Um modelo híbrido de simulação em tempo real para estimação de desgaste de equipamentos: uma aplicação na área de perfuração de poços

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Rodolfo Wilvert Reitz

UM MODELO HÍBRIDO DE SIMULAÇ ÃO EM TEMPO REAL PARA ESTIMAÇ ÃO DE DESGASTE DE EQUIPAMENTOS: UMA APLICAÇ ÃO NA ÁREA DE

PERFURAÇ ÃO DE POÇ OS

Disserta¸cão submetida ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Ciência da Com-puta¸cão da Universidade Federal de Santa Catarina para a obten¸cão do Grau de Mestre em Ciência da Com-puta¸cão.

Orientador

Universidade Federal de Santa Cata-rina: Paulo Jos´e de Freitas Filho, Dr.

Florian´opolis 2018

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Rodolfo Wilvert Reitz

UM MODELO HÍBRIDO DE SIMULAÇ ÃO EM TEMPO REAL PARA ESTIMAÇ ÃO DE DESGASTE DE EQUIPAMENTOS: UMA APLICAÇ ÃO NA ÁREA DE

PERFURAÇ ÃO DE POÇ OS

Esta Disserta¸cão foi julgada aprovada para a obten¸cão do T´ıtulo de “Mestre em Ciência da Computa¸cão”, e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-Gradua¸cão em Ciência da Computa¸cão da Universidade Federal de Santa Catarina.

Florian´opolis, 21 de junho 2018.

Prof. Jos´e Lu´ıs Almada G¨untzel, Dr. Coordenador do Programa Banca Examinadora:

Prof. Paulo Jos´e de Freitas Filho, Dr. Universidade Federal de Santa Catarina

Orientador

Profa. Silvia Modesto Nassar, Dra. Universidade Federal de Santa Catarina

Prof. Mauro Roisenberg, Dr. Universidade Federal de Santa Catarina

Prof. Carlos Magno Couto Jacinto, Dr. Universidade Federal Fluminense

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Dedico este trabalho aos meus pais, Fran-cisco e Arlete e `a minha esposa L´ıdia.

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AGRADECIMENTOS

A Deus por ter me dado esta oportunidade, sa´ude e for¸ca para superar as dificuldades.

Aos meus pais, pelo amor, incentivo e apoio incondicional. Ao meu orientador, Prof. Paulo Jos´e de Freitas Filho, pela con-fian¸ca, amizade e paciˆencia. Obrigado pelos suportes e ensinamentos compartilhados.

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A minha esposa L´ıdia Carolina da Luz, pelo amor, companhei-rismo e pela paciˆencia.

Aos amigos e membros diretos e indiretos do laborat´orio Perfor-manceLab da UFSC que fizeram parte da minha pesquisa: Arnoldo, Arthur, Diego, Jo˜ao, Lucas, Tiago, Mariana, Sanjay.

`

A Coordena¸cão de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Supe-rior pelo recurso do Programa de Demanda Social (CAPES/DS) que promoveu esta pesquisa associada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Ciência da Computa¸cão da UFSC.

Ao Centro de Pesquisas da Petrobras (CENPES), pelos investi-mentos em projetos de pesquisa e desenvolvimento junto ao laborat´orio PerformanceLab.

A todos os professores que fizeram parte da minha vida. Enfim, a todos que de uma forma ou de outra contribu´ıram para a realiza¸c˜ao desta disserta¸c˜ao. Muito obrigado!

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RESUMO

A minimiza¸cão do custo de perfura¸cão de um po¸co de petróleo é al-can¸cada principalmente pela redu¸cão do tempo necessário para com-pletar a opera¸cão, que por sua vez, pode ser obtida através do aumento da taxa de perfura¸cão, em inglês Rate of Penetration (ROP). A ROP é resultante de uma combina¸cão de fatores, como a forma¸cão litológica, os parâmetros operacionais aplicados e o desgaste da broca. Esta dis-serta¸cão aborda o desgaste de brocas durante a perfura¸cão, usando um método que combina uma equa¸cão f´ısica, técnicas de análise de risco e minera¸cão de dados para estimar o comportamento do desgaste da broca, representado através de uma distribui¸cão de probabilidades para cada metro perfurado em tempo real. O método recebe como entrada dados históricos de opera¸cões de perfura¸cão contendo os parâmetros operacionais aplicados, os perfis litológicos encontrados por metro até a troca da broca, incluindo o desgaste final observado da broca. O método utiliza clusteriza¸cão para identificar os principais cenários da opera¸cão, e distribui¸cões de probabilidades para representarem o com-portamento das variáveis e coeficientes do modelo anal´ıtico empregado. Experimentos foram conduzidos com dados reais para testar a validade e acurácia do método e os resultados demonstraram a relevância desta abordagem.

Palavras-chave: Simula¸cão, Monte Carlo, Análise de riscos, Desgaste de brocas, Minera¸cão de dados.

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ABSTRACT

Minimization of the cost of drilling an oil well is primarily achieved by reducing the operation completion time, which in turn can be achieved by increasing the Rate of Penetration (ROP). The ROP is the result of a combination of factors, such as lithological formation, operatio-nal parameters, and bit wear. This paper addresses bit wear during drilling, using a method that combines a physical equation, techni-ques for risk analysis, and data mining to estimate the behavior of bit wear, represented by a probability distribution for each drilled meter in real time. The method receives as input historical data from drilling processes containing used operational parameters, observed lithologi-cal profiles per meter until the drill change, including observed final drill wear. The method employs clustering to identify the main opera-ting scenarios and probability distributions to represent the behavior of the variables and coefficients of the analytical model employed. Ex-periments were conducted with real-world data to test the method’s validity and accuracy and the results demonstrated the relevancy of this approach.

Keywords: Simulation, Monte Carlo, Risk Analysis, Drill Bit Wear, Data Mining.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Fluxograma k-means. . . 26

Figura 2 Representa¸c˜ao esquem´atica de um modelo de sistema. . 27

Figura 3 Classifica¸c˜ao dos sistemas. . . 28

Figura 4 Distribui¸c˜ao de frequˆencias relativas acumulada para os tempo entre chegadas. . . 31

Figura 5 Ilustra¸c˜ao da rela¸c˜ao entre F(x) e G(F(x)). . . 32

Figura 6 Representa¸c˜ao esquem´atica do MMC. . . 35

Figura 7 An´alise, avalia¸c˜ao e controle de riscos. . . 36

Figura 8 Modelo gravata borboleta (bow-tie model ). . . 37

Figura 9 Primeira etapa do método: clusteriza¸cão dos dados e fitting das PDF para cada variável em cada cluster. . . 44

Figura 10 Atualiza¸c˜ao dos conjuntos de dados gerados para um registro i = 3 em um conjunto de dados hist´orico h. . . 45

Figura 11 Conjuntos de dados gerados a partir de um conjunto de dados hist´oricos h. . . 45

Figura 12 Etapa de identifica¸c˜ao da PDF para o coeficiente Wc de um determinado conjunto de dados hist´oricos h. . . 46

Figura 13 Atualiza¸c˜ao dos conjuntos de dados em gera¸c˜ao em um determinado metro i. . . 47

Figura 14 Aplica¸c˜ao dos conjuntos gerados no modelo anal´ıtico. . . 48

Figura 15 Clusters obtidos na etapa 1. . . 50

Figura 16 PDF identificadas (fitting) em trˆes clusters. . . 51

Figura 17 PDF identificadas para o coeficiente Wcem trˆes corridas hist´oricas. . . 51

Figura 18 Comparativo entre o desgaste real e o desgaste previsto nas corridas de teste. . . 52

Figura 19 Desgastes simulados por metro para a corrida 5 da Figura 18. . . 53

Figura 20 Histogramas das simula¸c˜oes dos metros 64, 128, 192 e 254 para a corrida 5 da Figura 18. . . 53

Figura 21 Comparativo entre o desgaste real e o desgaste previsto nas corridas utilizadas para aderir as distribui¸c˜oes. . . 54

Figura 22 RMSE obtidos em 1000 execu¸c˜oes do m´etodo proposto com diferentes corridas para fitting das PDCs e para teste. . . 55

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Figura 23 RMSE obtidos em 1000 execu¸cões do método proposto com diferentes corridas para fitting das PDCs e para teste. . . 56 Figura 24 RMSE obtidos em 500 execu¸cões do método com corri-das diferentes para fitting e teste, usando dados de brocas do tipo Impregnada. . . 57

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Corridas onde o motivo da retirada foi por ROP baixa. 22 Tabela 2 Tempo em minutos entre chegadas de automóveis em um posto de lava¸cão. . . 30 Tabela 3 Distribui¸cão de frequências para os tempo entre chega-das. . . 30 Tabela 4 Sugestão de estimadores. . . 33

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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

VUR Vida ´Util Restante MMC M´etodo Monte Carlo ROP Rate of Penetration

PDF Fun¸cão Densidade de Probabilidade GNA Gerador de Números Aleatórios GR Gerenciamento de Riscos BYM Modelo de Bourgoyne e Young PDC Polycrystalline Diamond Compact RPM Rota¸cões Por Minuto

PSB Peso Sobre a Broca

CCS Confined Compressive Strength Abr Abrasividade

UCS Unconfined Compressive Strength RMSE Root-Mean-Square Error

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SUM ÁRIO 1 INTRODUÇ ÃO . . . 21 1.1 CONTEXTUALIZAÇ ÃO . . . 21 1.2 PROBLEMA . . . 21 1.3 JUSTIFICATIVA E MOTIVAÇ ÃO . . . 22 1.4 OBJETIVO GERAL . . . 22 1.5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS . . . 23 1.6 ESTRUTURA DA DISSERTAÇ ÃO . . . 23 2 BASE CONCEITUAL . . . 25 2.1 AGRUPAMENTOS . . . 25 2.2 SIMULAÇ ÃO . . . 25

2.2.1 Classifica¸c˜ao dos Sistemas e Modelos . . . 28

2.2.2 Tratando a Variabilidade dos Sistemas . . . 29

2.2.2.1 Distribui¸c˜ao de Frequˆencias . . . 29

2.2.2.2 Fun¸c˜ao Densidade de Probabilidade (PDF) . . . 31

2.2.2.2.1Estima¸c˜ao de Parˆametros . . . 32

2.2.2.3 Testes de Aderˆencia . . . 33

2.2.2.3.1Teste Qui-quadrado . . . 33

2.2.2.3.2Teste Kolmogorov-Smirnov . . . 34

2.2.3 M´etodo Monte Carlo (MMC) . . . 35

2.3 GERENCIAMENTO DE RISCOS (GR) . . . 36

2.3.1 Gerenciamento de Riscos com M´etodo Monte Carlo 38 3 TRABALHOS RELACIONADOS . . . 39

4 M ´ETODO PROPOSTO . . . 43

4.1 ETAPA 1 . . . 43

4.2 ETAPA 2 . . . 44

4.3 ETAPA 3 . . . 46

4.4 APLICAC¸ ˜AO EM TEMPO REAL . . . 46

5 EXPERIMENTOS E RESULTADOS . . . 49

5.1 EXPERIMENTO I . . . 49

5.2 EXPERIMENTO II . . . 54

5.3 EXPERIMENTO III . . . 55

5.4 EXPERIMENTO IV . . . 56

6 COMENT ´ARIOS FINAIS . . . 59

6.1 CONCLUS ˜AO . . . 59

6.2 TRABALHOS FUTUROS . . . 60

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1 INTRODUC¸ ˜AO

1.1 CONTEXTUALIZAC¸ ˜AO

Machine prognostics é uma área da engenharia voltada ao es-tudo de métodos para estimar a Vida Útil Restante (VUR) de um sistema, máquina ou componente (WIDODO; YANG, 2011). Existem duas abordagens principais para a estimativa da VUR (CHEN; ZHANG; VACHTSEVANOS, 2012). A primeira é f´ısica, mais complexa e dif´ıcil de desenvolver, mas oferece resultados mais precisos. A segunda op¸cão é a constru¸cão de modelos de previsão baseados em dados. Um exemplo dessa abordagem são os modelos baseados em redes neurais.

Durante a perfura¸cão de po¸cos para extra¸cão de petróleo, o com-portamento do desgaste da broca, ou VUR da broca, é um fator crucial para a previsão do custo final da opera¸cão de perfura¸cão. Contudo, não ´

e poss´ıvel medir o desgaste da broca durante a perfura¸cão (LIN; TING, 1996). Devido a essa limita¸cão, há uma série de modelos para estimar o desgaste da broca durante o processo de perfura¸cão dispon´ıveis na literatura, a maioria dos quais são anal´ıticos.

Modelos anal´ıticos e técnicas de simula¸cão podem ser combina-dos em uma abordagem h´ıbrida para análise de riscos afim de estimar a VUR da broca, servindo de apoio nas tomadas de decisões ( MOSTA-FAVI et al., 2011). Um modelo anal´ıtico pode ser utilizado para estimar o desgaste da broca e o Método Monte Carlo (MMC) pode ser empre-gado para calcular o risco (probabil´ıstico) associado ao valor estimado para o desgaste.

1.2 PROBLEMA

Embora o MMC possa ser o método mais utilizado para gerar cenários voltados a avalia¸cão de riscos, é importante que sejam tomadas certas precau¸cões ao usar esse método. Se as rela¸cões entre as variáveis não forem estudadas suficientemente e/ou não forem tratadas de forma adequada, é poss´ıvel que o método produza cenários incompat´ıveis com o sistema real, por exemplo, valores conflitantes para duas ou mais va-riáveis de entrada.

Uma importante questão relacionada aos modelos anal´ıticos para previsão do desgaste da broca em tempo real é que a maioria deles exige a inser¸cão de alguns coeficientes para alcan¸car o ajuste do modelo. Em

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geral, esses coeficientes são baseados no comportamento da variável de desgaste da broca e são identificados usando dados históricos. Portanto, se os dados de um po¸co P, perfurado no passado, são empregados como base para configurar os coeficientes do modelo, este irá gerar boas pre-visões se o po¸co a ser perfurado tiver caracter´ısticas semelhantes às do po¸co P.

1.3 JUSTIFICATIVA E MOTIVAC¸ ˜AO

Encontrar as rela¸cões entre variáveis pode ser uma tarefa com-plexa. Algumas técnicas para separar os dados em grupos (clusters), de forma que cada grupo contenha observa¸cões similares entre si, minimiza o problema do tratamento das rela¸cões entre variáveis.

Empregar um método de prognóstico para estimar o grau de des-gaste da broca é relevante para a otimiza¸cão do processo de perfura¸cão. Se a decisão de retirar a broca que está completamente desgastada é atrasada ou tomada prematuramente, o custo da perfura¸cão pode au-mentar significativamente. A Tabela 1 é a análise de uma base de dados de opera¸cões de perfura¸cão com 84 brocas, ou 84 corridas, cujo motivo de retirada da broca foi por ROP baixa. Observa-se que em cerca de 58% das corridas ocorreu a retirada precoce da broca (considera-se um desgaste alto quando o mesmo é classificado como 7 ou 8 na escala IADC Dull Grading ).

Tabela 1 – Corridas onde o motivo da retirada foi por ROP baixa. Desgaste observado 1 2 3 4 5 6 7 8

Frequˆencia 2 12 5 13 4 13 9 26 Fonte: Elaborada pelo autor (2018).

1.4 OBJETIVO GERAL

O objetivo principal deste trabalho é propor um método de si-mula¸cão que com base em dados históricos e observados na perfura¸cão em curso produz uma distribui¸cão dos prováveis valores que o desgaste da broca pode assumir.

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1.5 OBJETIVOS ESPEC´IFICOS

• Utilizar abordagem h´ıbrida com um modelo anal´ıtico para pre-vis˜ao do desgaste da broca e o MMC

• Pesquisar modelo anal´ıtico a ser utilizado nas simula¸cões. • Definir um modo para detectar os principais cenários da opera¸cão

de perfura¸cão para evitar a gera¸cão de cenários incompat´ıveis com sistema real durante as simula¸cões.

• Determinar uma forma de encontrar as distribui¸c˜oes que repre-sentaram o coeficiente do modelo anal´ıtico por conjunto de dados hist´oricos.

• Propor e avaliar o m´etodo.

1.6 ESTRUTURA DA DISSERTAC¸ ˜AO

Esta disserta¸cão está organizada em mais 5 cap´ıtulos da se-guinte forma: O cap´ıtulo 2 apresenta a base conceitual das teorias necessárias pelo método proposto, abrangendo agrupamentos, amostra-gem aleatória, MMC e gerenciamento de riscos. O cap´ıtulo 3 discute os trabalhos relacionados. O cap´ıtulo 4 descreve o método proposto. O cap´ıtulo 5 apresenta os experimentos realizados comentando os resul-tados obtidos e, finalmente, o cap´ıtulo 6 contém uma discussão sucinta sobre os resultados, sugestões de temas para trabalhos futuros e a con-clusão do estudo.

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2 BASE CONCEITUAL 2.1 AGRUPAMENTOS

Agrupamento, segundo Sumathi e Sivanandam (2006), é um pro-cesso para separar um conjunto de observa¸cões em vários grupos (clus-ters), de acordo com uma fun¸cão de similaridade, como a distância euclidiana, equa¸cão 2.1, sendo p = (p1, p2, ..., pn) e q = (q1, q2, ..., qn)

observa¸c˜oes num espa¸co n-dimensional.

D(p, q) = v u u t n X i=1 (qi− pi)2 (2.1)

Agrupamentos pode ser visto como um problema de otimiza¸cão, em que cada método vai em busca da melhor combina¸cão de grupos de acordo com a fun¸cão de similaridade empregada. Por exemplo, métodos de agrupamento que utilizam distância euclidiana têm como objetivo minimizar as distâncias entre o centroide (ou centro de massa) do clus-ter e as observa¸cões do mesmo.

Devido a sua simplicidade, k-means é o algoritmo de agrupa-mento mais popular. A Figura 1 mostra o funcionaagrupa-mento do algoritmo, que consiste principalmente de um loop que atribui cada observa¸cão no cluster mais próximo e recalcula o centroide de cada cluster. O loop só termina quando nenhuma observa¸cão mudar de cluster. Há várias ma-neiras de selecionar as k observa¸cões para serem os centroides iniciais, uma delas é selecionar aquelas que são mais distantes entre si.

2.2 SIMULAC¸ ˜AO

Pegden, Sadowski e Shannon (1995) definem simula¸cão como sendo um processo composto de 3 etapas. A primeira consiste em projetar um modelo computacional que descreve o comportamento de um sistema. Em seguida conduzir experimentos com o modelo com o propósito de entender seu comportamento. E por fim, avaliar es-tratégias para sua opera¸cão, isto é, prever o efeitos devido a altera¸cões na opera¸cão do sistema.

Um sistema pode ser definido como “um conjunto de objetos, como pessoas ou m´aquinas, que atuam e interagem com a inten¸c˜ao

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Figura 1 – Fluxograma k-means.

k = total de clusters Selecionar k centroides iniciais Recalcular centroides Cada observação é alocada

no cluster cuja distância até centroide é a menor Não Início Fim Sim Alguma observação mudou de cluster?

Fonte: Elaborada pelo autor (2018).

de alcan¸car um objetivo ou um propósito lógico” (SCHMIDT; TAYLOR, 1970). Enquanto o modelo procura imitar e criar uma história artifi-cial da atua¸cão e desempenho do sistema, geralmente o modelo é mais simplificado sobre a organiza¸cão e o funcionamento do sistema e geral-mente é expresso na forma de rela¸cões matemáticas ou lógicas que, no seu conjunto, constituem o que se denomina de modelo.

A simula¸cão permite ao usuário verificar ou encaminhar solu¸cões, com a profundidade desejada, aos problemas com os quais lida diaria-mente. Devido ao crescimento da capacidade de processamento dos computadores, a simula¸cão geralmente é realizada através de ferra-mentas computacionais que podem executar milhares de simula¸cões (KELTON, 2002). A Figura 2 ilustra o funcionamento do modelo de simula¸cão relacionando com o sistema modelado.

Devido a modelagem do sistema investigado, a simula¸cão pro-porciona ao usuário a possibilidade de realizar estudos sobre o mesmo afim de responder questões do tipo “O que aconteceria se?” sem que o sistema seja perturbado. Vale ressaltar que a simula¸cão também permite que estudos sobre sistemas em desenvolvimento afim de ob-ter melhor eficiência quando conclu´ıdo. Além disso, há outros fatores para utiliza¸cão de simula¸cão no projeto de um sistema (FREITAS FILHO, 2008):

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Figura 2 – Representa¸c˜ao esquem´atica de um modelo de sistema. Sistema do Mundo Real

Modelo de Simulação Entradas (Dados) Saídas (Respostas) Experimentação Fonte: Freitas Filho (2008).

da simula¸cão. Assim, a simula¸cão pode auxiliar a identificar poss´ıveis problemas, como gargalos, ou quais variáveis são mais importantes para o funcionamento do sistema.

• Existência de ferramentas de simula¸cão com anima¸cões do com-portamento do sistema durante as simula¸cões e com a possibi-lidade de controlar o tempo, permitindo assim estudar melhor certos momentos.

• Economia de tempo e recursos financeiros no desenvolvimento do sistema, evitando poss´ıveis mudan¸cas que s˜ao detectadas pela simula¸c˜ao.

• O comportamento do modelo de simula¸cão pode ser semelhante ao sistema modelado, e após criado, pode ser testado inúmeras vezes

Quando conclu´ıdo, experimentos com o sistema podem ser dis-pendiosos, como analisar os efeitos da troca uma pe¸ca de alto custo, ou inapropriados, por exemplo em situa¸cões de emergência, assim a simula¸cão é uma alternativa mais viável comumente empregada nesses casos.

Apesar de a simula¸cão ser uma excelente ferramenta, há cer-tos obstáculo, já que nem sempre a modelagem é uma tarefa simples, podendo requerer um treinamento especial; a interpreta¸cão dos resul-tados da simula¸cão pode ser complexa; modelagens diferentes podem ter resultados semelhantes, mas dificilmente serão iguais.

Além disso, segundo Freitas Filho (2008), a simula¸cão pode ser empregada de forma errônea, de maneira que os resultados produzidos são menos úteis que os esperados devido à pouco conhecimento da fer-ramenta de simula¸cão; objetivos com pouca clareza ou mal definidos que podem levar a resultados vagos; a constru¸cão de modelos muito

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detalhados resultam em maior tempo de desenvolvimento e uma lenta execu¸c˜ao computacional, o n´ıvel de detalhes deve ser o suficiente para satisfazer os objetivos tra¸cados; realizar conclus˜oes a partir de uma ´

unica replica¸cão, a simula¸cão de modelos que representam sistemas es-tocásticos deve ser replicada várias vezes afim de capturar os prováveis resultados.

Os motivos para utilizar simula¸cão parecem claros. Porém é o problema a ser resolvido que define os objetivos e o tipo de modelo de simula¸cão que deve ser desenvolvido.

A maioria dos modelos de simula¸cão são do tipo entrada-sa´ıda, ou seja, para determinadas entradas há respostas espec´ıficas. Assim, di-ferente dos modelos de otimiza¸cão que buscam por uma solu¸cão ótima, os modelos de simula¸cão são mais apropriados para analisar o compor-tamento do sistema para determinadas entradas.

2.2.1 Classifica¸c˜ao dos Sistemas e Modelos

Segundo Freitas Filho (2008), os sistemas podem ser classificados como estáticos ou dinâmicos, ou seja, se alteram ou não ao longo do tempo. Os sistemas dinâmicos se especificam em determin´ısticos ou ale-atórios, onde é poss´ıvel predeterminar ou não o estado de uma variável do sistema. Por fim, os sistemas aleatórios se dividem em discretos, com altera¸cões em pontos discretos do tempo, ou cont´ınuos, que se alteram continuamente ao longo do tempo. A Figura 3 ilustra as rela¸cões entre as classes apresentadas.

Figura 3 – Classifica¸c˜ao dos sistemas. Sistemas

Estáticos Dinâmicos

Determinísticos Aleatórios

Contínuos Discretos Fonte: Freitas Filho (2008).

Assim como os sistemas, os modelos são semelhante classificados. Porém é necessário que o modelo seja discreto para que se possa simular em um computador.

Este trabalho trata o desgaste da broca durante a perfura¸cão que é considerado dinâmico, aleatório e cont´ınuo, entretanto, alguns

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siste-29

mas cont´ınuos podem ser representados atrav´es de modelos discretos, como ´e o caso do desgaste da broca que pode ser discretizado para cada metro perfurado.

2.2.2 Tratando a Variabilidade dos Sistemas

Um do requisitos do modelo de um sistema estocástico é que in-corpore a variabilidade do sistema investigado, existem técnicas para reproduzir de forma semelhante essa variabilidade, como por exemplo, distribui¸cão de frequências (emp´ırica) e fun¸cão densidade de probabili-dade (teórica). Ambas as técnicas são bastante empregadas em muitos métodos para gera¸cão de amostras, como o MMC (FREITAS FILHO, 2008).

Todas as técnicas para gera¸cão de valores para variáveis aleat´ o-rias baseiam-se na prévia gera¸cão de um número r a partir de algum Gerador de Números Aleatórios (GNA) que é capaz de gerar números independentes e uniformemente distribu´ıdos no intervalo (0, 1). Dentre os vários GNA, um método bastante popular e de fácil interpreta¸cão é o método congruente linear multiplicativo.

2.2.2.1 Distribui¸c˜ao de Frequˆencias

Dado um conjunto de dados, as contagens de observa¸cões que se enquadram a um intervalo ou classe formam a distribui¸cão de fre-quências da variável (BARBETTA; REIS; BORNIA, 2010). A Tabela 2 apresenta uma amostra com n = 100 valores de tempos entre chegadas de automóveis em um sistema de lava¸cão.

A partir dos dados apresentados, as observa¸cões são agrupadas em subintervalos, para variáveis quantitativas cont´ınuas, ou classes, para variáveis quantitativas discretas ou qualitativas. Nesse caso o tempo entre chegadas é considerado quantitativo cont´ınuo, assim o in-tervalo [0,3; 42,7], que são respectivamente o menor e maior valor da amostra, é dividido em k subintervalos de mesmo tamanho. A quan-tidade de subintervalos k para compor a distribui¸cão de frequências é uma escolha arbitrária (BARBETTA; REIS; BORNIA, 2010), o mais co-mum é tomar k =√n, então para os dados da Tabela 2 há um total de k = 10 subintervalos de tamanho 4,24. A Tabela 3 mostra o resultado desse processo.

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uni-30

Tabela 2 – Tempo em minutos entre chegadas de autom´oveis em um posto de lava¸c˜ao.

13,6 27,9 1,1 12,3 9,7 12,7 15,3 4,1 13,5 0,7 10,8 29,5 5,8 9,9 6,1 5,5 7,7 17,4 7,7 26,4 15,9 5,9 11,6 2,7 2,9 1,7 4,6 35,5 15,8 17,5 0,6 4 18,1 21,8 3,8 14,6 12,9 8,5 0,4 2,5 33,1 39,8 6,4 1,8 8,3 11,9 4,4 16,2 6,8 0,3 18 12,1 16,5 8,5 12,5 1,4 5,6 8,2 0,9 17,9 10,9 24,4 1,02 28,1 2 42,7 29,9 4,9 3,1 8,1 0,4 10,4 8,1 2,74 13 0,7 4,8 2,8 4,3 3,4 28,5 28,4 3,02 15,5 17,3 1,6 17,7 1,2 13,4 14,1 14,9 4,3 1,6 0,6 6,9 22,6 10,2 7,3 3,8 10,4 Fonte: Freitas Filho (2008).

Tabela 3 – Distribui¸cão de frequências para os tempo entre chegadas. Subintervalo Ponto Médio Freq. Freq. Relativa Freq. Relativa Acumulada 0,3 a 4,54 2,42 32 0,32 0,32 4,54 a 8,78 6,66 20 0,20 0,52 8,78 a 13,02 10,9 15 0,15 0,67 13,02 a 17,26 15,14 12 0,12 0,79 17,26 a 21,5 19,38 7 0,7 0,86 21,5 a 25,74 23,62 3 0,3 0,89 25,74 a 29,98 27,86 7 0,7 0,96 29,98 a 34,22 32,1 1 0,1 0,97 34,22 a 38,46 36,34 1 0,1 0,98 38,46 a 42,7 40,58 2 0,2 1

Fonte: Freitas Filho (2008).

formemente distribu´ıdas, já que a frequência do primeiro subintervalo é relativamente maior que os demais. Essa diferen¸ca deve ser levada em considera¸cão ao sortear valores para essa variável, para isso um peso deve ser atribu´ıdo para cada subintervalo, que é o percentual de observa¸cões que o subintervalo agrega.

A Figura 4 é a representa¸cão gráfica dos subintervalos e as res-pectivas frequências relativas acumuladas obtidas a partir da Tabela 3. Para gerar um valor aleatório x dada a distribui¸cão de frequências acu-mulada apresentada na Figura 4, um número aleatório r é sorteado a

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partir de um GNA. O valor aleatório x será o ponto médio do primeiro subintervalo cuja frequência relativa acumulada é maior que r. Pela Figura 4, por exemplo, se sortear o número r = 0,74 então x = 15,14.

Figura 4 – Distribui¸c˜ao de frequˆencias relativas acumulada para os tempo entre chegadas.

Tempo entre chegadas

5 10 15 20 25 30 35 40 F re q . re la ti va a cum ul ada 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 r x

O processo apresentado é similar para variáveis qualitativas ou quantitativas discretas que consiste em contar diretamente as ocorrˆ en-cias de cada classe da variável, assim não é necessário agrupar as ob-serva¸cões em subintervalos.

2.2.2.2 Fun¸c˜ao Densidade de Probabilidade (PDF)

Uma PDF é uma fun¸cão que descreve a probabilidade de cada valor de um conjunto poss´ıvel de valores ocorrer para uma variável aleatória cont´ınua X (FREITAS FILHO, 2008). Formalmente, a PDF de uma variável aleatória X pode ser representada por uma fun¸cão f(x) não negativa, com área entre o eixo-x e a curva igual a 1, que descreve a probabilidade P da variável aleatória tomar um dado valor x. A probabilidade de um determinado intervalo [a, b] ocorrer é dado pela integral da f(x) no intervalo desejadoRb

a f (x)dx.

Inúmeras são as distribui¸cões, porém as principais cont´ınuas são: Normal (µ, σ2_{), Uniforme (a, b), Triangular (a, b, m), Exponencial}

(32)

32

principais discretas s˜ao: Poisson(λ) e Uniforme Discreta(a, b).

Dada a PDF acumulada F(x), que representa a probabilidade de um valor menor ou igual a x ocorrer, ou seja, F(x) = P(X ≤ x). Para gerar um valor aleatório x, um número aleatório r é sorteado a partir de um GNA, que representa P(X ≤ x) = r. O valor x é obtido utilizando a fun¸cão inversa de F(x) escrita como G(F(x)) = G(p) = x. A Figura 5 ilustra esse procedimento, onde um número r = 0,5 é sorteado, que corresponde a x ≈ 270,9 (LIMA; NASSAR; FREITAS FILHO, 2015).

Figura 5 – Ilustra¸c˜ao da rela¸c˜ao entre F(x) e G(F(x)).

150 200 250 300 350 400 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Variável exemplo F (x ) P(X x) = r G(F(x)) = G(p) = x

Fonte: Lima, Nassar e Freitas Filho (2015).

2.2.2.2.1 Estima¸c˜ao de Parˆametros

Encontrar a PDF de uma variável aleatória cont´ınua pode ser dif´ıcil, já que há diversos tipos de distribui¸cões com parâmetros es-pec´ıficos de forma e escala. Entretanto, apresentar a amostra através de um histograma pode permitir, por meio das caracter´ısticas visuais, como o formato, delinear qual o tipo de PDF a ser adotada que melhor se encaixa com a amostra (FREITAS FILHO, 2008).

O passo seguinte consiste em estimar os parâmetros da distri-bui¸cão escolhida. A Tabela 4 apresenta de forma resumida, alguns dos estimadores mais empregados, onde X é a amostra, n, X e S2 _s˜_ao

respectivamente o tamanho, m´edia e variˆancia da amostra X.

Se não há uma amostra dispon´ıvel, ou não foi poss´ıvel identificar a distribui¸cão a partir dela, a melhor op¸cão é solicitar ajuda de um

(33)

33

especialista.

Tabela 4 – Sugestão de estimadores. Distribui¸cão Parâmetros Estimadores sugeridos

Normal µ, σ2 µ = X; σ2_{= [(n − 1) ÷ n] S}2 Uniforme a, b a = Xm´ın; b = Xmáx Triangular a, b, m a = Xm´ın; b = Xmáx; m = 3X − (Xm´ın+ Xmáx) Exponencial β β = X Lognormal µ, α2 µ = ( Pn i=1ln Xi) ÷ n; α2₌hPn i=1(ln Xi− µ) 2i ÷ n Gamma α, β α = X 2 ÷ S2_; β = S2_{÷ X} Beta α, β α = XhX(1−X)_S2 − 1i; β = X − 1hX(1−X) S2 − 1i Fonte: Law e Kelton (1991).

2.2.2.3 Testes de Aderˆencia

Os testes de aderência têm como objetivo verificar se os dados de uma amostra aderem a uma determinada distribui¸cão teórica ou emp´ırica. Assim, dado que se tenha várias distribui¸cões candidatas, esses testes podem ajudar a responder qual é a melhor distribui¸cão a ser adotada. Os testes são utilizados para validar ou não a seguinte hipótese: H0: A amostra segue a distribui¸cão. A seguir são

apresenta-dos dois testes muito populares na literatura.

2.2.2.3.1 Teste Qui-quadrado

Dada uma amostra de tamanho n e uma distribui¸cão que se deseja testar, o teste se inicia com a constru¸cão da distribui¸cão de fre-quências da amostra, procedimento similar ao realizado na Tabela 3, onde as observa¸cões da amostra são divididas em k subintervalos ou classes. O cálculo do teste é dado pela equa¸cão 2.2.

(34)

34 X2= k X i=1 (f oi− f ei) 2 f ei (2.2) Onde, X2 _´_{e a distˆ}_{ancia qui-quadrado, f o}

i ´e a frequˆencia

ob-servada no subintervalo i da distribui¸cão de frequências da amostra. Enquanto f ei é a frequência esperada também do subintervalo i na

distribui¸c˜ao sendo testada, que pode ser computada como f ei = n.pi,

onde pi´e a probabilidade associada ao subintervalo i. Se X2= 0, ent˜ao

a distribui¸cão desejada tem perfeita aderência com a amostra fornecida, isto é, não existem diferen¸cas entre as frequências esperadas e obser-vadas para cada um dos subintervalos. Quanto maior o valor de X2_,

maior são as diferen¸cas entre as frequências esperadas e observadas, logo a aderência entre distribui¸cão desejada e a amostra diminui.

Para verificar a aceita¸cão de H0é necessário demonstrar que X2

segue, aproximadamente, a distribui¸cão Qui-quadrado com um n´ıvel de significância α e com graus de liberdade υ = k − 1 − p, onde p é o número de parâmetros da distribui¸cão candidata. Se X2_{> X}2

α,υ ent˜ao

a hipótese H0é rejeitada, caso contrário H0 é aceita.

2.2.2.3.2 Teste Kolmogorov-Smirnov

Diferente do teste Qui-quadrado, esse só pode ser empregado para distribui¸cões cont´ınuas. O teste se inicia com a constru¸cão da distribui¸cão de frequências da amostra.

O teste toma D, equa¸cão 2.3, como sendo a maior diferen¸ca entre a probabilidade acumulada da distribui¸cão de frequências da amostra (Pi

j=1poj) e probabilidade acumulada da distribui¸c˜ao testada

(Pi

j=1pej) para os subintervalos i = 1 at´e k, sendo poj e pej

respec-tivamente a probabilidade observada na distribui¸cão de frequências da amostra e a probabilidade esperada na distribui¸cão testada no mesmo subintervalo j. D = máx    i X j=1 poj− i X j=1 pej    , para i = 1 até k. (2.3)

Para verificar a aceita¸cão de H0 é necessário consultar o valor

cr´ıtico Kα com um n´ıvel de significˆancia α na distribui¸c˜ao K-S, se

√

(35)

35

(SMIRNOV, 1939).

2.2.3 M´etodo Monte Carlo (MMC)

O MMC é utilizado na gera¸cão de valores para um modelo de simula¸cão. Uma simula¸cão completa envolve centenas ou até milha-res de cenários, onde em cada um deles uma amostra de cada variável aleatória de entrada do modelo é gerada. Usando esse esquema de amostragem, para cada cenário os valores das variáveis de sa´ıda são calculados e armazenados. Ao fim, a distribui¸cão dos valores armaze-nados reflete a probabilidade das sa´ıdas que podem vir a ocorrer no sistema modelado. A Figura 6 ilustra o esquema do MMC.

Figura 6 – Representa¸c˜ao esquem´atica do MMC.

... Modelo de Simulação Entradas Saídas ...

A amostragem pode ser realizada de diversas formas, por exem-plo empregando distribui¸cão de frequências ou PDF como já apresen-tado.

Uma das principais vantagens em usar o MMC é a possibilidade de testar por meio de ferramentas computacionais uma ampla varie-dade de cenários e seus respectivos resultados. O MMC também tem sido utilizado há bastante tempo como forma de obter aproxima¸cões numéricas de fun¸cões complexas em que não é viável, ou é mesmo im-poss´ıvel, obter uma solu¸cão anal´ıtica ou, pelo menos, determin´ıstica.

(36)

36

2.3 GERENCIAMENTO DE RISCOS (GR)

Atualmente, ainda não é poss´ıvel dizer exatamente como será o futuro, entretanto empregar técnicas de GR pode permitir estimar o que pode acontecer com um sistema. Que constitui de analisar poss´ıveis eventos e associar a eles algum grau de probabilidade ou risco de ocor-rerem (RAUSAND, 2013).

O GR é um processo cont´ınuo com o objetivo de identificar, analisar e avaliar eventos relevantes, geralmente cr´ıticos, a um sistema ou relacionados a uma atividade, com objetivo de responder se o risco de ocorrência de um evento é ou não tolerável, além disso, identificar e introduzir a¸cões de controle dos riscos. O processo de GR é composto de 3 elementos principais que são ilustrados na Figura 7 e descritos a seguir.

Figura 7 – An´alise, avalia¸c˜ao e controle de riscos. Controle Implementar ações Monitorar efeitos Análise Eventos Probabilidades Consequências Avaliação Tolerabilidade Propor ações Fonte: Rausand (2013).

Uma defini¸cão comum para Análise de Riscos é o “Uso sistemático das informa¸cões dispon´ıveis para identificar amea¸cas e estimar o risco para indiv´ıduos, propriedades ou meio ambiente”(IEC 60300-3-9, 1995).

A Análise de Riscos é utilizada para identificar as causas de eventos cr´ıticos e determinar as poss´ıveis consequências, assim como identificar a¸cões para prevenir a ocorrência destes. Tudo isso é realizado afim de elaborar uma base para decidir se o risco relacionado a um sistema é ou não tolerável. Esse primeiro elemento do processo de GR é realizado para responder principalmente as três perguntas (KAPLAN; GARRICK, 1981):

P1) O que pode dar errado? : Identificar os poss´ıveis eventos que s˜ao cr´ıticos para o funcionamento do sistema e as incertezas que po-dem motiv´a-los.

P2) Qual ´e a probabilidade de ocorrer? : Determinar as probabilidades das incertezas identificadas em P1 que podem resultar em um evento cr´ıtico.

(37)

37

P3) Quais são as consequências? : Identificar as consequências para o sistema caso os eventos que descritos em P1 ocorram e as a¸cões para preveni-los ou mitiga-los.

Para cada evento identificado em P1, o processo para responder P2 e P3 é ilustrado pela Figura 8, a qual mostra que várias incerte-zas podem disparar um evento e este, por sua vez, pode resultar em diferentes consequências. Medidas para preven¸cão podem ser inclu´ıdas entre as incertezas e o evento, assim como medidas de mitiga¸cão entre o evento e as consequências. Esse modelo, Figura 8, é chamado de gravata borboleta (bow-tie model ).

Figura 8 – Modelo gravata borboleta (bow-tie model ).

In ce rt ez as Evento C on se qu ênc ia s Fonte: Rausand (2013).

Dependendo do objetivo da Análise de Riscos, ela pode ser qua-litativa ou quantitativa. A abordagem qualitativa avalia de forma subjetiva as probabilidade e consequências, onde as probabilidades e consequências são apresentadas por uma escala espec´ıfica sem uma avalia¸cão matemática, por exemplo, “baixa”, “média”e “alta”. Já na análise quantitativa, estima¸cões numéricas caracterizam as probabilida-des e consequências constru´ıdas geralmente a partir de dados histórico (RAUSAND, 2013).

A Análise de Riscos envolve o compreendimento dos riscos e con-sequências e serve como entrada para o próximo elemento denominado Avalia¸cão dos Riscos, onde são feitos julgamentos sobre a tolerabilidade dos riscos baseando-se nas informa¸cões adquiridas no elemento anterior e nas consequências e/ou algum outro critério de aceita¸cão ou rejei¸cão do risco (IEC 60300-3-9, 1995). Outro objetivo desse elemento é propor a¸cões de controle dos riscos a serem empregadas no elemento seguinte do processo de GR denominado Controle de Riscos. Essas a¸cões podem envolver ajustes no elemento de Análise de Riscos.

No Controle de Riscos, a decis˜ao de interromper ou continuar uma determinada atividade no atual grau de risco deve ser feita. Al´em

(38)

38

disso, nesse elemento pode envolver modifica¸cões das a¸cões existentes ou implementa¸cão de novas para controlar os riscos, além de monitorar os efeitos dessas mudan¸cas (RAUSAND, 2013).

2.3.1 Gerenciamento de Riscos com M´etodo Monte Carlo

De acordo com Rausand (2013), muitos analistas de riscos usam o MMC para estudar a propaga¸cão da incerteza em modelos matemáticos, semelhante ao mostrado na Figura 6, que consiste em escolher PDF que melhor refletem os comportamentos das incertezas (para cada uma das variáveis de entrada), depois disso, é realizada a amostragem de valores a partir das PDF, então esses valores gerados são utilizados como entrada do modelo para obter a respectiva sa´ıda. Após repetir esses procedimento inúmeras vezes, obtém-se um grande número de valores de sa´ıda, que podem ser plotados como um histograma para identificar a forma de distribui¸cão de sa´ıda.

Em geral, segundo (RAUSAND, 2013), as etapas para realiza¸cão da análise de risco empregando simula¸cão são:

1. Identificar as incertezas: Identificar vari´aveis que possuem algum comportamento aleat´orio.

2. Quantificar as incertezas: A partir de dados históricos ou de um especialista, encontrar a distribui¸cão de probabilidades de cada variável identificada na etapa anterior.

3. Desenvolver um modelo de simula¸c˜ao.

4. Utiliza¸cão do MMC: Gerar combina¸cões de entradas (amostras) a partir das distribui¸cões e simular essas entradas no modelo anteri-ormente desenvolvido afim de produzir o formato da distribui¸cão da sa´ıda.

Uma vez que se tem a distribui¸cão da variável de sa´ıda é poss´ıvel calcular o risco (probabilidade) de um determinado intervalo ocorrer.

(39)

39

3 TRABALHOS RELACIONADOS

A perfura¸cão de um po¸co de petróleo pode envolver muito di-nheiro. Manter o controle sobre todos os parâmetros de perfura¸cão com o objetivo de minimizar esse custo é uma tarefa complexa.

Muitos pesquisadores têm se debru¸cado sobre esse problema, de-senvolvendo equa¸cões e modelos matemáticos para representar o pro-cesso de perfura¸cão e habilitar as equipes de perfura¸cão a tomar decisões com base nos resultados produzidos por estes modelos. Por exemplo, a otimiza¸cão da ROP, isto é, obter a maior velocidade poss´ıvel de per-fura¸cão, resultando em um menor custo, pode ser um dos objetivos destes modelos.

Modelos podem também ajudar a decidir o momento correto de retirar a broca em fun¸cão de seu desgaste. Os custos envolvidos para se efetuar uma troca de broca são grandes. Por outro lado, manter uma broca desgastada pode resultar em custos ainda maiores que sua própria troca.

Um dos modelos mais aceitos para estimar a ROP é de Bour-goyne and Young (BYM) (BOURGOYNE; YOUNG et al., 1974; BOUR-GOYNE et al., 1986). Os autores observaram que a ROP, parâmetros operacionais e demais caracter´ısticas litológicas possuem um compor-tamento que se aproxima muito de uma curva exponencial.

A previsão da ROP durante a perfura¸cão é realizada através da equa¸cão 3.1, onde D é profundidade, determinando-se os coeficientes a1

`

a a8 de cada um dos termos da exponencial. Os coeficientes devem ser

obtidos através de regressão múltipla com dados reais de perfura¸cão.

ROP = dD dt = exp a1+ 8 X i=2 aixi ! (3.1) A equa¸c˜ao 3.1 foi posteriormente reescrita como um produto de exponenciais (BOURGOYNE et al., 1986), como mostra a equa¸c˜ao 3.2. Cada exponencial representa um fator que incide sobre a ROP.

dD

dt = f1× f2× f3× f4× f5× f6× f7× f8 (3.2) A fun¸cão f7 (equa¸cão 3.3) modela a influência que o desgaste da

broca tem sobre a ROP, onde h ´e fractional bit tooth wear. Se h = 0, o efeito do desgaste da broca sobre a ROP ´e desconsiderado.

(40)

40

f7= e−a7h (3.3)

Mesmo que o modelo BYM incorpore uma fun¸cão de desgaste (f7), os coeficientes a1 à a8 são encontrados em conjunto através de

regress˜ao, assim para determinar apenas coeficiente a7 da fun¸c˜ao f7

é necessário ter em mãos todas as informa¸cões referentes às demais fun¸cões f1 até f6 e f8.

Outra dificuldade encontrada é determinar o coeficiente h de f7, pois depende do material de que a broca é feita, das condi¸cões

operacionais e da abrasividade da forma¸c˜ao perfurada.

Al´em disso, observando o termo f7, ao simular a perfura¸c˜ao de

um po¸co com um mesmo valor de h, o desgaste (f7) ter´a o mesmo

efeito sobre a ROP durante toda a perfura¸cão, o que não condiz com a realidade, já que a ROP tende a diminuir à medida que o desgaste da broca cresce.

Motahhari et al. (2010) desenvolveram um modelo (equa¸cão 3.4) para otimizar a perfura¸cão para brocas Polycrystalline Diamond Com-pact (PDC), que prevê a ROP:

ROP = Wf×

G × RP Mγ_{× P SB}α

DB× CCS

(3.4) onde RPM, PSB, DB e CCS s˜ao respectivamente Rota¸c˜oes Por

Mi-nuto, Peso Sobre a Broca, Diâmetro da Broca e Confined Compressive Strength. G é um coeficiente determinado pela geometria da broca. De-mais coeficientes γ e α são detalhados em (MOTAHHARI, 2008). Como o modelo BYM, esse também considera o efeito do desgaste da broca sobre a ROP. Entretanto não considera que o desgaste se intensifica a medida que se perfura. O desgaste é representado por Wf (equa¸cão

3.5): Wf = kwf× P SB Nc ρ × 1 CCSτ_{× A}ρ+1 w (3.5) onde, Aw ´e a quantidade de material cortante de um cortador, dado

pela (altura do cortador × ´area da superf´ıcie cortante). Enquanto Nc

´e a quantidade de cortadores da broca. Valores num´ericos para kwf, ρ

e τ s˜ao detalhados em (MOTAHHARI, 2008).

Warren et al. (1987) apresentam um modelo para previsão da ROP que não considera que o desgaste da broca afeta a ROP, entretanto mais tarde Hareland, Hoberock et al. (1993) introduziram a fun¸cão de desgaste Wf (equa¸cão 3.7) para contornar essa limita¸cão, assim a

(41)

41

previsão da ROP é dada pela equa¸cão 3.6.

ROP = Wf× (W arren ROP M odel) (3.6)

Wf = 1 −

Wc×P m

i=1P SBi× RP Mi× Abri× CCSi

8 (3.7)

A fun¸cão Wf é formada pela combina¸cão linear de quatro

pa-râmetros que são obtidos ao longo da perfura¸cão e um coeficiente Wc

ajustável, m, PSB, RPM, Abr e CCS são respectivamente metragem perfurada, Peso Sobre a Broca, Rota¸cões Por Minuto da broca, Abra-sividade e Confined Compressive Strength. Ao perfurar um po¸co com caracter´ısticas semelhantes ao po¸co utilizado para ajustar o modelo, o mesmo valor pode ser usado para o coeficiente Wc .

A equa¸cão 3.7, quando corretamente ajustada, resultará em um valor Wf entre 0 e 1, sendo 0 indica¸cão de uma broca nova e 1 uma

broca desgastada. Tal valor pode ser convertido, e vice-versa, para escala IADC Dull Grading com valores entre 0 (nova) e 8 (desgastada). A fun¸c˜ao Wf (equa¸c˜ao 3.7) parece ser mais adequada para

esti-mar o desgaste da broca em tempo real, pois considera todos os dados de perfura¸c˜ao at´e a profundidade desejada.

Outros pesquisadores também abordaram o desgaste da broca. Liu et al. (2014) preveem a perda de material cortante dos cortadores da broca. Rashidi et al. (2008) apresentam um método para estimar o desgaste da broca a partir da combina¸cão do BYM e Mechanical Specific Energy, que posteriormente o método passou a utilizar CCS ao invés do BYM (RASHIDI et al., 2010).

Lin e Ting (1996) descrevem uma abordagem empregando uma rede neural, na qual as entradas da rede são as médias de empuxo (thrust force), torque, feedrate, diâmetro e RPM da broca. A sa´ıda da rede é o desgaste médio (desgaste final dividido pelo total de metros perfurados).

Muitos estudos na área de perfura¸cão empregaram uma aborda-gem de análise de risco, que consiste em gerar valores de entrada para um modelo anal´ıtico usando Método Monte Carlo:

• Um dos experimentos conduzidos por Udegbunam (2015) utilizou-se um modelo anal´ıtico para estimar os limites permitidos para press˜ao (Bottomhole pressure).

• Mostafavi et al. (2011) e Peterson et al. (1993) empregaram res-pectivamente modelos anal´ıticos para estimar a ROP e o tempo

(42)

42

de perfura¸c˜ao.

• Cunha et al. (2004) tratam o caso de quebra da broca no fundo do po¸co, onde há duas poss´ıveis solu¸cões, a primeira seria pescar a broca, que pode levar um tempo indeterminado, e a segunda seria desviar a broca quebrada (sidetrack ), em ambas op¸cões há o aumento nos custos perfura¸cão. Os autores utilizaram análise de risco em combina¸cão com um modelo anal´ıtico para o custo afim de responder qual dos das duas op¸cões é mais viável.

Nestes quatro trabalhos os resultados são representados por meio de distribui¸cões, nas quais é poss´ıvel estimar a probabilidade de um determinado valor de sa´ıda estar dentro de um determinado intervalo.

(43)

43

4 M ´ETODO PROPOSTO

Este cap´ıtulo trata da descri¸cão do método proposto de maneira vasta as formaliza¸cões necessárias e os detalhes das etapas do mesmo.

O método combina um modelo anal´ıtico, técnicas de simula¸cão (MMC) e minera¸cão de dados (Clustering) para avaliar o desgaste da broca durante a perfura¸cão de um po¸co de petróleo. Em contraste com os modelos anal´ıticos, que produzem uma única sa´ıda para uma determinada entrada, o método proposto produzirá várias sa´ıdas para uma mesma entrada, juntamente com o seu grau de incerteza.

Para estimar o desgaste da broca, a fun¸c˜ao Wf (equa¸c˜ao 3.7)

de Hareland, Hoberock et al. (1993) foi empregada por sua simpli-cidade e adequa¸cão ao problema, já que considera toda a metragem perfurada pela broca. Uma vez que a base de dados dispon´ıvel para realiza¸cão de experimentos não contém informa¸cões sobre as variáveis Abr e CCS, elas foram removidas da equa¸cão 3.7 e tomamos Uncon-fined Compressive Strength (UCS ) como substituta de CCS. Devido a estas limita¸cões, a equa¸cão 4.1 foi adotada no método.

Wf = 1 −

Wc×P m

i=1P SBi× RP Mi× U CSi

8 (4.1)

O método é composto por três etapas, que são descritas nas três se¸cões a seguir, cujo objetivo é identificar, a partir da equa¸cão 4.1 e de uma base de conjuntos de dados históricos, as PDF associadas às variáveis de entrada (PSB, RPM e UCS ) por cluster e a PDF relaci-onada ao coeficiente Wc por conjunto histórico de dados. Por fim, a

se¸cão 4.4 apresenta a utiliza¸cão do método em tempo real.

4.1 ETAPA 1

Nesta primeira etapa, com base em arquivos de dados históricos, são realizados dois procedimentos: (a) clusteriza¸cão, separando-se to-dos os dato-dos em k grupos, utilizando-se a técnica k-means e (b) fitting, onde se identificam as prováveis PDF para cada variável de entrada (PSB, RPM e UCS ), em cada grupo formado. Por exemplo: com os dados obtidos em 3 perfura¸cões obtêm-se d = 3 conjuntos de dados históricos. Ao final desta etapa obtêm-se k × 3 distribui¸cões (uma para cada variável). A Figura 9 ilustra essa primeira etapa.

(44)

44

Figura 9 – Primeira etapa do método: clusteriza¸cão dos dados e fitting das PDF para cada variável em cada cluster.

Cl us te ri ng Cl us te rs f it ti ng Conj unt os de da dos hi st óri c os ... 1 2 d ₆₀ PSB (klbf) 40 20 0 0 200 RPM (rpm) 0 2 4 400 U CS ( ps i) × 10 4 1 k 2 RPM (rpm) 100200300 ... ... ... UCS (psi)×104 1 2 PSB (klbf) 10 30 50

4.2 ETAPA 2

A segunda etapa é dedicada à amostragem de s conjuntos de dados para cada conjunto de dados históricos. Quanto maior s, me-lhor será o fitting das distribui¸cões que representarão Wc. Estes são

gerados a partir de um determinado conjunto de dados históricos h de tal maneira que, para cada registro i, uma janela de registros [i - w, ..., i ] é utilizada, onde w é o tamanho da janela, para selecionar o cluster C que melhor a representa, ou seja, o cluster em que a soma das distâncias entre registros [i - w, ..., i ] e o centroide do cluster é a menor. Esta janela foi usada para suavizar a sele¸cão dos clusters ao percorrer um conjunto de dados histórico. Quanto maior o tamanho da janela, menor a variabilidade dos clusters selecionados.

Nesta etapa e nas demais do método, as distâncias são obtidas através da distância euclidiana (equa¸cão 2.1).

Depois de identificar o cluster C, as suas PDF são empregadas para gerar s novos registros, cada um dos quais está associado aos conjuntos de dados 1, 2, ..., s sendo gerados. A Figura 10 ilustra esta etapa, em que o exemplo refere-se ao registro i = 3 de um conjunto de dados histórico h, considerando w = 2. Após a execu¸cão deste procedimento para todos os registros em h, um total de s conjuntos de dados foram gerados, como mostra a Figura 11.

Esta etapa é executada para cada conjunto de dados históricos, então haverá s conjuntos de dados gerados para cada um deles.

(45)

45

Figura 10 – Atualiza¸c˜ao dos conjuntos de dados gerados para um re-gistro i = 3 em um conjunto de dados hist´orico h.

Seleção do cluster C a partir dos registros i = 1, 2 e 3

s novos registros são gerados com as PDFs do cluster C Entradas i PSB RPM UCS 1 40 70 9920 2 36 99 8580 3 33 89 7160 ... ... ... ... m 28 203 6360 w = 2 Clusters PDFs 1 3 5 1 2 1 2 3 1 3 5 PSB (klbf)×10 1 2 UCS (psi)×104 1 2 3 RPM (rpm)×102 ... ... ... 1 3 5 1 2 1 2 3 1 2 k h C o n ju n to s g e ra d o s a té i = 2 1 2 s ...

Associar cada registro amostrado com o respectivo

conjunto de dados C o n ju n to s g e ra d o s a té i = 3 1 2 s ...

Figura 11 – Conjuntos de dados gerados a partir de um conjunto de dados hist´oricos h.

Entradas i PSB RPM UCS 1 40 70 9920 2 36 99 8580 3 33 89 7160 ... ... ... ... m 28 203 6360 h Conjuntos gerados de h 1 40 70 9920 2 36 99 8580 3 33 89 7160 ... ... ... ... m 28 203 6360 ... 1 2 s Entradas geradas i PSB RPM UCS 1 39 65 9420 2 35 94 8080 3 32 84 6600 ... ... ... ... m 27 197 5860 1 41 75 9998 2 37 104 9080 3 34 94 7660 ... ... ... ... m 29 208 6860 Fonte: Elaborada pelo autor (2018).

(46)

46

4.3 ETAPA 3

A terceira e última etapa consiste em identificar as distribui¸cões que representarão o coeficiente Wc do modelo anal´ıtico (equa¸cão 4.1)

em cada conjunto de dados históricos. Para cada h (Figura 12), uma PDF é obtida usando os s valores para Wc obtidos por regressão a

partir dos conjuntos de dados gerados.

Figura 12 – Etapa de identifica¸c˜ao da PDF para o coeficiente Wc de

um determinado conjunto de dados hist´oricos h.

C onj unt os g e ra dos d e h ... 2 s 1 Obter o coeficiente Wc Wc 1 1,66×10-9 2 1,82×10-9 ... ... s 2,23×10-9 Wc×10 -9 1 2 3

As distribui¸cões associadas às entradas (por cluster ) e as distri-bui¸cões para o coeficiente Wc(por conjunto de dados históricos) podem

ser estendidas para simular o comportamento em tempo real do des-gaste da broca durante a perfura¸cão. Esta aplica¸cão está descrita a seguir.

4.4 APLICAC¸ ˜AO EM TEMPO REAL

A simula¸cão em tempo real consiste utilizar as PDF do cluster C e do conjunto de dados históricos D para gerar s novas amostras de registros para as variáveis PSB, RPM e UCS com os respectivos valores que o coeficiente Wc deve assumir ao longo da perfura¸cão. O cluster

C e o conjunto D s˜ao os que melhor representam (menor distˆancia) os ´

ultimos registros observados em tempo real.

Para simular em tempo real, uma pequena altera¸c˜ao foi realizada na equa¸c˜ao 4.1, de modo que o coeficiente Wc pode assumir um valor

diferente a cada metro perfurado, conforme equa¸c˜ao 4.2. Wf = 1 −

Pm

i=1Wci× P SBi× RP Mi× U CSi

(47)

47

Como mostra a Figura 13, a cada metro i perfurado, as in-forma¸cões observadas de PSB, RPM e UCS nos metros [i - w, ..., i ] são utilizadas para selecionar o cluster C mais apropriado, então suas PDF são empregadas na amostragem de s novos registros. Cada regis-tro amostrado é inclu´ıdo no seu respectivo conjunto sendo gerado. De maneira similar, o conjunto de dados históricos D é selecionado e sua PDF, que representa o coeficiente Wc, é utilizada na amostragem de s

valores.

Figura 13 – Atualiza¸c˜ao dos conjuntos de dados em gera¸c˜ao em um determinado metro i. Tempo real Dados observados PSB RPM UCS 1 40 70 9920 ... ... ... ... i - 2 29 195 6500 i - 1 30 190 6700 i 28 203 6360 Seleção do cluster C e do conjunto de dados históricos D a partir dos últimos registros

observados

Gerar s registros (PSB, RPM e

UCS) e s valores (Wc) através

das PDFs do cluster C e do conjunto D e inclui-los no respectivo conjunto de dados

em geração

Conjuntos sendo gerados

... 1 2 s 1 40 70 9920 1,9 ... ... ... ... ... i - 2 31 150 7000 1,7 i - 1 29 170 7160 1,6 i 27 205 6100 1,5 PSB RPM UCS Wc×10-9 1 40 70 9920 2,01 ... ... ... ... ... i - 2 32 155 7100 1,75 i - 1 30 180 6900 1,6 i 28 195 6400 1,4 1 40 70 9920 1,8 ... ... ... ... ... i - 2 33 153 6900 1,6 i - 1 28 185 6350 1,55 i 29 190 6500 1,45

Neste ponto, os s conjuntos est˜ao atualizados para o metro atual i com novos registros e valores para o coeficiente Wc. Ent˜ao, como

apresentado na Figura 14, cada um deles é utilizado como entrada do modelo anal´ıtico (equa¸cão 4.2) para obter o respectivo desgaste. Assim, são obtidas s sa´ıdas que podem ser apresentados através de um histograma, permitindo visualizar os prováveis valores dos desgastes e suas probabilidades.

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Figura 14 – Aplica¸c˜ao dos conjuntos gerados no modelo anal´ıtico.

1 2 s... Modelo analítico Eq. 4 Saídas C onj unt os g e ra dos a té i ₁ 2 s ...

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49

5 EXPERIMENTOS E RESULTADOS

Este cap´ıtulo apresenta os detalhes da utiliza¸cão do método abor-dando o problema do desgaste da broca durante a perfura¸cão de um po¸co de petróleo.

Uma questão considerada é que a escala IADC Dull Grading é um código de classifica¸cão que pode assumir um valor inteiro dentre um conjunto de 9 classes, são elas 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8. Entretanto Wf

que pode assumir infinitos valores no intervalo [0, 1] e ao transform´ a-lo para a escala IADC Dull Grading podem ocorrer vaa-lores que não pertencem ao conjunto de classes da mesma, sendo necessários ajustes para uma classifica¸cão aceitável.

A equa¸c˜ao 4.1, quando corretamente ajustada, Wf assume

va-lores entre 0 e 1. Porém devido às diferen¸cas entre o po¸co utilizado para ajuste do coeficiente Wc e o po¸co em processo de perfura¸cão

po-dem ocorrer sa´ıdas fora do intervalo esperado para Wf, implicando em

dificuldades na convers˜ao para a escala IADC Dull Grading. Assim qualquer valor de degaste maior igual a 8 indica que a broca est´a to-talmente desgastada.

O método proposto foi testado usando duas bases com dados de perfura¸cão. A primeira foi utilizada nos experimentos I, II e III, contém dados de perfura¸cão de 35 brocas (ou corridas) do tipo PDC com diâmetro 8 1₂00, metragem perfurada variando entre 30 a 446 me-tros e o desgaste de 1 a 8 na escala IADC Dull Grading. A segunda foi empregada no experimento IV, possui dados de 21 brocas do tipo Im-pregnada com diâmetros 8 1₂00e 12 1₄00, metragem perfurada e desgaste final da brocas variando respectivamente de 28 a 467 metros e de 1 a 8 na escala IADC Dull Grading.

Os dados de perfura¸cão de cada broca contém: o degaste final da broca, os parâmetros operacionais (PSB e RPM ), e o perfil litológico (UCS ) por metro perfurado.

5.1 EXPERIMENTO I

Das 35 corridas presentes na base de dados, 28 foram utilizadas para identificar (fitting) as PDF de cada vari´avel de entrada por clus-ter e as PDF por referentes ao coeficiente Wc por conjunto de dados

hist´oricos. Enquanto as demais 7 corridas foram usadas para testar o m´etodo.

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Devido a simplicidade e fácil utiliza¸cão, o algoritmo k-means foi usado na etapa 1 para levantar os clusters. Vários experimentos foram realizados até obter k = 6 como sendo o número de clusters que resultou no menor erro para essa base de dados. A Figura 15 mostra os clusters obtidos e a Figura 16 demonstra as PDF encontradas em três dos clusters.

Figura 15 – Clusters obtidos na etapa 1.

60 PSB (klbf) 40 20 0 0 200 RPM (rpm) ×104 0 2 4 400 U C S ( ps i) Cluster 5 Cluster 1 Cluster 3 Cluster 6 Cluster 2 Cluster 4

Observando a Figura 16, é poss´ıvel notar pelos histogramas dos clusters 2 e 6 que a variável RPM tem comportamento inversamente proporcional ao PSB. Esse comportamento foi detectado devido ao em-prego de clusteriza¸cão, de forma que os dados gerados pelas PDF desses clusters não conterão cenários em que o PSB e a RPM são incom-pat´ıveis, como por exemplo, PSB e RPM altos ao mesmo tempo.

Na etapa 2, um total de s = 3000 conjuntos de dados (amostras) foram gerados usando o MMC. Após vários experimentos, o tamanho de janela w = 5 metros foi usado para identificar o cluster e conjunto de dados históricos mais representativos. Esses mesmos parâmetros w e s foram utilizados para as simula¸cões das 28 corridas de fitting e as 7 de teste.

Os histogramas obtidos para o coeficiente Wc e as

respecti-vas distribui¸cões identificadas para algumas das corridas (etapa 3) são apresentados na Figura 17. As diferen¸cas observadas entre as distri-bui¸cões são consequências de as corridas possu´ırem diferentes

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carac-51

ter´ısticas, como a metragem total perfurada, o desgaste final da broca, os parˆametros operacionais utilizados e o perfil litol´ogico encontrado.

Figura 16 – PDF identificadas (fitting) em trˆes clusters.

F re quê nc ia PSB (klbf) RPM (rpm) UCS (psi)×104 ... ... ... 100 200 300 0 100 200 0 100 200 1 2 0 50 100 10 30 50 Cluster 1 Cluster 2 Cluster 6

Figura 17 – PDF identificadas para o coeficiente Wc em trˆes corridas

hist´oricas. F re quê nc ia s 0 500 1000 ... Corridas históricas 2 2,5 3 2 2,5 3 2 2,5 3 1 2 28 Wc ×10 -9

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O objetivo desse experimento é comparar o desgaste final real com o previsto pelo método proposto, utilizando as 7 corridas restantes reservadas para este teste que nunca foram apresentadas ao método. A mediana dos resultados simulados para o último metro perfurado é tomada como estimativa do desgaste final da broca. O RMSE (Root-Mean-Square Error ) foi usado como indicador de precisão, que mede a varia¸cão média entre o resultado real e o previsto na mesma escala. Valores de RMSE mais baixos indicam uma melhor acurácia.

Na Figura 18 s˜ao apresentados os desgastes reais e estimados para cada corrida de teste. O RMSE obtido para as 7 corridas de teste foi de 1,03 na escala IADC Dull Grading. Esse valor equivale aproximadamente a 12,5% da escala de desgaste utilizada.

Entretanto, o erro obtido desconsidera que a resposta do método não é pontual, mas sim apresentada na forma de um histograma, com probabilidades associadas aos poss´ıveis valores em um intervalo. As-sim, mesmo que a estimativa pontual não seja exata o verdadeiro valor do desgaste final real pode estar, com maior ou menor probabilidade, dentre os poss´ıveis valores de desgaste previstos pelo histograma.

Observando os resultados das corridas 1, 2, 3 e 6 na Figura 18, é poss´ıvel deduzir que o método superestimou, na maioria dos casos, as distribui¸cões finais (boxplot ) em que o desgaste real final não estava incluso na distribui¸cão.

Figura 18 – Comparativo entre o desgaste real e o desgaste previsto nas corridas de teste. Corrida 1 2 3 4 5 6 7 IA D C D ul l G rad ing 0 2 4 6 8 Previsto Real

A corrida 5 (Figura 18) teve profundidade perfurada de 254 me-tros e o desgaste final da broca foi classe 5 na escala de classifica¸c˜ao IADC Dull Grading. A Figura 19 ilustra a distribui¸c˜ao dos resultados

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das simula¸cões por metro perfurado da corrida 5, pode-se observar que a propaga¸cão da incerteza faz com que amplitude dos valores simulados aumente à medida que a metragem perfurada também aumenta.

Figura 19 – Desgastes simulados por metro para a corrida 5 da Figura 18.

Para a mesma corrida, a Figura 20 ilustra os histogramas das simula¸c˜oes para os metros 64, 128, 192 e 254. O valor final de desgaste estimado para esta corrida foi de 4,82 na escala IADC Dull Grading, enquanto o valor de desgaste real foi de 5. Entretanto, pela Figura 20, ´

e poss´ıvel observar que no último metro (254) havia uma probabilidade do desgaste 5 ocorrer. Como a estimativa não fornece um valor fixo e, embora 4,82 tenha sido o valor de desgaste mais comum, em algumas das simula¸cões o desgaste ficou próximo de 5.

Figura 20 – Histogramas das simula¸c˜oes dos metros 64, 128, 192 e 254 para a corrida 5 da Figura 18.

IADC Dull Grading

2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 F re quê nc ia 0 200 400 600 64m 128m 192m _254m

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J´a com as 28 corridas usadas para identificar (fitting) as PDF das entradas por cluster e do coeficiente Wc por conjunto de dados

hist´oricos, o desempenho foi pior quando comparado com as corridas de teste, pois o RMSE obtido foi 1,18 na escala IADC Dull Grading.

Figura 21 – Comparativo entre o desgaste real e o desgaste previsto nas corridas utilizadas para aderir as distribui¸c˜oes.

IA D C D ul l G rad ing Corrida 5 10 15 20 25 1 2 3 4 5 6 7 8 Previsto Real

5.2 EXPERIMENTO II

O experimento anterior avaliou o método com 28 corridas selecio-nadas para aderência das PDF e outras 7 para teste. Nesse experimento as três etapas do método foram realizados 1000 vezes, de tal forma que em cada um, 28 corridas (80%) são aleatoriamente selecionadas para fitting, e as demais 7 (20%) são utilizadas para teste. Os RMSE obtidos ao simular essas corridas são armazenados.

Através de análise de sensibilidade, o total de clusters k a serem formados na etapa 1 e o tamanho da janela de registros w utilizada na etapa 2 em que se obteve os melhores resultados foram k = 8 e w = 6, respectivamente. Afim de reduzir o tempo computacional, em cada execu¸cão são geradas s = 400 corridas na etapa 2 para realizar o processo de aderência da PDF do coeficiente Wc na etapa 3.

Para as simula¸cões das corridas de fitting e de teste os mesmos parâmetros w = 6 e s = 400 foram utilizados. A Figura 22 apresenta os dois histogramas referentes à amostra de 1000 RMSE obtidos. O RMSE médio e o desvio padrão obtidos para as corridas de fitting foram 1,09 e 0,1 respectivamente (IADC Dull Grading). Enquanto para as corridas

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55

de teste, alcan¸cou respectivamente RMSE m´edio e desvio padr˜ao de 1,95 e 0,57 (IADC Dull Grading ).

Figura 22 – RMSE obtidos em 1000 execu¸c˜oes do m´etodo proposto com diferentes corridas para fitting das PDCs e para teste.

0 2 4 6 F re quê nc ia 0 50 100 150 200 250 0 2 4 6

IADC Dull Grading RMSE (teste) IADC Dull Grading

RMSE (fitting)

RMSE (teste) RMSE (fitting)

5.3 EXPERIMENTO III

Um experimento comparativo foi realizado empregando uma abor-dagem similar à de Lin e Ting (1996) que utiliza rede neural tendo como entrada os valores médios das variáveis da corrida, e como sa´ıda o des-gaste médio por metro.

Nesse experimento, parecido com o anterior, 1000 redes neurais foram treinadas e testadas com 80% e 20% das corridas aleatoriamente selecionadas a cada execu¸cão para treinamento e teste respectivamente. O tipo de rede neural utilizada foi Cascade-forward (FAHLMAN; LEBIERE, 1990) com 15 neurônios na camada escondida, e a fun¸cão de treinamento foi Levenberg-Marquardt (LEVENBERG, 1944). As médias por corrida das mesmas variáveis PSB, RPM e UCS dos experimentos anteriores foram utilizadas como entrada da rede.

Nas 1000 execu¸cões, o desgaste final previsto ao simular por me-tro as corridas de treinamento e teste são armazenados e comparados com o desgaste real através do RMSE, que são apresentados na Figura 23. Em média o RMSE é 2,16 e 2,47 com desvio padrão 0,47 e 0,76 na escala IADC Dull Grading para as corridas de treinamento e teste respectivamente.

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Figura 23 – RMSE obtidos em 1000 execu¸c˜oes do m´etodo proposto com diferentes corridas para fitting das PDCs e para teste.

0 2 4 6 F re quê nc ia 0 50 100 150 200 250 2 4 6 0

IADC Dull Grading RMSE (teste) IADC Dull Grading

RMSE (treinamento) Fonte: Elaborada pelo autor (2018).

dificuldades em estimar o desgaste, já que método proposto teve menor RMSE médio e menor desvio padrão tanto para as corridas utilizadas para aderência das PDF (80%) quanto para as corridas de teste (20%). Entretanto, isso não significa que o método proposto sempre será me-lhor que uma rede neural, pois a quantidade de dados utilizada pode não ter sido suficiente para extrair todo o potencial da rede.

5.4 EXPERIMENTO IV

Semelhante ao experimento II, porém usando dados de brocas do tipo Impregnada. O método foi executado 500 vezes. Cada vez, 16 (≈76%) e 5 (≈24%) corridas são selecionados aleatoriamente para aderência das PDF e testar o método, respectivamente.

Dos parâmetros experimentados onde se obteve os melhores re-sultados, para o passo 1 foi k = 4, e no passo 2 foram w = 8 e s = 500. Os mesmos valores para os parâmetros w e s foram utilizados ao si-mular corridas de aderência das distribui¸cões e de testes. A Figura 24 mostra os histogramas dos RMSE obtidos nas 500 execu¸cões.

Os desvios padrões obtidos neste experimento ficaram próximos dos obtidos no experimento II, sendo respectivamente 0,16 e 0,58 para as corridas de fitting e teste. No entanto, os valores médios para RMSE para as corridas de fitting e teste foram ligeiramente melhores, atin-gindo 0,86 e 1,81, respectivamente.

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Figura 24 – RMSE obtidos em 500 execu¸c˜oes do m´etodo com corridas diferentes para fitting e teste, usando dados de brocas do tipo Impreg-nada.

IADC Dull Grading RMSE (fitting) F re quê nc ia 0 50 100 150 200 0 2 4 6

IADC Dull Grading RMSE (teste)

0 2 4 6

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