9
NOÇÕES DE ESTABILIDADE
TRANSITÓRIA
Neste capítulo serão abordados alguns tópicos relativos à estabilidade transitória de sis-temas de potência. Os conceitos e aplicações abordados são introdutórios, no sentido que um aprofundamento maior sobre o assunto requereria maior espaço do que a abordagem a ser considerada.
O nosso enfoque será voltado para o caso de um gerador ligado a um barramento-infinito por meio de um elo de corrente alternada. Atualmente, essa é uma abordagem simplificada. No entanto, ela fornece informações relevantes para o entendimento de análise dinâmica de sistemas de potência.
9.1
REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA
Um sistema elétrico de potência contém elementos estáticos e dinâmicos. Elementos es-táticos são estudados utilizando-se modelos eses-táticos concebidos a partir da representação por equações algébricas. Por outro lado, os sistemas dinâmicos requerem uma represen-tação que pode envolver um conjunto de equações algébrico-diferenciais. O levantamento desses conjuntos de equações depende do modelo que será usado para cada equipamento. Em um estudo de estabilidade, o gerador e os seus controladores desempenham papel importante. O maior objetivo é avaliar se o sistema sobrevive a uma perturbação transitória ou permanente, a qual deve ser eliminada com duração de tempo apropriada. O principal objetivo no nosso estudo será avaliar a excursão do ângulo do rotor do gerador e se o sistema será estável para uma determinada perturbação.
Em um sistema interligado, o equilíbrio geração-carga deve ser atendido. Durante uma perturbação, o sistema pode passar para outro ponto de equilíbrio ou retornar para o ponto de equilíbrio em que se encontrava antes da perturbação. Nessas situações, o sistema é dito estável. Mas se ele não atinge um ponto de equilíbrio, ele é dito instável. Por questões de segurança elétrica, esses estados devem ser adequadamente determinados. A Figura 9.1 mostra o esquema de um conjunto força-motriz (turbina)-gerador e a rede elétrica. A turbina está conectada mecanicamente ao eixo do gerador. A en-ergia mecânica produzida pela força motriz é transmitida ao gerador por meio do eixo
mecânico, que produz um torque mecânico Tm. Este conjugado produz um conjugado eletromagnético Te em oposição, obviamente, ao conjugado Tm. Note-se que a veloci-dade angular mecânica, ωm, atua no sentido do torque mecânico, enquanto a velocidade angular elétrica,ωe, atua no sentido do conjugado eletromagnético.
Figura 9.1 Esquema mostrando o acoplamento mecânico turbina-gerador e a conexão à rede
elétrica
Suponha que o gerador esteja suprindo, por meio dos seus terminais, uma carga elétrica à rede. A potência necessária para atender a carga é proveniente do conjugado eletromagnético que é gerado no entreferro do gerador. O conjugado eletromagnético é o resultado da interação entre as correntes dos enrolamentos do estator, que produzem um campo girante e do campo magnético produzido nos enrolamentos de campo do rotor.
Durante uma perturbação, o conjugado mecânico fica praticamente constante. Mas, não se pode dizer o mesmo em relação ao conjugado eletromagnético.
O gerador síncrono é formado por uma parte fixa, na qual estão as bobinas do in-duzido, denominado estator, e uma móvel, chamada rotor. Um corte evidenciando as partes fixas e móvel do gerador é mostrado na Figura 9.2. Por sua vez, a Figura 9.3 mostra efetivamente o estator de uma máquina hidráulica, ilustrando o elevado número de pólos presentes.
Nas bobinas estatóricas são induzidas tensões, que são devidas a um campo mag-nético gerado a partir de um circuito de campo, presente no rotor. Os enrolamentos do circuito do rotor são alimentados por tensão contínua, produzindo, assim um campo mag-nético constante. Quando o rotor gira, acionado pela turbina acoplada ao eixo do gerador, o campo magnético corta as bobinas fixas do estator provocando o surgimento de tensões alternadas. Quando o circuito do estator é fechado com a rede elétrica, passará a circular
9.1. REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA 3
uma corrente elétrica, que então, interagindo com o campo do rotor produz o conjugado eletromagnético.
Figura 9.2 Corte transversal do gerador mostransdo o estator e o rotor
Figura 9.3 Estator de uma máquina síncrona
O gerador deve ser sincorinizado ao sistema e dessa forma funcionar no sentido a produzir energia elétrica ao sistema, sob níveis de tensão adequados e freqüência o mais próximo possível de um valor constante. Esse valor constante da freqüência é denominado frqüência síncrona. Portanto, todos os geradores, quando sincronizados ao sistema devem gerar sinais que tenham a freqüência síncrona. Como gerar essa freqüência? Ela depende da velocidade mecânica do gerador e do seu número de pólos. A relação entre ωm e
ωe, é dada por ωe= 2pωm, onde p é o número de pólos do gerador. Assim um gerador com elevado número de pólos (caso de geradores hidráulicos), devem girar a velocidades relativamente baixas. Ao contrário, geradores com baixo número de pólos, como é o caso de geradores térmicos, devem girar a velocidades elevadas. Seja o caso de um gerador com 20 pólos. A freqüência síncrona igual a 60 Hz (3.600 rpm) é obtida, se o rotor do gerador for acionado a uma velocidade mecânicaωm= 360 rpms.
9.2
CONJUGADO ACELERANTE E EQUAÇÃO DE
OSCILAÇÃO
O torque mecânico é convertido em eletromagnético. Durante uma perturbação, surge uma diferença entre os dois, dando origem a um conjugado de aceleração, Ta, e a um torque de amortecimento, Td. O torque acelerante depende das características mecânicas do conjunto turbina-gerador, que na realidade está atrelado à inércia formada pelo con-junto. O torque de amortecimento é atribuído a fatores como: perdas mecânicas, elétricas e magnéticas, ventilação, entre outros fatores. A equação abaixo mostra a relação entre os tipos de torque no gerador.
Tm− Te= Ta+ Td [N.m] (9.1)
Desprezando-se o torque de amortecimento, o erro cometido na aproximação é des-prezível. Por essa razão, é muito comum se omitir esse termo de amortecimento nas análises que se faz. Assim, a equação envolvendo os conjugados - considerando que é possível se definir um conjugado acelerante em função do momento de inérica e da velocidade mecância - fica:
Tm− Te= Ta= J
dωm
dt [N.m] (9.2)
onde J é o momento polar de inércia do grupo turbina-gerador, em kg/m2.
Não é usual se trabalhar com a variável conjugado nas análises realizadas em es-tabilidade transitória. Esta variável é substituída por potência. A relação entre as duas grandezas dependem da velocidade mecânica da máquina motriz. Ou seja, Pm=ωmTme
Pe=ωmTe. Logo, em (9.2), fica:
Pm− Pe=ωmJ
dωm
9.3. CAMPO MAGNÉTICO E ÂNGULO DO ROTOR 5
A potência mecância, Pm, é suposta constante, porque supomos que o regulador de velocidade funcionará de modo a manter a velocidade do gerador constante e a sua atuação é muito lenta durante uma perturbação. Então, mesmo durante uma perturbação o
valor de Pm, para efeito de simplificação, será suposto constante.
9.3
CAMPO MAGNÉTICO E ÂNGULO DO ROTOR
O campo magnético produzido pelo circuito de campo fica dirigido na direção do eixo do rotor. No caso de um gerador de pólos salientes, como é o caso do gerador mostrado na Figura 9.2, o campo é dirigido no sentido da parte longitudinal do rotor (de menor relutância magnética). Quando o estator fornece potência elétrica à rede elétrica, surge o denominado efeito de reação da armadura, cujo resultado faz com que surja o efeito denominado reação da armadura. Este efeito dá origem ao chamado ângulo de carga ou ângulo do rotor. A Figura 9.4 mostra as ações do campo magnético produzido no rotor e da reação da armadura. Observe-se que não havendo corrente no estator, o ângulo do rotor,δ, é nulo. Neste caso, não ocorre reação da armadura. Por outro lado, o aumento da reação da armadura, o que é equivalente ao aumento da carga, provoca abertura do ângulo
δ.
Figura 9.4 Campo do rotor, reação da armadura e ângulo do rotor
Vamos relacionar o ângulo do rotor com as grandezas elétricas necessárias para o es-tudo de estabilidade transitória. A figura 9.4 mostra as grandezas envolvidas, destacando-se a tensão e o fluxo na máquina síncrona, considerando uma referência síncrona e o ângulo do rotor. A tensão Ef é equivalente a uma tensão interna no estator a qual pode ser considerada como gerada a partir da excitação do circuito de campo. Já a tensão V é
aquela que resulta nos terminais do gerador considerando o efeito da carga. Supõe-se que o rotor gire no sentido anti-horário. Neste caso, o campo do rotor arrasta o campo girante, ambos girando a uma velocidade síncrona. Quando ocorre uma perturbação esse ângulo
δ é afetado.
A velocidade angular elétrica será então a soma da velocidade de referência,ωre f =
ωo, e da velocidade do campo girante do rotor (devido à carga) ddtδ. Isto é, a velocidade do campo girante é igual à velocidade relativa do eixo do rotor com relação a uma referência síncrona, ωe= ddtδ+ωo. Quando a referência síncrona coincide com o ângulo da tensão terminal do gerador na Figura 9.4, os ângulosδ eδ′ coincidem.
A equação de oscilação do gerador é deduzida considerando-se freqüência elétrica ao invés de freqüência mecânica. Então, é necessário alterar a equação (9.3). Isto pode ser efetuado, substituindo-seωmporωe naquela equação. Assim,
Pm− Pe= 2 pωeJ d ωe2p dt = 4 p2ωeJ dωe dt [W ] (9.4)
Aqui podemos substituirωe usandoωe= ddtδ +ωo e considerar queωoé constante. Vamos definir uma constante H como:
H=∆ energia cinetica de todas as partes rotativas na velocidade sincronaωo Potencia aparente nominal do gerador, SB
[MW.s MVA]
A relação entre J e H é dada por:
J= H p 2S B 2ω2 o (9.5)
Inicialmente, vamos passar as grandezas para pu na base de potência, SB, do gerador. Então Pm− Pe SB = 4 p2SBωe Jdωe dt = 4 p2SBωe J d dt dδ dt +ωo [pu] (9.6)
Considerando na equação (9.6) H e o fato de queωe≈ωo, tem-se:
Pm(pu) − Pe(pu) = 2H
ωo
d2δ(t)
9.4. DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA ELÉTRICA 7
A partir desse ponto, consideraremos que a potência será dada em pu, por isso omitiremos a informação relativa nos parênteses, passando a escrever simplesmente Pme
Pe.
Na equação (9.7), H é um parâmetro do gerador e Pmé supostamente conhecido em função do ponto de operação do sistema. Mas Pe depende de dados da rede elétrica e do gerador. Passamos a verificar a seguir como essa variável se relaciona então com o ponto de operação e rede elétrica.
9.4
DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA ELÉTRICA
Vamos considerar que o gerador seja representado pelo seu modelo clássico mostrado na Figura 9.5. Este tipo de representação é válida na situação em que x′d= xq (reatância transitória desprezível). Isto acontece efetivamente em máquinas térmicas, que têm rotor liso ou cilíndrico. Para máqunas de pólos salientes é uma aproximação, normalmente, considerada em estudos bastante simplificados.
Figura 9.5 Modelo clássico de gerador
O modelo clássico de um gerador é representado por uma fonte com tensão con-stante Eq′ colocada em série com uma reatância x′d, denominada reatância transitória do gerador. V é a tensão terminal do gerador. esta grandeza pode ser obtida do fluxo de carga em regime permanente. A tensão Eq′ é calculada a partir do funcionamento do gerador em regime permanente e mantida constante, mesmo durante o transitório. Por outro lado, o ângulo δ é aproximadamente igual ao ângulo do rotor. Em regime permanente, ele é calculado como o ângulo de carga do gerdor (ângulo necessário para fornecer a potência
elétrica do gerador que irá alimentar a rede elétrica). Supõe-se que para a situação de regime permanente a potência mecânica, Pm, seja igual à potência elétrica Pe. Mas ocor-rendo uma perturbação, o ângulo δ varia de acordo com a equação de oscilação (9.7). Portanto, torna-se necessário saber como esse ângulo está relacionado com essa equação de oscilação do gerador.
Considere que o gerador esteja atendendo uma carga que é conectada a um barra-mento infinito por meio de uma linha de transmissão. A Figura 9.6 ilustra essa infor-mação. Uma barra infinita é caracterizada por tensão e freqüência sempre constantes. A Figura 9.7 mostra o modelo para uma representação de barra infinita. Esse modelo consid-era um equivalente de Thévenin, o qual é composto por uma fonte equivalente ligado em série com uma reatância equivalente. Consideraremos, para efeito de simplificação, que linhas de transmissão e transformadores serão representados somente por suas reatâncias.
Figura 9.6 Máquina conectada a um barramento infinito por meio de uma linha de transmissão
O circuito elétrico na Figura 9.8 mostra o circuito equivalente referente ao sistema apresentado na Figura 9.6. Nesse modelo, fez-se nula a reatância equivalente da barra infinita. Para o circuito representando o sistema, a potência elétrica fornecida pelo gerador em função do âgulo do rotor será:
Pe=
Eq′E∞ x′d+ xe
sen(δ) (9.8)
O problema então consiste em se determinar o ângulo δ(t), conforme equações
(9.7) e (9.8). Trata-se de uma equação não-linear, no qualδ(0) =δ0 e dδdt(0) =ωe(0) −
9.4. DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA ELÉTRICA 9
Figura 9.7 Modelo de um barramento infinito
(9.7). A pergunta que surge é como calcular, então,δ(0) =δ0. Este dado, evidentemente, está relacionado ao ponto de operação do sistema. Como ele é calculado em regime permanente, ele pode ser determinado a partir da equação (9.8), se conhecermos Pe(0). Ou seja, se conhecermos a potência elétrica fornecida pelo gerador à rede elétrica. Esse resultado pode ser calculado (ou obtido diretamente) do problema de fluxo de carga.
A curva da potência elétrica apresentada na equação (9.8) é denominada curva P−δ ou curva de potência. Ela fornece informação do ponto de operação e da margem de es-tabilidade do sistema. A Figura 9.9 mostra graficamente essa curva. Observa-se que para a condição de regime permanente, a potência mecânica Pm é igual à potência elétrica. Nessa situação, as curvas se interceptam em dois pontos correspondentes a δo eδu. No entanto, apenas o ponto referente à δo é estável. Nesse ponto de operação, a aceleração do gerador é negativa. Isto significa que, havendo uma perturbação no sistema, seguido de desligamento para eliminação da perturbação e havendo religamento após um deter-minado retardo, após eliminação da falta, o sistema poderá retornar a uma posição de equilíbrio. Já no ponto correspondente aδu, a aceleração é positiva. Neste caso no caso de uma perturbação, o sistema não recupera a sua situação de equilíbrio e perde a estabil-idade. Portanto, para haver operação estável,δ <δu. Obviamente que esta condição não é suficiente para assegurar a estabilidade. Outras condições deverão ser atendida e serão vistas mais diante, com base no denominado critério das áreas iguais.
EXEMPLO
O sistema na Figura 9.6 atende uma carga na barra-infinita que consome 0,8 pu de potência ativa, com fator de potência 0,8 indutivo. A tensão nesse barramento é igual a 1 pu. A linha de transmissão tem reatância igual a 0,15 pu e a reatância transitória do
Figura 9.8 Circuito resultante
gerador é igual a 0,2 pu. A constante de inércia do gerador é igual a 3 s. Para esta situação, determine:
a) o ângulo inicial do rotorδoe o ânguloδu;
b) a tensão Eq′ atrás da reatância transitória do gerador: c) a curva P−δ para o sistema;
d) o ânguloδ(t), por meio de integração numérica com base no método de
Runge-Kutta, sabendo-se que ocorre uma falta trifásica na linha no instante de tempo igual a 0,1 s. Teste vários valores de tempo de eliminação da falta, começando com tf alta= 0, 16 s, até que o sistema seja instável. Efetue a simulação até ts= 2, 5 s e use intervalo de integração igual a 0,01 s.
SOLUÇÃO
Inicialmente, é necessário se determinar a tnsão Eq′ e o ânguloδo. Vamos supor que a nossa referência angular seja fixada na barra infinita. Logo, a tensão na barra infinita será V= 1∠0opu. A potência aparente consumida na barra infinita será S=0,8
0,8= 1 pu. A potência reativa será Q=√S2− P2=p
12− 0,82= 0, 6 pu. Da mesma forma, a corrente será I = S∗
V∗ =
0,8− j0,6
1 = 0, 8 − j0,6 pu.
A tensão Vt nos terminais do gerador será Vt= V + jxeI= 1∠0o+ j0, 15I = 1, 09 +
j0, 12 pu.
O próximo passo consiste em calcular a tensão interna do gerador e o ânguloδ. Então: E′q= Vt+ jx′dI= (1, 09 + j0, 12) + j0, 2I = 1, 242∠13, 03opu.
9.4. DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA ELÉTRICA 11
Figura 9.9 Curva da potência versus ângulo de carga
Então, a)δo= 13, 03o. O ânguloδuserá 180o−δo= 180o− 13,03o= 166, 97o. b) Eq′ = 1, 242 pu.
c) A curva P−δ é mostrada na Figura 9.10.
Figura 9.10 Curva resultante
Para resolução do item d), considere o método de Runge-Kutta de quarta ordem, conforme explicado a seguir.
Considere que a equação de oscilação do gerador pode ser colocada em uma outra forma como segue.
d2δ(t) dt2 =
ωo
2H(Pm− Pmaxsen(δ)) com δ(0) = 13, 03
o e dδ(0)
dt = 0 (9.9)
Vamos colocar a equação diferencial (9.9), como equações diferenciais de primeira ordem (equações de estado). Para isto, faça ω = dδ
dt e dω(t)
dt =
ωo
2H(Pm− Pmaxsen(δ)). Considere ainda que x1=ω e que x2=δ. Então:
dx1 dt = ωo 2H(Pm− Pmaxsen(x2)) = f1(x1, x2) (9.10) dx2 dt = x1= f2(x1, x2) com x2(0) = 13, 03π/180 rad e x1(0) = 0 (9.11)
De acordo com o método de Runge-Kutta, devemos calcular incrementos das var-iáveis de estado a partir de incrementos na variável tempo. Os incrementos das varvar-iáveis de estado, para o sistema com dois estados descritos anteriormente, inclui incrementos do seguinte tipo: ∆x1= 1 6[K1x1+ 2K2x1+ 2K3x1+ K4x1] (9.12) ∆x2= 1 6[K1x2+ 2K2x2+ 2K3x2+ K4x2] (9.13) onde as variáveis do tipo Kix1e Kix2, com i= 1, 2, 3, 4, são calculadas a seguir.
No instante tk, a atualização do tempo é tk = t0+ (k − 1)∆t, onde∆t é o passo de integração. As variáveis de estado são atualizadas como x(k+1)1 = x(k)1 +∆x(k)1 e x(k+1)2 = x(k)2 +∆x(k)2 .
As constantes Ki, para cada amostra k, são calculadas a seguir.
K1x1=∆t f1(x1, x2) (9.14) K1x2=∆t f2(x1, x2) (9.15) K2x1=∆t f1(x1+ 1 2K1x1, x2+ 1 2K1x2) (9.16) K2x2=∆t f2(x1+ 1 2K1x1, x2+ 1 2K1x2) (9.17) K3x1=∆t f1(x1+ 1 2K2x1, x2+ 1 2K2x2) (9.18) K3x2=∆t f2(x1+ 1 2K2x1, x2+ 1 2K2x2) (9.19) K4x1=∆t f1(x1+ K3x1, x2+ K3x2) (9.20) K4x2=∆t f2(x1+ K3x1, x2+ K3x2) (9.21)
9.4. DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA ELÉTRICA 13
No caso do problema anterior, consideramos f1(x1, x2) = 2Hωo (Pm− Pmaxsen(x2)) e
f2(x1, x2) = x1.
A rotina em Matlab apresentada a seguir, calcula o ângulo do rotor para um intervalo entre N1∆t≤ t < N2∆t, no qual a potência elétrica transmitida pela linha é nula. Portanto,
no instante t = N2∆t, a linha é religada.
ROTINA
% Determina a solução do ângulo do rotor a partir da equação de oscilação % caso 1 máquina ligada à barra infinita por uma linha
% a um barramento infinito
% dados do gerador: H=3 s, xld=0.2 pu, Pm=0.8 pu, % Elq=1.242 pu, Einf=1 pu, f=60 Hz
H=3; xld=0.2; xe=0.15; Pm=0.8; Elq=1.242; Einf=1; f=60; w0=2*pi*f; Pmax=Elq*Einf/(xe+xld); % condições iniciais delta0=13.03*pi/180; ddelta0=0; % método de Runge-Kutta dt=0.01; t0=0; tf=2.5; N=(tf-t0)/dt;
x10=ddelta0; % velocidade rad/s x20=delta0; % ângulo em radianos
t=zeros(N,1); t(1)=t0; x=zeros(N,2); x(1,:)=[x10 x20];
% No instante t=0.1 s, a potência cai a zero, devido a um curto-circuito % trifásico na linha. A falta é eliminada após 0.11 s.
% Então, para 0< t < 10 ∗ dt Pe é a nominal % para 10∗ dt <= t < 21 ∗ dt Pe=0
% para t > 21 ∗ dt Pe volta a ser transmitida N1=10; N2=16; % com N2=36 não é estável for k= 1 : (N − 1) if k< N1 | k > N2 K1x1= dt ∗ (w0/(2 ∗ H)) ∗ (Pm − Pmax ∗ sin(x20)); else K1x1=dt*(w0/(2*H))*(Pm); end K1x2=dt*x10; if k< N1 | k > N2 K2x1=dt*(w0/(2*H))*(Pm-Pmax*sin(x20+0.5*K1x2)); else K2x1=dt*(w0/(2*H))*(Pm);
end K2x2=dt*(x10+0.5*K1x1); if k< N1 | k > N2 K3x1=dt*(w0/(2*H))*(Pm-Pmax*sin(x20+0.5*K2x2)); else K3x1=dt*(w0/(2*H))*(Pm); end K3x2=dt*(x10+0.5*K2x1); if k< N1 | k > N2 K4x1=dt*(w0/(2*H))*(Pm-Pmax*sin(x20+K3x2)); else K4x1=dt*(w0/(2*H))*(Pm); end K4x2=dt*(x10+K3x1); dx1=(K1x1+2*(K2x1+K3x1)+K4x1)/6; dx2=(K1x2+2*(K2x2+K3x2)+K4x2)/6; x1=x10+dx1; x2=x20+dx2; t(k+1)=t0+k*dt; x(k+1,:)=[x1 x2]; x10=x1; x20=x2; x1= [ ]; x2 = [ ]; end delta=(180/pi)*x(:,2); plot(t,delta); xlabel(’Tempo (s)’); ylabel(’delta (graus)’);
A Figura 9.11 mostra a simulação, na qual simula-se uma falta que é eliminada em um período de 0,06 s. Observe-se que para esse intervalo, o sistema é estável. Observe-se que a falta incide no instante de tempo igual a 0,1 s. Mesmo em regime permanente, o sistema oscila, porque não há amortecimento das oscilações após religamento da linha. Isto se deve ao fato de não haver perdas ativas (resistências) no sistema testado.
Na Figura 9.12, a duração da falta é de 0,16 s. Note-se que houve aumento da amplitude das oscilações, indicando que o sistema foi submetido a um distúrbio de maior impacto.
Na figura 9.13 a duração da falta é de 0,25 s. Observe-se que a amplitude do ângulo do rotor já é bem elevada.
Na figura 9.14 a duração da falta é de 0,26 s. Neste caso, claramente o sistema perdeu a estabilidade. Então, o máximo tempo em que a linha pode ficar desligada, a
9.4. DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA ELÉTRICA 15 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −5 0 5 10 15 20 25 30 Tempo(s) delta (graus)
Figura 9.11 Curva resultante da simulação, mostrando o ângulo δ em função do tempo. Nesta simulação a falta dura 0,06 s.
partir do intante de incidência da falta, é inferior a 0,26 s. Em todos os casos avaliados anteriormente, a pesquisa pelo tempo crítico de abertura da linha é inteiramente aleatória. No exercício anterior, a estabilidade do sistema pode ser avaliada pelo critério das áreas iguais. Esse critério é baseado no fato de que o sistema após sofrer uma perturbação pode ir para um ponto de equilíbrio, mesmo após a abertura da linha, caso o tempo de restabelecimento seja inferior a um determinado intervalo de religamento da interligação. Considere a curva P−δ do gerador. O intervalo relacionado à falta pode ser quan-tificado em termos de uma diferença angular. Se o restabelecimento ocorre durante essa diferença angular, ele deve ser correspondente a uma área máxima abaixo da reta de Pmna curva P−δ, A1, de tal modo que seja inferior a outra área A2. Essa área A2é computada a partir do religamento e tomando-se a área entre a curva de potência elétrica e a reta Pm. Esse cálculo é aceitável para ângulos no máximo até δ =δu. Se a área A2é maior que
A1 o sistema é estável. Neste caso, o tempo de religamento máximo pode ser calculado, conhecendo-se o ângulo de religamentoδr. A Figura 9.15 ilustra essas informações.
No exemplo anterior calcule o tempo crítico de religamento (tempo máximo para o qual o sistema mantém a estabilidade), considerando uma falta trifásica e abertura da interligação.
A área A1é A1= Pm(δr−δo). Já a área A2é A2= −
Rδ1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 −40 −20 0 20 40 60 80 Tempo (s) delta (graus)
Figura 9.12 Curva resultante da simulação, mostrando o ânguloδ em função do tempo. A du-ração da falta é igual a 0,16 s
o cálculo do ângulo de religamento máximo, deve-se fazer δ1=δu, pois para ângulos superiores a δu o sistema tem aceleração positiva e neste caso já perdeu a estabilidade. Então
Pm(δr−δo) = −
Z δu
δr
(Pm− Pmaxsen(δ))dδ (9.22) As duas igualdades resultam em
Pm(δr−δo) = −Pm(δu−δr) − Pmax(cos(δu) − cos(δr)) (9.23) Finalmente se tem a equação abaixo, cuja incógnita éδr.
Pm(δu−δo) + Pmaxcos(δu) − Pmaxcos(δr) = 0 (9.24) A solução então será:
9.4. DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA ELÉTRICA 17 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −100 −50 0 50 100 150 200 Tempo (s) delta (graus)
Figura 9.13 Curva resultante da simulação, mostrando o ângulo δ em função do tempo. A du-ração da falta é igual a 0,25 s
cos(δr) =
Pm(δu−δo) + Pmaxcos(δu)
Pmax
(9.25)
Portanto, o ânguloδr pode ser calculado por meio da expressão (9.25).
Para o exercício anterior, substituindo os valores anteriores para os ângulos (em radiano) e demais parâmetros, tem-se:
cos(δr) =
0, 8(2, 9142 − 0,2274) + 3,5486cos(2,9142)
3, 5486 = −0,3685
Logo,δr = 1, 9482 rad = 111, 62o. Para calcular o tempo associado a esse ângulo crítico, considere que durante a falta, a equação de oscilação tem Pe= 0. Assim,
d2δ dt2 =
ωo 2HPm
A integral da aceleração resulta em (optou-se por usar diferenças entre variáveis nesse cálculo, porque estamos interessado no intervalo de tempo a partir do ângulo em
0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Tempo (s) delta (graus)
Figura 9.14 Curva resultante da simulação, mostrando o ânguloδ em função do tempo. A du-ração da falta é igual a 0,26 s
que a falta ocorre - considerar, nesse caso a diferença angular):
d∆δ dt =
ωo 2HPm∆t Realizando-se nova integração, tem-se:
∆δ = ωo
4HPm∆t 2
Então, durante a falta, o intervalo de tempo crítico para religamento da linha será
∆t= s
4H(δr−δo)
ωoPm
A expressão anterior para cálculo de ∆t é válida somente para a situação em que
a interligação é aberta e não ocorre transferência de potência para suprimento da barra infinita durante a falta. Caso ocorra fluxo de potência durante a falta, outra expressão deverá ser deduzida, levando em conta esse aspecto.
9.4. DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA ELÉTRICA 19
Figura 9.15 Esquema ilustrativo para mostrar o critério das áreas iguais
Substituindo os valores já calculados, tem-se:
∆t= s
4× 3(1,9482 − 0,2274)
377× 0,8 = 0, 2617 s
Comparando o intervalo de tempo calculado pelo critério das áreas iguais e pela simulação no tempo mostrada anteriormente, observa-se que os cálculos são compatíveis. O intervalo calculado por meio da simulação numérica é levemente inferior ao determi-nado pelo critério das áreas iguais. Normalmente, o intervalo calculado por simulação é mais preciso. O método das áreas iguais é uma simplificação e apresenta restrições para o caso de sistemas multimáquinas.
EXERCÍCIO
Considere o sistema mostrado na Figura 9.16. A barra d é uma barra infinita, cuja tensão deve ser mantida em 1,0 pu. A barra infinita absorve potência ativa e reativa iguais a 1 pu e 0,2 pu, respectivamente. Os dados das reatâncias dos equipamentos são em pu. A reatância transitória do gerador é igual a 0,15 pu, enquanto sua constante de inércia H é igual a 2,5 s. Utilize o modelo clássico para representar o gerador no estudo dinâmico. Ou seja, para o gerador, considera-se x′d= xq.
Figura 9.16 Sistema máquina barra-infinita
2) Suponha que o disjuntor B1 abra inadvertidamente e a linha b− c fica aberta. Calcular o máximo ângulo do rotor do gerador para essa situação.
3) Calcular o ângulo crítico para eliminação de uma falta trifásica na barra e. A falta é eliminada por meio da abertura da linha pelos disjuntores B1 e B2.
4) Determine o tempo crítico para eliminação da falta em 3), por meio de um pro-grama computacional.
5) Repita os problemas 3) e 4), agora considerando uma falta trifásica na barra b. Para esta situação, considere que a falta seja transitória e, durante a sua permanência, a interligação a− b fique desligada, sendo religada após extinção da falta. Compare o resultado em 4) utilizando o critério das áreas iguais.
