e dissipac~ao em mec^anica qu^antica
Ary A. Perez Jr.
Orientador: Prof. Dr. G. G. Cabrera
Agradecimentos iv
1 Introduc~ao 1
2 Mec^anica qu^antica n~ao-linear 4
2.1 Introduc~ao . . . 4
2.2 Testes experimentais . . . 5
2.2.1 Limites experimentais dan~ao-linearidade logartmica . . . 6
2.2.2 N~ao-linearidadede Weinberg . . . 11
2.3 Motivac~oes eargumentos preliminares. . . 15
3 Equac~oes de Doebner-Goldin 18 3.1 Introduc~ao . . . 18
3.1.1 Formulac~aohidrodin^amica . . . 21
3.1.2 Condic~aode equival^encia . . . 24
3.1.3 Recuperandoa equac~ao de Schrodinger . . . 27
3.1.4 N~ao-linearidadeimaginariaI[ ; ] . . . 28
3.1.5 Propriedades gerais envolvendo I[ ; ] . . . 30
3.1.6 N~ao-linearidadesreais R[ ; ] . . . 33
3.2 Soluc~oes via transformac~oes n~ao-lineares . . . 34
3.2.1 Soluc~oes estacionarias . . . 34
3.2.2 Soluc~oes n~ao-estacionarias . . . 37
3.2.3 Exemplos . . . 40
3.3 Observac~oes e comentarios . . . 41
4 Transformac~oes de gauge n~ao-lineares 45 4.1 Introduc~ao . . . 45
4.2 Par^ametros gauge-invariantes . . . 53
4.2.1 Violac~aodasimetria temporal . . . 57
4.3 Generalizandoas transformac~oes N ; . . . 59
4.4 N ;; dependentes do tempo . . . 70
5 A subfamlia dissipativa 73 5.1 Introduc~ao . . . 73
5.2 Formulac~aode Ushveridze . . . 73
5.2.1 Relac~oes de Ehrenfest . . . 77
5.3 Formulac~aogauge-invariante . . . 79
5.3.1 Soluc~oes gaussianas . . . 82
6 Hidrodin^amica gauge-invariante 87 6.1 Introduc~ao . . . 87
6.2 Invariantes de gauge revisitados . . . 88
6.3 N~ao-linearidadevia Navier-Stokes . . . 93
6.3.1 Dissipac~aode energia no uido incompressvel . . . 96
6.4 Observac~oes . . . 96
7 Conclus~oes e comentarios 98
A
2.1 Aparatoexperimental,construidonoInstitutoLaue-Langevin,
utilizadoparainvestigarpossveisefeitosdetermosn~ao-lineares
na equac~ao de Schrodinger [63]. O mesmo aparato pode ser
visto naRef.[21]. . . 9
2.2 Comparac~aoentre o padr~aode difrac~aode neutrons medido e
calculado via equac~ao de Schrodingerusual (linha solida) [21]. 10
2.3 Nveis de energia hiper nos do 9 Be + 2s 2 S 1=2 (estado
funda-mental)emfunc~aodocampomagnetico. Comocampomagnetico
B = 0:8194 T a frequ^encia de transic~ao de 303 Mhz e
Antes de mais nada, gostaria de agradecer ao meu orientador Prof. Dr. G.
G. Cabrera por ter me proporcionado um tema geral e interessante para o
doutoramento. Este trabalho teve grandes ganhos devido ao seu contnuo
interesseno progresso das minhas pesquisas.
Agradeco aos Professores G. A. Goldin (\Rutgers University") e H.-D.
Doebner(\ArnoldSommerfeldInstitutfurMatematische Physik"),meu
ori-entador e co-orientador estrangeiros, respectivamente, durante o perodo de
doutorado sanduche no\Arnold SommerfeldInstitut". Agradeco aCapese
a CPG/IFGW pelaconcess~ao dabolsasanduche e aoCNPqpelaconcess~ao
da bolsade doutoramento.
Umagradecimento especial aos colegas do grupo doProf. Cabrera pelas
sugest~oes, ao Prof. Lagos pelas sugest~oes durante seminarios. Gostaria de
agradecer,ainda,aosmembrosdasecretaria(CPG),portodooapoiodurante
esses anos, ao Prof. BellandieProfa. Aurea pelas sugest~oes.
Finalmente, gostaria de agradecer a minha esposa Themis C. B. Lima
Perez e aos meus familiarespelocontnuoapoio.
No captulo 1 faremos uma breve revis~ao dos testes experimentaisde certas
propostasdeextens~aon~ao-lineardaequac~aodeSchrodinger. Ser~aodiscutidos
osatuaislimitessuperioresparaeventuaisdesviosdelinearidadeemmec^anica
qu^antica.
Nocaptulodois tratamosda formulac~aode equivalentes hidrodin^amicos
daequac~aodeSchrodingere,introduzindoapossibilidadededifus~aoda
den-sidade de probabilidades, derivamos a equac~ao de Doebner-Goldin a partir
daequac~aodeFokker-Planck. S~aodiscutidosostiposden~ao-linearidades
en-volvidas, exemplos de soluc~ao via transformac~oes n~ao-lineares e intersecc~oes
entreaequac~aodeDoebner-Goldineoutrastentativasdeextens~aon~ao-linear
da equac~ao de Schrodinger.
No captulo tr^es reobtivemos aschamadastransformac~oes de gauge n~
ao-lineares, partindodas transformac~oes introduzidas anteriormente.
Rescreve-mosaequac~aodeDoebner-Goldinemtermosdessastransformac~oesdegauge
e interpretamos seu signi cado.
No captulo quatro formulamos a vers~ao gauge-invariante de uma certa
subfamlia dissipativa da equac~ao de Doebner-Goldin. S~ao enfatizados os
problemas de interpretac~ao danatureza dissipativa dessa subfamlia
Nocaptulocincodiscutiremosapossibilidadedeconstruirrestric~osfsicas
ao conjunto de par^ametros envolvidos na equac~ao de Doebner-Goldin.
Es-sas tentativasde restric~oes foramobtidas a partir da utilizac~aode variaveis
Inthechapteroneweoutlinetheexperimentaltestsofcertainformer
nonlin-ear extension of the Schrodinger equation. We discuss the present accepted
upper limitsof linearity deviationin quantum mechanics.
The chapter two starts with the hydrodynamics equivalent for the usual
Schrodingerequation. Startingfromthisequivalenceplustheintroductionof
the difusionof probabilities we derivede so-calledDoebner-Goldinequation
fromthe Fokker-Planck equation. Wealsodiscusssomeexamplesofsolution
vianonlineartransformationsaswellastheintersectionswithothernonlinear
extensions of the Schrodingerequation.
Inthe chapterthree thereisadetailedinvestigationofthe so-called
non-linear gauge transformations, starting from the nonlinear transformations
from the chaptertwo. We rewritethe Doebner-Goldinequation considering
the nonlinear gaugetransformations and outline itsmeaning.
The chapterfour wedevelop the gauge-invariantversion of acertain
dis-sipative subfamily of the Doebner-Goldin equation, with emphasis on the
diÆculties concerning the interpretationof this dissipation of energy.
In the chapter ve we discuss the possibility of nd some more strict
physical restriction on the set of parameters of the Doebner-Goldin
equa-tion. Theserestrictiontemptativesare obtainedby theapplicationof
Introduc~ao
Nos proximos captulos trataremos da formulac~ao de uma vers~ao n~ao-linear
extendida da mec^anica qu^antica n~ao-relativstica, baseada na vers~ao n~
ao-linear da equac~ao de Schrodinger usual conhecida como equac~ao de
Doeb-ner e Goldin. A formulac~ao apresentada aqui tem como base a analogia
hidrodin^amica, iniciadapor Madelungem1926, generalizada neste trabalho
a m de acomodar a vers~aon~ao-linearda equac~ao de Schrodinger.
No captulo um s~ao apresentados e revisados certos experimentos
rela-cionados aos testes de linearidade da mec^anica qu^antica usual. S~ao
discuti-dos os atuais limites superiores para eventuais desvios de linearidade.
En-fatizamos que alinearidade subjacente ao formalismodamec^anica qu^antica
decorre de certos princpios fundamentaisadotados naconstruc~ao dateoria,
porexemplo, oprincpiode superposic~ao,que levaa linearidade naequac~ao
de evoluc~ao. Nesse sentido, a linearidade por ser considerada como uma
possvel quest~ao de \sem^antica", consequ^encia da \linguagem" empregada
na construc~ao da teoria. Uma das motivac~oes basicas para reformulac~oes
n~ao-lineares da mec^anica qu^antica e a obtenc~ao de uma teoria mais geral,
com resultadosproximos dosobtidos pelamec^anicaqu^antica usual, masque
permitaveri carexperimentalmentesealinearidade,nessateoria,eumfato
da natureza.
Embora a primeira rodada de experimentos n~ao tenha apontado a
ex-ist^enciainequvocaden~ao-linearidadesrelacionadasaequac~aodeSchrodinger,
t~aopoucoeliminouapossibilidadededetecc~aofutura deefeitosn~ao-lineares,
ainda que pequenos, na mec^anica qu^antica. Essa possibilidade,porsi, serve
demotivac~aoparaacontinuac~aodabuscaporeventuaisvers~oesn~ao-lineares,
queasvers~oes n~ao-linearesencontradasnaliteratura,assimcomoaproposta
tratada neste trabalho, t^em carater de extens~ao da equac~ao de Schrodinger
usual;eest~aolongedeserumapropostadesubstituic~aoradicaldessaequac~ao
de evoluc~ao, cujavalidade esta baseada emseu fenomenalsucesso preditivo.
Contudo, desde o advento damec^anica qu^antica, a eventual necessidade
de explicar certas propriedades unicas, e exclusivas,dos sistemas qu^anticos,
t^em levado a variadas tentativas de modi car essa teoria. A linearidade,
um dos principais atributos da mec^anica qu^antica, tem sido alvo frequente
de muitas das propostas de modi cac~ao. A introduc~ao de n~ao-linearidades
tem sidoconsideradacomomeiode soluc~aopara asdi culdadesrelacionadas
a mec^anica qu^antica de objetos macroscopicos. Alguns autores t^em sido
motivados pelofato de que muitas teorias linearess~ao aproximac~oes de
teo-rias n~ao-lineares mais fundamentais, outros s~ao motivados pela intenc~ao de
testar a propria mec^anica qu^antica, com a maxima precis~ao possibilitada
pelos avancos tecnologicos, ouapenas exploraras implicac~oes de uma outra
escolha de primeiros princpios, considerando de partida a possibilidade de
n~ao-linearidades.
Deve-se, ainda,considerar oaspectopraticodatratabilidadematematica
de umaeventualextens~aon~ao-lineardaequac~aodeSchrodinger. Seriapouco
pratico formular uma vers~ao dessa equac~ao intratavel do ponto de vista
matematico. S~ao bem conhecidas as di culdades de se encontrar soluc~oes
para equac~oes diferenciais parciais n~ao-lineares. Neste aspecto em
particu-lar,aequac~aodeDoebnereGoldinmerecedestaque. Comoseramostradono
captulotr^es, epossvelencontrar certastransformac~oesalgebricasque
linea-rizamessaequac~ao,permitindoobtersoluc~oesimediatamentecomparaveisas
soluc~oes equivalentes daequac~aodeSchrodingerusual. Essastransformac~oes
s~ao conhecidas como \transformac~oes de gauge n~ao-lineares", uma vez que
envolvem a func~ao de onda usual (x;t), e mantem o conteudo fsico
inal-terado em relac~aoao caso linear usual. No captulo tr^es s~aotratados certos
exemplos de soluc~ao da equac~ao de Doebner e Goldin, comparados ao caso
usual.
A equac~ao de Doebner e Goldin, originalmente obtida em um contexto
abstrato como representac~ao de certas algebrasde corrente, ederivada aqui
a partir da analogiahidrodin^amica,introduzindo a possibilidade de difus~ao
da densidade de probabilidadecom a consequente generalizac~aoda equac~ao
de continuidade em termos de uma equac~ao de Fokker-Planck.
as propriedadesdaequac~ao de evoluc~aon~ao-linearcontendo n~ao-linearidade
imaginaria. A parte real, da n~ao-linearidade, e obtida por analogia com a
n~ao-linearidadeimaginaria.
Ser~aotratadasastransformac~oesn~ao-linearesquelinearizamaequac~aode
Schrodingern~ao-linear. A partir dessas transformac~oes, calculamos soluc~oes
estacionarias e n~ao-estacionarias. Por analogia com as transformac~oes de
gaugeusuais,doeletromagnetismos,s~aoconstruidastransformac~oesdegauge
n~ao-lineares que permitem a obtenc~ao de conjuntos de par^ametros gauge
invariantes eque, portanto,podem ser analisados como observaveis.
Investigamos,ainda,apossibilidadedeacoplamentosdaequac~aode
Doeb-ner e Goldin com campos eletromagneticos externos e mostramos que as
equac~oes de Maxwell permanecem como nocaso linear usual. A construc~ao
da vers~ao acoplada e completamente consistente, para qualquer famlia das
equac~oes de Doebner e Goldin.
Emseguidatrataremosdeumasubfamliadissipativacujassoluc~oes
coin-cidem assintoticamentecom as soluc~oes de estado estacionario fundamental
da equac~ao de Schrodinger usual. Finalmente, sera construida uma vers~ao
completamente gauge-invarianteda equac~aode evoluc~ao linear, cujas
Mec^anica qu^antica n~ao-linear
\Ofevengreaterinterestitseemstomeisthequestionofwhether
quantum mechanics is necessarily true. Quantum mechanics has
hadphenomenalsuccessesinexplainingthepropertiesofparticles
and atoms and molecules, so we know that it is a very good
approximation tothe truth. The question then is whether there
issome otherlogicallypossibletheory whosepredictionsarevery
close but not quite the same as those of quantum mechanics."
(Steven Weinberg, [61] p.67)
\Even if there are small nonlinear corrections to quantum
me-chanics, there was no reason to believe that these corrections
should be just large enough to show up in the rst round of
ex-perimentsdesignedtosearchforthem."(Steven Weinberg,[61]p.
69)
2.1 Introduc~ao
Neste captulo iremos fornecer uma vis~ao geral sobre certas tentativas de
extens~oes n~ao-lineares da mec^anica qu^antica, e suas respectivas veri cac~oes
experimentais, com ointuito de preparar ocaminhoouo\contexto", paraa
introduc~ao,nocaptuloseguinte, dafamliadeequac~oes deSchrodingern~
ao-linearesconhecidas comoequac~oes de Doebner-Goldin(Veja,porexemplo,a
Ref.[13]).
Desdeoadventodamec^anicaqu^anticaaeventual necessidadedeexplicar
avarias tentativasde modi caressateoria. Alinearidade,umdos principais
atributosdamec^anicaqu^antica,temsidoalvofrequentedemuitasdas
tenta-tivasde modi cac~ao. A introduc~aoden~ao-linearidadestem sidoconsiderada
como um dos meios de soluc~ao paraas di culdades relacionadasa mec^anica
qu^antica de objetos macroscopicos [1, 10, 47] . Alguns autores t^em sido
motivados pelo fatode que muitas teorias lineares s~aoapenas aproximac~oes
de teorias n~ao-lineares mais fundamentais[4], outros s~aomotivados pela
in-tens~aodetestar apropriamec^anicaqu^anticacomamaximaprecis~aopossvel
[59,60],ouapenasexplorarasimplicac~oesdeumaoutraescolhateorica,
con-siderando a possibilidade de n~ao-linearidade[22, 23, 33, 48, 50, 62].
Entreasvariastentativasdeextens~aon~ao-lineardaequac~aodeSchrodinger
vamos nos ater as que motivaram testes experimentais. Embora existam na
literatura varias propostas de extens~ao n~ao-linear originadas por
argumen-tos loso cos, interpretativos ou simples descontentamento, consideraremos
apenas as extens~oes n~ao-lineares que sofreram eventuais veri cac~oes
experi-mentais.
Enfatizamos, contudo, que um relativo aprofundamento nas extens~oes
n~ao-linearesdaequac~aodeSchrodingerencontradasnaliteratura,sera
desen-volvido,noscaptulossubsequentes, porcomparac~ao(econtraste)coma
pro-posta de Doebner-Goldin[13]. As tecnicalidadesrelacionadas aos testes
ex-perimentais,fogemcompletamenteaoescopodestatese. Assim,estecaptulo
tem o objetivo restrito de ilustrar, em linhas gerais, o status atual da n~
ao-linearidadenamec^anicaqu^antica,doponto-de-vistaexperimental,relatando
resultadosobtidospordiferentes autores. Umestudodetalhado,dastecnicas
experimentaisenvolvidas nas veri cac~oes diretas dalinearidadenamec^anica
qu^antica demandaria, sem duvida, uma outra tese.
2.2 Testes experimentais
Nesta sec~aotrataremos brevemente de duas classesde experimentos
realiza-dos com ns de teste do carater linear da mec^anica qu^antica. Essas duas
classes se dividem, entre os experimentos motivados pela proposta de
ex-tens~ao n~ao-linear devida a Bialynicki-Birula e Micyelski [4] e a classe de
experimentos motivados pela proposta de Weinberg [59, 60]. Ser~ao
discuti-das apenas aquelascaractersticas,de ambas aspropostas,mais diretamente
imentos [21, 51, 52] e [5, 6, 7, 41], respectivamente. Uma excelente revis~ao
dos mais variadostestes experimentaisda mec^anicaqu^antica encontra-se na
Ref.[37]
2.2.1 Limites experimentais da n~ao-linearidade
logartmica
A famlia de equac~oes de Schrodinger n~ao-lineares propostas e investigadas
porBialynicki-Birula eMycielski (BBM)tem a formageral [4]:
i~@ = ~ 2 2m r 2 +U(x;t) +F j j 2 ; (2.1) onde F [j j 2
] tem valores reais. Soluc~oes da Eq.(2.1) t^em propriedades
co-muns assoluc~oes daequac~ao de Schrodingerusual, por exemplo [4,51]:
Anorma,(h j i) 1=2
,de nidadamaneirausual,epreservadanotempo;
Na aus^enciade potenciaisexternos,continuavalendoainvari^ancia sob
transformac~ao de Galileu (ou grupo de Galileu), com (x;t) sendo
transformada como nocaso linear usual;
Continuavalendoaequac~aode continuidadeusual@
t
= rj,coma
densidade (x;t) e a densidade de corrente j(x;t), de nidas como no
caso usual.
Contudo equac~oes n~ao-lineares, como a Eq.(2.1), t^em a indesejavel
carac-terstica de gerar correlac~oes, entre duas partculas, mesmo na aus^encia de
potenciaisde interac~ao entre elas [4, 51]. 1
A mde eliminaressa caracterstica indesejavel,Bialynicki-Birula e
My-cielskipostularam queseumsistemaeformadoporsubsistemasn~ao-interagentes,
ent~aoasoluc~aodeuma eventual equac~aode evoluc~aon~ao-linear,associadaa
esse sistema, pode ser construidatomando o produto de soluc~oes arbitrarias
dessa equac~aopara os subsistemas separados [4].
1
Eperfeitamentepossvelpostularumaequac~aonaformadaEq.(2.1)parasistemasde
uma partcula, edeixarabertaaquest~ao sobre aformada equac~ao deSchrodinger n~
ao-linearparasistemasmaiscomplexos. Nessecaso,oproblemadaseparabilidaden~aose
ap-resenta. Alemdisso,ostestesexperimentaispodemseraplicadosaocasodaEq.(2.1)para
Utilizando essa \condic~ao de separabilidade", junto com a propriedade
elementardologartmo de um produto, Bialynicki-Birulae Mycielski [4]
re-stringiramo funcional,na Eq.(2.1), aforma
F j (x;t)j 2 = blnj (x;t)j 2 ; (2.2)
ondeaconstanteb, comunidadesdeenergia,deveserreal,a mdepreservar
anormadas soluc~oes,epositiva,noscasos sicamenteinteressantes, umavez
queapenas osvalorespositivospossibilitamaconstruc~aodepacotesde onda
da partcula livre, que n~ao apresentam dispers~ao [4, 51]. Considerando o
enorme sucesso da mec^anica qu^antica linear usual, o valor de b deve ser
relativamente pequeno e Bialynicki-Birula e Mycielski estimaram o limite
superior parab, comparandoodesvio de Lamb observado nohidrog^enio com
valorcalculado via Eq.(2.1) [4]: 2
b <410 10
eV :
Shimony prop^os o teste experimental da Eq.(2.1), com a n~ao-linearidade
logartmica representada na Eq.(2.2), utilizando um interfer^ometro de
neu-trons [51]. 3
Emlinhasgerais,o experimentopropostoconsistiaemsepararo
pacote de ondas de um unico neutron em dois feixes coerentes I e II, que se
propagam varios centmetros antes de se recombinarem. Essencialmente, o
experimentoimplica em observar a modi cac~aonafase, , devido ao
movi-mentode um absorvedor parcial,colocado nocaminhodofeixe I, desdeuma
certa posic~ao P para uma certa posic~ao P 0
. 4
Como os feixes I e II s~ao
bemcolimadose,praticamente,monocromaticos,amec^anicaqu^antica usual
prev^e que e desprezvel. Por outro lado as teorias n~ao-lineares, como a
representada na Eq.(2.1), prev^eem valoresde n~ao-desprezveis [51].
Utilizandoaaproximac~aoWKB,Shimonydeterminouamudancadefase
paraacon gurac~aodapropostadeexperimentoacimae,aplicandoas
especi- cac~oes do interfer^ometro de dois cristais do MIT e resultados da Ref.[64]
2
Bialynicki-Birula e Mycielski obtiveram, ainda, uma outra estimativa para b,
rela-cionada ao limite do raio de dispers~ao (do pacote de onda) do eletron no vacuo. Esses
pacotesforamchamados\Gaussons",naRef.[4]ecujoraioede nidoporl=~=(2mb) 1=2
.
Nesse caso,olimiteinferiorparabeb>2:510 12
eV[4].
3
Shimonyn~aorealizouoexperimento,masobteveestimativassobrebutilizando
resul-tadosconhecidosdaespectroscopiadeneutrons.
4
Shimony obteve o valor de b para que fosse nulo dentro dos limites da
precis~ao experimental [51]:
b<1:510 12
eV ;
queeduasordens degrandezamenorqueonumeroestimadopor
Bialynicki-Birula eMycielski [4].
C.G.Shulletal. [52]realizaramoexperimentosugeridoporShimony[51],
utilizando um interfer^ometro de neutrons com duas vers~oes de atenuadores
emumdosbracos. Aprimeiravers~aodoaparatoexperimentalempregavaum
atenuador de Fluoreto de Ltio(LiF) e a segunda utilizou um atenuador de
Cadmio(Cd). Para ocasogeral,comotermon~ao-linearF (j j 2 ),amudanca de fase esperadae[51,52]: = d ~ r m 2E F j j 2 F 2 j j 2 ;
onde deadist^anciapercorrida peloatenuador (deintensidadede atenuac~ao
2
)em eE s~aoamassae aenergiacineticadapartcula nofeixe[52]. Para
a n~ao-linearidade logartmica representada na Eq.(2.2), a mudanca de fase
assume a formasimpli cada[52]:
= b ~ lnj 2 j;
onde eo tempode tr^ansito dapartcula nadist^ancia d.
Shull et al. [52] procuraram pela mudanca de fase acima, mas o efeito
n~ao apareceu nos experimentos. Assim, combinando os resultados para o
atenuador de LiF e Ca, foi determinado o valor superior de b dentro da
incerteza experimental[52]:
b=(1:12:3)10 13
eV :
Esse valorestabeleceria,ent~ao,olimitesuperiorsobreamagnitudedotermo
n~ao-linear na Eq.(2.1), considerando a Eq.(2.2). Note que o valor da
con-stanteb,obtidonaRef.[52]etr^es ordens de grandezamenorqueovalor
esti-madonaRef.[4],viaexperimentosenvolvendoodesviodeLambnohidrog^enio.
Figura 2.1: Aparato experimental, construido no Instituto Laue-Langevin,
utilizado para investigar possveis efeitos de termos n~ao-lineares na equac~ao
de Schrodinger [63]. Omesmo aparatopode ser vistona Ref.[21].
ainda menores para b. Nesse experimento foraminvestigadas dispers~oes
lat-erais 5
dopacotede ondas {mudancas nas componentes laterais dovetor de
onda,causadaspelotermon~ao-linear,podemoriginarde ex~oes laterais
men-suraveis na frente de onda [21]. A de ex~ao Y, causada por uma \pequena"
n~ao-linearidade,foi determinadana Ref.[21]: 6 Y = b E Z Z 0 1 j 0 j dj 0 j dy (Z z)dz; (2.3)
ondeEeaenergiacineticadapartculanofeixe,
0
eafunc~aodeonda\n~
ao-perturbada" (pela n~ao-linearidade) 7
Z representa a dist^ancia percorrida na
direc~ao z entre a parede difratora, S
5
na Fig.2.1, e o ponto de observac~ao,
contador na Fig.2.1, y e a direc~ao normal a propagac~ao do feixe (em z).
Quanto maior o \gradiente" dj
0
j=dy utilizado,mais sensvel sera o
experi-mento [21]. A comparac~ao entre o padr~ao de difrac~ao do feixe de neutrons,
medido com o aparato da Fig.2.1 e o mesmo padr~ao obtido via soluc~oes
(numericas) 8
da equac~ao de Shrodinger linear usual e mostrado na Fig.2.2
[21]. Olimite superior parab, considerandoacomparac~aocomaequac~ao de
5
NosexperimentosdotipopropostoporShimony,s~aoanalisadasascomponentes
lon-gitudinais dovetordeonda.
6
Osdetalhes sobreas modi cac~oesnapropagac~aodeondapodem serencontradosna
Ref.[21].
7
NaRef.[21]foi utilizadoo\ansatz" (r)=
0
(r)exp[iS(r)=~].
8
Figura 2.2: Comparac~ao entre o padr~ao de difrac~ao de neutrons medido e
calculado via equac~ao de Schrodingerusual (linha solida) [21].
Shrodingerusual, foi xado em[21]:
b<3:310 15
eV ;
que e um valor consideravelmente menor do que o estimado originalmente
por Bialynicky-Birula e Micyelski [4]. A estimativa do limite inferior b >
2:510 12
eV , obtida por Bialynicki-Birula e Micyelski [4] estava baseada
na hipotese da exist^encia de uma \regi~ao intermediaria", entre a f
isica das
partculas elementares, governada pela mec^anica qu^antica, e a mec^anica
classica [4]. Nessa regi~aoos termos n~ao-lineares seriam, eventualmente,
sig-ni cantes na descric~ao de \meso-objetos" (Gaussons) de nidos na Ref.[4] a
m de estabelecer a regi~aointermediariaentre micro (puramentequ^anticos)
e macro-objetos (puramente classicos).
A m de testar a hipotese da \regi~ao intermediaria", Gahler et al. [21]
aplicaram os resultados obtidos no experimento e obtiveram um valor da
ordem de
l= ~
1=2
para o raio do gausson do eletron. Esse numero representa, claramente,
uma dist^ancia macroscopica, restringindo a possibilidade da exist^encia de
um eventual comportamentodo eletron entre macro e microfsica [21]. 9
2.2.2 N~ao-linearidade de Weinberg
A proxima\gerac~ao" de testes experimentais da linearidade da equac~ao de
Schrodinger ou, em termos mais gerais, da mec^anica qu^antica, ocorreram
quase uma decada depois dos experimentos relacionados a n~ao-linearidade
logartmica[21, 51,52], proposta porBialynicki-Birula eMicyelski[4].
Esses novos testes envolvendo a linearidade (ou o limite experimental
do carater linear) da mec^anica qu^antica foraminteiramentemotivados pela
proposta de extens~ao n~ao-linear devida a S. Weinberg [59, 60]. Em linhas
gerais, a motivac~ao de Weinberg era encontrar uma vers~ao mais geral da
mec^anicaqu^anticausual,naqualalinearidade 10
fossedeterminadaporalgum
tipo de par^ametrocuja magnitude pudesse ser experimentalmente veri cada
[59, 60]. A seguir, trataremos apenas dos pontos da proposta de Weinberg
direta e imediatamente relacionados aos testes experimentais propriamente
ditos [5, 6,7, 41].
No formalismo desenvolvido por Weinberg [59, 60] a evoluc~ao temporal
da func~ao de onda (t) e descrita por uma equac~ao n~ao-linear, obtida de
uma Hamiltoniana do tipo h( ;
) 2 R. No caso de um sistema discreto,
teremos [59, 60]: i~ d k dt = @h( ; ) @ k ; (2.4) onde k
representaaamplitudedoestadok. AHamiltonianah( ;
)
satis-faz a condic~aode homegeneidade de modo que,para qualquer numero
com-plexo , [59, 60] h( ; )=h( ; )=h( ; ):
A homogeneidade garante que se
k
(t) e soluc~ao da Eq.(2.4), ent~ao
k (t)
9
Gostaramosde enfatizar, contudo, que essa \exclus~ao"da regi~ao intermediaria era
esperada,umavezqueosvaloresparab naRef.[21]foramobtidosporcomparac~aodireta
com a equac~ao de Schrodinger linearusual. Assim, a exist^encia de \meso-objetos" n~ao
podeserde nitivamente excluidapelosargumentosem [21].
10
tambemeumasoluc~aorepresentandoomesmoestado. 11
Termosn~ao-bilineares 12
pequenosem h produzempequenas n~ao-linearidadesnaEq.(2.4) [59, 60].
Weinberg [59, 60] considerou um sistema como o formado peloon 9
Be +
restringindo-se, tambem, asistemasde duascomponentes, comk =1;2. 13
A
parte n~ao-linear(nl) da Hamiltoniana,ent~ao,tem aforma[59, 60]:
h nl =n h(a); (2.5) onde n e a norma n = j 1 j 2 +j 2 j 2 e
h e uma func~ao real arbitraria da
variavel de ac~ao conveniente a = j
2 j
2
=n. A \Hamiltoniana completa"
se-ria, ent~ao, o termo bilinear da mec^anica qu^antica linear usual, h
0 ( ; )= P k=1;2 E k k k
mais a correc~ao n~ao-linear h
nl
naEq.(2.5).
Ent~ao,como pode ser visto naRef.[5], a equac~ao de Schrodinger (parao
sistema de duas componentes) tem a forma
i~ d 1 dt = E 1 + h a d h da 1 ~! 1 (a) 1 ; i~ d 2 dt = E 2 + h+(1 a) d h da 2 ~! 2 (a) 2 ;
com soluc~oes (Ref.[5]):
k (t)=c k exp[ i! k (a)t]; k =1;2 (2.6) onde a e os c k
podem ser parametrizados por c
1 = sen (=2) e c 2 = a 1=2 =
cos(=2). A fase relativa das duas componentes da func~aode onda evoluem
com a frequ^encia [5]
! p ! 1 (a) ! 2 (a)=! 0 1 ~ d h da ; onde ! 0 =(E 1 E 2
)=~eafrequ^enciade transic~aoat^omica 14
naaus^encia de
n~ao-linearidades[5].
11
A homogeneidade tem papel importante na extens~ao n~ao-linear, incluindo o
trata-mento adequadodesistemasseparados[59,60].
12
AEq.(2.4)ereduzidaaequac~aodeevoluc~aolinearusualsetomarmosh( ;
)como
umafunc~aobilinearh= k H k l l [59,60]. 13
Naaus^enciadecorrec~oesn~ao-lineares,osistemadedoisnveistemautovaloresE
k ;k=
1;2.
14
Figura2.3: Nveisdeenergiahiper nosdo 9 Be + 2s 2 S 1=2 (estadofundamental)
em func~ao do campo magnetico. Com o campo magnetico B = 0:8194 T a
frequ^encia de transic~aode 303 Mhz eindependentedocampomagnetico em
primeira ordem,Ref.[5].
Bollinger et al. [5] utilizaramo fato de que um sistema de dois nveis e
matematicamente equivalente a um sistema de spin 1/2 na presenca de um
campomagnetico(uniforme)externo,ondeeo^angulodeinclinac~aodospin
em relac~aoaocampo magnetico e!
p
ea frequ^enciade precess~aodo spin em
torno docampomagnetico [5,59,60]. Emtermosdomodelo equivalente, de
spin 1/2, o efeito do termo n~ao-linear d
h =da e introduzir uma depend^encia
entre a frequ^encia de precess~ao !
p
eo ^angulo de inclinac~ao, entre o spin e
o campo mangetico [5].
Bollingeretal. [5]procuraramporessadepend^enciade emrelac~aoa!
p ,
utilizando a frequ^encia de precess~ao (!
p ) da transic~ao hiper na (m I ;m J )=
( 1=2;+1=2)!( 3=2;+1=2),aaproximadamente303MHz,noestado
fun-damentaldo 9 Be + (Fig.2.3). Com 1 ( 3=2;+1=2)e 2 ( 1=2;+1=2)
aadic~aon~ao-bilinearaHamiltonianadonucleolivre 9
Be +
,paraosdoisnveis
e [59, 60] h(a)=2a 2 ; (2.7)
onde mede a intensidade da correc~ao n~ao-linear. A Eq.(2.7) da origem a
seguintedepend^encia entre !
p e [5]: ! p =! 0 4 ~ cos 2 2 : (2.8)
A m de testar a intensidade da correc~ao n~ao-linear, Bollinger et al.
uti-lizaram o metodo de Ramsey de campos oscilatorios separados com pulsos
de rf com durac~ao aproximada de 1 s e um tempo de precess~ao livre da
or-dem de 100 s. O efeitodaaplicac~aodo metodode Ramseyea transfer^encia
de alguns dosons 9
Be +
doestado (-1/2,1/2) para o estado (-3/2,1/2) [5]. 15
O numero de ons que permanecem no estado (-1/2,1/2), como func~ao da
frequ^encia de rf !, naexcitac~aode Ramsey eproporcionala [5]
1 sencosf[! !
p
()]Tg;
com !
p
dado pela Eq.(2.8) e T e o tempo de precess~ao livre. Variando ,
Bollinger et al. [5]estabeleceram o limite
jj<2:410 20
eV;
paraacontribuic~aon~ao-linearaHamiltoniananucleardo 9
Be +
. Issosigni ca
menos do que quatro partes em10 27
da energia de ligac~ao, por nucleon, do
nucleo do 9
Be +
[5]. Assim, o limite sobre jj e 5 ordens de grandeza menor
do que a estimativa inicial de Weinberg [59, 60] e do que os valores obtidos
nos experimentos envolvendo interferometria de neutrons [21, 52].
Seguindo a mesma \ loso a" de testes de n~ao-linearidade, proposta por
Weinberg [59, 60], foramrealizados mais dois experimentos, semelhantes ao
de Bollingeretal. [5],utilizandomedidasdafrequ^enciade precess~aono 21
Ne
[6, 7], xando jj<1:610 26
da energiade ligac~ao;e no 201
Hg [41],
resul-tando em umacontribuic~aon~ao-linear,aHamiltonianado 201
Hg , menorque
2:010 27
da energia de ligac~ao por nucleon. Esses s~ao os limites
experi-mentaisatuais para a \correc~ao n~ao-linear"na mec^anica qu^antica, uma vez
que n~aotemos conhecimentode novos experimentos envolvendo diretamente
ostestesde linearidadedaequac~aode Schrodingerou,emlinhasmaisgerais,
da mec^anica qu^antica.
15
Apopulac~aorelativadosonsnoestado(-3/2,1/2)foimedidapormeiodadiminuic~ao
na uoresc^enciado 9
Be +
2.3 Motivac~oes e argumentos preliminares
Emboraaprimeirarodadade experimentosn~aotenhaapontadoaexist^encia
inequvoca de n~ao-linearidades relacionadas a equac~ao de Schrodinger, t~ao
pouco eliminou a possibilidade futura de detecc~ao de efeitos n~ao-lineares,
ainda que \pequenos", na mec^anica qu^antica. Enfatizamos que tanto a
modi cac~ao anterior proposta por Bialynicki-Birula e Mycielski [4], quanto
a proposta por Weinberg [59, 60] t^em carater de extens~ao da equac~ao de
Schrodingerusual, estandoambas, longede proporuma substituic~aoradical
daequac~aodeevoluc~ao. Amotivac~aoparaconservarmostantaspropriedades,
da equac~ao de Schrodinger usual, quanto possvel no contexto da extens~ao
e bastante clara { o sucesso preditivo dessa equac~ao e, evidentemente, a
possibilidade de encontrarmos soluc~oes matematicas gerais que contenham
interessefsico.
No caso dos experimentos realizados a m de testar essas propostas [21,
51, 52] e [5, 6, 7, 41], respectivamente, o carater de \pequena" extens~ao
da equac~aode Schrodinger usual, contido nessas propostas, tem implicac~oes
ainda mais restritivas. Em todos os experimentos citados acima, testa-se a
eventual presenca de n~ao-linearidadeemaparatosexperimentaisdesenhados
para trabalharemum regimeonde amec^anica qu^anticausual, sabidamente,
funciona (ou se aplica) sem restric~oes. Emoutras palavras,os experimentos
foram desenhados tendo a mec^anica qu^antica linear usual como refer^encia;
portantoede seesperar que esses mesmos experimentos con rmema teoria
utilizadaem sua construc~ao. Um exemplodo tipode restric~oes relacionadas
aos experimentos atuais para teste de linearidade e a exclus~ao de objetos
\mesoscopicos",de nidos naRef.[4], discutida na subsec~ao 2.2.1.
Osresultadosobtidosemtodososexperimentosdiscutidosnas sec~oes
an-teriores s~ao dados em termos do que se espera obter utilizandoa mec^anica
qu^antica usual, ou sob condic~oes tais que efeitos n~ao-lineares sejam
de-sprezveis dentrodolimite daprecis~aodoaparato experimentalemquest~ao.
Gostaramos de enfatizar, contudo, que em nenhuma das refer^encias acima,
relacionadas comos testes experimentaisdapresencade n~ao-linearidade,foi
explicitamenteeliminadaapossibilidadede exist^enciade termosextras,n~
ao-lineares naequac~ao de Schrodingerusual.
No captulo 2 trataremos da formulac~ao hidrodin^amica da proposta de
extens~ao n~ao-linear da equac~ao de Schrodinger formulado por H.-D.
origem natentativa de encontrar uma representac~aopara uma certa algebra
cinematica. Emoutraspalavras,aequac~aodeDoebner-Goldinpodeservista
comoarepresentac~aonaturaldasconhecidasalgebrasdecorrente [13](Vejao
Ap^endiceA)oudaalgebracinematicanocontextodaquantizac~aogeometrica
[43]. Assim, os termos extras n~ao-lineares naequac~ao de evoluc~aotemporal
aparecem naturalmente, sem qualquer carater ad hoc comum nas tentativas
de extens~ao n~ao-lineares da equac~ao de Schrodinger. No captulo 2
intro-duzimos a equac~ao de Doebner-Goldin como tendo origem na modi cac~ao
da equac~ao de continuidade usual, incluindo a possibilidade da difus~ao da
densidade de probabilidades(x;t). Ainda no captulo 2 s~ao determinadas
certas propriedades da equac~ao de Doebner-Goldin, por comparac~ao com
a formulac~ao hidrodin^amica equivalente a equac~ao de Schrodinger usual,
assim como soluc~oes especiais da equac~ao de Doebner-Goldin linearizavel
via transformac~oes n~ao-lineares. As transformac~oes n~ao-linearesintroduzem
modi cac~oes, na equac~ao linearizada, que podem, eventualmente, ser
inter-pretadas comodeformac~oes naconstantede Planck 16
oualterac~oes namassa
dapartculaenvolvida. Nocaptulo2estabelecemosasrelac~oeseintersecc~oes
entre aequac~aode Doebner-Goldinevariasoutras tentativasde extens~aoda
equac~aode Schrodinger encontradas naliteratura.
No captulo 3 as transformac~oes n~ao-lineares, desenvolvidas no captulo
2, s~ao tratadas como transformac~oes de gauge n~ao-lineares [14], por
analo-gia com as transformac~oes de gauge usuais da mec^anica qu^antica, uma vez
quemant^emadensidadede probabilidades(x;t) def
= (x;t)
(x;t)
invari-antes. Nesse captuloaequac~aodeDoebner-Goldineescritanaforma
gauge-invariante, com par^ametros invariantes sob a aplicac~ao das transformac~oes
n~ao-lineares investigadas no captulo 2. Ainda no captulo 3 investigamos
as propriedadesdos par^ametrosnaequac~ao de Doebner-Goldin,nocontexto
gauge-invariante. S~ao investigadas propriedadescomo invari^ancia galileana,
relac~oesdeEhrenfesteeventuaisviolac~oesdasimetriaporinvers~aotemporal.
No captulo 4 investigamos uma certa subfamlia dissipativa, reescrita
no contexto gauge-invariante (sob as transformac~oes de gauge n~ao-lineares)
e tratamos soluc~oes do tipo gaussiana para o oscilador harm^onico. Essas
soluc~oes apresentam estados estacionarios que dissipam para soluc~oes de
es-tadoestacionario(fundamental)daequac~aode Schrodingerlinearusual. S~ao
discutidas, ainda,asdi culdades deinterpretac~aodessesefeitos dissipativos.
O comportamento dissipativo dessas soluc~oes podem, eventualmente,
cionar efeitos n~ao-lineares com oprocesso de deco^erenciaassociadoa func~ao
de onda en~aoprevisto pelaequac~ao de evoluc~aolinear usual.
Nocaptulo5apresentamosaformulac~aohidrodin^amicagauge-invariante
daequac~aode Doebner-Goldin. Nesse captulopropomos ainterpretac~ao de
um dos par^ametros gauge-invariantes como coe ciente de fricc~ao e eventual
fontede efeitos dissipativos. A raz~aopara aprocura de formas equivalentes,
em diferentes contextos, para a equac~ao de Doebner-Goldin, esta vinculada
a necessidade de interpretac~ao dos termos extras, dissipativos, e dos
coe -cientesqueosacompanham. Nestecaptulodesenvolvemosumaaproximac~ao
de uido incompressvel para a densidade de probabilidades, permitindo a
identi cac~ao de um dos coe cientes da equac~ao de Doebner-Goldin como
Equac~oes de Doebner-Goldin
\Finally, we make some remarks on why linear systems are so
important. The answer is simple: because we can solve them!
So most of the time we solve linearproblems. Second (and most
important),itturns outthat thefundamental laws of physics are
often linear. TheMaxwellequationsforthelawsofelectricityare
linear, for example. The great laws of quantum mechanics turn
out, so far as we know, to be linear equations. That is why we
spendsomuchtimeonlinearequations: becauseifweunderstand
linear equations, we are ready, in principle, to understand a lot
of things". (R.P.Feynman, Lectures onPhysics Vol. I,p. 25-5.)
\A physical understanding is a completelyunmathematical,
im-precise, and inexact thing, but absolutely necessary for a
physi-cist." (R. P. Feynman,Lectures onPhysicsVol. II, p. 2-1.)
3.1 Introduc~ao
Nesta sec~ao mostraremos como aequac~aode Schrodinger n~ao-linear,obtida
inicialmenteporH.-D.DoebnereG.A.Goldinem1992[13]podeserderivada
em termos de variaveis hidrodin^amicas. Para isso vamos utilizar a
analo-gia entre a equac~ao de Schrodinger e equac~oes hidrodin^amicas e,
posteri-ormente, generalizar o comportamento do \ uido"para obter uma equac~ao
de Schrodinger n~ao-linear. Essa generalizac~ao foi sugerida, mas n~ao
desen-volvida, por Doebner e Goldin [13]. A vers~ao hidrodin^amica completa, da
original para a introduc~ao das equac~oes de Doebner-Goldin teve origem na
representac~ao de certas algebras de correntes e grupos de difeomor smos,
Ref.[13](veja oAp^endiceA).Neste captulo interepretamosessa \motivac~ao
algebrica"em termosdas variaveishidrodin^amicas.
A nossa opc~ao pelas variaveis hidrodin^amicase a reobtens~ao daequac~ao
de Doebner-Goldin em um contexto hidrodin^amico tem alguns motivos de
caraterpratico. Aformulac~aohidrodin^amicaforneceummetodoefetivopara
o calculo de propriedades fsicas e matematicasrelacionadas aessa equac~ao,
por analogia com a formulac~ao hidrodin^amica da equac~ao de Schrodinger
linear usual. A analogia e contraste entre quantidades qu^anticas e classicas
permite-nos inferir restric~oes e soluc~oes para a equac~ao de Doebner-Goldin.
Finalmente, e n~ao menos importante, a formulac~ao em termos de variaveis
hidrodin^amicaevidenciapropriedadesn~ao-locais,relacionadasa\quantizac~ao",
tanto para ocaso linear quanto para on~ao-linear.
Considerandooexcelenteacordoentre asprevis~oes damec^anicaqu^antica
usual(linear)eosresultadosexperimentaiseconvenienteque,naobtenc~aode
qualquer vers~aon~ao-lineardaequac~aode Schrodinger,osdesvios emrelac~ao
a teoriausual sejamasmenores possveis 1
. A ideiacentralaquieestender a
teoriausuale,namedidadopossvel,conservarpropriedadesconvenientes da
\mec^anica ondulatoria" usual. Assim, a menos que explicitamente
mencio-nando,estaremos assumindo asinterpretac~oes usuaisdas quantidades fsicas
vinculadas aequac~ao de Schrodinger original.
Inicialmente trataremos as extens~oes da equac~ao de Schrodinger, para
uma unica partcula de massa m na aus^encia de spin, que tenham a forma
geral 2 i~@ t =H +F [ ; ] ; (3.1) ondeF [ ;
]eumfuncionaln~ao-linear,comvaloresreaisdependentes,
nec-essariamente, da func~ao de onda (x;t) e de
(x;t) (complexo conjugado
de ).
Adeterminac~aodeF [ ;
]pode serconvenientementesimpli cada,sem
1
E importante enfatizar que apenas rescentemente ( nal dos anos 1970) amec^anica
qu^antica tem sido alvo de testes experimentais diretos. Usualmente considera-seque a
validac~ao experimental de teorias baseadas na mec^anica qu^antica, e.g. eletrodin^amica
qu^antica,con guratambemumtesteexperimentaldamec^anicaqu^antica[59,60].
2
Historicamente,essatemsidoaformageraldaspropostasdeextens~oesn~ao-linearesda
equac~aodeSchrodinger.Nocason~ao-linearmaisgeralF[ ;
]e,teoricamente,um
perdade generalidadeouintroduc~ao(imediata)de hipotesesa priori, se
ree-screvermos a Eq.(3.1) considerando explicitamente a parte puramente
ima-ginariae puramente real dofuncional n~ao-linear:
i~@ t =H +iI[ ; ] +R[ ; ] ; (3.2)
onde H e a Hamiltoniana usual com o potencial V (x) que, na aus^encia de
camposeletromagneticos externos,edada por
H = ~ 2 2m r 2 +V : (3.3)
E facilver queexistem, aprincpio, inumerasformas possveispara I[ ;
]
e R[ ;
], ainda que associemos a Eq.(3.2) algumas das propriedades da
mec^anica qu^antica usual. No caso da equac~ao de Schrodinger o princpio
de superposic~ao implica necessariamente que I[ ; ] def = R[ ; ] def = 0. Em
outras palavras, a adoc~ao do princpio de superposic~ao elimina, de partida,
qualquer possibilidade de n~ao-linearidades nas evoluc~oes temporais de
sis-temas qu^anticos, quando descritos pelaequac~aode Schrodinger usual.
Con-sideramosqueseriainteressantetentartransformarapresencadalinearidade
emum fatoexperimentalque,portanto,poderiaaprincpioser veri cado ou
quanti cado pelaexperi^encia. Ou seja,asextens~oes n~ao-lineares,e sua
veri- cac~ao experimental permitiria,eventualmente, determinar se a linearidade
(aparentemente exata!) na mec^anica qu^antica e um fato da natureza em
escala microscopica ou apenas uma quest~ao de sem^antica, consequ^encia da
\linguagem" empregada na descric~ao dos sistemas qu^anticos. Tendo esse
objetivo em mente, e necessario determinarmos explicitamente a forma de
I[ ;
] e R[ ;
].
As motivac~oes para a determinac~ao de I[ ;
] e R[ ;
] s~ao as mais
diversas e podemos classi ca-las, mais ou menos subjetivamente, como
mo-tivac~oes de carater fundamental (veja,porexemplo, asRefs.[4, 59, 60]) e de
carater fenomenologico (veja, por exemplo, as Refs.[36, 4, 35, 31, 53, 57, 2,
49]). Por motivac~oes fundamentais queremos designar aquelas modi cac~oes
(n~ao-lineares) que t^em como ponto de partida a relaxac~ao (t^enue) de um
ou mais dos \primeiros princpios" da mec^anica qu^antica usual, enquanto
as modi cac~oes fenomenologicas tem como origem a tentativa de alterar a
equac~ao de Schrodinger com o objetivo restrito de descrever resultados
ex-perimentais. Evidentemente, uma modi cac~ao de carater fenomenologico
teo-fsico subjacente a eventual equac~ao de evoluc~ao n~ao-linear envolvendo
ini-cialmenteapenas I[ ;
],vamos empregarainterpretac~aoprobabilsticade
(x;t) e sua conex~ao direta (e necessaria) com a equac~ao de continuidade
a m de determinar a forma da parte puramente imaginaria do funcional
n~ao-linear.
Ao interpretarmos (x;t) como uma onda de probabilidade e a
quanti-dade (x;t)
(x;t) def
= (x;t)comoadensidadedaprobabilidadede
encon-trar apartculanopontoxnotempot enatural introduziruma equac~ao de
continuidadea m de estabelecer um analogo entre aconhecida conservac~ao
de massa, para uidos classicos, e a conservac~ao da densidade de
probabili-dade (x;t) para um \ uido (ou campo) de probabilidades":
@ t +rj =0; (3.4) onde j(x;t)= ~ 2mi ( (x;t)r (x;t) (x;t)r (x;t)): (3.5)
Alem da equac~ao de continuidade, Eq.(3.4), ainda e preciso determinar se
existem outras equac~oes tipicamentehidrodin^amicas associadas ao uido de
probabilidadesque,assumiremosinicialmente,tem (x;t) (ouseucomplexo
conjugado) descritos pela equac~ao de Schrodinger usual 3
.
E necessario
de-terminar as velocidades do movimento desse uido, a exist^encia de
even-tuais \forcas internas" ao uido e, mais importante, se essas quantidades e
equac~oespodemserobtidasapartirdaequac~aode Schrodinger. Ao
escrever-mosaEq.(3.4)jafoiintroduzidaaideiade correntedeprobabilidades j(x;t)
cuja interpretac~ao fsica de ne o campo de velocidades v(x;t) do uido de
probabilidades atraves de
j(x;t)=(x;t)v(x;t): (3.6)
3.1.1 Formulac~ao hidrodin^amica
Vamos empregar ummetodoutilizadooriginalmenteporMadelungem1926
para determinar se a velocidade v(x;t), dada pelas Eq.(3.5) e Eq.(3.6), e
descritaporequac~oes hidrodin^amicasesehaequival^encia(no limiteclassico
3
A substituic~ao de ( x;t) por
( x;t) e a de t por t, indica que a equac~ao de
~ ! 0) entre a equac~ao de Schrodinger e as equac~oes hidrodin^amicas [40].
Escrevendo a func~ao de onda (x;t) naforma
(x;t)=R(x;t)exp[iS(x;t)=~]; (3.7)
onde R(x;t) e S(x;t) s~ao reais e substituindo na equac~ao de Schrodinger
usual(Eq.(3.1)comF [ ;
] def
= 0eEq.(3.3)),realizandoasderivadasnecessarias 4
e dividindo porexp[iS(x;t)=~] teremos (veja, por exemplo,[39])
i~@ t R R @ t S = i~ m rRrS ~ 2 2m r 2 R+ 1 2m R(rS) 2 i~ 2m R r 2 S+R V;
que tem a partereal (divididaporR ):
@ t S+ 1 2m (rS) 2 +V = ~ 2 2m r 2 R R : (3.8)
O lado esquerdo da Eq.(3.8) e analogo a equac~ao de Hamilton-Jacobi, o
lado direito (puramente qu^antico), de nido desde que R(x;t) 6= 0,
desa-parece tomando ~ ! 0. Essa e a base do metodo para encontrar soluc~oes
semiclassicas da equac~ao de Schrodinger, tomandoa fase de (x;t) como a
ac~aoclassica S(x;t).
A parteimaginaria(dividida por ~)e:
@ t R+ 1 m rRrS+ 1 2m R r 2 S =0: (3.9)
Multiplicando a express~ao anterior por 2R e observando que
2R rRrS+R 2 r 2 S =r R 2 rS e 2R @ t R=@ t R 2 ;
podemos reescrever aEq.(3.9) na forma
@ t R 2 +r R 2 rS m =0; (3.10) 4 @ t = @ t R+ i ~ R @ t S e iS=~ , r = rR+ i ~ R rS e iS=~ e, tomando odivergente da express~aoanterior,r 2 = 2 i rRrS+r 2 R 1 2 R( rS) 2 + i R r 2 S e iS=~ .
onde R 2 (x;t) =(x;t) (3.11) e, considerandoa Eq.(3.6), v(x;t)= 1 m rS(x;t): (3.12)
A Eq.(3.10)e aequac~aode continuidade,Eq.(3.4), escrita em termos de
R(x;t) eS(x;t), a quantidade v(x;t), dada pelaEq.(3.12),e a velocidade
classicaporunidadedemassado uido. Assim,aEq.(3.10)descreveo
\movi-mento"(ouacimematica)do uido deprobabilidadescomvelocidadev(x;t)
em cada ponto. O aspecto que gostaramos de enfatizare que a equac~ao de
continuidade,Eq.(3.4), pode ser obtidadiretamente daparte imaginaria da
equac~aode Schrodinger,Eq.(3.1) com F [ ;
] def
= 0e Eq.(3.3)e,como
sabi-amos, ao escrevermos aEq.(3.4), n~ao ha qualquer diferenca entre a equac~ao
de continuidade para (x;t) def
= (x;t)
(x;t), obtida atraves da equac~ao
de Schrodinger, ea equac~ao de continuidade para um uido classico usual.
A m de descrevermos a \din^amica"do uido de probabilidades, vamos
tomar o gradienteda Eq.(3.8):
@ t rS+ 1 2m r(rSrS)= rV + ~ 2 2m r r 2 R R ; (3.13)
observando que r(rSrS) = 2[(rSr)rS+rS(rrS)] e que
rrS =0,levando emconta aEq.(3.11) e aEq.(3.12), teremos 5 @ t v+(vr)v =F (x)+ ~ 2 2m 2 r 1=2 r 2 1=2 ; (3.14)
ondeF (x)= rV (x)=meumaforcaexterna atuandosobre cadaunidade
de massa do uido. O ultimo termo na Eq.(3.14) descreve forcas
inter-nas ao uido e,como acontece naEq.(3.8), desaparece rapidamentequando
~ ! 0 e o uido (de probabilidades) se torna um \po n~ao-interagente" [3].
Esse termo tem natureza puramente qu^antica, sem analogo (completo) no
uido classico.
E facil ver que a intensidade das forcas internas depende
diretamente davariac~aoda densidade de probabilidadesno espaco. Quanto
5
Note que @
t
maiores as variac~oes de (x;t), no espaco, maiores ser~ao as forcas
inter-nas. A Eq.(3.14) e similar a equac~ao de Euler para uidos classicos. O
sistemadeequac~oes formadopelaEq.(3.10)eEq.(3.14)descrevemo
compor-tamentocinematicoedin^amico,respectivamente, do uidode probabilidades
com (x;t) def
= (x;t)
(x;t) e a evoluc~ao temporalde (x;t) dada pela
equac~aode Schrodinger usual.
3.1.2 Condic~ao de equival^encia
Note que o estado de uma partcula na formulac~ao hidrodin^amica e
de-scrito, necessariamente, por quatro func~oes reais, (x;t) e a tr^es
compo-nentes de v(x;t), enquanto a func~ao de onda e determinada por apenas
duas func~oes reais, R(x;t) e S(x;t). Como consequ^encia, nem todas as
soluc~oes daEq.(3.10) eEq.(3.14), ser~aosoluc~oes daequac~aode Schrodinger.
A \ampliac~ao"das soluc~oes sedeveaofatode termostomadoogradienteda
Eq.(3.8). Apenas algumas soluc~oes das Eq.(3.8)e Eq.(3.10) ser~ao, tambem,
soluc~oes daequac~ao de Schrodinger.
Observandoque, naderivac~aodasequac~oeshidrodin^amicas\contidas"na
equac~ao de Schrodinger, assumimos que v(x;t) = rS(x;t)=m, logo deve
haveralgumarestric~aoparaocomportamentodev(x;t)naEq.(3.14). Uma
condic~aosu ciente pararecuperarmosaequac~aode Schrodingerapartirdas
Eq.(3.10) e Eq.(3.14) e que a integral de linha da velocidade v(x;t) seja
independente docaminhode integrac~ao,
C def = m I C dlv(x;t) def = 0 (3.15)
onde Crepresentaumcontornofechadoarbitrariocompostopelas partculas
do uido nesse contorno. Aplicando a formula de Stokes 6
junto com a
condic~ao (3.15), que implica a inexist^encia de vortices ( uido irrotacional),
teremos
rv(x;t) def
= 0:
Logo v(x;t) deve ser, necessariamente, um campo potencial, isto e, existe
uma func~ao(ou campo) S(x;t) dada pelaexpress~ao
S(x;t)=m Z x x 0 dlv(x;t); (3.16) 6 H C dlv = H
cujogradienteev(x;t). Essa eacondic~aosu ciente,sobreocampov(x;t),
para a exist^encia da Eq.(3.12)que, junto com aEq.(3.11), possibilitaa
con-struc~ao de func~oes de onda univalorizadas 7
.
Como a func~ao de onda (3.7) envolve o fator de fase e iS=~
, e n~ao a fase
S(x;t)diretamente, acondic~ao(3.15),apesardesu ciente,n~aoenecessaria.
AfaseS(x;t)podesermultivalorizada emrelac~aoaposic~aoxdesde queseus
diferentesvaloressejammultiplos 8
de2~. Naformulac~aohidrodin^amicaisso
signi ca que a integral de linha de rS(x;t) pode depender do caminho de
integrac~ao desde que, no intervalofechado C, tenhamos
C def
= 2n~ def
= nh; n =0;1;2; (3.17)
Apenas os uxos de uido de probabilidades que obedecerem a \condic~ao
de quantizac~ao" (3.17) ser~ao,tambem,soluc~oes daequac~aode Schrodinger 9
.
Em hidrodin^amica a quantidade
C
e chamada circulac~ao e e interpretada
como a intensidade dovorticedentro docontorno C.
Tomando a Eq.(3.17) como condic~ao de quantizac~ao necessaria para
re-obtermos a equac~ao de Schrodinger a partir das Eq.(3.10) e Eq.(3.14), e
natural procurarmos determinar suas caractersticas. Em outras palavras,
vamos calculara evoluc~ao temporal
d
dt I
C
dlv(x;t); (3.18)
utilizando, para isso, a mesma notac~ao e metodo empregados por Landau
e Lifshitz no contexto hidrodin^amico [38]. Escrevemos a derivada total ja
estamosinteressadosnamudancadacirculac~aoemumcontornode uidoem
movimento. Ou seja, o contorno C n~ao esta xono espaco mas acompanha
o movimentodo uido.
A mde evitarproblemasde notac~ao,seguindo LandaueLifshitz, vamos
representar, temporariamente, porÆ aderivadaemrelac~aoa posic~aoe
reser-varosmbolodparaderivadasemrelac~aoaotempo. Umelementodiferencial
de contorno dl pode ser escrito como a diferenca Æx entre os vetores x dos
pontos extremos do elemento. Feita essa observac~ao podemos reescrever a
7
Essa e uma condic~ao desejavel uma vez que associamos a cada (x;t) um estado
localizadodapartcula.
8
BastaobservarqueR e iS=~
=R(cosS=~+isenS=~).
9
lit-circulac~ao como H
C
Æxv. Tendo em mente que tanto a velocidade v(x;t)
quantoaformadoproprio contornoC podem mudarcom otempo,devemos
escrever d dt I C Æxv = I C Æx dv dt + I C v dÆx dt : (3.19)
Como a velocidade v(x;t) e a derivada de xem relac~aoao tempo, teremos
v dÆx dt =vÆ dx dt =vÆv =Æ 1 2 v 2 :
Como a integral de um elemento diferencial total e nula em um contorno
fechado, asegunda integral dolado direito daEq.(3.19) desaparece. Assim
d dt I C Æxv = I C Æx dv dt : (3.20) Lembrandoquedv=dt=@ t
v+(vr)v,substituindoaEq.(3.14)naEq.(3.20)
e aplicando a formulade Stokes, teremos
d dt I C Æxv = I rr 1 m V (x)+ ~ 2 2m 2 1=2 r 2 1=2 =0: (3.21)
Voltandoa notac~aoda Eq.(3.15), podemos escrever ent~ao
m d dt I C dlv(x;t)=0;
ou, nalmente, considerandoa condic~aonaEq.(3.17),
m I C dlv(x;t) def = C def = mnh=constante: (3.22)
Esse resultadoe oequivalente, para o uido de probabilidades, doconhecido
teoremade Kelvin ou lei de conservac~ao da circulac~ao dos uidosclassicos.
AEq.(3.22) implica quebasta aplicarmos acondic~ao(3.17) emum dado
instante inicial para garantirmos a equival^encia, em qualquer instante
pos-terior, entre as equac~oes hidrodin^amicas (3.10) e (3.14) e a equac~ao de
Schrodinger usual. A \quantizac~ao" das Eq.(3.10) e Eq.(3.8), estaria ent~ao,
relacionadaaumacondic~aoinicial. Umadiscuss~aogeralsobreaequival^encia
3.1.3 Recuperando a equac~ao de Schrodinger
Para recuperarmos a equac~ao de Schrodinger usual a partir das Eq.(3.10)
e Eq.(3.14) vimos que e absolutamente necessario assumirmos a
possibili-dade daescolhadocampoS(x;t)de modoque v(x;t)=rS(x;t)=m para
qualquer posic~ao no uido. Como vimos anteriormente, a fase S(x;t) e,
em geral, multivalorizada em relac~ao a posic~ao, de modo que a velocidade
v(x;t)descritapelaEq.(3.14), sem aEq.(3.22),seraapenas localmente um
gradiente. Assumindo a condic~ao (3.17) ou, equivalentemente, a Eq.(3.22)
ca garantido quea velocidadev(x;t)pode ser escritaapartirdogradiente
de um campoS(x;t) globalmente de nido. A formulac~aohidrodin^amica
ev-idenciaaspropriedadesn~ao-locaisdamec^anicaqu^antica associadaaequac~ao
de Schrodinger.
Umavez que a Eq.(3.12), sob a condic~ao expressa naEq.(3.22),e valida
paraqualquercontornoCde uidoemqualquertempo,assumindoaEq.(3.11)
e tomando o gradiente da Eq.(3.14), retornamos a Eq.(3.13). Integrando a
Eq.(3.13),fazendoaconstantedeintegrac~aoigualazerojaqueessaconstante
apenas adicionaraumafase globalafunc~aode onda,teremosaEq.(3.8).
So-mando a Eq.(3.8), multiplicada por R(x;t), a Eq.(3.10), multiplicada por
i~=2R(x;t),teremos i~@ t R R @ t S = i~ m rRrS ~ 2 2m r 2 R+ 1 2m R(rS) 2 i~ 2m R r 2 S+R V;
multiplicandopelofatorde fasee iS=~
,considerandoaEq.(3.7)eidenti cando
convenientemente cada termo com as respectivas derivadas de (x;t)
tere-mos i~@ t (x;t)= ~ 2 2m r 2 (x;t)+V (x;t) (x;t)=H (x;t):
Ou seja, recuperamos a Eq.(3.1), com F [ ;
] def
= 0, que e exatamente a
equac~ao de Schrodinger usual que tomamos como ponto de partida para
obtermos as Eq.(3.10) eEq.(3.14).
Note, ainda, que podemos recuperar a equac~ao de Schrodinger a partir
da equac~ao de continuidade. Substituindo adensidade de probabilidades
(x;t) def
= (x;t)
e a densidade de uxo de probabilidade (ou corrente), Eq.(3.5), na Eq.(3.4)
efetuando asderivadas necessarias 10 teremos: @ t + @ = ~ 2mi r 2 r 2 :
Multiplicandoambososladospori~(
) 1
eadicionandoumpotencial
ex-ternoarbitrario 11
V (x;t)aosoperadoresr 2
,poderemosescreverasequac~oes
i~@ t = ~ 2 2m r 2 +V (x;t) i~@ t = ~ 2 2m r 2 V (x;t) : (3.24)
Ondeaprimeiraeaequac~aodeSchrodingerpara (x;t)easegundadescreve
a evoluc~aopara o tempo invertido (revers~ao temporal),tomando
simultane-amente
(x;t) e t! t. A irreversibilidade, quee um fato experimental,
entra na mec^anica qu^antica via medida. Esse fato experimental n~ao e
pre-visto pelaequac~aode Schrodinger linear.
3.1.4 N~ao-linearidade imaginaria I [ ;
]
Em nossa discuss~ao anterior enfatizamos o fato de que a mesma equac~ao
de continuidade se aplica ao uido classico e ao uido de probabilidades,
cuja densidade e descrita por (x;t) def
= (x;t)
(x;t), em acordo com
a interpretac~ao de Max Born para a func~ao de onda (x;t). Vimos que
as equac~oes hidrodin^amicas s~ao compatveis com a equac~ao de Schrodinger
usuale,especialmente,vimosqueaequac~aodeSchrodingerpodeserobtidaa
partirdaequac~aodecontinuidade. Lembre-sequeaequac~aode continuidade
permite-nosdescrever apenas acinematica do uido de probabililidades.
Ate o momento estivemos considerando o uido de probabilidades como
um uido ideal, com todas as propriedades usuais do uido ideal classico.
Agora,gostaramosdegeneralizaraspropriedadesdo uidodeprobabilidades
e, ent~ao, analisar quais seriam as propriedades da equac~ao de Schrodinger
compatvelcom essas propriedadesmais gerais do uido. Vamos considerar
10
Foiutilizadaaidentidader( r r )= r 2 r 2 . 11
A adic~ao do potencial V(x;t), apesar de n~ao ser uma consequ^encia logica dos
apossibilidadede difus~ao de(x;t)no uidodeprobabilidade 12
. Nesse caso
sabemosqueo uxodadensidadedeprobabilidadeeproporcionalavariac~ao
espacial dadensidade de probabilidade(veja, por exemplo,a Ref.[17])
j(x;t)= Dr(x;t); (3.25)
onde a\constantede proporcionalidade"Dechamadacoe ciente de difus~ao
e o termo Dr(x;t)e,geralmente, chamadocorrente de difus~ao.
Na presenca de difus~ao no uido, a equac~ao de continuidade Eq.(3.4)
pode ser convenientemente generalizada na forma de uma equac~ao do tipo
Fokker-Planck incluindoo termo difusivo:
@
t
(x;t)= rj(x;t)+Dr 2
(x;t): (3.26)
Como vimos na sec~ao anterior, a equac~ao de Schrodinger pode ser obtida a
partir daequac~ao de continuidade usual,Eq.(3.4). Agora, queremosestudar
qual seria a \equac~ao de Schrodinger" obtida da equac~ao de continuidade
generalizada para ocaso difusivo,Eq.(3.26).
SubstituindoasEq.(3.5)eEq.(3.23) naEq.(3.26),como zemosnasec~ao
anterior para a equac~ao de continuidade,teremos, para (x;t), 13 i~@ t = ~ 2 2m r 2 +V +i~D r 2 + jr j 2 j j 2 ! ; (3.27)
que,nanotac~aodaEq.(3.2)considerandoaEq.(3.23),implicanotermon~
ao-linear imaginario
I[ ; ]= 1 2 ~D r 2 : (3.28)
Notequen~aoexisteequac~aodeSchrodingerlinear compatvelcomaEq.(3.26)
para D 6=0 e que, alem do termo n~ao-linear imaginario, aparece tambemo
termo extra, i~Dr 2
queelinear.
Gostaramos de enfatizar quea modi cac~ao da equac~ao de continuidade
usual, que levou a Eq.(3.27), nos permite encontrar apenas o termo
ima-ginariodofuncionalF [ ;
] . Essefatoeraesperado,umavezqueaEq.(3.26)
12
N~aoiremosconsiderareventuaisefeitosdeconvecc~ao no uidodeprobabilidades,mas
essatambemseriaumapossibilidadedegeneralizac~ao. Aoconsiderarmossomenteefeitos
difusivos estamosenfatizandofen^omenosinternosao uido.
13
Note que uma equac~ao similar vale para
( x;t) , descrevendo a invers~ao
tempo-ral. A unica diferenca em relac~aoao calculo dasec~ao anteriorea presencada derivada
temligac~aocomacinematicado uidodeprobabilidadeseaequac~aode
con-tinuidade usual ou modi cada tem ligac~ao, como vimos, com a parte
ima-ginariadaequac~ao de evoluc~ao temporal. Essa estrategia de modi cac~aoda
equac~ao de Schrodinger tem a vantagem (pelo menos a princpio) de evitar
ascomplicac~oesrelacionadasafaseS(x;t)ligadaapartereal daequac~ao de
evoluc~ao.
3.1.5 Propriedades gerais envolvendo I [ ;
]
Antesde tratarmosdaexist^enciadeeventuais termosn~ao-linearesR[ ;
]e
conveniente explorarmos algumaspropriedades geraisda Eq.(3.27) 14
. Assim
como acontece no caso linear, a probabilidade continua sendo conservada,
agorapelaEq.(3.26). Domesmomodoquenaequac~aode Schrodingerusual,
no caso de partcula livre, tomando V (x;t) = 0, podemos veri car, por
substituic~ao, queexistem soluc~oes de onda plana 15
(x;t)=exp[i(kx !t)];
com frequ^encia ^angular ! = E=~ e k 2
= 2mE=~. A Eq.(3.27) e invariante
por translac~ao no espaco e no tempo. Se (x;t) e soluc~ao da Eq.(3.27),
ent~ao
(x;t) e soluc~ao da mesma equac~ao com t ! t e D ! D. A
troca de sinal no coe ciente de difus~ao signi ca invers~ao do uxo no uido
de probabilidades (propriedade natural em processos difusivos), de modo
que o sinal de D introduziria direcionalidade no uxo temporal, quebrando
a simetriatemporalnaEq.(3.27).
Assimcomo nocaso linear, o valoresperado domomentoedado por:
hpi=h i~ri=m Z
jdx: (3.29)
A ultimaigualdade pode sercalculada utilizando-seaidentidadedeParseval
para transformadas de Fourier[3]:
hpi= Z dp h 3 ~ (p)p ~ (p) = i~ Z dx (x)r (x) = i~ 2 Z dx( (x)r (x) r (x;t) (x)); 14
Aoviolarmos alinearidadeviaaintroduc~ao dotermo n~ao-linear imaginario, n~aoha
raz~aoparaexcluirmosapossibilidadedeexist^enciadetermosn~ao-linearesreais.
15
Note que o termo i~D r 2 +jr j 2 =j j 2 0 para ( x;t) = exp[i(kx !t)], 2 2 2 2 2
a Eq.(3.29) mostra que n~ao haambiguidade na de nic~ao de p= i~r uma
vez que atrocade j porj Drn~aoaltera aultima integralnaEq.(3.29).
Notando que 16 Z r 2 + jr j 2 j j 2 dx= Z r 2 dx+[ r ] 1 1 Z r 2 dx0;
ofuncionalenergia,relacionadoassoluc~oesdaEq.(3.27),continuasendodado
porhi~@
t
i=hHi, como nocaso linear usual. Essas s~ao propriedadesbasicas
dateoriaassociadaaequac~aodeSchrodingerusual,ejaforamapontadas na
Ref.[13]para a Eq.(3.27).
Vamos agora, calcularas relac~oes de Ehrenfest para avariac~aotemporal
do valoresperado do momento, hpi, e do valor esperado da energia, hi~@
t i.
Para isso, vamos utilizaraconhecida regrapara derivac~aode operadores em
relac~aoaotempo(veja, porexemplo, a Ref.[39]):
d dt hOi= Z @ t O dq+ Z @ t O dq+ Z O@ t dq; (3.30)
onde O e um operador qualquer e q representa coordenadas generalizadas.
Aqui, em geral, os operadores n~ao dependem explicitamente do tempo 17
e
s~ao dadosna representac~ao de posic~aocom q x.
A primeira das relac~oes de Ehrenfest permance a mesma do caso linear
usual: d dt hxi= hpi m ; (3.31)
para calcularmosavariac~aotemporaldomomentoesperado hpiescrevemos,
a partir daEq.(3.27), @ t = i ~ H +D r 2 + r r (3.32) e @ t = i ~ H +D r 2 + r r ; (3.33) 16
Efetuamosuma integralporpartes e,como emmec^anicaqu^anticausual, assumimos
que (x;t)e suasderivadas,seanulamem x=1.
17
Escrevendo a Eq.(3.30) para hpi h i~ri e substituindo as Eq.(3.32) e Eq.(3.33), teremos d dt h i~ri = Z i ~ H +D r 2 + r r ( i~r) dx + Z ( i~r) i ~ H +D r 2 + r r dx:
Efetuando as multiplicac~oes necessarias, juntando termos semelhantes e
ob-servando que H = H e (r 2 +r r = ) =(r 2 +r r = )
pode-mos fazera transposic~ao dos operadores e escrever
d dt h i~ri = Z rH dx Z Hr dx + D Z r 2 + r r ( i~r) dx + D Z ( i~r) r 2 + r r dx:
SubstituindoH, de nido pelaEq.(3.3), sabendoque r 0 nafronteira de
integrac~ao 18 d dt h i~ri = Z rV dx + 2DRe Z ( i~r) r 2 + r r dx:
Emgeral,bastafazerD!0pararecuperarmosarelac~aodeEhrenfestusual
d
dt
h i~ri= hrVi: (3.34)
De maneira similar,podemosobter a terceirarelac~aode Ehrenfest:
d dt hi~@ t i=h@ t Vi+2DRe Z H r 2 + r r dx; (3.35)
que nocaso linearusual reduz-se a
d dt hi~@ t i=h@ t Vi: (3.36)
Voltaremosatratardasconsequuenciasdessasrelac~oesnosproximoscaptulos.
3.1.6 N~ao-linearidades reais R[ ;
]
Uma vez que a Eq.(3.26) determina apenas a parte imaginaria da n~
ao-linearidadepodemosincluirtambem,porargumentosdesimetria,n~ao-linearidades
reais.
E importante notar que esses termos n~ao-lineares reais n~ao s~ao
ar-bitrarios,pelocontrario,s~aoesperadosjaquealinearidadefoivioladaatraves
do termo I[ ;
].
E razoavel considerar o termo n~ao-linear imaginario
como guia para inferirostermospara R[ ;
]por similaridade. Emoutras
palavras, vamos assumir as seguintes propriedades para R[ ;
]: i)
E
ho-mog^eneo de ordem zero em , de modoque R[ ; ]=R[ ; ], 2C; ii)
E um funcional com derivadas n~ao maiores que de segunda ordem
ape-nas no numerador; iii)
E invariantesob a aplicac~ao dogrupo Euclideano em
tr^es dimens~oes E(3). Enfatizamos o fato de que assumimos similaridade
entre o termo n~ao-linear imaginario, determinadopela Eq.(3.26), e o termo
n~ao-linearreal para o qualn~ao temos restric~oes a priori.
Sobas hipoteses acimapodemosrestringiro funcionalR[ ;
] atermos
proporcionaisa certas combinac~oes homog^eneas dacorrente j(x;t) e
densi-dade de probabilidade(x;t) esuas derivadas. Assim, o funcional R[ ;
]
na Eq.(3.2), tem aforma
R[ ; ]=~D 0 5 X j=1 c j R j [ ; ]; (3.37) com R 1 = rj c ; R 2 = r 2 ; R 3 = j c 2 2 ; (3.38) R 4 = j c r 2 ; R 5 = (r) 2 2 ; (3.39)
onde introduzimos,poruma quest~aode conveni^encia,
j c = m ~ j = 1 2i ( r r ): (3.40) Na Eq.(3.37) D 0
tambem tem dimens~oes de coe ciente de difus~ao
(even-tualmente faremos a simpli cac~ao D 0
D, sem perda de generalidade)
permitindo que os c
j
sejam par^ametros adimensionais. Assim, os
produ-tos D 0
c
j
podem tomar valores arbitrarios. Dadas as Eq.(3.28) e Eq.(3.37),
substitudas na Eq.(3.2),temos a formaexplcita daEDG:
i~@ t = ~ 2 2m r 2 + 1 2 i~D r 2 +~D 0 5 X c j R j [ ; ] +V ; (3.41)
onde os R
j [ ;
]s~ao dados pelas Eq.(3.38) e Eq.(3.39).
Aseguirindicaremosbrevementealgumasdaspropriedadeseconsequ^encias
daEq.(3.41). Contudo,deixaremosasanalisesmaispormenorizadasparaum
captulo subsequente, onde ser~ao introduzidas as chamadas transformac~oes
de gauge n~ao-lineares. Enfatizamos, contudo, que o objetivo geral e
elabo-rar restric~oes razoaveispara oconjuntode termos c
j R
j
, com j =1; ;5e,
consequentemente, determinar aspropriedades daEq.(3.41).
Sob transformac~oes de Galileudo tipo(claro que V 0)
(x;t) =exp i m ~ xv 1 2 v 2 t (x vt;t); (3.42)
teremosafamliadas Eq.(3.41),invariantegalileana,caracterizadapelo
con-juntode par^ametros 19 c 1 +c 4 =0; c 3 =0 (3.43) com c 2 e c 5
quaisquer. A primeira relac~ao de Ehrenfest, Eq.(3.31) e
satis-feitaautomaticamente, comoconsequ^encia daEq.(3.26). Haumasubfam
ilia
das Eqs(3.41) que satisfaz a segunda relac~ao de Ehrenfest, Eq.(3.34), e e
caracterizada peloseguinteconjuntode par^ametros 20 : c 1 =1; c 2 +2c 5 =0; c 3 =0; c 4 = 1: (3.44)
3.2 Soluc~oes via transformac~oes n~ao-lineares
3.2.1 Soluc~oes estacionarias
Uma das propriedades mais interessantes da Eq.(3.41) e a exist^encia de
es-tados estacionarios. Nesta sec~ao discutiremos essa propriedadeem detalhes.
Como e sabido da mec^anica qu^antica usual, uma soluc~ao da equac~ao de
evoluc~ao e chamada estacionaria quando representa o mesmo estado, em
nosso caso um estadopuro, em todos os tempos:
(x;t)='(t) (x) ':R !C
19
Notequeostermosquelevamj( x;t)t^emrelac~aodiretacomavelocidadev(x;t),veja
aEq.(3.6),portanto,zerandooscoe cientesc
j
correspondentesaessestermos,garantimos
ainvari^anciagalileana.
20
