UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE FILOSOFIA E CIÊNCIAS HUMANAS
DEPARTAMENTO DE PSICOLOGIA MESTRADO EM PSICOLOGIA COGNITIVA
EDNA RODRIGUES SANTOS PORTO
Raciocínio proporcional: a resolução de problemas por estudantes
da EJA
RECIFE 2015
EDNA RODRIGUES SANTOS PORTO
Raciocínio proporcional: a resolução de problemas por estudantes
da EJA
Dissertação apresentada à Pós-Graduação de Psicologia Cognitiva da Universidade Federal de Pernambuco como requisito para a obtenção do título de Mestre em Psicologia Cognitiva.
Área de concentração: Psicologia Cognitiva. Linha de pesquisa: Educação matemática e Científica
Orientadora: Dra. Síntria Labres Lautert.
RECIFE 2015
Catalogação na fonte
Bibliotecária, Divonete Tenório Ferraz Gominho. CRB4- 985
P853r Porto, Edna Rodrigues Santos.
Raciocínio proporcional: a resolução de problemas por estudantes da EJA / Edna Rodrigues Santos Porto. – Recife: O autor, 2015.
129 f. , il. ; 30 cm.
Orientador: Prof.ª Dr.ª Síntria Labres Lautert.
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Pernambuco. CFCH. Pós-Graduação em Psicologia Cognitiva, 2015.
Inclui referências e apêndices.
1. Psicologia. 2. Educação de adultos. 3. Raciocínio. 4. Solução de problemas. I. Lautert, Síntria Labres. (Orientadora). II. Título.
150 CDD (22.ed.) UFPE (BCFCH2015-22)
FOLHA DE APROVAÇÃO
Edna Rodrigues Santos Porto
Raciocínio Proporcional: a resolução de problemas por estudantes da EJA
Dissertação apresentada à Pós-Graduação de Psicologia Cognitiva da Universidade Federal de Pernambuco como requisito para a obtenção do título de Mestre em Psicologia Cognitiva.
Área de concentração: Psicologia Cognitiva.
Aprovado em: 26 de fevereiro de 2015
Banca Examinadora Dra. Síntria Labres Lautert
Instituição: U.F.PE
Assinatura: _____________________
Dr. Ernani Martins dos Santos Instituição: U.P.E
Assinatura: _____________________
Dra. Rute Elizabete de Souza Rosa Borba
DEDICATÓRIA
Á minha mãe Ivoneide e ao meu esposo Deivd pelo incentivo e apoio nas conquistas importantes da minha vida!
AGRADECIMENTOS
A Deus, pela oportunidade de realizar esse trabalho, pela sabedoria, força, serenidade e ainda por ter oportunizado o que eu precisava para concretizar essa conquista.
A Profª. Síntria Labres Lautert, que ao longo dessa jornada aguçou o meu gosto pela pesquisa na área da Psicologia da Educação Matemática e com maestria desenvolveu o ofício de orientadora. Obrigada pela disponibilidade, paciência, e por acreditar na realização desse trabalho.
A minha família pelo apoio incondicional e pela compreensão, carinho, incentivo na realização de mais uma conquista, em especial agradeço ao meu esposo Deivd Porto que acompanhou mais de perto e participou contribuindo com os seus saberes na área da matemática.
A todos os professores da Pós Graduação em Psicologia Cognitiva que direta ou indiretamente contribuíram para o meu processo de aprendizagem.
Aos colegas da Turma de Mestrado 2013.1 aprendemos e crescemos na convivência, nos momentos de discussão e realizações das atividades acadêmicas.
Aos funcionários da UFPE pelos serviços prestados e as cuidadosas orientações.
As minhas amigas de todas as horas pela atenção e acolhimento e torcida, Djenane e Mércia. Agradeço também a Michelle, Denise, Ilka e Maria Aline pela recepção e convivência em Recife e também a Laila pelas informações e incentivo a fazer a seleção do mestrado.
A Banca de Qualificação, os apontamentos e contribuições foram muito importantes para o melhoramento do projeto de pesquisa, em especial quero agradecer a Profª. Rute Borba pelas valiosas sugestões de leituras e que mesmo após a qualificação contribuiu para o aprimoramento do instrumento matemático utilizado na pesquisa.
A todos os estudantes, sem a colaboração e disponibilidade de vocês a realização desse trabalho não seria possível.
Aos professores, coordenadores e diretores, especialmente a Ioni, pelo apoio e auxílio na execução desse trabalho.
Ao Professor Macário e a Professora Marina pela colaboração na análise dos dados.
Aos que fazem parte do NUPPEM por contribuírem com ricas discussões, saibam que elas auxiliaram o desenvolvimento do meu processo de aprendizado.
PORTO, E. R. S. Raciocínio proporcional: a resolução de problemas por estudantes da EJA. 2015. 129 p. Dissertação (Mestrado) – Programa de Pós-Graduação em Psicologia Cognitiva, Universidade Federal de Pernambuco.
RESUMO
Compreender o raciocínio dos estudantes ao resolverem problemas matemáticos têm ocupado muitos pesquisadores de áreas como a Psicologia e a Educação Matemática, em especial no que tange identificar as dificuldades e erros conceituais atrelados a um conceito, como também a investigação de suportes que facilitem a articulação entre conhecimentos prévios à educação formal. O presente estudo consistiu em investigar o raciocínio proporcional de estudantes da educação de adultos, cursando a 4ª Fase (que corresponde ao 8° e ao 9° ano do ensino fundamental); bem como de forma específica, (i) as estratégias utilizadas para solucionar problemas envolvendo o conceito de proporção; (ii) se existem diferenças nos desempenhos e nas estratégias em função dos temas que perpassam vida social apresentados nos problemas, neste estudo em particular, as Eleições presidenciais e a Copa do Mundo e (iii) se existem diferenças no desempenho e nas estratégias em função do tipo de problema. Para tal, participaram 34 estudantes, de idades variando de 18 a 47 anos, de uma escola pública da cidade de Petrolina-PE. Todos os participantes resolveram 18 problemas, envolvendo seis tipos de situações (valor omisso; conversão entre razão, taxa e representações; os que envolvem unidade de medidas e números; comparação; transformação; e conversão entre sistemas de representação). Estes foram apresentados, individualmente, em duas sessões, durante as quais foi utilizado o método clínico Piagetiano para melhores esclarecimentos sobre as formas de resolução e ao final foi realizada uma entrevista. Os dados foram analisados em função de dois aspectos: números de acertos e as estratégias adotadas na resolução. Na avaliação do desempenho foram controladas as variáveis internas: tipos de problemas, tipos de problemas associados ao contexto (Copa do Mundo, Eleições Presidenciais e Prototípicos) como também a variável externa afinidade com o contexto. Os resultados obtidos foram analisados à luz da teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud e mostraram que estudantes da 4ª fase, mesmo não tendo estudado formalmente o conceito de proporcionalidade conseguem resolver alguns problemas envolvendo relações proporcionais. Foi verificada a influência do contexto apenas quando comparado os problemas da Copa do Mundo e os Prototípicos, e foi observado desempenho semelhante quando comparado o contexto Copa do Mundo e Eleições, e também entre este último e o desempenho nos problemas Prototípico. No que tange às diferentes situações de proporcionalidade resolvidas, constatou-se que aquelas que envolvem o julgamento qualitativo são mais facilmente resolvidas do que as que envolvem outros sistemas de representação. As respostas dos estudantes demonstraram o uso de vários tipos de estratégias, que foram classificadas como: Tipo 1(imprecisa ou ausente); Tipo 2 (conhecimento de mundo); Tipo 3 (sentido numérico); Tipo 4 (operações aditivas); Tipo 5 (campo multiplicativo associado a operações aditivas) e Tipo 6 (campo multiplicativo). Concluiu-se com este estudo que nem sempre ao resolver e acertar problemas proporcionais o estudante apresenta o raciocínio proporcional e que este é mais facilmente desenvolvido em algumas situações que em outras, evidenciando que o domínio da proporcionalidade se dá de forma gradativa e requer o desenvolvimento de outros conceitos, representações e procedimentos. Palavras-chave: raciocínio proporcional; resolução de problemas; conhecimentos prévios.
PORTO, E. R. S. Proportional reasoning: the resolution of problems by Adults in initial schooling. 2015. 129 p. Dissertation (Master’s degree) - Post-graduate study program of Cognitive Psychology, Federal University of Pernambuco.
ABSTRACT
Understanding the reasoning of students when resolving mathematical problems has occupied many researchers of the Psychology and Mathematics Education fields, especially in that which regards to identify the difficulties and conceptual errors tied to a concept, as well as an investigation of supporting materials that facilitate the link between prior knowledge and formal education. This study consisted in investigating the proportional reasoning of Adults in initial schooling who are taking the 4th stage ( which corresponds to 7th and 8th grade of elementary school); specifically, (i) the strategies utilized to resolve problems involving the concept of proportion; (ii) if there are differences in performances and in the strategies in view of topics that spans social life presented in the problems, particularly in this study, the presidential elections and the Fifa World Cup and (iii) if there are differences in the performance and strategies in view of the type of problem. For this study, 34 students between the ages of 18 and 47, from a public school in Petrolina- PE, participated. All participants resolved 18 problems involving six types of situations (missing value; conversion of ratio, rate and representations; those which involve units of measurements and numbers; comparisons; transformation; and conversions of system of representation). These were presented, individually in two sessions, in which the Piaget clinical method was used for the better understanding of the forms of solution and at the end an interview was conducted. The data was analyzed on the basis of two aspects: number of correct answers and the strategies adopted in the resolution. In the performance evaluation the following independent variables were controlled: types of problems, types of problems associated to context (Fifa World Cup, presidential elections and prototypes) as well as the dependent variable affinity to context. The acquired results were analyzed in view of the Conceptual Fields of Gérard Vergnaud and they showed that students in the 4th stage, even without having formally studied the concept of proportionality, can resolve some problems involving proportional relationships. Influence was verified only when the context of the World Cup and Prototypes were compared, and it was observed similar performance when compared the World Cup and Elections context, furthermore among the latter and the performance problems in Prototype. Regarding the different situations of proportionality resolved, it was confirmed that the problems that involve qualitative judgment were easier to resolve than those that involve other systems of representation. The students’ answers demonstrate the usage of various types of strategies which were classified as: Type 1 (inaccurate or absent); Type 2 (knowledge of the world); Type 3 (number sense); Type 4 (operations of addition); Type 5 (multiplication associated with operations of addition) and Type 6 (multiplication). It was concluded that by resolving and acquiring correct answers in proportional problems, the student presents proportional reasoning and that it is more easily developed in some situations than others proving that the domain of proportionality is given in a gradual manner and requires development of other concepts, representations and procedures. Key words: proportional reasoning; problem solving; prior knowledge.
SUMÁRIO Dedicatória ... III Agradecimentos ... IV Resumo ... VI Abstract ... VII Sumário ... VIII Índice de Figuras ... X Índice de Quadros ... XI Índice de Tabelas ... XII Lista de Siglas ... XIII
INTRODUÇÃO ... 14
CAPÍTULO I: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 19
1.1. A EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS: PANORAMA HISTÓRICO E A CONTEMPORANEIDADE ... 19
1.1.1 Panorama Histórico da Educação de Jovens e Adultos no Brasil ... 19
1.1.2 A clientela da Educação de Jovens e Adultos na Contemporaneidade ... 21
2. A MATEMÁTICA COMO ATIVIDADE COTIDIANA E O PAPEL DOS CONHECIMENTOS PRÉVIOS NA COMPREENSÃO DA EDUCAÇÃO FORMAL... 23
3. TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS... 28
3.1. O Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas ... 33
4. O CONCEITO DE PROPORCIONALIDADE DIRETA E O RACIOCÍNIO PROPORCIONAL... 36
4.1 Pesquisas empíricas envolvendo proporção ... 40
CAPÍTULO II: MÉTODO ... 51
2.1. Objetivos ... 51
2.2. Participantes ... 52
2.3. Material, procedimentos e planejamento experimental... 53
CAPÍTULO III: SISTEMA DE ANÁLISE ... 60
CAPÍTULO IV: ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS ... 68
4.1. Desempenho geral ... 68
4.2. Análises das estratégias de resolução ... 77
4.2.1. As estratégias no geral ... 77
4.2.1.1. Estratégias versus contextos ... 80
4.2.1.2. Estratégias versus tipos de problemas de proporção ... 86
CAPÍTULO V: CONCLUSÕES E IMPLICAÇÕES EDUCACIONAIS ... 102
5.1. Principais resultados do estudo e suas conclusões ... 103
5.1.1 A influência do contexto sobre o desempenho e sobre as estratégias ... 104
5.1.2. Diferentes situações demandam o desenvolvimento de diferentes raciocínios ... 105
5.1.3. Outros indícios do raciocínio proporcional por meio das estratégias ... 107
5.5. Implicações Educacionais e Futuras Pesquisas ... 110
REFERÊNCIAS ... 113
APÊNDICE I: Considerações Éticas ... 120
APÊNDICE II: Termo de Consentimento Livre e Esclarecido ... 121
APÊNDICE III: Roteiro de Entrevista Semiestruturado ... 124
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1 - Resposta do participante 15 que demonstra a realização de operações multiplicavas
associada a operações aditivas ... 65
Figura 2 - Resposta do participante 11 que demonstra estratégias do campo multiplicativo... 66
Figura 3 - Resposta do participante 13 que demonstra estratégias do campo multiplicativo... 67
Figura 4 - Percentual de acerto por contexto (Gráfico) ... 69
Figura 5 - Percentual de acertos por tipo de problema (Gráfico) ... 73
Figura 6 - Percentual de estratégias utilizadas pelos participantes no geral (Gráfico) ... 79
Figura 7 - Percentual de uso das estratégias por tipo de problema (Gráfico) ... 81
Figura 8 - Percentual de distribuição de tipos de estratégias considerando os tipos de problemas investigados (Gráfico) ... 87
ÍNDICE DE QUADROS
Quadro 1 - Tipos de problemas e os contextos envolvendo as situações-problema
apresentadas na investigação ... 55 Quadro 2 - Ordem de aplicação do instrumento matemático para cada um dos grupos ... 59 Quadro 3 - Problemas de comparação no contexto Copa do Mundo e Eleições apresentados
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 1 - Valores e significância do teste estatístico Wilcoxon nas comparações dos tipos de
problemas ... 73
Tabela 2 - Frequência e porcentagem (entre parêntese) de acertos em cada contexto nos problemas de Comparação e Transformação ... 76
Tabela 3 - Valores e significância do teste estatístico Wilcoxon nas comparações dos tipos de estratégias no geral ... 79
Tabela 4 - Valores e significância do teste estatístico Wilcoxon nas comparações dos tipos de estratégias utilizadas para resolver problemas de valor omisso ... 88
Tabela 5 - Valores e significância do teste estatístico Wilcoxon nas comparações dos tipos de estratégias no problema de conversão entre razão taxa e representações ... 89
Tabela 6 - Valores e significância do teste estatístico Wilcoxon nas comparações dos tipos de estratégias e problemas que envolvem unidades de medidas e números ... 91
Tabela 7 - Valores e significância do teste estatístico Wilcoxon nas comparações dos tipos de estratégias e problemas que envolvem comparação ... 92
Tabela 8 - Valores e significância do teste estatístico Wilcoxon nas comparações dos tipos de estratégias e problemas que envolvem transformação ... 93
Tabela 9 - Valores e significância do teste estatístico Wilcoxon nas comparações dos tipos de estratégias e problemas de conversão entre sistemas de representação ...94
Tabela 10 - Frequência e percentual (entre parênteses) de acerto e erro em cada tipo de estratégia ... 95
Tabela 11 - Percentual de procedimentos utilizados nas estratégias do Tipo 1 ... 96
Tabela 12 - Percentual de procedimentos utilizados nas estratégias do Tipo 5 ... 98
LISTA DE SIGLAS
EJA – Educação de Jovens e Adultos
FNEP – Instituto Nacional de Ensino Primário IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística INEP – Instituto Nacional de Estudos Pedagógicos LDB – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional MEC – Ministério de Educação e do Desporto
MOBRAL – Movimento Brasileiro de Alfabetização SEA – Serviço de Educação de Adultos
TCC – Teoria dos Campos Conceituais
INTRODUÇÃO ___________________________________________________________________________
Esta dissertação é resultado da realização de uma pesquisa que teve como objeto de estudo o raciocínio proporcional, e como público-alvo estudantes da modalidade de Educação de Jovens e Adultos (EJA), cursando a quarta fase do Ensino Fundamental. Esta introdução tratará da motivação que originou este trabalho, a problemática e justificativa que sustentam a proposta, bem como as questões que nortearam a execução da investigação.
De início é importante explicitar que o raciocínio proporcional foi eleito como objeto de estudo por três motivos. O primeiro resultou da análise de que esse conhecimento é fundamental no currículo escolar formal, uma vez que o raciocínio proporcional é considerado o culminar da aritmética elementar e o alicerce da matemática avançada (Lesh, Post & Behr, 1988). Segundo, esse conceito é um requisito para o desenvolvimento da aprendizagem de outros conteúdos matemáticos, tais como: funções lineares, as noções sobre juro e porcentagem. Terceiro, o desenvolvimento do raciocínio proporcional está presente na leitura de vários acontecimentos cotidianos.
Imagine uma situação simples em que é preciso decidir qual produto comprar tomando como análise o critério de preço e de quantidade de produto. Por exemplo, caso você precise decidir qual a melhor opção de compra de cartucho de impressora, existindo duas propostas de venda. Primeira opção, um cartucho de 6 ml de tinta por R$ 36,00 e a segunda opção um cartucho de 8 ml de tinta por R$ 42,00. Qual seria a opção mais vantajosa, a primeira ou a segunda opção? A decisão pode ser tomada levando em consideração uma comparação proporcional entre as razões de quantidade de tinta e de preço do cartucho:
R$ 36,00: 6 ml= R$ 6,00/ml R$ 42,00: 8 ml= R$ 5,25/ml
A opção que apresentar menor razão será a mais vantajosa, neste caso a segunda opção. Outro exemplo simples muito comum nas atividades do dia a dia e que não envolve símbolos matemáticos está no simples desenho de um cachorro. Comumente analisamos todas as partes que compõem o desenho e se a cabeça estiver muito maior que o corpo, dizemos que ela não está adequada para o tamanho do restante do corpo do animal. Essa simples constatação expressa a noção de proporcionalidade, ao passo que se espera haver uma proporção entre o tamanho da cabeça e o restante do corpo.
A proporcionalidade é um conceito matemático muito presente nas atividades cotidianas e dominá-lo está relacionado à habilidade de leitura dos acontecimentos cotidianos e ao domínio de outros conhecimentos. Em face disso, a proposta do presente trabalho considera fundamental explicitar as formas como os estudantes desenvolvem seu raciocínio frente a situações que envolvem proporção para, a partir da produção de conhecimento dessa natureza, contribuir com o desenvolvimento de práticas pedagógicas eficientes na relação ensino-aprendizagem desse conteúdo.
Pesquisas têm sido produzidas direcionadas a compreender as formas de raciocínio desenvolvidas por estudantes do Ensino Fundamental regular quando solicitados a resolverem problemas envolvendo proporção (Silvestre & Ponte, 2008; Gonçalves, 2010; Oliveira & Santos, 2000; Costa, 2007). Entretanto, quando se trata de investigação com adultos a literatura ainda é bastante escassa. Fonseca (2002) e Danyluk (2001) apontam para a existência de uma lacuna na literatura no que diz respeito aos estudos que contemplem a EJA, e ressaltam a necessidade de se produzir e compartilhar conhecimentos sobre a forma como estes estudantes são escolarizados, como pensam e aprendem no contexto escolar.
Nesse contexto, a legislação específica para a EJA (CNE/CEB 11/2000) esclarece que os estudantes dessa modalidade de ensino apresentam um perfil diferente daqueles que estão cursando o ensino formal na faixa etária adequada ao ano escolar, e versa que é imperativo desenvolver formas alternativas aos modos convencionais de ensino, para assim atender às especificidades deste público.
Essas demandas suscitam a análise de dois aspectos fundamentais envolvidos na Educação de Jovens e Adultos. O primeiro aspecto diz respeito ao público da EJA, não se trata de crianças, mas, como o próprio nome sinaliza, são jovens, adultos e em muitos casos idosos. Essa particularidade referente à faixa etária escolar demarca a existência de inúmeras especificidades que vão desde as de cunho social até às de ordem cognitiva.
Sobre a diferenciação do modo de funcionamento cognitivo do adulto em relação ao da criança, Oliveira (1999) analisa que para responder às demandas de natureza diversa o adulto se utiliza do seu nível cultural, das experiências de vida e de fatores mais intrínsecos como a motivação e bem-estar físico e psicológico. Dessa forma, os adultos apresentam uma riqueza de conhecimento de mundo muito maior que as crianças, dadas as experiências de vida muito mais plurais.
Quando se fala em EJA um segundo aspecto importante que precisa ser considerado diz respeito à política dessa modalidade de ensino ter em sua essência o propósito de ser um disparador em direção à inclusão social e à igualdade de oportunidades. Para tanto, tal política
prevê que a formação escolar permita ao estudante se apropriar dos conhecimentos de forma crítica, de modo a empoderá-lo para lidar com as diversas situações sociais e culturais, como também habilitá-lo a participar ativamente dos acontecimentos e evoluções da sociedade (Brasil, 1998; 2000a).
Quando se observa a condição da escolaridade de muitos brasileiros é perceptível o quanto a EJA ainda se faz necessária e a demanda de aperfeiçoamentos para atender essa clientela ainda é gritante. Dados oriundos da Pesquisa Nacional Por Domicílio – Pnad 2012, empreendida pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), revelaram que o analfabetismo, que vinha caindo nos últimos anos, parou de cair em 2012. São consideradas analfabetas as pessoas que não sabem ler e nem escrever, e como analfabetas funcionais as pessoas que frequentaram menos de quatro anos de escolaridade completos (PNAD, 2012).
Os dados da Pnad 2012 informam ainda que 8,7% da população com 15 anos ou mais não sabia ler e nem escrever, o que representa 13,2 milhões de pessoas analfabetas contra 12,9 milhões em 2011. Embora os especialistas analisem que esse percentual de aumento está dentro da margem de erro, inerente ao processo de pesquisa, este dado precisa ser analisado com cautela. Isto porque revela uma taxa de analfabetos no país ainda muito elevada. Quanto aos analfabetos funcionais, estes representam 18,3% dos 27,8 milhões que compõem a população brasileira. Outro dado importante registrado pela Pnad 2012 aponta que mais da metade dos analfabetos se encontram na região Nordeste do país.
Esses dados confirmam a importância da existência da EJA e políticas públicas que visem ao aprimoramento dos modos de ensino desenvolvidos partindo da reflexão das especificidades apresentadas pelos adultos. Ao analisarmos as especificidades dos estudantes adultos com pouca escolaridade se observa que a literatura tem oferecido pouco suporte teórico que auxilie os professores que atuam nesse segmento
A realização do presente estudo se restringe à área da Matemática especificamente para o raciocínio proporcional através da resolução de problemas matemáticos que envolvem o conceito de proporção simples.
O aporte teórico basilar da presente investigação é a teoria dos Campos Conceituais desenvolvida por Gérard Vergnaud, sendo considerada uma teoria cognitivista neopiagetiana. Para esse teórico a aquisição de conceitos matemáticos envolve três dimensões: a primeira se refere a um conjunto de situações que subsidiam a compreensão do conceito; os invariantes que permitem o domínio das situações e um conjunto de representações simbólicas, que permitem representá-los. Nesse contexto, Vergnaud concebe que a aprendizagem de um dado conjunto
de conceitos não ocorre de forma independente, mas demanda outros conceitos, procedimentos e representações simbólicas (Vergnaud, 1986; 2009).
Partindo dessas concepções e de outros conhecimentos que serão tratados nas considerações teóricas desta dissertação consideramos que a Teoria dos Campos Conceituais oferece um referencial teórico singular que permite o estudo do desenvolvimento cognitivo a partir de domínios específicos – o campo conceitual evocado por um conceito em particular – o raciocínio proporcional - possibilitando um diálogo frutífero entre a Psicologia do Desenvolvimento Cognitivo e a Educação Matemática (Spinillo & Lautert, 2006).
Essa proposta de investigação do raciocínio proporcional foi construída visando também identificar e refletir sobre aspectos que possam atuar como facilitadores no acesso do jovem-adulto ao conhecimento formal. Em face disso, os problemas matemáticos envolvendo proporção simples apresentam conteúdos relacionados a acontecimentos sociais familiares aos participantes. Tais conteúdos se referem às eleições presidenciais e à copa do mundo realizadas em 2014, que também foi o ano de execução dessa proposta de investigação.
Nessa direção o presente estudo trilhou o caminho inverso de algumas propostas da educação formal, aquelas em que os conhecimentos aprendidos na escola devem ser acompanhados da sua aplicação nos fenômenos cotidianos. Aqui se propôs que os elementos da vida real atuam facilitando o desenvolvimento do raciocínio voltado para a solução de problemas; no caso específico deste estudo foram escolhidas situações-problemas pertencentes ao campo conceitual das estruturas multiplicativas, a proporcionalidade.
Neste sentido, discute-se se os tipos de temas/conteúdo apresentados nas situações-problemas contribuiriam para o estabelecimento de conexões entre as noções mais intuitivas, relacionadas ao conhecimento extraescolar (a leitura do mundo feita através dos conhecimentos adquiridos por meio das experiências diárias), e às situações formais (os conhecimentos característicos da escolarização formal). Tal questão tomou por base os estudos de Brito (2011), Spinillo (2005) e Meira (1993) que são defensores da ideia que na educação formal seja valorizado o desenvolvimento de modos ou estratégias construídas pelo sujeito, e que essas em geral são baseadas no conhecimento extraescolar, para lidar com as situações escolares de diferentes formas.
Tendo em vista a incipiência de estudos envolvendo a modalidade de ensino da EJA e a temática do raciocínio proporcional foi que nasceu o desejo de contribuir com esse campo de estudo. Em síntese, a produção desta pesquisa ensejou contribuir com as reflexões no âmbito da Psicologia da Educação Matemática no que se refere aos estudantes da EJA, a partir de uma abordagem cognitiva que questiona como os alunos dessa modalidade de ensino lidam com as
situações de proporcionalidade e como os conteúdos que lhes são familiares os mobilizam cognitivamente e lhes permitem raciocinar proporcionalmente.
Em face do exposto investigou-se o raciocínio proporcional de estudantes da EJA, cursando a 4ª Fase (que corresponde ao 8° e ao 9° ano do Ensino Fundamental). De forma específica, investigou-se: (i) as estratégias utilizadas por estudantes 4ª Fase da EJA para solucionar problemas envolvendo o conceito de proporção; (ii) se existem diferenças nos desempenhos e nas estratégias em função dos temas que perpassam vida social apresentados nos problemas, neste estudo em particular, as Eleições presidenciais e a Copa do Mundo realizadas em 2014 no Brasil e (iii) se existem diferenças no desempenho e nas estratégias em função do tipo de problema.
A presente Dissertação está subdivida em cinco capítulos. No primeiro capítulo são feitas considerações teóricas acerca do objeto de estudo e do público estudando. O segundo Capítulo trata dos objetivos e também apresenta o percurso metodológico utilizada na pesquisa. No terceiro Capítulo é apresentado o sistema de análise aplicado aos dados. No quarto Capítulo encontram-se as análises e discussões dos dados. E por fim, o quinto capítulo foi destinado para os apontamentos das conclusões deste estudo, bem como suas implicações educacionais e sugestões de futuras pesquisas.
CAPÍTULO I FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
1. A EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS: PANORAMA HISTÓRICO E A CONTEMPORANEIDADE
Neste tópico das considerações teóricas são apresentadas as principais ideias que contornam a modalidade de ensino EJA, como também são tecidas algumas considerações acerca do perfil que caracteriza o público-alvo dessa modalidade de ensino. Isto porque se julgou importante fazer um breve apanhado acerca da história da Educação de Jovens e Adultos até as concepções contemporâneas que a definem, tendo em vista lançar subsídios teóricos à proposta da presente investigação e deixar mais claras as especificidades do público em que o estudo do raciocínio proporcional será explorado.
1. 1.1 Panorama histórico da Educação de Jovens e Adultos no Brasil
A modalidade de EJA é atualmente respaldada na Lei das Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) de 1996 e nas Diretrizes Curriculares Nacionais. A LDB (1996) em seu artigo 37 versa que a EJA é uma modalidade de ensino que visa ofertar educação básica àquelas pessoas que não tiveram acesso à educação na faixa etária esperada ou que não conseguiram concluir os estudos na idade apropriada.
No entanto, essa concepção acerca da EJA é bastante recente, uma vez que na sua origem e ao longo da história ela foi concebida de formas muito distintas em função do contexto social, econômico e político pelo qual passou o país. De acordo com a literatura (Ghiraldelli, 2000; Plank, 2001; Beisiegel, 2010) a educação de jovens e adultos existe desde o período Brasil Colônia, quando então foi criada e estava estritamente relacionada a uma educação religiosa, e por muito tempo permaneceu sem objetivos claros e sistemáticos que norteassem as formas como deveria ser desenvolvida. Somente a partir de 1930 essa modalidade de ensino começa a ganhar contornos mais sistemáticos e com fins educacionais propriamente ditos.
De acordo com Plank (2001) reconheceu-se na década de 30 que somente com a redução do analfabetismo e a garantia do ensino fundamental a todos os cidadãos, o Brasil teria chance de ser um país desenvolvido, e a educação passou a preocupar o governo nacional. Em
1930 foi criado o Ministério da Educação e Saúde Pública, mas foi com a promulgação da Constituição de 1934 que foi aprovado um Plano Nacional de Educação, passando a educação a ser um direito de todos em âmbito nacional. Em 1938 também houve conquistas importantes, como a criação do Instituto Nacional de Estudos Pedagógicos (INEP), e em 1942 foi instituído o Fundo Nacional de Ensino Primário (FNEP); mas somente em 1945, pelo Decreto Nº 19.513, foi regulamentada a concessão de auxílios do FNEP às unidades federadas.
De acordo com Beisiegel (2010) o Decreto Nº 19.513 representou um marco no desenvolvimento de uma política pública de Educação de Jovens e Adultos analfabetos ou com baixa escolarização, porquanto, em um dos seus artigos tratou como figura legal um Plano Nacional de Ensino Supletivo, com referência às verbas necessárias ao seu fomento. Como desenvolvimento das providências anteriores foi criado, no Departamento de Educação em 1947, o Serviço de Educação de Adultos (SEA). Este último desempenhava a função de orientação e coordenação no que dizia respeito aos planos anuais de ensino supletivo direcionados a adolescentes e adultos analfabetos.
Posteriormente a esses acontecimentos foram lançadas as Campanhas de Educação de Adultos, que foram iniciadas por Lourenço Filho. Essas campanhas consistiam em trabalhos com objetivos a longo prazo de erradicar o analfabetismo a partir da oferta de ensino primário a todos os adolescentes e adultos que não haviam frequentado a educação formal na idade apropriada. Sobre os conteúdos propostos nas Campanhas de Educação de Adultos Beisiegel (2010, p. 22) comenta:
O principal imperativo da campanha seria estender às massas iletradas o domínio das técnicas elementares da cultura: a leitura, a escrita e os rudimentos do cálculo, além de noções básicas de higiene, saúde e conhecimentos gerais.
Diante dessa proposta Beisiegel (2010) considera que tais conhecimentos correspondiam àqueles trabalhados na Educação Infantil da época, e com o transcorrer do tempo o ensino de jovens e adultos passou a ser cada vez mais infantilizado. Os professores reproduziam à noite, para os jovens e adultos, aquilo que haviam trabalhado com as crianças pela manhã. Apesar de tais ações, as Campanhas de Educação de Jovens e Adultos obtiveram resultados consideráveis em pouco tempo e deixaram o status de campanha passando a serem incorporadas como práticas regulares do serviço público de ensino (Beisiegel, 2010).
Assim, como prosseguimento das Campanhas de Educação de Jovens e Adultos surge o Movimento Brasileiro de Alfabetização (MOBRAL). Este foi criado em 1967 pela Lei n. 5.379 e apresentava como proposta a alfabetização funcional de jovens e adultos, cultivando,
porém, uma ideologia assistencialista e conservadora. O movimento alcançou um grande quantitativo de pessoas, porém, esse número decaiu ao longo dos anos o que culminou em várias tentativas desesperadas para manter-se vigente (Plank, 2001).
Mas, foi somente com a implantação da LDB 5.692 de 1971 que a Educação de Jovens e Adultos foi reconhecida como um direito do cidadão e recebeu o nome de supletivo, embora o MOBRAL continuasse vigente. Este somente foi extinto com a queda do regime militar em 1985 e a partir de então vários outros programas foram criados destinados à educação de jovens e adultos cada vez mais influenciada pelas ideias do célebre educador brasileiro, Paulo Freire. Como desenvolvimento dos novos tempos que tinham como premissa básica uma educação que valorizasse os contextos social e cultural dos educandos, a Constituição Federal de 1988 garantiu providências que ampliaram os direitos à educação para jovens e adultos. A Constituição Federal de 1988 reconheceu que o estado negligenciou disponibilizar educação para todos e estabeleceu-se, com a nova constituição, que é dever do estado ofertar o Ensino Fundamental a todas as pessoas que não concluíram a educação básica independentemente da idade.
Assim a educação de jovens e adultos foi elevada ao mesmo patamar de importância da educação de crianças e adolescentes e se revestiu de uma função reparadora de direitos, sendo criada para atender a uma demanda específica de erradicação do analfabetismo. Para tanto, a legislação preconiza que a formatação deste ensino deve abarcar as particularidades dos alunos jovens e adultos, e é sobre isso que falaremos a seguir juntamente com um breve apanhado sobre quem é a clientela da EJA atualmente.
1.2 A clientela da Educação de Jovens e Adultos na contemporaneidade
Embora a educação no Brasil tenha melhorado nas últimas décadas, e políticas sociais garantam a manutenção da frequência escolar, e haja aumento dos investimentos em programas de alfabetização, o país ainda apresenta um alto índice de pessoas analfabetas ou analfabetos funcionais. Em face disso, a EJA sem dúvida ainda é fundamental no contexto brasileiro contemporâneo e dado o seu nível de importância se faz necessário refletir sobre os modos e práticas de ensino diferenciados para atender de fato as demandas desses estudantes.
Quando se analisa o contexto histórico desde o surgimento da EJA se observa o travamento de várias lutas na tentativa de construir um ensino diferenciado, algumas tentativas mais desastrosas do que eficazes, contudo, desde o seu surgimento se percebe que o ensino
adequado não deve ser o mesmo ministrado às crianças. Quando é dito que o ensino do adulto deve ser diferenciado daquele ministrado às crianças o ponto de partida dessa afirmação leva em consideração o perfil dos estudantes jovens e adultos, o desenvolvimento cognitivo, as experiências de vida e a variedade de conhecimentos que estes sujeitos apresentam e que são diversos daqueles apresentados pelas crianças. Sobre essa diferenciação o estudo de Silva (2006) reforça essa a ideia ao comparar os saberes de adultos e crianças sobre números decimais.
Um dos resultados alcançados na investigação empreendida por Silva (2006) apontou que as crianças utilizam mais das representações escritas ao solucionarem as questões propostas, enquanto a maioria dos adultos fazem uso do cálculo mental. Outro resultado interessante diz respeito a habilidade dos adultos, independente do grau de escolaridade, conseguirem lidar de forma eficiente com as situações que envolvem os números decimais, evidenciando o papel das práticas sociais no processo de conceitualização. Sobre isto sabe-se que os adultos apresentam uma riqueza maior de vivências quanto comparado as crianças, assim os adultos demonstraram saber mais sobre números decimais.
Desse modo, os resultados encontrados na investigação de Silva (2006) ao refletir sobre as particularidades apresentadas por crianças e adultos que os diferenciam, chamam a atenção para a necessidade de pensar o ensino de forma diferenciada, visto que as necessidades educacionais são distintas de um público a outro. No que diz respeito ao adulto, este apresenta conhecimentos construídos na prática social que se utilizadas no ensino podem potencializar o processo de aprendizagem escolar. Como a própria autora do estuda convoca é preciso refletir sobre o ensino para os diferentes níveis de ensino.
Neste contexto, refletir sobre o perfil das pessoas que frequentam a EJA é um importante aliado nessa reflexão. Hoje o perfil do público da EJA não é tão diferente se comparado a duas décadas atrás. A literatura atual (Brasil, 2000) aponta que essa clientela apresenta características particulares: são em sua maioria pertencentes a classes socioeconômicas baixas e oriundas de famílias com baixa escolarização. Souza (2000) corrobora essa informação e acrescenta que a maioria das pessoas analfabetas tem idade mais avançada e são geralmente de regiões do país menos desenvolvidas e de etnia afro-brasileira.
Contudo, esse panorama vem se transformado ao longo dos anos. De acordo com dados do Parecer CNE/CEB 11 (2000a), atualmente é cada vez menor o número de pessoas adultas jovens que chegam à EJA sem nunca terem frequentado a escola, e cada vez maior o número de adolescentes e jovens que passaram pelo estudo regular de forma não exitosa.
Essas mudanças precisam ser analisadas, não só aquelas referentes à faixa etária, mas como pensam e que conhecimentos de mundo os sujeitos, inseridos no contexto histórico e
tecnológico contemporâneo, trazem consigo que podem auxiliar na construção e/ou consolidação do conhecimento escolar. Essa proposta além de ser interessante para o processo de educação formal contribui, como consequência, para a inclusão social a partir do estabelecimento de uma relação dialógica e dialética, no sentido de que os conhecimentos de mundo (conhecimentos prévios) podem subsidiar a construção/consolidação de conhecimento formal/científico e este último favorece a ampliação da leitura dos acontecimentos do mundo, integrando aos acontecimentos sociais.
Essas implicações estão, portanto, relacionadas às várias facetas da vida das pessoas como o trabalho, a participação social e política, a vida familiar e comunitária, o acesso ao lazer e a participação cultural. Contudo, como apontado por Souza (2000) a problemática da exclusão não será plenamente solucionada pela educação escolar, uma vez que a origem de tais processos discriminatórios é diversa, mas sem dúvida a educação escolar é imprescindível para a criação de espaços democráticos de conhecimento que conduzam o alcance de uma sociedade mais igualitária.
Os educadores da EJA reconhecem a necessidade de reformulações no processo de ensino-aprendizado, mas que este é um grande desafio e se evidencia mais problemático a priori pela escassez de reflexões teóricas que respaldem um projeto pedagógico próprio para esse público particular (Fonseca, 2002). Documentos das Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação de Jovens e Adultos (Brasil, 2000, p.9), corroboram que “a EJA necessita ser pensada como um modelo pedagógico próprio, a fim de criar situações pedagógicas e satisfazer necessidades de aprendizagem de jovens e adultos”. Como já mencionado, são adultos, alguns deles trabalham, possuem uma experiência no mercado de trabalho, e em sua maioria esperam melhorar sua condição social por meio da escolarização (CNE/CEB 11/2000). Nesse estudo em particular foi procurado refletir sobre esses aspectos no tange a educação matemática em face disso, algumas considerações acerca dessa temática precisam ser pontuadas.
2. A MATEMÁTICA COMO ATIVIDADE COTIDIANA E O PAPEL DOS CONHECIMENTOS PRÉVIOS NA COMPREENSÃO DA EDUCAÇÃO FORMAL
D’Ambrosio (1986), grande nome na área de estudo da etnomatemática, faz uma reflexão teórica interessante no que tange à Matemática e à Educação Matemática. Este autor faz uma analogia da matemática com o falar, enquanto utilização da linguagem para a comunicação, questionando se os conhecimentos e habilidades matemáticas que se diz transmitir através da educação matemática não estariam na mesma categoria do falar. Através
desse questionamento D’Ambrosio (1986, p. 35) defende a concepção da matemática como uma atividade inerente ao ser humano; em suas palavras ele considera:
Esperamos assim destacar um ponto fundamental: o fato de matemática ser uma linguagem (mais fina e precisa que a linguagem natural), que permite ao homem comunicar-se sobre fenômenos naturais. Consequentemente, ela se desenvolve no curso da história da humanidade desde os “sons” mais elementares, e portanto intimamente ligada ao contexto sociocultural em que se desenvolve [...] absorve-se matemática por um processo natural, poderíamos dizer “osmótico”, resultante da vida em sociedade e da exposição mútua, da mesma maneira como a linguagem.
Assim D’Ambrosio (1986) concebe que a educação matemática é fortemente relacionada a fatores socioculturais, fato que pode ser observado no processo de evolução da matemática e nas práticas de ensino. Nessa direção, o referido autor pontua que a matemática é praticada pelos sujeitos inseridos num ambiente sociocultural, com plena espontaneidade, dadas as aprendizagens ocorridas nesses contextos e que são determinadas pela realidade material existente.
Dessa maneira, a matemática, bem como a educação matemática, é concebida como uma ação e a prática de ensino é uma ação pedagógica que visa ao aprimoramento dos praticantes da ação, por meio do manejo de conhecimentos gerais. Essa perspectiva da matemática como atividade humana é de suma importância para reflexão dos dados obtidos no presente estudo, e resgata a ideia de que os indivíduos desenvolvem noções para lidar com as situações com as quais se defrontam nas suas atividades cotidianas e que, portanto, o saber matemático não está presente apenas na instrução formal.
Tal ideia é demonstrada no trabalho de Silva (2006), já mencionado no tópico anterior (Página 26), que evidenciou o papel das práticas sociais no processo de conceitualização. Assim os adultos mesmo tendo estudado formalmente o conteúdo dos números decimais, conseguem lidar com as situações que envolvem tais conteúdos buscando como suporte os conhecimentos construídos nas vivências do cotidiano. Nessa direção, Paulo Freire faz uma consideração que corrobora essa ideia: “Somente o homem como ser que trabalha, que tem um pensamento-linguagem, que atua, é capaz de refletir sobre si mesmo e sobre a sua própria atividade, que dela se separa. Somente ele, ao alcançar tais níveis, se fez um ser de práxis” (FREIRE, 1975 p. 39).
O fato é que os indivíduos desenvolvem aprendizagens de conteúdos matemáticos dentro e fora da escola, o estudante não é uma folha em branco ao chegar à escola, que será preenchida ao longo dos anos de escolaridade. Sem dúvida, é um grande desafio para o ensino a questão da transferência de saberes entre o saber cotidiano e o escolar, mas infelizmente não
é incomum nas práticas de ensino que os conhecimentos prévios dos estudantes sejam equivocamente considerados como um embaraço à aprendizagem formal.
É sabido que muitos dos alunos atendidos pela EJA, jovens, adultos e idosos, pouco escolarizados ou que nunca frequentaram a escola, dominam algumas noções de matemática que foram aprendidas no seu cotidiano, isto é, de maneira informal e intuitiva. Procedimentos como a contagem, cálculo, procedimentos de aproximação e estimativa, e em alguns casos até mesmo manejar instrumentos técnicos de alta precisão de forma satisfatória, destacando-se que tais aprendizagens se deram nos seus contextos de atividades cotidianas.
É claro que esses conhecimentos estão muito mais relacionados ao campo da prática e que essa clientela em grande parte apresenta dificuldade em lidar com as representações simbólicas convencionais que exigem o domínio da escrita numérica. Contudo, eles chegam à escola ansiosos para aprender os processos formais e não é fácil substituir as estratégias informais de lidar com os conteúdos matemáticos pelas estratégias convencionais.
Sobre a dificuldade de articulação entre os conhecimentos de naturezas diferentes Silva (2003) pontua que o saber escolar é trabalhado por meio de uma metodologia distinta da que se observa nas aprendizagens que ocorrem no dia a dia, fora da escola. As metodologias de ensino formal se utilizam de regras e simbolismos; por outro lado, as aprendizagens que se dão a partir das atividades cotidianas comumente não apresentam generalidade conceitual, aspecto que limita a análise de situações que não estejam dentro dos esquemas já dominados pelos sujeitos.
Para exemplificar a ideia posta no parágrafo anterior Silva (2003) cita os resultados obtidos nos trabalhos de Schliemann, Carraher e Nunes (2003) que demonstraram desempenho muito superior nas atividades cotidianas fora da escola, em comparação com as atividades de natureza escolar. Tais atividades incluíram o trabalho de marceneiros, atividade de compra e venda por crianças na feira livre, entre muitos outros.
Tendo em vista os aspectos mencionados nos parágrafos anteriores, alguns pesquisadores (Brito, 2011; Meira, 1993; Spinillo, 2005) propõem que a aprendizagem de conteúdos matemáticos formais seja ancorada nos conhecimentos prévios e informais, com a finalidade de que estes últimos atuem como mediadores no domínio de técnicas mais sofisticadas e sistematizadas. O educador pode trabalhar com esses conhecimentos prévios a fim de manipulá-los como objeto de estímulo, de explicação, análise e compreensão dos conteúdos matemáticos.
Sobre os conhecimentos prévios Brito (2011) considera que as aprendizagens anteriores, sejam elas de ordem cognitiva, afetiva, comportamental, que são oriundas das experiências cotidianas e informais são essenciais, partindo da premissa que os conhecimentos complexos
são construídos com base nessas experiências. De forma geral, a autora faz a seguinte consideração: “O conhecimento escolar construído pelo sujeito usa formas significativas próprias a partir de estabelecimento de elos significativos entre o novo material e os elementos já presentes na estrutura cognitiva” (Brito, 2011).
Reconhecendo a utilidade dos conhecimentos apreendidos fora do contexto escolar Spinillo (2005) pontua a influência mútua entre o conhecimento extraescolar e o escolar no campo do ensino da matemática, considerando essa influência em duas direções: (i) do conhecimento escolar sobre o extraescolar que está relacionado à aplicação dos conhecimentos aprendidos na escola nas situações cotidianas; (ii) o segundo tipo de relacionamento seria o contrário, o conhecimento extraescolar sobre o conhecimento, no qual se utiliza dos conhecimentos aprendidos fora da escola para mediadores na aprendizagem dos conhecimentos escolares.
O presente estudo se debruçou sobre o segundo tipo de relacionamento do conhecimento extraescolar sobre o escolar, partindo da prerrogativa que no contexto escolar os conhecimentos informais dos estudantes sobre o mundo devem ser manipulados como objeto de explicação, análise e compreensão dos conteúdos matemáticos.
Para fins deste estudo, o conhecimento extraescolar e o conhecimento escolar serão definidos a partir da perspectiva tomada por Spinillo (2005). Essa autora concebe que o conhecimento extraescolar faz referência ao informal, à ideia de assistemático; seria, pois, o conhecimento que emerge das experiências cotidianas. Já o conhecimento formal é percebido como de natureza científica, consiste em um conhecimento formal e sistemático, que está relacionado às aprendizagens decorrentes do ensino escolar. Desse modo, considerar o conhecimento extraescolar no ensino formal é percebido como uma ferramenta que auxilia o desenvolvimento do conhecimento matemático científico.
Dentro dessa perspectiva do desenvolvimento dos conceitos matemáticos, a resolução de problemas é apontada na literatura (Smole & Diniz, 2001) como ferramenta potente a ser explorada em sala de aula, pois apesar de a disciplina de matemática apresentar diferentes competências implicadas na aprendizagem dos conceitos, a resolução de problemas é uma das finalidades do ensino. Entretanto, Smole e Diniz (2001) e Dante (2000) ressaltam que não basta utilizar problemas matemáticos como ferramenta metodológica; é necessário que haja uma finalidade para o uso de conteúdos que envolvem a realidade dos estudantes, ao passo que deve habilitá-los a resolverem situações que demandam as diferentes atividades humanas.
Existem na literatura alguns autores (Brito, 2011; Dante, 2000; Polya, 1978) que salientam a necessidade de distinguir entre exercício matemático e problema matemático. O
primeiro se refere a situações dadas que têm a finalidade de exercitar, treinar, praticar determinado procedimento matemático que já tenha recebido instrução formal e precisa ser dominado pelo estudante. Já o problema matemático não tem por objetivo, a priori, treinar um procedimento, mas levar o estudante a pensar sobre as relações matemáticas, uma vez que os caminhos para chegar à resposta não são tão óbvios (Dante, 2000; Polya, 1978).
Neste sentido, constata-se que um exercício matemático tem o objetivo de treinar técnicas e procedimentos, já o problema requer que o estudante pense sobre as relações subjacentes à situação dada e trace um caminho/procedimento(s) para solucioná-lo, uma vez que a resolução não é imediata e por métodos já conhecidos como acontece com os exercícios. A perspectiva de problemas matemáticos apresentada será adotada nesta investigação, pois se acredita que os tipos de situações propostas nos problemas possibilitam ao estudante o desenvolvimento na autonomia do pensar e aplicação dos conceitos sobre os fenômenos do mundo real.
Sobre esse assunto Vergnaud (2009a) sinaliza que o maior desafio da educação é atribuir significado aos problemas para concatenar conhecimentos teóricos e práticos que estimulem os estudantes a pensar. Para tanto, este autor defende que é necessário propiciar ao estudante uma diversidade de situações problemas para que ele possa apreender as relações subjacentes aos conceitos, bem como utilizar diferentes formas de representação.
Vergnaud (ibid.) considera que a atribuição de sentido ao conceito se dá a partir de problemas que demandam resolução, dito em outras palavras, as elaborações relativas aos conceitos se dão nas situações pragmáticas de aplicação do mesmo. Desse modo, o processo de resolução de problemas possibilita o desenvolvimento de novos conceitos, como também potencializa a ampliação de conhecimentos já adquiridos.
Durante o processo de resolução de um problema Smole e Diniz (2001) apontam que os recursos de comunicação oral, escrita e pictórica aparecem naturalmente e que são esses recursos que fornecem indicativos das dificuldades e incompreensões, como também o quanto se tem domínio do conceito, pois para autora:
A partir da associação entre a perspectiva metodológica de Resolução de Problemas e a comunicação, podemos verificar que aluno, enquanto resolve situações-problema, aprende matemática, desenvolve procedimentos e modos de pensar, desenvolve habilidades básicas como verbalizar, ler, interpretar e produzir textos em matemática e nas áreas do conhecimento envolvidas nas situações propostas (Smole & Diniz, 2001, p. 95).
Portanto, a autora defende a resolução de problemas como um recurso metodológico poderoso no processo de ensino-aprendizagem e coloca que os recursos da comunicação, seja
através da oralidade ou de registros gráficos, possibilita compreender as potencialidades e dificuldades dos estudantes na relação com os diferentes conceitos. Neste sentido, é desejoso que os estudantes sejam estimulados a pensar e se percebam como atores ativos na construção do seu próprio conhecimento, o que é propiciado quando diante de problemas a solução não é algo previsível, mas exija que eles mobilizem seus conhecimentos para solucioná-los.
Dante (2000) aponta que possibilitar que o estudante utilize os conceitos matemáticos no seu dia a dia favorece que ele lide de forma mais positiva com os conteúdos matemáticos. É importante retratar aspectos da realidade dos alunos para trabalhar os conceitos na própria sala e, como já tratado no início desta fundamentação teórica, utilizar-se dos conhecimentos prévios, dos conhecimentos oriundos das experiências cotidianas, como mediadores no desenvolvimento de conceitos científicos.
Tendo em vista essa autonomia do pensar/raciocinar é interessante observar a existência de diferentes modos de resolver um problema que muitas vezes foge aos modos convencionais ensinados na escola. Isto porque os estudantes criam modos próprios para solucionar um problema, mas infelizmente as particularidades apresentadas no raciocínio dos estudantes não são comumente consideradas no ensino formal.
Compreender como os estudantes raciocinam possibilita reconhecer a riqueza do pensamento dos estudantes, de suas experiências, suas dificuldades e incompreensões. Sobre isso a TCC fornece subsídios interessantes a esta discussão que podem auxiliar o professor e o estudante no processo de ensino e aprendizado. Assim é oportuno tratar sobre tal sistema teórico.
3. TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
Este tópico foi destinado a apresentar a Teoria dos Campos Conceituais (TCC), desenvolvida por Gérard Vergnaud, explicitando os fundamentos teóricos que guiaram o desenvolvimento da pesquisa tratada nesta dissertação. Primeiramente são expostas as principais bases epistemológicas e os postulados básicos que definem o sistema teórico e posteriormente é feita uma apreciação do objeto de estudo, o campo conceitual das estruturas multiplicativas e mais especificamente o raciocínio proporcional, a partir da compreensão daquela teoria.
Vergnaud é considerado um teórico neopiagetiano por ter definido novas concepções para o estudo do funcionamento cognitivo no domínio específico, ampliando as reflexões sobre o estudo das operações lógicas gerais, idealizado por Piaget. Ele propôs estudar o
funcionamento cognitivo do “sujeito-em-situação” tomando como referência o próprio conteúdo e a análise conceitual do domínio do conhecimento (Vergnaud,1990; 1986; 2011).
Na formulação de sua teoria Vergnaud se aproximou simultaneamente de uma visão individualista da construção da inteligência e deixou clara a sua crença na influência da cultura no processo do conhecer pelo aprendiz. Nessa direção, suas formulações têm forte influência da teoria vygostkiana pela importância atribuída à interação social, à linguagem e à simbolização como elementos fundamentais no progressivo domínio de um campo conceitual (Grossi, 2001a; Moreira, 2011).
Moreira (2011) pontua que as ideias concebidas por Vergnaud têm muito das experiências vivenciadas em sala de aula e, por isso, ele se interessou muito em estudar as dificuldades dos alunos em função dos diferentes conteúdos do conhecimento e de como a aprendizagem acontece em lócus.
Nessa direção, a TCC pressupõe que o conhecimento é adquirido pelo sujeito em sua interação com diferentes situações de aplicação de um determinando conceito, uma vez que é nessas aplicações que o mesmo adquire significado para o sujeito. Assim Vergnaud acredita que não é possível estudar com excelência o funcionamento cognitivo a partir do estabelecimento de lógicas gerais de pensamento por não ser possível identificar as continuidades e rupturas do processo de conhecimento do aprendiz, ao passo que isso só é possível se considerarmos que as dificuldades têm relação direta com as especificidades de cada conteúdo/conceitos (Vergnaud, 1990; 2011).
Alguns conceitos-chave são fundamentais para uma maior compreensão desse aporte teórico, dentre eles destaca-se: (i) a noção de campo conceitual; (ii) o conceito de esquemas; (iii) situações; (iv) invariantes operatórios e (v) as concepções desse autor acerca da definição de conceito.
Em suas formulações teóricas Vergnaud concebeu que os conhecimentos são organizados em campos conceituais. Nos seus trabalhos são encontradas várias definições para este termo, que se complementam e traduzem a complexidade da ideia que ela representa. Uma dessas definições versa que um campo conceitual pode ser entendido como um conjunto de situações e de conceitos que mantêm uma relação de interpendência entre si e que atuam no processo de aprendizagem. Em outras palavras, um campo conceitual pode ser entendido como um conjunto de situações, que para lidar com elas exige do sujeito um conjunto de conceitos de diferentes naturezas (Vergnaud 1986; 1990; 2009; 2009a). Buscando explicitar melhor a sua compreensão acerca deste conceito Vergnaud (2009a, p.29) pontua que um campo conceitual:
É ao mesmo tempo um conjunto de situações e um conjunto de conceitos: o conjunto de situações cujo domínio progressivo pede uma variedade de conceitos, de esquemas e de representações simbólicas em estreita conexão; o conjunto de conceitos que contribuem com o domínio dessas situações. De acordo com a definição acima Vergnaud (1986; 1990; 2009a) concebe que um campo conceitual compreende um conjunto de problemas e situações que permite trabalhar os conceitos, procedimentos e diferentes tipos de representação, sendo que todos esses elementos estão interconectados.
A partir das formulações teóricas de Vergnaud acerca do campo conceitual, Moreira (2011, p. 206) integrou as ideias-chaves acerca desse conceito que resultou numa definição mais completa:
Campos conceituais é um conjunto informal e heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de pensamento, conectados uns aos outros e, provavelmente, entrelaçados durante o processo de aquisição.
Esta definição abarca satisfatoriamente a concepção que norteou o trabalho relatado na dissertação. Feitos esses esclarecimentos, ainda algumas pontuações precisam ser explicitadas acerca do entendimento de campos conceituais. A primeira diz respeito ao fato de um determinado conceito precisar de diferentes situações para ser construído pelo aprendiz; por isso seu domínio não é possível a partir de um único tipo de situação. O outro ponto importante tem relação com o fato de ser ineficaz analisar uma situação a partir de um único conceito. E, por último mas não de menor importância, com a particularidade de os campos conceituais não serem dominados pelos sujeitos em poucos meses, seu processo de domínio é progressivo, compreende as experiências, maturidade, aprendizagem e ocorre ao longo de um largo período de tempo (Vergnaud, 1990).
Como pode ser observado na definição de campos conceituais, os conceitos são elementos componentes daquele. Na Teoria dos Campos Conceituais a compreensão de conceito é de fundamental importância, uma vez que essa teoria supõe que a conceitualização do real é o núcleo do desenvolvimento cognitivo.
A definição de conceito evoca uma terna - S, I, R - composta por dimensões essenciais, a saber: S – corresponde a um conjunto de situações que subsidiam a compreensão do conceito; I – faz referência a um conjunto de invariantes, que são relativos a objetos, propriedades, relações e que possibilitam dominar as situações referidas como S; e por último R – que diz respeito a um conjunto de representações que permitem representar as situações e os invariantes, podendo ser simbólicas, gráficas, dentre outras.
Assim, um conceito é composto por esses três elementos sendo que: as situações dão sentido ao conceito e, por isso, dizem respeito ao referente; já o conjunto de invariantes operatórios diz respeito ao significado; e o conjunto de representações linguísticas e não linguísticas representam o conceito simbolicamente e expressa as propriedades dos conceitos apropriadas para as diferentes situações (Vergnaud, 1986; 2001; 2009 a; 2011).
Embora Vergnaud atribua grande valor aos conceitos nas suas formulações acerca dos campos conceituais, as situações ganham destaque em sua teoria, ao passo que são elas que dão sentido aos conceitos. Para esse teórico o conceito de situações compreende um conjugado de tarefas que apresentam diferentes níveis de complexidades e é a partir delas que o sujeito atribui sentido ao conceito.
Entretanto, é válido esclarecer que o sentido não está nas situações em si, nem nas palavras e nem nos símbolos, o sentido é uma relação entre o sujeito e as situações e os significantes (Vergnaud, 2011). Essa relação de atribuição de sentido é calcada nos esquemas que o sujeito dispõe e que são mobilizados no momento em que se depara com as situações. Sobre essa ideia, e utilizando como exemplo o conceito de adição, Moreira (2011, p. 211) comenta:
[...] o sentido de adição para um sujeito individual é o conjunto de esquemas que ele pode utilizar para lidar com situações com as quais se defronta e que implicam a ideia de adição; é também o conjunto de esquemas que ele pode acionar para operar sobre os símbolos numéricos, algébricos, gráficos e linguísticos que representam a adição.
Assim, os diferentes tipos de situações podem mobilizar diferentes esquemas ou subconjuntos de esquemas. Os esquemas mobilizados para lidar com uma situação referente à adição não traduzem todos os esquemas que o sujeito dispõe sobre a adição, uma vez que o sentido atribuído a uma situação particular não é o mesmo da adição enquanto campo conceitual; isto quer dizer que o sentido particularmente atribuído a uma dada situação se dá a partir da mobilização de subconjuntos de esquemas disponíveis.
Em súmula, tendo em vista os aspectos teóricos tratados sobre o conceito de situações, para que o estudante domine um conceito é fundamental trabalhar com situações de natureza diversificada. Dessa forma é ofertada ao aluno a condição de apreender as relações subjacentes aos conceitos a partir da diversidade de elaborações que podem ser construídas através da mobilização dos esquemas disponíveis.
Nessa ocasião é fundamental tratar do conceito de esquema, uma vez que este já foi mencionado diversas vezes como fundamental no processo de atribuição de sentido aos conceitos. O conceito e esquema é herança da teoria formulada por Piaget e tem relação com
as formas de organização das habilidades sensório-motoras e intelectuais. Vergnaud utiliza esse conceito por conceber que é nos esquemas que estão os conhecimentos-em-ação, que são os elementos cognitivos subjacentes às ações operatórias (Vergnaud, 1986; 1990; 2009 a).
Nessa direção os esquemas estão necessariamente imbricados com as situações, uma vez que aqueles são direcionados a elas e para lidar com elas; por isso, o desenvolvimento cognitivo compreende o desenvolvimento de um amplo e variado repertório de esquemas. Como as situações com as quais os sujeitos se deparam são diversas e compreendem as várias esferas da vida, os esquemas também são de natureza diversa para possibilitar lidar com a variedade de situações e, por isso, um repertório de esquemas compreende, por exemplo, o desenvolvimento de competências sociais, afetivas e técnicas. Assim, os esquemas geram ações e contêm regras; contudo, como já mencionado, não é um estereótipo, uma vez que o encadeamento de ações se dá em função dos parâmetros de cada situação (Vergnaud, 2011).
Como já colocado anteriormente que os esquemas se referem às situações ou classes de situações, torna-se importante tratar dos tipos de situações que existem, uma vez que o funcionamento dos esquemas não é o mesmo em todas elas. As situações se distinguem e se classificam em dois tipos: (i) aquelas classes de situações diante das quais o sujeito apresenta, em seu repertório de esquemas, as competências para lidar de forma imediata com elas; e (ii) classes de situações diante das quais o sujeito ainda não apresenta todas as competências necessárias para lidar com elas, e que implicam num movimento de exploração, reflexão, tentativas e hesitações que podem levar ao sucesso ou fracasso (Moreira, 2011).
A primeira classe de situações, aquelas em que o sujeito já tem as competências necessárias em seu repertório de esquemas, as ações já são automatizadas e organizadas por um único esquema. Na segunda classe de situações não ocorre dessa forma, para lidar com essas situações o sujeito faz uso de vários esquemas, que podem gerar conflitos, e demanda um processo de acomodação, descombinação e recombinações de esquemas para alcançar a meta. Esse processo é evidente quando o sujeito se depara com situações novas, nas quais muitos esquemas podem ser evocados sucessivamente, ou até simultaneamente.
É a esse processo lógico de organização e de interação com o mundo que se referem os invariantes operatórios. Eles são mecanismos que permitem às pessoas atuarem sobre a realidade de forma eficaz. Os dois elementos, conceito-em-ação e teorema-em-ação, são denominados de invariantes operatórios e dizem respeito aos conhecimentos contidos nos esquemas (Vergnaud, 2001).
A organização invariante do comportamento direcionado a uma classe de situação, o esquema, é constituída de conceito-em-ação e teorema-em-ação. Existe uma relação dialética
