TópicosAMII2015

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Resumo de temas de An´

alise Matem´

atica II

FCUL maio 2015

Uma boa prepara¸cão na disciplina de Análise Matemática II pressupõe a compreensão e o dom´ınio dos tópicos que se enumeram em seguida.

Técnicas directas para obter a representa¸cão polinomial de fun¸cões

1. Significado dos s´ımbolos

f (x) = o(g(x)) quando _{x → a} 2. Regras operat´orias associadas a estes s´ımbolos, por exemplo

o(xa)/xb = o(xa−b) quando _{x → 0} 3. Desenvolvimentos de Maclaurin b´asicos:

1 1 − x, e

x_{, sin x, cos x, ln(1 + x), (1 + x)}a

4. Compreender que operar com os s´ımbolos o((x − a)n_{) ´e uma t´ecnica para obter os desenvolvimentos de}

Taylor (ou Maclaurin) por via directa, sem passar pelo c´alculo de derivadas de ordens elevadas.

5. Parte principal de uma fun¸cão f que se anula em x = a é (se existir) uma fun¸cão do tipo k(x − a)α _com

α > 0 tal que f (x) = k(x − a)α+ o((x − a)α) quando x → a. O mesmo ´e dizer que f(x) ∼ k(x − a)α quando x → a.

Primitivas

6. Primitivar por partes e por mudan¸ca de vari´avel. Reconhecer primitivas imediatas (por exemplo, a de

sinh x √

1+cosh x).

7. Primitivar fun¸cões racionais em casos simples, por decomposi¸cão em fraçcões simples; utilizar mudan¸cas de variável indicadas para primitivar determinados tipos de fun¸cão (por exemplo, fun¸cões que envolvam polinómios do 2o

grau, como√_−x2_{+ x em [0, 1] ou}√_x2_{− x em [1, +∞[...)}

S´eries de n´umeros reais

8. Ideia clara do que significa a convergência de uma série, do que sigificam as somas parciais e a soma da série. Indispensável conhecer a expressão de somas parciais e da soma de uma série geométrica

k + kr + kr2+ kr3_{+ · · · .}

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9. Para uma s´erie de termos n˜ao negativos, a somaP_∞

n=1antem sempre significado, seja como n´umero real,

seja +∞, vista que as somas parciais formam uma sucess˜ao mon´otona crescente.

10. Critério de compara¸cão (directo) para as séries de termos não negativos: se an≤ bn (pelo menos a partir

de certa ordem) eP_∞

n=1bné convergente, então conclui-se queP∞_n=1ané convergente.

11. Critério de compara¸cão (através do limite) para as séries de termos não negativos: se lim_n→∞ an

bn = L

existe, finito, e P_∞

n=1bn é convergente, então conclui-se que P∞n=1an é convergente. Se, além disso,

L 6= 0, ambas as séries são convergentes ou ambas não o são.

Em particular, factores que surgem no termo geral de uma s´erie podem ser substitu´ıdos por outros equiva-lentes (quando n → ∞) sem que a natureza da s´erie se altere.

12. Critério da razão para séries de termos positivos: se lim_n→∞ an+1

an < 1, ent˜ao

P_∞

n=1an ´e convergente.

13. Critério da raiz para séries de termos não negativos: se lim_n→∞√n_a

n< 1, ent˜aoP∞_n=1an´e convergente.

14. Para as séries cujos termos tomam valores dos dois sinais, ter uma no¸cão clara do que significa convergência absoluta e saber que uma série absolutamente convergente é convergente.

15. As séries de Riemann (frequentemente tomadas como padrão ou referência)P_∞

n=1n1a s˜ao convergentes se,

e s´o se, a > 1.

16. Uma s´erie alternada, quer dizer, do tipo a1− a2+ a3− a4+ · · · com an≥ 0, ´e convergente se se verificar

que ané sucessão decrescente e lim an= 0. Além disso, nesse caso a soma da série A =P∞_n=1(−1)n+1an

verifica as desigualdades, para todo o k ≥ 1 A2k= 2k X n=1 (−1)n+1an< A < A_2k−1= 2k−1 X n=1 (−1)n+1an.

Em particular, para todo o j, tem-se |A − Aj| ≤ aj+1 (majora¸c˜ao do “erro”).

Integral em intervalos compactos 17. Defini¸c˜ao de integral Rb

a f (x) dx para uma fun¸c˜ao f limitada num intervalo fechado e limitado [a, b]: ´e

um certo número obtido como limite de qualquer sucessão de somas de Riemann cujas decomposi¸cões têm normas que tendem para zero. Significado geométrico como área ou soma algébrica de áreas afectadas dos sinais ±.

18. Propriedades imediatas do integral: linearidade, decomposi¸c˜ao do intervalo. Usar o s´ımbolo Rb

af (t) dt

tamb´em com a > b.

19. Saber que qualquer fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] tem integral.

20. Teorema fundamental do Cálculo: se f é cont´ınua no intervalo I, se fixarmos a ∈ I e definirmos F em I pela expressão F (x) =Rx

a f (t) dt, então F é primitiva de f em I, isto é, F′(x) = f (x) ∀x ∈ I. (Em

particular, F ´e cont´ınua!)

21. A fórmula de Barrow e o teorema de integra¸cão por partes. 22. O teorema de integra¸cão por mudan¸ca de variável.

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24. Utilizar o integral para calcular o comprimento de um gr´afico.

Integral impróprio 25. Defini¸cão de integral impróprio convergente: o s´ımboloRb

af (t) dt como limite de

Rx

a f (t) dt quando x → b,

supondo a fun¸cão f cont´ınua em [a, b[; em particular pode ter-se b = +∞. Defini¸cão análoga noutros casos (b = −∞, etc). 26. Os integrais de referênciaR+∞ 1 t1pdt (respectivamente R1 0 t1pdt ou Rb

0 (b−t)1 pdt) convergem se, e s´o se, p > 1

(respectivamente p < 1).

27. Entender que a necessidade e a utilidade da no¸cão de integral impróprio se impõem quando a integranda não é cont´ınua no intervalo fechado e limitado de extremos a e b (em particular, sempre que b = +∞...). Assim,R1

0 e

t

−1

t dt não é, em rigor, um integral impróprio.

28. Quando a integranda ´e n˜ao negativa e a < b, o s´ımboloRb

af (t) dt tem sempre significado: ´e um n´umero

ou é +∞. Isto por que é o limite de uma fun¸cão monótona... 29. Observar que, se o integralR+∞

a f (t) dt ´e convergente e existe limt→+∞f (t) = L, tem de ser L = 0.

30. Critério de compara¸cão (directo) para integrandas não negativas: se f (t) ≤ g(t) (pelo menos para t ≥ t0,

onde a ≤ t0 < b)) e

Rb

ag(t) dt ´e convergente, ent˜ao conclui-se que

Rb

af (t) dt ´e convergente.

31. Critério de compara¸cão (através do limite) para integrandas não negativas: se lim_t→bf_g(t)(t) = L existe, finito, eRb

ag(t) dt ´e convergente, ent˜ao conclui-se que

Rb

af (t) dt ´e convergente. Se, al´em disso, L 6= 0, ambos os

integrais são convergentes ou ambos não o são.

Em particular, factores que surgem na express˜ao da integranda podem ser substitu´ıdos por outros equiva-lentes (quando x → b) sem que a natureza do integral impr´oprio se altere.

32. Para os integrais em que as integrandas tomam valores dos dois sinais, ter uma no¸cão clara do que significa convergência absoluta e saber que um integral absolutamente convergente é convergente.

(Em particular, combinando este facto com o critério de compara¸cão, podemos afirmar: se a e b são números e f é cont´ınua e limitada em [a, b[, o Rb

af (t) dt ´e convergente!)

33. As regras de integra¸cão por partes e por mudan¸ca de variável permanecem válidas para os integrais impróprios, entendendo-se que todas as expressões que figuram nas fórmulas têm sentido como limite (finito).

34. Rela¸cão entre convergência de séries e convergência de integrais: Se an= f (n) (n ∈ N), onde f : [1, +∞[→

Ré fun¸cão cont´ınua, decrescente e positiva, então Z +∞

1

f (t) dt ´e convergente se, e s´o se

∞

X

n=1

an

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Sucessões e séries de fun¸cões; convergência uniforme; séries de potências

35. Seja fn uma sucess˜ao de fun¸c˜oes reais definidas num intervalo I. Dizemos “fn→ f em I” para significar

que ∀x ∈ I se tem

lim

n→∞fn(x) = f (x).

Dizemos “fn→ f uniformemente em I” para significar

lim

n→∞sup_x∈I|fn(x) − f(x)| = 0

que ´e o mesmo que

∀δ > 0 ∃p ∈ N ∀n ≥ p ∀x ∈ I |fn(x) − f(x)| ≤ δ.

(Observe-se que o significado de “fn → f em I” traduz-se por uma frase semelhante mas colocando no

in´ıcio o ∀x ∈ I, o que altera substancialmente o significado, já que p poderá então depender de x.) 36. Se fn→ f uniformemente em I e as fnsão cont´ınuas, pode-se concluir:

(i) ent˜ao f ´e cont´ınua.

(ii) (Permutabilidade entre limite e integral) ∀a, b ∈ I tem-se lim n→∞ Z b a fn(x) dx = Z b a f (x) dx.

37. (Permutabilidade entre limite e derivada) Se fn→ f em I, se as fn s˜ao de classe C1 em I e se

h´a uma fun¸c˜ao (cont´ınua) g tal que f′

n→ g uniformemente em I pode-se concluir: f ´e C1 e f′ = g em I.

38. Se é dada uma sucessão an de fun¸cões em I dizemos “a série P∞_n=0an(x) converge (respectivamente

converge uniformemente) em I e tem soma A(x)”se a sucess˜ao de fun¸c˜oes constitu´ıda pelas somas parciais Ak(x) = Pkn=0an(x) converge (respectivamente converge uniformemente) em I para o limite A(x).

Escrevemos, como habitualmente

A(x) =

∞

X

n=0

an(x).

Costuma referir-se A como fun¸c˜ao soma da s´erie. 39. Se A(x) =P_∞

n=0an(x) uniformemente em I e as ans˜ao cont´ınuas pode-se concluir:

(i) ´e A ´e cont´ınua.

(ii) (Permutabilidade entre “soma infinita”e integral, ou integra¸c˜_{ao termo a termo) ∀c, d ∈} I tem-se ∞ X n=0 Z d c an(x) dx = Z d c A(x) dx.

40. (Deriva¸c˜ao termo a termo) Se A(x) =P_∞

n=0an(x) em I, se as an s˜ao C1 e seP∞_n=0a′n(x) converge

uniformemente em I, então a fun¸cão soma A é C1 e

A′_{(x) =} ∞ X n=0 a′ n(x).

41. (Critério de Weierstrass) Para se obter convergência absoluta e uniforme em I da série de fun¸cões P_∞

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42. Uma série de potências de x é uma série de fun¸cões que tem a forma particular P_∞

n=0cnxn onde os cn

constituem uma sucessão dada e se chamam “coeficientes”. Em particular, se esta série converge, a fun¸cão soma é limite de polinómios.

43. Toda a série de potências de x tem um raio de convergência: trata-se de um elemento R ∈ [0, +∞] com as propriedades

(a) se |x| < R a s´erieP_∞

n=0cnxnconverge absolutamente;

(b) se |x| <> R a s´erie P_∞

n=0cnxn n˜ao converge (em particular, ] − R, R[ ´e o maior intervalo aberto de

valores de x que tornam a s´erie convergente).

Verifica-se ainda, com utiliza¸cão de séries geométricas e do critério de Weierstrass, que

(c) dado qualquer intervalo [a, b] ⊂] − R, R[, a s´erieP_∞

n=0cnxn converge uniformemente em [a, b].

44. Têm o mesmo raio de convergência ss séries: P_∞

n=0cnxn,P∞_n=0cnxn+1 ,P∞_n=0ncnxn,P∞_n=0 c_nnxn ...

45. (Fórmulas de uso frequente para o cálculo do raio de convergência) R = lim n→∞ |cn| |cn+1| , R = 1/( lim n→∞ n p|cn|)

(valem quando os limites existem).

(Fórmula universal para o cálculo do raio de convergência) R = 1/(lim sup

n→∞

n

p|cn|)

46. (Deriva¸cão termo a termo de uma série de potências) Se S(x) =

∞

X

n=0

cnxn

com raio de convergˆencia R, ent˜ao

S′_{(x) =} ∞

X

n=1

ncnxn−1

com o mesmo intervalo aberto máximo de convergência. (Aten¸cão ao primeiro ´ındice em cada caso...) 47. Reconhecer as séries de potências de x que representam as fun¸cões de uso mais frequente na análise:

exponenciais, seno, logaritmo, ... sem epquecer as somas de s´erie geom´etrica.

48. Por translaçcão (fazer a mudan¸ca x − a = y) , obtêm-se resultados análogos para séries de potências de x − a, ou “séries centradas em a”

∞

X

n=0

cn(x − a)n

sendo neste caso o maior intervalo aberto de convergência um intervalo da forma ]a − R, a + R[ (onde R é o raio de convergência de P_∞

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Integrais paramétricos 49. Integral paramétrico é uma fun¸cão real de uma variável real definida por

ϕ(t) = Z b

a

f (x, t) dx

onde f , fun¸cão de duas variáveis, está bem definida e é cont´ınua no dom´ınio [a, b] × J (a, b ∈ R; J intervalo de qualquer tipo em R).

Conclui-se ent˜ao que ϕ ´e cont´ınua.

50. Suponha-se além disso que f tem derivada como fun¸cão da sua segunda variável (que neste contexto representamos por ∂f_∂t(x, t) e que ∂f_∂t é cont´ınua como fun¸cão de duas variáveis. Então ϕ é derivável no seu dom´ınio e a derivada é dada por

ϕ′_{(t) =}

Z b

a

∂f

∂t(x, t) dx.

51. Há resultados análogos para integrais paramétricos impróprios mas requerem hipóteses mais restritivas. Consideremos o caso de um integral paramétrico do tipo

ψ(t) = Z +∞

a

f (x, t) dx

onde f , fun¸cão de duas variáveis, está bem definida e é cont´ınua no dom´ınio [a, +∞[×J (a ∈ R; J intervalo de qualquer tipo em R). Supomos à partida, naturalmente, que o integral converge para todo o t ∈ J. Supondo adicionalmente que ∂f∂t existe e é cont´ınua em [a, +∞[×J; e que existe g : [a, +∞[→ R+

com as propriedades ∂f ∂t(x, t) ≤ g(x) ∀(x, t) ∈ [a, +∞[×J; Z +∞ a g(x) dx converge ent˜ao podemos concluir, como acima,

ψ′_{(t) =}

Z +∞

a

∂f

∂t(x, t) dx.

Observa¸c˜ao: para garantir a aplicabilidade deste resultado num dado ponto t0 podemos substituir J por