Resumo-ElementosdeAnáliseInfinitésimalI

Texto

(1)Resumo – Elementos de Análise Infinitésimal I Apêndice B – Os números naturais Axiomática de Peano • Axioma 1 : 1 ∈ ℕ. • Axioma 2 : Se ∈ ℕ, então + 1 ∈ ℕ. • Axioma 3 : 1 não é sucessor de nenhum ∈ ℕ. • Axioma 4 : Se + 1 = + 1, então = . • Axioma 5 : Se ⊂ ℕ for tal que 1 ∈ e + 1 ∈ sempre que ∈ , então = ℕ. (Princípio da indução). Tema 1 – Números, sucessões e séries 1.1. Números racionais • Sistema algébrico : sucessão finita , , … , constituída por um conjunto e operações , … , em . • Operação : aplicação de × em , isto é, um processo que permite fazer corresponder a cada par ordenado , de elementos de um e só um elemento de , notado . • Grupo : par ,∙ constituído por um conjunto e uma operação ∙ satisfazendo as propriedades: 1. A operação ∙ é associativa ; 2. Existe em um só elemento neutro à esquerda, isto é, existe um único ∈ tal que para qualquer ∈ , ∙ = ; 3. Todos os elementos de têm inversos esquerdos, isto é, dado ∈ , existe ∈ tal que ∙ = , sendo o elemento neutro referido em 2 • Grupo abeliano (comutativo) : grupo ,∙ onde a operação ∙ é comutativa. (Ex.: ℤ, +) • Anel : triplo , +,∙ constituído por um conjunto e duas operações notadas + e ∙ satisfazendo as propriedades: 1. , + é grupo abeliano ; 2. A operação ∙ é associativa ; 3. são válidas as duas leis distributivas : → ∙ + = ∙ + ∙ (distributiva equerda) → + ∙ = ∙ + ∙ (distributiva direita) para quaisquer , , ∈ . • Anel abeliano (comutativo) : anel , +,∙ onde a operação ∙ é comutativa. (Ex.: ℤ, +,∙) • Anel de divisão : triplo , +,∙ que verifica : 1. , +,∙ é um anel ; 2. \0,∙ é um grupo • Corpo : anel de divisão , +,∙ onde a operação ∙ é comutativa. (Ex.: ℚ, +,∙) • Corpo ordenado : quadrúplo , +,∙, elementos chamam-se elementos positivos de → Quando , +,∙ é um corpo e ⊂ verifica : 1. Se , ∈ então + ∈ e ∙ ∈ ; 2. Para qualquer ∈ ume e uma só das 3 alternativas ocorre : =0, ∈ ou − ∈ ; • Num corpo ordenado : → " ⊂ é limitado superiormente em # quando existe $ ∈ tal que ≤ $ para qualquer ∈" − qualquer elemento & ≥ $ diz-se majorante de ( − caso exista, o menor de todos os majorantes, chama-se supremo de ( ()*+() − quando ,-." ∈ ", ,-." diz-se o máximo de ( (/01() → " ⊂ é limitado inferiormente em # quando existe $ ∈ tal que ≥ $ para qualquer ∈ " − qualquer elemento & ≤ $ diz-se minorante de ( − caso exista, o maior de todos os minorantes, chama-se ínfimo de ( (234() − quando 56" ∈ ", 56" diz-se o mínimo de ( (/23(). Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I. 1/12. João Marques.

(2) • •. • •. • •. • • • •. Propriedade arquimediana : Para quaisquer 7, $ > 0 em , existe ∈ ℕ tal que 7 > $. (Ex.: ℚ é um corpo arquimediano) Densidade : Dados dois elementos 7, $ ∈ com 7 < $, existe & ∈ tal que 7 < & < $ → qualquer corpo ordenado é infinito → qualquer corpo ordenado é denso Sucessão (em :) : Qualquer aplicação ∶ ℕ → que a cada natural ∈ ℕ associa um elemento ∈ . Seja uma sucessão em . → diz-se limitada superiormente se o conjunto dos seus termos, isto é, o conjunto ∈ ∶ ∈ ℕ, for limitado superiormente em . → diz-se limitada inferiormente se o conjunto dos seus termos, isto é, o conjunto ∈ ∶ ∈ ℕ, for limitado inferiormente em . , ≥ 0 @ Módulo (valor absoluto) : ∈ || = ? − , < 0 Limite de uma sucessão : Seja um corpo ordenado, 7 ∈ e uma sucessão de elementos em . Diz-se que tende ou converge para 7, quando para qualquer A > 0 em , se pode determinar um número . ∈ ℕ tal que para qualquer ≥ . se tenha | − 7| < A. Escreve-se → 7 ou lim→E = 7 ou lim = 7. − O limite de uma sucessão num corpo ordenado , quando existe, é único. − Em notação : lim→E = 7 < = > ∀A > 0 ∃. ∈ ℕ ∶ ≥ . = > | − 7| < A Característica : maior inteiro não superior a notação : HI Teorema das sucessões enquadradas (1.1.1) : Se , , são três sucessões num corpo ordenado tais que ≤ ≤ para ≥ J e lim = lim = 7, então lim = 7 Teorema (1.1.2) : Seja um corpo ordenado. Se , são sucessões em tais que → 7, → $ e 7 < $, então existe uma ordem a partir da qual se tem < . Teorema (Passagem ao limite de uma desigualdade) (1.1.3) : Seja um corpo ordenado. Se → 7, → $ em e ≤ a partir de certa ordem, então 7 ≤ $. → Abreviadamente : ≤ = > lim ≤ lim . 1.2. Números reais • Princípio do encaixe (1.2.1) : Dada uma sucessão infinita de intervalos fechados não vazios em ℝ, L = H7 , $ I, com L ⊃ LN para qualquer ∈ ℕ, existe pelo menos um número real & tal que para qualquer ∈ ℕ, & ∈ L . • Princípio do encaixe (2ª forma) (1.2.2) : Dada uma sucessão infinita de intervalos não vazios em ℝ, L = H7 , $ I, com L ⊃ LN para qualquer ∈ ℕ e $ − 7 → 0, existe um e um só real & tal que, para qualquer ∈ ℕ, & ∈ L . Além disso, tem-se 7 → & e $ → &. O • Teorema (1.2.3) : Seja 7 ∈ ℤ, $ ∈ ℕ um número racional na forma irredutível raíz da equação P .Q + . R + ⋯ + .R + . = 0 onde os coeficientes .T ∈ ℤ e .Q ≠ 0. Então 7 é divisor de . e $ é divisor de .Q . • Corolário (1.2.4) : Toda a raíz racional da equação + . R + ⋯ + .R + . = 0, onde .T ∈ ℤ, é necessáriamente um número inteiro, isto é, toda a raíz real é inteira ou irracional. • Princípio do supremo (1.2.5) : Qualquer parte V de ℝ não vazia e majorada tem supremo. • Conjunto numerável : Um conjunto diz-se numerável se existe uma bijecção W ∶ ℕ → . • Teorema (1.2.6) : ℚ é numerável. • Cardinalidade : Dois conjuntos e " têm o mesmo número de elementos ou o mesmo número cardinal se existir uma bijecção W ∶ → ". • Teorema (1.2.7) : ℝ não é numerável. ● Teorema (1.2.8) : ℝ\ℚ não é numerável. • Dízima finita : Expressão da forma 7Q , 7 7X … 7 onde 7Q ∈ ℤ, ∈ ℕ e 7 , … , 7 ∈ 0,1,2, … ,9. Por definição, atribuímos a esta expressão o O O O seguinte significado: 7Q , 7Q + [ + \\ + ⋯ + ]] . •. • •. Q. Q. Q. Dízima infinita : Expressão da forma 7Q , 7 7X … onde 7Q ∈ ℤ e para cada 5 ∈ ℕ, e 7T ∈ 0,1,2, … ,9. Assim, podemos identificar uma dízima infinita com um par ^7Q , 7 _ constituído por um inteiro 7Q e uma sucessão 7 em 0,1,2, … ,9. Racionais em dízima : dízima infinita periódica Irracionais em dízima : dízima infinita não periódica. Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I. 2/12. João Marques.

(3) 1.3. Topologia e sucessões em ℝ • Vizinhança : Seja & ∈ ℝ. Chamamos vizinhança de raio ` > 0 do ponto & ao intervalo I& − `, & + `H que designaremos por La &. A qualquer conjunto b que contenha uma vizinhança de raio ` > 0 do ponto & chama-se uma vizinhança de &. • Noções topológicas : Todas as noções que se podem exprimir na noção de vizinhança de um ponto. • Seja V ⊂ ℝ e & ∈ ℝ : → Diz-se que & é interior a c se existe uma vizinhança La & ⊂ V 5J V → Diz-se que & é exterior a c se for interior a ℝ\V, o que é equivalente a dizer que existe uma vizinhança de & que não intersecta V. J V → O ponto & diz-se fronteiro a c se & não for interior nem exterior a V. Assim, & ∈ ℝ é fronteiro a V se e só se toda a vizinhança de & intersecta V e ℝ\V. 6d V → O ponto & diz-se aderente a c se qualquer vizinhança de & intersecta V. Ve • Consequências destas definições: 1) J V = 5J ℝ\V, 5J V = J ℝ\V 2) 6d V = 6d ℝ\V 3) 5J V ∪ J V ∪ 6d V = ℝ, sendo estes 3 conjuntos disjuntos 2 a 2 4) Ve = V ∪ 6d V = 5J V ∪ 6d V • Ponto de acumulação : Seja & ∈ ℝ. O ponto & diz-se um ponto de acumulação do conjunto V ⊂ ℝ se qualquer vizinhança de & contém pelo menos um ponto de V distinto de &. La & ∩ V\& ≠ ∅ • Derivado : Ao conjunto dos pontos de acumulação de um conjunto V chama-se o derivado de V e representa-se por V′ • Ponto isolado : & diz-se um ponto isolado de V se & ∈ V e & ∉ V′. • Conjunto aberto : Um conjunto diz-se aberto se 5J V = V. • Conjunto fechado : Um conjunto diz-se fechado se Ve = V, ou então, se contém os seus pontos de acumulação. • Máximo/Mínimo : Se V ⊂ ℝ é não vazio limitado e fechado, então V tem máximo e mínimo. • Teorema de Bolzano-Weierstrass (1.3.5) : Todo o conjunto V ⊂ ℝ infinito e limitado admite pelo menos um ponto de acumulação em ℝ. • Subsucessão (1.3.6) : Seja ∶ ℕ → ℝ uma sucessão real. Chamamos subsucessão ou sucessão extraída de a qualquer sucessão ∘ l ℕ → ℝ onde l ∶ ℕ → ℕ é uma sucessão de naturais estritamente crescente. Uma subsucessão resume-se a uma sucessão extraída da sucessão original, escolhendo certos índices por ordem crescente. • Corolário do Teorema de Bolzano-Weierstrass (1.3.7) : Toda a sucessão limitada admite uma subsucessão convergente. • Teorema (1.3.8) : Se é uma sucessão convergente, todas as suas subsucessões são convergentes. • Teorema (1.3.9) : Toda a sucessão convergente é limitada. • Monotonia de uma sucessão : → é crescente quando N ≥ para qualquer ∈ ℕ → é decrescente quando N ≤ para qualquer ∈ ℕ → é monótona quando for crescente ou decrescente • Teorema (1.3.10) : Toda a sucessão monótona limitada é convergente. • Teorema (1.3.11) : Se → 7 e → $, então: a) + → 7 + $ b) → 7$ m O c) ] → se $ ≠ 0 e não se anular • •. n]. P. Teorema (1.3.12) : Se é limitada e → 0, então → 0 Teorema (1.3.13) : a) Se o > 0, então lim p = 0 . q. b) Se 7 > 1 e l é um real qualquer, então lim ] = 0 (A exponencial 7 de base 7 > 1 cresce O mais rapidamente que qualquer potência r , quando → ∞.) c) Se || < 1, então lim = 0.. Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I. 3/12. João Marques.

(4) m N⋯Nm. ] d) Se lim = $, então lim [ = $. (Se uma sucessão converge para $, então a média aritmética dos seus primeiros termos converge também para $). e) Se > 0 e lim = $, então lim ]t … = $. (Se uma sucessão converge para $, então a média geométrica dos seus primeiros termos converge também para $). m f) Se > 0 e lim ]u[ = $, então lim ]t = $.. m]. • • •. •. • • • •. •. •. g) Se o > 0, então lim ]to = 1. ] h) lim √ = 1. Propriedade : Se 6 ∶ V → ℝ é contínua no ponto $ ∈ V e → $ com ∈ V então 6 → 6 $. Convergência no sentido de Cesàro : A sucessão converge para $ no sentido de Cesàro se a m N⋯Nm] média dos primeiros termos, isto é, a sucessão [ , convergir no sentido ordinário para $. . Convergência no sentido de Holder : − A sucessão → $ no sentido de Holder–1 se → $ no sentido de Cesàro. − A sucessão → $ no sentido de Holder–2 se a média das primeiras médias convergir para $. − e assim sucessivamente. Sucessão de Cauchy : Uma sucessão em ℝ diz-se sucessão de Cauchy em ℝ se para cada A > 0 é possível encontrar um número . ∈ ℕ tal que |w − | < A para qualquer ≥ . e qualquer ≥ .. Uma sucessão de Cauchy é portanto uma sucessão onde, para cada A > 0, existe uma ordem a partir da qual a distância entre dois termos quaisquer é inferior a A. Proposição (1.3.14) : Se é sucessão de Cauchy em ℝ, então para qualquer x > 0 inteiro tem-se Ny − → 0 quando → ∞. (Não é válida a recíproca desta proposição) Teorema (1.3.15) : Toda a sucessão convergente em ℝ é de Cauchy em ℝ. Teorema (1.3.16) : Toda a sucessão de Cauchy em ℝ é convergente em ℝ. Critério de convergência de Cauchy-Bolzano : É condição necessária e suficiente para que a sucessão convirja em ℝ que para qualquer real A > 0, exista . ∈ ℕ tal que |Ny − | < A para qualquer x > 0 e qualquer ≥ .. Em símbolos : ∀A > 0 ∃. ∈ ℕ ∀x > 0 ∀ ≥ . |Ny − | < A Limites infinitos : Seja uma sucessão em ℝ. Diz-se que tende para +∞ quando tende para infinito, e escreve-se → +∞ ou lim→NE = +∞, quando para cada real z > 0 se pode fazer corresponder um número . ∈ ℕ tal que > z para qualquer ≥ .. Dito de outra maneira, → +∞ se, a partir de certa ordem, for superior a qualquer número positivo previamente fixo. Teorema (1.3.18) : Sejam e sucessões reais. Tem-se: a) Se → +∞ ou → −∞, então → ∞ ; b) Se 7 > 1, então 7 → +∞ ; c) Se → 0, então → ∞ ; m] . d) Se → ∞, então. • •. →0;. Se ≤ para ≥ . e → +∞, então → +∞ ; Se → +∞ e é limitada inferiormente então + → +∞ ; Se → −∞ e é limitada superiormente então + → −∞ ; Se → ∞ e é limitada, então + → ∞ ; Se → ∞ e existe um . ∈ ℕ tal que o conjunto ∈ ℝ ∶ ≥ . tem um minorante positivo ou um majorante negativo, então → ∞ ; Teorema (1.3.19) : Seja 7 ∈ ℝ ∪ −∞, +∞, ∞. Se → 7 e 5 é uma sucessão de inteiros tais que 5 → +∞ então T → 7. Característica de um número real : maior inteiro não superior a notação : HI. e) f) g) h) i) •. m]. Teorema (1.3.20) : Sejam 7, l ∈ ℝ tais que 7 > 1 e l > 0. Então. q. {|}~ . → +∞, isto é, o logaritmo. de base 7 > 1 tende para infinito menos rapidamente que qualquer potência r com l > 0. . Teorema (1.3.21) : Se → ∞, tem-se 1 +. •. Teorema (1.3.22) : Se ∈ ℝ, então 1 + → m. Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I. ] m . . ]. •. →. . 4/12. João Marques.

(5) lim. O]. = lim. O]u[ RO]. desde que $ seja estritamente. •. Teorema (1.3.23) : Vale a igualdade. •. crescente para +∞ e exista o limite do lado direito da igualdade (finito, +∞ ou −∞). Sucessões assimptoticamente iguais : Quando duas sucessões , estão relacionadas de tal m modo que ] → 1 quando → ∞, diz-se que são assimptoticamente iguais e escreve-se ≅ .. P]. P]u[ RP]. n]. Intuitivamente significa que é praticamente igual a para muito grande ou, como se diz também, são iguais no infinito.. Tema 2 – Séries de números reais (1.4) 1.4.1. Definição e generalidades • Sucessão das somas parciais : Seja 7 uma sucessão de números reais. Podemos associar a esta sucessão uma outra sucessão = 7 + 7X + ⋯ + 7 , a que chamaremos sucessão das somas parciais de 7 . • Série : Chama-se série à sucessão de pares ordenados 7 , , e representa-se por ∑E 7 . • Série convergente : Diz-se que a série 7 é convergente se existir em ℝ, lim→E = e escrevemos ∑E 7 = ou 7 + 7X + ⋯ + 7 = . O número real diz-se a soma da série ∑E 7 . • Série divergente : Diz-se que a série 7 é divergente se não existir em ℝ, lim→E = . • Convergência da série geométrica : = ∑E x ∙ d , x ≠ 0 y − Se |d| < 1 então = (convergente) R R ]u[. Se |d| > 1 então = x (divergente) R − Se d = 1 então = + 1x (divergente) − Se d = −1 então é divergente Séries de Mengoli : Dada uma série ∑E 7 , se existir uma sucessão → e um número inteiro x ≥ 1 tal que 7 = − Ny , então ∑E 7 é convergente e tem-se: ∑E 7 = + X + ⋯ + y − x. E Série harmónica : ∑ −. •. • • •. • •. •. • • • •. . E Teorema (6) : A série ∑E 7 converge se e só se existe . ∈ ℕ tal que ∑ 7 converge. Teorema (7) : E E a) Se x ∈ ℝ e x ≠ 0, então ∑E 7 converge se e só se ∑ x7 convergir, e tem-se ∑ x7 = E x ∑ 7 . E E b) Se ∑E 7 e ∑ $ são duas séries convergentes, então a série ∑ 7 + $ é E E convergente e tem-se ∑E 7 + $ = ∑ 7 + ∑ $ . E Teorema (8) : Se ∑ 7 é convergente, então 7 → 0. Critério de convergência de Cunha (9) : A série ∑E 7 é convergente se e só se para cada A > 0 existe . ∈ ℕ tal que |7N + 7NX + ⋯ + 7Ny | < A para qualquer ≥ . e qualquer x ∈ ℕ. Em símbolos: ∀A > 0 ∃. ∈ ℕ ∀, x ∈ ℕ ≥ . |7N + 7NX + ⋯ + 7Ny | < A Menos rigorosamente, poderíamos dizer que uma série é convergente se e só se existir uma ordem a partir da qual o valor absoluto de qualquer soma finita de termos consecutivos é tão pequena quanto se queira. (usualmente referido por critério de Cauchy-Bolzano) Critério de comparação (10) (um dos mais importantes critérios de convergência) : Sejam 7 ≥ 0, $ ≥ 0 e 7 ≤ $ a partir de uma certa ordem ≥ .. Então: E a) Se ∑E $ converge, ∑ 7 converge ; E E b) Se ∑ 7 diverge, ∑ $ diverge. Série absolutamente convergente : Uma série ∑E 7 diz-se absolutamente convergente quando ∑E |7 | for convergente. Teorema (14) : Toda a série absolutamente convergente é convergente. Série simplesmente convergente : Uma série diz-se simplesmente convergente quando for convergente, mas não absolutamente convergente. Teorema de Dirichlet (16) : Se ∑E 7 é uma série (não necessáriamente convergente) com a sucessão das somas parciais = 7 + ⋯ + 7 limitada e $ é uma sucessão decrescente com limite zero, então ∑E 7 $ é convergente.. Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I. 5/12. João Marques.

(6) • •. Teorema de Abel (17) : Se ∑E 7 é uma série convergente e $ ≥ 0 é uma sucessão decrescente (não necessáriamente com limite zero), então ∑E 7 $ é convergente. Teorema de Leibniz (18) : Se $ é uma sucessão decrescente e com limite zero, então ∑E −1 $ é convergente. (condição suficiente de convergência para séries alternadas). 1.4.2. Séries de termos não negativos • Teorema (1) (corolário do critério de comparação) : Se 7 ≥ 0, $ > 0 para qualquer ∈ ℕ e O E lim ] = com 0 < < +∞, então as séries ∑E 7 e ∑ $ têm a mesma natureza. •. •. P]. Teorema da comparação de razões (2) : Sejam 7 , $ > 0 e. O]u[ O]. ≤. P]u[ P]. a partir de certa ordem. ≥ .. Então: E a) Se ∑E $ converge, ∑ 7 converge ; E b) Se ∑E 7 diverge, ∑ $ diverge. Critério da razão (3) : O a) Se 7 > 0 e existe um número x tal que 0 < x < 1 e ]u[ ≤ x, a partir de certa ordem ≥ ., O]. então ∑E 7 é convergente. O b) Se 7 > 0 e ]u[ ≥ 1 para qualquer ≥ ., então ∑E 7 diverge.. •. O]. Critério de D’Alembert (4) : Se 7 > 0 e. O]u[. ∑E 7 ∑E 7. •. •. • •. O]. tem limite finito ou +∞ então:. a) Se < 1, é convergente ; é divergente. b) Se > 1, Nota: Este critério não é conclusivo no caso = 1. Critério da raíz (5) : Seja 7 ≥ 0 para qualquer ∈ ℕ. Então: a) Se ]t7 ≤ x com x < 1 a partir de certa ordem ≥ ., ∑E 7 converge ; ] E b) Se t7 ≥ 1 para uma infinidade de valores de , ∑ 7 é divergente. Critério da raíz de Cauchy (6) : Seja 7 ≥ 0 para qualquer ∈ ℕ e suponhamos que ]t7 tem limite finito ou +∞. Então: a) Se < 1, ∑E 7 converge ; b) Se > 1, ∑E 7 diverge. Nota: Este critério não é conclusivo no caso = 1. Critério da condensação de Cauchy (7) : Seja 7 ≥ 7X ≥ 7 ≥ ⋯ ≥ 0. Então, ∑E 7 converge se e y só se ∑E 2 7 = 7 + 27 + 47 + 87 + ⋯ convergir. X yQ X Séries de Dirichlet : séries do tipo ∑E q . 1.4.3. As séries e o cálculo aproximado • Resto de ordem + : Dada uma série ∑E 7 , chama-se série resto de ordem . ou resto de ordem . à série ∑E 7 = = 7 + 7 N NX + ⋯. N Assim, se aproximarmos a soma de uma série convergente pela soma dos seus termos até ao índice ., cometemos um erro exactamente igual a visto que ∑E 7 = ^7 + ⋯ + 7 _ + . No cálculo aproximado interessa conhecer majorantes dos erros cometidos nas aproximações feitas. • Teorema (1) (majoração do resto nas séries de termos positivos) : Se . ∈ ℕ, 7 > 0 para qualquer O O ∈ ℕ e existir um número x tal que ]u[ ≤ x < 1 para ≥ . + 1, então ≤ u[ . • • •. O]. Ry. Teorema (2) : O número é irracional. Teorema (3) (outra majoração do resto em séries de termos positivos) : Se 7 ≥ 0 para qualquer. ∈ ℕ e existe um número x tal que ]t7 ≤ x < 1 para ≥ . + 1, então ≤. u[. y. Ry. .. Teorema (4) (majoração do resto em séries alternadas) : Seja $ uma sucessão decrescente com limite zero e seja a série resto de ordem . da série ∑E −1 $ . Então ≤ $N , isto é, em valor absoluto, o erro é inferior ao primeiro termo que se despreza.. Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I. 6/12. João Marques.

(7) 1.4.4. Mais extensões da noção de soma • Convergência de séries no sentido de Cesàro : Diz-se que ∑E 7 converge ou é somável no sentido de Cesàro quando a sucessão das somas parciais = 7 + ⋯ + 7 convergir no sentido de Cesàro para um número . • Convergência de séries no sentido de Holder : Substituindo a convergência de Cesàro pela convergência de Holder – 2,3,…, podem obter-se outras noções de convergência sucessivamente mais fracas. 1.4.5. Breves notas sobre o produto de séries E • Produto de Cauchy (1) : Sejam ∑E 7 e ∑ $ duas séries. Chamamos série produto no sentido E de Cauchy à série ∑ & onde & = 7 $ + 7R $X + ⋯ + 7 $ . E • Teorema (Cesàro) (2) : Se ∑E 7 e ∑ $ são séries convergentes no sentido ordinário com somas e ", respectivamente, então a série produto de Cauchy ∑E & , com & = 7 $ + ⋯ + 7 $ converge no sentido de Cesàro para o produto ". E E • Teorema (Abel) (3) : Se as três séries ∑E 7 , ∑ $ e a série produto de Cauchy ∑ & são convergentes no sentido ordinário, com somas , " e , respectivamente, então " = . • Teorema (Mertens) (4) : Dadas duas séries convergentes no sentido ordinário e com somas e ", se pelo menos uma delas for absolutamente convergente, então a série produto de Cauchy converge para " no sentido ordinário. Tema 3 – Funções (Continuidade) 2.1. Funções contínuas • Limite de uma função num ponto : Sejam V ⊂ ℝ, 6 ∶ V → ℝ uma função real definida em V e 7 ∈ ℝ um ponto de acumulação de V. Dizemos que $ ∈ ℝ é limite da função 6 no ponto 7, e escrevemos 6 → $ quando → 7 ou limm→O 6 = $, quando ∀A > 0 ∃` > 0 ∀ ∈ V 0 < | − 7| < ` ⟹ |6 − $| < A Intuitivamente, dizer que limm→O 6 = $ significa que 6 está arbitráriamente próximo de $ para valores de suficientemente próximos de 7, mas em nada informa sobre o comportamento de 6 no ponto = 7. De resto, mesmo no caso em que 7 ∈ V, pode ter-se limm→O 6 = $ ≠ 6 7. • Restrição de uma função a um conjunto : função 6| que de define como 6| ∶ → ℝ tal que 6| = 6 para qualquer ∈ . • Limite restrito : Sejam ⊂ V e 7 ∈ ′. Define-se limite de 6 no ponto 7 relativo ao conjunto ou restrito ao conjunto , como o limite em 7 da restrição 6| . Em notação: limm→O 6 = limm→O 6| m∈. • •. • • • • •. Deste modo, um limite lateral é um caso particular da noção de limite restrito. Teorema (2.1.1) : Sejam V ⊂ ℝ, 6 ∶ V → ℝ, 7 ∈ V′ e $ ∈ ℝ. Então limm→O 6 = $ se e só se 6 → $ para todas as sucessões ∈ V\7 tais que → 7. 4 1 → +∞ quando 1 → 0 : Seja V ⊂ ℝ, 6 ∶ V → ℝ e 7 ∈ ℝ ∩ V′. Diz-se que 6 tende para +∞ quando → 7, e escreve-se limm→O 6 = +∞, quando para qualquer z > 0 existe ` > 0 tal que se ∈ I7 − `, 7 + `H ∩ V\7 se tem 6 > z. Em símbolos: ∀z > 0 ∃` > 0 ∀ ∈ V 0 < | − 7| < ` ⟹ 6 > z 4 1 → −∞ quando 1 → 0 : Nas mesmas condições, diz-se que limm→O 6 = −∞ quando limm→O H−6 I = +∞ 4 1 → ∞ quando 1 → 0 : Nas mesmas condições, diz-se que limm→O 6 = ∞ quando limm→O |6 | = +∞ 4 1 → quando 1 → +∞ : Sejam V uma parte não majorada de ℝ, 6 ∶ V → ℝ e $ ∈ ℝ.. Diz-se que $ é o limite de 6 quando tende para +∞, e escreve-se limm→NE 6 = $, quando para qualquer A > 0 existe Q ∈ ℝ tal que se ∈ V e > Q se tem |6 − $| < A. 4 1 → quando 1 → −∞ : Se V for uma parte não minorada de ℝ, pode-se definir limm→RE 6 = $, quando limm→NE 6 − = $ Em símbolos: ∀A > 0 ∃Q ∈ ℝ ∀ ∈ V > Q ⟹ |6 − $| < A. 4 1 → +∞ quando 1 → +∞ : Diz-se que limm→NE 6 = +∞ quando ∀z > 0 ∃Q ∈ ℝ ∀ ∈ V > Q ⟹ 6 > z. Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I. 7/12. João Marques.

(8) • • •. • • • •. Função contínua num ponto : Sejam V ⊂ ℝ, 6 ∶ V → ℝ e 7 ∈ V. Dizemos que 6 é contínua em 7 quando ∀A > 0 ∃` > 0 ∀ ∈ V | − 7| < ` ⟹ |6 − 6 7| < A Função contínua num conjunto : Sejam V ⊂ ℝ, 6 ∶ V → ℝ e ⊂ V. Diz-se que 6 é contínua em quando 6 é contínua em todos o pontos de . Em particular, quando 6 é contínua em = V diz-se que 6 é contínua em V ou apenas que 6 é contínua. Teorema (2.1.2) : Seja V ⊂ ℝ. A função 6 ∶ V → ℝ é contínua no ponto 7 ∈ V se e só se 6 → 6 7 para qualquer sucessão ∈ V tal que → 7. A respeito deste teorema, diz-se muitas vezes que o “operador limite” permuta com as funções contínuas, no sentido lim 6 = 6 lim . Teorema de Bolzano (2.1.3) : Se 6 ∶ H7, $I → ℝ é contínua, então, para qualquer no intervalo fechado de extremos 6 7 e 6 $, existe pelo menos um & ∈ H7, $I tal que 6 & = . Corolário (2.1.4) : Se 6 ∶ H7, $I → ℝ é contínua, com 6 7 e 6 $ de sinais contrários então 6 tem pelo menos um zero em I7, $H, isto é, existe pelo menos um ∈ I7, $H tal que 6 = 0. Teorema (2.1.5) : Se 6 é contínua num conjunto V ⊂ ℝ limitado e fechado, então 6 V é limitado e fechado. Teorema de Weierstrass (2.1.6) : Toda a função contínua num conjunto limitado e fechado tem máximo e mínimo nesse conjunto.. 2.2. Funções uniformemente contínuas • Função uniformemente contínua num conjunto : Seja V ⊂ ℝ, 6 ∶ V → ℝ diz-se uniformemente contínua em V quando ∀A > 0 ∃` > 0 ∀, J ∈ V | − J| < ` ⟹ |6 − 6 J| < A • Teorema de Cantor (2.2.1) : Toda a função contínua num conjunto limitado e fechado é uniformemente contínua nesse conjunto. 2.3. Funções monótonas • Função crescente : Se V ⊂ ℝ, a função 6 ∶ V → ℝ diz-se crescente em V (resp. estritamente crescente em V) quando 6 X ≥ 6 (resp. 6 X > 6 ) sempre que X > . • Função decrescente : Se V ⊂ ℝ, a função 6 ∶ V → ℝ diz-se decrescente em V (resp. estritamente decrescente em V) quando 6 X ≤ 6 (resp. 6 X < 6 ) sempre que X > . • Teorema (2.3.1) : Se V ⊂ ℝ não é majorado e 6 ∶ V → ℝ é crescente e limitada superiormente, então existe limm→NE 6 em ℝ. • Teorema (2.3.2) : Se V é uma parte não majorada de ℝ e 6 ∶ V → ℝ é monótona limitada, então existe limm→NE 6 em ℝ. (extensão do teorema 1.3.10) • Teorema (2.3.3) : Sejam V ⊂ ℝ tal que 7 ∈ ℝ é ponto de acumulação de I−∞, 7H ∩ V e 6 ∶ V → ℝ uma função crescente e limitada superiormente. Então existe limm→O 6 em ℝ. • Teorema (2.3.4) : Se V ⊂ ℝ é tal que 7 ∈ ℝ é ponto de acumulação de I−∞, 7H ∩ V e 6 ∶ V → ℝ é uma função monótona limitada, então existe limm→O 6 em ℝ. 2.4. Assímptotas • Assímptotas não verticais (Teorema 2.4.1) : A recta = + . é assímptota para a direita ao gráfico de 6, suposta definida para > Q , se e só se m = limm→NE e . = limm→NE H6 − I m. •. Claro que existe também um resultado análogo para a esquerda. Assímptotas verticais : Se 6 ∶ V ⊂ ℝ → ℝ e 7 é ponto de acumulação de V diz-se também que a recta de equação = 7 é uma assímptota vertical ao gráfico de 6, quando se verifica pelo menos uma das quatro igualdades: limm→Ou 6 = +∞ limm→Ou 6 = −∞ limm→O 6 = +∞ limm→O 6 = −∞. Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I. 8/12. João Marques.

(9) Tema 4 – Cálculo Diferencial e Aplicações •. •. Derivada de uma função num ponto : Seja L um intervalo de ℝ com mais de um ponto. Diz-se que 6 ∶ L → ℝ é diferenciável ou tem derivada no ponto 7 ∈ L quando existir e for finito o limite limm→O. mR O mRO. .. Derivadas laterais de uma função num ponto : Quando existir e for finito, mR O 6′ 7N = mRO. diz-se que 6 tem derivada à direita no ponto 7, e o seu valor representa-se por 6′ 7 N . Analogamente à esquerda. → Uma função diferenciável num ponto interior de L tem derivadas direita e esquerda nesse ponto e estas são iguais. R . •. Velocidade média :. •. Velocidade instantânea : = lim→. •. •. R. R R. = ,′ JQ . Derivada de Carathéodory : Como na definição clássica, seja L um intervalo de ℝ com mais de um ponto. Diz-se que 6 ∶ L → ℝ é diferenciável ou tem derivada no ponto 7 ∈ L, quando existir uma função ∶ L → ℝ contínua no ponto 7 tal que 6 − 6 7 = − 7 para qualquer ∈ L. → Consequência imediata : Se 6 é diferenciável no ponto 7 então 6 é contínua em 7. (A recíproca não é válida) Derivadas de funções usuais : ′ = R . . =− m. . m\. 3.2. As regras usuais de derivação • Teorema (3.2.1) : (Derivação da soma e do produto) Sejam L um intervalo de ℝ com mais de um ponto, 6, ¡ ∶ L → ℝ duas diferenciáveis em 7 ∈ L e ∈ ℝ. Então as funções 6, 6 + ¡ e 6¡ são diferenciáveis em 7 e tem-se : a) 6 7 = 6′ 7 b) 6 + ¡ 7 = 6′ 7 + ¡′ 7 c) 6¡′ 7 = 6′ 7¡ 7 + 6 7¡′ 7 • Derivadas de funções usuais : &′ = 0, ∀& ∈ ℝ & + ¢′ = & • Teorema (3.2.2) : (Derivação da inversa aritmética) Se L é um intervalo de ℝ com mais de um ponto, 6 ∶ L → ℝ é diferenciável em 7 ∈ L e 6 7 ≠ 0, então a função é diferenciável em 7, e temse : •. •. •. . O. . Teorema (3.2.3) : (Derivação do quociente) Se L é um intervalo de ℝ com mais de um ponto, 6, ¡ ∶ L → ℝ são diferenciáveis em 7 ∈ L e ¡ 7 ≠ 0, então a função é diferenciável em 7, e temse :. •. . 7 = − H OI\ . . 7 = − £. O£ OR O£ O H£ OI\. £. .. Teorema (3.2.4) : (Derivação da função composta) Sejam L, ¤ dois intervalos de ℝ com mais de um ponto, 6 ∶ L → ℝ e ¡ ∶ ¤ → ℝ duas funções com 6 L ⊂ ¤. Então, se 6 é diferenciável em 7 ∈ L e ¡ é diferenciável em $ = 6 7, ¡ ∘ 6 ∶ L → ℝ é diferenciável em 7, e tem-se :. ¡ ∘ 6 7 = ¡′ $6′ 7. Teorema (3.2.5) : (Derivação da função inversa) Sejam L e ¤ dois intervalos em ℝ com mais de um ponto, 6 ∶ L → ¤ uma bijecção diferenciável em 7 ∈ L e 6′ 7 ≠ 0. Então 6 R ∶ ¤ → L é diferenciável . 6 R ′ $ = em $ = 6 7, e tem-se : . O. Teorema (3.2.6) : (Regra de l’Hôpital) Sejam L um intervalo de ℝ com mais de um ponto 7 ∈ L com ¡′ 7 ≠ 0 e ¡′ ≠ 0 em L\7. Então, se 6 7 = ¡ 7 = 0 tem-se limm→O. Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I. m. £ m. 9/12. =. O. £ O. .. João Marques.

(10) 3.3. Teoremas fundamentais do cálculo diferencial • Máximo local num ponto : Seja V uma parte não vazia de ℝ. Diz-se que 6 ∶ V → ℝ tem um máximo local ou relativo no ponto 7, quando existe ` > 0 tal que para qualquer ∈ I7 − `, 7 + `H ∩ V, se tem 6 ≤ 6 7. • Mínimo local num ponto : Analogamente, 6 tem um mínimo local ou relativo no ponto 7, quando existe ` > 0 tal que para qualquer ∈ I7 − `, 7 + `H ∩ V, se tem 6 ≥ 6 7. • Extremo local : Diz-se que 6 tem um extremo local ou relativo no ponto 7, quando 6 tiver um máximo local ou um mínimo local no ponto 7. • Teorema de Fermat (3.3.1) : Se L é um intervalo de ℝ com mais de um ponto, 6 ∶ L → ℝ é diferenciável no ponto 7 interior a L e 6 tem um extremo local em 7, então 6′ 7 = 0. • Teorema de Rolle (3.3.2) : Sejam 7 < $, 6 contínua em H7, $I e diferenciável em I7, $H. Então se 6 7 = 6 $, existe & ∈ I7, $H tal que 6′ & = 0. → Dada uma função 6 ∶ L → ℝ diferenciável, entre dois zeros consecutivos de 6′, não pode haver mais que um zero de 6. → Não pode haver mais que um zero de 6 maior que todos os zeros de 6′. • Teorema de Lagrange (3.3.3) : Se 7 < $, 6 é contínua em H7, $I e diferenciável em I7, $H, existe & ∈ I7, $H tal que 6 $ − 6 7 = 6′ & $ − 7. • Teorema (3.3.4) : Se L é um intervalo de ℝ com mais de um ponto e 6 tem derivada nula em todos os pontos de L então 6 é constante em L. • Teorema (3.3.5) : Sejam L um intervalo de ℝ com mais de um ponto, 6 contínua em L e diferenciável no interior de L. Então, se 6 ≥ 0 no interior de L, 6 é crescente em L. • Teorema do valor médio de Cauchy (3.3.6) : Se 7 < $, 6 e ¡ são funções contínuas em H7, $I e diferenciáveis em I7, $H com ¡′ ≠ 0 em I7, $H, então existe & ∈ I7, $H tal que PR O. £ PR£ O. =. ¥. £ ¥. .. → Nota: ¡ 7 ≠ ¡ $ ; Se ¡ = , temos o Teorema de Lagrange. → Interpretação física : Interpretando 6 e ¡ como dois movimentos independentes na recta real e H7, $I como um intervalo de tempo, existe um instante & ∈ I7, $H onde o quociente das ¥ velocidades instantâneas iguala o quociente das velocidades médias no intervalo H7, $I.. •. £ ¥. Q. Teorema (3.3.7) : (Regra de Cauchy para ) Sejam ` > 0, 6, ¡ duas funções diferenciáveis em Q I7, 7 + `H com ¡′ ≠ 0 em I7, 7 + `H e suponhamos limm→Ou 6 = limm→Ou ¡ = 0. Então limm→Ou. m. £ m. = limm→Ou. desde que exista o limite do segundo membro. → → → →. →. •. ,. Nota 1 : O teorema continua válido para → −∞. Nota 2 : O teorema continua válido para limm→O u 6 = limm→Ou ¡ = ±∞. Nota 3 : O teorema continua válido para → 7 R ou → +∞ ou → 7. Nota 4 : As indeterminações do tipo 0 × ∞ ou +∞ − ∞ reduzem-se a indeterminações do tipo utilizando as igualdades m. 6 ¡ =. −. 6 − ¡ = 6 ¡ ª. [ § ¨. =. Q Q. E. ou , E. £ m. −. [ © ¨. . £ m. −. . m. «. Nota 5 : Quando, ao tentar aplicar a Regra de Cauchy (3.3.7), não existe limm→Ou inferir.. •. m. £ m. m. £ m. , nada se pode. Teorema de Darboux (3.3.8) : Seja 7, $ ∈ ℝ, 7 < $ e 6 é diferenciável em H7, $I, então para qualquer no intervalo fechado de extremos 6′ 7 e 6′ $, existe & ∈ H7, $I tal que 6′ & = . → Observação : Deve notar-se que a derivada de uma função diferenciável pode não ser contínua. No caso de 6′ ser contínua, este teorema não é mais que o teorema de Bolzano aplicado à função derivada 6′ no intervalo H7, $I. Teorema do limite da derivada (3.3.9) : Sejam L um intervalo de ℝ com mais de um ponto, 7 interior a L e 6 ∶ L → ℝ derivável em L\7, contínua em 7 e tal que existe limm→O 6′ = . Então, existe 6′ 7 = e portanto 6′ é contínua em 7. mR O. m. Dem : limm→O = limm→O = mRO Nota : Claro que se podem formular teoremas análogos com derivada direita, derivada esquerda e até derivada infinita (no caso de limm→O 6′ = +∞, por exemplo).. Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I. 10/12. João Marques.

(11) Capítulo 5 – Primitivação 4.1. Definição, existência e principais propriedades • Primitiva : Sejam L um intervalo de ℝ que contenha mais de um ponto e 6 ∶ L → ℝ. Chama-se primitiva de 6 em L a qualquer função ¬ ∶ L → ℝ tal que ¬ = 6 para qualquer ∈ L. Diz-se que 6 é primitivável em L quando 6 possui pelo menos uma primitiva em L. 4.2. • •. As primitivas imediatas. m. ª. m. « = ln|6 |, se 6 ≠ 0. HH6 Ir 6′ I =. H mIqu[ rN. , l ∈ ℝ\−1. ; ;. . ª « = ln||, se ≠ 0 m. H r I =. m qu[ rN. , l ∈ ℝ\−1. 4.3. A primitivação por partes • Teorema (4.3.1) : Se - e são funções diferenciáveis em L, o produto -′ é primitivável em L se e só se o produto -′ o for, e tem-se : H-′I = - − H-′I R Hcos ±RX I em L = ℝ • cos ± = sen cos ±R + . . 4.4. A primitivação por substituição • Teorema (4.4.1) : Sejam L e ¤ dois intervalos de ℝ, 6 ∶ L → ℝ primitivável em L e W ∶ ¤ → L uma bijecção diferenciável. Nestas condições a função 6 ∘ WW′ é primitivável em ¤ e designado por uma sua primitiva, ∘ W R é uma primitiva de 6 em L, isto é, = H 6 ∘ WW′ I em ¤ ⟹ 6 = ∘ W R em L.. Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I. 11/12. João Marques.

(12) Tabelas de Derivadas e Primitivas Função x 7 + $ -. Derivada 0 7 ∙ -R ∙ -′. 1 -. 2 ∙ √-. ∙ -′ µ. -′ -. ln 7µ. arcsen arccos arctan arccot -. Quociente. 6 6 ¡ − 6¡′ ³ ´ = ¡ ¡X. Função Composta. H¡ 6I′ = ¡′ 6 ∙ 6′. Função inversa. 6 R =. 1 6′. -′ - ∙ ln 7. sen cos -. sec csc -. Cálculo da Derivada. 6 + ¡ = 6 + ¡′. 6¡ = 6 ¡ + 6¡′ 1 1 ³ ´ =− X 6 6. 7µ ∙ ln 7 ∙ -′. log O -. cot -. Inversa aritmética. -′. µ. tan -. Operação Soma Produto. -′ − X -. √. Regras de Derivação. cos - ∙ -′ − sen - ∙ -′. ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪. Função x. µ . ¹|º\ µ. 1 + tanX - ∙ -′ sec X - ∙ -′ µ − \ º»± µ. −1 − cot X - ∙ -′ − csc X - ∙ -′ tan - ∙ sec - ∙ -′ − cot - ∙ csc - ∙ -′. - ∙ -′ -′ -. Primitiva x -N +1 ln|-|. -′. √1 − -X −. -′. √1 − -X -′ 1 + -X. −. -′ 1 + -X. Resumo - Elementos de Análise Infinitésimal I. 12/12. João Marques.

(13)