COMPLEMENTAR 1645 exeraiaios e problemas 100 problemas resolvidos 136 gravuras. LIyn,\I\IA FRANCISCO. PAULO. DE. IHO DE JA:H:lllO ,66,. nll~. 1>0. ALVES. AZEVEDO. 0\;\·'1.>011. ,6f,. ~ BELLO HGIIIZO:'\TE.. I. &. S. 1',\t.:I.O. C"·. ',:j.r_=.~~ E.:UIII.:. u9. IIUA LlHt"I<O 11.. ""11. loae... II.'". DA BAli''', ".;i. www.hedumat.uff.br. J-{. H<DUMAT ~.

(2) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. Arithmetica INTUITIVA. , www.hedumat.uff.br.

(3) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. Olavo FREIRE. ....... !". Arithmetica INTUITIVA OURSO OOMPLEMENTAR 1645 exercicios e pro~lemas 100 prohlemas resolaidos 136 graauras .. 3.' EDICAO. I.IYH.\RI.\ FR_\.\"CISCO .\L.YES. PAULO. DE. AZEVEDO. 1110 DE j,\\UKO 166,. nt'. "0. Ql'lUO~. 1M;. I. ~.. &. C". I'.\U.O. '''9' fll:.. I 1M 1'.0 lu'... n ..... 81,I,LO 1I0IHZUSTI:::, ,0.:;;;;. flU ..,.. a.. ", •• 1055. '9:&6. www.hedumat.uff.br. "9.

(4) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. A. saudosQ memoria. do dilecto mestre e j~comparavcl anllg o. Dr. MENESES VIEIRA dedica. o OLAVO.. Rio de Janeiro, 30 de Junho de 19tO.. •. www.hedumat.uff.br.

(5) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática )1:,.1'10 GCltfflllvtl J'.Arll,,}o, 6 J~ rtfJlrl;rD dl 'IJDB. ..AQ-e;. t"nA:,. e;.. l;'d(uM...u teco-m mend1l". /ndlkMM e;. #u~t~ ,ua/Jnen/t' (~/ /tvte .:Ic''', nOf!(.' tu,rfct.tJto. J l ( " N (.' dij-. a(AJ nNW";. ,j~jr11('-,. /(~(d(.' /t,rj/.JJ"t t9~tJt> ~"i" ca''- / , : de It'JfW/a;ce;M.- kuUeado. com()o Mia'/u!1b 0/'-. r. /t,1;N':/e;./(/~he;.-, ?leNt della. et6. ()o. )/la,j IcitJnc(.'. /,t'f Nt ((ditl-a aJ/t(.'ttaJ d'a rINa. jl""e /,u/ena0 e/ J/~)Y'd./)/lcnte. en. COIl-. j7Jalt,£u-.me com () d'~)l(.' tfijcf'UI/J cUJ~ /11!,)c':/. f-t"la,. jtL"" mnh A'o?tUe. ,;rlant/e INM/U-, e d'al. 'Nit. 0. NONM. do.. dt~'<:Ct() tY'euo ~. Nla-r;> a(; &/l;u04e;. :!J?J,a..:Jekl;o-, ?"'C al /l~ II NUe v ; ;. t:". en.u;weCd lxnn c.vcell1nt'"e/ ' lod"q:ao. N()<f.:l« t1Z1eJatlaa/,cd'a,;rt.yua.. ~VW. d",to. ..u. =tJt~ ,;rta,a/,taaW. • f{ldA);'u:o/.ua-, ; ;1~(y:io. (ht.:l IFf/faa.:l ea:M/e?n" e' vet&,t4ti(). !,tta. 0 M7dt?W rkJIa c/tjo/dtUf.. ,rtllm,tiJ'r/aJ. «4 U:,j/lffJ. c. .u. dJ" valUv pu em oa-. I.tfcMW<1. www.hedumat.uff.br. b'fedOU'(.'. 1Eb. nae/a. dod rt>m'/un.-.

(6) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. -,-. •. =""yuf/~ k ' (> ,,~&HI Nn. $'" ""';b h~,I:/a<r ,w';;' r;c-a{." l6(aoC?~nU c- a or.uhre;. o1b.:J a. N/,,?;,.i. "9'/";';&1:/·('£0/,/(.J..J('£';. /Nt:JNIlTJ. it;7UJt.J/,";'la. )r:-. JokrU O<1/'iO;:;;dUM '" eN"JM c(»wH:m. ,:;;10. Jak~n re';fa/a yuaNU:v .Ie enbi[1'4'NI (/ u,a1: r~71a. dC. (JIl<u:nat. ff)'tc-lj C&ujJt7nO jl'N-ON-ma crr,:O'Ht:C<.'/. ~cao. ck.:JI?\.J. e.VelC(uM.. Mpn:jath <-"ONI INC-. doai C/tC'1 ;7a;';M cem..fcce od J;j'4.cdOJ d& «,>k" /'0J?(M N-l'e netZ;" Aa~de"..4t~"unenJo~UJ !t})l~ N« NU/O. a!o. tk/t::.-/o.;. OJ. riM is. Ux/oJ oJ InMbU.::J C()~uJct&NNO'. d~cf'uu!Mckt:70.:JG,;J eU Jadrl .. .:if!.tI,u/!a, /toed; ~"~&'(k/tM )Nmj. t'Ji-. 04})fC. Jrlt/~()~dt:' ad t'JcfohJ e ,,/ mo-. c,(k-ttU j;("(.1(~;a;. C. jlucbia etet-wU' Je/1/'le/. e/&J/ic/tI7!VJC'I.- Jeu.. adm¢' e. am~. www.hedumat.uff.br. cerlo,.

(7) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. Algumas 0plOlOes da Imprensa sobre a Arithmetica Intuitiva de Olavo Freire. rOteS. de Petropoljs, nO H. Agosto de 1908 :. Y(lrd~deir3mcnte agrndavel c prlwcitoso se lorna 0 ('sludo da arithmetica, reilo 6CgUI)(lo,-, mcthodo ~('g\lirlo pelo Sr, 01a\"0 Freire, oa sua excellente Arithmetka Ilituilivll. lIgl'adilVel, porCIne fall[l aos ~cnlidos do alum no, dc~ per[..-.ndo.lhc assim urn certo illlcrcss.c pelo cOllhccimClIto dc UIll;) scicncia qUl' elle julg:wa arida e dilliei\; pr.weitoso. porllu". 1150 faligando a memoria do menino com 0$ longus ClIundndos cas pnclrorrClilas demons.lriu;i)Cs, ob1'i· ga-o dcsde cedo a maDelja]' unicanoMle as armas {Iue Ihe olTerece a sua intclligencia, IlI'epal'3ndo-o Jesse modo a poder mals l:lrde, pol' si so, raciocinar sobre questoes mail' colllplclHlS que so Ihe nprescnlam. EXlrcmamcnte prntico,o IiHO contem 23'.0 excrcicios e calculo mental, 900 1'I'oblernn.'1cscriptos Q 163 ~I'uvurns, que constitucm, dcmais. uma \"erdadeira" Ii~ao de cousas .'. Dcpoi~ de !lerfeilo e complclo e~ludo sobrc a numera\:"'0 c ns quatro operal;ocs rumlamentaes. 0 auctor con....1 gra 05 dous ultimos capitulos de sua obrn as rracQoes onlinul"i;,s e decimaes, daudo ao alumno. pOl' meio d(J imagen!', uma idea el<adn des~e ~ystcnl;l Ite numeros c ramiliarizelndl\-o com die pOl' meio de numerosos cxerdcios. Qu,mto :i rccommclIda,,;,io dcsl:l illtere~5.1nte obra. fazernOll no~~as as pala\"J'3S do IUmo ~r. Dr. Hamil'. Gol\"ilo.. www.hedumat.uff.br.

(8) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -10 -. lornal do Brasil, •• dc. A!."o~lo J(,. • t90R:. ArithmcliclI fnluilinl 6 0 litulo d~dp pelo Rr. Olal'O Fl,,:jre ao seu novo lrabalho de (lue IlOS olft.'J'cccu um excmll13r. Dc facto, como bem di1. 0 qualificnlivo. 0 ""studo dn al'ilhmctica tOJ'na-se. com 0 methodo adoptado p6r aquclle proressor, fadl. droro, ao llle.~mo temllo IluC inleressante c provciioso, Dirigindo-se aos sentidos do alumno, prclldc-Ihc logo em seguida II inllllligenciro que sem f'u~lo. sem disso se apcrceber ., intuiti\"amellle" se \"111'. desen\"ol\'endo no emlll'ego das I'l'Opria~ armas. 1'3hituando-se assim l\ radoeinar com scgul'an~a de modo 11 1101" 5i so, mais turde. resolver qllest(')es e prohlemlls mais I'.omplexos; c isso scm raligar a memoria com csliradu" rt'~ras e dC'fini~l'Ies Oll (:xten~,IS dlJmOMlra~,;'·~. f·: po,' 1l1cio de pOlldcrada e$Colha de cx...rckios e prohlt'll1lls qllO chega 0 Sr. Ola\"o Freire 11.0 resllltndo deSl'judo; or~,"l\nbados com 0 11I11xirno Cuidado. disllostos e'lm escrul'lllQsa gr,.dua<;",.o. escolhidos de modo a prendl'r a aUelH,"'o do nlumno c a fQrnecer·lhe, aQ meSIllO l"IllIH>, no~ijes Ilh,b sohre \":ll"io~ conhcdmcntQs, l'ollstituf'm clles II;) phra.;;e do Dr. R;HUi~ Gah'ao; "\'er<13deiro thesouro lln";1 0 en~ino deslu disciplill& .. JiVl'O esla bern impl'CSSO, as grtl.\"ul'as sao boas c de agrada\'cl aSIJ.eclo.. o. 01'. Yargas Dantas, professor da €:asa de S. Jose: Rio. III de OutubrQ de 11>'>8, Amigo Sr.. 01(1\'0. Freire,. Li com grandll satisra1,'1lo 0 seu compendia de " Arithmetica Intuili\"a " sabre cujo y;l!or duladko 6 d(lSlICCCS' s:lI'io elllilti!' p(lreCf'r, VnuhljosullIcnlt, conhecido em IlOSSO m~gist(lrio, Ii Uilla gnraulia pal'a 0 ]>uhlko 0 nOUle. www.hedumat.uff.br.

(9) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -11-. do 3udnr, cujn brilhn eln na.I"III."lerht SCI' re'll~·.1d() p"l.l l'co,;omILH,)I1J~,,:\o d.., 'lu"'''1 pUl'a bso lI~O s" julKa rOlllpe1,'Rh·,. X;\O (~O~sO porer», furtar-me 11.0 prtl7.er de tralcr <.> lIlllU uplausos u (l\lCrll Houhe ddin ..."r e !'xel.'lIla,' lUll Iin'(l de .\rithmetica elelllt:nlar que ohede,'C' Iwrf, it,,menle a corrente lllodernu de orientu\';lo pratk". Do '1u11.l11')s compendios sittlilnl'es tem-me sido tlMI" \"otlljlulsar, Ii-me grato paten!>.·ar 'lUI' em lingua ,","I'mlcula ncnhum :lindu dcixou-me llIclho/' imprc.os;",o. 0\ parte theorica quasi inteil'umcnle banida, as rel{rtlS ~d\llid3;; ao minimo, os numcrosos cxcrcidos c proltkmus g"aduados e alinados COllI U "ecepth'i(l,lde dos "lumnos a llledida que a\'all~altl no estudo. Illostram b(lill II IlUUltO de (litem reo: dv mugisterio,saeerdocio c cscrc\"eu il medidtl (lltC ensiltlwa. It 0 ({U ... n1o' cumpre di!er-Ihe COlli (I tim uni~{l d.., Ihe l'eml"r hOttl.Jll:.lgcm pelo grande s~,'I'ir;'l qltt~ ,lcalHt de Ilrestar av llO>'SO cllsino. Seu amigo e admiradtw, lnssignad,,) Y. DA:<TAS, ,~olttillgcllte <If!. COl'l'ciQ da MunhJ, Chl'onica Litleral"ia, -. 14 do. Junho de WOO: "Arill/lflclico. 11l(llitiva " pOl' Olu\'o Freire. Se com \"arios outros trabalhos de nuture~a didacticn nilo hou\"e~se j;i. 0 Sr. Oln..o Freire conquistado utl\a rcpulu\';lo de excepcional competencin em materi(l de ensino, b3Qurin 0 hwo, de que ora me occupo ne~tns Iitthas, para Ilntenleal' a nola\"~l aptid:\o do nutor c asseguraJ'-lh~ urn titulo de benemcrMeia, como gui3 esfor'V1'tdo c inC<1.nsal'el da nossn ju\"cnlude t'studi'ls,1.. ,\ <iridn scieodn dos numCl'OS, d.., tdo diffidl inculi,,;lo, e que lanla a,-ers~oconseguedespel'tar nas intellig..,n..:ias. www.hedumat.uff.br.

(10) •. Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática '1- 12infantis, terr:lclari!ls l'Ot. u"lun'~a. ao COmlllk,fulo (lXt't·. ddo da <lh"II';1('\:<'1,) II d" c;.l.-ulo. lO]'[hI·se um e~tlldo Silli'. plt.s, prQ\'citnso \J Hgradan,I, COIll 0 <tllxilio do m"th'Jrlo illtuiti"o '1ue Ihe consc!iue em!'!'(,>;la!' 0 M,"O lina do ~l'. 01(1\'0 I~,·()il'e. )lcthodo csscnd,lllllcnie IU';llico t' 1'!u;ionaJ,. llull parle de cOJlcrelo para 0 alJstl'ncto, do silllples IHlrl1 o composlo, do conhcrido para {> dt!sconheeido, de outru n;in sci Illle melhor se auaptc ;i irtlelligc'ncia e ao rado.-inio dos que COJll,,~·.lnl :lpI'J1a" :l pcrcurrer os IJril\ll'iros <,stadios da ,'ultura intellectual no C:lmpo da lllulhemalien. A fcillll'(l emineulemell(c praLica dn ohra e hastante p:lra rCl'ommcndJ.I·(I: 23 1,0 cxcl'cicios, 900 problemas clicrilltos e 163 gr:l\'uras illusll':ulI 0 lexto. em ~ubsti tui~,'Io as r.::gras e theodas de que :lndam empantur_ r:ldos oulros compendic.s, Ilnr is~o mesmo impre~I;l\'eis e scm os requi~ltos indispensa\'eis ao fim a que se destinum. o Sr. 011\1'0 Freire e urn born discipulo daquelJe rormoso espirito de edueador que foi em I'ida 0 dr. ~len%cs Vieira, e ntlle, melhol' do qu~ em qunlquer oulro, frutifi· C:ll'am no Brasil as solidas lil,'oes do me..tre, A Ilresente .4Tilhmelica. !nluilica Ii milis uma I'ro\':tdessa \'t'rJade, A ausencia de regru e, sobretudo, dns demonslral<UcS IluC tanta repugnancia despertam nos que apenas 51l in idam nesse genero de estudos; 0 cunho emincnlemenle ]lJ"ltico e utilitario de que St re"este todo 0 volume; 0 l'I'ilHio' nn dosag"m das nO~'oes que mais COIlI'llm pro· pordon"r ao alumno; a habiJidade eo lacln cOIn que 111'0('ura 0 Ii.'ro hnbituar desde logu a intclJi§l'Nlcia da crean~l no radoeinio e ao~ processo~ da induc'i'ao: tudo isso (ala I'om doqucnda em (11\'01' do Irabalho do> jOH~n pedagogu, e fllli:l:a a impre",,,,;lo IIgrada.bili~~ima de tel'eHe excedido, em till escopo, a !'JUUlltos tem ;;ido puhlicados alJ hoje IJUI'a I1S0 da,; nos~a;; e;;col<ls pl'illl<trias. A ,1"i/!lmctic;I Ill/uitica, d,;slinada nos CIlJ'SOS prima_ rio.' medio, comprehend" 100,1 a nwteria qUtl se en4ua· dr.l cnlre a llumer;)C,'ilo Il as frae"ocs or,litlaria,~ e dedmae", Em 1odo>. o~ ScU~ ""I"lnl",.. , como em lodos O~ nssumptos quo: ahonla, e mil wnhdciro thl'soul'(I de rora I'l'cciosidadc, nilo f-O pdo yalor didactko das h~6es que. www.hedumat.uff.br.

(11) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática ~ 13propordOIlil, COIUO pelo methodo a (!uc se slIbordioa, e pela lllcompul'avcl cl:,rcza do. exposil;<10. 8;10,1101' isso, ri~orosamente justas as palul'ras do sr. hnrilO de Hamiz Gal"uo: .. Xllo h.'nho 0 intuito de recommendar aos Ineus patricios 0 \'11.101', roolmente insi~ne, deste seu no\'o trabalbo. r-;elU distinclo professor 013"0 Freire carcce jn. de aprcscnlnc:flCll, laureado como estu. pelo <l.llplRuso publico, nem s.,ria ell 0 m<lis idoneo para abrir·lhe as IloOrlas du fama, o qu" prd,'nno E) simplesmcnte cong-rotular-me com 0 digno discipulo dt! ~Ieneses Yieira, que tanto honNI 0 nome do grand" mestre, e dar um sinl'l'~ro arerto de Hulo ao laboriosoBrasileiro que ainda lima "ez t.'oriquece com e,;ccllt'nte producc:llo a noss''llitteratura pedo.gogica" . o IiHO do Sr. Ola\'o Freire mercce SCI' adoplo.do (Iuan10 anle" no curso primario de todas as eS('olas puhlicas do Brasil. onde vigoram o.inda, pJ.ra supplicio do~ CHebros infantis, os antigos e bolorentos <,;Omllendios que trranniZUlll a 'ncmoria e cmbotam a inlelligcnt'ia com 0 cmperr3meniO e a rotino. dos \'e11l05 methodos c processos irracionacs. Heccha 0 autor as minhas mais caloroMs felicita~'oes, elll .ulditlllnento as que ja lhe dirigiu uo l','eamhulo u P~llllU autorilada e cornpetente do insigne prcfaci'ldoJ'.. °. OSORIO DUQUh:-ESTRWA. o. Pai{, 13 de Fe\'ereiro de 1910 :. Arithmetlca Intultlva em fI-es livros - Cllrso elementm', cu/'so medio e cur-so complemental' - em III/I total de 753 paginas. - FRA~CISCO ALVES & Co, Rio de Janeil'O - 1910,. OLAva FlHmu; -. Obedecendo ;i organiz,u;ao do ensino Ms eseolas primari'lS do Di~lricto Federal 0 opel'()so prorCl'sor Sr. Ol,\\'o Freire, dll Escola Xormal, escreveu umo. nritbml.'tica. www.hedumat.uff.br.

(12) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -11-. inluith'U, dividindO·:l. pOl' ,,,Iumc~. ern Ires nll~"~" o ..,It'IlI(onlUI', \) medio () 0 t'Ompl()UlVnIM" J\UIOI' de ou1ros II'ul."lho"~ did:J.clko~ de ~ullj,Jo "1,101', ,I ~"" 01,\"0 l"l'cil'C, corn a m:J.i~ nitii:la COllll'I'"h(!lI~['o ~oJ>I"(' o llllH.lo pelo qu.al deve ~er mioislr..l<l" 0 "usino d""sa <I;,;"i"li"a na" ",scolas, aCflbu de Ill'oJslar. ao "'''Sill') (om f.\"olr.II, e muito olspecinJ,ncnte aos professorcs. ""l"\"il;O dc' inesthnu,"cl ,"ulla com a publiCMi:'lO dcslc seu ullinl" li\"l'o. Oaudo ao seu Irabalho a do!nominao;;~o ,Ill .lrilhm,'lirl1 /!lILlIlit,1. bem in-isado audou 0 i\lllor, p..rqu.lIItn lIesle methodo de ertsillo (I pereepo;;"o e I'rompla c dolcisi'"a" A clcll'eza da exposiO;;iiO, a succcssuo suave <I quasi iml'cl"ccl'lh'cl dos llssumpto/!., as I'elil',ls fo.dlllHmlu o:xposlas, :<;eguidas do exorcicio numcl'iC<l, disperlando dl)l',J" logo <l senfido d<ls alum no", incutem·lhes 0 conhe..:imentd dil'edo, immedi,tto e espootaneo d:l \"erdadc pat"a inidal"' Ihes a intelligl;lllcia aos rad<lcinio! e a<lS prOCI)SSOS de iudnco;;lto" Inllol'ioso prOreSS()l', seguind<l umn regril gl)l'al <Ill meth<ldo, di\"idiu pOt· OSlo. r6.'ma a difficuldadc em fadlidadi!s. Blllio method<l em que lanto sa pOde apr",ndi!t" <;<llll um j}(!(IUCIlO e5rol"(,'0 lUCnt"l. o pl'in,eil'O li'TO - 0 d<l curso elclllent<ll' - co,n :lIS l),Ig-irw~, C<lntem sl)is ":Jpitul<ls p1"los quaes el'lii<l "<l!ll"d... u:.d,ls as nOl;6es prellminaro:" s<l!Jre quantidad". unid,ule. numel'O, e~tudo da nUlllcr:.o;;,io e Ui\ moeda hl""deil';l ute 0 segundo capitulo, sendo os l'cslantes ..:ons"g"n"lns quatl'o pl'imeil"as opera~Ms funol(\mel\t~",s, o 'lllll mais se dcstilca. p<lrom" no. di<;p<lsil;I'O dn matl)l'i,t dosle Ilrimeil'O 1i\"l'0 0 serie de grayuras. exercki<ls e pl"n. blclOlUS Or'''";,, " c!<crlptos c de rakulo mellt,,1 dcstinados ,I prntkJ dm; <I"utrina~ r.xp<l,,;las em ••ula tapitu[". E' ,'"sim qlll) so uncouli'(Im no curso cleul(!nlal' (hi Jl,.il/nuelica hllltiliva ! OGZ "xcl'cieios. GZO proh!l)lIluS escriJllos II W'o gru\"uras,. o. ns. www.hedumat.uff.br.

(13) www.hedumat.uff.br we~~J'lI~ <IS <lnh soumn\ll sop "IICP!,'!I(l,):'O<lJ '.' opr:ldq,,, fl O1uCllbJOU 'vpe.H'I" S!CW W~pJO ap SilQ.'lOU U1"'JU""J "J Ol'-'IU ~W();l SpJW y 's",u"p";l;:lJd S!Op sop O{l~llnU!lllo3 - J\.111illll .,,[dW03 OSJlI"J op 0 - OJ.\!l OJFKMill 0 Sllu!.t!ud ((;l;' UIO:) 'OIUl (I lllCJ\SlIm ;mb SIlJn.'CJ2 6~ a SO,d!JJSil SI'UlUltJ0Jd 08;; '[elUilUl o['n;JIll:> a SOP!J·l<lXil 8t~ 1 UlyIUO:l val/W/Ill 1I'?!I<lUlI/IlJV IIp O!PflIU OS.IIP 0 ·O'.':)!P'" UJlno IlUIn ll,lil J;)"J<I.l1lddc o'.'Japod <lub 'sll.l~a.1 SllllWP I'FHWSl1\) II 1Il0;) ~~;)J ~;)lllS<lP OJ.'!I oplln2as illsap olpaw 'lU\,Jod '1l1lCU U13 ':11" 'SO!.1CUOP:lIl,IJ SOUl,loy! ap li<lO:)OIl.lJ iiI! 'o~:)e!:llPCJ a O!!.'lIl!OllawU 1! 'O~:)"Je.llqns a oe;\!pp') lJ l1l;)J<lJ<lJ ;)S ;)nb SI'.ljllO a JlIlU!W.lp 110 .ICW -wot $!od"p c.ted ilP!(\111 "s a ll"!Id.ll/IIUI ;I¥ O.I!ill«!J.d : lialdw!S 0l!lIrn llJ~aJ llwn JIl[nulJoJ ;:IP9U 3S anb W!SSIl ,a SIlJlno SfJOl);;H'jilJ W;) ~a'};)~ado tmlUll <lp ll!"uap<la;)JU e lUa;) -~I;)'lIlIS<I <lnb SIlJil(tJ sep 'il OIS! 'o/n:>/II;) ap sall.la6 s\l.,fiaJ sup o!l;\ualll ol!<lJ .1;)1 'SO!;)pJ<I),:<I s,')s;>p U\lSUall<lJdrnoa JOIjI<lm ~lld 'Il!J~.,ap J01"1l 0 dllb 'olulllaJIUa 'OION 'alaIPI0:l op a S!~;Jlllua.llld op O~:)\lJ!lddu ZUj \If! S;)llnb sou a Sop!~!l\hpc vf IIOpn1S" sop OIIlIl[UO:) 0 IlJjU;l solell)) sou llo!:I!aJaxa so SOSOj!;)AOJd 0l!llw OUlO" ;J~-UlC,ll'l~,)a 'OPOlll;)W OJ!1HlI rno::. llpCZ!lIe1JJO {I lelu""w 01"C)Ill"J ap a "Old].!:)"",, sCIU,)[qOJu a SO!:)!"JJ;J),:;J SOil 1l11loasa u '''luap()J;j~d ou Ol110a 'npl!!V '~Il:l!PO!-,ad ~~:)JeJj sep Opnl5"" 0lau OJlUIlZ!\UU!J 'SllJ1nO lUa Slilun ap 0t'SJa.,UO;) ·ou.}da:luoa Ipej ap i;UjaJ~Uoa sliailcUl! lIlO:) 'S;)lllll!::.ap a SC!,!CU!llJO s,,<;,>;\acJj sup ~ajUllISa.l S""JI so as,opulldn:l:lo 'OI"ndllJ O.I!()lIl!~d Oll 0PUllll!WJ:ll 'WUlIllllOO 0ld!l[nw ,lOUal1! op 8 JOS!.'!P IUllU1UJ(l;) OllJ]l.:cUl op oJ])llilcpu! 'lio!d!OlIlJd ~Ilas '~PUP![!qll!o\!P ep 0PlqS<I 0lad OJ.\!1 opun.ilos <'IS" e(,<lUloJ 'al 11(lI,<l:"l(llUIl OJ'\!I op OJ]:)ltIU<I!JO Ilwsaw If 0PU~:l"poqo 'SOlnj!dll:) saJl lIljl1UO;) 'sllu!iled gO~ 1110;) ~ o.qaUlpd of> o\1;\cnu!lllO;J C ;lJuatuluJlljllll 9- 0!l~lIJ Ollm) op 0 - OJ"ll opun.3~~ 0. °. -!"a-. Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática.

(14) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -1(l-. •. no estudo de quest~e!< mais ndianladl1~: II oricnto~1Io prn_ tica mlo ;;.c Mast:), enl~etallto. lin sl.'guidn anteriormente. Com oito capitulo!', inida nO p"imeirQ 0 CSludo do s~·!<tl'ma metrico, com uma utit tahella dos pe~os especilit.;o~ do» din'r~os COTPQS; eSlc mesmo capitulo lie l'omph:t<l com 0 chludo detalhado I:l interessante dos numero!> COllllllcxus. ~os c3pitulos subsequentes ate 0 oilnxo, fiearn. Sl'mpre com a mesma clarew. e precislio, exposlns as nOl;oes de quadrado e raiz quadrada. cubo e r3iz cubien, T.:lz6cs, cquidilTerenl<3S e proporl;~s. as regras de Ires. de jul"Os e de ~iedade. Xumeroso~ l'xercicios. cuidadosllfficnte compostos, se segucm II cada lhcoria obrigando 0 alumno a utili:wr-se, sempre com proveilo, do instrumento numerico. Contem cSle IinQ 16j5 e:l:ercicios e problemas, 100 pro· blemlls resol\'idos e 136 gru\'uras iIIustrntil'as saHenlall(iO'l>C, pOl' muito uteis, as que dilo os dilTerenles typos de rnoedas. Em l'eSllrno a Arilhmelicillllluitil)ll nbrnnge urn total de i.'):j pnfl,'inns, com (,985 e:-:ercicios e problemas e 299 g'1'a"urns, que enfeitam a obra e com as qual's 0 aUlor prOCUI'OIl. com habilid(lde systemntizar a nOfil1o concrllta. Jamai,. Ii (1m lino did;lctko de feitul'a pl'utica tilo bern acabadl" com 11l11n exposi"r,o tie rcgrns Ic\'es e darns e uma lingu:l[;cm t"o espolltanca. al'resentando mesmo um cerlo typo <.Ie originalidade. o Iino do Sr. Ola\"o Freirc \'em prestaI' enorme auxilio nao 80 lis escolas publicas do Dislrkto Federal. como a todos os institutos de ensino t;Ongcllcre,,- do Rrn"-il: {.s escolas de aprendh:es marinhl'iro,,-, as escolas de oprenJi~t's artifice,,-, rc,'cnlemcnte creadas. as escolas dos esla· bel",'iment.os fabris, etc, Este excellellte seM'i"o prcstado pelo autor ~ jU\'entude esludiosa bern rnercce uma recomp(ln,.a, IllII premio. (lue pt>(leria SCI' Profosto e \"owdo pelo Con,;dho ~Iunicipal desla dciadc.. www.hedumat.uff.br.

(15) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -. 17-. As deSlleZ(lll com a inslruc~;\o silo SernlJrl;l juslificlldas; uma na~:;o \' 1.1010 nwis forte e digna quanlo mais instruido C 0 seu po,'o, Feliciwndo 0 aulor niio (a"o mais do que render, com con\'ic~lio, homellagem ao jil. I:mreado proressor. Bio de JaOf>iffl.:U de janeiro de 1910. Cunha Ida Escola Naval).. G. Mello e. Jonlal do Brasil, 3 de Fe\'ereiro de HHO Ilecebcmos urn e:l:crnplar do "Curso COIllII!ementar" da A"ilhmelif',1 llituilil.'<l de Ohl\'o Freire. Ao nCllicial'llIos 0 apparecim.>nlo do primpiro "olume des~e tr~balho, linlll10S ollportu"idade de e.'(pender nvss:J. opiniilo ~obre 0 merecimento do methodo neUe adoplado. Beduzindo ao estrictumente indispensavct rtS regro1S e, princip:\lmente rts demonstr,u;vcs tilo mal accdlas-, em geral, Ilclos rtlumnos, mulliplicando, por(~rn, os "xc'rckios c pro\>lcmus, graduados com 0 maior cuidado tlcsde os mais silnples at(\ os mais complexos, de modo a dc~perlar a intclligcncill e i' pl'o\'ocar 0 ra<.:iocinio, 0 Ji-'ro daquelle profe~!I(lr tnida e habittia a discipulo, sem seillir, c1ilra, fadJ, "intuili"amenlc", aos processos da induc<;:iiO. 0 segundo \'olume que temos a vista COlllirma e!>s(' JlOSSO juiIO, BclO impresso. ornado de nitidas 8"r~\'u ..as. 0 " Curso C:omplemcntar" ira. certamcntc, occupar logar pl'ocmi. nente entre os Dt'SSOS lino" didaclicos,. Clmmica Wterm-ia; A Noticia, 14 de Feverciro de l!)JO ; E pois que eslamos faJando dc espiritos c1aros e espirilos llb"cul'()S caiba aqui urn elojio a tN;tS peqU<1110S H"to". www.hedumat.uff.br.

(16) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática _~R_. ell'menl.1rCS de 01:\\'0 Fn'ire, linos que se intitulam ; ,1rWnneltea /tlluiti,·/I. ;\i('tz~("he seria iUI;<'1p:n de cs~rc'·c·l()s ... \.; ~eri:l inC:llhl 1; t'J:al't1llcnle porqu.. nc%c<.. lh·....'!> 0 'Iue Ila dl' nwlhor e a c1:ll'l,<zl\ e 0 m,stodo. o metodo ",e re"da em todos ell"s ul'sde 0 aspc>lo exterior, a compozic:;",O e a impre~~(jo, alt' a g-roda<;ao perfeita dos exerekios, que estao grup,lIlos I'm ~"da urn dos volumes para cada urn do~ cursos da f'scola pl'illlaria: d~menlar, medio e CQmplcmenlar. A lIIaneir.. 1.1,' 3S formula'" e de lhes iodie:u' 3 sohu;Jo (\ admiravcl. o Sr. Ola\"o FI'I'il'c. scm ser um professor "cillo, Ii urn vclho profcssor. Nos li\"l'OS que cUc fat. a ;;un assinalura sCl'ia qUfl1.i dispcnS"\'el, tanto c_~t,io marcadQS, de Jll'illcipio n fim, pella boa dispozi"r,o pedagojica que elle lhes sabe dar. . J. OOS S~NtOS. (.\fedeil'Os e Albuquerque). www.hedumat.uff.br. \.

(17) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. ARJTHMETl CA INTUITIVA. CAPITULO I SYSTEMA METRICO DECII'<1AL. SUl\l~IAHiO. Medidas. - Systema. - Systema metrico. Multiplos. Submultiplos. Medidas Te(leS e licticias. - Melro. - Medidas itinerarias.- Medidas de superlicie. - Medidas topographicas. - Medidas agrarias. - Medidas daa principaes superficies - Medidae de volume. - Medidne dos principaes volumes. Estereo. - Medidas de capacidade. - Conversdo de lilros em metros cubicos. - :r.!edidas de peso. - Balanl;as. - Peso especifico. - Moedas. - Medidas de tempo. - Medidas de circumferencia. - Conversao de um numero complexo em intciro - Converter 0. forma complexa urn numero escripto em unidades de infima ordem. __ Reduc~ao de numeros complexos a fra~oe8 ordinarias. - Exprimir urn numero comple:.:o em lrac¢o decimal da unidade principal. -. www.hedumat.uff.br.

(18) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. c. 3ssim : Decametl"o quel" dizer dez metros, Hectolitl"o quer dizer cem Jitros. Kilogl"amma quer dizer mil gl'nmmas. Myriametro quer dizer dez mil metros,. .\s unidades 10, 100. 1000 vezcs menores que. a unidade principal sao denominada:s submultiplos. dessa uni-. SUBMULTIPLOS.. d'''le Para ::;c dcsignar os sllhmnltiplos antcpoem-sc <lOS nOll1cs <las uuidadcs principacs. as p31,wras : Deei que quer d'izer a deeimn parte. Centi que quer dizer a centesima parte, Milli que quer dizer a millesima parte.. c. pol'latllo : Decilitro e a decima parte do litro. Centigl"amma e a centesima parte do gramma. Millimetro e a millesima parte do metro.. Medidas ,.eaes au e.D'ecliJ'as - us que sao conslruidas para '"'0 <10 commc,"-. MEDIDAS REAES.. cio, das o'lrtes C lllduslrio'ls C CJuc pod cmos manejar : 0 metro. o litro, 0 gl'~lJnma, 0 duplo-dccimelro. 0 kilogramma. etc. As mcdidas ficticias sao as que s6 c...iDtem www.hedumat.uff.br.

(19) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática :'>:"1-. em imagina\ao. MEDIDAS FICTICIAS.. o kilomctro. 0 Mco, 0 mctro qu:\drado, 0 metro cuhico. 0 hcclJI co, cle.; s;io n'sullndo dc calculos feitos com as lllC-. °. didas rencs, assim: o kilometro e 0 reaultado da multiplicae<ao de 1 metro por 1000 ou de 1 deoametro por 100 ou ai-nda de urn hectometro por 10.. 0. o areo e 0 resultado da multiplica~lio de 10 metros por 10 metros 0 que da 100 me· tros quadrados. o metro quadrado e toda a superficie que equivaler a urn quadrado (fig. 1) de urn meuo de lado : uma taboa que tiver 5 decimetros de largura .',~. l pol' 2 metros de comprimento tera 0,5 X 2,0 ou 1 metro quadrado de superlicie. o metro oubico e 0 espal;O occupado pelo volume de urn ohjecto que tenha urn metro de compl'imento pOl' urn metro de largura e urn metro de altura; ou cujas dimensoes, multiplicadas entre si, deem para producto total ,1 metro cuhico. Assim, pOl' exemplo, , urn ~ o que tenha 2 tnetros e meio de comprimento, 5 decimetr08 de largura e 80 centimetros de altura tera 2,5XO,5XO,80 ou i metro cuhico de volume. o hectareo e urn quadrado que tern 100 me· tl'oa de lado au e a area de qualquer forma que tcnha COUlO resultado de sua avalit'u;ao. www.hedumat.uff.br.

(20) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática 10.000 melros quadrados de e;,:.tensao. 0 campo rectangular que tiver 50 melros de largura por 200 melros de comprimenlo, lera 1 hectilreo de superficie porque 50 X 200....:: 10.000.. A llllidadc fundamcntal 00 syslema m('ll'ico eo metro (1) que c uma grandcza idenlica pam tad as os paizes que adoplal'am 0 system,,- metdeo. metro a decim3 millionesima parte dn qU:1l'la p:ll'te do meridiano Icl'resll'c. Sen'c para medirmos as comprimenlos em genII e e lIlll. uiensilio Illuito llsado pOI' quasi lodas as cl3sses sociaes (fig. :?).. METRO.. o. e. Do metrO sen'e-se 0 ul'lista para tomal' as medidas dos objcclos que vac fazeI" mon'is, mums, grades, call;ado, l1tensiLios diversos; 0 engenhcil'o pam faze!' uma llluitidao de lraba~ lllas meclit;6cs de ternls, caS,'lS, descnhos,. (I) ~lIwh"in e Delomhrf'. doi. malhemalicos fraoce"'", foram encarrp"ado. da nwdi~·110 do ..rco do meridiano compr"hcndidv ('lItre J)un111t'r'11l~ e ~Ionljou~·. pro%imo de Barcelonn; Delambre medlo a di.l;,ln~in de I)\lnquerqno a R,odet. e 'l~d,ain II de Rodc7 a )IOlllj011)". l.Clloir COII<lruiu-lhcs o. al'llardho. e ill.trunH'nlo_ Ilel;(>,,,·,rlo,, p"rll lal nm, II"" trab1llhos <10' dais ~:lhio~ "bl(l''''-'''' a modi,la <Ie ;'131l7'o1> 10e-.1' pllra 0 (:OIoprimenlo da quart~ pMlf' <10 'm'ri'li(ll1(1, e depo;~ <.Ie h'l\"(lrell' di"idld" ...,ta mrdida em I~OO de I'arll,s "~"""-. 11ma de.la" 1','1'1'" "u 3 I'" 11 Hlllla,,_ ~,I/; <,Ill ainda I,',~ 1Il1h"" m roi cun"i,l..radn COlllO nnldad(' prlncJllul do ;;~_\cl1ta N('I·Io('lldo 0 "onh' dl' metro.. www.hedumat.uff.br.

(21) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática - 25-. •. •. Fil:\.~' _ )!CIlXl d(lbradl~(>, l"I\l~nIlO natural.. www.hedumat.uff.br. •.

(22) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática - 26-. plantu:>, etc. Indica-sc abrcviad:llll<.>ole por. (um~nExemPlo,. 78. 01 ou. s~io. Os multiplos do metro o decametro (Dm) to metros. o hectometro (Hm) tOO metros. o kilometro (Kmj 1000 metros. o myriametro plm) 10000 metros.. 78m :. equivalente a equivalente a equivalente. a. equivalente a. c os submuitiplo.!l' s.10 : o decimetro (dm) equivalente a decirna parte do metro (lip;. :ll. o centimetro {em) equivalente a centesima parte do metro. o millimetro (mm) equivalente a millesima parte do metro.. Os mulliplos s~io productos e os sufmultiplos partes decimaes do metro. Para indicar a unidade escolhida escre\'e-se j direila, flU mesma Hnha ou FIll 3 um poueo acima dcssa unidade 0 signal que indica a sua abrevial;'£io, 3ssim : Nove metros e trinta e quatro centimetros. www.hedumat.uff.br. 9. In,. 34.

(23) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -. 2i-. Ciucoenta decametro6 e qui· nhentos e trinta e dois roilli· metros. 50 Dm, 0532 Seis kilometros e meio. 6 Kill. 5 Dois royriaroetros, quatrocentoa e vlnte metros. 2 )101, 04.20. Le-se 11m numero quc indica lllcdida linear como um numero decimal; primeim a parte inleira e depois a parte dccimaL drllldo-se a dcnominal;uo do ultimo submultiplo a dircita : 601,78... IS Om, 4.'53.. . 231(m, 0054... Seis metros e setenta e oito cent.imet.ros. Cinco decametros e quat.rocent.os e cincoenta e t.res cent.imetro6. Vlnte e tres kilometro6. cincoenta e quatro decimetros.. ou ent;10, 1(~·se cada algal'i&mo de pCI' si, dundo-se-Ihe a denominac;ao dn casH que cUe OCCllp<l :. Sete metros, sete deoimetl'os e quatro millimetros. 6)lm.84602. Seis myriametros, oito kilometros quatro hectometros, seis deenmetros, dois decbnetros. Olto millimetros. Om,008 .. Um myriametro, t.res kilometros, 13 Km, 7052. sete hectometros, cinco metros e dois decimetros. 7111,704.. ou ainda, por uma terceira manciro, le-se 0 l\Ulllcro como se fClSse inlcil'o drl.lldo-se a dcuowww.hedumat.uff.br.

(24) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática - 28-. minat;:io da cflsa occupada pr!o ultimo algariSIllO a direila 5 m, 782 6411m, 2. 1 Km. 0007 ... Cinco mil setecentos e oltenta c dois miIlhnett·os. Seiscentos e quarenta e dois decametros. Dez mil e sete decimetros.. Como ullidade de medida podemos adoplar 0 metro, 0 centimetro, 0 millimetro, 0 decametro, o kilometro, etc., COIlUNIDADE fOl'lllc a extenSlio. Exemplos Om metro de fila; 14 centimetros de scda; uma placa de 3 millimetros de espessura; llma eslrada de 234 kilometros.. DE MEDIDA.. As medidas ,.eaes de comprimento sao: a o o o o o. duplo-decametro ... decametro .. meio-decametro... duplo-metro.. metro... meio-metro ... o duplo-decimetro. a decimetro e meio .. o dcchnetro.. 20 metros. 10 metros. 5 metros. 2 metros. 1 metro. 50 centimetros 0,50 do metro. 20 centimetres 0,20 do metro. 15 centimetros 0,15 do metro. 10 centimetros 0,10 do metro.. www.hedumat.uff.br. ou ou ou ou.

(25) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática - 2"'-. Eslas llledidfiS s;io lllbt'ifatln~ de Yflrins materias prillllliO, eonfOl"me 0 lISO a que se cles\i4 nam; assim, 0 metro p6de set' de madeira, osso, JHadim, laliio, fcl'l'O, platina; pode Sel' inteiro. IlobradiE;o; diddido pOI" dccimelros ou duplosdedmetros, 0 dltp/o-dccimelro fai':-sc elll madeira, osso.llwrfill1, lab'lo, nickel; e geralmcnlc dh'idido de lima banda, em millimetros e da <Intra em lIIeios-millimetros; e Jl1uilo ClllprC4 gado ('Ill descnho linear,. o. decametro c geralmente lIIna cadeia de cujas hastcs teem dois decimC'tros dc eompl'imclllo, eslando ahi cOlllprellcndidos os clos que as Iigam; compoc-se pOl'tanto dc 50 hastcs, c dc 5 em 5 hastcs lw lllll do de cob"c para indic<tr a diYis'l.o par lllelJ-os; em cada cxh'emidade ha llIna argola pant se scglll'fil', f('ITO,. FIg, .;.. o decametro e 0 duplo,decametro p6dem tam~ helll scl' uma fita {rC panna ou de <lyP, cmolada em 11m eslojo de COUl'O ou de mctuf (cOlllIl1Ummente 0 latao) (fig, 1), www.hedumat.uff.br.

(26) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. -. 30-. A cadeitl dos lIlilleil'Os C de cobrc nm:lrcl,o, que nao tcm, como 0 ferro. ft propricdade de modificar a <1ircc~ao da hussola; ella C. para mais commodidade. formada de 100 hastes de UIll dccimctro cada Ulna. A cadeia dos agn"mellsores que tamhem merle 1 dccametro ou um duplo-decamctro. dcyc tel' dois centimctros Sll Pj)lemcnlares que se penlcm pelas dcsf'gllaldadc~ dos tcrrenos (fig. 5).. Synapse. MIIltipl08. l. dCCllmatro hectometre Idlometro. 10 mlllres 100 metros 1000 metros. m)'rillmetro. 10000 metros. Unida(/e pl'incipal M~~:;> e(32C:s'm:/~e~;= mos da Iinhll.). Sub-. I dec;metro centimetre. IIIU/liP(081.. mil/imetro. Mudam;a de unidsde. -. unidade linear colJoca-se. ;l. Om,1 Om,01 o m, 001. Para mudar de yirgula enlre dais. www.hedumat.uff.br.

(27) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática - 31 -. algnrislllos quaesquer, tendo cOllltudo 0 cui· dado dc, a direila do algarismo que fica antes da \·irgula. indicar abrcYiadamente 0 Illultiplo ou sllbmultiplo tomado por unidadc.. Exemplos :. 346m,583. pode ser escripto das seguintes maneiras ;. 34 Om, 6583 3465dm,83. 3Hm,46583 34658cm,3. on ainda :. 346583mm o 1l11lllcro 83274 Ill, 156 pode ser escripto dos scguinlcs modos ;. •0 •. 0;. •. ~. ". "0 0. E. "0. ';:. .§ :;;;. 0. ". E. 8 8. •0. E. §. "2. •. ~. E 0 0. •. ~. •0. • •0 ~. •. 0. '" '" ';:;i-" ."E" "5 '~s '"0. OJ. 3 7 4m, 3 2 7Dm,4 8 3 2Hm,7 4 8 3Km,2 7 4 8)'lm.3 2 7 4 8 3 2 7 4 8 3 2 7 4 8 3 7 2 4. 0. "1. 0. 5 5 5 1 5 5 1 1dm•.5 Scm. 5. 1 1. www.hedumat.uff.br. 6 6 6 6 6 6 6 6mm. •.

(28) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. lU..didn!"i itinernrlas Assim 5(' dellomin:llll as que ser"CllJ para a"aliHr as gn1l1dcs dist::lllcias lias eslrad<ls de rodagcllI, cnminhos de ferro, canaes, alamcdns, linll:ls lelephonicas, clc. .-\. lInidade principal C 0 kilome/ro (Km), com IIIll multiplo: 0 myriamet,·o CUm) e lim submulliplo : 0 hectometro (Hm). Em varias paizcs encontrum-sc n~IS esll'adas,. KILOMETRO.. Fq,;.. ~. Fig. 1.. mal'cos (fig. 6) indicando os kilomctros e os hectometros (fig. 7). As distancias tambem se a"aliam em IeIJuas, milhas, IIOS. A lCglla terrestre e a 25. a parle de 11m grao e equivale a 4444 metros OLI Ilwis gcralmcntc conhecida com 0 "alar de .. Kill. A legllQ maritima Oll /feographica c a 20,parle de mil grao e equivale a 5553 Ill, 3;-) (3 mil has). A milha maritima e n tCl'l,:a parte dn legua maritima c equiv<llc pois a 1851 m,85. www.hedumat.uff.br.

(29) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. -. 33-. A \'cloeidadc dos \,llP0I'CS avalin-sc pOl' miII111S 011 IIOS: () Ill) cquhale a 15m,43 islo e, j 1 120 da milha maritima. :\ legua de sesmQria ou brasifeira mede 6.600 metros.. l1Ietildas de superllele MediI' uma superficie e dclcrmi1l3r quanlo$ metros qua(h'ados, ou seus Illultiplos e suhllluHiplos contcill cssa superficie. As medid3s de superficie sel'vern para a~ali3r a extensao de duas dimcnsocs : cornprimento e Im'gum j s:io de tres espccies : Medidas de 8uperfieie propriamente ditas. Medidaa topograpbieaa. Medidas agrarias.. A lInidadc principal das medidas de superficie comet,-oquod.-ado, islo C, um qlwdrado cujo, lado mcde um melro de comprimento. Abrcviadaillenle reprcsenla-sc. METRO QUADRADO,. po.-mq Exeroplo : Scis metros quadrados ;. 6 mq. ou. 6mq. www.hedumat.uff.br.

(30) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. -. 34-. Os Illultiplos do metro qlladrado sao: Decametl'O quadrado (Om,!) de 10 metros de lado. :J:Iectometro quadrado (Hmq) de 100 metros de lado. Kilometro quadrado (Kmq) de 1000 metros de lado. Myriametro quadrado (~lmq) de 10000 metros de lado.. urn quadrado um quadrado um quadrado um quadrado. c as submultiplos : Decimetro quadrado (dmq) - um quadrado de um decimetro de lado. Centirnetro quadrado (l'm'l) ~ urn quadrado daunl centimetro de lado(fiA". 8). Millimetro quadrado \ffinllil - um qua· drado de urn millimetro de lado. Fi~. 8.. o. Todns cslns medidlls slio jiclicias. Qmmdo qucl"C'!l1oS avnliar snpel'licic de llIua sala l'l'danj.(uhH'. par (,xclllplo. Illcdimos 0 ('ompl'iillelllo C dcpois a lu\'gura, Illultiplicamos enlre si as duas Illedidas lineares e oblcmos a meelida de sl1pcl'fide. Exemplo ; So uma salo rectongular mcde 5 melros de comprimonlQ e 4 metros de la\'gurn, a sua iirca (snperficie limitadn) e de. a. 4x5=20 metros qllndrados. Toelns as unidades de superficie siio quadrados cujos lados s{\o de 10 em 10 vczes Illniores au mCllorcs; elias portanlo crcscen) all decrescem na rnziio centupla, isto e, de 100 em 100. www.hedumat.uff.br.

(31) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. -MAssim, 0 metro quadrado que mede 10 dcci· 1111.'tr05 de Indo. equiYale a 10 X 10 Oll 100 de-. dllletros C]uadrados.. o dl'cilUl'lro quadrado que Illcdc to cenlime- • lro~. lil' luclo. l'quinlll' n IOXl0. Qll. 100 centi-. mdro!l qllllcirados.. () l'I'nlillll'tro qlludrado que mede 10 millillll'lrn!l eh- Indo. cqui\'ale a 10 X 10 ou 100 millillldl'o!l Cjuudrados. c. porlanlo : () mell'o quadrado equi\'alendo n lOOdmq, !'ll"i"ale a lOOOOcmq e a 1000ooo de mmq.. Synapse 10 mq.. decflmelro quadrado hectometro quadrado kilometro quadrfldo myriilmetro quadrado. Mull/pIUS. 100 mq. 1000 mq. 10000 mq.. UI/lt/arlo PI'illCiptlJ METRO QUAORADO (urn quadrado de urn metro de !lIdo) SlIblllllftlpl03. l. dec/metro quadrado. 0 mq, 01. centime/ro quadrado mllllmetro quadrado. 0 mq, 0001 0 mq, 0‫סס‬oo1. Connim naO confundir 0 dmq, 0 cmq, 0 "1/11-1 {'om a decima. a centesima, a millesima p:lrlc do melro {IUadrado. porqllc sendo os prilllciros 100 \'CZCS, 10.000 \·czcs c 1.000.000 www.hedumat.uff.br.

(32) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. - ande \'CZCS lllcnores quc 0 mctro qlla(\rndo. as segundas S:IO sOlllcnlc 10 \'CZl'S. 100 wzes c 1.000 vezcs menores. Ka figura 9 sc ab fosse cgn:lI a um mclro, abed seria a decima parle do metro quadmdo, ae seria egual a lim dccimctro e alee seria Illn decim('tro quadrado 011 a centcsima parle do metro quadl'a~ I do. A decima parte do metro qnadrado cquivalc a 10 dmq. Fl~. 9 A ecnlesima par-. °. , ,. I. te do metro quadrado equh'ulc a 100emq. A miJIesima pnrle do melro quudrado a l000mmq.. Ii. Synopse. 1. 100 dmq 10.000 cmq 1.000.000 mmq. IRQ. 1/10. 10 tlmq. do mQ. 1 100 do mq 1/1000 do mq. ='. www.hedumat.uff.br. 100 cmq 1000 fIImq.

(33) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. Toma-sc 0 metl'o quadr::-r1o para unidalic df sllperlicie quando Sl' quer fwaliar Imbalhos de m:lrel,'llaria, carpintaria, pinturas, locali~\ocs dl' CAsas, fOrrlH;:'IO dl' pnl"{'dcs, areas dcjardins, quinlacs, pl'qUl'1l0S pnnlucs, () cmq t'llllll't'J(tl-Sl' como unidade quando sc /1111'1' llyuliul' Ill'(Ill('lIas superficies como uma !l'llhn cit' pllpl'1 au clul<10. laminas de marfilU, cll' prllifi. de vidro, de nickel, de madrcperola, Ill' fl'ITO, de ouro, etc. ~Ic"hlas. tOlmgl'aplthms. As mcdidas que sen'em para ayaliar as superficies, como a de lim disll'icto, de 11m Estado, de um paiz, deuominam-se (lJpographicas, ~randes. A unidnde das medidas topogl'aphicAs C 0 lii/omelro quadrado (Kl1Iq) que c um qlladrado de um kilomelro de lado, Os submulliplos do ki-. KILOMETRO QUADRADO. o hectomelro. lomelro quadrado Mia. quath'ado hcclomell'O de Jado, o dt!C<1lllelro qlladrado (Dmq) -. «Iladrado d(' um decamelro de lado.. de. qllodrado (Hmq). Illll. www.hedumat.uff.br. •.

(34) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -::tg-. • ". --------------, :synopse. UII/da.da PI'iIlO/pal das das tOpOgraplllC88. Subll/ultip/os \ Hmq. 1. Dmq. wedl-I Kmq10000 = 100 Hmq = Dmq = 1.000000 mq. = tOO Dmq = = :100. 10000 mq. mq. I. Exemplos : A superficie do DisLriclo Federal C de 1.116 Kmq. 000593. A ftrea do Eslado de Matta Grosso e de 1.435.895 Kmq.. Medidas agr....los As Il1cdidas 'que scrvCIl1 para avaliar as superficies de grandes jardins. grandes parques, prudos. silios, bosqucs, campos de culllll'u au de Cl'iUlt"io. pomares, vinhedos, mathiS, clc., chamum-sc agrarias. A unidade principal das mcdidns agral'ins c o dl'eo (1) que Ii lIln quadl"3do de 10 metros de lado c que porlanlo teln uma sllJlcrficie de 10 X 10. AREO.. = 100 metros quadrados. III ,Ir",,,, ~. m. {arilhm.l medldll ..c;tarill de sur,,~rflde, 110 ~~-4"rnll ml'!rico; equinllenle ~ urn qu.odrarlo dc 10 metro, de lado {tOO m~J. II Do lal. area. S. - A forma _are ». qoe ~" u,o, Ii c6pill ~cr\"il do frallCl!~. A outra - _ aro _ tern dou~ illcon,-~n;"nlo:~ : c"nf"lllde-~c com .Iyo {nunel, 0 trunea a raiz do "ub~tlnll\"(, tnUllO, Il'ullde prlr eedc. Digomos pais areo, c da Ol,smo fOfllla O~ eompr",t,,~ hcc/areo II cenfHlreo. Dr. n"wlz G"I.\".i.o.. www.hedumat.uff.br.

(35) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -3\1-. Abrcviadamente empl'cga-sc um dien\'. 0. a para in._. dreo.. Exemplo : Cincocnla e seis (j,·eos.. 56a 56a. II. ou. o unico 'llultiplo do dreo e 0 Ilecld/'eo (Ha) que c urn <Juadrado de 100 III de lado e Jlortanto de l0000mq de supcrficie. o unieo submultiplo do dreo e 0 cell/idreo (en) que Cum qU:HlnHlo de 1II11 motro de lado. Exemplos : Plantei 4 Ha de feijiio; 0 sHio do Sr. David tern 6Ha 23a 7ca de superficie. Synopse Unldade prinCipal das mOOidas agrarlas ). ARED = iOO centi<l_ reos = ioo mq = c~ntesima parte do hoctllreo.. MlIllipIO.. HectAreo=1.00 11= iOOOO mq = i Hmq S/lblllll/lipIO.. Centilireo 1 mq centesima parle. =. do <l.reo.. =. Todas as unidadcs de superficie siio de 100 em 100 vczes maiores 0\1 mCllorcs; cmpregalHsc portanto dois algarismos para n!Pl'cSenlar os lnultiplos e os submultiplos dn unidade prinCi(l3\. www.hedumat.uff.br.

(36) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. -. Exemplos :. 40-. 642mq, 8436~. h~-s(':. a) - 642mq 84dmq 36cmq 20lllmq, b) - 642mq 843620mmq. c) -. 642 843 620 mmq.. a) -. 4 Kmq 18 Hmq 36 Dmq 40111'1_ 4Kmq 183640mq, 4 183 640tnq.. 4Kmq.18364 1<-,<. b) c) -. 1384 •. 12 le-" , a) -. 1384a 12ca, b)- 13Ha84a 12ca. c) - 138 412ca,. 6H•. 163 a) b) -. I<-sc'. 6Ha 16a 30ca, 61 630ca,. REGRA. - a) Pal'a se enunciar um numero que exprime ullidades de superflcie,le-se 1-1'inleiro a parte inteira e em seguida a pal'te decimal pOl' grupos de dois algal'ismos dando-se a cada grupo 0 llOme da wlidade que eUe representa, Be 0 ultimo grupo .9 direUa 56 tiver um algarismo, completa-se com um zero, b) Le-se a pal'te illteira e depois toda. a parte decimal dando-se a aenomina~iio ao ultimo gl'UpO 8: direita, e se este grupo riv.u·. www.hedumat.uff.br.

(37) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -\1-. so 81garismo, B.ccrescenfa·se-lhe um. um '~el'O.. c) Lfj·se todo a 1l1lmel'0 como se fosse illteiro c dn-se 11 denomillB.t;lio do ultimo grupo Ii dircita: se f6r incompleto esse ultimo grupo. lljlllltll.sc·lho um zero. Modo de escrever um numero exprlmlndo superfIcies. J::X{llllJl!oa : 1G mil 476263 mmq esuevem·s! 311lq 542cmq JJ 20 IIlCI61 Illmq )/ 511a 15ca » 1811a2ca ». 16 1ll'l,476263 3mq,0542 20 mq,OOOO61 51Ia,0015 18 J-Ia,0002. REGRA. - Para escrever urn lJUmero ex· primiIJdo superficies, representll-se prinlciro a parte illteira, seguida ds denomi1l8CaO rcspectiva; depois os submultiplos, empre· gnndo-se dois slgarismos para cadll 1111id8de seclllldaria. Quando 11aO for menciolltldo lIm grupo, collocom-se zeros em seu logar, /'fludanl;a de unldade. Problema 1. - Quantos centimetros quadrados valem 8mq,642?. Haciocinio 0 metro quadrado valendo 10000 cmq, desloca-se a \"irgliia para a direila quatro cusas rlecimaes e porlanlo : 8111<{,542 = 85420cmq. www.hedumat.uff.br.

(38) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. -HProblema 2. -. Converter 146 mq em areos.. Haeiocinio. o mctro. quadrado sendo eguni. n 1 ca.; 146 mq ser50 eguacs a 146 ea ou. 13,46 Cll. Medidas das princlpaes superllcies. Ayalia-se a superJlcie ou ttrca de lllll rcctallgu!o. mlllliplicando-sc ,en eomp,;me,,'o pel" llHllra (largllra): 1Il~ didos. ambos, com a mcsllla unidllde (fig. 10).. RECTANGULO.. Problema 8. - Qual a area de urn rectan5,52 gulo de Sm,52 3,90 decomprlmen· - - - - - to por 3 m, 90 4968 de largura7. Fig. 10.. 1656. Mulliplicando-sc 5 m.52 por 3m,90 rcsulta 21 mq.5280. reclangulo tern 21 Illq 5280 emq de area.. 21.5280. o. Problema 4. - Quantos hectareos tem um campo rectangular de 146 m. de comprlmento por 83 m, 60 de largura 7 83,60. 1\Iultiplicando-se 146 Ill. por 83m.60 rcsulla ; 12205mq.60 con\"crlcndo-sc 12205 Illq. 60 em hectul'C'OS ohlem-sc 1 Ha 22a 5ea,60. www.hedumat.uff.br. 146 5016 3344 836 12205,60.

(39) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática - i3Problen'll 5. - Se um QuIntal rectangular tem 150 Jllq,40 de area e 8 m. de larguraj Qual! 0 seu comprlmento?. Di\'idindo-se 150 m,40 par 8 III tCIl1-SC 18111,80 que C 0 comprilllC'llto do quintal. REiGRA. - QU8Ildo se conhece a area de um rectangulo e uma de suas dimensoes, scha-se facilmel1te a outrs dimensiio, dil'idindo-se a aroa pela dimensiio conhecida.. D. Problemn 6. - Qual a area de um lerrat,;:o quadrado cuJo tado mede 6 m, 50 de comprfmento?. Scndo. 0. qllodrado urn rcctanglllo clIjos lados. QUADRADO.. Sao cgua", as dimcnsoes dadas para sc aellar a are& dcsse rcc- Fig. langulo soia lambcm eguaes, e pOl·tanto : 5m,50X5m.50= 30mq,25.. II.. P,'oblema 7. - Um cannavlat tem a fOrma quadrada e um de seus lados mede 85 m. de eXlensilo. Qual a eXlensio desse cannavial em .1reos?. 85 85 425 680 7225. i\llIltiplicando-sc 85 m. pOl' si mesmo, I'cslIlta :. 85 X 85 = 7225 mq ou redu7.idos a areas:. 723,25ca.. Para so obter a .Rr~a de um quadl'ado, multiplie8-se 0 comprimento de um de seus lados por si meSIlla. REGRA. _. www.hedumat.uff.br.

(40) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -·IA -. o parallelogrammo C t:tjui\"all'1l1c. PARALLELO, GRAMMO.. a. Illll I'CC-. langulo da mesma base c cia JllCSIlHI allura.. Problema 8. ~ Uma 16tha de papel da f6rma de um paraUelogrammo mede 33 centimetros de compri_. : I I:'. r------7. mento e 22 centlmetros de largura{alturalj qual e a sua <1rea?. .. L_-'-. °. :'\Illltlplicancio-sc 9ompllmento (base). -'. pcla Ial'gura (altura). FIJI:. 12. oblem-se 33 X 22 = 726 cenlimetl'os dos ou 7 dmq;26.. qtladra~. A l."trea de Ulll pal'allclogramlllo IS egual ao pl'oduclo de sua base pOl' sua altura.. Qualqncr triangulo p6dc sel' sempre consi~ derado como a melade dc nm ,'cclungn]o on dc 11m pUl'ullclogl'UmlllO tin. TRIANGULO.. Illcsma base e da mesma. altUL11'U' I. Problema 9. - Quat a area de um trlangulo de 42 m. de base e 12 m. de altura?. A area dcssc triallgulo. ea. : • \. ~'11l. 13.. mctade do produc!o de : 42 X 12 au. 42x 12. - - 2 - = 257mq.. www.hedumat.uff.br.

(41) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -4.5-. A arca dc nm triangnlo en lllct::lde do produclo dn base pcb altura. Problema 10 _ Qual a area de um pomar da 16rma de urn trapezlo cuJas bases. TRAPEZIO.. I' \. medem respectlvarnente 96m,80 e 52m,65j e a rnenor. dlstancla entre estas bases (altura) 40m,20?. •. Sommam-sc as duas : bases c depois toma-se L __· . a mctnde destn somma:. ....1 FIj:.14.. 96,80 ~ 52,65 ~ 14;45 = 74,725 e multiplica-se este resull::ldo pcla medidn da nltura : 74,725 X 40,20 = 3003 mCl, 9450 ou 30n. 3ca,9450. Para se avaliar a ;.irea de um trapezio so lllmam-sc <IS bases.toma-se-lhc a Illcladc e Illultiplica-sc 0 quocicnte pela altura. Problemll 11. _. Qual a area de um nickel de 400 rels, sabendo-. CIRCULO... quo ••Iom",.. e de 30 mlUlmelros?. Sendo 0 diamelro egual a dois raios. 0 raia desse nickel mede 15 111m c. como a arcn. de um cirCfjlo e egual a 3.1416 (I'ela~ao entre a circumferencia e a diamelro) multipliwww.hedumat.uff.br.

(42) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -~f;. _. carln pclo quadrado do ndo, scgllp.-se qtl~ 11 area do nickel de 400 rcis e :. 3.1416 X 15' = 3,1416 X 15 X 15 = 706 mmq,86.. Chama-se Co'po, ludo que occupa tim determinado logar no espa~o. "o/Ilme de 11m corpo C 0 logar que elle oc(,!lpa no espru;o: As mcdidas de "ohmlC seryem para a\'aliar a ('xlclls;io sob Ires dimensocs: comprimenlo, Jal'gura c allllra O,lI profundidade. A altul'a au profundidadc, algumas \'ezcs. recebc a nome de eSpCSSIlI'f1 : a eSpCSSlll'U de tim cadern a j U espessura de Ulna labon.. METRO CUBICO.. A unidnde pl'ill-. c;pnl <I" "'"];d,,. de yo)umc c 0 metro cllbico, que e llm cuba cujas arcsin:; tem, cada uma, UIll metro de comprimclllo. Abreviadamenle represenla·se pOl'. Ille. Exemplo : Doze metros cubicos :. 12 mc 12mc ou. MediI'. 0. volume de. lIIll COl'Jfo. www.hedumat.uff.br. l' dctl'rlllina;'.

(43) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática - 11-. qmltllos metros cllbico,~ ou sew. multiplos e submultiplos cllc content. Os llIulliplos do me/rQ cubicQ sf.o : Decametro cubico (Om,,) -:- um cuba de fO metros de aresta. Hectometro cubico (Hmc) - urn cuba de fOO metros de aresta. Kilometro cubico (ri:mc) - um cubo de 1000 metros de aresta. Myriametro cubico pfme} urn cuba de 10.000 metros de aresta.. Eslas denominac;Oes nao sao enlrelanlo lIsadas e, em logar de decnmelro cubico, se diz 10 metros cllhicos, etc. Os snhmnlliplos do metro cubico siio :. OJ. Declrnetro cubico (dmcl - urn cuba de urn decimetro de aresta, Centimetro cubico (cmc)-um cuba de urn centimetro de aresw.. (fig_ 16). Millimetro oubico (mmc) - urn cube Fig. 16de um millimetre de aresta... As llllicl:ulcs de yolume ~io, como "imos, cubos CUjllS arC51as crcscem ou decrcscem de 10 till 10. Elias StlO dc 1.000 CIll 1.000 vexes maion's 011 IllCllOl-es. Exemplo : 0 decimclro cubico quc e urn cubo de um dccimclro de an-'Sta, lem lim www.hedumat.uff.br.

(44) Grupo de Pesquisa História Matemática - \e8Educação -. volullle l.OUO "czes mellor do que ('·.hieo.. 0. (10 metro. o. metro cubico vale 1000 drne. o decimetro cubico vale 1000 erne. o centimetro cubico vale 1000 rnrnc.. o metro Cllbico valenclo 1.000 decimelros cubicos, yale: 1000 X 1000 OU 1000000 de centimetro8. eubieos. iOOO X. 1000000 ou. 10000ooo00 de mil-. limetr08 cubico8. COll\'em niio confllndir 0 dlllC, 0 CIIIC, e 0 mlllc COlli a decimH, ccntcsiuw. millesim:l parle do mclro cubico os primciros s,io conliclos 1.000, 1.000.000' de vezes, 1.000.000.000 de yczes no metro eubico; 30 passo que :15 scgundas sao COiltid as no me[ro cubico 10, 100 e 1.000 ,'czcs 50mcnle.. f-/-'.-i_-----('/. Assim a 10' parto do metro cublco vale 100 decime_ FIt: 17. tr08 cubic08. a 1003 parte do metro cubico vale 10000 contimeu'os cubicos.. www.hedumat.uff.br.

(45) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática --HI-. a 1000> parte do metro cubico vnle 1000000 de millimetros cubicos. Qtullldo se qller lIvaJim' os Il'abalhos de aterro, de lJcdl'ciros, as madeims de COIlSlruC~;IO, a fahl'icl\~;io de caixoes, blocm; de pcdrn. 0 contClldo de llIll l'cscrv3lorio, emprega-se 0 melro <ubico como nnidnde de mcdida.. Se os volumes sao pequellos, emprcgnse 0 dccimetro e 0 centimelro cllbico.. I III: l~.. Exemplos : Eslc jardim foi niwllado eom 21 metros cuhi('.os de b3n·o; IllIHl caixn de phosphol"os de 37 eme, 7,10 all 37.7,10 mille, Todas as medidas de volume silo flclicias : :n·aliam-se os volumes, Olultiplicaodo-se entre ~ si as Ires dimcnsocs de Bill objecto. As Illcdidas de volume scndo de 1000 em 1000 \'C'zes l1lniOl'Cs 011 lllcnOl'CS, S;1O prccisos tres nlgnl'ismos para representar os Ilmltiplos e os submultiplos dn unidade principal.. www.hedumat.uff.br.

(46) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. -:10-. 10='I. Synapse decametro hectometro lei/ornetfo myriarnetro. MullipfoS. eubjco eubieo eubico eubjeo. 100 ::: 1000 me.. 10000 me.. UIlidBd8 pril/cipal METRO CUB/CO (urn eubo. de urn. melro de are&ta). I. SlIblllUlliplOS. ). decimelro cubico eenlimetro cubico millimetro eubieo. 0 me, 001 0 me, 000001 0 me, OOOOOOOO!. Lellura de urn numero que exprime unldades de volume. 4. IHe,. 846308. la·se. i6. IIle,. i2. M-se. ° o. Ie·se. 4 eme,43. U!-ae. Ome,063 me,0005 rnC,OQ0013. le-se. Ie-se. 4. me 846 dllll' 308 crne. 4 rnr. 846308 COle. 4846308 Cftll':. i6 me i20 dUll':. i6120 dme. 63 drne. 500 cme. i3 cme, 4. erne 430 mUll;. 4430 mmr.. REGRA. - Para se Jer um numero que exprime unidades de volume, Je-se primeiro a parte inteira, depois a parte decimal pOl' grupos de 3 aIgarismos e dli-se s cada grupo o nome ds unidade que elIe represeuts, sssim : 0 1 u grupo de tres aIgsl'ismos depois. www.hedumat.uff.br.

(47) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -. ;")1-. dn virgllln e dos decimetros cllbicos; 0 2~ grupo e dos centimetl'oS cubicos; 0 30 grupo e 0 dos miIIimetros cubicos. Se 0 ultimo gnlpo so tiver um ou dais algarismos, completa·se par dais ou um zero. Le-se tambem como se [osse urn numero inteiro dll-IJdo-se a denomina9ao do ultimo grupo.lii direita; ou elltso por grupos dando a delJOmina9ii.o de cada um. Modo de escrever um numero que representa unldades de volume 6mc 643 dmc 624 cmc 831 mme escreve·se: 6 me, 64362483t 6643u11IC,62483t 6643624 elllc, 83t 14 rllc 261llllc 8cmc escreve·se. t4r1lC,026008. 124 me 12 romc. 12lj, l1lr,0000i2. 62 me, 2 limG 9 Gmc. 62 me, 002009. 34dmG. o mil, 034. 1846 CIllC. OmC,001846. REGRA, - Para se escrever um numero que exprime unidades de volume, escrevese primeiro a parte inteirll com 0 nome da unidade principal e em seguida os submulti· plos empregando-se unJ grupo de tres algarismos para cada submultiplo. Gompletamse os grupos por um zero ou por dais se hOUl'er necessidade. Gada subnlUltiplo que. www.hedumat.uff.br.

(48) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática nao [6r mellciollado .sel'R J·epl'c.selltado por 3 zeJ·os. P"oblema 12. ~ Converter 9468263 eme. em metros cublcos.. Sc 0 mctro cubico yalc 1.000.000 dc cenlimelros cubicos. baslarri. para sc ohler a con\'ersao pcdida. Illudar a \'irgula 6 casas (dais grupos) para a esquerda : 9468263 CIllC _ 9 mc. 468263. Problema 13, cubleos.. Converter 142 cmc. em metros. Pela mesma l'3.zao do problema 3nlecedenle. dCVClllOS mud.ar a virgulu 6 casas para a csqucl'dn, porclll como falta 0 gl'llpO dos dccimetl'OS cnbicos, colJocal'emos 3 ZCl'OS anlcs dc 142 e f1cani assim : 142cn~ =. Omc.000142.. Problema 14. - Q,uantos declmetros cUbicos valern 8mc,462943?. Yalcndo. 0. mctro cubico 1.000 decimetros. cllhicos, 8 illc.462943 = 8462 dmc. 943. Medldas dos prlnelpaes volumes Problema 15. - Qual 0 volume de uma c.alxinha de chocolate que mede 73 mlHlmetros de compr'. mento. 40 mlttimetros de largura, e 12 mHllmelros de allura?. www.hedumat.uff.br.

(49) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. Selldo 0 \"olulIle de mil pal-allelepipedo rectt1llgulo cgual ao producto de SIlas Ires dimensOes, e lendo 3 cnixinha n farma de um parallclepipcdo rectangulo, 0 sell \"olumc sera egual a :. PARALLELEPIPEDO RECTANGULO.. 73 X 40 X 12 = 35.040 mille Oll 35cmc,040.. Quando se conhece a ;irca da base, para se obler a \"0IUlllc basta muHiplicar a area pela altura. ,.·Il:. 19. Problema 16. _ Que volume tem uma calxa de charutos cula base tem uma <irea de 1dmq,6182; sendo a altura de 28 mm.?. Mulliplica-sc a arca <la base pela altura e obtcm-se. 1 dmq, 6182X28millimetros= 453cl1lc.096. Problema 17. _ Qual 0 volume de um btocode pe· dra cublco cula aresta mede 1 m, 357. Scndo. 0. Cllbo um prtrallclepi-. pedo rcctungulo em que 0 comprimcnto, 3 largura e a altura "-l~. '31. ~fio cguaes, baslara, para se 3valiar 0 "ohnne de um objecto cubico, Illultiplicar Ires vczcs. CUBO.. www.hedumat.uff.br.

(50) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -5t-. 1pOl'. si mesilla soes, assim :. <l. mcdida de Ulna lias dil1lcn-. 1 tn.3S X 1 1ll,35X 1 Ill, 35 = 2 lllc,460375.. o "olulIle do. bloeo de pcdra 2 mc,460375.. c de. QU:Hldo se espalha em uma supcrficic. qual. qllcr quantidade de arein, pcdras, term, cs[fuille tendo a llle$ma cspeSSlIl"a, 0 volume desta eamada e cgual a nrea do terrcno multiplicatla pela altura. Problema 18. - Em urn terreno de 54 areos espa· lhou·se uma camada de arela tina da espessura de 4 centlmetros. Quat e 0 volume dessa arela?. COllverlamos primeiro 54 arcas cm metros quadrados 54 a. = 5400 Illq.. e muHipliquclllos 5400 par 4 ccntimclros ou OTll,04 : 5400 X 0,04 = 216 mc.. o "OhllllC. dc tUll cylilldl"o C egllnl ao pro-. due(o cia :.irNI da basc pOl'. CYLINDRO. "'" nih",.. Problem(l, HI. lume de um lapis cyllndrlco, cuJa. Para " a,".,lill~·~u d(' \olllme~ 03 vCOl!ltlria de Ola,·" FRJ:Illi:,. Qual 0 vo·" base mede. \.. ~a-"· mal~ drlallJatiamlule cllJ'lttulo XIX.. www.hedumat.uff.br.

(51) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática - 554 mllUmetros de ralo. e cuJa altura (comprlmento. do lapis) e de 173mm,? A area da base. e, eguul. n. 3,1416X4X4= 50 mlll'l, 2656 co ,'olulllc e porlanlo:. 50.2656 X 173 ~ '8695 nuuc, 948800. A lI11idade principal para a a\'alia«;ao de "o~ !tlmcs de madcims, em gCl'al, e de lenh. C 0 e,/Creo (1). eslereo C 1lI11 volume de um metl'O ellhico; s6 tCIll um Illlllliplo, 0 decas~ lereo quc cql1ivalc a 10 cslcl'cos Oll 10 mctl'OS cubicos; (' lim sllbumlliplo, decistereo que I.Lcql1i,ralcnte a decima padc do estcreo ou a 100 decimclros Cll~ Fig. ~l. bieDs.. ESTEREO.. o. °. ---. III t:"~tPO. ~, m. larithm. me,lida d.. "olume pllm madeira~. e'lui\al<'lltu a um metro ~ubico, . I~ e t'uvh. + ,;T>;IlE"'~ solido. N. - E mal rorlDado eslere, que ee :vh'l nog dlctlonario~ portul.:u~~e,.. ,\'(>('ilbuillrio. pllhl\r.,~. orlh02raphieo e pro~odito da-< dcrindas <la lingua grega pclo n~.. el~-mologieo,. I'ortul.:ue~a~. D,·I'. HA)llZ. GAL\-~OJ.. www.hedumat.uff.br.

(52) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -:)6-. Silo medid:ls reaes para lenha, 0 estereo 'cst; o duplo es/ereo que 5.-10 dais estcl'cos e cquivalc n 2 metro!> cllbicos; a meiodecaslereo q lie cquivale a 5 eslcreos 011 5 mc~11'. ~ tros cubicos. o estb-eo e urn cubo de UIll mctro de nresta au a porc:fio tic nwdeira ou lenba que tcnhn 11111 . mctro dc altum, um mctro de largura, tcndo a m,Hlcira 011 a lenha lim metro de comllrimcnlo. Esta ultima dimensi'io ,·aria olUito e na pratiea, augmen!;.!sc Oll diminucsc a uHur:! cia med ida dc sOfie Fi b _N - ESTEREO = I metro cubl...,. qne 0 produclo das Ires dimcnso('s seja sempre 1 Illctro cllhico ou um estereo. No Brasil nilo c usada csta mcdida : vende-sc a lcuhu em feixes muis all menos irrcglltm'cs; 16 fcixes formam uma talha, Em algumas eidades cntrclanlo j,i \'clldclll a Ienha aos tocos (pCdH~OS dc 3 cl'lltimetros mais .011 mcnos' e aos milhciro!>, ;, milheiros Oll menos; Y('JH!('-S(' tamhcm as ~chas (pcda~·os dc 1 lllctro Oil mCllQS lIns ;) cenlimclros), www.hedumat.uff.br.

(53) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -!':I7 -. Synapse MuJlipIO.. Dtlcastl!reo (Osl). 10 esl. Unidade prinCipal. SfllJl/lullipfo.. ESTEREO (est). 1 rnr.. Decistllreo (ds!). 06ft;1. Pl'oblemR 20. _ Urn negoctante comprou u Tla pllha de lenha da fOrma de um paraUeleplpedo re ;Iangulo, medlndo 6 metros de cornprlmento, 4m,51J de altura e 4 m,60 de largura. Pede·se 0 valor desta pllha sabendo·se que cada estereo 101 vendldo a 12$000.. Calculemos primeiro 0 volume desta pilha de Icnhu 6m X 4111,50 X 4m,60 = 124mc,200 que, cOllverlido em cslcreos, <Iii 124est,2 sc IIlll estc~·eo foi vcndido pOl' 12$000; 124 csl, 2 foram "CiHlidos pOl' :. 124,2 X 12.000 ~Iedl(hlS. ~. 1 :490S400. de caltachlatle. As medidas de capacidade sen'em para amliar as por~6es de liquidus, como a :lgua, a vinho, 0 oleo, a cel'veja, a !cile; gl':ios, como 0 milho,.o trigo, 0 feijao, 0 arroz, as lentilhas, as fawls; as farinhas. A llilidadc princif)al das lllcdi<las de eapacidode e 0 li/ro que cCjllivale ao conlclldo de lllll decimctro cubico.. LITRO.. www.hedumat.uff.br.

(54) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. -58-. Fig.. ~~,. - Urn Illro: lamallh(l natural.. www.hedumat.uff.br.

(55) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. - 59-. \-. C£~TI .. ut\O. CUIICO. FIg '!i. www.hedumat.uff.br.

(56) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -. (\0_.. OUPtO. TP. ~VPIO. MflO' OIC.U1RO. Of'IUT~O. O£CIUI~O. Cl"lIUlaIl. CI~~1PO. Fig. 30-37.. FIll:. ~~. IWO-UTRO OUI'lO O£C1UTIIO OtelUTIIO. HIIO. O[C1l"~O. www.hedumat.uff.br.

(57) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática ~tit. -. www.hedumat.uff.br.

(58) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. -. 6~-. Abrc\'iadamcnte represl'llla-se pOI" um Exemplo. Tres litros.. I. 31 31 Oll. Os lIlultiplos do ii/ro siio o Decalitro 1m) que vale 10 l. ou-10 dmc. o HectoUtro lHI) que vale 100 I. ou 100 dmc. o KUolitro {KI1 que vale 1000 l. ou iOOOdmc. ou i me.. e os submultiplos siio : o deeilitro (dl) que vale aiD' p31'te de um litro ou 100 erne. o eentilitro' (ell que vale D. 100' parte de urn litro ou 10 COle. o rniUilitro (1lI1· que vale a 1000a parte de urn litro ou 1 CIDC. Dc~~s. mcdidas su siio m;.adas commul11-. mente 0 iitro, 0 "<fetolitl'o c 0 decilitl'o.. A forma do ii/I'o C gcralmenle a de um eylindro na parte interior tendo exlcriol'lllcnlc f6rmas divcl'SHS, ,lssim as mcdidas para liquidos (leite, yinho. ::t7.citc) no commcrcio a ,·::trejo. tel1l ::t forma de uma caneC3; as mcdidas para oleos fig. 281; para lcitc llig. 29); para ,'inhos (fig. 30-37); as medidas pam liquidos no commercio pOl' alaC~l(lo (fig. 38-30) e as medidas para !'cccos (farinhas, gnlos, clc.) (Og. <10-43-4450-5t). www.hedumat.uff.br.

(59) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática - 63-. As mcdidns rcnes de cnpncirlnde silo: hectolitro " hectolitro duplo-decalitro decalitro ~ decalltro duplo-litro LITRO I litro duplo-deoilitro decilitro ~ decilitro duplo-centilitro centilitro. 100 litros. 50 litros. 20 lUros. 10 litros. 5 litros. 2 Iitros. 1 litro. 5 decllitros. 2 decilitros. 1 decilitro. 5 centililros. 2 centilitros. 1 centilitro.. o {ilro c n unidadc de mcdida no commercio a varcjo; 0 heclolitl'o c a unidade no commcrcio pOl' alacado C 0 decili/ro serve no pequeno commercio de liquidos. Synopse decillitro hectolitro kilo/itro. MullipfOS. 10 /;(1'0$ 100 litros 1000 litros. Ullidade principal LITRO (capacidade de urn decj·. SlIblllllllipfos. l. metro cubico) decilitro C611ti1itro millilitro. {) t, 1 "0 L, 01 o t, 001. www.hedumat.uff.br.

(60) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -64Leltura e escrlpta de oumeros que exprimem uoidades de capacldade Ncnhlllll:l difficuldadc olTcr('CClll a I('illlrn {' :'1 ('scripta das diff... rcllles llllida<lcs <las mcdida5'< de ·capacidl.lde porquc. sendo ell as de 10 elll 10 vczcs maiores all mCIlOl'es llllHIS d<ls Ollirns, cscrC\'elll-sc c Iecm-sc como as IlUJlleros decililacs.. Exemplos: Scis Iilros c vinIc e qlla-. 61.24. 11'0 ccnlililros. Trcs decalill'Os e cinco celllililt'O!L. 301,05. Oito hcclolitl'os c melo.. 8111.5. Conversao de lltros em metros cUblcos. Facilmen(c se cOllvcrlcm Iilros em melros cllbicos c vice-verSe), sc nos Iembral'll1os qllC:. o kilolitro vale 0 conteudo de um metro cubico. o litro vale 0 conteudo de mn decimetro cubico. o rnillilitro vale 0 conteudo de urn centirnetro cubico. Problema 21. - Converter 18 1, 50 em centlmetros cublcos. Scndo 18 1.50 egnnl a 18.500 1111.. 18 I, 50 scr:'10 egn<lcs a 18.500cmc. www.hedumat.uff.br.

(61) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -6;j-. Problema 22. - Converter 4501, 62 em declmetros cUblcos.. Se 1 lilra e eqniyalcntc a 1 decimetra cubica, 4501,62 SCl':IO equiY<.l]enle a 450 clIlH:, 620 CIllC. Problemll 23, tltros.. Converter 5 me, 8 dme. em hecto-. Senda 5 me, 8 dille cguaes a 5.008 dmc 5.008 lilros. serna cqninllenles a 50 III, OS.. 011. lUedldns dc I)C,",o Chama-se grQJlidade dos corpos a allrac~~la em virtu de da qllal lado 0 COI'pO tende a cair desde que csleja isolado no cspa<;o. Peso eo esfon;o com 0 qual 11m corpo tende a desccl' em virtude de sua gravidadc. 0 peso dcpcnde cia quantidade de materia que lUll corpo p6dc contcl'. As mcdidas de peso scrvcm para uwtliar u quuntidade dc materia que os corpos conlcem. A unidade principal de peso e 0 gramma \1) {I} (ir~mm~, s. m. (arilh. ""ldade de p~~o no systema meIrleo. 11 Pelo Jal. gramml, llis 0 eqeropulo, vern do gr.. nn"lIll.\. "ros.. ,V. - Como ~l'U8 eongencres (d. p"norenl,ll, diagramllla, problema, cle.), dc\'e scr IllIlSl'uliIlO esle subslonl;,"o e so lbe calle II desincnein II. E' dar.) qilP II Ille~mll re/::ra ,·i!lora para 0_ compo~los : (/QCil9Ta,mlln. IIP("/o!lt'llmma, elc., elc. lnr. 1l")l[Z G"nAo, op. ell.).. www.hedumat.uff.br. 3.

(62) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -. 61i-. que C 0 peso de lim cenlimetl'o clibico de agua chimic:lmcnte pura, islo C, dislillada na sua maxima densidade e no "aCtiO, nu temperatura de 4. gni.os ccntigrados.. GRAMMA. o. G',-amma. e um. peso constanle, e reprc-. scnla-se abreYiadamente por 11m. Exemplo : Tres g"ammas:. g. 3g 3g ou. Os mllltiplos do G',-amma sao; o decagraluma (Dg) que equivale a 10 grammas. .o hectogramma Illg-) que equlvale a :100 grammas. o kilogl'amma (I(g) que equivale a :1000 gl'ammas. o myl'iagramma (Mgj que equivale a 10000 grammas.. e os submultiplos do ljl-amma sao: o decigramma Idg) que equivale a 10~ parte do gramma. o centigramma (Cit) que equivale a 100· parte do gramma. o mllligramma (mg) que equivale a 1000~ parte do gramma.. A cxprcss:io kilogramma c gCI'l'llmenle substituida pOl' };i/o e ffiyriagramllHl pOl' de:;. kilos. www.hedumat.uff.br.

(63) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -. ti7-. O£CAGRAMl'1A. I'I", I. HECTDCIIAMMA. Fill·. www.hedumat.uff.br. ~,;..

(64) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -I". ~ --"""-'-,-_1 www.hedumat.uff.br.

(65) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática. Fig. 60. ~ ~.. Fig. 66. a ij~. 2 k,loq.. I ~i'.. '~,:",,21'. 'I. <. '.'". li~9' ~'ig,. >",'OOg' a;. ~ ~ L.-. 'ri"'O "'lio,C'Ii. 70 ;\ 79.. I' IlIiTfig,.. Fig.. eo. 200 gr.. , KiJogr~,,"m. Fig. 81. ~. 8$.. www.hedumat.uff.br.

(66) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -,'. -. MedJdas reaes de peso.. As llledidas reaes de peso diyidelll·sc elll tres series; Primeira scrie de:. 10 pt'!'!?S de ferl'O fundido,. 50Kg_ 20/(g--10Kg_5 Kg-2Kg-l /(g 500g ~ 200g ~ 100g _ 50g. Esle~ pesos kill a fOrma de llnw: pyramidc tnmeada de base rectangular para os de 50 e 20 Kg fig. 3Sj e de base hexagonal regular, para os oull'os (fig. 59-65).. ScgLluda serie 14 pesos gel'almcnle de latfio. de: , t. :. 20/(8 - 10Kg - 5Kg - 2Kg - 1 Kg 500g - 200g - 100g - 50g - 20g _ 109 5g - 2g - 1 g (fig_ 66-79)_. Estes pcsos tem a forma cyJindl'ka e ICl'mi113m un parte snperior POI' IIIlI pcgndor £In f6nna de UIll batao. Terceira serie : 9 pesos de lal:io, cobre ou aJulllinio, de ; 5dg-2dg-1dg-5~_2q_1~ 5 mg - 2 mg - 1 mg.. Estes pesos sao pequenas lamil13s de f6rma hexagonal; SCrvclll PUI'3 pes:lr joias, lUedic3www.hedumat.uff.br.

(67) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -il-. mentas, productos chimicos, pedros preciosas (fig. SO). ~as phannncias COlllO nas ouriYCS.1riuS, encoutWlll-SC lalllhCIlI pesos da fOrma de gadets. (fig. 81-89)c do peso de 11\g; 200g; i00g; 50 g; 2014; iDg; 5g; 2g; 1 g.. Estes peso:; slio commUllll1lCntc de laWa, mas os hn hnnbcm de ferro c cohre. Synapse d&ea8ramma. . MultiplOS. 10 grammas hecfogramma \ tOO IIrammas kilogramma (kilo) 1000 grammas myriagramma (10 Kg). 10000 grammas I. I. UII;(lade prlllOipal GRAMMA (peso de urn ctlntimetro cubico d'agull para). decigrllmma $lIbl/J/lltiplOS. 1. centigramma mll/Jgrllmrna. o g.. 1 Og,01 o g, 001. Unl<lade de medlda.. A unidadc mais gcrnll1lcnlc cmp('(>gada e 0 kilogrammn ou simplesmenlc 0 kilo como ntlgnrmen'te c conhecida a medida de 1000 ~ralll mas. DizClllOS; 4 kilos; 70 Jdlos; 7 kilos e llleio, ctc. .... Os droguislas, os phlll'lllaccuticos, os oudvcs, os chimicos lOlllum 0 gramma como ullidadc www.hedumat.uff.br.

(68) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática - 72-. de medida : 5 grammas de OUI'O; 1 gramllla de sulfalo de quillina; 0 g,25 de salol. Ko commercia par alacado tomom-se 100 kilognllnmas como unidade sob 0 nome de quill101 mtlrico ou simples mente quill/ai. Os grandes pesos, como c...trgas de navios, CaiTao de pedra, coke, se rwaJiam pOl' (olle. iada que e 0 peso equh'alentc a 1000 kilogl'amm:1S. Os diamantes e demais pedl'as preciosas avalinm-se Jlorquilatc. peso equivalcnlc a 205 mg,;).. Synapse .. UI/i(tades de met/ida. I. Ki/ogNimma Oll kilo, unidll.de mais geNIImente USlldll. GRAMMA, unidllde lIsadll pe/os ourives, drogllistlls, pharm.1c/Juticos, chimicos. Quintal melrico, peso de 100 Kg, usado no commercio por lI.tacado. Tone/ada, peso de 1000 Kg (carv/lo de pedra, cargas de navios, coke). Qui/ate, peso equivalente a 205 mg,S (pedras preciosas, pero/a:s).. o peso de urn corpo sendo uma quantidade, p6dc ser medido. c mediI' 0 peso de lim corpo C comparar esle corpo com outro tomado pOl' llnidade. www.hedumat.uff.br.

(69) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática -. i;J-. o apparclho por meio do qual se detennina o peso dos corpos, chama~se ba/<Il/fa. As ba/aJlfas mais usadas 5<.10 a balal/(;a ordinaria au commum, a ba/allfa horison tal ou de RoberJ'a/, a balallfQ I'omana, 0 haswlo ou bala1/fa de Quill/ell',. A halal/(a ordinaria (fig. 00) consta de mn lravessao movel equilibrado sobre Ullla columna melallica ,·ertie,ll que descan~a elll uma triJle~a. Esla colulllna apresenta na parle snperior lllll areo grndllado por dinille do qual oseillll com 0 Iravessao, llln ponlciro dcnoIllinndo fiel. Qunndo o fiel cslfl em zero, que fica no I1lcio do nrco, a barra ou travessao esla cm equilihrio. isto c, em posi9clO horizontal. A pnde movel compoe-se do lravcss:io tcnnil1:ldo por ganehos ou eslribos nos quaes se :leham as pratos on conchas. No Illcio do lravessao e que eshi 0 fiel. Uma boa balmlfo cleve scI' sensivel e exacla diz-se que ella e sensi,·cl quando 0 Iravcss{1O estando em equilibria, oscilla ao men or peso. BALANCAS.. www.hedumat.uff.br.

(70) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática ~(·l-. quc se colloqnc em lima de '<;l1a.<; conchas; (-' C exneta quando indica ficlmente 0 peso do COl'pO que sc descja conhec(-'r. r\ b:llallf<l hOl'ison/al lambem conhecida pOl' b<11all~a de Robt!ITal (fig. 91). sell inyen{or em 16iO. e 11m3 modifica~{lo .ela prcccdcnte. e d'ella differe principalmcnle pOl' leI' as conchas Illo\"eis. ~·ig. 91. sustenladas unicamente pOl' meio de discos Oll crllze~ horizontaes. Eshl posi\ao C Illuito commoda e pcnnitle. nas pesagens das vendas.a yarcjo. retirar a mercadoria com a propria concha qne a eontCm. A balallr;a de Roberval e eneontrada em quasi todos as artnazeus de varcjo. A balGm;:a "0m<l1IG (fig. n) (,OInp6e~se de 11111 travcssao Frll'_ r.. slIspenso pOI' 11m gancho Oll argola que 0 divide CIlI dais .lm.u;05 dC8eguac5. Do Iml~'o Illab em·to pentle lIlll gancho au uma concha deslinado a receber o ohjccto que <;e o('seja pCS<.'lI". Faz-se entio o equilihrio pOl' lUcia tic lUll peso constante que eSCO\T('ga ao tongo do bratro maior. E::>te www.hedumat.uff.br.

(71) Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática - 76-. Ilnico peso permille ny,llia\" 0 dos corpos os mai5 variados. o tr-.l\"cssao cstli. em eqnilibrio quando mantcm-SC em posil(tlo horisonlal.. o bJsculo Oll. balall~a. de. Quilltell,\ (fig. 93-94), nome. ~. --. ..::""-. -. de sell inventor, e ImuhcJll de hnwos dcsegnaes, os quacs eslao entre si co-. - --=.-",=,". lllO 1 para 10; e preciso, pOl"tanto, lllllUip!lCflf scmprc pOl' 10 os pesos collocatlos em urn pequeno eslrado sllspen50 pOl' «uiltro corrcntes fora do corpo du bahllu;a, qllanda::~c descja IeI' o peso do objecto que se deposita no grande estrado pOliCO ~Ie,'ado do chao. Se quizermos, www.hedumat.uff.br.