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Torção uniforme. Diferenças finitas. 25/04/2020
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Generalidades
Pretende-se encontrar soluções para casos em que um eixo de seção arbitrária é torcido (Fig.1a) pelo torque Mt. Considere-se que a barra é orientada ao longo do eixo z, com os eixos x e y contidos na seção transversal, e que a deformação do eixo consiste em: 1. rotação da seção transversal da barra, com o ângulo de torção por unidade de comprimento constante, resultando rotação de uma seção de ordenada z de 𝜃 = 𝛼𝑧;
2. empenamento (deslocamentos dos pontos da seção na direção do eixo z, normal à seção) é o mesmo para todas as seções, isto é, independente de z.
Com essas premissas a Teoria da Elasticidade mostra que as equações de equilíbrio e as condições de contorno podem ser satisfeitas, o que prova que elas são corretas.
Figura 1a − Eixo cilíndrico fixo na extremidade direita
2 A barra sendo torcida é mostrada na Fig.1a. O deslocamento da seção da barra sendo torcida é mostrado na Fig. 1b. O deslocamento de um ponto qualquer P, de coordenadas x e y, definido por um ângulo medido a partir do eixo x da seção, e raio , pode ser descrito como uma rotação em torno do centro de torção O, o ponto que não se move durante a rotação. Simplifica-se o problema fazendo o eixo z passar por esse ponto. Com ângulo de torção por unidade de comprimento constante, pequeno, os deslocamentos u (na direção de x) e v (na direção de y), do ponto P para P’são obtidos das relações:
𝑃𝑃′ ̅̅̅̅̅ = 𝜃𝜌 sin 𝛽 =𝑦 𝜌 cos 𝛽 = 𝑥 𝜌 𝑢 = −𝑃𝑃̅̅̅̅̅ sin 𝛽 ′ 𝑣 = 𝑃𝑃̅̅̅̅̅ cos 𝛽 ′ resultando 𝑢 = −𝛼𝑧𝑦, 𝑣 = 𝛼𝑧𝑥 (1)
O empenamento é uma função 𝜓(𝑥, 𝑦), somente de x e y, resultando que o deslocamento w (na direção de z) é dado por
𝑤 = 𝛼𝜓(𝑥, 𝑦) (2)
Daí, pode-se determinar as componentes de deformação, a partir da Teoria da Elasticidade, que são:
𝜀𝑥 =𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 0; 𝜀𝑦 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦= 0; 𝜀𝑧 = 𝜕𝑤 𝜕𝑧 = 0; 𝛾𝑥𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦+ 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 0 𝛾𝑥𝑧 = 𝛼 (𝜕𝜓 𝜕𝑥 − 𝑦) (3) 𝛾𝑦𝑧 = 𝛼 ( 𝜕𝜓 𝜕𝑦 + 𝑥)
e, pela lei de Hooke, as correspondentes componentes de tensão são obtidas, verificando-se só existirem tensões tangenciais (cisalhamento)
𝜎𝑥 = 𝜎𝑦 = 𝜎𝑧= 0
𝜏𝑥𝑧 = 𝐺𝛼 (𝜕𝜓
𝜕𝑥 − 𝑦) (4)
𝜏𝑦𝑧 = 𝐺𝛼 (𝜕𝜓 𝜕𝑦+ 𝑥)
3 Se essas relações forem substituídas na equação de equilíbrio de tensões da Teoria da Elasticidade, considerando forças de massa nulas, comprova-se que
𝜕𝜏𝑥𝑧 𝜕𝑥 +
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦 = 0. (5)
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Função de tensão de Prandtl
A seguir, procura-se uma função de tensão 𝜙(𝑥, 𝑦) para esse problema. A Equação 5 é satisfeita por uma função desse tipo da qual se derivem as tensões por
𝜏𝑥𝑧 =𝜕𝜙
𝜕𝑦, 𝜏𝑦𝑧 = − 𝜕𝜙
𝜕𝑥. (6)
Substituindo essas relações em (3) tem-se 𝜕𝜙 𝜕𝑦 = 𝐺𝛼 ( 𝜕𝜓 𝜕𝑥 − 𝑦), − 𝜕𝜙 𝜕𝑥 = 𝐺𝛼 ( 𝜕𝜓 𝜕𝑦 + 𝑥) . (7)
Diferenciando a primeira dessas relações em y e a segunda em x, verifica-se que a função de tensão é a solução da Equação Diferencial Parcial
∇2(∅) =𝜕2𝜙 𝜕𝑥2 +
𝜕2𝜙
𝜕𝑦2 = −2𝐺𝛼 . (8)
Essa é a função de tensão de Prandtl para solução de problemas de torção. Tais problemas são, em geral, resolvidos pelo chamado método inverso, da mesma forma como feito para estados planos de tensão e de deformação. Ou seja, uma função de tensão de Prandtl é proposta que satisfaz a Equação 8. A seguir, serão impostas as condições de contorno e descoberto o problema para o qual a função é a solução. Vale observar que tanto a função 𝜙 como a 𝜓 poderiam ser usadas para isso. Embora 𝜓 leve à Equação de
Laplace, que é um pouco mais fácil de ser resolvida, as condições de contorno são mais
fáceis de expressar para a função 𝜙 de Prandtl, sendo por isso a mais utilizada. Ambas têm como solução as equações bi-harmônicas.
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Condições de contorno
Na Teoria da Elasticidade demonstra-se que a condição de contorno necessária para a Função de Prandtil é 𝜙 = 𝐶 ao longo do contorno, com C uma constante arbitrária que pode ser tomada como nula para a maioria dos casos.
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𝑥2+ 𝑦2 = 𝑎2 . (9)
Por isso, a quantidade 𝑥2+ 𝑦2− 𝑎2é zero no contorno de uma barra de seção circular de raio a. Isso implica que a função
𝜙 = 𝐴(𝑥2+ 𝑦2− 𝑎) (10)
é uma função adequada para torção dessa barra, com a constante 𝐴 = −𝐺𝛼/2. No geral, se for escrita uma equação descrevendo o perímetro da barra, então pode-se usá-la como função de tensão do problema. Inversamente, adotando-se uma função de torção, pode-se determinar a forma da seção da barra. Assim, a função:
𝜙 = 𝐵(𝑥 − √3𝑦)(𝑥 + √3𝑦)(ℎ − 𝑥) (11)
é uma função de tensão adequada para uma barra de seção triangular equilátera.
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Torção imposta
Figura 3 − Tensões tangenciais na extremidade torcida do eixo Trata-se, agora, das extremidades, onde as condições de contorno são
𝑋̄ = 𝜏𝑧𝑥, 𝑌̄ = 𝜏𝑧𝑦. (12)
Essas tensões tangenciais, de cisalhamento, em N/m², multiplicadas pela área elementar dxdy, em m², resultam forças, em N, que multiplicadas pelos braços de momento x e y, em m, resultam um momento, em Nm, em torno de z que equilibra o torque Mt aplicado à barra, com sinais dados pela regra da mão direita:
𝑀𝑡 = ∫ ∫(𝜏𝑧𝑦𝑥 − 𝜏𝑧𝑥̄ 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 (13)
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𝑀𝑡 = 2 ∫ ∫ 𝜙𝑑𝑥𝑑𝑦. (14)
Como exemplo, para a função de Prandtl da Eq. 10, para uma seção circular de raio a, tem-se: 𝛼 = 𝑀𝑡 𝐺𝐼𝑝, 𝐼𝑝 = 𝜋 2𝑎 4
Da função da Eq. 10 se pode determinar as tensões tangenciais (cisalhamento) pela Eq.6. O valor máximo ocorre no perímetro da seção e vale
𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑡 𝐼𝑝 𝑎
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Seção elíptica
O contorno de uma barra de seção elíptica pode ser representado pela equação 𝑥2
𝑎2+ 𝑦2
𝑏2 = 1 . (15)
Adota-se uma função de tensão na forma
𝜙 = 𝐴 (𝑥2 𝑎2+
𝑦2
𝑏2− 1) (16)
que satisfaz a Equação (8) com
𝐴 = − 𝑎2𝑏2
𝑎2+𝑏2𝐺𝛼. (17)
Pode-se eliminar as constantes G e calculando o momento de torção. Da Equação 7,
𝑀𝑡 = 2𝐴 (∫ ∫𝑥𝑎22𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∫ ∫ 𝑦2
𝑏2𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦). (18) A última dessas integrais é a área da seção, ab. As outras duas são os momentos
de inércia de uma elipse,
∫ ∫ 𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐼𝑦 = 𝜋𝑏𝑎2 4 , ∫ ∫ 𝑦 2𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐼 𝑥 = 𝜋𝑎𝑏2 4 (19) assim, 𝑀𝑡 = −𝐴𝜋𝑎𝑏 . (20)
6 𝜙 = − 𝑀 𝜋𝑎𝑏( 𝑥2 𝑎2+ 𝑦2 𝑏2− 1). (21)
Dessa função se pode determinar as tensões tangenciais (cisalhamento) pela Eq.6. Note-se que a máxima tensão tangencial (cisalhamento) acontece no ponto da periferia mais próximo do centro de torção, isto é, no raio menor da elipse.
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Solução por Diferenças Finitas
Das seções precedentes deste capítulo, sabe-se que as tensões tangenciais (cisalhamento) atuantes na seção transversal de barras prismáticas sob torção pura podem ser obtidas a partir da função de tensão de Prandtl𝛷(𝑥, 𝑦), tal que
𝜏𝑧𝑥 =𝜕𝛷
𝜕𝑦 e 𝜏𝑧𝑦= − 𝜕𝛷
𝜕𝑥 (25)
obedecendo a equação diferencial de segunda ordem
𝛻2∅ = −2𝐺𝛼 ou 𝜕
2∅ 𝜕𝑥2+
𝜕2∅
𝜕𝑦2= −2𝐺𝛼 (26)
também conhecida como Equação de Poisson, em que G é o módulo de elasticidade transversal do material e é o ângulo de torção unitário (constante ao longo do eixo da barra), com a condição de contorno 𝛷 = constante no perímetro da seção. Essa constante é, normalmente, considerada nula. É um problema de Dirischlet.
Para seções gerais a função de Prandtl nem sempre é possível de ser obtida explicitamente e se recorre a método numéricos, como Diferenças Finitas.
Para seções retangulares, se a seção for discretizada por uma malha retangular com divisões de comprimento hx na direção de x e hy na direção de y, podem ser escritas as aproximações de diferenças finitas para as derivadas parciais do Laplaciano, calculadas em um ponto da linha i, coluna j da malha:
(𝜕 2∅ 𝜕𝑥2) 𝑖,𝑗 = 1 ℎ𝑥2(∅𝑖,𝑗+1− 2∅𝑖,𝑗+ ∅𝑖,𝑗−1) (𝜕 2∅ 𝜕𝑦2) 𝑖,𝑗 = 1 ℎ𝑦2 (∅𝑖+1,𝑗− 2∅𝑖,𝑗+ ∅𝑖−1,𝑗)
A Fig. 4 a seguir mostra a seção transversal quadrada de uma barra prismática, com lados iguais a 2a, submetida a torção pura dada por um torque T. Serão determinadas as
7 tensões de cisalhamento atuantes na seção resolvendo o problema de contorno de Prandtl via diferenças finitas, discretizando a seção com uma malha 4 x 4, com ℎ= ℎ𝑥= ℎ𝑦 = 𝑎/2.
Figura 4 ‒ Barra prismática de seção quadrada sob torção
Dadas as simetrias do problema, será necessário escrever a equação diferencial, em forma de diferenças finitas, apenas nos três pontos indicados na Fig. 4, dada as simetrias do problema, e lembrando que a função é nula no contorno.
Ponto (0,0) ∅0,1− 2∅0,0+ ∅0,−1+ ∅1,0− 2∅0,0+ 𝛷−1,0 = −𝐺𝛼𝑎 2 2 4∅0,1− 4∅0,0 = − 𝐺𝛼𝑎2 2 Ponto (0,1) ∅0,2− 2∅0,1+ ∅ + ∅1,1− 2∅0,1+ ∅−1,1= −𝐺𝛼𝑎 2 2 −4∅0,1+ ∅0,0+ 2∅1,1 = − 𝐺𝛼𝑎2 2 Ponto (1,1)
8 ∅1,2− 2∅1,1+ ∅1,0+ ∅2,1− 2∅1,1+ ∅0,1 = −𝐺𝛼𝑎 2 2 −4∅1,1+ 2∅0,1 = −𝐺𝛼𝑎2 2 O sistema algébrico linear resultante é
[ 4 −4 0 −4 1 2 2 0 −4 ] { ∅0,1 ∅0,0 ∅1,1 } = −𝐺𝛼𝑎 2 2 { 1 1 1 } cuja solução é { 𝛷0,1 𝛷0,0 𝛷1,1 } = 𝐺𝛼𝑎2{ 0,4375 0,5625 0,3437 }
Com esses valores da função de tensão de Prandtl, é possível, agora, determinar o ângulo de torção unitário aproximando numericamente a integral da equação 14:
𝑇 = 𝑀𝑡 = 2 ∫ ∫ 𝜙𝑑𝑥𝑑𝑦 ≈ (𝑎 2
4) (∅0,0+ 4∅0,1+ 4∅1,1)
As tensões tangenciais (cisalhamento) são obtidas das Eqs. 6 (ou 25). O melhor método é interpolar um polinômio que passe pelos valores da função determinados nos pontos escolhidos e no valor nulo no contorno, sobre o eixo x. No caso
∅(𝑥) = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 [ 1 0 0 1 𝑎/2 𝑎2/4 1 𝑎 𝑎2 ] { 𝑎0 𝑎1 𝑎2 } = { ∅0,0 ∅0,1 0 }
A derivada desse polinômio (parábola), dá o valor da tensão nesses pontos. Como se sabe da Teoria da Elasticidade, as tensões máximas ocorrem no perímetro da seção, nos pontos mais próximos do eixo. No exemplo, no meio dos lados do quadrado.
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Problema completo
Considere-se um eixo de alumínio (G = 2800 KN/cm²), comprimento 2 m, de seção retangular de base 8 cm e altura 4 cm, submetido a um momento de torção Mt= 100 KNcm. Utilizando diferenças finitas, com malha hx=2 cm na direção de x e hy=1 cm na
9 direção de y, determinar: a) o ângulo de torção entre as extremidades do eixo; b) a tensão tangencial máxima. Vide figura 5.
Figura 5: seção do eixo
7.1 Aplicação da equação diferencial nos pontos internos do domínio
Ponto 0,0 (𝛻2∅) 0,0 = 1 22(∅0,1− 2∅0,0+ ∅0,−1) + 1 12(∅1,0− 2∅0,0 + ∅−1,0) = −2𝛼𝐺 Ponto 0,1 (𝛻2∅) 0,1 = 1 22(∅0,2− 2∅0,1+ ∅0,0) + 1 12(∅1,1− 2∅0,1+ ∅−1,1) = −2𝛼𝐺 Ponto 1,0 (𝛻2∅) 1,0 = 1 22(∅1,1− 2∅1,0+ ∅1,−1) + 1 12(∅2,0− 2∅1,0+ ∅0,0) = −2𝛼𝐺 Ponto 1,1 (𝛻2∅) 1,1 = 1 22(∅1,2− 2∅1,1+ ∅1,0) + 1 12(∅2,1− 2∅1,1+ ∅0,1) = −2𝛼𝐺
7.2 Solução do sistema de equações
Levando em conta as condições de contorno, ∅0,2 = ∅2,0 = ∅1,2 = ∅2,1 = 0 Por simetria, ∅0,−1= ∅0,1,, ∅−1,0= ∅1,0, ∅−1,1= ∅1,1
10 [ 2,5 −0,5 −0,25 2,5 −2 0 0 −2 −1 0 0 −1 2,5 −0,5 −0,25 2,5 ] { ∅0,0 ∅0,1 ∅1,0 ∅1,1} = 𝛼𝐺 { 2 2 2 2 } cuja solução é { ∅0,0 ∅0,1 ∅1,0 ∅1,1} = 𝛼𝐺 { 3,5122 2,9463 2,6537 2,2439 }KN/cm 7.3 Ângulo de torção 𝑀𝑡 = 2 ∫ ∅ 𝑑𝐴 𝐴 ≈ 2 ∑ ∅𝑖,𝑗ℎ𝑥ℎ𝑦 𝑖=1 𝑗=1 𝑖=−1 𝑗=−1 𝑀𝑡 ≈ 2(∅0,0+ 2∅0,1+ 2∅1,0+ 4∅1,1) ∗ 1 ∗ 2 = 94,7512𝛼𝐺 KNcm
Com os valores numéricos dados, 𝛼 = 3,7693x10-04 rad/cm, e o ângulo de torção total para o eixo de 2 m de comprimento será 0,0753854 rad.
7.4 Tensão tangencial
A tensão tangencial máxima ocorre na periferia da seção, no ponto mais próximo do eixo da peça, ou seja, neste caso, no ponto 2,0. Para sua obtenção será ajustada uma parábola ∅𝑦,0 = 𝑎0+ 𝑎1𝑦 + 𝑎2𝑦2 para y = 0, 1, 2 [ 1 0 0 1 1 1 1 2 4 ] { 𝑎0 𝑎1 𝑎2} = { ∅0,0 ∅1,0 ∅2,0 } resultando, ∅𝑦,0 = (3,5122 + 0,039𝑦 − 0,8976𝑦2)𝛼𝐺 𝜏𝑧𝑥 = 𝜕∅ 𝜕𝑦 = 0,039 − 1,7951𝑦 (𝜏𝑧𝑥)𝑦=2 = ( 𝜕∅ 𝜕𝑦)𝑦=2 = −3,551𝛼𝐺 = −3,7477 KN/cm²
