UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL - UNIJUI
ROSANGELA RAMON
MODELAGEM MATEMÁTICA DA GRAPHOLITA MOLESTA E SUA APLICAÇÃO NO CONTROLE DESTA PRAGA
ROSANGELA RAMON
MODELAGEM MATEMÁTICA DA GRAPHOLITA MOLESTA E SUA APLICAÇÃO NO CONTROLE DESTA PRAGA
Dissertação apresentada ao programa de Pós-graduação Stricto Sensu em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUI, como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Marat Rafikov
UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL
DeFEM – DEPARTAMENTO DE FÍSICA, ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA DeTEC – DEPARTAMNETO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA
A comissão examinadora, abaixo assinada, aprova dissertação:
MODELAGEM MATEMÁTICA DA GRAPHOLITA. MOLESTA E SUA APLICAÇÃO NO CONTROLE DESTA PRAGA
Elaborada por ROSANGELA RAMON
Como requisito para a obtenção do grau de mestre em Modelagem Matemática Comissão examinadora
____________________________________________________ Prof. Dr. Marat Rafikov (Orientador)
____________________________________________________ Prof. Dr. Régis Sívori Silva dos Santos
______________________________________________________ Prof. Dr. Jorge Luis Palácios Felix
AGRADECIMENTOS
A minha família, em especial ao meu marido Marcos Acácio Brisola, meus pais Augusto e Delize Ramon, pelo apoio, incentivo e compreensão nos momentos mais difíceis;
Ao meu orientador, professor Dr. Marat Rafikov, pela amizade, paciência e por repetir inúmeras vezes seus ensinamentos;
A todos os professores, que de um a forma ou outra auxiliaram na construção de novos conhecimentos;
Aos meus colegas e amigos do mestrado que proporcionaram momentos prazerosos nos nossos momentos de estudo;
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO... 08
1. REVISÃO DE LITERATURA... 10
1.1 Apectos relevante sobre a maçã... 10
1.2 Aspectos relevantes sobre a grafolita... 17
1.3 Aspectos relevantes sobre o parasitoide... 22
1.4 Controle biológico... 25
1.5 Modelagem matemática... 30
1.6 Objetivos do trabalho... 45
2. MODELO MATEMÁTICO DA GRAFOLITA MOLESTA COM VÁRIOS ESTÁGIOS DE DESENVOLVIMENTO... 47
2.1 Identificação dos parâmetros do modelo... 59
2.2 Simulação numérica sem a aplicação do controle... 68
2.3 Simulação numérica com a aplicação do controle químico.... 71
3. DINÂMICA DO MODELO MATEMÁTICO DE INTERAÇÃO DA GRAFOLITA COM A PRESENÇA DE PARASITOIDE... 74
3.1 Identificação dos parâmetros do modelo... 84
3.2 Influência do coeficiente delta na dinâmica do sistema... 90
CONCLUSÃO... 92
RESUMO
Este trabalho consiste no estudo da dinâmica populacional da Grapholita Molesta e a interação da mesma com um parasitoide. Para tanto foi elaborado um modelo matemático que descreva tal situação. Alguns dos coeficientes apresentados no modelo foram determinados com base em informações bibliográficas sobre o ciclo biológico da praga estudada. Os demais coeficientes foram determinados a partir de simulações numéricas.
As simulações foram utilizadas tanto para ajustar o modelo, como para descobrir a dinâmica do processo de parasitismo do sistema em questão e modelar a aplicação de inseticidas e o lançamento de parasitóides.
Este trabalho permitiu fornecer uma visão do comportamento do sistema estudado; determinar alguns coeficientes que poderão ser utilizados em outros estudos; analisar a dinâmica populacional da grafolita com e sem a interação de um parasitóide; fazer a simulação do controle biológico da grafolita, com a liberação de parasitoides em plantações infestadas pelas G. molesta; perceber que o lançamento do parasitoide controla a praga em questão.
ABSTRACT
This work consists in the study of the population dynamic of the molest grafolit and the interaction of itself with a parasite. That´s why it was elaborated a mathematic model that describes this situation. Some of the coefficients shown in the model were determined with base in the bibliographical information about the biological plague cycle studied. The rest of the coefficients were determined from numerical simulations.
The simulations were also used to adjust the model, as to find out the dynamic of the parasitism process of this system and to model the insecticides application and the parasite launch.
This work allowed to supply a vision of the behavior of the studied system; to determine some coefficients that can be used in other studies; to analyze the population dynamics of the G. molest with and without the interaction of a parasitóide; to do the simulation of the biological control of the grafolita, with the parasitoides liberation in plantations infested by G. molest, to notice that the release of the parasitoide controls the curse in subject.
INTRODUÇÃO
A produção nacional de maçã nos últimos anos apresenta perdas significativas devido à infestação nos pomares de uma praga chamada Grapholita molesta que ataca frutos e os ramos das plantas dessa cultura.
O controle de pragas sempre foi uma preocupação dos produtores. Com as exigências do mercado internacional, a preocupação é ainda maior. O controle químico não é mais aconselhado para a diminuição dessa praga, devido a uma série de problemas ocasionados. Entre eles podemos destacar, à resistência de pragas aos inseticidas, destruição dos inimigos naturais, intoxicação de seres humanos, e poluição do meio ambiente.
Uma alternativa eficiente para controlar a proliferação dessa praga é a utilização do controle biológico. Para tanto a modelagem matemática se faz indispensável. O uso de parasitas é uma alternativa eficiente para o controle das mesmas.
No Brasil, não são muitos os estudos apresentados para o controle biológico da grafolita com o uso de parasitoides. Porém, alguns artigos apresentam o Trichogramma pretiosum como um bom inimigo natural dessa praga. Isso se deve ao fato de que o mesmo ataca a fase inicial da praga, o ovo, não permitindo que este se transforme em lagarta.
Apesar da importância do uso do controle biológico de pragas, muitos cuidados precisam ser tomados, pois o controle desordenado pode causar problemas na cadeia alimentar.
A fim de que o controle biológico se torne eficiente é necessário conhecer a dinâmica populacional da praga em questão, bem como a sua interação com o parasitoide.
Nesse trabalho, serão apresentadas algumas informações relevantes sobre a grafolita e um parasitoide. Para a dinâmica populacional da praga serão considerados os estágios: ovo, larva, pupa e fase adulta.
Algumas simulações numéricas serão apresentadas, a fim de escolher a maneira mais eficiente de estabelecer o controle populacional da espécie que causa grandes prejuízos a produção de maças com poucos danos ao meio ambiente.
No primeiro capítulo, será abordado informações bibliográficas referente a produção nacional de maçãs, informações sobre a G. molesta e o parasitoide, bem como controle biológico e modelagem matemática.
O segundo capítulo está destinado a formulação do modelo matemático que represente a dinâmica populacional da G. molesta, bem como a identificação dos coeficientes utilizados no modelo matemático.
O terceiro capítulo apresenta um modelo matemática que descreva a dinâmica populacional da grafolita e a interação da praga com um parasitoide.
1. REVISÃO DE LITERATURA
1.1. Aspectos relevantes sobre a maça
1.1.1 Informações gerais
A origem da maçã (Malus domestica) não se sabe ao certo. Nem mesmo a planta silvestre que originou a macieira. Porém há indícios de que a evolução da macieira iniciou há 25 milhões de anos, tendo como centro de origem a região entre o Cáucaso, cadeia de montanhas da Ásia entre o Mar Negro e Cáspio com 1.200km de extensão e altitude de 2.000m, e o leste da China. O desenvolvimento das espécies atuais pode ter ocorrido após o final da última era glacial, há 20 mil anos. Os povos euro-asiáticos devem ter colaborado para a disseminação das formas primitivas das macieiras atuais (BLEICHER, 2002).
Esse fruto é da família Rosácea, do gênero Malus. Acredita-se que existam mais de 7.500 espécies e variedades. As diferentes espécies encontram-se em climas temperados e subtropicais, pois a macieira é uma planta que exige um período do ano frio para que ocorra uma boa floração.
Não somente as temperaturas de inverno são importantes para o desenvolvimento da macieira, mas também as de primavera e verão poderão influir no desenvolvimento. Temperaturas entre 18 e 23° C são necessárias durante a fase vegetativa. As temperaturas baixas e contínuas durante os meses de inverno são indispensáveis para que a planta reinicie um novo ciclo
vegetativo com brotação e floração normais. A temperatura da 2ª e 3ª semanas após a floração influencia a forma dos frutos. Temperaturas elevadas, neste período, induzem a formação de frutos achatados (PETRI, 2002). Porém, a influência da temperatura é variável em função da variedade cultivada.
As variedades do grupo Gala, por exemplo, necessitam de um inverno com cerca de 700 horas de frio (temperatura abaixo de 7,2 ºC) para terem um bom rendimento na colheita.
A fruta da macieira segundo ABPM, é considerada uma fonte de combate ao colesterol, devido a grande quantidade de pectina em sua casca e que também auxilia no emagrecimento, pois a pectina dificulta a absorção das gorduras e da glicose. Ela modera o apetite e ajuda na digestão, previne o câncer digestivo e também auxilia na limpeza do sangue.
A maçã é um fruto que se destaca pela capacidade de conservação de seu valor nutritivo por longo período, se comparado a outros frutos. É consumido na sua maioria in natura, mas a produção de sucos concentrados vem ganhando destaque nos últimos anos.
1.1.2. A maçã no mundo
Devido a boa aceitação desse produto pelo mercado consumidor, a produção vem crescendo em grande escala. Em 2005, a China representava a maior produtora dessa fruticultura, cerca de 39% da produção mundial. O Brasil, por sua vez, ocupava a 13ª posição no rank mundial, sua produção referia-se a 1,5 %. Para uma análise mais precisa da Produção Mundial de
Maçã entre os anos de 2003 a 2005 (em tonelada) podem observar na tabela abaixo:
Tabela 1.1: produção mundial de maça entre 2003 e 2005.
País 2003 2004 2005 Média Média (%)
China 21105161 23681494 25006500 23264385 39,1 EUA 3988552 4728390 4254290 4323077 7,3 Turquia 2800000 2100000 2550000 2418667 4,1 Irã 2400000 2400000 2400000 2400000 4,0 Polônia 2427753 2521514 2050000 2333089 3,9 França 2138896 2218940 2123000 2158942 3,6 Itália 1810435 2138228 2194875 1980512 3,3 Federação Russa 1690000 2030000 2050000 1923333 3,2 Alemanha 1578000 1592000 1600000 1590000 2,7 Índia 1470000 1470000 1470000 1470000 2,5 Chile 125000 1300000 1350000 1300000 2,2 Argentina 1307460 1262440 1262440 1277447 2,1 Brasil 841821 973325 843919 886355 1,5 Japão 842100 754600 870000 822233 1,4 Ucrânia 971300 716900 700000 762733 1,3 Espanha 881101 803000 7977000 760600 1,3 África do Sul 714321 707845 778630 733599 1,2 Coréia do Norte 660000 669000 669000 666000 1,1 Hungria 507505 690000 720000 635835 1,1 Subtotal 48882395 52541674 5390354 51704808 98,8 Fonte http://www.todafruta.com.br/todafruta/dia 03/01/2008 as 15:30
1.1.3. A maçã no Brasil
A produção de maçã no Brasil tem crescido consideravelmente nos últimos anos. Apesar de ser uma cultura recente (iniciada na década de 70), vem ganhando destacaque no cenário nacional. Os plantios da macieira concentram–se basicamente no sul do Brasil, predominante nos Estados de Santa Catarina, Rio Grande do Sul e Paraná. Na década de 80 houve um grande incremento de plantio, o qual ficou estabilizado até 1995. Apesar de ainda não levantados oficialmente, constata-se uma retomada de investimentos em novos pomares a partir do ano de 1996, especialmente na região de São Joaquim e Vacaria (BONETI et al., 2002).
Um fator que contribuiu muito para esse aumento foi à relação área colhida e rendimento (toneladas/hectare). Na tabela 1.2 pode-se constatar tal afirmação.
Um fator que influenciou significativamente o aumento da produção foram os incentivos fiscais e a exportação. Em 1969 o Governo Federal incluiu a macieira na Lei de Incentivos Fiscais para Reflorestamento, com o objetivo de diminuir a dependência externa do país. A partir de então, o cultivo da macieira despertou interesse de empresários. Grandes empresas instalaram pomares e montaram toda a infra-estrutura de câmaras frigoríficas, transporte a frio e estrutura de comercialização. Porém, apesar do aumento da produtividade é possível verificar que a mesma, se comparada a outros paises, é baixa.
Na tabela 1.2 foi relacionado o rendimento da produção de maçãs entre os anos de 1981 a 2005.
Dessa forma é possível analisar os investimentos de tecnologias de produção para a obtenção de uma maior produtividade por hectare cultivada.
Tabela 1.2: produção brasileira de maças entre 1981 a 2005.
ANO PRODUÇÃO (toneladas) ÁREA COLHIDA (hectares) RENDIMENTO: (toneladas/hectares) 1981 67249 10600 6,12 1991 330751 25630 12,90 1992 403000 24181 16,67 1993 513387 25652 20,01 1994 446800 27112 16,85 1995 495400 26703 18,55 1996 544000 25328 21,48 1997 669102 26418 25,33 1998 708902 26318 26,94 1999 726083 28555 25,43 2000 967063 30043 32,19 2001 705515 30480 23,15 2002 857388 31519 27,20 2003 941821 31532 26,70 2004 980203 32993 29,71 2005 846353 35411 23,90
Com a produção crescendo consideravelmente, o produto que por muitos anos era importado em grande escala, passa a além de atender o mercado interno, ser exportado a outros países.
Segundo Melo (2006), 80% do total de maçã produzida é destinada ao consumo in natura, que é comercializada especialmente via Ceasas, Ceagesp e grandes supermercados.
No que diz respeito ao destino da produção brasileira de maçã podemos separar de acordo com a tabela abaixo:
Tabela 1.3: Destino da produção nacional de maças de 2003 a 2005
DESTINO 2003 2004 2005
Exportação 76.182 152.771 99.250
Interno 505.710 607.483 462.877
Indústria 164.108 175.331 197.503
Total 746.000 935.585 759.630
Fonte: http://www.todafruta.com.br/todafruta/ dia 13/01/2008 as 15:30
Segundo Mello (2006), a produção brasileira se concentra na região Sul, que é responsável por 98% da produção nacional. Em 1974 atingia apenas 1,53 mil t, passando a produzir, em 1990, a quantia de 351 mil t da fruta.
Mais precisamente, os Estados de Santa Catarina e Rio Grande do Sul são responsáveis por aproximadamente 90% da produção nacional (BONETI et al, 2002).
Com a significativa produção desses estados o Brasil deixa de ser um importador para, além de abastecer o mercado interno, exportar a outros países, principalmente europeus, maçãs de boa qualidade.
Para isso o cuidado redobrado com o cultivo das macieiras é indispensável. Existem critérios e normas para a produção de fruticulturas no que se refere ao uso de inseticida. Sabe-se que o uso de produtos químicos sem determinado controle pode prejudicar o meio ambiente e a própria saúde humana.
As regiões que se destacam na produção desse fruto são Fraiburgo (SC), São Joaquim (SC) e Vacaria (RS).
Analisando a tabela abaixo fica evidente a contribuição desses estados na produção nacional.
Tabela 1.4: Distribuição da produção nacional de 2005 a 2007
Área Colhida (há) Quantidade Produzida (t)
Discriminação 2005/06 2006/07 2005/06 2006/07 Brasil 36.008 37.562 861.385 1.093.853 SC 18.721 19.109 496.665 576.774 RS 15.260 16.360 328.091 471.602 Paraná 1.864 1.930 34.549 43.425 SP 163 163 2.080 2.052
Fonte: http://cepa.epagri.sc.gov.br/ dia 13/01/2008 as 15:30
Essas regiões apresentam condições climáticas ideais para o cultivo. Entre os fatores que podem influenciar no crescimento da macieira, citam-se altitude, topografia ao redor do pomar, proximidade de rios, ventos e quebra-ventos, temperatura, precipitação e luminosidade, quanto ao clima; drenagem, textura, estrutura, matéria orgânica, pH, teor de nutrientes e alumínio trocável, quanto ao solo (PETRI, 2002).
1.2. Aspectos relevantes sobre a grafolita
1.2.1 Informações gerais
Apesar de o clima ser favorável para o cultivo nas regiões produtoras, a incidência de pragas está prejudicando a produção. Dentre as pragas, na região de Vacarias (RS), a grafolita é uma das principais que ataca a macieira e seus frutos. Além dos danos diretos, ocasionam ainda a podridão, devido as aberturas deixadas nos frutos.
Segundo Arioli et al, (2007) a espécie é considerada uma das principais pragas das frutas de caroço. Ela ocasiona perdas econômicas significativas. Além, é claro, dos prejuízos ambientais em virtude do uso de inseticidas no controle desta praga.
A mariposa oriental Grapholita molesta (Busck, 1916) é um micro lepidóptero que se constitui numa das principais pragas das fruteiras de clima temperado do Brasil (ARIOLI et al., 2007) conhecida como broca dos ponteiros. A mariposa oriental é uma séria praga que ataca diversas fruteiras e pode ser encontrada em quase todo o mundo (SALLES, 1984).
Acredita-se que a mesma seja originária da China. No Brasil e em diversos países, esta praga causa danos significativos em diversos cultivares. Nas plantações de maçã, elas atacam tanto o fruto, como os ramos da macieira (SALLES, 1998).
A mariposa oriental G. molesta é uma praga que aumentou a sua incidência na cultura da macieira nos últimos anos. As larvas danificam os
frutos, construindo galerias geralmente a partir do cálice, prejudicando a qualidade e depreciando o valor comercial (RIBEIRO, 1999).
Figura 1.1: Fruto de maçã danificado pela lagarta grafolita. Fonte: EPAGRI, 2002.
Uma mesma lagarta normalmente ataca mais de um ramo. Porém, o dano nos brotos só danifica a produtividade se a planta atacada é jovem (SALLES, 1990).
O número de gerações da grafolita é variável em cada região. As condições geográficas e climáticas são fatores influenciantes para essas variações (SALLES, 1990).
A grafolita vem causando preocupações aos produtores, por provocar expressivas perdas de frutos. Levantamentos sobre perdas mostram que a grafolita tem uma incidência variável, porém expressiva, em diversas cultivares. O uso de inseticidas precisa ser reavaliado. Nas pulverizações seqüenciais pode ocorrer o desperdício de produtos e o pior é a contaminação do meio ambiente, do aplicador. Muitas vezes quando não existe o controle na
aplicação, os resultados podem não ser os desejados, pois se o inseto já causou danos o inseticida nada pode fazer. Além disso, o uso freqüente de um mesmo produto químico pode deixar a população resistente e com isso se faz necessário o aumento das dosagens. Outro fator a ser ressaltado é a saúde humana. Cada vez mais se busca o consumo de frutas livres de produtos químicos. Os consumidores querem frutas de boa qualidade com um baixo uso de insumos químicos (BOTTON, 2001).
1.2.2 Ciclo biológico e hábitos da grafolita
Para que se faça possível o controle desta praga em pomares de maçã, é de fundamental importância conhecer como ocorre o processo do seu desenvolvimento.
No que se refere ao ciclo biológico da grafolita, o mesmo depende basicamente da temperatura. Quanto maior for a temperatura, menos dias serão necessários para completar cada estágio ( SALLES, 1984).
Para esse trabalho serão levados em conta os estágios de desenvolvimento do ciclo de vida da grafolita estabelecidos por Salles (1984), onde basicamente, a grafolita passa por quatro fases: adulto, ovo, lagarta e pupa. Cada um desses estágios é marcado por características específicas.
Figura 1.2. Ciclo de vida da grafolita, adaptado de Salles, 1984.
Os adultos da grafolita são pequenas mariposas de cor cinza-escura, com distintas manchas escuras nas asas, que encobrem todo o corpo do inseto quando ele está pousado e medindo de 6 a 7mm de comprimento (SALLES, 1984).
Figura 1.3: Mariposa adulta da grafolita. Fonte: EPAGRI, 1999.
Os ovos são minúsculos, com 0,7mm de diâmetro, de forma redonda-ovalada e cor branco-acinzentada. É difícil percebê-los na planta a olho nu. Encontram-se sobre as folhas novas, de brotações, perto das axilas, e são colocados separadamente. Cada grafolita fêmea pode colocar uma quantidade
MARIPOSA 14 – 15 dias PUPA 7 – 13 dias LAGARTA 8 – 12 dias OVO 2 – 6 dias
de 30 a 232 ovos (REICHARD & BODOR, 1972), com pico de oviposição entre 4 a 9 dias após a emergência (GONZALES, 1993).
Figura 1.4: Ovo da grafolita. Fonte: EPAGRI, 1999.
As lagartas, quando pequenas (cerca de 4mm de comprimento), são de cor branco-creme a levemente amarelada e, quando bem desenvolvidas (cerca de 14mm de comprimento), adquirem cor branco-rosada.
A grafolita passa o inverno em diapausa na forma larval, num casulo sob as cascas das árvores, ou folhas aderidas aos ramos, em frutos mumificados ou sobre o solo entre as folhas. Quando em diapausa as lagartas apresentam-se escurecidas.
A pupa é protegida por um casulo de teia que fica no encontro de ramos, na região da base do pedúnculo do fruto, no tronco ou no solo sob a projeção da copa, sendo muito difícil localizá-la.
O número de gerações anuais dessa praga é de 6 a 8. O período crítico de ataque aos frutos é de novembro a março.
Figura 1.6: Grafolita na fase de pupa. Fonte: EPAGRI, 1999.
1.3 Aspectos sobre o parasitoide
Quando se quer trabalhar com controle biológico de uma praga em questão, sem dúvida se faz necessário encontrar um predador ou um parasita eficiente.
Existem diversos tipos de parasitas. Uns parasitam as larvas, ou as lagartas. Mas o que ganham destaque são os parasitas de ovos.
Cruz, 2007 comenta que os parasitóides exclusivos de ovos, os que atuam somente na fase inicial de vida da praga, são considerados os mais importantes entre todos os demais agentes de controle biológico. Isso se deve ao fato de evitar que a praga venha a provocar qualquer tipo de dano à planta hospedeira.
Segundo Afonso (2001) e Pinto et al. (2002), uma alternativa a ser incorporada ao manejo integrado da grafolita seria a utilização do parasitóide de ovos Trichogramma pretiosum Riley, 1879 (Hymenoptera: Trichogrammatidae). Tais parasitóides têm sido facilmente criados em larga escala, sendo, por isso, disponíveis comercialmente (biofábricas) em vários países, incluindo o Brasil.
As espécies de Trichogramma são constituídas por insetos muito pequenos, com dimensões inferiores a um milímetro. A fêmea faz a sua oviposição dentro do ovo de seu hospedeiro. Dentro de algumas horas, nasce a sua larva, que se alimenta do conteúdo do ovo do hospedeiro. Todo o ciclo do parasitóide se passa no interior do ovo da praga. Desse, sai a vespa adulta, que, de imediato, inicia o processo de busca de uma nova postura, para continuar a propagação da espécie.
Figura 1.8: Ovo parasitado pela espécie Trichogramma.
Essa capacidade de busca inerente às espécies de Trichogramma é uma característica importante nos inimigos naturais.
Uma vez parasitado, o ovo começa a escurecer, adquirindo tonalidade preta (cerca de quatro dias após o parasitismo). O ciclo total do parasitóide (período de tempo entre a colocação do ovo pela fêmea dentro do ovo da praga até o surgimento do novo indivíduo adulto) dura cerca de dez dias.
Figura 1.9: Fase adulta da Trichogramma pretiosum
1.4 Controle biológico
Com o surgimento dos inseticidas, o controle de pragas nas lavouras e pomares ficou facilitado. Porém, os danos ocasionados por este, na maioria
das vezes é considerável. Nas últimas décadas, o uso indiscriminado de defensivos agrícolas tem provocado danos ao meio ambiente e colocado em risco à saúde da própria humanidade.
A fim de amenizar a incidência do uso de agrotóxicos nos cultivares, vários países têm recomendado o uso do controle biológico como uma arma eficaz para minimizar o ataque das pragas.
No Brasil, milhões de litros de inseticidas são gastos anualmente para o controle de pragas agrícolas. Pouca importância é dada para o contexto ecológico, o que acarreta, obviamente, a reincidência de pragas e a redução do número de inimigos naturais, que afeta toda a cadeia alimentar.
O controle biológico pode ser descrito como o controle em que “cria” determinado inimigo natural com o intuito de regular uma certa população, ou seja, podemos definir controle biológico como o uso de ou a manipulação de inimigos naturais no controle de organismos indesejados. Através do controle biológico, busca-se um conjunto de fatores do meio ambiente que proporcionem impactos negativos em populações, limitando a sua densidade. Cabe salientar que a diminuição não significa a eliminação completa de determinada praga, mas sim a um nível suficiente para assegurar a sobrevivência do organismo controlador.
Segundo Cruz (2007), para utilizar o controle biológico, é muito importante distinguir primeiro entre controle “natural” e “aplicado”. Entende-se por controle biológico natural a redução da população de uma espécie de praga por seus inimigos naturais, sem a manipulação desses pelo homem. Esse tipo de controle é muito importante, mas as vezes superficial e insuficiente. Isso se deve pela de inimigos naturais em certas regiões ou mesmo pelo número insignificativo destes no meio ambiente.
Já no controle biológico aplicado faz-se a redução da população de uma espécie por inimigos naturais manipulados pelo homem. Ou seja, existe a influência dos seres humanos para que o controle aconteça. Esse tipo de controle pode ser dividido em:
• Controle biológico clássico: envolve a coleta de uma população de inimigos naturais, encontrados no hábitat de origem das pragas ou de regiões próximas. Inimigos naturais exóticos são importados, criados em laboratórios e liberados com o intuito de se tornarem permanentes como novos elementos da fauna local. O principal problema enfrentado por esse controle refere-se ao fato de que pode não haver um animal exótico para fazer o controle, ou então, não ocorra o estabelecimento na área exigida. • Conservação de inimigos naturais existentes: envolve a identificação de
fatores que possam auxiliar de forma benéfica a espécie, fornecendo condições de sobrevivência e reprodução e, conseqüentemente, aumentando sua densidade. Sendo assim se faz necessário o manejo do habitat através de práticas que vise o aumento e a preservação de inimigos naturais nos agroecossistemas.
• Controle biológico com o aumento de inimigos naturais: ocorre com a liberação de inimigos naturais criados em laboratório. Esses inimigos criados e liberados podem ser da mesma espécie de inimigos naturais já existentes na região como também, de outras espécies. A liberação desses inimigos pode ser inundativa, onde um grande número de inimigos é liberado afim de uma redução imediata das pragas, ou a liberação acumulativa, onde uma pequena quantia é liberada em determinados períodos em que o surgimento da praga é mais significativo. Neste caso o
que se pretende é manter níveis de densidade baixos das pragas, não permitindo dessa forma danos significativos ocasionados por essa praga.
Gassen (1999), salienta que o controle biológico é um fenômeno natural que tende a formar cadeias de relações complexas entre os vegetais e os animais, resultando em equilíbrio de populações e em comunidades estáveis. Ou seja, pode-se entender o controle biológico como uma ciência que se dedica ao cuidado dos agentes biológicos e que evitam o crescimento exponencial de alguns insetos, devido à interação com outros animais.
Os fatores ambientais são de grande importância para o controle mudam com o tempo e são diferentes de uma região para outra. Podemos dividir esses fatores em dois grupos: fatores bióticos e fatores abióticos.
Entende-se por fatores bióticos, os fatores ambientais ocasionados pela presença de organismos vivos, bem como as suas relações: inimigos naturais, competição entre espécies. Por sua vez, os fatores abióticos também chamados de não vivos, são os fatores ambientais como a água, o solo, a temperatura, a luminosidade e as propriedades físicas e químicas da biosfera. São ausentes da presença de seres vivos.
1.4.1 Agentes do controle Biológico
Um fator muito importante no que se refere ao controle biológico, diz respeito aos agentes responsáveis pelo controle: agentes do controle. Os inimigos podem ser divididos em três grupos principais, que varia de acordo com a relação com o hospedeiro ou praga. Os parasitas, são inimigos naturais que vivem dentro ou sobre o corpo do hospedeiro.
STERN et al (1959) destaca que a ação de parasitas, predadores ou patógenos, resulta numa posição geral de equilíbrio mais baixa do que prevaleceria na ausência desse agente. Toda vez que uma espécie é atacada por outra, ocorre o controle biológico, independente se for de forma natural ou artificial.. Os predadores, ao contrário, nunca estão associados intimamente à praga, tratada, nesse caso, como presa.
1.4.1.1. Parasitoides
Para Cruz 2007, parasitóides são conceituados como agentes de controle biológico em que pelo menos uma de suas fases de vida está intimamente associada à praga, tratada como hospedeiro do inimigo natural.
Os parasitoides são animais que se caracterizam por viver e se alimentar em um hospedeiro, o que normalmente cause a sua morte. Os parasitas podem ser divididos em endoparasitas ou ectoparasitas. O primeiro refere-se aos parasitas que vivem dentro do corpo do hospedeiro. O segundo por sua vez, vive sobre o hospedeiro.
Segundo Campos e Araújo, 1994, os parasitoides se dividem de acordo com os ataques ao hospedeiro:
Parasitas de ovos: Estes atuam somente na fase inicial da vida do hospedeiro. A fêmea do parasitoide coloca seus ovos dentro dos ovos da praga e só saem quando atingem a fase adulta. Esse tipo de parasitas não permitem o crescimento embrionário do parasitoide. Eles são muito importantes pois acabam eliminando a praga antes mesmo que ela ataque as plantações.
Parasita de ovo-larva: Colocam seus ovos no interior do ovo da praga e mesmo assim permitem o desenvolvimento embrionário do hospedeiro. A lagarta da praga eclode do ovo, carregando no seu corpo a larva do parasitóide. Alguns dias depois, a lagarta parasitada é morta pela larva do agente de controle biológico;
Parasitas de larvas-larvas: atuam em um ou mais fases larvais da vida do hospedeiro;
Parasitas de larvas-pupas: iniciam o parasitismo nas larvas e as mantém vivas até o estagio de pupa;
Parasitas de pupas: alimentam-se das pupas. Esse tipo de parasita é importante quando se querem controlar apenas gerações futuras.
Parasitas de adultos – são as espécies que se alimentam exclusivamente do corpo do hospedeiro na fase adulta. Este tipo de parasitismo tem pouco significado para o controle biológico.
1.4.1.2. Predadores
Toda vez que um organismo se alimenta de muitas presas para completar seus desenvolvimento e reproduzir-se, tem-se um predador.
Os predadores são, assim, animais que se caracterizam pelo habito de utilizarem outros animais como fonte alimentar. Estes podem ser consumidos parcialmente ou então totalmente. Na maior parte das vezes os predadores não atacam apenas uma espécie.
Os patógenos são indivíduos que vivem e se multiplicam em hospedeiros. Eles são responsáveis por causar doenças em outros indivíduos, ou seja, proporcionam desequilibro fisiológico no hospedeiro e normalmente causam a morte.
Os principais patógenos são os vírus, bactérias e fungos. Por serem a na sua maioria microscópicos e apresentarem características semelhantes entre si, são normalmente identificados apenas por especialistas.
1.5. Modelagem matemática
A prática da modelagem não é algo novo no mundo. Não é uma idéia nova. Sua essência sempre esteve presente na criação de teorias cientificas especialmente em conceitos matemáticos. Tem-se notícias do uso da modelagem matemática por Pitágoras que data 530 a.C. Outros nomes como Einstein, tem registros da utilização da modelagem matemática entre suas pesquisa.
Com o uso da matemática em aplicações úteis, o homem pode encontrar na matemática uma ferramenta poderosa a seu favor. Com ela foi possível expandir seus conhecimentos em relação a muitos fenômenos da natureza.
A capacidade do homem de pensar, analisar, questionar, investigar, permitiu a humanidade, juntamente com a matemática explorar e conhecer o ambiente em que vive.
A modelagem matemática contribuiu muito para a busca de novos conhecimentos em diversas áreas. Até o século XIX, a matemática aplicada voltava-se basicamente para problemas da física e engenharia.
Porém, a partir de então foi utilizada a matemática para resolver problemas ligados biologia, economia, medicina, psicologia, entre outras.
No Brasil, o uso formal e científico da modelagem matemática é recente. Nos últimos anos ela tem se destacado pela sua maneira de resolver determinados problemas que afetam a humanidade. Apesar de ser recente, pesquisas no Brasil já tiveram bons resultados.
1.5.1 Modelo matemático
O ambiente de Modelagem está associado à problematização e investigação. O primeiro refere-se ao ato de criar perguntas e/ou problemas enquanto que o segundo, à busca, seleção, organização e manipulação de informações e reflexão sobre elas. Essas atividades não são separadas, mas articuladas no processo de envolvimento. Nela, podem-se levantar questões e realizar investigações que atingem o âmbito do conhecimento reflexivo.
Bassanezi (2002), afirma que um modelo matemático de uma situação é uma representação simbólica que parte do real envolvendo uma formulação matemática abstrata. A matemática e a realidade são conjuntos disjuntos. Cabe a modelagem fazer a união. Segundo esse mesmo autor modelagem é a prática de fazer modelos.
Para D’ambrosio (1986), a modelagem é um processo muito rico de encarar situações e culmina com a solução efetiva do problema real e não com a simples resolução de um problema artificial.
A elaboração de um modelo depende do conhecimento que tem. Se o problema envolve matemática mais elaborada, então cabe ao pesquisador avançar no conhecimento que o mesmo ainda não tem. Porém, em
determinadas situações, a matemática elementar pode ser usada para solucionar o problema em questão.
Para Bassanezi (2002), a modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade e resolve-los, interpretando suas soluções na linguagem do mundo real.
A modelagem, atualmente contribui significativamente para várias áreas do conhecimento, porém se faz necessário prestar atenção em suas etapas. Segundo Rafikov (2007), a modelagem passa basicamente pelas seguintes etapas:
1. Formulação do problema em termos de fenômenos; 2. Formulação do problema em linguagem matemática;
3. O desenvolvimento ( ou adaptação) do modelo matemático
4. Elaboração do algoritmo numérico e criação do aplicativo computacional; 5. Simulação numérica para validar o modelo ou para encontra os parâmetros;
Cabe salientar que todas essas etapas são interligadas. Um trabalho bem no inicio, fornece uma elaboração final de qualidade. Porém, imperfeições nas etapas iniciais podem levar à dificuldades nas etapas seguintes.
1.5.3 População de insetos e modelagem matemática
Os insetos constituem o grupo de organismos mais abundante e diversificado da Terra. Alguns são úteis aos homens. Outros por sua vez acarretam uma série de problemas. Porém, todos são importantes, para a manutenção do equilíbrio ecológico. O que se vê no cenário atual é a presença de algumas espécies de forma desordenadas, que muitas vezes, proporcionam perdas significativas. Esse fato pode ser exemplificado com a G. molesta e as
plantações de maçãs. Como não é aconselhável acabar com toda a espécie, a solução é promover o restabelecimento do equilíbrio ecológico, ou seja, os inimigos naturais devem ser inseridos no ecossistema a fim de manter a densidade de pragas em níveis satisfatórios, que não prejudiquem as plantações e nem interfiram na cadeia alimentar.
Na tentativa de combater os ataques de insetos em plantações faz-se uso de controladores químicos e ou biológicos. Mesmo existindo vários critérios e normas para o uso de inseticida, o uso indiscriminado do mesmo tem provocado grandes danos ao meio ambiente e colocado em risco à saúde humana. Fazendo com que o controle biológico ganha destaque. Com a adesão de controles biológicos é possível dispensar o uso de produtos químicos tão prejudiciais à saúde humana e ao meio ambiente.
O controle biológico é uma boa alternativa para combater as pragas sem causar prejuízos e danos às frutas e a todo meio ambiente, mantendo a qualidade e os ganhos.
O conceito de qualidade tem evoluído nos últimos, além das características próprias dos produtos (aparência), é exigido que estes cumpram normas de qualidade preestabelecidas, que levem em consideração a preservação do meio ambiente na sua obtenção e a segurança do produtor, e tudo deverá ser certificado por uma empresa que ofereça garantias (Gonzalez-Moro, 2003). Sem o uso do controle biológico a produção de frutíferas perde, pois o não controle das pragas prejudica a quantidade da produção e o uso de agrotóxicas compromete a qualidade dos frutos produzidos.
O combate a insetos tem grande relevância social e econômica. Muitos recursos financeiros foram destinados a controlar e ou eliminar determinados insetos que acarretam prejuízos significativos. A presença de doenças e os
ataques ao frutos e a própria planta contribuem para perdas significativas. Provavelmente a maior parte dos investimentos seja direcionada a aplicação e do desenvolvimento de inseticidas. Muitos já foram desenvolvidos, mas o seu uso freqüente em plantações pode acarretar sérios danos à saúde humana e a toda natureza. A cada ano que passa os resultados estão sendo apresentando resultados pouco significativos. Tem-se constatado que as aplicações de mesmos produtos, com o passar do tempo não sejam mais capazes de controlar os insetos. Os mesmo torna-se resistentes aos inseticidas. Outro ponto observável é a reincidência de insetos considerados eliminados. Assim sendo, insetos considerados já controlados, com o passar do tempo voltam a atacar as plantações.
Nos últimos tempos, com o surgimento do controle integrado de pragas, o controle químico ganha uma outra dimensão. O controle feito com produtos químicos deixa de ser a única forma de controlar as pragas. Ou seja, outras alternativas de controle passam a ganhar destaque visando assim, diminuir o impacto ambiental e evitar a reincidências.
Um ponto fundamental para o controle integrado de pragas é o estudo e monitoramento dos insetos. Com esse propósito a modelagem matemática se faz de extrema importância. Com o auxilio da modelagem pode-se identificar os fatores que mais influenciam a dinâmica populacional de uma determinado espécie, analisar a influencia de inseticidas na população estudada, além de poder fazer previsões e estimativas da densidade populacional para o futuro.
1.5.4. Equações diferenciais ordinárias, a dinâmica populacional e modelo praga – parasita
1.5.4.1 Equações diferenciais ordinárias
Para uma boa compreensão do tema em questão faz-se necessário estudar questões básicas que se referem aos termos envolvidos na pesquisa. Com esse objetivo serão apresentados algumas informações de extrema relevância. Começaremos por termos mais simples.
Uma teoria que nos permite descrever a dinâmica populacional de certa população são as equações diferenciais. Equações diferenciais são equações que possuem um ou mais termos envolvendo derivadas de uma determinada função. Quando essas equações apresentam derivadas em função de uma única variável recebem o nome de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e quando apresentam derivadas envolvendo mais de uma variável, recebem o nome de equações diferenciais parciais (EDPs). Nesse trabalho usaremos EDOs para descrever a dinâmica populacional da população envolvida. Apesar das EDOs apresentarem a variação de apenas uma variável (no nosso caso tempo), as mesmas são de grande utilidade para a representação de dinâmicas populacionais. A maior parte dos modelos biológicos trabalha com esse tipo de equação.
As equações diferenciais ordinárias ocupam um lugar de destaque na matemática para descrever e estudar problemas ecológicos. Muitos sistemas ecológicos foram desenvolvidos utilizando-se dessa teoria.
Uma situação, por exemplo, que representa o crescimento exponencial de um certo microorganismo que esteja em um ambiente favorável ao seu desenvolvimento pode ser expressa matematicamente pela seguinte EDO
) ( ) ( t ax dt t dx = (1.1)
sendo que aé a constante de proporcionalidade,
dt t dx )(
representa a
variação da população com o passar do tempo e x(t) é a função que estabelece o tamanho da população num determinado instante. Ou seja, x(t) é a equação incógnita, a equação que queremos.
Assim, como a solução de uma equação algébrica, é de extrema importância, o mesmo acontece com as EDOs. Ao utilizar EDOs para modelar um sistema natural, o objetivo principal é encontrar a sua solução. Essa solução nada mais é do que uma função que soluciona o problema em questão.
No que se refere a solução de uma equação diferencial ordinária não existe uma maneira única para resolvê-las. Em algumas EDOs, por exemplo, a solução analítica fica difícil de ser encontrada. Nesses casos uma alternativa é determinar a solução numérica. As soluções numérica de EDOs podem ser obtidas através de vários métodos, tais como método de Euler, método de serie de Teylor...
A dificuldade de resolução dessas equações está ligada a sua classe (lineares, homogêneas, não lineares, de primeira ordem...). Em especial a linearidade e a ordem são fatores importantíssimos para determinar a solução analítica da EDO.
No nosso exemplo, a EDO é de fácil resolução. Ou seja, é possível encontrar a sua solução analítica sem muitos cálculos. Observe que a função
at
e t
seria solução. Derivando (1.2) temos
at
ae t
x'( )=5 (1.3)
Basta substituir e veremos que satisfaz a equação. Por ouro lado, é possível observar que toda função x(t)=ceat, com c constante, é solução. Assim (1.2) recebe o nome solução geral da EDO. Para determinados casos o que interessa é a solução particular, que reflete as características do sistema estudado. Para tanto se faz o uso das condições de contorno, que são determinadas a partir de informações do sistema em questão. Quando utilizamos condições de contorno na resolução de EDOs estamos encontrando um solução única, que diz respeito ao sistema estudado aplicando aquelas condições determinadas. Para uma outra condição de contorno teremos uma nova solução.
1.5.4.2. Dinâmica Populacional
Uma população pode ser definida como um agrupamento de indivíduos que vivem temporariamente juntos em um determinado ambiente. Por sua vez, a dinâmica de populações procura estudar fenômenos relacionados à evolução temporal das populações. A variação da densidade populacional pode ser descrita como um balanço entre dois conjuntos dinâmicos de fatores: os ganhos e as perdas. Os ganhos são determinados pelos nascimentos, juntamente com a entrada de novos indivíduos. Já as perdas são determinadas pelas mortes e as emigrações de indivíduos da população. Quando o os ganhos são maiores que as perdas ocorre o crescimento da população. Caso
contrário, a população diminui de tamanho. Ou então a população pode ficar estacionária. Quando isso acontece os ganhos e as perdas se equilibram.
A importância de se construir e estudar modelos matemáticos para a dinâmica de populações está ligada a idéia de interferir diretamente nessa dinâmica de uma determinada população. Normalmente o que se busca é encontrar estratégias para que, por exemplo, os ganhos (crescimento populacional) sejam menores que as perdas. Para tanto, se torna muito importante ter o entendimento das interações físicas e biológicas que interferem na população estudada.
A primeira vista parece ser muito fácil entender a dinâmica de uma população. Mas cabe ressaltar que inúmeros fatores físicos e biológicos interferem. Uma população não vive isolada, ela interage com outras populações. Ou seja, a dinâmica de uma população pode influenciar a dinâmica de outra, que por sua vez influência em uma terceira.
1.5.4.2.1 Modelos para uma espécie
Faremos um breve estudo sobre dois modelos de crescimento populacional: o modelo de Maltus e o modelo de Verlust. O modelo de Maltus considera que o crescimento de uma população é infinito. Já de Verlust, salienta que o crescimento é limitado, ou seja, enfatiza a capacidade de suporte do meio. E assim como esses citados, os demais apresentam características bem interessantes.
Mathus figura de destaque em estudos na dinâmica populacional. Em 1978, afirmou que a população cresce em uma progressão geométrica, enquanto que os alimentos em progressão aritmética. Malthus considerava esse sistema fechado.
Este modelo é simples e válido se o crescimento dessa população está sujeito apenas as taxas de natalidade e mortalidade.
Segundo o modelo Malthus, a velocidade do crescimento de uma população é diretamente proporcional ao seu tamanho, isso em linguagem de matemática pode ser escrito da seguinte maneira:
kP dt dP
= (1.5)
onde k é a diferença entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade.
Para k>0, a população é crescente. Para k<0 é decrescente. Agora se k= 0, então a população permanece constante em relação ao tempo. Os gráficos abaixo representam as soluções numéricas para o modelo de Malthus com população inicial de dois indivíduos.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Tempo P o p u la ç ã o
Figura 1.10: Representação gráfica para o modelo de Malthus com K=1,5
Como k>0 a população é crescente. Já o gráfico abaixo representa uma densidade populacional decrescente.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Tempo P o p u la ç ã o
Figura 1.11: Representação gráfica para o modelo de Malthus com K= -1,5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 Tempo P o p u la ç ã o
Figura 1.12: Representação gráfica para o modelo de Malthus com K=0
Para chegarmos a uma solução específica, considerando como população inicial P0 no tempo t=0. Dessa forma a condição inicial pode ser escrita como sendo P(0)=P0
Resolvendo a equação (1.5) através de separação de variáveis temos
kdt P dP = (1.6) kdt P dP t t P P
∫
∫
= 0 ) ( 0 (1.7) onde temos kt P t P = 0 ) ( ln (1.8)O que implica que a solução para a equação de Malthus para as condições iniciais dada é kt e P t P( )= 0 (1.9)
1.5.4.2.1.2 Modelo de Verlust
O modelo de crescimento de Verulst, proposta em 1838 utiliza EDOs para descrever a dinâmica populacional. Esse modelo é representado matematicamente pela seguinte equação:
− = k x rx dt dx 1 (1.10)
Na equação r representa taxa de crescimento em relação da variação da população no decorrer do tempo.
Este modelo leva em conta a capacidade de suporte do ambiente ( k ), que influencia no crescimento populacional, pois o esgotamento dos recursos disponíveis imporá limites à expansão. A solução analítica da equação diferencial a cima é obtida através da integração após a separação das variáveis
∫
=∫
− rdt k x x dx 1 (1.11)Resolvendo essa integral com a condição inicial x(0)=x0, chegamos a seguinte solução para a equação em questão:
(
0)
0 0 ) ( x e x k kx t x rt + − = − (1.12)A fim de ilustração analisaremos a representação da dinâmica populacional de uma bactéria no decorrer do tempo, cujo taxa de crescimento
) ( ) ( ) ( 1 2 2 2 2 a x t b x t dt t dx − = ) ( ) ( ) ( 2 1 1 1 1 ax t bx t dt t dx − =
seja de 0.23 ao dia e a capacidade de suporte do ambiente de 40 indivíduos. É possível perceber que ao atingir a quantidade de 40 indivíduos a densidade populacional se torna constante.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 10 20 30 40 50 60 Tempo P o p u la ç ã o
Figura 1.13: Gráfico do modelo de Verlust c=40, r=0.23 e população inicial 2
1.5.4.2.2. Modelo para duas espécies
1.5.4.2.2.1 Modelo de Lotka-Voltera
Um modelo bem conhecido é o de Lotka-Voltera, onde apresenta a competição de duas espécies por recursos vitais, dado pelas seguintes equações:
xy y dt dy 25 . 0 75 . 0 + − = xy x dt dx 5 . 0 − =
Esse foi o primeiro modelo que apresenta a competição de duas espécies. Ele foi feito por Lotka e Voltera . Um fato que chama atenção é que esse modelo foi criado isoladamente por esses dois pesquisadores. Esse modelo considera que a presa é a única fonte de alimento do predador, ou seja, na ausência de presas o predador é extinto.
Os valores a1, b1, a2, b2 regulam a variação dessas duas espécies representadas por x1 e x2.
A fim de ilustração consideremos o modelo de competição entre duas espécies determinado pelas seguintes equações:
(1.14)
Fazendo simulação para x=2 e y=1 temos
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 4 5 6 7 Tempo D e n s id a d e p o p u la c io n a l presa predador
0 5 . 0 = − xy x 0 25 . 0 75 . 0 + = − y xy
É possível observar que quando aumenta o número de predadores diminui o número de presas e vice versa. Para determinar os pontos críticos basta resolver o sistema
(1.15)
A solução será dada, no caso trivial (0,0) e (3, 2). No ponto (0, 0) não nos interessa, pois é o caso onde não há a presença de pressa e nem de predador. Agora no ponto (3, 2), é possível observar que ele é estável.
1.6. Objetivos do trabalho
1.6.1 Objetivo geral:
Propor, através da modelagem matemática, o estudo de um modelo que descreva a dinâmica populacional, bem como a interação entre a G. molesta (hospedeira) e um parasitoide.
1.6.2 Objetivo específico:
a) Conhecer a dinâmica populacional da Graplolita molesta.
b) Elaborar um modelo matemático que descreva a dinâmica populacional da Graplotita molesta .
2. MODELO MATEMÁTICO DA G. MOLESTA COM VÁRIOS ESTÁGIOS DE DESENVOLVIMENTO
Um modelo de dinâmica populacional é uma tentativa de descrever a variação de uma determinada população a partir de fatores que tendem a influenciar significativamente a população em discussão. O modelo desenvolvido em questão trata de uma área estudada restrita. Assim, no modelo não são considerados movimentos migratórios, nem a variação da temperatura como fatores influentes para a variação da dinâmica populacional. A mortalidade, a natalidade e as fases da vida serão os únicos fatores levados
em conta nesse modelo. A fim de conhecer a dinâmica populacional da Grapholita molesta, as
variações das densidades das fases do ciclo de vida dessa praga, serão estabelecidas por quatro equações diferenciais ordinárias, cada uma representando um dos estágios de desenvolvimento da vida da grafolita. Cabe salientar que cada um dos quatro estágios, recebe fluxos de indivíduos oriundos de estágios precedentes. Essas equações descreverão o modelo matemático a serem estudadas nesse trabalho. Os coeficientes a serem usados neste modelo estão especificados abaixo:
• M representa a densidade de mariposas no instante t. • O representa a densidade de ovos no instante t. • L representa a densidade de lagartas no instante t.
• P representa a densidade de pupas no instante t.
• umé o coeficiente que representa a mortalidade das mariposas; • uo é o coeficiente que representa a mortalidade dos ovos; • ul é o coeficiente que representa a mortalidade das larvas; • up é o coeficiente que representa a mortalidade das pupas;
• Ko é o coeficiente de proporcionalidade que transforma ovos em larvas; • Kl é o coeficiente de proporcionalidade que transforma larvas em
pupas;
• Kp é o coeficiente de proporcionalidade que transforma pupas em
mariposas;
• α é taxa de ovoposição das mariposas;
Num primeiro momento definiremos as equações que descrevem a dinâmica populacional desta praga na ausência de inimigos naturais. Em um segundo momento, será reconstruído o sistema a fim de estabelecer o controle biológico com um determinado parasitoide. Agora, nos deteremos à descrição da dinâmica populacional da praga em questão.
A taxa de variação da densidade das mariposas no instante t é proporcional a natalidade de mariposas, menos a taxa de mortalidade. Em outras palavras podemos determinar essa variação através da quantidade de pupas que se transformam em mariposas no instante t menos a quantidade de mariposas mortas no instante t. A equação que representa esta situação fica assim descrita: M u P K dt dM m p − = (2.1)
No que se refere a variação da densidade dos ovos no instante t, este será proporcional a quantidade de ovos postos menos a quantidade de ovos mortos menos a quantidade de ovos que se transformam em larvas. Neste
modelo assumiremos que a taxa de ovoposição será − C O 1 α , onde C
representa a capacidade de suporte do ambiente. A equação que representa esta situação está descrita abaixo:
O K O u M C O dt dO o o − − − =α 1 (2.2)
A taxa de variação das larvas é proporcional a quantidade de ovos que viram larvas menos a quantidade de ovos mortos menos a quantidade de larvas que se transformam em pupas. Assim segue que:
L K L u O K dt dL l l o − − = (2.3)
A taxa de variação da densidade das pupas no instante t será proporcional a quantidade de larvas que viram pupas menos a quantidade de pupas mortas menos a quantidade de pupas transformados em mariposas, que é representada pela seguinte equação:
P K P u L K dt dP p p l − − = (2.4)
Observando as equações acima pode-se constatar que o sistema formado por elas descreve as variações da densidade de cada fase da vida da grafolita num instante t. Logo o sistema a ser estudado é representado pelas seguintes equações: M u P K dt dM m p − = O K O u M C O dt dO o o − − − =α 1 (2.5) L K L u O K dt dL l l o − − = P K P u L K dt dP p p l − − =
Para analisarmos o comportamento do sistema acima, se faz de extrema importância encontrar os pontos de equilíbrio. Os pontos de equilíbrio ou pontos críticos são pontos obtidos quando se tornam nulas as derivadas que descrevem o comportamento das variáveis ao longo do tempo, ou seja quando
0 = dt dM , =0 dt dO , =0 dt dL , =0 dt dP .
Podemos também entender os pontos fixos de um sistema dinâmico como pontos em que a taxa de variação das trajetórias é nulo. Intuitivamente, podemos entendê-los como pontos estacionários, ou seja, pontos das trajetórias onde o movimento cessa.
O ponto de equilíbrio é estável quando valores em sua vizinhança se aproximam desse ponto e é instável, caso contrário..
Os valores procurados que representam os pontos críticos serão representados por *
. Desta forma procuramos a solução do seguinte sistema:
0 * * − = M u P Kp m 0 1 * * * * = − − − M u O K O C O o o
α
(2.6) 0 * * * − − = L K L u O Ko l l 0 * * * − − = P K P u L Kl p pO sistema possui uma solução trivial onde:
0
* =
P ; M* =0; O* =0; L* =0; (2.7)
Uma outra solução para o sistema em questão está representada abaixo:
)
(
)
(
)
(
(
)
(
))
(
(
l l)
(
p p)
m p o l l l p o l l o p p l l o o l l m K u K u u K K K K u K K K u u K u K u K u K u cu M + + + + + + + + + + − = α α *)
(
)
(
)
(
(
)
(
))
(
p o l p o l l l p o l l o p p l l o o l l m K K K K K K K u K K K u u K u K u K u K u cu O α α + + + + + + + + − = *)
(
)
(
)
(
(
)
(
))
(
(
l l)
p l p o l l l p o l l o p p l l o o l l m K u K K K K K K u K K K u u K u K u K u K u cu L + + + + + + + + + − = α α *)
(
)
(
)
(
(
)
(
))
(
(
l l)
(
p p)
p p o l l l p o l l o p p l l o o l l m K u K u K K K K K u K K K u u K u K u K u K u cu P + + + + + + + + + + − = α α * (2.8) A matriz cujos elementos são derivadas parciais de primeira ordem é denominada Matriz Jacobiana. Está matriz auxilia no estudo do comportamento (estabilidade) de sistemas não lineares nos dos pontos de equilíbrioSe y* é um ponto de equilíbrio do sistema de equações diferenciais então:
• Se cada autovalor da matriz Jacobiana no ponto y* for negativo ou tiver parte real negativa, então y* é um ponto de equilíbrio assitoticamente estável do sistema.
• Se tiver pelo menos um autovalor real positivo ou um complexo com parte real positiva, então y* é um ponto de equilíbrio instável.
Note que o sistema é não linear. Assim, ao invés do sistema (2.5), consideremos o sistema da seguinte forma matricial.
JZ dt
dZ =
(2.9)
Onde J é a matriz Jacobiana, encontrada derivando cada uma das equações do sistema em relação as variáveis encontradas no sistema:
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 4 4 3 4 2 4 1 4 4 3 3 3 2 3 1 3 4 2 3 2 2 2 1 2 4 1 3 1 2 1 1 1 z f z f z f z f z f z f z f z f z f z f z f z f z f z f z f z f J (2.10)
e Z é o vetor de ordem 4:
(2.11)
Assim, a matriz Jacobiana para o sistema em questão pode ser escrito da seguinte forma: − − − − − − − − − = p p l l l o o o p m K u K K u K K u c M c O K u J 0 0 0 0 0 0 1 0 0 * *
α
α
(2.12)Assim a matriz Jacobiana aplicada no ponto de equilíbrio trivial tem a seguinte forma: − − − − − − − = p p l l l o o o p m K u K K u K K u K u J 0 0 0 0 0 0 0 0
α
(2.13)Num sistema os autovalores da matriz J são as raízes do polinômio característico, que é obtido a partir de det
(
J −λ
I)
=0. Assim o polinômio característico da matriz Jacobiana no ponto de equilíbrio trivial será de encontrado quando: = P L O M Z0 0 0 0 0 0 0 0 0 = − − − − − − − − − − −
λ
λ
λ
α
λ
p p l l l o o o p m K u K K u K K u K u (2.14)Pelo peorema de Laplace o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, com n>2 será dado pela somatória dos produtos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz pelos respectivos cofatores.
(
)( ) (
)(
)
(
)
[
−um −λ
−12 −uo −Ko −λ
−ul −Kl −λ
−up −Kp −λ
−α
KoKlKp]
=0 (2.15)Que equivale a:
