Correlações entre parâmetros de bulk da matéria nuclear para modelos hadrônicos em uma abordagem analítica (não relativística)

(1)

Correla¸

c˜

oes entre parˆ

ametros de bulk

da mat´

eria nuclear para modelos

hadrˆ

onicos em uma abordagem

anal´ıtica (n˜

ao relativ´ıstica)

Autor:

Bianca Martins Santos

Orientador:

Dr. Antˆ

onio Delfino Jr.

Tese apresentada ao curso de Pós-Gradua¸cão em F´ısica da Universidade Federal Fluminense como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de doutor em F´ısica.

´

Area: F´ısica Nuclear Departamento de F´ısica

Niter´oi - RJ 19 de mar¸co de 2015

(2)

(3)

(4)

“Porque dele, e por meio dele, e para ele são todas as coisas. A ele, pois, a glória eterna-mente. Amém!”

Romanos 11:36

(5)

Universidade Federal Fluminense

Resumo

Doutorado em F´ısica

Correla¸cões entre parâmetros de bulk da matéria nuclear para modelos hadrônicos em uma abordagem anal´ıtica (não relativ´ıstica)

por Bianca Martins Santos

Usando modelos hadrônicos FR-RMF (Finite-Range - Relativistic Mean-Field Models) es-tudamos várias propriedades de parâmetros de bulk para a matéria nuclear. Nosso interesse principal nesta investiga¸cão foi analisar as poss´ıveis correla¸cões entre tais parâmetros. Na busca de um melhor entendimento, optamos por fazer aproxima¸cões em tais modelos que nos per-mitissem obter de forma anal´ıtica os parâmetros de bulk analisados. Isto foi feito através de duas aproxima¸cões. Primeiro, o limite não relativ´ıstico (NR) dos modelos RMF. Segundo, a aproxima¸cão na qual a densidade escalar é aproximada como sendo igual à densidade vetorial, ρ = ρs. Ambas nos permitiram obter expressões anal´ıticas para os parâmetros de bulk e

investi-gar correla¸cões entre estes. Mostramos a existência de correla¸cão entre a energia de simetria (J ) e sua inclina¸cão (L), assim como entre a curvatura da energia de simetria ( Ksym) e L . Como

aplica¸cão de tais correla¸cões, constru´ımos v´ınculos para L e Ksym que são dois parâmetros

com grande incerteza na literatura. Identificamos pontos de cruzamentos nas curvas K(ρ) × ρ e L × ρ. Propomos uma rela¸cão entre tais pontos de cruzamento e as correla¸cões entre os parâmetros de bulk da matéria nuclear.

(6)

Universidade Federal Fluminense

Abstract

Doctorate in Physics

Correlation between nuclear matter bulk parameter for hadronics models in the analytical performace (nonrelativistic)

by Bianca Martins Santos

By using Finite-Range Relativistic Mean-Field Models (FR-RMF) we study nuclear matter bulk parameter properties. Correlations among such parameters were analysed in an analyti-cal perspective. In order to do that, we have performed two kinds of approximations. First, we approximate the scalar density to be equal to the vector density. Second, we perform a nonrelativistic (NR) limit of FR-RMF. With both approximations we have obtained analyti-cal expressions for several bulk parameters. With this, we present for the first time analytianalyti-cal correlations between the nuclear matter symmetry energy ( J ) versus its slope ( L ) as well as between the symmetry energy curvature ( Ksym) and L . As an application for such

correla-tions we propose constraints for L and Ksym, nowadays parameters with large uncertanties in

the literature. We have also identified cross-points in the curves K(ρ) × ρ and L × ρ. We conjecture the existence of a relation between such cross-points and the nuclear matter bulk parameter correlations.

(7)

Agradecimentos

• Agrade¸co primeiramente a Deus pelo dom da vida e pela oportunidade e privilégio da realiza¸cão de mais um objetivo. ”Bendirei ao Senhor em todo o tempo, o seu louvor estará continuamente na minha boca.”(Salmos 34:1)

• Agrade¸co ao meu esposo Carlos Eduardo, pelo amor e companheirismo dedicados durante esta jornada. Obrigada, por fazer parte da minha vida.

• Agrade¸co ao meu orientador Antônio Delfino por dedicar seu vasto conhecimento para minha forma¸cão profissional. Sou grata pelas discussões e pela ajuda irrestrita dispensadas durante todo este tempo. Receba meu sincero agradecimento.

• Agrade¸co aos colaboradores Odilon Louren¸co e Mariana Dutra pelas discuss˜oes e pela ajuda dispensadas durante todo este tempo. Obrigada.

• Em memória, agrade¸co ao meu pai Josué, a quem dedico esta tese, por não medir esfor¸cos em oferecer todo o apoio e ensinamento que me fez chegar até aqui. Aproveito para agradecer a minha mãe Sinhorinha que, juntamente com o meu pai, me educaram e me forneceram princ´ıpios que levarei durante a vida inteira. Obrigada por tudo que fizeram por mim.

• Agrade¸co ao meu irm˜ao Bruno por sempre estar presente e irrestritamente me ajudar em todos os momentos. Muito obrigada.

• Agrade¸co aos professores da Pós-Gradua¸cão de F´ısica da UFF que contribu´ıram para minha forma¸cão.

• Agrade¸co a todos os meus amigos pelo incentivo e ajuda necess´aria durante esta etapa.

• Agrade¸co à secretaria de Pós-Gradua¸cão do Instituto de F´ısica da UFF por todos os esclarecimentos e solicita¸cões atendidas.

• Agrade¸co aos alunos de Pós-Gradua¸cão em F´ısica da UFF por me proporcionarem uma boa convivência durante esta jornada.

• Agrade¸co ao suporte fornecido pela Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (CAPES) e ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnol´ogico (CNPq).

(8)

Sum´

ario

Resumo iv

Abstract v

Agradecimentos vi

Sum´ario vii

Lista de Figuras ix

Lista de Tabelas xi

Introdu¸c˜ao 1

1 Modelos Hadrˆonicos 5

1.1 Modelos Relativ´ısticos de Campo M´edio . . . 7

2 Limite n˜ao-relativ´ıstico 15 2.1 Equa¸c˜oes de estado para o limite NR . . . 23

3 Aproxima¸c˜ao ρ = ρs 30 3.1 Comportamento de algumas grandezas f´ısicas em fun¸c˜ao da densidade . . . 34

3.2 Energia de simetria para aproxima¸c˜ao ρ = ρs . . . 37

4 Correla¸c˜oes 40 4.1 Correla¸c˜ao entre J e L . . . 42

4.1.1 Limite n˜ao relativ´ıstico, NR . . . 42

4.1.2 FR-RMF, resultados exatos . . . 44

4.1.3 Aplica¸c˜ao da correla¸c˜ao L × J . . . 45

4.2 Correla¸c˜ao entre Ksym com J e L . . . 47

4.2.2 FR-RMF, resultados exatos . . . 49

4.2.3 Aplica¸c˜ao da correla¸c˜ao Ksym × L . . . 50

4.3 Correla¸c˜ao entre Qsym com J e L . . . 51

4.3.2 Cruzamento nos parâmetros de bulk e as correla¸cões Ksym× L e Qsym× L 54 4.4 Generaliza¸cão e perspectivas para futuras correla¸cões . . . 56

Conclus˜oes 62

(9)

SUM ´ARIO viii

A Passagens matem´aticas do limite n˜ao relativ´ıstico 65

A.1 Energia por part´ıcula . . . 65

A.2 Densidades vetorial e escalar . . . 66

A.3 Constantes de acoplamento A, B, G2S, G 2 V e G 2 TV . . . 67

A.4 Qo para o limite n˜ao relativ´ıstico . . . 71

B Passagens matem´aticas da aproxima¸c˜ao ρ = ρs 72 B.1 Constantes ∆o, Σo, α e β . . . 72

B.2 Coeficiente de skewness Qo . . . 81

B.3 Express˜ao para energia de simetria . . . 92

C Cálculo das correla¸cões 95 C.1 Expressão para L × J . . . 95

C.2 Express˜ao para Ksym × L . . . 96

C.3 Express˜ao para Qsym × L . . . 100

C.4 Correla¸c˜ao Ko × Qo . . . 104

C.4.1 Resultado de Khan e Margueron . . . 104

(10)

Lista de Figuras

1.1 Curva da energia por part´ıcula em fun¸c˜ao de ρ/ρo, com modelos hadrˆonicos σ3+σ4

via cálculo exato. São apresentadas três parametriza¸cões distintas apenas no valor da massa efetiva (0, 6, 0, 7 e 0, 8) e com valores fixos para energia de liga¸cão Bo,

incompressibilidade Ko e densidade de satura¸c˜ao ρo dispostos na figura para a

matéria nuclear simétrica (y = 1/2). . . 12 1.2 Curva da pressão em fun¸cão de ρ/ρo, com modelos hadrônicos σ3+ σ4 via cálculo

exato. Dados usados são semelhantes ao da figura anterior. . . 12 1.3 Curva da incompressibilidade em fun¸cão de ρ/ρo, com modelos hadrônicos σ3+σ4

via cálculos exatos. São usadas massas efetivas distintas e extremas. . . 13 1.4 Curva da incompressibilidade em fun¸cão de ρ/ρo, com modelos hadrônicos σ3+σ4

via cálculos exatos. São usadas massas efetivas próximas do intervalo 0, 58 ≤ m∗≤ 0, 64. . . 13

1.5 L × ρ/ρo, com modelos hadrˆonicos σ3 + σ4 via c´alculo exato. . . 14

2.1 Curva da energia por part´ıcula em fun¸c˜ao de ρ/ρo, com modelos hadrˆonicos σ3+σ4

via cálculo exato (linha cheia) em compara¸cão com sua versão não-relativ´ıstica (linha tracejada). São apresentados três modelos distintos no valor de m∗ (0, 6, 0, 7 e 0, 8) e com valores fixos para energia de liga¸cão Bo, incompressibilidade Ko,

e densidade de satura¸cão ρo dispostos na figura, para matéria nuclear simétrica

(y = 1/2). . . 24 2.2 Curva da pressão em fun¸cão de ρ/ρo, com modelos hadrônicos σ3+ σ4 via cálculo

exato (linha cheia) em compara¸cão com sua versão não-relativ´ıstica (linha trace-jada). Dados usados são semelhantes ao da figura anterior. . . 24 2.3 Incompressibilidade em fun¸cão de ρ/ρo para limite NR. Dados usados estão

dis-postos na figura. . . 25 2.4 Termos da Eq. (2.60) em fun¸c˜ao de ρ/ρo para limite NR. . . 25

2.5 Inclina¸c˜ao da energia de simetria em fun¸c˜ao de ρ/ρo para o limite NR. . . 29

3.1 Curva de ρs

ρo por

ρ

ρo para diferentes modelos RMF conhecidos na literatura. A

curva tracejada indica a reta ρ = ρs. . . 30

3.2 Curva ¯M × ρ/ρo para aproxima¸c˜ao ρ = ρs. Foram fixados na figura os valores

m∗= 0, 6, ρo= 0, 15 fm−3, Bo= 16 MeV e Ko= 250 MeV. . . 32

3.3 Curva da energia por part´ıcula em fun¸c˜ao de ρ/ρo, com modelos hadrˆonicos σ3+

σ4 segundo a aproxima¸c˜ao ρ = ρs (linha tra¸co-ponto) em compara¸c˜ao com o

limite NR (linha tracejada) e o cálculo exato (linha cheia). São apresentados três modelos distintos no valor de m∗ (0, 6, 0, 7 e 0, 8) e com valores fixos para energia de liga¸cão Bo, incompressibilidade Ko, e densidade de satura¸cão ρo dispostos na

figura para mat´eria nuclear sim´etrica (y = 1/2). . . 34

(11)

LISTA DE FIGURAS x

3.4 Curva da pressão em fun¸cão de ρ/ρo, com modelos hadrônicos σ3+ σ4 segundo a

aproxima¸c˜ao ρ = ρs (linha tra¸co-ponto) em compara¸c˜ao com o limite NR (linha

tracejada) e o cálculo exato (linha cheia). Dados usados são semelhantes ao da figura anterior. . . 35 3.5 Incompressibilidade em fun¸cão de ρ/ρo para aproxima¸cão ρ = ρs. Dados usados

estão dispostos na figura. . . 35 3.6 Termos da Eq. (3.11) em fun¸cão de ρ/ρo aproxima¸cão ρ = ρs. . . 36

4.1 Efeito de ∆f na correla¸c˜ao L × J da Eq. (4.6) para (a) 0, 50 ≤ m∗ ≤ 0, 80, e (b) 250 ≤ Ko≤ 315 MeV. . . 43

4.2 L × J para as parametriza¸cões (a) NLM5 [66], NL3 [57] e SMFT2 [67] (ver texto) e (b) parametriza¸cões com o mesmo m∗. . . 44 4.3 Restri¸cão para os valores de J e L no plano L × J (ver texto). . . 45 4.4 Compara¸cão entre a dependência de L com (a) Ko e (b) m∗ para modelos NR e

FR-RMF para J = 25, 30 e 35 MeV. . . 46 4.5 Compara¸c˜ao entre os limites de L obtidos na presente tese e os determinados por

Dong et al. [73], Carbone et al. [74], Liu et al. [75], Tsang et al. [76], Warda et al. [77], Danielewicz and Lee [78], Shetty et al. [79], Chen et al. [72], M¨oller et al. [80], and Chen [81]. . . 46 4.6 Limites de L obtidos na presente tese comparados com os limites obtidos a partir

de 33 referências diferentes. As referências utilizadas na figura são indicadas por letras do alfabeto onde cada letra representa uma correspondente bibliografia. Tais referências são, respectivamente, A [72], B [78], C [73], D [79], E [77], F [82], G [75], H [83], I [80], J [81], K [84], L [85], M [55], N [86], O [24, 87], P [76, 88], Q [89], R [90], S [91], T [92], U [74], V [93], W [94], X [95], Y [96], Z [97], F [98], G [99], H [100], I [101], J [102], L [103], M [104]. . . 47 4.7 Correla¸cão entre Ksym e L (ver o texto). . . 49

4.8 Restri¸c˜ao de Ksym no plano Ksym× L (ver texto). . . 50

4.9 Compara¸c˜ao entre a dependˆencia de (a) Ko e (b) m∗ de Ksym para modelos NR

e FR-RMF exatos. . . 51 4.10 Varia¸cão de Qsym em rela¸cão a L e m∗ para o limite não relativ´ıstico. Observe

que a varia¸c˜ao de Qsym ´e a mesma em ambas as curvas. . . 53

4.11 Varia¸cão de Qsym em rela¸cão a K para o limite não relativ´ıstico, para ρo =

0, 15 fm−3, Bo= 16 MeV, m∗ = 0, 6 e J = 30 MeV fixos. . . 53

4.12 L4 × Ksym,4(esquerda) e L4 × Qsym,4(direita), segundo o limite NR dos modelos

NLPC. Os dados utilizados est˜ao dispostos na figura. . . 59 4.13 L4 × ρ/ρo para valores grandes de ρ, segundo o limite NR dos modelos NLPC.

Os dados utilizados est˜ao dispostos na figura. . . 59 4.14 Qsym,4 × Ksym,4 (esquerda) e Isym,4 × Ksym,4 (direita), segundo o limite NR dos

modelos NLPC. Os dados utilizados est˜ao dispostos na figura. . . 60 4.15 Ksym,4× ρ/ρo para valores grandes de ρ, segundo o limite NR dos modelos NLPC.

Os dados utilizados est˜ao dispostos na figura. . . 61 4.16 Curva L × ρ/ρo, segundo o limite NR, calculada de forma exata pela Eq. (2.52),

em confronto com as contribui¸c˜oes de ordens superiores da Eq. (4.37). Os dados utilizados est˜ao dispostos na figura. . . 62 4.17 Curvas L4 × ρ/ρo (esquerda) e Ksym,4 × ρ/ρo (direita), segundo o limite NR,

calculada de forma exata pelas Eqs. (2.87) e (2.88), respectivamente, em confronto com as contribui¸c˜oes de ordens superiores da Eq. (4.57). Os dados utilizados est˜ao dispostos na figura. . . 62

(12)

Lista de Tabelas

4.1 Propriedades da matéria nuclear, na densidade de satura¸cão, dos modelos FR-RMF usados na correla¸cão L × J . . . 48 4.2 Propriedades da matéria nuclear, na densidade de satura¸cão, dos modelos

FR-RMF usados para correla¸c˜ao Ksym × L. . . 51

(13)

Introdu¸

c˜

ao

Grande parte dos modelos e aproxima¸cões em f´ısica nuclear reflete o fato que não há uma for¸ca nucleon-nucleon exata. Como consequência, as for¸cas nucleares propostas tiveram que ser for-muladas para reproduzir dados experimentais de deslocamentos de fase para energias de até 200 MeV. Os primeiros potenciais nucleon-nucleon propostos, ditos realistas, foram fenomenológicos. Um bom exemplar desta categoria é o potencial de Reid [1]. Potenciais realistas mais modernos e chamados teóricos são baseados em teoria de campos. O ingrediente principal de tais potenci-ais é a troca de bósons (mésons). Chama-se tais potenciais de O.B.E.P. (One-Boson Exchange Potential) e seus representantes mais famosos são os potenciais de Bonn e de Paris (veja por exemplo a referência [2]). Seja fenomenológico ou teórico, o potencial nucleon-nucleon contém na parte de curto alcance uma grande repulsão. Isto faz com que a aproxima¸cão de Hartree-Fock não possa ser usada diretamente pois não converge. Isto dificultou bastante os cálculos em sis-temas com muitos nucleons na década de 50 até que Brueckner propôs somar todas as intera¸cões nucleon-nucleon de uma forma efetiva, onde neste caso a série infinita convergeria. Assim, até hoje usa-se com relativo sucesso o método Brueckner-Hartree-Fock (BHF) [3], onde pode-se ou não incluir os estados do continuo, diagramas part´ıcula-buraco, bolhas etc [2]. Dessa forma, dada uma intera¸cão que bem descreva os dados experimentais de dois nucleons, podem-se obter diferentes informa¸cões quanto à energia e ao ponto de satura¸cão da matéria nuclear infinita, bem como diferentes espectros para núcleos finitos.

Nesta tese, estudaremos sistemas com muitos nucleons mas não usaremos o método BHF. Nossa abordagem para tais sistemas será modelos efetivos baseados em teoria de campos, inicial-mente em uma perspectiva relativ´ıstica. Parte-se de uma densidade lagrangiana com invariância de Lorentz onde os graus de liberdade são nucleons e mésons. Intera¸cões nucleon-nucleon são descritas via troca de mésons escalares (parte atrativa) e vetoriais (parte repulsiva). As equa¸cões de movimento são provenientes das equa¸cões de Euler-Lagrange para os campos e sua solu¸cão será feita via aproxima¸cão de campo médio. Uma vez que tais sistemas são tratados relativisti-camente, tais modelos são usualmente chamados de modelos RMF (iniciais de Relativistic Mean-Field). Posteriormente, adicionaremos às intera¸cões nucleon-nucleon termos de auto-intera¸cão do méson escalar cúbicos e quárticos em que se espera simular for¸cas de três e de quatro nucleons respectivamente. Estes modelos são conhecidos na literatura como modelos de Boguta-Bodmer [4].

Muitas aplica¸cões para diferentes modelos RMF, via cálculos exatos, dentro do que se pode esperar para modelos de campo médio, são apresentadas. Aqui, basicamente, nos referimos a cálculos de parâmetros de bulk da matéria nuclear. Particularmente, no entanto, estaremos mais interessados em algum tipo de redu¸cão dos modelos RMF que nos permita tratá-los de forma anal´ıtica. Apesar de significar que isto nos levaria a resultados menos precisos, há uma lógica neste caminho. Isto porque nossa expectativa é que a forma anal´ıtica de tais modelos sirva como um bom guia para verificar aspectos interessantes que em sua forma exata, solucionada apenas numericamente, seria de percep¸cão mais dif´ıcil. Nesta busca pela analiticidade dos modelos RMF, usamos de formas distintas:

(a) o limite n˜ao relativ´ıstico (NR) dos modelos RMF, e

(14)

Introdu¸c˜ao 2

(b) a aproxima¸cão na qual a densidade escalar é aproximada como sendo igual à densidade vetorial, ρ = ρs. No cap´ıtulo 3, apresentamos uma justificativa para tal aproxima¸cão.

A partir dessas duas vertentes buscaremos investigar poss´ıveis correla¸cões entre os parâmetros de bulk da matéria nuclear.

A investiga¸cão de correla¸cões entre observáveis em f´ısica é um tema importante. A razão é que a informa¸cão sobre um observável dá informa¸cões sobre o outro. Particularmente em f´ısica nuclear, quando não se tem uma intera¸cão nucleon-nucleon bem estabelecida sua constru¸cão é feita com ingredientes teóricos na intera¸cão nucleon-nucleon prevendo troca de mésons. Este procedimento impõe, no entanto, um grande número de parâmetros livres. Tais parâmetros precisam ser ajustados para reproduzir observáveis experimentalmente bem conhecidos. Assim, tais correla¸cões adquirem uma grande importância nesta área pois evitam parametriza¸cões re-dundantes. No caso de modelos efetivos do tipo RMF, assim como para modelos tipo Skyrme [5, 6], o estudo de correla¸cões adquire grande importância na medida em que há centenas de tais modelos na literatura [7, 8]. Um bom conhecimento sobre correla¸cões permitirá reduzir este grande número de modelos. Este é o motivo primordial de nossa busca por correla¸cões em f´ısica nuclear. Assim, na presente tese, discutiremos algumas correla¸cões que julgamos relevantes no estudo da matéria nuclear.

No estágio atual da f´ısica nuclear ainda há poucas correla¸cões entre os parâmetros de bulk bem estabelecidas. Uma delas é usualmente conhecida como a linha de Coester [9] e correla-ciona a densidade de satura¸cão (ρo) com a energia de liga¸cão ( Bo). Isto é, diferentes for¸cas

nucleares produzem diferentes valores para o conjunto ( Bo, ρo). No entanto, verifica-se que

tais pontos estão bem próximos de uma linha reta (linha de Coester, na verdade uma banda). Uma outra correla¸cão foi estudada por Furnstahl-Rusnak-Serot (FRS) [10] que reportou a cor-rela¸cão entre o desdobramento de energia spin-órbita de núcleos finitos com camada fechada (16O ,40Ca ,208P b ) e a massa efetiva do nucleon na densidade de satura¸cão ρ = ρo. O

resul-tado de tal estudo mostra que bons valores para estes desdobramentos s˜ao obtidos para uma classe restrita de modelos RMF que apresentam m∗no intervalo 0, 58 ≤ m∗≤ 0, 64. Este v´ınculo ´

e muito importante porque relaciona de forma clara resultados obtidos para a matéria nuclear infinita (um modelo hipotético que considera o número de prótons igual ao de nêutrons e que além disso despreza a intera¸cão coulombiana) com resultados experimentais dos espectros de núcleos finitos. Recentemente, a correla¸cão entre L e J foi proposta por Ducoin et al. [11] para um conjunto de modelos RMF e Skyrme. Tal estudo, entretanto, foi baseado em resultados numéricos para J e L, obtidos a partir de selecionadas parametriza¸cões. Chamamos também a aten¸cão do leitor para investiga¸cões extensas sobre os parâmetros de bulk J e L tanto em mod-elos relativ´ısticos quanto em não relativ´ısticos tipo Skyrme [12, 13]. Nesse contexto, correla¸cões entre parâmetros de bulk serão estudados ao longo da tese, cuja organiza¸cão está disposta da seguinte forma.

No cap´ıtulo 1 apresentamos os modelos hadrônicos utilizados nesta tese. Destacamos que embora exista uma vasta quantidades desses modelos, nos restringiremos apenas aos modelos relativ´ısticos de campo médio (RMF), cujo modelo gerador de todos foi o modelo de Walecka proposto em 1974 [14]. Nos modelos RMF, basicamente os bárions interagem entre si através da troca de mésons escalar (σ) e vetorial (ω). No entanto, quando os modelos são estendidos para descrever a matéria estelar, cujas densidades são elevadas, h´ıperons geralmente são também inclu´ıdos. Versões mais sofisticadas incluem outros mésons tais como ρ, δ, etc. Assim, iden-tificamos sete tipos diferentes de parametriza¸cões para os modelos chamados RMF. Equa¸cões gerais para energia e pressão são apresentadas, onde tais expressões podem ser reduzidas a uma espec´ıfica parametriza¸cão das sete que foram relacionadas. Basicamente são parametriza¸cões distintas para o modelo de Walecka adicionado com termos não lineares de intera¸cões mesônicas σ3 + σ4. Expressões para energia, pressão e incompressibilidade bem como ilustra¸cões do com-portamento de algumas grandezas em fun¸cão da densidade são apresentadas. Ao final deste

(15)

Introdu¸c˜ao 3

cap´ıtulo, mostramos que existe um cruzamento das incompressibilidades para os modelos RMF, generalizando igual achado para modelos tipo Skyrme feitas por Khan e Margueron [15]. Além disso, vemos que, curiosamente, também existe um ponto de cruzamento nas inclina¸cões da energia de simetria para diferentes modelos. Estes dois pontos de cruzamento serão discutido novamente no cap´ıtulo 4 quando os conectarmos com a existência de correla¸cões.

O cap´ıtulo 2 abre o estudo do limite não-relativ´ıstico (NR). Constru´ımos este limite através de três etapas. Primeiramente, selecionamos modelos RMF que contenham apenas não lineari-dades via intera¸cões cúbicas e quárticas no campo escalar σ. De forma concisa, escolhemos modelos com contribui¸cões σ3 e σ4 na densidade lagrangiana. Basicamente, tais modelos são conhecidos como modelos Boguta-Bodmer [4]. Em seguida, usamos suas versões de alcance nulo (intera¸cões de contato), citados na literatura como modelos NLPC (do inglês, NonLinear Point-Coupling models) [16, 17, 18, 19, 20, 21], onde a justificativa para tais versões é apresentada. E em terceiro, realizamos o limite não relativ´ıstico dos modelos NLPC, agora de contato, baseados na normaliza¸cão do spinor que descreve a fun¸cão de onda relativ´ıstica, após a redu¸cão de sua pequena componente, exatamente o mesmo caminho desenvolvido na Ref. [22]. Em particular, apresentamos expressões totalmente anal´ıticas para as constantes do modelo bem como para os parâmetros de bulk que julgamos relevantes no estudo da matéria nuclear. Mostramos que os cruzamentos obtidos para incompressibilidade e inclina¸cão da energia de simetria observados no cálculo exato dos modelos RMF, como mostrado no cap´ıtulo 1, também acontecem no limite NR. Desenvolvemos neste cap´ıtulo uma expressão para determinar o valor do ponto de cruzamento das incompressibilidades (ρc)K. Esta expressão é obtida através da observa¸cão do

compor-tamento dos termos da equa¸c˜ao para incompressibilidade K(ρ), segundo o limite NR. Desta forma, supondo dois modelos distintos apenas no valor da incompressibilidade de satura¸c˜ao Ko,

e fixando os outros parâmetros do modelo: energia de liga¸cão (Bo), a densidade de satura¸cão

(ρo) e massa efetiva (m∗), encontramos uma express˜ao anal´ıtica para (ρc)K.

Outra abordagem para os modelos RMF é apresentada no cap´ıtulo 3, a partir da aprox-ima¸cão ρ = ρs. Esta aproxima¸cão é um caso particular dos modelos NLPC. Uma vantagem

desta aproxima¸cão, assim como também a do limite não relativ´ıstico (NR), apresentado no cap´ıtulo 2, é a simplifica¸cão dos modelos RMF para versões anal´ıticas. Uma diferen¸ca que merece ser mencionada entre a aproxima¸cão ρ = ρs e a NR é que a primeira ainda contém

um certo conteúdo relativ´ıstico do modelo, mais precisamente na sua massa efetiva. Escreve-mos neste cap´ıtulo expressões para algumas grandezas f´ısicas em fun¸cão da densidade segundo a aproxima¸cão ρ = ρs. Verificamos também a existência do cruzamento das

incompressibili-dades para esta aproxima¸cão. E em análise semelhante feita para o limite NR, determinamos uma expressão para a densidade de cruzamento das incompressibilidades (ρc)K, agora segundo

a aproxima¸c˜ao ρ = ρs. Comparamos as curvas apresentadas neste cap´ıtulo com as encontradas

em cap´ıtulos anteriores.

O estudo sobre as correla¸cões entre os parâmetros de bulk, bem como os cruzamentos de alguns desses parâmetros é descrito no cap´ıtulo 4, último desta tese. Como já mencionado, na f´ısica, correla¸cões entre observáveis são uma importante questão. Isto porque, o conhecimento de uma grandeza contém informa¸cões sobre outra e isto, por si só, organiza e simplifica o entendi-mento do que se está estudando. Neste cap´ıtulo, identificamos que os limites NR dos modelos NLPC podem ser usados como uma orienta¸cão adequada para inferir poss´ıveis correla¸cões rela-cionadas com modelos RMF exatos com intera¸cões σ3 e σ4. Desta forma, as correla¸cões entre as quantidades na densidade de satura¸cão (ρ = ρo), obtidas a partir do limite não relativ´ıstico

são reproduzidas pelos modelos RMF. A partir do limite NR estabelecemos, pela primeira vez, uma correla¸cão anal´ıtica entre a energia de simetria ( J ) e sua inclina¸cão ( L ), assim como também entre outras grandezas. Como exemplos, a correla¸cão entre a curvatura da energia de simetria ( Ksym) e L , assim como a entre a terceira derivada da energia de simetria ( Qsym)

(16)

Introdu¸c˜ao 4

como fun¸cão de J , de acordo com a restri¸cão FRS [10]. Este é um resultado muito importante da tese pois estabelece uma previsão [23]. Analogamente, mas com base na situa¸cão em que a correla¸cão entre Ksym é L é obtida, propomos também um gráfico que estabelece um v´ınculo no

plano Ksym× L. Isto é, modelos RMF que satisfa¸cam a condi¸cão FRS e além disso apresentem

25 ≤ J ≤ 35 MeV, intervalo bem aceito na literatura [7, 8, 24], devem estar na região de v´ınculo. Nas últimas se¸cões deste cap´ıtulo, estendemos o estudo de Khan e Margueron [15], feito para o cruzamento das incompressibilidades para modelos de Skyrme, para um novo parâmetro de bulk L , onde também, como mostramos, há um ponto de cruzamento (ρc)L. No final deste

cap´ıtulo, desenvolvemos uma fun¸cão geral para descrever pontos de cruzamentos em parâmetros de bulk que exibem correla¸cões. Com esta fun¸cão, é poss´ıvel prever quais parâmetros poderão exibir correla¸cões e, consequentemente, qual parâmetro terá um cruzamento quando for disposto em fun¸cão da densidade. Também discutimos a validade desta generaliza¸cão e aplicamos esta generaliza¸cão a outros dois parâmetros de bulk.

Os apêndices desta tese mostram as passagens matemáticas de expressões totalmente anal´ıticas apresentadas nos cap´ıtulos anteriores e estão assim organizados: O apêndice A contém os cálculos para determina¸cão das constantes de acoplamento do modelo e de algumas quantidades que aju-dam a descrever propriedades da matéria nuclear, segundo o limite NR. O apêndice B traz detalhes sobre as contas relacionadas à obten¸cão das constantes do modelo, assim como o coefi-ciente de skewness ( Qo) e a energia de simetria, segundo a aproxima¸cão ρ = ρs. E o apêndice

C é destinado a descrever os cálculos envolvidos nas expressões anal´ıticas para as correla¸cões, estudadas no cap´ıtulo 4. Os cálculos apresentados aqui são referentes ao limite NR dos mode-los NLPC. E, ainda neste apêndice, apresentamos uma formula¸cão geral proposta por Khan e Margueron [15], que pode ser aplicada a qualquer modelo.

(17)

Cap´ıtulo 1

Modelos Hadrˆ

onicos

Na literatura existe uma vasta quantidades de modelos hadrônicos. Tais modelos tentam descrever a matéria nuclear constitu´ıda de hadrons. Estes, compostos por quarks, são trata-dos de forma simplificada como part´ıculas pontuais e sem estrutura. Os exemplos de hadrons mais conhecidos são prótons e nêutrons, também chamados de nucleons, que constituem ba-sicamente a matéria nuclear ordinária dos núcleos. Nucleons mantêm-se internamente coesos no interior do núcleo devido à intera¸cão forte. Tal intera¸cão é uma das quatro for¸cas fun-damentais da natureza. Diferentemente do caso coulombiano, onde a intera¸cão é exatamente conhecida, a intera¸cão nucleon-nucleon não é exatamente conhecida. Portanto, fez-se necessária uma modelagem baseada em dados experimentais de espalhamento nucleon-nucleon. Experi-mentos do espalhamento próton-próton, ainda na década de 50, mostraram haver uma troca de sinal no deslocamento de fase para energias em torno de 200 MeV. A partir disso, teoricamente, abriram-se duas possibilidades de constru¸cão da intera¸cão nucleon-nucleon que reproduzissem tais experimentos. A primeira exigia que a intera¸cão contivesse uma parte repulsiva de curto alcance combinada com uma parte atrativa de alcance maior e a segunda propunha uma in-tera¸cão nucleon-nucleon dependente da energia, ou seja, não local. Historicamente, a primeira possibilidade mostrou-se vitoriosa. Hoje, as intera¸cões nucleon-nucleon consideradas como mais realistas são locais e dependem apenas da distância relativa entre os nucleons, assim como de um conjunto de parâmetros ajustados. Exemplos de tais intera¸cões são o potencial de Reid, o potencial de Bonn e o potencial de Paris. Todos eles contém ingredientes bem aceitos tais como, (1) uma forte repulsão em distâncias em torno de 0,4 fm e (2) uma parte atrativa para distâncias de aproximadamente 2 fm que descreva a troca de um p´ıon, usualmente chamada em inglês OPEP (One Pion Exchange Potential) [3]. Pelo exposto acima, a descri¸cão de sistemas nucleares é feita propondo-se uma intera¸cão e a partir da´ı, seus parâmetros livres são ajusta-dos para reproduzir os observáveis de estado ligado (energia negativa) e espalhamento (energia positiva) que se conhecem da f´ısica de dois nucleons. Feito isso, os observáveis pertinentes a núcleos mais leves, mais pesados, matéria nuclear e estrela de nêutrons podem ser calculados com a intera¸cão proposta. De um modo geral, a qualidade da intera¸cão se associa com o número de parâmetros livres existentes para ajuste. Todas as intera¸cões propostas são baseadas na possibilidade da troca de mésons entre os nucleons.

Para cálculos com sistemas de muitos nucleons há pelo menos duas linhas competitivas de abordagem. A mais tradicional utiliza as intera¸cões nucleon-nucleon mais representativas no método Brueckner-Hartree-Fock (BHF) [3], que é bem estabelecido para cálculos de sistemas com muitos nucleons. Usando-se esta linha, toda a informa¸cão da matéria nuclear fica restrita não apenas à qualidade das intera¸cões nucleon-nucleon mas também ao próprio método em si. No método BHF, pode-se ou não incluir os estados do continuo, diagramas part´ıcula-buraco, bolhas etc [2]. Assim, dada uma intera¸cão que bem descreva os dados experimentais de dois nucleons, pode-se obter diferentes informa¸cões quanto à energia e ao ponto de satura¸cão da

(18)

1. Modelos Hadrˆonicos 6

matéria nuclear infinita, bem como diferentes espectros para núcleos finitos. A falta de uma boa sistematiza¸cão dos resultados obtidos pelo método BHF propiciou que outros métodos baseados na teoria de campo médio surgissem com boa aceita¸cão. Este é o caso das intera¸cões de Skyrme [5], hoje sistematizadas em uma generalizada equa¸cão de estado para descrever a matéria nu-clear simétrica e assimétrica [7]. Estas intera¸cões são o que pode haver de mais simplificado na intera¸cão entre os nucleons: fun¸cões delta de Dirac tanto para a intera¸cão nucleon-nucleon quanto para uma for¸ca de três corpos nucleon-nucleon-nucleon. Neste caso, os parâmetros livres do modelo são ajustados para reproduzir observáveis de muitos nucleons (energia de liga¸cão da matéria nuclear, densidade de satura¸cão, incompressibilidade etc). Uma vez ajustados, tais modelos podem ser usados para extrair informa¸cões sobre diferentes núcleos. Há hoje na liter-atura cerca de trezentos modelos de Skyrme. Um outro tipo de intera¸cão proposta, pretendendo ser mais realista do que a de Skyrme, foi a de Gogny. Nesta, além das contribui¸cões tipo Skyrme, adiciona-se uma parte contendo alcance finito tipo gaussiano [25].

Uma outra abordagem bem sucedida para uma boa descri¸cão da matéria nuclear baseia-se na teoria quântica de campos como modelo e é conhecida como Hadrodinâmica Quântica (QHD) [14]. Nesta teoria, os graus de liberdade são os nucleons e os mésons, descritos por campos. Os campos de nucleon, ψ, são acoplados a campos mesônicos ω (méson vetorial, simulando a repulsão) e σ (méson escalar, simulando a atra¸cão). O modelo gerador de todo o seu desenvolvimento posterior foi o modelo de Walecka proposto em 1974 [14]. A base da teoria de Walecka é a Teoria Quântica de Campos e tem como ponto de partida uma densidade lagrangiana invariante de Lorentz, da qual várias propriedades do sistema são extra´ıdas, entre elas a forma da intera¸cão, do tipo Yukawa [26],

V (r) = −gσ 4π e−mσr r + gω 4π e−mωr r , (1.1)

particular para o caso em que o número de prótons é igual ao número de nêutrons. O sinal negativo do primeiro termo do potencial é correspondente ao méson σ, de massa mσ, e representa

seu caráter atrativo. A repulsão é dada pelo segundo termo, caracterizada pelo méson ω. Note que o alcance da intera¸cão é dado essencialmente pela massa de cada méson e, consequentemente, o limite em que tais massas são infinitas leva a um potencial puramente de contato, ou seja, nesse caso os nucleons interagem entre si via intera¸cões pontuais.

A necessidade de desenvolvimento do modelo de Walecka tornou-se clara desde o in´ıcio. Isto porque havia apenas dois parˆametros livres no modelo: a constante de acoplamento ω-ψ, dada por gωe a constante de acoplamento σ-ψ, dada por gσ. Um vez que ambas foram ajustadas para

reproduzir os valores experimentais da energia de liga¸c˜ao da mat´eria nuclear infinita Bo = 16

MeV em seu ponto de satura¸cão ρo = 0, 15 fm−3 não havia mais qualquer outro parâmetro livre.

Assim, quando se usou o modelo de Walecka para o c´alculo da incompressibilidade da mat´eria nuclear Ko obteve-se o valor Ko = 550 MeV, bastante discrepante do valor experimental

Ko = 210 ± 30 MeV [27]. Em fun¸c˜ao disso, uma s´erie de novos modelos foi proposta sempre no

sentido de incorporar novos campos ou acoplamentos. Assim, hoje há várias fam´ılias de modelos relativ´ısticos de campo médio – RMF. Nesses modelos, basicamente os bárions interagem entre si através da troca de mésons escalar (σ) e vetorial (ω). Para nossas análises de propriedades da matéria nuclear, só nucleons são necessários. No entanto, quando os modelos são estendidos para descrever a matéria estelar, h´ıperons geralmente são também inclu´ıdos. Versões mais sofisticadas incluem outros mésons tais como ρ, δ etc. Exemplificamos aqui sete tipos diferentes de parametriza¸cões para os modelos do tipo Walecka, chamados RMF,

• o modelo linear de Walecka original [14],

• o modelo não linear de Waleka para mésons com intera¸cões σ [4],

(19)

1.1. Modelos Relativ´ısticos de Campo M´edio 7

• o modelo não linear de Walecka para mesóns com intera¸cões σ e ω e poss´ıveis termos de cruzamento mesônicos [31, 32, 33],

• modelos onde os parâmetros que acoplam os bárions com os mésons são dependentes da densidade [34, 35, 36, 37, 38],

• modelos de contato, onde os bárions interagem com outro sem a troca de mésons, somente através de intera¸cões efetivas de contato pontual [39, 40] e

• modelos com a inclus˜ao do m´eson δ [41, 42, 43, 44].

1.1 Modelos Relativ´ısticos de Campo M´

edio

Modelos RMF têm sido amplamente utilizados para descrever a matéria nuclear infinita, núcleos finitos, e propriedades da matéria estelar. O primeiro representante de tais modelos ´

e o modelo de Walecka que ajustou seus parâmetros livres, dois no caso, para reproduzir pro-priedades bem estabelecidos da matéria nuclear infinita, como a energia de liga¸cão (Bo ∼ 16

MeV) e a densidade de satura¸c˜ao (ρo ∼ 0, 15 fm−3). Entretanto, estendido para calcular

out-ros observáveis não fornece resultados razoáveis. Este é o caso da incompressibilidade (Ko),

mencionada anteriormente. O modelo de Walecka prediz 550 MeV, enquanto o resultado experi-mental é 210 ± 30MeV. Este problema foi contornado por Boguta e Bodmer [4], que adicionaram ao modelo original de Walecka, auto-intera¸cões cúbicas (A/3)σ3 e quárticas (B/4)σ4. Estas duas novas constantes A e B poderão ser eliminadas para reprodu¸cão de valores experimentais, como a incompressibilidade, por exemplo, e um outro observável a se escolher. Teoricamente, supõe-se que os termos cúbicos e quárticos possam representar for¸cas de três e de quatro nu-cleons. No mesmo caminho, de melhoria do modelo, novos termos de intera¸cão podem ser adicionados ao modelo de Boguta-Bodmer a fim de torná-lo compat´ıvel com um maior número de observáveis, incorporando aqueles relacionados aos núcleos finitos. Atualmente, muitos mod-elos RMF e parametriza¸cões foram constru´ıdos seguindo este método. Aqui, consideramos de forma geral um conjunto finito de modelos RMF não lineares, por considerá-lo representativo da categoria. Descrevemos aqui tais modelos em termos de suas densidades Lagrangianas,

LNL= Lnm+ Lσ+ Lω+ Lρ+ Lδ+ Lσωδ, (1.2) onde Lnm = ψ(iγµ∂µ− M )ψ + gσσψψ − gωψγµωµψ − gρ 2 ψγ µ_~_ρ µ~τ ψ + gδψ~δ~τ ψ, (1.3) Lσ = 1 2 ∂µσ∂µσ − m2σσ2 −A 3σ 3₋B 4σ 4_, _(1.4) Lω = − 1 4F µv_F µv+ 1 2m 2 ωωµωµ+ C 4 g2_ωωµωµ 2 , (1.5) L_ρ = −1 4B~ µv_B_~ µv+ 1 2m 2 ρ~ρµ~ρµ, (1.6) L_δ = 1 2 ∂µ~δ∂µ~δ − m2δ~δ2 , (1.7) L_σωρ = gσgω2σωµωµ α1+ 1 2α 0 1gσσ + gσg2ρσ~ρµρ~µ α2+ 1 2α 0 2gσσ +1 2α 0 3gω2g2ρωµωµρ~µ~ρµ. (1.8)

Nessa densidade Lagrangiana, Lnm representa a parte cin´etica de nucleons adicionada com

termos que representam a intera¸c˜ao entre nucleons e m´esons σ, δ, ω e ρ. Lj representa

(20)

considera intera¸cões cruzadas entre os campos mesônicos. Os tensores de campo anti-simétricos F_µv e ~Bµv são dados por Fµv = ∂vωµ− ∂µωv e ~Bµv = ∂v~ρµ− ∂µ~ρv− gρ(~ρµ× ~ρv). A massa do

nucleon é M e as massas dos mésons são mj.

Na aproxima¸cão de campo médio os campos mesônicos são tratados como campos clássicos,

σ → hσi = σ, ωµ→ hωµi = ω0, ρ~µ→ h~ρµi = ρ0(3), e ~δ →

D

~_δE

= ~δ(3). (1.9)

Usando as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange para os campos obtemos o seguinte conjunto de equa¸c˜oes auto-consistentes,

m2_σσ = gσρs− Aσ2− Bσ3+ gσgω2ω02 α1+ α01gσσ+ gσg2ρρ20(3) α2+ α02gσσ, (1.10) m2_ωω0 = gωρ − Cgω(gωω0)3− gσg2ωσω0 2α1+ α10gσσ− α03gω2gρ2ρ20(3)ω0, (1.11) m2_ρρ₀₍₃₎ = gρ 2 ρ3− gσg 2 ρσρ0(3) 2α2+ α20gσσ− α30gω2g2ρρ0(3)ω20, (1.12) m2_δδ(3) = gδρs3, (1.13) 0 = [γµ(i∂µ− Vτ) − (M + Sτ)] ψ. (1.14)

Note-se que a simetria rotacional da matéria nuclear infinita faz com que somente a com-ponente zero dos quatro campos vetoriais sejam não nulos. Ainda considerando a invariância rotacional em torno do terceiro eixo no espa¸co de isospin, mantemos apenas a terceira compo-nente dos vetores do espa¸co de isospin ~ρµ e ~δ.

As densidades escalares e vetoriais s˜ao dadas por

ρs= D ψψE= ρsp+ ρsn, ρs3 = D ψ~τ ψE= ρsp− ρsn, (1.15) ρ =DψγµψE= ρp+ ρn, ρ3 = D ψγµ~τ ψE= ρp− ρn= (2y − 1)ρ, (1.16) com ρsp,n = γM_p,n∗ 2π2 Z k_Fp,n 0 k2dk q k2_{+ M}∗2 p,n = γM ∗ p,nkF2p,n 2π2 Z 1 0 ξdξ p ξ2_{+ z}2 = γ 2π2 "√ 1 + z2 2 − z2 2 ln 1 +√1 + z2 z !# , (1.17) e ρp,n= γ 2π2 Z k_Fp,n 0 k2dk = γ 6π2k 3 Fp,n (1.18) para ξ = k/kFp,n e z = M ∗

p,n/kFp,n, com os ´ındices p e n para pr´otons e nˆeutrons, respectivamente.

O fator de degenerescência γ é igual a 2 para matéria assimétrica e igual a 4 para a matéria simétrica. A fra¸cão de prótons do sistema é definida como y = ρp/ρ e kFp,n é o momento de

Fermi em unidades de ¯h = c = 1.

A partir da equa¸c˜ao de Dirac (1.14), reconhecemos os potenciais vetoriais e escalares escritos como,

Vτ N L = gωωo+

gρ

2ρoτ3 e (1.19) Sτ N L = −gσσ − gρδ(3)τ3, (1.20)

com τ3 = 1 e −1 para prótons e nêutrons, respectivamente. Podemos também definir a massa

efetiva do nucleon como M_τ∗= M + Sτ N L,

(21)

Notavelmente, observamos o efeito do méson δ, separando a massa em M_p∗ e M_n∗. Para a matéria nuclear simétrica, δ₍₃₎ desaparece já que ρsp = ρsn e, conseqüentemente, Mp∗ = Mn∗ = M∗ =

M − gσσ.

A partir do tensor momento-energia Tµv, calculado através da densidade lagrangiana, Eq. (1.2), é poss´ıvel obter-se a densidade de energia assim como a pressão para um sistema as-simétrico [45], pois E = hT00i e P = hTiii /3. Essas quantidades são

EN L = 1 2m 2 σσ2+ A 3σ 3₊B 4σ 4₋1 2m 2 ωω20− C 4 g_ω2ω₀22−1 2m 2 ρρ20(3) +gωω0ρ + gp 2ρ0(3)ρ3+ 1 2m 2 δδ(3)2 − gσgω2σω02 α1+ 1 2α 0 1gσσ −gσgρ2σρ20(3) α2+ 1 2α 0 2gσσ −1 2α 0 3g2ωgρ2ω02ρ20(3)+ E p kin+ E n kin, (1.22) onde Ep,n kin = γ 2π2 Z k_Fp,n 0 k2k2+ M_p,n∗21/2dk = γk 4 Fp,n 2π2 Z 1 0 ξ2ξ2+ z21/2dξ = γk 4 Fp,n 2π2 " 1 +z 2 2 !√ 1 + z2 4 − z4 8 ln 1 +√1 + z2 z !# = 3 4EFp,nρp,n+ 1 4M ∗ p,nρsp,n, (1.23) e PN L = − 1 2m 2 σσ2− A 3σ 3₋ B 4σ 4₊1 2m 2 ωω02+ C 4 g2_ωω2₀2+1 2m 2 ρρ20(3) +1 2α 0 3gω2gρ2ω20ρ20(3)− 1 2m 2 δδ2(3)+ gσg 2 ωσω02 α1+ 1 2α 0 1gσσ +gσgρ2σρ20(3) α2+ 1 2α 0 2gσσ + P_kinp + P_kin,n (1.24) onde P_kinp,n = γ 6π2 Z k_Fp,n 0 k4dk k2_{+ M}∗2 p,n 1/2 = γk4_F_p,n 6π2 Z 1 0 ξ4dξ (ξ2_{+ z}2₎1/2 = γk 4 Fp,n 6π2 " 1 −3z 2 2 !√ 1 + z2 4 + 3z4 8 ln 1 +√1 + z2 z !# = 1 4EFp,nρp,n− 1 4M ∗ p,nρsp,n (1.25) e EFp,n = q kFp,n 2 + (Mp,n∗ )2. (1.26)

Nos modelos descritos a partir da Eq. (1.2) podemos identificar sete diferentes tipos de parametriza¸cões. Estas parametriza¸cões podem ser apontadas como: 1) o original modelo linear de Walecka, 2) o modelo não linear de Waleka para mésons com intera¸cões σ, 3) o modelo não linear de Waleka para mésons com intera¸cão σ e ω, 4) o modelo não linear de Walecka para mésons com intera¸cões σ e ω e poss´ıveis termos de cruzamento mesônicos, 5) modelos onde os parâmetros que acoplam os bárions com os mésons são dependentes da densidade, 6) modelos de contato, onde os bárions interagem com outro sem a troca de mésons, somente através de intera¸cões efetivas de contato pontual e 7) modelos com a inclusão do méson δ. Detalhes desse estudo podem ser encontrados na Ref. [8]. Aqui, estudaremos apenas o Tipo

(22)

2 (modelos σ3+ σ4), ou seja, selecionamos modelos FR-RMF (FR para Finite Range e RMF para Relativistic Mean-Field) contendo além dos acoplamentos usuais do modelo de Walecka, apresentado anteriormente, acoplamentos escalares e não lineares σ3 e σ4, isto é, modelos tipo Boguta-Bodmer [4]. Esta categoria particular de modelo restringe algumas constantes,

C = α1 = α2= α01 = α 0 2 = α

0

3= gδ = 0. (1.27)

Este caso corresponde ao modelo de Boguta-Bodmer que tem apenas quatro parâmetros livres (gσ, gω, A e B). Tais constantes poderão ser eliminadas com a escolha de quatro observáveis.

A seguir definimos o primeiro desses observ´aveis, a incompressibilidade

K = 9 _{∂(E + P )} ∂ρ − E + P ρ . (1.28)

Tal grandeza está associada com o movimento coletivo [46] dos prótons e nêutrons de um núcleo e experimentalmente é determinada pela análise da chamada ressonância de monopolo gigante GMR (Giant Monopole Ressonance) em núcleos pesados [47]. De uma forma geral, está associada a quanto o volume (ou densidade) de um sistema varia devido à pressão exercida sobre o mesmo. Existem algumas expressões, todas equivalentes, para a determina¸cão da incompressibilidade da matéria nuclear, mas devido à estrutura das Eqs. (1.23) e (1.25) torna-se mais conveniente calcular tal quantidade utilizando a seguinte forma

K = 9∂P

∂ρ. (1.29)

Como estamos interessados no valor de K para matéria simétrica, os cálculos serão realizados já levando em conta o valor de y = 1/2, o que gera kFp= kFn = kF, ou equivalente, ρ3 = 0, nas

express˜oes (1.23) e (1.25). Com isso, temos

K = 9 " gωρ ∂ω0 ∂ρ + k_F2 3(k2 F + M∗2)1/2 + ρM ∗ 3(k2 F + M∗2)1/2 ∂M∗ ∂ρ # , (1.30)

onde foi usada a rela¸c˜_{ao Ekin + Pkin = (k}_F2 + M∗)1/2ρ. A derivada da massa efetiva em rela¸c˜ao ` a densidade ´e ∂M∗ ∂ρ = gσ ∂σ ∂ρ. (1.31)

As derivadas dos campos mesônicos ∂σ/∂ρ e ∂ω0/∂ρ, considerando a matéria nuclear simétrica

onde y = 1/2 (ou seja, ρ₀ = 0), s˜ao dados por ∂σ/∂ρ = a1b2+ a2b3 a1b1− a3b3 e ∂ω0/∂ρ = a2b1+ a3b2 a1b1− a3b3 , (1.32) onde a1 = m2ω+ 3cgω4ω20− gσgω2σ 2α1− α01gσσ, (1.33) a2 = gω, (1.34) a3 = 2gσgω2ω0 α1− α01gσσ , (1.35) b1 = m2σ+ 2Aσ + 3Bσ2− gσ2g2ωω20α 0 1+ 3gσ2 ρs M∗ − ρ E_F∗ ! , (1.36) b2 = − gσM∗ E_F∗ e (1.37) b3 = −a3. (1.38)

(23)

O c´alculo realizado para obten¸c˜ao de ∂σ/∂ρ deve levar em conta a derivada da densidade escalar ρs, dada por

∂ρs ∂ρ = M∗ E_F∗ + 3gσ ρs M∗ − ρ E_F∗ ! ∂σ ∂ρ, (1.39)

encontradas a partir das express˜oes (1.17) e (1.31).

Como estamos interessados nos modelos do tipo σ3 + σ4, tais derivadas, nesse caso s˜ao escritas como ∂σ ∂ρ = − dσM∗ E_F∗ hm2 σ+ 2Aσ + 3Bσ2+ 3gσ2 _ρ s M∗− ρ E∗ F i e ∂ω0/∂ρ = gω m2 ω . (1.40)

Assim, a incompressibilidade do sistema ´e dada por

K = 9G2_ωρ +3k 2 F E_F∗ − 9M∗2ρ E_F∗2h_G12 σ + 2a∆M + 3b(∆M ) 2_{+ 3} ρs M∗− _Eρ∗ F i, (1.41) lembrando que E_F∗ = k_F2 + M∗21/2 , a = A/g_σ3, b = B/g_σ4, ∆M = M∗− M e G2 i = gi2/m2i para i = σ, ω.

As demais equa¸c˜oes que definem completamente o modelo s˜ao obtidas como casos particulares do conjunto (1.10) - (1.14) que reapresentamos,

m2_σσ = gσρs− Aσ2− Bσ3, (1.42)

m2_ωω0 = gωρ, (1.43)

M∗ = M − gσσ. (1.44)

O procedimento de solu¸c˜ao ´e o seguinte. Eliminamos as constantes do modelo (gσ, gω, A e

B) através da escolha de quatro observáveis que reproduzam valores experimentais. Para este fim, adotamos a energia de liga¸cão Bo, a incompressibilidade Ko na densidade de satura¸cão ρo

e a massa efetiva M∗. Esta última quantidade, apesar de não ser um observável diretamente inferido, guarda uma estreita correla¸cão com os n´ıveis de desdobramento no acoplamento L-S para núcleos finitos [10]. Isto é, para os modelos σ3 + σ4, valores de m∗ = M∗/M contidos no intervalo [0, 58 , 0, 64] produzem bons valores para os desdobramento de n´ıveis L-S nas ondas parciais L = 1 , 1p3/2− 1p1/2assim como para L = 2 , 1d5/2− 1d3/2. A equa¸cões (1.41) - (1.44)

compõem um sistema de equa¸cões que é resolvido de forma auto consistente, conjuntamente com as equa¸cões (1.18, 1.22, 1.24). A fixa¸cão de ρo = 0, 15 fm−3 estabelece de forma un´ıvoca,

via Eq. (1.18) o valor de kF = 1, 3 fm−1. Com este valor, a Eq. (1.44) pode ser resolvida

para um certo valor fixo de M∗/M obtendo-se o valor de σ = gσ/(M − M∗), assim como, a Eq.

(1.43) determina ωo = gωρo/m2ω. Observe que gσ e gω n˜ao foram determinados completamente.

As rela¸cões para σ e ωo em fun¸cão de gσ e gω, são usadas para eliminarmos a dependência com

os campos mesônicos nas equa¸cões e mantermos apenas a dependência com as constantes de acoplamento. Feito isso, ficamos com quatro equa¸cões e quatro constantes para serem definidas. Uma delas é a equa¸cão para incompressibilidade, escrita para modelos σ3 _{+ σ}4_{, Eq. (1.41), onde}

fixamos Ko. A outra é a equa¸cão (1.42), já escrita de forma compat´ıvel para modelos σ3 + σ4,

onde a massa efetiva é fixada. E as duas últimas equa¸cões são as versões para modelos σ3 + σ4 da energia e pressão, definidas a seguir a partir das Eqs. (1.22) e (1.24), respectivamente. Nesse caso, usamos v´ınculos para a energia de liga¸cão fixada para a matéria nuclear infinita em 16 MeV na satura¸cão ρo = 0, 15 fm−3, e a pressão nula na satura¸cão, P (ρo) = 0. Tais expressões,

para energia e press˜ao de modelos σ3 _{+ σ}4_{, s˜}_{ao escritas como}

EN L = 1 2m 2 σσ2+ A 3σ 3₊B 4σ 4₋1 2m 2 ωω20+ gωω0ρ + E_kinp + E_kinn (1.45)

(24)

1.1. Modelos Relativ´ısticos de Campo Médio 12 e PN L = − 1 2m 2 σσ2− A 3σ 3₋B 4σ 4₊1 2m 2 ωω02+ P p kin+ P n kin. (1.46) Uma vez posto o modelo, ilustramos esta se¸cão com as curvas de energia por nucleon e pressão nas figuras (1.1) e (1.2), respectivamente. As curvas foram constru´ıdas usando três parametriza¸cões distintas apenas na massa efetiva (0, 6, 0, 7 e 0, 8) e considerando os mesmos valores para energia de liga¸cão (Bo= 16 MeV), incompressibilidade (Ko = 250 MeV) e densidade

de satura¸cão (ρo= 0, 15 fm−3) para matéria nuclear simétrica (y = 1/2).

Figura 1.1: Curva da energia por part´ıcula em fun¸c˜ao de ρ/ρo, com modelos hadrˆonicos σ3+ σ4

via cálculo exato. São apresentadas três parametriza¸cões distintas apenas no valor da massa efetiva (0, 6, 0, 7 e 0, 8) e com valores fixos para energia de liga¸cão Bo, incompressibilidade Ko

e densidade de satura¸cão ρo dispostos na figura para a matéria nuclear simétrica (y = 1/2).

Figura 1.2: Curva da pressão em fun¸cão de ρ/ρo, com modelos hadrônicos σ3+ σ4 via cálculo

exato. Dados usados s˜ao semelhantes ao da figura anterior.

A curva da incompressibilidade em fun¸c˜ao da densidade para modelos com diferentes valores de massa efetiva s˜ao apresentados nas figuras 1.3 e 1.4. Nessas figuras podemos observar que existe um ponto de cruzamento (ρc)K. Observe que as figuras mostram o mesmo comportamento

(25)

Vejam ainda que (ρc)K praticamente n˜ao muda mesmo com essa varia¸c˜ao de m∗. Em um

intervalo ainda menor de m∗(0, 58 ≤ m∗≤ 0, 64), que se prestar´a posteriormente para predi¸c˜oes

teóricas do modelo, a varia¸cão de (ρc)K é ainda menor, conforme mostra a figura 1.4.

Figura 1.3: Curva da incompressibilidade em fun¸c˜ao de ρ/ρo, com modelos hadrˆonicos σ3+ σ4

via c´alculos exatos. S˜ao usadas massas efetivas distintas e extremas.

Figura 1.4: Curva da incompressibilidade em fun¸c˜ao de ρ/ρo, com modelos hadrˆonicos σ3+ σ4

via cálculos exatos. São usadas massas efetivas próximas do intervalo 0, 58 ≤ m∗≤ 0, 64.

(26)

as-1.1. Modelos Relativ´ısticos de Campo M´edio 14

simetria do sistema, é a energia de simetria e sua inclina¸cão, definidas, respectivamente, como S(ρ) = 1₂∂2_∂y(E/ρ)2 |y=1/2 e L = 3ρo∂S(ρ)_∂ρ |ρ=ρo. Na figura 1.5 apresentamos o gráfico de L × ρ/ρo

para os modelos do tipo σ3 + σ4 calculados exatamente.

Figura 1.5: L × ρ/ρo, com modelos hadrˆonicos σ3 + σ4 via c´alculo exato.

Posteriormente, no cap´ıtulo onde tomaremos o limite n˜ao relativ´ıstico (NR) dos modelos RMF, observaremos que para a energia de simetria para este limite tamb´em acontece tal cruza-mento em modelos que apresentem Ko e J fixos com m∗ variando. Ressalte-se aqui que a

densidade de cruzamento das inclina¸c˜oes da energia de simetria (ρc)L ´e diferente daquela que

encontramos no cruzamento das incompressibilidades em K × ρ/ρo, para m∗ fixos. Nesse caso,

(ρc)L ≈ 0, 56ρo. Notem ainda que (ρc)L n˜ao varia com Ko (figuras a e b) e varia muito pouco

com J (figuras a e c).

Os cruzamentos das incompressibilidades, mas não das inclina¸cões das energias de simetria, de diferentes parametriza¸cões de modelos foram investigados recentemente para os modelos tipo Skyrme [15]. Nesta tese, estendemos tais estudos para modelos RMF (ainda não investigados), assim como para seus limites não relativ´ısticos que nos permitirão abordagens mais anal´ıticas das expressões e das correla¸cões.

(27)

Cap´ıtulo 2

Limite n˜

ao-relativ´ıstico

Uma vez apresentados no cap´ıtulo anterior os modelos hadrônicos, trataremos neste de suas versões não relativ´ısticas. Isto é importante na medida em que há vários modelos não rela-tiv´ısticos na abordagem de sistemas com muitos nucleons. Este é o caso, por exemplo, dos modelos de Skyrme [5, 6, 7]. Na verdade, um estudo prospectivo relacionando a versão não relativ´ıstica dos modelos RMF (NR-RMF) com os modelos tipo Skyrme já foi proposto ante-riormente [48]. Vale ressaltar que nesta tese não trataremos desta rela¸cão ou da continuidade desse estudo, mas sim da explora¸cão dos modelos NR-RMF em toda sua plenitude e poten-cial. Isto é, como veremos adiante, os modelos NR-RMF permitem abordagem anal´ıticas para várias expressões presentes no estudo da matéria nuclear ordinária. Neste sentido, a questão que colocamos é se tais expressões poderiam ajudar no melhor entendimento de algumas cor-rela¸cões até então obtidas apenas via procedimento numérico. O estudo de tais correla¸cões, o mais importante da presente tese, será apresentado no cap´ıtulo 4.

Abaixo, detalharemos os principais passos para obten¸c˜ao de modelos NR-RMF. S˜ao eles:

• Primeiramente, selecionamos modelos RMF que contenham apenas intera¸cões cúbicas e quárticas no campo escalar σ. Isto é uma simplifica¸cão, mas que mesmo assim abrange um número expressivo de modelos até então apresentados na literatura [8]. De forma concisa, escolhemos modelos com contribui¸cões σ3 e σ4 na densidade lagrangiana. Basicamente, tais modelos são conhecidos como modelos Boguta-Bodmer [4].

• Em seguida, usamos suas versões de alcance nulo (intera¸cões de contato), citados na liter-atura como modelos NLPC [17, 18, 19, 20, 21, 16]. A justificativa para tais versões será apresentada.

• E em terceiro, realizamos o limite não relativ´ıstico dos modelos NLPC, agora de contato, baseados na normaliza¸cão do spinor que descreve a fun¸cão de onda relativ´ıstica, após a redu¸cão de sua pequena componente, exatamente o mesmo caminho desenvolvido na Ref. [22]. Tal procedimento foi usado também na Ref. [48], na qual bons resultados foram encontrados na região de baixas densidades, ρ ≤ ρo.

Agora, apresentamos a justificativa para as versões NLPC dos modelos RMF. Consideremos inicialmente a versão mais simplificada de todas dos modelos RMF, isto é, o caso particular A = B = 0 do cap´ıtulo anterior. Esta simplica¸cão reduz os modelos RMF ao modelo de Walecka, pioneiro de todos eles. Das equa¸cões de movimento apresentadas no cap´ıtulo anterior obtemos as rela¸cões m2_σσ = gσρs, mω2ω0 = gωρ e M∗ = M − gσσ. Com estas rela¸cões, reescrevemos as

equa¸c˜oes de estado para o modelo de Walecka (W) como

EW = 1 2 g2 σ m2 σ ρ2_s+1 2 g2 ω m2 ω ρ2_{+ Ekin,} (2.1) 15

(28)

2. Limite n˜ao-relativ´ıstico 16 e PW = − 1 2 g_σ2 m2 σ ρ2_s+1 2 g_ω2 m2 ω ρ2_{+ Pkin.} (2.2) onde se define C_σ2 = g 2 σM2 m2 σ , e (2.3) C_ω2 = g 2 ωM2 m2 ω . (2.4)

As equa¸c˜oes acima, juntamente com a gap equation abaixo, definem completamente o modelo.

1 − C_σ2 γ 2π2 Z kF/M 0 x2dx p (1 + x2₎ = 0, (2.5)

onde x = k/M ´e uma grandeza adimensional.

Um aspecto curioso deste modelo ´e que a massa escalar (vetorial) mσ (mω) e a constante

de acoplamento gσ (gω) nas equa¸c˜oes de estado para mat´eria nuclear infinita apresentam-se de

forma conjunta e de tal forma que, as únicas constantes livres do modelo são C_σ2 e C_ω2. Com isto, uma vez estabelecidas tais constantes, o modelo está completamente definido. De forma mais clara, este modelo não pode distinguir valores arbitrários para as massas mesônicas. Tal arbitrariedade pode ser estendida para incluir massas mesônicas cada vez maiores desde que tais constantes permane¸cam fixas. Claramente, ao aumentarmos as massas mesônicas estaremos diminuindo o alcance da intera¸cão. Assim, pode-se tomar um limite para massas mesônicas muito grandes desde que se arbitre valores também muito altos para gσ e gω de tal forma a

deixar C_σ2 e C_ω2 imutáveis. Neste caso, o modelo seria o mesmo e foi neste sentido que se imaginou os modelos NLPC. A dinâmica contida em tais modelos de campo médio não poderia distinguir bem a questão do alcance das intera¸cões. De fato, no caso particular do modelo de Walecka ambas as versões, de alcance finito ou de alcance zero, são iguais em todos os cálculos envolvendo as propriedades da matéria nuclear. Portanto, a extensão de versões NLPC para os demais modelos RMF dá-se de forma natural [16, 17, 18, 19].

Assim, a versão para o modelo NLPC de Boguta-Bodmer, que inclui intera¸cões σ3 e σ4, é descrito pela seguinte densidade lagrangiana

LNLPC = ¯ψ(iγµ∂µ− M )ψ − 1 2G 2 V( ¯ψγ µ_ψ)2₊1 2G 2 S( ¯ψψ) 2₊ A 3( ¯ψψ) 3₊B 4( ¯ψψ) 4₋1 2G 2 TV( ¯ψγ µ_~_{τ ψ)}2_, (2.6) que simula intera¸cões de dois, três e quatro corpos com o spinor para campo fermiônico ψ associado ao nucleon de massa M . Nesta equa¸cão, o último termo foi inclu´ıdo para poder considerar a assimetria do sistema (diferen¸ca entre o número de prótons e de nêutrons). Note que o isospin do nucleon é representado por ~τ e a seta nesta quantidade indica que esta grandeza ´

e de origem vetorial tamb´em no espa¸co de isospin. Usando a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange para o spinor ¯ψ, encontramos (iγµ∂µ−M )ψ−G2V( ¯ψγ µ_ψ)γµ_ψ+G2 S( ¯ψψ)ψ+A( ¯ψψ) 2_{ψ+B( ¯}_ψψ)3_ψ−G2 TV( ¯ψγ µ_~_{τ ψ)γ}µ_~_{τ ψ = 0. (2.7)}

Definindo ρ3 = ¯ψγµ~τ ψ, ρ = ¯ψγµψ e ρs= ¯ψψ, ficamos com

[iγµ∂µ− M − G2Vργ µ_{+ G}2 Sρs+ Aρ 2 s+ Bρ3s− G2TVρ3γ µ_~_{τ ]ψ = 0.} _(2.8)

Uma abordagem amplamente utilizada é a chamada aproxima¸cão de campo médio, onde os campos da teoria, mesônicos escalar e vetorial, são substitu´ıdos por seus respectivos valores

(29)

2. Limite n˜ao-relativ´ıstico 17 m´edios, σ → hσi = σ ψψ →¯ ¯ ψψ = ¯ψψ = ρs; wµ→ hwµi = w0 ψγ¯ µψ →ψγ¯ µψ= ¯ψγ0ψ = ρ, ¯ ψγµ~τ ψ →¯ ψγµ~τ ψ = ¯ψγ0τ3ψ = ρ3.

Usando esta aproxima¸c˜ao, obtemos

h iγ0∂0+ iγa∂a− M − γ0G2Vρ + G 2 Sρs+ Aρ 2 s+ Bρ3s− γ0G2TVρ3τ3 i ψ = 0. (2.9)

Multiplicando a esquerda por γ0 e fazendo γ0γa= αa e ∂0 = _∂t∂ ficamos com

h −iαa∂a+ γ0 M − G2Sρs− Aρ 2 s− Bρ3s + G2Vρ + G 2 TVρ3τ3 i ψ = i∂ψ ∂t. (2.10) A equa¸c˜ao acima pode ser reescrita em termos de S e V , com ka= i∂a,

h ~ α.~k + γ0M + S+ Viψ = Eψ, onde S = −G2Sρs− Aρ 2 s− Bρ3s (2.11) e V = G2_Vρ + G2_TVρ3τ3. (2.12) Sabendo que ψ = φ χ ! e ~α.~k = 02×2 ~σ.~k ~ σ.~k 02×2 ! , escrevemos M + S + V ~σ.~k ~ σ.~k −M − S + V ! φ χ ! = E φ χ ! .

Com isso, obtemos as equa¸c˜oes

~

σ.~kχ + (M + S + V )φ = Eφ, (2.13) ~

σ.~kφ − (M + S − V )χ = Eχ. (2.14)

Introduzindo as constantes Σ = V + S e ∆ = V − S, obtemos

~

σ.~kχ + (M + Σ)φ = Eφ, (2.15) ~

σ.~kφ − (M − ∆)χ = Eχ. (2.16)

Com o intuito de prosseguir na dedu¸cão do limite não relativ´ıstico, aplicamos ao modelo NLPC na aproxima¸cão de campo médio, a redu¸cão da pequena componente da equa¸cão de Dirac. Esta redu¸cão pode ser aplicada para estudo da matéria nuclear por diferentes vertentes. Uma delas é a aproxima¸cão ρ = ρs, que em princ´ıpio é um limite não-relativ´ıstico, pois como

vimos, a fun¸c˜ao de onda relativ´ıstica pode ser representada em termos da grande componente ( φ ) e da pequena componente ( χ ). Em termos destas componentes, a densidade vetorial ρ e a densidade escalar ρs podem ser representas como

ρ ∝ |φ|2+ |χ|2, (2.17) e

(30)

2. Limite n˜ao-relativ´ıstico 18

A aproxima¸c˜ao ρ = ρs consiste em desprezar completamente a pequena componente, respons´avel

pelo efeito relativ´ıstico, χ . Mesmo assim, tal aproxima¸cão ainda guarda informa¸cões rela-tiv´ısticas sobre o modelo, mais precisamente através da massa efetiva ¯M . Como exemplifica¸cão `

a parte, vamos mostrar a dedu¸cão de ¯M para a aproxima¸cão ρ = ρs a partir da redu¸cão da

pequena componente da equa¸cão de Dirac. A dedu¸cão completa desta aproxima¸cão será apre-sentado no Cap´ıtulo 3. Assim, a partir da Eq. (2.16), reescrevemos a componente χ em fun¸cão da componente φ como

χ = ~σ.~k

E + M − ∆φ = B~σ.~kφ, (2.19) onde B = [E + M − ∆]−1. Substituindo a Eq. (2.19) na (2.15), encontramos

k2

2M − ∆ − + Σ

!

φ = −φ, (2.20)

com = M − E sendo a energia do nucleon. Observe que esta express˜ao pode ser descrita pelo hamiltoniano

H = k

2

2 ¯M + Σ, (2.21)

com uma correspondente massa efetiva

¯ M = M 1 −∆ + 2M . (2.22)

Note que a Eq. (2.21) indica uma semelhan¸ca com hamiltonianos tipo Schrödinger. Antes de darmos continuidade ao cálculo da massa efetiva para a aproxima¸cão ρ = ρs dos modelos

NLPC, definimos a grandeza adimensional m∗ = M∗/M como a razão entre a massa efetiva de um nucleon no meio nuclear (M∗) e a massa pura nucleon no vácuo (M ). Esta razão é largamente usada na literatura para definir o valor da massa efetiva para modelos relativ´ısticos que descrevem a matéria nuclear. Observe que ¯M aparece quando o modelo é tratado no formalismo descrito acima e relaciona-se de alguma forma com a razão m∗. Para estabelecer tal rela¸cão entre ¯M e m∗ utilizamos três etapas. A primeira é reescrever ¯M como

¯ M = 1 2 2M + S − V − . (2.23)

A segunda é extrair uma rela¸cão de dispersão para o modelo, na qual a massa efetiva para o nucleon relativ´ıstico possa ser facilmente visualizada. Para isso escrevemos a Eq. (2.15) em termos de χ como

~ σ.~k2

E + M − V + Sφ + (M + V + S − E)φ = 0.

Agora, multiplicando-se esta ´ultima equa¸c˜ao por (E + M − V + S) encontra-se

~σ.~k2+h(M + S) − (E − V )ih(M + S) + (E − V )i

φ = 0

e pode-se determinar a rela¸c˜ao de dispers˜ao,

h

(E − V )2− (M + S)2− k2iφ = 0, (2.24) que descreve um nucleon relativ´ıstico com massa efetiva M∗ = M + S e energia E∗ = E − V . A terceira etapa consiste em substituir S = M∗− M na Eq. (2.23), para determinar a rela¸c˜ao entre ¯M e m∗, escrita como

¯ M M = 1 2 1 + m∗− V M − M . (2.25)

(31)

Esta rela¸cão se fará necessária quando avaliarmos a aproxima¸cão ρ = ρs para os modelos NLPC

no cap´ıtulo 3. Tal rela¸cão é importante quando, a partir da aproxima¸cão ρ = ρs, procura-se

reproduzir os valores de alguns parâmetros de bulk calculados via modelos RMF exatos. Cor-rigindo a massa do modelo através da Eq. (2.25), esta aproxima¸cão reproduz os valores de alguns parâmetros de bulk próximos do encontrado através do cálculo exato dos modelos FR-RMF, como por exemplo, o coeficiente de skewness Qo na densidade de satura¸cão. Entretanto, este estudo

não é apresentado nesta tese. Concentramos nossos esfor¸cos em desenvolver expressões anal´ıticas para o limite NR dos modelos NLPC. De forma que, resultados encontrados para o limite NR podem ser usados como uma orienta¸cão adequada para inferir poss´ıveis resultados em modelos RMF com intera¸cões σ3 e σ4.

Retornando a dedu¸cão do limite não relativ´ıstico, a redu¸cão da pequena componente da equa¸cão de Dirac, nas Eqs. (2.13)-(2.14), pode ser escrita como

(~σ.~kB~σ.~k + M + S + V )φ = Eφ, (2.26) onde B = B0 ₁ 1 + (ε − S − V )B0 ' B0+ (S + V − ε)B02, (2.27) B0 = 1 2(M + S) (2.28)

e ε = E −M . Observe que a expans˜ao usada em B foi em torno do parˆametro x = (ε−S −V )B0.

Usando esta expans˜ao na Eq. (2.26) encontramos

h ~ σ.~kB0~σ.~k + ~σ.~k(S + V )B02~σ.~k − ~σ.~kεB02~σ.~k + M + S + V i φ = Eφ h ~σ.~kB0~σ.~k + ~σ.~k(S + V )B02~σ.~k + S + V i φ = εh1 + ~σ.~kB₀2~σ.~kiφ h ~ σ.~kB0~σ.~k + ~σ.~k(S + V )B02~σ.~k + S + V i φ = ε ˆIφ, (2.29)

onde definimos o operador Î = 1 + ~σ.~kB₀2~σ.~k. Multiplicando ambos os membros da equa¸cão a esquerda por Î−1/2 e, introduzindo o operador identidade, escrito convenientemente como ˆ

1 = ˆI−1/2Iˆ1/2, antes da fun¸c˜ao φ do primeiro membro na Eq. (2.29), obtemos ˆ

I−1/2h~σ.~kB0σ.~~ k + ~σ.~k(S + V )B02~σ.~k + S + V

i

ˆ

I−1/2Iˆ1/2φ = ε Î1/2φ. Note que a rela¸cão acima sugere a equa¸cão de Schrödinger dada por

ˆ

Hclassϕclass= εϕclass (2.30) para ˆ Hclass = Î−1/2h~σ.~kB0~σ.~k + ~σ.~k(S + V )B20~σ.~k + S + V i ˆ I−1/2, ϕclass= Î1/2φ (2.31) e com Î−1/2 e Î1/2 definidos respectivamente como

ˆ I−1/2 = (1 + ~σ.~kB₀2~σ.~k)−1/2≡ 1 − 1 2~σ.~kB 2 0~σ.~k + 3 8~σ.~kB 2 0~σ.~k + · · · (2.32) ˆ I1/2 = (1 + ~σ.~kB₀2~σ.~k)1/2≡ 1 + 1 2~σ.~kB 2 0~σ.~k − 1 8~σ.~kB 2 0~σ.~k + · · · (2.33)

Ressaltamos ainda que ϕclassé a quantidade que descreve a fun¸cão de onda não relativ´ıstica. Isso é devido ao fato que ϕclass é uma grandeza propriamente normalizada. Além disso, como

(32)

pode ser visto no Apêndice A, expandindo-se o operador ˆHclass e tomando apenas termos até a ordem de k2, obtemos a energia por part´ıcula única igual a

Hclass= k

2

2(M + S)+ S + V. (2.34)

Inserindo os valores de S = −G2Sρs− Aρ

2

s− Bρ3s e V = G2Vρ + G

2

TVρ3τ3 na rela¸c˜ao acima e

aproximando de forma grosseira

M + S = M 1 + S M ≈ M, (2.35)

encontramos Hclass em fun¸c˜ao das densidades vetorial e escalar, Hclass= k 2 2M − G 2 Sρs− Aρ 2 s− Bρ3s+ G2Vρ + G 2 TVρ3τ3. (2.36)

A normaliza¸cão do spinor que representa a fun¸cão de onda, após a redu¸cão de sua pequena componente, gera modifica¸cões nas densidades vetorial e escalar. No Apêndice A é detalhada a dedu¸cão das novas equa¸cões para as densidades vetorial e escalar, respectivamente, dadas por

ρ = |ϕclass|2, (2.37) ρs = ρ(1 − 2B20k2). (2.38)

Comparando, observe que a aproxima¸c˜ao ρ = ρs consiste em usar apenas o primeiro termo

da expansão (2.38). Usando-se este resultado para o cálculo da energia de part´ıcula única, a Eq. (2.36) torna-se Hclass= k 2 2M + (G 2 V− G 2 S)ρ − Aρ 2_{− Bρ}3_{+ 2B}2 0k2ρ(G2S+ 2Aρ + 3Bρ 2_{) + G}2 TVρ3τ3.

Como τ3é 1 para prótons e −1 para nêutrons, teremos diferentes expressões para energia de

part´ıcula única, H_pclass= k 2 2M + (G 2 V− G 2 S)ρ − Aρ 2_{− Bρ}3_{+ 2B}2 0k2ρ(G2S+ 2Aρ + 3Bρ 2_{) + G}2 TVρ3 para prótons e H_nclass= k 2 2M + (G 2 V− G 2 S)ρ − Aρ 2_{− Bρ}3_{+ 2B}2 0k2ρ(G2S+ 2Aρ + 3Bρ 2_{) − G}2 TVρ3 para nêutrons.

Assim, as energias de prótons e nêutrons de um sistema de N part´ıculas são dadas, respec-tivamente, por Ep= γ 2M kF X i=0 k2_i+Nh(G2V−G 2 S)ρ−Aρ2−Bρ3 i +2B2₀ρ(G2S+2Aρ+3Bρ 2_)γ kF X i=0 k_i2+G2TVρ3N, (2.39) En= γ 2M kF X i=0 k2_i+Nh(G2V−G 2 S)ρ−Aρ 2_−Bρ3i_+2B2 0ρ(G2S+2Aρ+3Bρ 2_)γ kF X i=0 k_i2−G2_TVρ3N, (2.40)

onde kF é o momento de Fermi, γ é o número de nucleons em cada n´ıvel de energia, respeitando